topografia 3 calcolo delle aree

CALCOLO DELLE AREE

Concetti generali
Metodi numerici
Concetti generali
Area di un triangolo e formula di camminamento
Formula di Erone
Coordinate polari
Coordinate cartesiane
Indice
Metodi grafo numerici
Trilaterazioni e allineamenti
Metodi grafici
Concetti generali
Bezòut
Cavalieri - Simpson
Concetti generali
Trasformazione di un trapezio in un rettangolo equivalente di base data
Integrazione grafica

Concetti generali
In questa unità viene affrontata quella parte dell’agrimensura
che tratta dei metodi di calcolo delle aree delle superfici
agrarie dei terreni
La “superficie agraria” è quella che si ottiene proiettando i
punti della superficie fisica del terreno sul piano orizzontale di
riferimento
Mentre la superficie fisica può subire nel tempo notevoli
variazioni, la superficie agraria si modifica solo se vengono
cambiati i suoi confini
Alla superficie agraria sono riferiti molti parametri
caratteristici di un terreno quali ad esempio la sua produttività
e gli indici di fabbricazione

Concetti generali.
Metodi per il calcolo delle
aree
Il calcolo dell’area della superficie agraria si effettua con metodi:
numerici
grafo numerici
grafici

Concetti generali.
L’ettaro e i suoi sottomultipli ara e
centiara
L’ETTARO (ha) corrisponde a 10000 m 2
ARA (aa) corrisponde a 100 m 2
CENTIARA (ca) corrisponde a 1 m 2
2260 m 2 sono
14135 m 2 sono
ha
0
ha
1
aa
22
aa
41
ca
60
ca
35

METODI NUMERICI PER IL CALCOLO
DELLE AREE

Concetti generali
I metodi numerici o analitici utilizzano per il calcolo delle
aree, angoli e distanze misurate nella esecuzione di un
rilievo. La scelta della procedura geometrica e della
formula da impiegare, dipendono essenzialmente dal tipo di
rilievo effettuato in campagna per definire il contorno
dell’appezzamento

Area di un triangolo e
formula di
camminamento
A
S t
= 0,5 x AB x AC x sen A
B
X
X
B
Bˆ
D
A
Â
X
X
X
C
Ĉ
C
FORMULA DI CAMMINAMENTO
S t
= 0,5 x [AB x BC x sen B + BC x CD x sen C – AB x CD x sen (B + C)]

Formula di Erone
Se sono noti i tre lati di un triangolo l’area si ottiene dalla
“formula di Erone”
S ABC = √ [ p x ( p – AB ) x ( p – BC ) x ( p – CA ) ]
A
in cui
p = ( AB + BC + CA ) / 2
è il semiperimetro
B
C

Coordinate polari
Se da un punto esterno di stazione S si misurano le distanze SA, SB,
SC e gli angoli (SB) e (SC) l’area dell’appezzamento triangolare ABC
si ottiene dalla somma delle aree dei tre triangoli SAB, SBC, SAC
0 C
S ABC
ABC
= S SAB + S SBC – S SAC
A
S SAB = 0,5 x SA x SB x sen (SB)
S SBC = 0,5 x SB x SC x sen [(SC) – (SB)]
B
S SAC = 0,5 x SA x SC x sen (SC)
S
(SB)
(SC)
C

Coordinate polari
0 C
B
AB AB
A
(AC)
AC
C
(AD)
AD AD
D
Se facciamo stazione in uno dei vertici, ad esempio A, e dopo aver orientato il
C.O. su B si misurano le distanze AB, AC, AD e gli azimut (AC) e (AD) si ottiene
S t
= S BAC + S CAD
S BAC = 0,5 x AB x AC x sen (AC)
S CAD = 0,5 x AC x AD x sen [ (AD) – (AC) ]

Coordinate
cartesiane
Y
Note le coordinate cartesiane dei vertici di
un poligono l’area si può calcolare applicando
B
la “formula di Gauss”
C
A
X
S ABC = 0.5 x [ y a x (x b - x c ) + y b x (x c - x a ) + y c x (x a – x b ) ]
L’area assume un segno diverso (+/(
+/-) ) se il poligono considerato è
percorso in senso orario o antiorario

Coordinate
cartesiane
Y
B
A
C
X
D
S ABC = 0.5 x [ y a x (x d - x b ) + y d x (x c - x a ) + y c x (x b – x d ) + y b x (x a – x c ) ]

Coordinate
cartesiane
Y
B
C
Yc
D
A
Yb
Yd
S ABCD
ABCD
= (S A’ABB’ + S B’BCC’ + S C’CDD’ ) – S A’ADD’
O
Ya
A’ B’
C’ D’
Xa
Xb
Xc
Xd
X
S A’ABB’ = 0,5 x [(Y a
+ Y b
) x (X b
- X a
)]
S B’BCC’ = 0,5 x [(Y b
+ Y c
) x (X c
- X b
)]
S C’CDD’ = 0,5 x [(Y c
+ Y d
) x (X d
- X c
)]
S A’ADD’ = 0,5 x [(Y a
+ Y d
) x (X d
- X a
)]

Trilaterazioni e
allineamenti
Se un appezzamento è stato rilevato per
trilaterazione, misurandone tutti i lati, l’area totale
si ottiene sommando le aree dei triangoli in cui è
stato diviso l’appezzamento in fase di rilievo. Per il
calcolo delle aree triangolari si applica la formula di
AB
B
BC
C
Erone
A
BD BD
S ABCD
ABCD
= S ABD + S BCD
DC DC
S ABD = √ [p p x (p –AB) x (p – BD) x (p – AD)]
AD
S BCD = √ [p p x (p –BC) x (p – DC) x (p – BD)]
D

Trilaterazioni e
allineamenti
C
S ABCD
ABCD
= S ABB’ + S B’BCC’ + S C’CD + S AE’E + S EE’D
B
S ABB’ = 0,5 x AB’ x B’B
S B’BCC’ = 0,5 x (B’B + C’C) x B’C’
S C’CD = 0,5 x C’D x C’C
A
B’
E’
C’
D
S AE’E = 0,5 x AE’ x E’E
S EE’D = 0,5 x EE’ x E’D
E

METODI GRAFO - NUMERICI PER IL
CALCOLO DELLE AREE

Concetti generali
I metodi grafo –
numerici consentono, di calcolare l’area di
appezzamenti rappresentati graficamente. Questi metodi sono più
rapidi ma anche meno precisi di quelli numerici. Infatti la loro
precisione risente, oltre che degli eventuali errori commessi nelle
misure prese sul terreno per costruire la mappa, anche delle inevitabili
approssimazioni sia della rappresentazione grafica che delle
grandezze su di essa misurate. Conviene applicare questi metodi ad
appezzamenti con contorno parzialmente o totalmente curvilineo.

Scale di rappresentazione
grafica
SCALA
CARTA
REALTA’
1 : 100
100 cm
1 m
1 : 1000
1000 cm
10 m
1 : 2000
1 : 5000
1 cm
2000 cm
5000 cm
20 m
50 m
1 : 10000
10000 cm
100 m
1 : 25000
25000 cm
250 m

Formula di Bézout
Supponiamo di dover calcolare l’area dell’appezzamento ABCD, con BC curvilineo.
Si divide AD in n parti uguali di lunghezza d e dai punti di divisione si tracciano le
ordinate y 0
, y 1
, y 2
, ......... Y n
. Si sostituiscono gli archi di ogni striscia (trapezio
mistilineo) con le corde. L’appezzamento risulta così diviso in trapezi rettangoli
di stessa altezza d. . Più piccola è l’altezza più la corda approssima l’arco che
sostituisce migliorando il calcolo finale dell’area dell’appezzamento
B
C
y 0 y 1 y 2 Y n -1 Y n
A
d d d
D

Formula di Bézout
B
C
y 0
y 1
y 2
Y n -1
Y n
A
d d d
L’area si ottiene dalla formula
D
S = 1/2 x (y 0
+ y 1
) x d + 1/2 x (y 1
+ y 2
) x d + ...... + 1/2 x (y n-1
+ y n
) x d
considerando che l’altezza d è comune a tutti i termini e che le ordinate y 0
e y n
compaiono una sola
volta divise per 2, semplificando di ottiene la formula di Bézout
S = d x [ 1/2 x (y o
+ y n
) + y 1
+ y 2
+ ...... + y n-1
]
se le ordinate estreme sono nulle la precedente formula diventa
S = d x ( y 1
+ y 2
+ ...... + y n-1
)

Formula di Bézout
B
C
A
Y ’ 1
Y ’ 2
Y ’ 3
Y ’ n - 1
B’
C’
A’
B’’
C’’
Nel caso di appezzamenti totalmente curvilinei, l’area si
ottiene dalla formula
S = d x ( y ’ 1
+ y ’ 2
+ ...... + y ’ n-1
)

Formula di
Cavalieri - Simpson
B
C
S 1
S 2
y 0 y 1 y 2 Y n
A
d d d
2d
D
Vogliamo calcolare l’area dell’appezzamento parzialmente curvilineo ABCD. Si
procede come con Bézout dividendo la base AD in un numero pari di intervalli n
di stessa ampiezza d. L’area totale si ottiene dalla somma delle aree parziali di
due trapezi mistilinei adiacenti di altezza 2d. L’area S 1
della prima coppia è
data dalla somma di due aree parziali: quella del trapezio rettangolo di basi y o
e y 2
più l’ area del settore parzialmente curvilineo. Quest’ultima si può ritenere
uguale ai 2/3 dell’area del parallelogramma che circoscrive il settore s
curvilineo

Formula di
Cavalieri - Simpson
L’area S 1
si ottiene dalla relazione
S 1
= 1/2 x (y o
+ y 2
) x 2d + 2/3 x [ y 1
– (y o
+ y 2
) / 2 ] x 2d
B
effettuando i prodotti e raccogliendo d/3 si ottiene
S 1
= 1/3 x d x (y o
+ 4y 1
+ y 2
)
indicando con S 2
, S 3
, ...... Le aree delle successive coppie possiamo
scrivere per analogia
S 2
= 1/3 x d x (y 2
+ 4y 3
+ y 4
)
y 0 y 1 y 2
S 3
= 1/3 x d x (y 4
+ 4y 5
+ y 6
)
S 1
Sommando tra loro le aree parziali si ottiene la formula di
Cavalieri – Simpson che permette il calcolo dell’area totale
S = 1/3 x d x [y o
+ y n
+ 4(y 1
+ y 3
+ ...) + 2(y 2
+ y 4
+ ...)]
A
d
2d
d

METODI GRAFICI PER IL CALCOLO
DELLE AREE

Concetti generali
I metodi grafici per il calcolo delle aree consistono nel
trasformare appezzamenti di forma poligonale in
triangoli o rettangoli equivalenti. Dei triangoli e
rettangoli viene scelta dal tecnico la base e
determinata graficamente, mediante opportune
costruzioni, l’altezza

Trasformazione di un trapezio in un
rettangolo equivalente di base data
F
B
N
C
G
h
h
O b
E A M D
Scelta in maniera conveniente la base b del rettangolo, l’incognita del problema è la sua altezza
h. . Il valore di h deve essere tale che, se moltiplicata per la base fissata, il rettangolo r
sia
equivalente al trapezio dato ABCD

Trasformazione di un trapezio in un
rettangolo equivalente di base data
F
B
N
C
G
h
h
O b
E A M D
Costruzione grafica
si traccia la base media MN = (AB + CD)/2
si proietta N sulla verticale per E individuando il punto F
si congiunge F con O
da A si traccia la parallela ad OF fino ad incontrare in G la base CD del trapezio
h = GD è l’altezza cercata

Trasformazione di un trapezio in un
rettangolo equivalente di base data
F
B
N
C
G
h
h
O b
E A M D
Si deve dimostrare quindi che il rettangolo b x h, , ottenuto dalla costruzione grafica è equivalente al trapezio
ABCD. Dalla similitudine dei due triangoli rettangoli OEF e ADG si ottiene che:
AD : h = b : EF
b x h = AD x EF
EF = MN = (AB + CD)/2
b x h = AD x (AB + CD)/2

Integrazione grafica
D
C
Il rettangolo è equivalente
all’appezzamento poligonale
ABCDE
B
b
A
E
Si definisce integrazione grafica il metodo con il quale un poligono viene
trasformato in un rettangolo equivalente di base data

Integrazione grafica
D
C
B
h 2
h 3
h 1
O
b
A
E
Ipotizziamo di dover calcolare l’area dell’appezzamento poligonale le ABCDE. Scelta in maniera conveniente
la base b del rettangolo, base di integrazione, , si divide il poligono in figure semplici (triangoli e trapezi).
Applicando il procedimento di trasformazione “di“
un trapezio in un rettangolo equivalente” ” si
determinano le altezze h 1
, h 2
, ....... di ogni figura semplice in cui risulta divisa l’area poligonale p
ABCDE

Integrazione grafica
D
C
B
S 3
S 2
S 1
h 2
h 3
h 1
O
b
A
E
Le aree parziali si calcolano moltiplicando le altezze h 1
, h 2
, h 3
, ......, per la base b
S 1
= b x h 1
S 2
= b x h 2
S 3
= bx h 3
sommando le aree parziali si ottiene l’area totale dell’appezzamento ento poligonale ABCDE
S t
= S 1
+ S 2
+ S 3
= b x h 1
+ b x h 2
+ b x h 3
= b x ( h 1
+ h 2
+ h 3
) = b x H
in cui H è l’altezza totale del rettangolo equivalente che si ottiene tiene sommando le altezze parziali
H = h 1
+ h 2
+ h 3
+ ......

Integrazione grafica
D
C
H
linea integrale
B
2
H = h 1
+ h 2
+ h 3
h 1 + h 2
1
h 1
O
b
A
E
L’altezza totale H si ottiene graficamente riportando dall’estremo 1 il segmento
inclinato che permette di individuare l’altezza parziale h 2
, e successivamente dal
punto 2 il segmento inclinato che individua l’altezza h 3