topografia 3 rettifiche e spostamenti

T 1
T 2
Bˆ
B
M
Â
Ĉ
C
A
ω
N
RETTIFICHE E SPOSTAMENTI

INDICE
Concetti generali
RETTIFICHE
Confine bilatero ABC con un confine rettilineo uscente dal vertice A
Confine bilatero ABC con un confine rettilineo MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale
Confine bilatero ABC con un confine rettilineo MN parallelo ad una data direzione r
Confine poligonale con un confine rettilineo uscente dal vertice A
Confine poligonale con un confine rettilineo MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale
Confine poligonale con un confine rettilineo MN parallelo ad una data direzione r
SPOSTAMENTI
Confine rettilineo AB con un confine MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale
Confine rettilineo AB con un confine MN parallelo ad una data direzione r

Concetti generali
Rettificare un confine significa sostituire un confine
(bilatero, poligonale, curvilineo) con un confine rettilineo
Spostare un confine rettilineo consiste nel sostituirlo con un
altro confine rettilineo di direzione diversa
Sia le rettifiche che le sostituzioni si realizzano lasciando
inalterate le aree dei fondi confinanti (compenso),
cambiando solamente la loro configurazione geometrica
Negli esempi che seguono considereremo noti tutti gli
elementi misurati, lati e angoli, utili alla risoluzione del
problema

RETTIFICHE

CASO 1
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A. Metodo
grafico
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC
angoli A B C
Si congiunge A con C e da B si traccia la
parallela ad AC, che interseca il confine
laterale nel punto M.
AM è il nuovo confine rettilineo di
compenso perchè i due triangoli ABC e
AMC, appartenenti tutti e due al
B
proprietario T 2
hanno stessa area (uguale
base b e uguale altezza relativa h)
A
T 1
T 2
M
h
h
b
C

CASO 1
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A. Metodo
analitico
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC
angoli A B C
T 1
Bˆ
B
M
Bˆ1
Â
Ĉ
A
AC
Ĉ 1
C
T 2

CASO 2
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN uscente da un punto M in
posizione nota sul confine laterale
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC
angoli A B C
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
In questo caso l’area del triangolo ABC
appartenente a T2 deve essere uguale all’area del
quadrilatero MACN
Dopo aver calcolato tutti gli elementi del
triangolo ABC, l’incognita CN si ottiene
T 1
applicando al quadrilatero la formula inversa di
camminamento:
distanza AM nota
Bˆ
B
N
S MACN = 0.5 x [MA x AC x sen MÂC + AC x CN x
M
sen AĈN – MA x CN x sen (MÂC + AĈN)]
Â
Ĉ
A
C
CN = (2 x S MAC – MA x AC x sen MÂC) /
T 2
[(AC x sen AĈN – MA x sen (MÂC + AĈN)]

CASO 2
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN uscente da un punto M in
posizione nota sul confine laterale
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC
angoli A B C
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
T 1
Bˆ
B
A
M
Â
Bˆ
1
MÂC
 1
AĈN
Ĉ 1
Ĉ
N
C
T 2

CASO 3
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
direzione r
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC
angoli A B C
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
Questo caso può risolversi:
T 1
• Applicando il metodo del trapezio
Bˆ
B
• Lavorando con il teorema dei seni
A
M
ω
Â
Ĉ
C
N
T 2

CASO 3.1
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
direzione r
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC
angoli A B C
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
METODO DEL TRAPEZIO
Per risolvere il problema è possibile tracciare un confine
provvisorio AE parallelo alla direzione data calcolando
tutti gli elementi incogniti del quadrilatero ABCE e l’area
T 1
S ABCE appartenente a T 2 . Per trovare la posizione del nuovo
confine MN è necessario che le due aree, quella del
quadrilatero ABCE e quella del trapezio MAEN risultino
Bˆ
B
uguali:
S ABCE = S MAEN = 0.5 x (AE + MN) x h
Calcolata l’altezza h del trapezio sarà possibile con le
A
M
ω
Â
Ĉ
h
C
N
funzioni trigonometriche calcolare le due incognite
T 2
E
principali del problema AM e EN

CASO 3.1
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
direzione r
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC
angoli A B C
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
METODO DEL TRAPEZIO
S MAEN = 0.5 x (AE + MN) x h
in questa equazione sono presenti due incognite MN e h. Ma:
MN = AE – (AM’ + N’E)
tan  = h/AM’ ---> AM’ = h/tan Â
tan Ê = h/N’E ---> N’E = h/tan Ê
M
N
sostituendo:
h
MN = AE – h x (1/tang  + 1/tang Ê)
e sostituendo in S MADN otteniamo:
A
Â
M’
h
Ê
S MAEN = 0.5 x [AE + AE – h x (1/tan  + 1/tan Ê)] x h
ordinando otteniamo una equazione di 2° grado avente come
incognita l’altezza h del trapezio:
N’
E
h 2 x (1/tan  +1/tan Ê) – 2 x AE x h + 2 x S MAEN = 0
Delle due soluzioni si sceglie quella positiva; se lo sono
entrambe la soluzione esatta è quella che più si avvicina al
rapporto S MAEN /AE. Nota h, nei due triangoli rettangoli
MAM’ e NN’E, con la funzione seno è possibile calcolare le
due incognite del problema, AM e EN

CASO 3.2
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
direzione r
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC
angoli A B C
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
F
Fˆ
RISOLUZIONE CON IL T. DEI SENI
Se i confini laterali si incontrano nel punto F, è possibile
calcolare l’area dell’appezzamento appartenente a T 1
T 1
(che si ottiene sottraendo all’area del triangolo AFC,
l’area del triangolo ABC appartenente a T 2 ). Quest’area
dovrà essere uguale a quella del triangolo MFN sempre
appartenente a T 1 . Di questo triangolo sono noti i tre
angoli (M corrispondente alla direzione assegnata, F
calcolato, N per differenza)
A
M
ω
Â
Mˆ
r
Bˆ
B
Nˆ
Ĉ
N
C
T 2

CASO 3.2
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
direzione r
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC
angoli A B C
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
F
Fˆ
T 1
Bˆ
B
A
M
Â
ω
 1
Mˆ
r
Bˆ1
Ĉ 1
Nˆ
Ĉ
N
C
T 2

CASO 4
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
Per determinare la posizione del nuovo confine rettilineo
T 1
T 2
(distanza di M dal vertice E) è necessario risolvere la
poligonale ABCDE rispetto ad un sistema di riferimento
con origine in A e semiasse positivo delle X diretto come il
lato AB. Dopo aver calcolato azimut, coordinate è possibile
E
calcolare, con Gauss, l’area del contorno poligonale
compreso tra la poligonale e la congiungente AE (che
appartiene a T 1 ). Quest’area dovrà risultare uguale a quella
A
D
del triangolo AEM, in cui AM rappresenta il nuovo confine
M
rettilineo di compenso
B
C

CASO 4
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
B
T 1
C T 2
E
A
D
M

CASO 4
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
PARTICOLARE CALCOLO ANGOLO Ê 2
Ê2
=
(EA) - (ED)
E
T 1
T 2
(EA)
Ê
E
(ED)
Ê2
MÊA
Ê1
A
D
M
B
C

CASO 4.1
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
Nel caso in cui la congiungente gli estremi della poligonale AE
interseca la poligonale stessa in uno o più punti si procede in maniera
leggermente diversa dal caso precedente. Dopo aver risolto la
poligonale con il calcolo degli azimut e delle coordinate è necessario
calcolare, con Gauss l’area del contorno poligonale ABCDEA, formata
da triangoli e quadrilateri appartenenti ai proprietari T1 e T2.
Applicando Gauss si ottiene un’area che risulta essere la differenza
della somma algebrica tra le aree positive (percorse in senso
P
C
T 1
T 2
-
R
+
E
antiorario) e quelle negative (percorse in senso orario). Se l’area così
calcolata risultasse uguale a zero, la somma dei due triangoli ABP e
A
+
D
RDE, appartenenti a T1 risulterebbe uguale a quella del triangolo PCR
B
appartenente a T2. Il nuovo confine sarebbe proprio la congiungente
AE.

CASO 4.1
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
Se tale ipotesi non risulta soddisfatta si dovrà analizzare quale
delle due aree risulti maggiore. Se l’area che si ottiene è positiva,
significa che l’area somma dei due triangoli
ABP e RDE (T1),
risulta maggiore di quella del triangolo PCR (T2). Se il confine
fosse quello delimitato dalla congiungente AE, il proprietario T1
perderebbe del terreno. Per compensare la differenza di aree, il
nuovo confine AM, dovrà essere ruotato verso il basso, in modo
tale che l’area del triangolo AME, risulti uguale a quella che si
ottiene dalla formula di Gauss.
P
C
T 1
T 2
R
-
MÊA
D
+
E
M
A
+
S ABCDEA = S AEM
Da questo punto in poi si procede come nel caso n° 4, risolvendo il
B
triangolo AEM per calcolare l’incognita del problema EM

CASO 4.1 APPLICAZIONE
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
T 1
T 2
C
R
E
P
D
M
A
B

CASO 5
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente da un punto in
posizione nota sul confine laterale
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD
angoli A B C D
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
In questo caso è necessario risolvere la poligonale
rispetto ad un sistema cartesiano con origine nel punto M
e semiasse positivo delle X diretto verso A (si considera
MA noto come il primo lato della poligonale). Dopo aver
T 1
calcolato le coordinate, si calcola con Gauss, l’area del
Dˆ
D
contorno poligonale MABCDM (T1). Quest’area dovrà
M
essere uguale a quella del triangolo MDN (T1)
distanza AM nota
S MABCDM = S MDN
Da questo punto in poi si procede come nel caso n° 4,
A
Â
Bˆ
+
Ĉ
C
N
risolvendo il triangolo MDN per calcolare l’incognita del
B
problema DM
T 2

CASO 5
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente da un punto in
posizione nota sul confine laterale
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD
angoli A B C D
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
T 1
T 2
Dˆ
D
M
Dˆ2
NDˆM
Dˆ1
distanza AM nota
A
Â
+
Ĉ
C
N
Bˆ
B

CASO 6
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una
direzione data r
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD
angoli A B C D
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
Per determinare la posizione del nuovo confine MN è
necessario tracciare un confine provvisorio, che non
intersechi il confine poligonale, avente la stessa
P
direzione di r. Sia PD il confine provvisorio prescelto. È
T 1
T 2
necessario prima di tutto risolvere la poligonale ABCD e
D
calcolare con Gauss, l’area del contorno poligonale ABCDA
(T1). Successivamente si deve poi risolvere e calcolare
M
l’area del triangolo PAD (T1). La somma di queste due
aree dovrà essere uguale a quella del trapezio MNDP
A
+
C
sempre appartenente a T1
B
r
N

CASO 6
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una
direzione data r
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD
angoli A B C D
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
P
Pˆ
T 1
T 2
ADˆP
D
M
A
PÂD
 1
+
C
B
r
N

CASO 6
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una
direzione data r
ELEMENTI NOTI
distanze AB BC CD
angoli A B C D
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
P
D
M
P’
T 1
h
A
D’
C
B
r
T 2
N

SPOSTAMENTI

CASO 1
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, uscente da un punto M in
posizione nota sul confine laterale. Metodo grafico
ELEMENTI NOTI
distanze
AB
angoli A B
è nota la distanza AM
Si congiunge M con B e da A si traccia la
parallela ad MB, che interseca il confine
laterale nel punto N.
MN è il nuovo confine rettilineo di
compenso perché i due triangoli MAB e
M
T 1
T 2
b
Bˆ
B
MNB, appartenenti tutti e due al
h
AM nota
proprietario T 1
hanno stessa area (uguale
base b e uguale altezza relativa h)
A
Â
N

CASO 1
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, uscente da un punto M in
posizione nota sul confine laterale. Metodo grafico
ELEMENTI NOTI
distanze
AB
angoli A B
è nota la distanza AM
M
T 1
T 2
b
Bˆ
B
Bˆ2
Bˆ1
h
AM nota
NBˆM
A
Â
N

CASO 2
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
direzione r
ELEMENTI NOTI
distanze
AB
angoli A B
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
METODO DEL TRAPEZIO
Dal punto A si traccia la parallela alla direzione
assegnata r, fino ad intersecare il confine
laterale nel punto C. Si calcola l’area del
T 1
triangolo ACB, appartenente a T2 (passata a
Bˆ
B
T1). Quest’area dovrà essere restituita a T2 in
M
N
forma di trapezio.
A
Â
h
C
SABC = SACNM
ω
r
SACNM = 0.5 x (AC + MN) x h
T 2
Prof. Dagore Ristorini

CASO 2
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
direzione r
ELEMENTI NOTI
distanze
AB
angoli A B
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
T 1
Bˆ
B
M
Bˆ1
N
A
Â
 1
h
Ĉ
C
ω
r
T 2

CASO 2
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
direzione r
ELEMENTI NOTI
distanze
AB
angoli A B
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
F
RISOLUZIONE CON IL T. DEI SENI
Nel caso in cui i due confini laterali si
intersecano nel punto F il problema può
T 1
risolversi calcolando l’area del triangolo ABC
(T1). Quest’area dovrà essere uguale a quella
Bˆ
B
del triangolo FMN (T1) con MN nuovo confine
M
Â
N
parallelo alla direzione data
A
ω
r
T 2

CASO 2
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
direzione r
ELEMENTI NOTI
distanze
AB
angoli A B
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
F
Fˆ
T 1
Bˆ
B
M
Â
Mˆ
Nˆ
N
A
ω
r
T 2

CASO 2.1
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, perpendicolare ad uno dei
confini laterali
ELEMENTI NOTI
distanze
AB
angoli A B
Rispetto al confine laterale ω = 100 c
RISOLUZIONE CON LAFUNZIONETANGENTE
Nel caso in cui la direzione
del nuovo confine è perpendicolare
F
ad uno dei confini laterali, ilproblema
può essere
risolto
Fˆ
facendo
coincidere l'area del triangolo AFB (T1) con quella
del triangolo rettangolo
MFN
S
AFB
in cui FM e MN sono
MN
tan Fˆ =
FM
= S
MFN
1
=
2
- - - - - - >
x FM x MN
due incognite
MN= FM x tan Fˆ
M
Mˆ = 100 c
T 1
Bˆ
B
sostituend o in S
2 x S
MFN
= FM
MFN
2
si ottiene
x tan Fˆ
A
Â
Nˆ
FM =
2 x S
MFN
tan Fˆ
ω = 100 c
T 2
N
FM
cos Fˆ =
FN
- - - - - - >
FN =
FM
cos Fˆ
r
per differenza
con AF e FB si calcolano AM e BN