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视 觉 基 础 介 绍<br />
吴 毅 红<br />
中 国 科 学 院 自 动 化 研 究 所<br />
模 式 识 别 国 家 重 点 实 验 室<br />
http://www.nlpr.ia.ac.cn/English/rv/download.htm
主 要 内 容<br />
1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视 觉 理<br />
论 计 算 框 架<br />
2. 演 示 : 单 幅 图 像 测 量 ; 三 维 重 建 ; 结 构 光 三 维 重 建 ; 场 景<br />
漫 游<br />
3. 景 物 的 成 像 过 程<br />
4. 三 维 重 建 的 目 的 、 过 程<br />
5. 射 影 几 何 学 简 介
1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视<br />
觉 理 论 计 算 框 架<br />
计 算 机 视 觉 是 研 究 用 计 算 机 来 模 拟 人 和 生 物 的 视 觉 系 统 功 能<br />
的 技 术 学 科 .<br />
它 是 一 门 综 合 性 的 学 科 , 其 中 包 括 计 算 机 科 学 和 工 程 、 信<br />
号 处 理 、 物 理 学 、 应 用 数 学 和 统 计 学 , 神 经 生 理 学 和 认 知<br />
科 学 等 .<br />
目 标 : 让 计 算 机 能 够 感 知 周 围 视 觉 世 界 , 了 解 它 的 空 间 组 成<br />
和 变 化 规 律 . 传 感 、 抽 象 、 判 断 、 识 别 、 理 解
1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视<br />
觉 理 论 计 算 框 架<br />
David Marr (1945-80)、 马 尔 是 英 国 心 理 学 家 。<br />
他 将 心 理 学 , 人 工 智 能 和 神 经 生 理 学 的 结 果 结 合 起 来 , 对 视<br />
觉 的 研 究 做 出 了 重 要 贡 献 。 他 是 计 算 视 觉 的 奠 基 人 。35 岁 ,<br />
患 白 血 病 去 世 。<br />
D. Marr. Vision. Freeman and Company, Oxford,<br />
1982.<br />
该 书 概 括 了 Marr 从 1973 到 1977 年 在 MIT 人 工 智 能 实 验 室<br />
的 研 究 工 作 。 发 表 于 1982。<br />
该 书 诣 于 建 立 一 个 研 究 视 觉 的 新 框 架 。
1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视<br />
觉 理 论 计 算 框 架<br />
马 尔 视 觉 系 统 研 究 的 三 个 层 次 :<br />
计 算 理 论 层 次 、 表 达 与 算 法 层 次 、 硬 件 实 现 层 次<br />
计 算 目 的 与 计 算<br />
策 略 ;<br />
输 入 、 输 出<br />
各 模 块 的 输 入 、 输 出 和<br />
内 部 的 信 息 表 达 、 以 及<br />
实 现 计 算 理 论 规 定 的 目<br />
标 的 算 法<br />
如 何 用 硬 件 实<br />
现 以 上 算 法
1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视<br />
觉 理 论 计 算 框 架<br />
任 务 : 马 尔 视 觉 信 息 处 理 的 三 个 阶 段 :<br />
图 像 低 层 处 理<br />
中 层 处 理<br />
空 间 表 达 与 建 模<br />
高 层 分 析<br />
图 像 获 取 ;<br />
图 像 预 处 理 包 括 图<br />
像 滤 波 、 增 强 、 矫<br />
正<br />
抽 取 图 像 的 特 征 ,<br />
恢 复 其 2.5 维 结 构 ,<br />
进 行 建 模 与 表 达<br />
识 别 、 分 析 、 理 解 、<br />
描 述
1. 计 算 机 视 觉 的 目 标 、 任 务 ; 马 尔 视<br />
觉 理 论 计 算 框 架<br />
马 尔 视 觉 理 论 特 点 :<br />
没 有 考 虑 视 觉 中 的 选 择 性 和 整 体 性 ;<br />
不 确 定 和 多 义 性 ;<br />
计 算 量 大<br />
计 算 机 视 觉 的 应 用 :<br />
工 业 自 动 化 : 工 件 的 校 验 和 质 量 控 制 ; 机 器 人 导 航 ;<br />
机 器 人 的 工 件 获 取 和 安 放 ; 测 量<br />
人 机 交 互 : 人 脸 的 检 测 、 跟 踪 、 识 别 、 建 模 和 动 画 ; 人 体 检 测 和 跟 踪 ;<br />
手 势 识 别 ; 事 件 的 检 测 和 识 别 ; 视 觉 监 控
2. 演 示<br />
• 单 幅 图 像 测 量 ;<br />
DEMO<br />
DEMO<br />
• Automated 三 维 重 建 ;<br />
• 结 构 光 三 维 重 建 ;<br />
DEMO<br />
场 景 重 建<br />
• 场 景 漫 游<br />
DEMO<br />
DEMO<br />
DEMO DEMO DEMO
3. 景 物 的 成 像 过 程<br />
针 孔 摄 像 机<br />
成 像 平 面<br />
摄<br />
像<br />
机<br />
坐<br />
标<br />
系<br />
O<br />
X<br />
m<br />
Z<br />
M<br />
Y<br />
带 镜 头 的 摄 像 机 : 薄 透 镜 ; 鱼 眼 镜 头 ; 反 射 镜 面
反 射 折 射 镜<br />
鱼 眼 镜 头<br />
针 孔 相 机
坐 标 系<br />
1、 、 世 界 坐 标 系 :<br />
2、 、 摄 像 机 坐 标 系 :<br />
3、 、 图 像 坐 标 系 :<br />
X , Y , Z<br />
w<br />
w<br />
w<br />
X<br />
c<br />
, Yc<br />
, Z<br />
x, y<br />
c<br />
[ u, v]<br />
[ ]<br />
Xw<br />
O w<br />
Zw<br />
世 界 坐 标 系<br />
Y w<br />
说 明 :<br />
X c<br />
u<br />
x<br />
Z c<br />
为 了 校 正 成 像 畸 变<br />
用 理 想 图 像 坐 标 系<br />
和 真 实 图 像 坐 标 系<br />
[ X ]<br />
u<br />
, Y u<br />
[ X , Y d d<br />
]<br />
分 别 描 述 畸 变 前 后 的 坐 标 关 系<br />
O<br />
v<br />
O 1<br />
图 像 坐 标 系<br />
摄 像 机 坐 标 系<br />
y<br />
Y c
摄 像 机 光 学 成 像 过 程 的 四 个 步 骤<br />
1、 、 刚 体 变 换 公 式<br />
⎡x<br />
⎢<br />
⎢<br />
y<br />
⎢⎣<br />
z<br />
c<br />
c<br />
c<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
=<br />
⎡x<br />
R<br />
⎢<br />
⎢<br />
y<br />
⎢⎣<br />
z<br />
齐 次 坐 标 形 式<br />
⎡x<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
y<br />
⎢z<br />
⎢<br />
⎣1<br />
c<br />
c<br />
c<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎡ R<br />
= ⎢ T<br />
⎣0<br />
w<br />
w<br />
w<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
+<br />
⎡x<br />
t<br />
⎢<br />
⎤⎢<br />
y<br />
1<br />
⎥<br />
⎦⎢x<br />
⎢<br />
⎣1<br />
w<br />
3 w<br />
t<br />
w<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
刚 体 变 换<br />
透 视 投 影<br />
畸 变 校 正<br />
数 字 化 图 像<br />
世 界 坐 标 系<br />
摄 像 机 坐 标 系<br />
理 想 图 像 坐 标 系<br />
真 实 图 像 坐 标 系<br />
数 字 化 图 像 坐 标 系
透 视 投 影 —— 透 镜 成 像 原 理 图<br />
1<br />
f<br />
=<br />
1<br />
m<br />
+<br />
1<br />
n<br />
物 体<br />
B<br />
A<br />
B<br />
O<br />
C<br />
n >><br />
f<br />
一 般 地 由 于<br />
于 是<br />
m ≈ 这 时 可<br />
以 将 透 镜 成 像 模 型 近<br />
似 地 用 小 孔 模 型 代 替<br />
f<br />
f=OB 为 透 镜 的 焦 距<br />
m=OC 为 像 距<br />
n=AO 为 物 距<br />
图 像
透 视 投 影 —— 小 孔 成 像 模 型<br />
x = − f<br />
u<br />
x<br />
z<br />
c<br />
c<br />
Y c<br />
Z<br />
c<br />
y = − f<br />
u<br />
⎡x<br />
⎢<br />
⎢<br />
y<br />
⎢⎣<br />
1<br />
⎤ ⎡−<br />
f<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
y<br />
z<br />
写 成 齐 次 坐 标 形 式 为<br />
z<br />
c<br />
u<br />
u<br />
c<br />
c<br />
−<br />
0<br />
0<br />
f<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎡x<br />
0⎤⎢<br />
⎥⎢<br />
y<br />
0<br />
⎥⎢z<br />
0⎥⎦<br />
⎢<br />
⎣1<br />
c<br />
c<br />
c<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
o<br />
Y u<br />
m ,<br />
( ) x u y u<br />
X<br />
u<br />
X<br />
( x , y z )<br />
M ,<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c
中 心 透 视 投 影 模 型<br />
x =<br />
u<br />
y =<br />
u<br />
f<br />
f<br />
x<br />
z<br />
y<br />
z<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
o<br />
写 成 齐 次 坐 标 形 式 为<br />
Y<br />
c<br />
X<br />
c<br />
f<br />
Y<br />
u<br />
p ( x u<br />
, y u<br />
)<br />
O<br />
1<br />
X<br />
u<br />
( x , y z )<br />
M ,<br />
c<br />
c<br />
Z<br />
c<br />
c<br />
z<br />
c<br />
⎡x<br />
⎢<br />
⎢<br />
y<br />
⎢⎣<br />
1<br />
u<br />
u<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
=<br />
⎡ f<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
f<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎡x<br />
0⎤⎢<br />
⎥⎢<br />
y<br />
0<br />
⎥⎢z<br />
0⎥⎦<br />
⎢<br />
⎣1<br />
c<br />
c<br />
c<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦
畸 变 校 正 —— 径 向 和 切 向 畸 变<br />
径 向 畸 变<br />
径 向 失 真<br />
离 心 畸 变<br />
切 向 失 真<br />
薄 透 镜 畸 变<br />
Y u<br />
Ideal Position<br />
dr<br />
dt<br />
x<br />
y<br />
d<br />
d<br />
=<br />
=<br />
x<br />
y<br />
u<br />
u<br />
+ δ<br />
x<br />
+ δ<br />
u<br />
y<br />
u<br />
( x , y )<br />
u<br />
( x , y )<br />
u<br />
u<br />
u<br />
Position with distortion<br />
X u<br />
dr :radial distortion<br />
dt :tangential distortion
畸 变 校 正 —— 其 它 畸 变 类 型<br />
X u<br />
Axis of max<br />
Tangential<br />
distortion<br />
a<br />
Y u<br />
b<br />
a :barrel distortion<br />
b :pincushion distortion<br />
Axis of min<br />
tangential<br />
distortion<br />
桶 形 畸 变 a 和 枕 形 畸 变 b<br />
薄 棱 镜 畸 变
图 像 数 字 化<br />
O<br />
1<br />
在<br />
u, v 中 的 坐 标 为<br />
( u )<br />
像 素 在 轴 上 的 物 理 尺 寸 为<br />
0 ,v 0<br />
dx, dy<br />
V<br />
Y d<br />
Affine Transformation :<br />
u<br />
v<br />
=<br />
=<br />
u<br />
v<br />
0<br />
0<br />
齐 次 坐 标 形 式 :<br />
xd<br />
yd<br />
cotθ<br />
+ −<br />
dx dx<br />
yd<br />
+<br />
dy sinθ<br />
C<br />
v 0<br />
θ<br />
y d<br />
u 0<br />
O 1<br />
θ<br />
x d<br />
X d<br />
U<br />
⎡u⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
v<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
1 ⎥⎦<br />
=<br />
⎡ fu<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
−<br />
f<br />
v<br />
f<br />
u<br />
cotθ<br />
/ sinθ<br />
0<br />
u0<br />
⎤⎡x<br />
v<br />
⎥⎢<br />
0<br />
⎥⎢<br />
y<br />
1 ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
1<br />
d<br />
d<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
其 中<br />
f<br />
u<br />
=<br />
1<br />
,<br />
dx<br />
f<br />
v<br />
=<br />
1<br />
dy
线 性 摄 像 机 成 像 模 型<br />
图 像 像 素 坐 标 系<br />
图 像 物 理 坐 标 系<br />
摄 像 机 坐 标 系<br />
世 界 坐 标 系<br />
⎡u⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
v<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
1 ⎥⎦<br />
=<br />
⎡ fu<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
−<br />
f<br />
v<br />
f<br />
u<br />
cotθ<br />
/ sinθ<br />
0<br />
u0⎤⎡x⎤<br />
v<br />
⎥⎢<br />
⎥<br />
0<br />
⎥⎢<br />
y<br />
⎥<br />
1 ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
1 ⎥⎦<br />
⎡x⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
y<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
1 ⎥⎦<br />
=<br />
1<br />
z<br />
c<br />
⎡ f<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
0<br />
0<br />
f<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
⎡x<br />
0⎤⎢<br />
⎥⎢<br />
y<br />
0<br />
⎥⎢z<br />
0⎥⎦<br />
⎢<br />
⎣1<br />
c<br />
c<br />
c<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎡x<br />
⎢<br />
⎢<br />
y<br />
⎢z<br />
⎢<br />
⎣1<br />
c<br />
c<br />
c<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
=<br />
⎡ R<br />
⎢ T<br />
⎣0<br />
⎡x<br />
t<br />
⎢<br />
⎤⎢<br />
y<br />
1<br />
⎥<br />
⎦⎢x<br />
⎢<br />
⎣1<br />
w<br />
w<br />
3 w<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
最 终 得 到 :<br />
图 像 像 素 坐 标 系<br />
世 界 坐 标 系<br />
z<br />
c<br />
⎡u⎤<br />
⎡ ffu<br />
− ffu<br />
cotθ<br />
u0<br />
⎤<br />
⎢ ⎥ ⎢<br />
⎥⎡<br />
R<br />
⎢<br />
v<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
0 ffv<br />
/ sinθ<br />
v0<br />
⎥⎢<br />
⎢ ⎥ ⎢<br />
⎥⎣o<br />
3<br />
⎣1<br />
⎦ ⎣ 0 0 1<br />
1444<br />
24444<br />
3⎦<br />
K<br />
T<br />
⎡x<br />
⎢<br />
t⎤⎢<br />
y<br />
1<br />
⎥<br />
⎦⎢z<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
1<br />
w<br />
w<br />
w<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
这 是 忽 略 畸 变 的 线 性 成 像 模 型
4. 三 维 重 建 的 目 的 、 任 务
三 维 重 建 是 人 类 视 觉 的 主 要 目 的 , 也 是 计 算 机 视 觉 的 最<br />
主 要 的 研 究 方 向 . (Marr 1982)<br />
所 谓 三 维 重 建 就 是 指 从 单 幅 图 像 加 景 物 约 束 、 二 幅 、 二<br />
幅 以 上 图 像 恢 复 空 间 点 三 维 坐 标 的 过 程 。<br />
成 像 平 面<br />
O
照 相 机 的 成 像 模 型 :<br />
xi<br />
m = K ( R,<br />
t)<br />
Μ<br />
i<br />
i<br />
三 维 重 建 主 要 目 的 : 从 图 像 出 发 , 求 出 所 有 的 M i<br />
摄 像 机 标 定 : 从 图 像 出 发 , 求 出 内 参 数 K<br />
摄 像 机 标 定 位 或 运 动 参 数 求 解 : 从 图 像 出 发 , 求 出 运 动 参 数 R,t<br />
三 维 重 建 的 三 个 关 键 步 骤<br />
• 图 像 对 应 点 的 确 定<br />
• 摄 像 机 标 定<br />
• 摄 像 机 运 动 参 数 的 确 定
三 维 重 建 示 意 图<br />
M<br />
y w<br />
z w<br />
x w<br />
o<br />
I<br />
l<br />
m<br />
e<br />
I′<br />
e'<br />
l'<br />
m′<br />
o′<br />
R,T<br />
因 此 , 有 必 要 研 究 图 像 之 间 约 束 , 图 像 之 间 的 几 何<br />
图 像 几 何 学
5. 射 影 几 何 学 简 介
为 什 么 要 学 习 射 影 几 何 <br />
• 照 相 机 的 成 像 过 程 是 一 个 射 影 变 换 ( 透 视<br />
或 中 心 射 影 ) 的 过 程 :<br />
成 像 平 面<br />
摄<br />
像<br />
机<br />
坐<br />
标<br />
系<br />
O<br />
X<br />
p<br />
Z<br />
P<br />
Y
常 见 的 旋 转 和 平 移 是 欧 氏 变 换 , 研 究<br />
在 欧 氏 变 换 下 保 持 不 变 的 性 质 ( 欧 氏<br />
性 质 ) 的 几 何 , 是 欧 氏 几 何 。 比 如 长<br />
度 、 角 度 、 平 行 性 等 都 是 欧 氏 性 质 。
照 相 机 的 成 像 过 程 不 保 持 欧 氏 性 质<br />
例 如 : 平 行 线 不 再 平 行
无 穷 远 元 素<br />
平 行 线 交 于 一 个 无 穷 远 点 ;<br />
平 行 平 面 交 于 一 条 无 穷 远 直 线 ;
• 在 一 条 直 线 上 只 有 唯 一 一 个 无 穷 远 点 .<br />
所 有 的 一 组 平 行 线 共 有 一 个 无 穷 远 点 .<br />
无 穷 远 点
• 在 一 个 平 面 上 , 所 有 的 无 穷 远 点 组 成 一 条<br />
直 线 , 称 为 这 个 平 面 的 无 穷 远 直 线 .<br />
平 行 线<br />
无 穷 远 直 线
• 3 维 空 间 中 所 有 的 无 穷 远 点 组 成 一 个 平 面 ,<br />
称 为 这 个 空 间 的 无 穷 远 平 面 .<br />
平 行 线<br />
平<br />
行<br />
平<br />
面<br />
和<br />
直<br />
线<br />
无 穷 远 平 面
射 影 空 间<br />
对 n 维 欧 氏 空 间 加 入 无 穷 远 元 素 , 并 对 有<br />
限 元 素 和 无 穷 远 元 素 不 加 区 分 , 则 它 们 共<br />
同 构 成 了 n 维 射 影 空 间 .
1 维 射 影 空 间 是 一 条 射 影 直 线 , 它 由 我 们 所 看 到<br />
的 欧 氏 直 线 和 它 的 无 穷 点 组 成 ;<br />
2 维 射 影 空 间 是 一 个 射 影 平 面 , 它 由 我 们 所 看 到<br />
的 欧 氏 平 面 和 它 的 无 穷 远 直 线 组 成 ;<br />
3 维 射 影 空 间 由 我 们 所 在 的 空 间 与 无 穷 远 平 面<br />
组 成 .
齐 次 坐 标<br />
在 欧 氏 空 间 中 建 立 坐 标 系 后 , 便 有 了 点 与<br />
坐 标 间 的 一 一 对 应 , 但 当 引 入 无 穷 点 以 后 ,<br />
无 穷 远 点 无 坐 标 , 为 了 刻 化 无 穷 远 点 的 坐<br />
标 , 我 们 引 入 齐 次 坐 标 .
在 n 维 空 间 中 , 建 立 欧 氏 坐 标 后 , 每 一 个<br />
有 限 的 点 的 坐 标 为 ( m1,...,<br />
m<br />
n<br />
) , 对 任 意<br />
n+1 个 数 x ,..., x x , 如 果 满 足 :<br />
1 n<br />
,<br />
0<br />
x1<br />
x<br />
n<br />
x ≠ 0, = m<br />
1<br />
,..., =<br />
x<br />
x<br />
m<br />
0 n<br />
0<br />
0<br />
.<br />
则<br />
坐 标 .<br />
( x<br />
1<br />
,..., x<br />
n<br />
, x<br />
0<br />
)<br />
被 叫 作 这 个 点 的 齐 次
( m1,...,<br />
m<br />
n<br />
相 对 于 齐 次 坐 标 , 被 称 作 非<br />
齐 次 坐 标 .<br />
)<br />
不 全 为 0 的 数<br />
x ,...,<br />
1<br />
x<br />
n<br />
组 成 的 坐 标<br />
( x 1<br />
,..., x n<br />
,0)<br />
被 称 作 无 穷 远 点 的 齐 次 坐 标 .
例 如 : 在 欧 氏 直 线 上 的 普 通 点 的 坐 标 为 x ,<br />
则 适 合<br />
的 两 个 数<br />
x 1<br />
, x 0<br />
x x =<br />
1 /<br />
组 成 的 坐 标<br />
为 这 个 点 的 齐 次 坐 标 , x 为 这 个 点 的 非 齐<br />
次 坐 标 . 对 任 意 的 , 则<br />
( x 1<br />
, 0)<br />
为 无 穷 远 点 的 齐 次 坐 标 .<br />
0<br />
( x 1<br />
, x0<br />
)<br />
x 1<br />
≠ 0<br />
x
引 入 齐 次 坐 标 后 ,<br />
• 在 二 维 平 面 上 , 如 果 直 线 的 方 程 为 :<br />
a x<br />
则 直 线 的 齐 次 方 程 为 :<br />
a x<br />
1<br />
+ b x2<br />
+ c =<br />
1<br />
+ b x2<br />
+ c x0<br />
=<br />
无 穷 远 直 线 的 方 程 则 为 :<br />
x 0 = 0<br />
0<br />
0
• 在 三 维 空 间 中 , 如 果 平 面 的 方 程 为 :<br />
a x<br />
1<br />
+ b x2<br />
+ c x3<br />
+ d =<br />
则 平 面 的 齐 次 方 程 为 :<br />
a x<br />
无 穷 远 平 面 的 方 程 则 为 :<br />
0<br />
1<br />
+ b x2<br />
+ c x3<br />
+ d x0<br />
=<br />
x 0 = 0<br />
0
射 影 参 数<br />
对 于 n 维 空 间 中 的 任 意 一 条 直 线 , 如 果<br />
P 1<br />
, P 2 是 它 上 的 任 意 两 个 取 定 的 点 , 则 它<br />
上 的 任 意 一 个 点 P 可 以 由 P 1<br />
, P 2 线 性 生<br />
成 :<br />
X = c +<br />
1X<br />
1<br />
c2<br />
X<br />
其 中 X , X<br />
1<br />
, X 2 分 别 是 P , P1 , P2<br />
的 齐 次 坐<br />
标 , 是 两 个 不 全 为 零 的 常 数 .<br />
c 1<br />
, c 2<br />
2
c<br />
c<br />
1<br />
比 例<br />
2<br />
被 叫 作 P 关 于 P 1<br />
, P2<br />
在 这 条 直<br />
线 上 的 射 影 参 数 .<br />
如 果 , 则 射 影 参 数 为 .<br />
c<br />
2 =<br />
0<br />
∞
交 比<br />
对 于 共 线 的 4 个 点 P , P , P P , 比 例 :<br />
( θ<br />
1<br />
( θ<br />
2<br />
1 2 3<br />
,<br />
− θ<br />
3<br />
)( θ<br />
2<br />
− θ )( θ<br />
被 叫 作 P , ) 关 于 P 1<br />
, P ) 的 交 比 , 记 为<br />
( P 3 4<br />
3<br />
(<br />
2<br />
1<br />
− θ<br />
4<br />
− θ<br />
4<br />
4<br />
)<br />
)<br />
( P1 , P2<br />
; P3<br />
, P4<br />
)<br />
其 中 θ 分 别 是 P i<br />
i , i = 1 .. 4 的 射 影 参 数 。
• 定 理 : 设 四 个 不 同 的 共 线 点 中 的 三 点 及<br />
其 交 比 值 为 已 知 , 则 第 四 点 必 唯 一 确 定 。
射 影 变 换<br />
'<br />
记 S<br />
n<br />
, S<br />
n 是 两 个 由 点 组 成 的 射 影 空 间 ,<br />
'<br />
T 是 由 S<br />
n 到 S<br />
n 的 映 射 . 如 果 T 保 持 :<br />
(i) 点 和 直 线 的 结 合 关 系 . 比 如 : 点 在 直 线 上 ;<br />
直 线 通 过 点 ; 等 等 .<br />
(ii) 共 线 的 四 个 点 的 交 比 .<br />
则 T 被 叫 作 n 维 射 影 变 换 .
'<br />
• 两 个 射 影 空 间 S<br />
n<br />
, S<br />
n 可 以 是 同 一 个 空 间 ,<br />
则 T 是 同 一 个 空 间 里 的 变 换 .
• 点 用 齐 次 坐 标 表 示 , 则 射 影 变 换 可 用 一 个<br />
(n+1)-(n+1) 的 矩 阵 表 示 :<br />
⎛ x<br />
⎜<br />
⎜M<br />
⎜<br />
⎜ x<br />
⎜<br />
⎝ x<br />
↓<br />
'<br />
1<br />
P '<br />
'<br />
n<br />
'<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
t<br />
M<br />
t<br />
11<br />
,<br />
( n + 1)1<br />
K<br />
O<br />
, K<br />
• T 的 行 列 式 非 零 , 则 它 是 一 个 非 退 化 的<br />
射 影 变 换 , 否 则 是 个 退 化 的 射 影 变 换 .<br />
,<br />
↓<br />
T<br />
, t<br />
t<br />
1( n + 1)<br />
M<br />
( n + 1)( n + 1)<br />
⎛ x<br />
⎞⎜<br />
⎟⎜M<br />
⎟⎜<br />
⎟ x<br />
⎜<br />
⎠<br />
⎝ x<br />
↓<br />
P<br />
1<br />
n<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠
'<br />
例 如 : L L' 是 两 条 射 影 直 线 , 让 P i 与 P i<br />
'<br />
对 应 , 其 中 P<br />
i 与 P i 的 连 线 都 交 于 一 点 , 则<br />
这 个 映 射 是 一 个 1 维 射 影 变 换 . ( 透 视 或<br />
中 心 射 影 )<br />
O<br />
P3’<br />
B<br />
L’<br />
A<br />
P1’<br />
P2’<br />
P0 P1 P2 P3<br />
L
• 照 相 机 的 成 像 过 程 是 一 个 从 3 维 空 间 到 2<br />
维 空 间 的 退 化 的 射 影 变 换 。
射 影 几 何<br />
射 影 几 何 是 : 研 究 射 影 空 间 中 在 射 影 变<br />
换 下 保 持 不 变 的 性 质 的 几 何 学 。
射 影 平 面 中 的 对 偶<br />
• “ 点 ” 与 “ 直 线 ” 叫 作 射 影 平 面 上 的 对 偶 元 素 。<br />
• “ 过 一 点 作 一 直 线 ” 与 “ 在 一 直 线 上 取 一 点 ”<br />
叫 作 对 偶 作 图 。
• 在 射 影 平 面 里 设 有 点 , 直 线 及 其 相 互 结<br />
合 和 顺 序 关 系 所 组 成 的 一 个 命 题 , 将 此<br />
命 题 中 的 各 元 素 改 为 它 的 对 偶 元 素 , 各<br />
作 图 改 为 它 的 对 偶 作 图 , 其 结 果 形 成 另<br />
一 个 命 题 , 这 两 个 命 题 叫 作 平 面 对 偶 命<br />
题 。<br />
• 对 偶 原 则 : 在 射 影 平 面 里 , 如 果 一 个 命<br />
题 成 立 , 则 它 的 对 偶 命 题 也 成 立 。
• 例 如 :<br />
命 题 : 通 过 不 同 两 点 必 有 一 直 线 。<br />
对 偶 命 题 : 两 不 同 直 线 必 有 一 交 点 。
• 共 线 的 四 个 点 有 交 比 , 根 据 对 偶 , 共 点 的<br />
四 线 也 有 交 比 .<br />
P1<br />
P2<br />
P3<br />
P4<br />
L4<br />
L1 L2 L3<br />
(P1, P2; P3, P4)=(L1, L2; L3, L4)
调 和 关 系<br />
如 果 点 对 ( P , P ) 和 ( P<br />
1 2<br />
3<br />
, P4<br />
) 的 交 比 是 -1, 即 :<br />
(<br />
4<br />
P1 , P2<br />
; P3<br />
, P ) = −1<br />
则 称 P , ) 与 ( P 3<br />
, P4<br />
) 是 调 和 的 .<br />
( P 1 2
点 对 ( P , P ) 与 ( , P<br />
1 2<br />
3 4<br />
) 是 调 和 的 , 当 且<br />
仅 当 :<br />
P θ + θ )( θ + θ ) = 2( θ θ + θ )<br />
(<br />
1 2 3 4 1 2 3θ<br />
4<br />
其 中 θ 分 别 是 P i<br />
i , i = 1 .. 4 的 射 影 参<br />
数 .
• 一 线 段 的 中 点 为 无 穷 远 点 关 于 这 个 线 段<br />
的 两 个 端 点 的 调 和 点 。<br />
• 因 为 调 和 关 系 是 由 交 比 定 义 的 , 所 以 它<br />
是 射 影 不 变 的 。
• 例 如 : 利 用 这 种 不 变 的 调 和 关 系 , 我 们<br />
可 以 求 出 无 穷 远 点 的 像 。 无 穷 远 点 的 像<br />
可 以 用 来 对 照 相 机 进 行 标 定 。<br />
成 像 平 面<br />
X<br />
P<br />
摄<br />
像<br />
机<br />
坐<br />
标<br />
系<br />
O<br />
p<br />
Z<br />
Y
完 全 四 点 ( 线 ) 形 中 的 调 和 关 系<br />
• 由 四 个 点 ( 无 三 点 共 线 ) 以 及 连 结 其 中<br />
任 意 两 点 的 六 条 直 线 所 组 成 的 图 形 叫 完<br />
全 四 点 形 。<br />
• 由 四 条 直 线 ( 无 三 线 共 点 ) 以 及 其 中 任<br />
意 两 条 直 线 的 六 个 交 点 所 组 成 的 图 形 叫<br />
完 全 四 线 形 。
完 全 四 点 形 :<br />
M<br />
C<br />
E<br />
P4<br />
F<br />
H<br />
A<br />
G<br />
P3<br />
P1<br />
D<br />
P2<br />
B<br />
P1, P2, P3, P4 是 四 个 顶 点 , 六 条 白 线 是 三<br />
对 对 边 , 三 个 红 点 A, B, C 是 对 边 点 , 三 条<br />
红 线 和 三 个 红 点 组 成 对 边 三 点 形 。<br />
(CA, CB; CG, CE)= -1 (D, B; P2, P1)= -1<br />
(A, B; G, E)= -1 (F, B; P3, P4)= -1<br />
(A, H; P3, P1)= -1 (A, M; P2, P4)= -1
二 次 曲 线<br />
记 射 影 平 面 上 点 的 齐 次 坐 标 为 ( x1,<br />
x2,<br />
x3)<br />
,<br />
则 满 足 一 个 二 次 方 程 , 即 :<br />
3<br />
∑<br />
i , j = 1<br />
a x x = 0 ( a =<br />
ij<br />
i<br />
j<br />
的 所 有 点 的 集 合 构 成 一 条 由 a ij 决 定 的<br />
二 次 曲 线 , 其 中 至 少 有 一 个 a ij 非 零 .<br />
ij<br />
a<br />
ji<br />
)
在 二 次 曲 线 的 定 义 中 的 方 程 又 可 以 写 为 :<br />
⎛ a<br />
⎜<br />
11 12 13 1<br />
1 2 3 ⎜ 21 22 23 ⎟⎜<br />
2 ⎟ =<br />
( x x x ) a a a x 0<br />
⎜<br />
⎝ a<br />
31<br />
a<br />
a<br />
矩 阵 ( a ij<br />
) 是 对 称 的 , 它 的 秩 在 一 个 非 退 化<br />
的 射 影 变 换 下 保 持 不 变 .<br />
32<br />
a<br />
a<br />
33<br />
⎞⎛<br />
⎟⎜<br />
⎟⎜<br />
⎠⎝<br />
x<br />
x<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠
( a ij<br />
)<br />
如 果 矩 阵 的 行 列 式 非 零 , 则 这 个 二 次<br />
曲 线 非 退 化 . 否 则 二 次 曲 线 退 化 为 两 条 直<br />
线 , 或 一 条 直 线 .<br />
例 如 : 圆 , 椭 圆 , 双 曲 线 和 抛 物 线 都 是 非 退<br />
化 的 二 次 曲 线 .
二 次 曲 线 的 对 偶 :<br />
• 射 影 平 面 上 点 与 直 线 是 对 偶 的 , 将 二 次<br />
曲 线 的 点 元 素 换 为 线 元 素 , 则 这 些 线 的<br />
包 络 为 一 个 二 次 曲 线 。<br />
• 二 次 曲 线<br />
的 对 偶 为 :<br />
X τ CX = 0<br />
0<br />
( X 为 点 坐 标 )<br />
*<br />
L τ C L = ( L 为 线 坐 标 )<br />
*<br />
其 中 C 为 C 的 伴 随 矩 阵 。
互 为 对 偶<br />
点 的 轨 迹<br />
线 的 包 络
绝 对 二 次 曲 线<br />
欧 氏 空 间 中 , 无 穷 远 平 面 上 的 二 次 曲 线 :<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x + x + x = 0,<br />
x = 0<br />
1 2 3<br />
0<br />
称 为 绝 对 二 次 曲 线 . 它 都 由 虚 点 构 成 , 任<br />
何 一 个 圆 都 与 它 交 于 一 对 虚 共 轭 点 ( 圆 环<br />
点 ).
绝 对 二 次 曲 线 的 像 与 照 相 机 的 内 参 数 紧<br />
密 相 连 . 假 定 照 相 机 的 内 参 数 为 :<br />
K<br />
⎡ f<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣0<br />
则 绝 对 二 次 曲 线 的 像 是 :<br />
=<br />
X<br />
0 0<br />
τ<br />
K<br />
反 之 , 如 果 绝 对 二 次 曲 线 的 像 已 知 , 则 K<br />
可 以 被 完 全 确 定 .<br />
−τ<br />
r<br />
K<br />
s<br />
0<br />
f<br />
−1<br />
u<br />
v<br />
1<br />
X = 0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦
• 如 果 圆 环 点 的 像 已 知 , 也 可 以 对 照 相 机<br />
的 内 参 数 构 成 约 束 , 通 过 解 方 程 组 来 得<br />
到 内 参 数 的 值 。<br />
假 定 m 是 圆 环 点 的 像 , 则 :<br />
m<br />
τ<br />
K<br />
− τ<br />
K<br />
−1<br />
m=<br />
0
极 点 与 极 线<br />
• 对 于 一 个 二 次 曲 线 C 和 某 个 点 A ( 向 量 ),<br />
由 L=C A 确 定 的 直 线 ( 线 坐 标 ), 称 为<br />
点 A 关 于 二 次 曲 线 C 的 极 线 。<br />
• 当 A 在 二 次 曲 线 C 上 时 , 点 A 的 极 线<br />
为 过 它 的 切 线 。
• 对 于 一 个 二 次 曲 线 C 和 某 条 直 线 L ( 向<br />
*<br />
量 ), 由 A = C L 确 定 的 点 , 称 为 线 L 关<br />
于 二 次 曲 线 C 的 极 点 。<br />
• 当 L 为 二 次 曲 线 C 的 切 线 时 , 线 L 的<br />
极 点 为 它 上 的 切 点 。
• 对 极 关 系 是 射 影 不 变 的 关 系 , 利 用 这 个 关<br />
系 我 们 可 以 对 照 相 机 进 行 标 定 .
例 如 : 在 欧 氏 空 间 中 , 一 个 圆 的 圆 心 是 无<br />
穷 远 直 线 关 于 这 个 圆 的 极 点 , 无 穷 远 直 线<br />
是 圆 心 关 于 这 个 圆 的 极 线 . 利 用 这 种 不 变<br />
的 对 极 关 系 , 在 照 相 机 的 像 平 面 上 , 可 以<br />
求 出 一 对 圆 环 点 的 像 , 对 照 相 机 进 行 标 定 .<br />
详 见 :<br />
孟 晓 桥 , 胡 占 义 ,A new easy camera<br />
calibration technique based on circular<br />
points,Pattern Recognition,Vol. 36, No.<br />
5, pp 1155-1164, 2003.
三 维 射 影 几 何<br />
• 点 、 直 线 、 平 面<br />
• 二 次 曲 面<br />
• 扭 三 次 曲 线 : 与 三 维 重 建 中 的 退 化 情 况<br />
紧 密 相 连 。
参 考 书 目<br />
• J. G. Semple, G. T. Kneebone, Algebraic<br />
Projective Geometry, Oxford University<br />
Press, 1952.<br />
• 梅 向 明 , 刘 增 贤 , 王 汇 淳 , 王 智 秋 , 高 等 几<br />
何 , 高 等 教 育 出 版 社 , 1998.