topografia 1 forma della terra

FORMA DELLA TERRA

GEODESIA
Scienza che studia la forma e le dimensioni della Terra, la
determinazione della posizione dei punti sulla sua superficie, la l
determinazione del campo della gravità e le variazioni nel tempo
FORMA DELLA TERRA
Geodesia e Cartografia
di tali grandezze
CARTOGRAFIA
Tecnica costituita dalle operazioni necessarie all’elaborazione,
all’allestimento e all’utilizzazione di carte che rappresentano
in scala, porzioni più o meno estese della superficie terrestre

Lo scopo di una carta geografica è quello di rappresentare sul
piano aree più o meno estese della superficie terrestre che come
ben sappiamo, in realtà, non è affatto piana né regolare. La carta
geografica deve comunque fornire la concezione il più realistica
ed efficace possibile di ciò che si vuole raffigurare.
FORMA DELLA TERRA
Geodesia e Cartografia
La superficie della Terra ha una forma irregolare, così come è
irregolare la distribuzione delle masse che compongono il globo
terrestre. Per poter rappresentare la superficie fisica della
Terra è stato necessario assumere una forma ideale di tale
superficie che corrispondesse alle regole della matematica e della
geometria

Immaginiamo per ora che il nostro
pianeta sia costituito da una massa
omogenea di forma sferica in
rotazione attorno ad un asse
v
passante per i poli. Un punto sulla
N
superficie è sottoposto alla forza
d
Fc
newtoniana Fn, di intensità costante
Fn
e diretta verso il centro della Terra,
Fg
FORMA DELLA TERRA
Geoide
e alla forza centrifuga Fc, dovuta alla
rotazione terrestre e di intensità
O
equatore
E
proporzionale alla distanza del punto
dall’asse di rotazione. La risultante di
asse di
rotazione
queste due forze è la forza di gravità
S
Fg che risulta massima ai poli e
minima all’equatore. L’insieme delle
forze Fg viene chiamato campo
gravitazionale terrestre

Se consideriamo ora la superficie
terrestre deformabile è evidente che essa
assume, sotto l’azione del campo
gravitazionale, una forma non sferica ma
leggermente schiacciata ai poli dove Fg
assume il valore massimo. La direzione per
P
ogni punto della superficie terrestre della
g 1
FORMA DELLA TERRA
Geoide
forza di gravità viene detta verticale. Se ci
si sposta lungo tale verticale la forza di
g 3
g 2
gravità si modifica in direzione e valore; ne
consegue che la verticale non ha un
andamento rettilineo ma leggermente
curvato. Le superfici che in ogni punto della
superficie terrestre sono perpendicolari
alla verticale in quel punto sono chiamate
superfici equipotenziali o di livello

La superficie equipotenziale posta al
livello medio del mare, considerata priva
di perturbazioni e immaginata prolungata
al di sotto dei continenti in modo da
mantenersi sempre perpendicolare alle
verticali, viene assunta come forma della
Terra e ad essa viene dato il nome di
FORMA DELLA TERRA
Geoide
Geoide. Tutti i punti che si trovano su
questa superficie ideale hanno stessa
quota.
Uno dei problemi della Geodesia è quella
di determinare la forma esatta del
Geoide: tale determinazione è complicata
dal fatto che la sua forma non dipende
solo dalla forza di gravità ma anche da
altre forze

Si definisce “quota ortometrica o assoluta” la
distanza Q p
misurata lungo la verticale tra il
punto P, posto sulla superficie fisica, ed il
corrispondente punto proiezione P o sul Geiode
FORMA DELLA TERRA
Quota ortometrica
v
geoide
P
Q P
P O

Effettuare misure e calcoli sul Geoide è una
operazione complessa. Si è quindi deciso a
N
livello internazionale di adottare, ma solo
per le misure di tipo planimetrico, una
superficie di riferimento molto più
b
FORMA DELLA TERRA
Ellissoide
semplice: l’Ellissoide
di rotazione terrestre.
Questa superficie, generata dalla rotazione
di un ellisse di semiassi a e b intorno all’asse
di rotazione terrestre, approssima molto
bene il Geoide con uno scostamento della
a
quota che non supera i 50 – 100 m. Per le
quote dei punti ci si riferisce comunque
S
sempre al Geoide

A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non
coincide con la normale N all’Ellissoide. Le due direzioni
formano un angolo δ detto di deviazione della verticale. È
chiaro che per definire esattamente la forma dell’Ellissoide
è necessario scegliere i valori del semiasse maggiore o
equatoriale, di quello minore o di rotazione e lo
FORMA DELLA TERRA
Ellissoide
schiacciamento ai poli

Gli Ellissoidi di riferimento sono così vicini all’essere sferici
che possono anche essere chiamati sferoidi. Diversi Ellissoidi
sono stati utilizzati come superfici di riferimento, a seconda
della regione interessata alla rappresentazione grafica e a
FORMA DELLA TERRA
Ellissoide e sferoide
causa del variare della curvatura della Terra. L’Ellissoide
prescelto è posizionato in modo che nella zona centrale da
cartografare, la verticale al Geoide e la normale all’Ellissoide
coincidano (scostamento nullo). Questo punto centrale è
denominato datum

anno
semiasse a
semiasse b
schiacciamento α
zona
Everest
1830
6377276,345
6356075,413
1/300,80
India
Bessel
1841
6377397,15
6356078,96
1/299,15
Europa, Giappone
Clarke
1880
6378249,20
6356515,00
1/293,46
Francia
Helmert
1906
6378200,00
6356818,17
1/298,40
FORMA DELLA TERRA
Ellissoidi
Hayford
1909
6378388,00
6356912,00
1/297,00
Usa, Italia
International
1924
6378388,00
6356911,94
1/297,00
Krassowsky
1942
6378245,00
6356863,02
1/298,30
Urss
Fischer
1980
6378160,00
6356774,72
1/298,25
Nad 83
1983
6378137,00
6356752,30
1/298,25
Usa
WGS 84
1984
6378137,00
6356752,31
1/298,25
GPS

L’Ellissoide di rotazione è una superficie che si può considerare
formata da due distinte famiglie di curve: i paralleli (circonferenze) e i
meridiani (semi ellissi). Tali curve si intersecano tra loro ad angolo
retto. La posizione di un punto sull’Ellissoide può essere determinata
fornendo il valore del parallelo e del meridiano a cui appartiene. Per
FORMA DELLA TERRA
Coordinate geografiche
individuare il parallelo sarà sufficiente conoscere la latitudine
geografica, cioè l’angolo
φ formato dalla normale per il punto e il piano
equatoriale. Tale angolo è positivo se il punto si trova tra l’equatore e il
polo nord, negativo se si trova tra equatore e polo sud. Il meridiano è
invece individuato dalla longitudine geografica, cioè dall’angoloangolo λ che si
forma tra il piano contenente il meridiano passante per il punto e il
piano per il meridiano assunto come origine, passante per Greenwich

La longitudine è positiva andando verso est
e varia da 0 o a 180 o . Nella stessa maniera
è possibile definire la latitudine e la
longitudine astronomica, angoli che
P’
h
P
permettono di individuare la posizione dei
FORMA DELLA TERRA
Coordinate geografiche
punti della superficie terrestre sul Geoide.
I valori delle coordinate astronomiche
λ
φ
variano, anche se di poco, rispetto ai valori
delle coordinate geografiche perchè la
normale all’Ellissoide e la verticale al
Geoide non coincidono
Prof. Dagore Ristorini

origine delle coordinate coincidente con il centro di massa della Terra
asse Z diretto verso il Polo Nord
asse delle X è l’intersezione tra il meridiano zero (quello passante per
Greenwich) con il piano equatoriale
l’asse delle Y completa una terna ortogonale destrorsa e giace sul piano
equatoriale
Z
FORMA DELLA TERRA
Coordinate geocentriche
P
O
Z p
X
Y p
P’
Y

La verticale passante per un punto P posto sulla
FORMA DELLA TERRA
Zenit e Nadir
superficie fisica presenta due direzioni: una tende
verso l’esterno della Terra a un punto detto Zenit,
l’altra verso l’interno verso un punto detto Nadir. Il
piano tangente al geoide/ellissoide nel punto P viene
definito piano orizzontale

Per la sola parte planimetrica, si è dimostrato che in una zona
di circa 100 km intorno ad un punto P della superficie
terrestre, si può sostituire all’ellissoide una sfera tangente in
P all’ellissoide stesso. Questa superficie è chiamata “campo campo
geodetico o sfera locale”. All’interno di questa superficie le
figure ellissoidiche possono essere risolte utilizzando la
FORMA DELLA TERRA
Sfera locale
trigonometria sferica (sostituendo il triangolo ellissoidico con
un triangolo sferico).
L’approssimazione che si ottiene con questa sostituzione è
compatibile con la precisione degli strumenti topografici,
relativamente ai soli rilievi planimetrici, mentre non lo è per la
parte altimetrica per la quale gli errori sono già inaccettabili
per distanze superiori ai 20 km

Se i lati del triangolo sferico sono inferiori a 200 km è possibile
applicare il T. di Legendre che permette una semplificazione dei
calcoli:
“I triangoli sferici, con lati inferiori ai 200 km, sono risolvibili
assimilandoli a triangoli piani equivalenti aventi per lati gli stessi
FORMA DELLA TERRA
Sfera locale
Teorema di Legendre
lati del triangolo sferico e per angoli quelli del triangolo sferico,
ridotti ciascuno do 1/3 dell’eccesso sferico (nei triangoli sferici la
somma degli angoli interni è sempre maggiore dell’angolo piatto e
la differenza è definita eccesso sferico)”
Questo teorema permette, di risolvere un triangolo sferico come
se fosse piano applicando quindi le formule risolutive della
trigonometria piana

Se si restringe il campo operativo in modo che le distanze misurate rispetto
al piano tangente in P alla sfera locale possano ritenersi coincidenti con
quelle misurate sulla sfera locale ed in modo che la somma degli angoli
interni risulti uguale a 180° (eccesso sferico nullo), si potrà operare, per la
sola planimetria, come se la Terra fosse piana.
Il campo operativo entro il quale ciò è possibile viene chiamato “campo
topografico” e “distanza topografica” è quella che si ottiene tra le due
FORMA DELLA TERRA
Campo topografico
proiezioni dei punti sul piano. Il campo topografico può essere esteso, senza
commettere errori sensibili, sino a 20 – 25 km di raggio intorno al punto P di
tangenza.
In altimetria la coincidenza tra sfera locale e campo topografico è molto più
ristretta. Per distanze superiori ai 200 m di raggio intorno a P gli errori
cominciano ad essere non trascurabili. L’errore che si commette nella
determinazione della quota dei punti è chiamato errore di sfericità “e”. Il
suo valore può ottenersi dalla formula e = d 2 /2R, in cui d è la distanza
misurata sul campo topografico e R il raggio della sfera locale

FORMA DELLA TERRA
Superfici a confronto

Si è visto che in Topografia non interessa la distanza reale tra due punti,
bensì quella proiettata sulle superfici di riferimento. Con gli strumenti a
disposizione il tecnico è però in grado di determinare la distanza reale d r e
quella orizzontale d o . Si devono quindi determinare le relazioni che
intercorrono tra distanza reale (o inclinata), distanza orizzontale e distanza
topografica. Se consideriamo due punti A e B, all’interno del campo
FORMA DELLA TERRA
Riduzione delle distanze
topografico, nota la distanza d r , la distanza orizzontale rispetto ad un piano
passante per A, si ottiene dalla relazione: d o = d r
x cos α (si considera
l’angolo in B o come retto). Per ottenere la distanza topografica d T , si riduce
la distanza orizzontale d o sul campo topografico tangente alla sfera locale e
la distanza si ottiene dalla formula d T = d o x R/(R + Q). La correzione è
tanto più grande quanto maggiore è la quota dei punti considerati.
Ovviamente per Qa = 0 m distanza orizzontale e topografica coincidono

B
A
α
d r
d o = d r x cos α B 0
Q a
FORMA DELLA TERRA
Riduzione delle distanze
A’
d t
B 1
campo topografico
R
0