Preparazione all'esame di Analisi Matematica

Preparazione all’esame di Analisi Matematica
Si noti che tutta la materia vista a lezione è oggetto d’esame. Tuttavia, su alcuni
argomenti, definizioni e teoremi (non menzionati nella lista seguente) si richiede una
conoscenza meno approfondita e dettagliata rispetto ad altri. Ciò che si suggerisce di
tralasciare non sarà oggetto di esame.
Nella categoria ESERCIZI vengono indicate le competenze necessarie per lo svolgimento
della prova scritta.
Capitolo 1: insiemi e operazioni. Particolare attenzione al principio di induzione, alle
definizioni di relazione, applicazione, funzione, funzione suriettiva, iniettiva e biiettiva,
punto di accumulazione. Disuguaglianza di Bernouilli, disuguaglianza triangolare.
Insiemi numerabili e cardinalità, intervalli e intorni. Elementi di logica (negazione di
proposizione, contrapposta di una proposizione).
ESERCIZI: stabilire se una funzione data è iniettiva, suriettiva, biiettiva e saperne
calcolare l’inversa (se la f è invertibile). Applicare il principio di induzione matematica
per dimostrare delle proposizioni date. Formulare la negazione e la contrapposta di una
proposizione data.
Capitolo 2: particolare attenzione ai modelli classici d’urna, binomio di Newton (senza
dimostrazione). Tralasciare la formula di Stirling.
ESERCIZI: risoluzione di problemi di calcolo combinatorio inerenti ai modelli classici
d’urna.
Capitolo 3: tutte le definizioni, in particolare definizione di limite di successione,
successioni convergenti e divergenti, sottosucessioni, successioni definite per ricorsione e
progressioni geometriche. Teoremi di particolare importanza (con dimostrazione):
teorema di unicità del limite, teorema di permanenza del segno, teorema del confronto,
teorema successioni monotóne . Tralasciare le successioni di Cauchy ed il teorema di
Cauchy.
ESERCIZI: verificare la convergenza di una successione verso un limite dato impiegando
la definizione di limite di successione, calcolo del limite di una successione (che può
necessitare l’impiego dei limiti notevoli), calcolo del limite di una successione definita
per ricorsione.
Capitolo 4: tutte le definizioni, in particolare definizione di somme parziali e serie, serie
convergenti e non, serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie a termini positivi.
Teorema di convergenza (con dimostrazione), criteri di convergenza semplice (teorema
del confronto (con dimostrazione), criterio della radice (solo il corollario), del rapporto
(solo il corollario) e Leibniz) e convergenza assoluta. Tralasciare il teorema di Cauchy
per le serie.
ESERCIZI: stabilire il comportamento di una serie (se converge o no) con l’impiego dei
criteri di convergenza, calcolare la somma della serie (se converge) attraverso lo studio
della successione delle somme parziali.

Capitolo 5: tutte le definizioni. Di particolare importanza le funzioni esponenziali (e le
loro proprietà), logaritmiche (e le loro proprietà) e trigonometriche.
ESERCIZI: stabilire il dominio, condominio e immagine di una funzione data, se una
funzione è pari o dispari, periodica o no (in caso affermativo saperne calcolare il
periodo), saper risolvere le equazioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche.
Capitolo 6: definizione di limite di funzione, limite destro e sinistro, continuità, tipi di
discontinuità, operazioni con i limiti. Teoremi (con dimostrazione): teorema ‘ponte’, di
unicità del limite, del confronto per limiti di funzione. Teorema dei valori intermedi.
Tralasciare il metodo di bisezione.
ESERCIZI: calcolare il limite di una funzione (impiegando i limiti notevoli, se occorre),
stabilire la continuità di una funzione in un punto (ed in un intervallo), determinare il tipo
di discontinuità di una funzione.
Capitolo 7: definizione di derivata e significato geometrico, derivabilità a destra e a
sinistra, operazioni di derivazione, derivate di ordine superiore al primo, differenziale.
Teoremi (con dimostrazione): teorema ‘derivabilità e continuità’, dimostrazioni della
derivata delle somma, prodotto, quoziente di funzioni, della funzione composta ed
inversa, delle funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
ESERCIZI: calcolare la derivata ed il differenziale di funzioni (impiego delle regole di
derivazione).
Capitolo 8: definizione di estremi assoluti e relativi,funzioni crescenti e decrescenti,
funzioni concave e convesse, asintoti e punti di flesso. Teoremi (con dimostrazione):
Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, teorema ‘crescenza-decrescenza’. Teoremi (senza
dim.): l’Hospital, di Taylor. Criterio di ricerca di estremi di una funzione, sviluppo in
serie di Taylor e Maclaurin .
ESERCIZI: determinare gli estremi, punti di flesso, asintoti di una funzione. Calcolo dei
limiti di funzioni impiegando la regola di Hospital. Studio di funzione (essere in grado di
disegnare il grafico della funzione data). Sviluppare una funzione in serie di Taylor e
Maclaurin.
Capitolo 9: definizione di integrale indefinito, somma di Riemann, integrale definito e
integrale improprio; primitive elementari. Integrale della somma e del prodotto per una
costante; integrazione per sostituzione, per parti. Integrali di funzioni razionali. Teorema
fondamentale del Calcolo (senza dim.) e sue implicazioni. Teorema del confronto per
integrali impropri (senza dim.).
ESERCIZI: calcolare l’integrale (indefinito, definito ed improprio) di funzioni (comprese
funzioni razionali e trigonometriche) applicando le tecniche di integrazione viste a
lezione.
Capitolo 10: definizione di equazione differenziale ordinaria, soluzione generale e
soluzione particolare, equazioni in forma normale, a variabili separabili. Equazioni
differenziali omogenee, lineari, di Bernouilli, lineari omogenee a coefficienti costanti. Per
i teoremi si possono tralasciare le dimostrazioni viste in classe. Problema delle condizioni
iniziali. Tralasciare il metodo di Picard.

ESERCIZI: risolvere le equazioni differenziali delle tipologie viste a lezione. Essere in
grado di determinare la soluzione generale e la soluzione particolare quando richiesta
(quando vengono fornite le condizioni iniziali).
Capitolo 11: definizione di vettore, matrice, vettori ortogonali, dipendenza ed
indipendenza lineare, sottospazi, dimensione e base di un sottospazio. Operazioni tra
vettori (e proprietà), operazioni tra matrici (e proprietà). Determinante, matrice aggiunta,
matrice inversa e rango. Sistemi lineari e metodo di eliminazione di Gauss. Teoremi
(senza dim.): teorema sul calcolo della matrice inversa, teorema sul rango di una matrice,
teorema di Rouché-Capelli.
ESERCIZI: verificare la dipendenza/índipendenza lineare tra vettori, verificare che dei
vettori dati siano una base per un sottospazio dato, calcolo del determinante di una
matrice, calcolo della matrice inversa (metodo del determinante e con eliminazione di
Gauss), risoluzione di sistemi lineari attraverso il metodo di eliminazione di Gauss.
Capitolo 12: tutte le definizioni: funzione di n variabili, dominio, grafico, distanza,
intorno, derivate parziali, gradiente, punto di stazionarietà, estremi, hessiano,
differenziale. Teoremi (senza dim.): regola della catena, teorema di derivazione implicita,
teorema di Schwartz, criterio di ricerca di estremi e metodo di Lagrange.
ESERCIZI: calcolare le derivate parziali ed il differenziale di funzioni di più variabili
(impiego delle regole di derivazione, funzioni composte e funzioni implicite),
determinare estremi e punti di sella e risolvere problemi di ottimizzazione vincolata con il
metodo di Lagrange.