บทที่ 3. Central Force Motion - ภาควิชาฟิสิกส์ - มหาวิทยาลัยขอนแก่น

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 3 Central Force Motion 3-1 

θ 

เนือหา 

3.1 Center of Mass และ Reduced Mass 

3.2 สมการของ Central Force Motion 

3.3 Kepler's Problem 

3.4 Orbit Dynamics 

3.5 บทสรุป 

3.6 ปัญหาท้ายบท 

3 Central Force Motion 

ปรากฏการณ์การเคลืNอนทีNของดาวเคราะห์ นับเป็นความสําเร็จอย่างหนึ Nงของวิชากลศาสตร์ ทีN 

สามารถวิเคราะห์และทํานายการโคจรของดวงดาวได้อย่างแม่นยํา และเนื Wอหาในบทนี W เราจะได้ทํา 

ความรู้จักกับขั Wนตอนในการวิเคราะห์ระบบทางกลศาสตร์ ทีNเรียกว่า central force motion 

ระบบของดวงอาทิตย์ และ ดาวเคราะห์ 

Central Force คือแรงทีอยู 

่ในแนวเส้นตรง ระหว่างมวลทั 

งสองเสมอ 

ภาพ (3.1) แสดงรูปแบบของแรงทีNเรียกว่า central force ซึ Nงก็คือแรงทีNมีลักษณะอยู ่ใน 

แนวเส้นตรง ระหว่างมวลทั Wงสองเสมอ อาทิเช่น แรงโน้มถ่วงระหว่างดวงอาทิตย์และดาว 

เคราะห์ 

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft May 2012

W 


เมืNอพิจารณาระบบทีNประกอบด้วยมวล 2 อัน ยกตัวอย่างเช่น ดวงอาทิตย์และโลก จะพบว่าแรง 

โน้มถ่วงทีNมวลทั Wงสองกระทําต่อกันนั Wน มีทิศในแนวรัศมี หรืออีกนัยหนึ Nง ในแนวเส้นตรงทีNลาก 

ระหว่างมวลทั Wงสองเสมอ ดังแสดงในภาพ (3.1) เราเรียกแรงทีNมีลักษณะเช่นนี Wว่า central force 

หัวใจสําคัญของเนื Wอหาในบทนี W ก็เพืNอให้นักศึกษาสามารถใช้กลศาสตร์ ในการวิเคราะห์ระบบของ 2 

อนุภาค ทีNมีแรงกระทําต่อกันในลักษณะทีNเรียกว่า central force อาทิเช่น การเคลืNอนทีNของดาว 

เคราะห์รอบดวงอาทิตย์ หรือการโคจรของดาวเทียมรอบโลก โดยเราแบ่งเนื Wอหาออกเป็นหัวข้อ 

ย่อยดังต่อไปนี 

หัวข้อ 3.1 Center of Mass และ Reduce Mass จะเป็นการปูพื WนฐานทีNสําคัญในการวิเคราะห์ระบบ นั Nน 

ก็คือการสร้างกรอบอ้างอิง หรือ frame of reference ทีNเหมาะสม ทั Wงนี Wการเลือกกรอบอ้างอิงทีN 

เหมาะสม จะเป็นการลดความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ เพืNอความสะดวกในการวิเคราะห์ในอนาคต 

หัวข้อ 3.2 สมการของ Central Force Motion จะได้กล่าวถึงสมการหลักทีNจะเป็นตัวกําหนดพฤติกรรม 

การเคลืNอนทีNของมวลทั Wงสอง อันเนืNองมาจากอิทธิพลของ central force ทีNมวลทั Wงสองกระทําต่อกัน 

ตลอดจนบทพิสูจน์การได้มาซึ Nงสมการดังกล่าว ทีNเราจะใช้ Lagrange mechanics เป็นหลัก 

หัวข้อ 3.3 Kepler's Problem เพืNอเป็นการแสดงให้เห็นถึงศักยภาพของสมการของ central force 

motion เราจะได้นําสมการทีNควบคุมพฤติกรรมการเคลืNอนทีNดังกล่าว มาประยุกต์ในการศึกษากฎทั Wง 

3 ข้อของ Kepler ทีNว่าด้วยการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ นอกจากนี W ในการวิเคราะห์การ 

เคลืNอนทีNดังกล่าว เราจําเป็นต้องทบทวนทฤษฏีบททางคณิตศาสตร์ทีNเรียกว่า conic section อีกด้วย 

หัวข้อ 3.4 Orbit Dynamics แสดงให้เห็นถึงความหลากหลายของการนําสมการของ central force 

motion มาประยุกต์ใช้กับสถานการณ์ต่างๆ อาทิเช่น การย้ายวงโคจรของดาวเทียม เงืNอนไขของ 

การทําให้กระสวยอวกาศ หลุดจากวงโคจรของโลก เพืNอเดินทางไปสํารวจดาวดวงอืNน หรือ 

แม้กระทั NงการเคลืNอนทีNรอบกันและกันของดาวแฝดทีNเรียกว่า binary stars เป็นต้น 

Section 3.1 Center of Mass และ Reduced Mass 

เมืNอต้องการวิเคราะห์การเคลืNอนของระบบ สิ NงแรกทีNนักฟิสิกส์ต้องกําหนดขึ Wน ก็คือ กรอบอ้างอิง หรือ 

frame of reference ถึงแม้กรอบอ้างอิงดังกล่าว เป็นเพียงกลไกในการบ่งชี Wตําแหน่งของอนุภาคทั Wง 

สองในขณะทีNมันกําลังเคลืNอนทีN แต่การเลือกกรอบอ้างอิงทีNเหมาะสม จะทําให้กลไกการแก้สมการ 



ทางคณิตศาสตร์ ลดความซับซ้อนลงไปมากทีเดียว 

ในระบบทีNประกอบด้วยหลายอนุภาค อาทิเช่นขวดเบียร์ทีNประกอบด้วยอะตอมจํานวนมหาศาล หรือ 

แม้กระทั Nงระบบของ 2 อนุภาคซึ Nงประกอบด้วยดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์ก็ตาม ทางเลือกหนึ Nงใน 

การกําหนด frame of reference ก็คือการกําหนดให้ "จุดศูนย์กลางมวล" ของระบบดังกล่าว เป็นจุด 

กําเนิด นั Nนเอง 

Center of Mass 

ในขั Wนต้นนี Wเราจะทบทวนทําความเข้าใจกับ center of mass หรือทีNเรียกว่า จุดศูนย์กลางมวล ของระบบ 

ตลอดจนศึกษาการนําเอากฎข้อสองของ Newton มาประยุกต์ใช้กับระบบทีNประกอบด้วยหลายอนุภาค 

Center of Mass ของวัตถุรูปทรงสมมาตร 

m 2 

Center of Mass ของระบบหลายอนุภาค 

m 1 

m 3 

r r cm 

2 

r 

 

 

 

m 

1 

1r1 + m2r2 

+ ⋯ 

r 

cm 

= 

m 

+ m 

+ 

⋯ 

1 2 

ภาพ (3.2) แสดง center of mass หรือ จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุรูปทรงสมมาตร และมี 

เนื Wอเดียวกัน ในกรณีดังกล่าว center of mass จะอยู ่ ณ จุดศูนย์กลางของวัตถุพอดี แต่ใน 

กรณีทีNวัตถุมีเนื Wอไม่สมํ Nาเสมอ หรือ ระบบประกอบด้วยหลายอนุภาค เราสามารถ 

คํานวณหา จุดศูนย์กลางมวลของระบบได้ดังสมการ 

ดังแสดงในภาพ (3.2) center of mass ของวัตถุทีNมีรูปทรงสมมาตร และมีเนื Wอเดียว จะตั Wงอยู่ ณ 

ตําแหน่งกึ Nงกลางของวัตถุพอดี นี Wเองจึงเป็นการเหมาะสมทีNเราเรียก ตําแหน่งดังกล่าวว่า "จุด 

ศูนย์กลางมวล" ในกรณีทีNวัตถุมีเนื Wอไม่สมํ Nาเสมอ หรือ ระบบประกอบด้วยหลายอนุภาค จุด 

ศูนย์กลางมวล สามารถคํานวณได้จาก 


W 


 


1 1 2 2 3 3 

r = 

cm 

 

m r + m r + m r + ⋯ 

M 

เมืNอ M = m1 + m2 + m3 

+⋯ 

________________________ สมการ (3.1) 

ตําแหน่งของ center of mass ดังปรากฏในสมการข้างต้น นอกจากจะเป็นตําแหน่งซึ Nงเป็นเสมือน 

ตัวแทนของวัตถุทั Wงก้อน ยังมีความสําคัญเป็นอย่างยิ Nงในการวิเคราะห์การเคลืNอนทีNของวัตถุโดย 

อาศัยกลศาสตร์ของ Newton 

ทีNผ่านมา เราวิเคราะห์การเคลืNอนทีNของวัตถุโดยประมาณอย่างหยาบว่า วัตถุเป็นเสมือนจุดอนุภาค ทีN 

ไม่มีขนาดหรือรูปทรง ในกรณีเช่นนี W กฎข้อ 2 ของ Newton ทีNว่า 

2 

d 

= = F 

 

a r net 

2 

dt m 

ความเร่งของอนุภาคดังกล่าว แปรผันตามแรงลัพธ์ และ แปรผกผันกับมวลของมัน 

นัNนคือ 

แต่ในกรณีทีNวัตถุมีรูปทรง คําว่าตําแหน่งของวัตถุดูจะคลุมเครือ ไม่ชัดเจนเหมือน คําว่าตําแหน่ง 

ของอนุภาค คําว่าแรงทีNกระทํากับวัตถุก็ตีความได้ลําบาก เพราะวัตถุอาจมีส่วนประกอบหลายชิWน 

ซึ Nงแต่ละชิWนอาจจะมีแรงกระทํากับมัน ได้แตกต่างกัน 

เพืNอความชัดเจน เราจะเขียนกฎข้อ 2 ของ Newton ในกรณีของวัตถุทีNมีรูปทรง ดังต่อไปนี W 

 

a 

cm 

2 

d 

= 

2 cm = F 

 

 

r 

dt M 

(ext) 

net 


กล่าวคือ ความเร่ง a cm ของวัตถุ ให้ถือเอา ความเร่งของตําแหน่งทีNเป็น center of mass ของวัตถุทั Wง 

(ext) 

ชิWนเป็นหลัก ในขณะทีNแรง F net มีความหมายถึงแรงภายนอก (external force) ทีNกระทํากับวัตถุ 

โดยมิได้นับรวมถึงแรงภายใน ทีNส่วนประกอบแต่ละชิWนของวัตถุทั Wงก้อน กระทําต่อกัน และสุดท้าย 

M คือ มวลทั Wงหมดของวัตถุนั Nนเอง 

เพืNอทีNจะเข้าใจนัยสําคัญของสมการ (3.2) ได้ดียิ Nงขึ Wน เราจะแสดงตัวอย่างโจทย์ของคนทีNเดินอยู ่บน 

เรือ ดังต่อไปนี 

ตัวอย่างโจทย์ 

Jack มีมวล 45 kg ยืนนิNงอยู่บนเรือซึ Nงมีมวล 60 kg ถ้าเขาเดินมายังจุดสุดท้ายดังในภาพ เรือจะ 



เคลืNอนทีNอย่างไร และเป็นระยะทางเท่าใด 

เริมต้น สุดท้าย 

1m 

3m 

1m 

วิธีทํา ถ้าเรากําหนดให้ระบบทีNกําลังพิจารณา ประกอบด้วย Jack และ เรือ เข้าด้วยกัน โดยมีมวล m 1 

และ m 2 ตามลําดับ จะได้ว่า ในขณะเริ Nมต้น เนืNองจากส่วนประกอบทั Wงสองหยุดนิ Nง center of mass 

ของระบบ ก็หยุดนิ Nงด้วยเช่นกัน 

เมืNอ Jack เริ Nมเดิน จริงอยู ่ว่ามีแรงระหว่างเท้าของ Jack และ ตัวเรือ แต่จากคํานิยามของระบบ 

แรงเหล่านี Wถือเป็น แรงภายในทั WงสิWน เพราะฉะนั Wน แรงภายนอก หรือ external force ทีNกระทํากับ 

(ext) 

ระบบ ดังในสมการ (3.2) ถือว่าเป็นศูนย์ หรือ F net = 0 เมืNอเป็นดังนี W ความเร่งของจุด 

ศูนย์กลางมวลมีค่าเป็นศูนย์ด้วยเช่นกัน ดังนั Wนเรากล่าวได้ว่า 

center of mass r 

cm 

จุดสุดท้ายก็ตาม 

ของระบบ จะต้องหยุดนิ Nง อยู่ทีNเดิม ไม่ว่าก่อน หรือ ภายหลังทีN Jack เดินมายัง 

ตําแหน่ง center of mass 

a 

x = 0 

S = 

x = 0 

d 

a 

ก่อนเดิน 

หลังเดิน 

จากภาพสมมุติให้เรือมีความยาว d ดังนั Wนเราสามารถมองเรือทั Wงลําว่าเป็นจุดอนุภาค ซึ Nงมีมวล m 2 

(before) 

และตั Wงอยู่จุดศูนย์กลางมวลของเรือพอดี หรือ x = ในทํานองเดียวกัน เราแทน Jack 

ด้วยจุดอนุภาคซึ Nงมีมวล m 1 ซึ Nงจากโจทย์กําหนดให้ ตั 

2 

d 

2 

(before) 

Wงอยู่ ณ ตําแหน่ง x 

1 

= a 



ดังนั Wนจากสมการ (3.1) center of mass ของระบบก่อนเดิน มีค่าเท่ากับ 

x 

(before) 

cm 

m1a 

+ m2 

= 

m + m 

1 2 

d 

2 

เมืNอ Jack เดินมายังอีกฟากหนึ Nงของเรือ เพืNอรักษาให้ center of mass ของระบบอยู ่ ณ ตําแหน่งเดิม 

เรือทั Wงลําจะต้องถอยหลังมาเป็นระยะทาง S ซึ Nงเราจะทําการแก้หาผลเฉลย ในลําดับต่อไป 

จากการวิเคราะห์เชิง เรขาคณิต จะได้ว่าตําแหน่งของ m 2 ภายหลังจากการเดิน ก็คือ 

x 

(after) 

2 

d 

(after) 

= − S + ในขณะทีNตําแหน่งของ Jack ก็คือ x1 

S d a 

2 

สมการ (3.1) เราบอกได้ว่า จุดศูนย์กลางมวลของระบบก็คือ 

= − + − เพราะฉะนั Wน อาศัย 

x 

(after) 

cm 

⎛ 

m1 ( − S + d − a) 

+ m2 

⎜ − S + 

= 

⎝ 

m + m 

1 2 

จากทีNกล่าวไปแล้วว่า เนืNองจากแรง external force หรือ แรงลัพธ์จากภายนอกระบบเป็นศูนย์ 

center of mass จะต้องหยุดนิ Nง ดังนั Wนเราสามารถสร้างสมการ 

d 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

x 

(before) 

cm 

= x 

(after) 

cm 

d 

⎛ d ⎞ 

m a m m ( − S + d − a) 

+ m − S + 

2 

2 

= 

⎝ ⎠ 

m + m m + m 

1 + 2 1 2 ⎜ ⎟ 

1 2 1 2 

และเมืNอทําการแก้สมการ เพืNอหาผลเฉลยของระยะ S จะได้ว่า 

m d a 

S = 

m + m 

1 ( − 2 ) 

1 2 

ตอบ 

แบบฝึ กหัด 3.1 ณ เวลาเริNมต้น กล่องมวล m 1 วางอยู ่บนฐานสามเหลีNยมมวล m 2 และสูง h ซึ Nงวาง 

อยู่บนพื WนทีNไม่มีแรงเสียดทาน อีกทอดหนึ Nง เมืNอปล่อยให้เคลืNอนทีNกล่องไถลโดยปราศจากแรงเสียด 

ทานมาทีNแนวระดับพื Wนดิน จงหาว่าฐานสามเหลีNยม จะเคลืNอนทีNอย่างไร และระยะทางเท่าใด 



θ 

h 

เฉลย เลืNอนมาทางขวา เป็นระยะทาง 

1 

m h 

m1 + m2 tan θ 

อย่างไรก็ดี กฎข้อ 2 ของ Newton ดังแสดงในสมการ (3.2) ก่อให้เกิดคําถามอีกหลายประเด็นทีNยัง 

ไม่ได้กล่าวถึง อาทิเช่น 1) เหตุใดจึงไม่จําเป็นต้องนําแรงทีNกระทําภายในระบบ มาร่วมในการ 

วิเคราะห์การเคลืNอนทีNของ center of mass ของวัตถุ 2) หรือแม้กระทั Nง ทีNมาของสมการ 

 

r 

cm 

 

m1r 1 + m2r2 + m3r3 

+ ⋯ 

= 

M 

ทีNใช้ในการคํานวณ หาตําแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล 

รายละเอียดของประเด็นต่างๆเหล่านี W จะได้กล่าวถึงในรายละเอียดใน Chapter 4. System of 

Particles 

ในขั Wนนี W เราจะเพียงใช้สมการ (3.1) และ สมการ (3.2) โดยไม่มีการพิสูจน์แต่อย่างใด 

Reduced Mass - มวลลดทอน 

เมืNอเข้าใจแล้วว่า ระบบทีNไม่มีแรงภายนอกเข้ามากระทํา ความเร่งของ center of mass ย่อมมีค่าเป็น 

ศูนย์ นั Nนหมายถึง ตําแหน่งจุดศูนย์กลางมวลของระบบจะหยุดนิ Nง (หรือ มีความเร็วคงทีN) และเรา 

จะใช้ข้อเท็จจริงประการนี W ในการวิเคราะห์ระบบทีNประกอบด้วย 2 อนุภาค 

ทฤษฏีทีNจะใช้เป็นเครืNองมือในการศึกษาครั Wงนี W ก็คือ Lagrange mechanics และก่อนทีNเราจะกล่าวถึง 

ระบบทีNประกอบด้วย 2 อนุภาค เป็นการดีทีNจะทบทวนกลไกของ Lagrange mechanics ของระบบ 

อย่างง่าย ทีNมีเพียง 1 อนุภาคเสียก่อน 

Lagrange Mechanics ของระบบ 1 อนุภาค ซึงมีมวล m 

( ɺ 2 ɺ 2 ɺ 

2 

) 

1 

L = m x + y + z − 

U ( x , y , z 

) 

2 



ภาพ (3.3) แสดง Lagrange function ของระบบ 1 อนุภาค ซึ Nงมีมวล m เมืNอ 

U ( x, y, z ) = คือ พลังงานศักย์ ณ ตําแหน่งทีNอนุภาคตั Wงอยู่ 

เมืNอระบบประกอบด้วย 1 อนุภาค ซึ Nงมีมวล m เราสามารถกําหนดให้พิกัด ( x, y, 

z ) ทีNเป็นตําแหน่ง 

ของอนุภาคในพิกัด Cartesian เป็น generalized coordinate และสร้าง Lagrange function ได้ดังแสดง 

ในภาพ (3.3) และ Lagrange function ดังกล่าว จะเป็นจุดกําเนิดของ equation of motion ในลําดับ 

ต่อไป 

ในคราวนี W พิจารณาระบบทีNประกอบด้วยสองอนุภาค ซึ Nงมีมวล m 1 และ m 2 นอกจากนี W ยัง 

(ext) 

กําหนดให้เป็นระบบทีNปราศจากแรงภายนอกเข้ามากระทํา หรือ F net = 0 อันตรกริยาต่างๆทีN 

เกิดขึ Wน ตลอดจนแรงทีNกระทํากับมวลทั Wงสอง ล้วนเป็นแรงทีNเกิดขึ Wนภายในระบบทั WงสิWน และขึ Wนอยู่ 

กับธรรมชาติของแรงดังกล่าว วัตถุทั Wงสองก็ต่างเคลืNอนทีN ดังแสดงในภาพ (3.4)a 

m 1 

m 1 

r ≡ 

r − 

r 

 

1 2 

r 1 

r 

2 

m 2 

m 2 

O 

a) จุดกําเนิด ณ ตําแหน่งใดๆ 

b) เลือกจุดกําเนิด ณ Center of Mass ของระบบ 

ภาพ (3.4) a) แสดงการกําหนดจุดกําเนิด เพืNอใช้ในการอ้างอิงตําแหน่งของมวล m 1 และ m 2 

จะได้ว่า vector r ≡ r 1 − r 

อยู่ในแนวเส้นตรงระหว่างมวลทั 

2 

Wงสอง b) เลือกให้จุดกําเนิด ตั Wงอยู่ ณ 

จุดศูนย์กลางมวลของระบบ พอดี 

ในกรณีของภาพดังกล่าว ไม่จําเป็นว่ามวลทีNหนักกว่า (ดวงอาทิตย์) จะหยุดนิ Nงเสมอไป ขึ Wนอยู่กับ 

 

ปัจจัยอืNนๆทีNเกีNยวข้อง ทั Wง m 1 และ m 2 ต่างก็เคลืNอนทีN ซึ Nงมีตําแหน่ง r 1 = r 1 ( t) 

และ r 

2 = r 

2 ( t) 

ทีN 

ล้วนเปลีNยนแปลงกับเวลาทั Wงคู่ 

พิจารณา vector ทีNลากจากมวล m 2 ไปยัง m 1 

 

define r ≡ r1 − r2 




ในกรณีของ central force motion ทีNกําลังกล่าวถึงในบทนี W เนืNองจากอันตรกริยาระหว่างมวลทั Wงสอง 

 

ขึ Wนอยู่แต่เพียงระยะห่าง r = r = r1 − r2 

ดังนั Wนเรากล่าวได้ว่า พลังงานศักย์ของระบบดังกล่าว 

ย่อมเป็นฟังชันก์ของ r แต่เพียงเท่านั Wน หรืออีกนัยหนึ Nง 

Central Force Motion U = U ( r) 


เมืNอทราบถึงพลังงานศักย์ของระบบ ในลําดับต่อไปเราจะทําการวิเคราะห์การเคลืNอนทีN โดยอาศัย 

Lagrange mechanics เริNมด้วยการกําหนดให้พิกัด ( x1 , y1, z1, x2, y2, 

z 2 ) เป็น generalized 

coordinate ดังนั Wน Lagrange function อยู่ในรูปของ 

L( x , xɺ , y , yɺ , z , zɺ 

, x , xɺ , y , yɺ 

, z , zɺ 

) 

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 

2 2 2 2 2 2 

( ɺ ɺ ɺ ) ( ɺ ɺ ɺ ) 

1 1 

= m1 x1 + y1 + z1 + m2 x2 + y2 + z2 

−U ( r) 

2 2 

_____________ สมการ (3.5) 

และจากการสังเกต Lagrange function ในข้างต้น นักศึกษาคงพอเห็นเค้าลางของความซับซ้อนทาง 

คณิตศาสตร์ทีNมหาศาล ซึ Nงกําลังจะตามมา เนืNองจากในการวิเคราะห์ระบบทีNประกอบด้วย 2 อนุภาค 

ใน 3 มิติ มีจํานวนตัวแปรของ generalized coordinate ถึง 6 ตัวด้วยกัน คือ ( x1 , y1, z1, x2, y2, 

z 2 ) 

ทําให้ในการสร้าง Lagrange equation of motion ทําให้เกิดสมการอนุพันธ์ถึง 6 สมการด้วยกัน 

ภาระทางคณิตศาสตร์ทีNจะตามมา ดูเหมือนจะหนักยิ Nงนัก 

อย่างไรก็ตาม เราสามารถทีNจะลดความซับซ้อนของปัญหาลงได้ ถ้าใช้ center of mass ของระบบ 

เป็นจุดกําเนิดในการอ้างอิงตําแหน่ง ดังแสดงในภาพ (3.4)b 

ดังทีNได้กล่าวมาในสมการ (3.1) จุดศูนย์กลางมวลของระบบ 2 อนุภาคก็คือ 

 

r 

cm 

 

m r 

= 

m 

 

+ m r 

+ m 

1 1 2 2 

1 2 

ความหมายของจุดกําเนิด ก็คือ จุดทีNมีพิกัด ( 0,0,0 ) เพราะฉะนั WนการทีNเราบอกว่า กําหนดให้จุด 

center of mass เป็นจุดกําเนิด ย่อมหมายถึง r cm = 0 นัNนเอง หรืออีกนัยหนึ Nง 



 

r 

cm 

 

m r 

= 0 = 

m 

 

+ m r 

+ m 

1 1 2 2 

1 2 

สมการข้างต้น นําไปสู ่ความสําพันธ์ระหว่าง r 1 และ r 2 ทีNว่า 

 

r 

m 

 

1 

2 = − r1 

m2 

เมืNอ center of mass คือ จุดกําเนิด _____________ สมการ (3.6) 

ความสัมพันธ์ข้างต้น เขียนให้อยู ่ในรูปของ vector อย่างไรก็ตาม เราสามารถเขียนให้อยู ่ในรูปของ 

component ตามแนวแกน x, y, และ z ได้ว่า 

x 

m 

m 

= − 

1 

m 

y2 = − y 

1 

1 z z 

m 

m 

1 

2 x1 

m2 

2 

= − _____________ สมการ (3.7) 

2 1 

2 

สมการ (3.7) แสดงให้เห็นว่า เมืNอเรากําหนดให้จุดกําเนิด ตั Wงอยู่ ณ center of mass ของระบบพอดี 

ตําแหน่ง r 1 และ r 2 ของมวลทั Wงสอง มิได้เคลืNอนทีNอย่างเป็นอิสระต่อกัน หากแต่มีความสัมพันธ์ 

กันอยู่ ดังในสมการ (3.6) ทั Wงนี WเมืNอรวมเอาความสัมพันธ์ในสมการ (3.6) และ คํานิยามของ r ใน 

สมการ (3.3) เข้าด้วยกัน จะพบว่า 

m 

m 

r 

2 

1 = r 

และ 

r2 

= − 

1 

m1 + m2 

m1 + m2 

 

r 

_____________ สมการ (3.8) 

ซึ NงเมืNอแทนสมการ (3.8) เข้าไปใน Lagrange function ในสมการ (3.5) จะทําให้ 

1 

= −U ( r) 

2 

 

≡ x + y + z r ≡ r − r 

2 

System of Two Particles L µ r ɺ 

2 2 2 2 

เมืNอ r ɺ ɺ ɺ ɺ โดยทีN 1 2 

m m 

m + m 

และ µ ≡ 

1 2 

1 2 

แบบฝึ กหัด 3.2 จงพิสูจน์สมการ (3.8) สมการ (3.9) 

ซึ NงมีชืNอว่า Reduced Mass 


Lagrange function ดังแสดงในสมการข้างต้น มีความสําคัญเป็นอย่างยิ Nงในการวิเคราะห์ ระบบทีN 



ประกอบด้วย 2 อนุภาค และมีข้อสังเกตใน 3 ประเด็นดังต่อไปนี W 

1) ถึงแม้จะเป็น Lagrange function ของระบบ 2 อนุภาค ในสมการ (3.9) แต่รูปแบบทางคณิตศาสตร์ 

มีความคล้ายคลึงเป็นอย่างมากกับ Lagrange function ในภาพ (3.3) จะต่างกันก็แต่เพียง ใน ภาพ 

m m 

m + m 

(3.3) เป็นอนุภาคทีNมีมวล m ในขณะทีNในสมการ (3.9) ปรากฏตัวแปร µ = 

1 2 

1 2 

2) แม้จะคล้ายคลึงกันในทางคณิตศาสตร์ แต่ระบบทางฟิสิกส์แตกต่างกันอย่างสิWนเชิง กล่าวคือ ใน 

สมการ (3.9) นั Wน เป็นระบบของ 2 อนุภาค และตัวแปร ( x, y, 

z ) หมายถึงระยะห่างระหว่างอนุภาค 

ทั Wงสอง แต่ใน ภาพ (3.3) นั Wน เป็นระบบของ 1 อนุภาค และตัวแปร ( x, y, 

z ) หมายถึงตําแหน่ง 

ของอนุภาคดังกล่าว 

3) อย่างไรก็ดี Lagrange function ทีNเขียนขึ Wนโดยอาศัยตัวแปร ( x, y, 

z ) ดังในสมการ (3.9) นั Wน มี 

ความซับซ้อนน้อยกว่า ในกรณีของสมการ (3.5) ด้วยเหตุทีNเราใช้ center of mass ของระบบ เป็นจุด 

กําเนิดในการอ้างอิงตําแหน่งของมวลทั Wงสอง 

นั Nนหมายถึง ในการพิจารณาระบบทีNประกอบด้วย 2 อนุภาค จะมีความสะดวกถ้าเราใช้ระยะห่าง 

r ≡ r 1 − r 

ระหว่างอนุภาคทั 

2 Wงสอง ในการวิเคราะห์ระบบ มากกว่าทีNจะใช้ตําแหน่ง r 1 และ 2 

พร้อมๆกัน 

r ไป 

ด้วยข้อสังเกตทั Wง 3 ประการนี Wเอง เราสรุปเทคนิคในการวิเคราะห์ระบบของ 2 อนุภาค ซึ NงเคลืNอนทีN 

ภายใต้ central force ได้ว่า 

m m 

m + m 

System of Two Particles เสมือนเป็ น ระบบของ 1 อนุภาค ซึ Nงมีมวล µ = 

1 2 

1 2 

เมืNอ µ มีชืNอว่า "Reduced Mass" หรือ มวลลดทอน 


เพืNอทีNจะให้นักศึกษาเข้าใจ เทคนิคในการใช้ reduced mass ในการช่วยลดความซับซ้อนของโจทย์ 

ได้ดียิ Nงขึ Wน พิจารณาตัวอย่างโจทย์ของระบบทีNประกอบด้วย 2 อนุภาคซึ Nงผูกติดกันด้วยสปริง 




มวล m 1 และ m 2 ผูกติดกันด้วยสปริง ซึ Nงมีค่า spring constant k ดังแสดงในภาพ จงคํานวณหา 

อัตราเร็วเชิงมุม ω ของการสั Nน 

m 1 

m 

2 

k 

วิธีทํา เพืNอเป็นการเปรียบเทียบ เราจะทําโจทย์ข้อนี Wใน 2 วิธีด้วยกันคือ 1) พิจารณาการเคลืNอนทีN 

อย่างตรงไปตรงมา โดยคิดว่าระบบประกอบด้วย 2 อนุภาค และ 2) ใช้เทคนิคของ reduced mass ดัง 

แสดงในสมการ (3.10) 

1) กําหนดให้ตําแหน่งของมวลทั Wงสองคือ x และ 1 x 2 อาศัยกลศาสตร์แบบ Lagrange เราสร้าง 

Lagrange function ได้ว่า 

m 1 

m 

2 

k 

x 1 ( t ) x 

2 ( t 

) 

x 

x t ( ) 2 

1 2 1 2 1 

L( x1, xɺ 1, x2, xɺ 2) 

= m1 xɺ 1 + m2 xɺ 2 − k x2 − x1 

− l 

2 2 2 

เมืNอ l คือความยาว ณ สภาวะสมดุลของสปริง จาก Lagrange function ดังกล่าว เราสร้าง equation 

of motion ได้ดังนี W 

k 

m 

2 

1 

( l) 

x − x − − ɺɺ x = 0 

2 1 1 

k 

− ( x2 − x1 − l) 

− ɺɺ x2 

= 0 

m 

ข้างต้นเป็นระบบสมการอนุพันธ์ 2 ตัวแปรทีNมีขั Wนตอนในการแก้หาผลเฉลยทีNซับซ้อนพอสมควร 

ในทางคณิตศาสตร์ สามารถใช้เทคนิคการเปลีNยนตัวแปร โดยนิยามให้ 



u ≡ x2 − x1 

− l ( เพราะฉะนั 

Wน u = x2 − x1 

ɺɺ ɺɺ ɺɺ ) 

จากคํานิยามข้างต้น เราจะเปลีNยนสมการอนุพันธ์ข้างต้น ซึ Nงเดิมเขียนในรูปของตัวแปร ( x1 , x 2 ) ให้ 

อยู่ในรูปของตัวแปร u ได้ว่า 

⎛ k 

⎜ 

⎝ m 

k ⎞ 

+ ⎟u 

+ uɺɺ 

= 0 

m ⎠ 

1 2 

สมการอนุพันธ์ในลักษณะดังกล่าวข้างต้นนั Wน อยู่ในรูปแบบของการสั Nนแบบ simple harmonic 

oscillation โดยมีรูปแบบของผลเฉลยคือ u( t) = Asin 

( ωt 

+ δ0 

) เมืNอ A, 

δ 0 คือค่าคงทีNซึ Nงขึ Wนอยู่ 

กับเงืNอนไขเริ Nมต้นของการเคลืNอนทีN อาทิความเร็วต้น หรือ ตําแหน่งเริ Nมต้น ณ เวลา t=0 ส่วน ω คือ 

อัตราเร็วเชิงมุมของการสั Nน และมีค่าเท่ากับ 

k 

m 

k 

m 

ω = + ตอบ 

1 2 

2) โดยอาศัยเทคนิคของ reduced mass สังเกตว่าโจทย์ได้กล่าวถึงระบบของ 2 อนุภาค ซึ Nงไม่มีแรง 

ภายนอกเข้ามากระทํา อาศัยสมการ (3.10) เรามองว่าระบบเสมือนเป็น 1 อนุภาคซึ Nงมีมวล µ ผูก 

ติดอยู ่กับสปริง ดังแสดงในภาพ 

m 1 

m 

2 

k 

เสมือนเป็ น 

µ 

ω 

= 

k 

µ 

เมืNอลดรูปของปัญหาให้เสมือนว่ามีเพียง 1 อนุภาค เราทราบดีจากวิชา General Physics ว่า การสั Nน 

ของสปริงต้องมี 

ทําให้ 

ω 

k 

µ 

m m 

m + m 

= เมืNอ µ คือมวลของอนุภาคดังกล่าว และเมืNอแทน µ = 

1 2 

1 2 

จะ 

ω 

m + m k k 

1 2 

= k = + ตอบ 

m 1 m 2 m 1 m 2 


่ 


จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น จะเห็นได้ชัดเจนว่า การลดรูปของปัญหาจากระบบของ 2 อนุภาค ซึ Nงมี 

m m 

m + m 

มวล m 1 และ m 2 ให้เสมือนเป็นระบบของ 1 อนุภาคซึ Nงมีมวล µ = 

1 2 

ขั Wนตอนการวิเคราะห์ในทางคณิตศาสตร์นั Wน ง่ายดายยิ Nงขึ Wน 

1 2 

นั Wน สามารถทําให้ 

แบบฝึ กหัด 3.3 จงแสดงให้เห็นว่า ในระบบสองอนุภาค ทีNกําหนดให้ center of mass เป็นจุด 

 

กําเนิดนั Wน total momentum p1 + p2 = 0 เสมอ 

Section 3.2 สมการของ Central Force Motion 

เมืNอมีความเข้าใจถึงเทคนิควิธีในการสร้าง frame of reference ในการศึกษาระบบ 2 อนุภาคทีNอยู 

m m 

m + m 

ภายใต้อิทธิพลของ central force ตลอดจนกลไกการใช้ reduced mass µ = 

1 2 

1 2 

เพืNอทําให้ 

เสมือนว่ามีเพียงอนุภาคเดียว ซึ NงเคลืNอนทีNภายใต้อิทธิพลของพลังงานศักย์ U ( r ) ดังปรากฏในสมการ 

(3.9) เช่นนี Wแล้ว เราก็มีความพร้อมทีNจะสร้างสมการการเคลืNอนทีNของมวลลดทอนดังกล่าว เพืNอ 

นําไปใช้ประโยชน์ในการวิเคราะห์ในลําดับต่อไป 

 

p 

r 

Angular Momentum 

L 

= r 

× 

p 

 

L 

ตั 

งฉากกับระนาบ 

ระนาบของการเคลือนที 

เมือ คงที หมายถึง ระนาบต้องไม่เปลียนแปลง 

L 

วัตถุภายใต้ Central Force เคลือนทีในระนาบเดียวเสมอ 

ภาพ (3.5) แสดงทิศทางของ angular momentum L ทีNต้องตั WงฉากกับระนาบของการเคลืNอนทีN 

เสมอ ดังนั Wนถ้า angular momentum ดังกล่าวคงทีN ย่อมแสดงว่าระนาบของการเคลืNอนทีNในระบบ 

central force motion ย่อมต้องคงทีNด้วย 

ดังแสดงในภาพ (3.5) เมืNอมวลวัตถุมวล µ เคลืNอนทีNภายใต้อิทธิพลของ central force F 

net 

ทิศทางพุ่งเข้าสู ่จุดกําเนิดเสมอ หรืออีกนัยหนึ Nง 

ซึ Nงมี 



F 

net 

 

r 

ทั Wงนี WเมืNอเราวิเคราะห์สมบัติทีNเกีNยวข้องกับการหมุน ของมวล µ รอบจุดกําเนิด สิ NงทีNต้องพิจารณาก็ 

 

คือ torque τnet 

= r × F 

net ซึ Nงเป็นต้นเหตุของแรงบิด และ angular momentum L ซึ Nงเป็นผลลัพธ์ 

ของการหมุนทีNเกิดขึ Wน จากเนื Wอหาของ General Physics เบื Wองต้น ปริมาณทั Wงสองนี Wมีความสัมพันธ์ 

ดังสมการ Newton (ทีNเกีNยวข้องกับการหมุน) 

 

τ 

net 

d 

= 

dt 

L 

กล่าวคือ torque τ net คือการบิดทีNทําให้ angular momentum L เปลีNยนแปลงไป อาทิเช่น เดิมเคย 

หมุนช้าๆ ทําให้หมุนเร็วยิ Nงขึ Wน 

แต่ในกรณีของ central force นั Wน มีทิศขนานไปกับ r ดังนั Wน cross product 

 

τnet = r × F 

net = 0 และในเมืNอ torque เป็นศูนย์ เงืNอนไขดังกล่าว มีผลให้ angular momentum 

L ของระบบมีค่าคงทีN ไม่เปลีNยนแปลงกับเวลา หรืออีกนัยหนึ Nง 

F 

net 

Central Force Motion 

 

L = r × p = 

constant 

_________________ สมการ (3.11) 

 

และเนืNองจากกลไกทางคณิตศาสตร์ของ cross product ทีNว่า ถ้า C = A × B แล้ว vector C 

จะต้องตั Wงฉากกับทั Wง vector A และ B เสมอ เพราะฉะนั Wน สมการ (3.11) และ ภาพ (3.5) ทําให้ 

เราสรุปได้ว่า vector r จะต้องอยู ่ในระนาบซึ Nงตั Wงฉากกับ L เสมอ หรืออีกนัยหนึ Nง 

ในระบบของ Central Force Motion วัตถุจะเคลืNอนทีN จํากัดอยู ่ภายใน 

ระนาบเดียวเท่านั Wน 


เมืNอเป็นดังนี W เราสามารถทีNจะอธิบายการเคลืNอนทีNของ reduced mass µ ดังกล่าว ใน 2 มิติ โดยใน 

ทีNนี Wจะใช้พิกัด polar ( r, 

θ ) ดังแสดงในภาพ (3.5) 

โดยอาศัยกลไกของ Lagrange mechanics เราเริNมด้วยการเขียน Lagrange function ได้ว่า 



2 2 

( 

ɺ2 

) 

1 

L = µ r + r θ −U ( r) 

2 

ɺ _________________ สมการ (3.13) 

โดยทีNเทอมแรก แสดงถึงพลังงานจลน์ของอนุภาค และขั Wนตอนต่อไปคือการสร้าง Lagrange 

equation of motion ในกรณีของตัวแปร r และ ตัวแปร θ 

Angular Momentum และ พลังงานรวม 

จาก Lagrange function ในสมการ (3.13) จะได้ว่า equation of motion ในกรณีของตัวแปร θ อยู่ใน 

รูปของ 

∂L d ∂L 

− = 0 

∂θ 

dt ∂ ɺ θ 

∂ L = 

∂θ 

และเนืNองจาก 0 

∂ L = 

∂θ 

2 

และ µ r ɺ θ เพราะฉะนั 

ɺ 

Wน 

d 

dt 

2 

( r ɺ 

) 

µ θ = 0 

2 

เมืNออนุพันธ์เทียบกับเวลาของ µ r ɺ 2 

θ มีค่าเป็นศูนย์ ย่อมหมายถึงว่าเทอม µ r ɺ θ มีค่าคงทีN หรืออีก 

นัยหนึ Nง 

2 

ɺ l _________________ สมการ (3.14) 

µ r θ = constant = 

2 

สมการ (3.14) มีนัยสําคัญมากกว่าการทีNเราบอกว่า ปริมาณ µ r ɺ θ ซึ Nงแทนด้วยตัวแปร l มีค่าคงทีN 

2 

หากแต่ยังมีความหมายทางฟิสิกส์ทีNแฝงเร้นอยู ่ นัNนคือ ปริมาณ µ r ɺ θ คือขนาดของ angular 

momentum หรือ โมเมนตัมของการหมุนนัNนเอง เพราะฉะนั Wน เราสรุปได้ว่า 

2 

Central Fore Motion Angular Momentum l = µ r ɺ θ = ค่าคงทีNเสมอ 





 

จงแสดงให้เห็นว่า ถ้าวัตถุมวล m เคลืNอนทีNในระนาบ 2 มิติ แล้ว angular momentum L ≡ r × p 

2 

จะมีขนาดเท่ากับ mr ɺ θ 

วิธีทํา ถ้าจํากัดการเคลืNอนทีN เฉพาะในระนาบ xy เท่านั Wน เริNมด้วยการสร้าง vector แสดงตําแหน่ง 

r และ vector แสดง momentum p ให้อยู่ในรูปของพิกัด polar ( r, θ ) จากคํานิยามของ vector ทั Wง 

สองในพิกัด Cartesian 

ทั Wงนี W 

x = r cosθ 

และ y r sinθ 

⎛ x ⎞ 

⎜ ⎟ 

r = y 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

= ทําให้ 

และ 

⎛ xɺ 

⎞ 

⎜ ⎟ 

p = mv 

= m yɺ 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛ r cosθ 

⎞ 

⎜ ⎟ 

r = r sinθ 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ ⎠ 

และ 

⎛ rɺ 

cosθ − r ɺ θ sinθ 

⎞ 

⎜ 

⎟ 

p = m⎜ 

rɺ 

sinθ + r ɺ θ cosθ 

⎟ 

⎜ 0 ⎟ 

⎝ 

⎠ 

และเมืNอนํา r และ p 

เข้ามาคํานวณ cross product ตามคํานิยามของ angular momentum L ≡ r × p 

จะได้ว่า 

⎛ r cosθ ⎞ ⎛ rɺ 


⎞ ⎛ 

0 

⎞ 

⎜ ⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ 

L = r sinθ × m⎜ 

rɺ 

sinθ + r ɺ 

θ cosθ 

⎟ = m⎜ 0 

⎟ 

⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ r cosθ ( rɺ 

sinθ + r ɺ θ cosθ ) − r sinθ ( rɺ 


) ⎟ 

⎝ ⎠ 

ให้สังเกตว่า angular momentum ดังกล่าวมีทิศชี Wในแนวแกน z ซึ Nงตั Wงฉากกับระนาบ xy ตรงกันกับ 

คําอธิบายในภาพ (3.5) นอกจากนี W เรายังสามารถลดรูปขนาดของ angular momentum ในสมการ 

ข้างต้นได้เป็น 

2 2 2 2 2 

( ɺ + ) − ( ɺ − ) = + = 

mr cosθ r sinθ r ɺ θ cosθ mr sinθ r cosθ r ɺ θ sinθ mr ɺ θ cos θ mr ɺ θ sin θ mr ɺ θ 

2 

เพราะฉะนั Wนแล้ว ขนาดของ angular momentum l = mr ɺ θ ตอบ 



 

แบบฝึ กหัด 3.4 จงแสดงให้เห็นว่า L = r × p = r1 × p1 + r2 × p2 = L1 + L2 

กล่าวคือไม่ว่าเราจะ 

มองระบบเป็นเสมือน 1 อนุภาคซึ Nงมี reduced mass เท่ากับ µ หรือเป็นระบบ 2 อนุภาคทีNมีมวล m 1 

และ m 2 angular momentum ทีNคํานวณได้ มีค่าเท่ากัน 

ข้อเท็จจริงทีNว่า angular momentum l มีขนาดคงทีN จะมีส่วนช่วยให้เราเขียนสมการในการคํานวณ 

พลังงานรวม E ของระบบ ให้อยู ่ในรูปทีNง่ายขึ Wน 

พิจารณา total Energy ของระบบทีNมีมวลเท่ากับ µ ซึ NงเคลืNอนทีNในพิกัด polar ( r, θ ) 

( 

ɺ 

) 

1 2 2 2 1 2 1 2 2 

E = K + U = µ rɺ + r θ + U ( r) = µ rɺ 

+ µ r ɺ θ + U ( r) 

2 2 2 

จะเห็นว่า เทอมของพลังงานจลน์ กระจายออกได้เป็น 2 ส่วน จากสมการ (3.15) จะได้ ɺ θ 

2 

1 

2 r 

2 2 

และเมืNอแทนเข้าไปในส่วน µ θɺ ของพลังงานรวมในข้างต้น ทําให้ 

= l 

µ r 

2 

2 l 

ɺ ( ) _________________ สมการ (3.16) 

2 

1 

E = µ r + + U r 

2 2µ 

r 

สมการข้างต้นมีความสําคัญในการวิเคราะห์ หาพลังงานรวม หรือ total energy ของระบบ เนืNองด้วย 

ระบบของวงโคจรโดยทั Nวไปนั Wน มีการอนุรักษ์พลังงาน นั Nนคือ E จะต้องเป็นค่าคงทีNตลอด 

ระยะเวลาการเคลืNอนทีN ซึ Nงสามารถนํามาใช้เป็นประโยชน์ในการวิเคราะห์การเคลืNอนทีNได้ 

ระบบ 2 อนุภาคซึ Nงมี reduced mass เท่ากับ µ ซึ 


2 

l 2 

NงกําลังเคลืNอนทีNภายใต้แรง F( r) = − ( α + 1) 

เมืNอ k และ α คือ constants จงคํานวณหา total energy ของระบบดังกล่าว 

2 

l 2 

วิธีทํา จากสมการ (3.16) เราทําการเปลีNยนข้อมูลของแรง F( r) = − ( α + 1) 

µ r 

d 

− U r = ทั 

dr 

ของพลังงานศักย์ U ( r ) โดยอาศัยสมการความสัมพันธ์ ( ) F ( r ) 

3 

µ r 

3 

ให้เป็นข้อมูล 

Wงนี WเมืNอ integrate 



∫ 

dU = 

∫ 

F( r) 

dr 

( α + ) 

2 2 

l 1 1 

U ( r) 

= − + C 

2µ 

2 

r 

ค่าคงทีN C ของการ integrate สามารถหาได้จากการกําหนดให้ พลังงานศักย์ ณ ตําแหน่ง r → ∞ มี 

ค่าเป็นศูนย์ หรือ U ( ∞ ) = 0 เพราะฉะนั Wน C = 0 ดังนั Wนเราจะได้ว่า ระบบมีพลังงานศักย์คือ 

U ( r) 

= − l 

จากนั Wนแทน U ( r ) ในสมการ (3.16) ทําให้ 

( α + ) 

2 2 

2µ 

1 1 

r 

2 

( α + 1) 

2 

2 2 

2 

2 l l 

2 l 

ɺ 

2 2 2 

E 1 1 1 

= µ 

2 r ɺ + − = µ 

2µ r 2µ 

r 2 

r + 

2µ 

r 

2 2 2 

l α l 

− − 

2µ r 2µ 

r 

2 2 

เพราะฉะนั Wนแล้ว 

พลังงาน 

E 

2 2 

1 2 α 

= µ r − l 

2 

ɺ ตอบ 

2 2µ 

r 

กล่าวโดยสรุป ในการเคลืNอนทีNแบบ central force นั Wน ระบบต้องมี angular momentum l และ 

พลังงาน E คงทีNตลอดระยะเวลาการเคลืNอนทีN โดยทีNความสัมพันธ์ของปริมาณทั Wงสอง กับตําแหน่ง 

ของอนุภาค ซึ Nงแทนด้วย ( r, 

θ ) มีปรากฏในสมการ (3.15) และ สมการ (3.16) ตามลําดับ 

Stability of Circular Orbit 

สมมุติว่าดาวเทียมมวล µ กําลังโคจรเป็นวงกลม (circular orbit) ด้วยรัศมี r = R ในขณะนั Wนโดน 

รบกวนเพียงเล็กน้อยด้วยปัจจัยภายนอก อาทิเช่นถูกกระแทกจากฝุ ่น หรือ อนุภาคขนาดเล็ก ถ้าวง 

โคจรของดาวเทียมดังกล่าวเป็น stable equilibrium ก็ย่อมสามารถวกกลับเข้ามาโคจรในเส้นทางเดิม 

ได้ เสมือนก้อนหินทีNวางนิ Nงอยู่ ณ ก้นถ้วย แม้เกิดแผ่นดินไหวให้สั NนกระเพืNอมชั Nวขณะ ก้อนหินยังคง 

กลับมาสงบนิ Nงอยู่ได้ในทีNสุด 

ถ้าวงโคจรของดาวเทียมเป็น unstable equilibrium ย่อมไม่อาจจะรักษาเส้นทางโคจรได้ ถ้าหากโดน 



รบกวน เสมือนก้อนนํ Wาแข็งทีNวางนิ Nงบนหลังเต่า ความสมดุลทีNไม่เสถียรเช่นนี W มิอาจจะเกิดขึ Wนได้ 

นานนัก 

ปัจจัยทีNเป็นตัวตัดสินว่า circular orbital หรือ การโคจรเป็นวงกลมของวัตถุ จะมีความเสถียรหรือไม่ 

นั Wน เกีNยวพันกับ potential energy U ( r ) ของระบบ 

พิจารณาสมการ (3.16) ทีNแสดงถึงพลังงานของระบบ 

1 2 l 

E = µ rɺ 

+ + U ( r) 

2 

2 

2µ 

r 

 

2 

function of r 

จะเห็นว่าพลังงาน E เป็นฟังชันก์ทีNขึ Wนอยู่กับ r เพียงอย่างเดียว และมิได้เกีNยวข้องกับ θ ถึงแม้จะ 

เป็นการเคลืNอนทีNใน 2 มิติก็ตาม เพราะฉะนั Wน ในการวิเคราะห์เกีNยวกับ stable orbit เราอาจจะมอง 

สมการข้างต้น เสมือนว่า เป็นการเคลืNอนทีNใน 1 มิติ ทีNใช้ตัวแปร r ในการบ่งบอกตําแหน่ง และ 

1 

2 r 

2 

เทอม µ ɺ ทําหน้าทีNเสมือนพลังงานจลน์ 

เทอม 

l 

2 

2µr 

2 

+ U ( r) 

โดยเป็นทีNนิยมเรียกเทอมพลังงานศักย์เสมือนดังกล่าวว่า 

ทําหน้าทีNเสมือนพลังงานศักย์ 

Effective Potential Energy 

l 

Ueff ( r) ≡ + U( r) 

2 

2µr 

2 

__________ สมการ (3.17) 

การใช้คําว่า effective นําหน้า ก็เพืNอยํ Wาเตือนให้ทราบว่า U eff ( r ) นั Wนแตกต่างจาก potential energy 

U ( r ) นอกจากนี W U eff ( r ) ยังมีประโยชน์ในการนํามาใช้งานในวงแคบ โดยเฉาะอย่างยิ Nง เกีNยวกับ 

เสถียรภาพการโคจรของวัตถุเท่านั Wน 

โดยอาศัยคํานิยามของ effective potential ดังกล่าว มาสามารถเขียนพลังงาน E เสียใหม่ได้ว่า 

1 2 

E = µ rɺ 

+ Ueff 

( r) 

2 



ซึ Nงเป็นสมการทีNแทบจะเรียกได้ว่า เหมือนกับการเคลืNอนทีNใน 1 มิติซึ Nงมีตัวแปร r เป็นตัวแปรบอก 

ตําแหน่งของวัตถุ เมืNอเป็นเช่นนี W เราสามารถสร้างเงืNอนของ stable หรือ unstable equilibrium 

เหมือนดังในกรณีของบททีN 1 เรืNอง Newton mechanics ได้ว่า 

d U 

dr = 

เงืNอนไข Equilibrium eff ( r ) = 0 

Stable Circular Orbit 

Unstable Circular Orbit 

2 

r R 

d 

2 U eff ( r ) > 0 

dr 

2 

r= 

R 

d 

2 U eff ( r ) < 0 

dr 

r= 

R 

________________ สมการ (3.18) 

1 

0.5 

eff ( ) 

เปรียบเทียบ Effective Potential ใน ใน 2 กรณี 

Unstable Equilibrium 

2 

d eff 

( ) 0 

2 U r < 

dr 

(a) 

(b) 

U 

U 

2 

l 

k 

( r 

) 

= − 

2 

µr 

r 

2 

l 

k 

( r 

) 

= − 

2 µr 3 

r 

eff 2 

eff 2 3 

U r r 

0 2 4 6 

− 0.5 

− 

1 

2 

d eff 

( ) 0 

2 U r > 

dr 

Stable Equilibrium 

ภาพ (3.6) แสดงกราฟของ effective potential 

l 

= 1.5, µ 

= 1.0, k 

= 

2.0 

l 

Ueff ( r) ≡ + U ( r) 

2 

2µr 

2 

ใน 2 กรณี 

ตัวอย่างด้วยกัน กรณี (a) เกิดลักษณะของแอ่งกระทะ หรือ stable equilibrium ในขณะทีN 

กรณี (b) เป็น unstable equilibrium 

ยกตัวอย่างเช่นเมืNอเราเปรียบเทียบ ระบบ 2 อนุภาคซึ NงมีแรงทีNกระทําระหว่างกันใน 2 กรณีคือ a) 

F( r) 

k 

= − และ กรณี b) F( r) 

2 

4 

r 

r 

k 

= − นักศึกษาจะสังเกตว่า แรงในกรณี a) นั Wน มีตัวอย่างให้ 

เห็นเป็นแรงโน้มถ่วง หรือ แรงระหว่างประจุไฟฟ้ า ทีNปรากฏอยู ่จริงในธรรมชาติ ในขณะทีNแรงใน 

กรณี b) นั Wนไม่มีให้พบเห็นบ่อยครั Wงนัก แต่ยกตัวอย่าง ณ ทีNนี WเพืNอประโยชน์ในการเปรียบเทียบเท่านั Wน 



ดังแสดงในภาพ (3.6) แรงในกรณีทั Wงสอง เมืNอ integrate ให้อยู่ในรูปพลังงานศักย์ จะได้ว่า 

a) U ( r) 

k 

r 

= − ดังนั Wน 

k 

b) U ( r) 

= − ดังนั Wน 

3 

3r 

U 

U 

2 

l k 

( r) 

= − 

2µr 

r 

eff 2 

eff 2 3 

2 

l k 

( r) 

= − 

2µr 3r 

จากกราฟจะพบว่า แรงในกรณี a) ทําให้เกิดบ่อของ effective potential energy ทีNมีลักษณะเป็นแอ่ง 

กระทะ 

ซึ Nงในทางคณิตศาสตร์แล้วหมายถึง 

2 

d 

2 U eff ( r ) 0 

dr 

> ณ จุด equilibrium 

ในทางตรงกันข้าม แรงในกรณี b) ทําให้ effective potential energy ทีNมีลักษณะเป็นโดมโค้งขึ Wน 

หรืออีกนัยหนึ Nง 

2 

d 

2 U eff ( r ) 0 

dr 

> ณ จุด equilibrium 

ดังนั Wนเราสรุปได้ว่า ระบบ central force motion ซึ Nงมีแรงในลักษณะ F( r) 

= − สามารถทําให้ 

2 

เกิดวงโคจร วงกลมซึ Nงเสถียร แต่ในกรณีทีNแรงมีลักษณะ F( r) 

= − การโคจรแบบวงกลมทีN 

4 

เกิดขึ Wน จะไม่เสถียร เช่นนี Wเป็นต้น 


k 

พิจารณา central force ทีNอยู ่ในรูป F( r) 

= − จงหาเงืNอนไขของ n ทีNทําให้เกิด stable circular 

orbit 

r 

n 

วิธีทํา ในขั Wนต้น เราทําการ integrate เพืNอคํานวณฟังชันก์ของพลังงานศักย์ U ( r ) โดยอาศัยคํา 

d 

นิยาม − U ( r ) = F ( r ) จะได้ว่า 

dr 

r 

k 

r 

k 

∫ 

dU = 

∫ 

F( r) 

dr 

k 1 

U ( r) 

= − + C 

n − 

1 n 1 

r − 

k 

= − 

n − 

ถ้ากําหนดให้ U ( ∞ ) = 0 แสดงว่า ค่าคงทีNของการ integrate C = 0 ดังนั Wน U ( r) 

1 

1 

1 r n− 



ส่งผลให้ effective potential อยู่ในรูปของ 

U 

2 

l k 1 

( r) 

= − 

2µr n − 1 r 

eff 2 n−1 

จากสมการ (3.18) เราเริ Nมด้วยการหาตําแหน่งของรัศมี R ทีNทําให้เกิดสภาวะ equilibrium 

กล่าวคือ 

2 2 

d ( ) 0 ⎛ l k ⎞ l k 

U r = = − + = − + = 

dr ⎜ 

n 

r r ⎟ R R 

0 

เมืNอแก้สมการหาผลเฉลย R จะได้ว่า 

eff 3 n 

3 

r= 

R ⎝ µ ⎠ µ 

r= 

R 

R 

n − 3 

µ k 

= 

l 

2 

ในลําดับสุดท้ายคือการหาอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับ r ณ ตําแหน่ง r 

= R ซึ Nงก็คือ 

2 2 2 

d ⎛ 3l 

nk ⎞ 3l 

nk 

U ( r) 

= − = − = 

dr ⎜ 

r r ⎟ R R 

2 eff 

4 n+ 1 4 n+ 

1 

µ µ 

r= R ⎝ ⎠ r= 

R 

จากสมการ (3.18) stable circular orbital จะเกิดได้ ก็ต่อเมืNอ 

2 

d 

2 U eff ( r ) 0 

dr 

r= 

R 

> หรือ 

2 

3l 

nk 

− > 0 

4 n+ 

1 

µ R R 

2 

3l 

nk 

− > 0 

µ 

n−3 

R 

µ k 

n 3 

แทน R 

− = ลงในอสมการข้างต้น จะได้ว่า ( ) 

l 

2 

2 

l 

3 − n > 0 µ 

เพราะฉะนั Wน 

stable circular orbit condition 3 n < ตอบ 



ตัวอย่างโจทย์ข้างต้นแสดงให้เห็นว่า ถึงแม้โดยทั Nวไปนั Wน อันตกริยาระหว่างอนุภาคทั Wงสอง จะมี 

ขนาดของแรงดึงดูดน้อยลง เมืNอทั Wงคู่อยู่ห่างกันมากขึ Wน กล่าวคือ 

F( r) 

r 

1 

∼ แต่ถ้ามีการลดลง 

รวดเร็วเกินไป กล่าวคือในกรณี n ≥ 3 จะทําให้แรงดึงดูดมีไม่มากพอทีNจะเอื Wอให้เกิด stable 

circular orbit ได้ 

Equations of Orbits 

เมืNอครั Wงเราได้ทําการสร้าง Lagrange function ในสมการ (3.13) เมืNอทําการสร้าง Lagrange equation 

of motion ในกรณีของตัวแปร r จะได้ว่า 

n 

∂L d ∂L 

− = 0 

∂r dt ∂ɺ r 

∂L 

∂U 

= ɺ − และ d ∂ L = µ ɺɺ r 

∂r 

∂r 

dt ∂rɺ 

2 

เนืNองจาก µ rθ 

ทําให้สมการของการเคลืNอนอยู ่ในรูปของ 

2 U 

µ r ɺ ∂ 

θ − − µ ɺɺ r = 0 

∂r 

∂U 

− = µ 

∂r 

− θ 

2 

( ɺɺ r r ɺ 

) 


สังเกตว่าทางซ้ายมือของสมการ ก็คือแรง F( r) 

= − ทีNอนุภาคทั Wงสองกระทําระหว่างกันนั Nนเอง 

∂ 

นอกจากนี W ทางขวามือของสมการ เราสามารถจัดรูปโดยใช้เทคนิคของการเปลีNยนตัวแปร 

∂U 

r 

กําหนดให้ 

ดังนั Wน 

du 

dt 

1 

dr 

dt 

1 

u ≡ 

r 

= − หรือ u = − 

2 

2 

r 

ɺ 

r 

1 

rɺ 

นอกจากนี W อาศัยกฎลูกโซ่ในเชิง calculus 



du du dθ 

dt dθ 

dt 

= หรือ 

du 

uɺ 

= ɺ 

dθ 

θ 

1 

แทน uɺ = − rɺ และ ɺ θ (จากการอนุรักษ์ angular momentum) ลงในสมการข้างต้น จะ 

2 

2 

ได้ว่า 

r 

= l 

µ r 

du 

rɺ 

= − l 

µ dθ 

เพืNอทีNจะหา rɺɺ ซึ Nงปรากฏในสมการ (3.19) เรา differentiate เทอมข้างต้นเทียบกับเวลาอีกครั Wง 

l d ⎛ du ⎞ 

rɺɺ 

= − ⎜ ⎟ 

µ dt ⎝ dθ 

⎠ 

อาศัยกฎลูกโซ่อีกเช่นเคย ทีNว่า 

ผลลัพธ์ทีNได้ ในสมการของ rɺɺ ทําให้ 

2 2 

d ⎛ du ⎞ d ⎛ du ⎞ dθ 

d u d u l 

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = θ = 

dt ⎝ dθ ⎠ dθ ⎝ dθ ⎠ dt dθ dθ µ r 

ɺ จากนั Wนแทน 

2 2 2 

⎛ 2 2 2 2 2 

d u ⎞ d u d ⎛ 1 ⎞ 

⎜ 

2 2 

⎟ 

2 2 2 2 2 2 ⎜ ⎟ 

l l l l 

ɺɺ r = − = − = − 

µ ⎜ dθ µ r ⎟ 

⎝ ⎠ µ r dθ µ r dθ 

⎝ r ⎠ 

และในกรณีของเทอม 

2 

rθ ɺ ทีNปรากฏในสมการ (3.19) นั Wน เราเพียงให้ สมบัติเชิงการอนุรักษ์ 

angular momentum ɺ θ เช่นเดิม จะได้ว่า 

2 

= l 

µ r 

2 2 

2 

r ɺ l l 

θ = = 

µ r µ r 

2 3 2 2 

1 

r 

2 

ทั Wงนี W เมืNอแทน rɺɺ และ rθ ɺ ทีNได้จัดเตรียมไว้ ในสมการ (3.19) ทําให้ 

2 2 2 2 2 

l d ⎛ 1 ⎞ l 1 l ⎛ d ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ 

F( r) 

= − 

2 2 ⎜ ⎟ − = − 

r 

2 2 

r 

2 2 2 ⎜ ⎟ + 

µ r dθ ⎝ ⎠ µ r µ r ⎜ dθ 

⎝ r ⎠ r ⎟ 

⎝ 

⎠ 

และเมืNอจัดรูป ในท้ายทีNสุด จะได้ equation of motion ซึ Nงสามารถนํามาวิเคราะห์ความสัมพันธ์ 



ระหว่างรูปร่างของวงโคจร r( θ ) และ แรง F( r ) ซึ Nงก็คือ 

2 2 

d ⎛ 1 ⎞ 1 µ r 

2 ⎜ ⎟ + = − 

r r 

2 

dθ 

⎝ ⎠ l 

F( r) 


ฟังชันก์ 

r 

( θ 

) 

= 

k 

θ 

r 

= 

r ( θ 

) 

r 

θ 

ก้นหอย (Spiral) 

กําหนดรูปร่างของวงโคจร 

วงกลม 

r ( θ ) = 

Constant 

Parabola 

a 

r ( θ 

) 

= 1 + 

cos 

θ 

ภาพ (3.7) แสดงตัวอย่างของฟังชันก์ r = r( θ ) ในกรณีต่างๆกัน 

ดังแสดงตัวอย่างในภาพ (3.7) ฟังชันก์ r( θ ) เป็นตัวกําหนดรูปร่างของวงโคจร ซึ Nงจากสมการ 

(3.20) มีความสัมพันธ์โดยตรงกับธรรมชาติของแรง F( r ) ทีNอนุภาคทั Wงสองกระทําต่อกัน 


พิจาณาวงโคจรในลักษณะก้นหอย ในทํานองเดียวกับภาพ (3.7) ทีNเรียกว่า logarithmic spiral orbit 

r = ke αθ เมืNอ k, 

α คือ constants จงหาแรง F( r ) ทีNสามารถทําให้เกิดวงโคจรดังกล่าว 

วิธีทํา โจทย์ข้อนี Wใช้ประโยชน์จากสมการ (3.20) เริ Nมด้วยการพิจารณาเทอมแรกของสมการ 

ดังกล่าว เนืNองจาก 1 = e ดังนั Wน 

อันดับสองอยู ่ในรูปของ 

r 

−αθ 

k 

−αθ 

d ⎛ 1 ⎞ d ⎛ e ⎞ α 

⎜ ⎟ = = − e 

dθ 

⎝ r ⎠ dθ 

⎜ k ⎟ 

⎝ ⎠ k 

−αθ 

ทําให้ อนุพันธ์ 

2 2 2 

⎛ 1 ⎞ d ⎛ α −αθ 

⎞ α −αθ 

α 

e e 

2 ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ = = 

αθ 

d 

dθ 

⎝ r ⎠ dθ 

⎝ k ⎠ k 

ke 

แต่จากโจทย์ r 

= ke αθ เพราะฉะนั Wน 

2 2 

d ⎛ 1 ⎞ α 

2 ⎜ ⎟ = 

dθ 

⎝ r ⎠ r 

และเมืNอแทนในสมการ (3.20) จะได้ว่า 



2 2 

α 1 r 

r 

+ µ 

r 

= − l 2 

F( r) 

และเมืNอจัดรูปเสียใหม่ ทําให้เราทราบแรงทีNสามารถทําให้เกิด logarithmic spiral orbit 

2 

2 

( α ) 

l 

F( r) = − + 1 

3 

µ r 

ตอบ 

อย่างไรก็ดี ฟังชันก์ของวงโคจร r( θ ) เป็นเพียงเส้นทางการเคลืNอนทีNของวัตถุ และมิได้มีข้อมูลทีN 

เกีNยวกับเวลา ทําให้เราไม่สามารถบอกได้ว่า วัตถุอยู ่ ณ ตําแหน่งไหน เมืNอเวลาเท่าใด 

ในกรณีทีNมีความจําเป็นต้องทราบฟังชันก์ของการเคลืNอนทีN อาทิเช่น r( t ) และ θ ( t) 

เราจะอาศัย 

2 

สมการของการอนุรักษ์ angular momentum l = µ r ɺ θ เป็นตัวช่วยในการแก้หาผลเฉลยของข้อมูล 

ดังกล่าว 

พิจารณา logarithmic spiral orbit r 


= ke αθ จงหา ( ) 

r t และ θ ( t) 

วิธีทํา สมบัติของการอนุรักษ์ angular momentum ในสมการ (3.14) เราบอกได้ว่า 

ɺ θ = l 

µ r 

2 

จากโจทย์ r 

= ke αθ ดังนั 

1 1 

r k e αθ 

Wน 

2 2 

= ซึ NงเมืNอแทนในสมการข้างต้น 

dθ 

l 

= 

dt 

2 

µ k e 

αθ 

αθ l 

e dθ 

= dt 

2 

µ k 

และจากการ integrate ทั Wงสองข้างของสมการ ทําให้ 



2αθ 

e l 

= t + C′ 

2α 2 

µ k 

2αθ 

2α 

l 

e = t + C ; C ≡ 2α 

C′ 

2 

µ k 

เมืNอ C คือค่าคงทีNของการ integrate และเมืNอทําการ take natural logarithm ทั Wงสองข้างของสมการ 

จะได้คําตอบของ θ ( t) 

ก็คือ 

1 ⎛ 2α 

l ⎞ 

θ ( t) = ln ⎜ t + C 

2α 2 ⎟ 

⎝ µ k ⎠ 

ตอบ 

ทั Wงนี WเมืNอทราบ θ ( t) 

สามารถแก้หา r( t ) ได้จากข้อมูลทีNโจทย์กําหนดให้ r = ke αθ 

เพราะฉะนั Wน 

หรือ 

⎡ 

αθ ( t) 

⎛ 2α 

⎞ 

r( t) ke k exp ⎢ 

l 

= = ln ⎜ t + C 

2 ⎟ 

⎢ ⎝ µ k 

⎣ 

⎠ 

2 2 

r( t) 

α l 

= t + k C 

µ 

เมืNอค่าคงทีN l ,C ทีNปรากฏในสมการของ r( t ) และ θ ( t) 

ขึ Wนอยู่กับเงืNอนไขเริ Nมต้นของการเคลืNอนทีN 

อาทิเช่น ตําแหน่งเริ Nมต้น หรือ อัตราเร็วเริ Nมต้น ของอนุภาค 

ตอบ 

1 2 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

แบบฝึ กหัด 3.5 ในการเคลืNอนทีNแบบ logarithmic spiral orbit r = ke αθ สมมุติให้ ณ เวลาเริ Nมต้น 

วัตถุอยู ่ ณ ตําแหน่ง r และกําลังโดนเหวีNยงออกไปด้วยอัตราเร็วเชิงมุม ɺ 0 

θ = ω จงหาว่า นาน 

0 

เท่าใด กว่าอนุภาคจะเคลืNอนทีNออกมาทีNรัศมี 3 เท่าของตําแหน่งเริ Nมต้น 

เฉลย 

4 

αω 

0 

, 0 αω0 

r( t) = r 2 t + 1 

แบบฝึ กหัด 3.6 ในการเคลืNอนทีNแบบ logarithmic spiral orbit r = ke αθ จงหาพลังงาน E ของ 

ระบบ 

เฉลย E = 0 



θ 

dt dθ 

dt 

บอกใบ้ ใช้กฎลูกโซ่ dr = dr d หรือ 

2 

= r ɺ 

l µ θ เพืNอลดรูปให้ E = 0 

dr 

r = ɺ 

dθ 

θ 

ɺ ผนวกกับ กฎการอนุรักษ์ angular momentum 

จาก logarithmic spiral orbit r 

และ b) มวล 1, 

2 

และ m1 = 100m2 


= ke αθ จงวาดกราฟแสดงเส้นทางการเคลืNอนทีNของ a) reduced mass 

m m โดยใช้ center of mass เป็นจุดกําเนิด เปรียบเทียบผลใน 2 กรณีคือ m1 = m2 

วิธีทํา สมมุติให้ r 0 = 2 เมตร −1 

α = 1rad และ k = 1 เมตร ข้อมูลเหล่านี Wทําให้เราทราบพิกัด 

( r, 

θ ) ของ reduced mass µ ณ เวลา t อย่างไรก็ตามระบบดังกล่าวเป็นสิ NงทีNเราจินตนาการขึ Wน 

ในทางคณิตศาสตร์เพืNอความสะดวก central force motion แท้จริงแล้วเป็นระบบของ 2 อนุภาค ซึ Nงมี 

ตําแหน่ง r 1 และ r 2 ซึ NงเราสามารถทีNจะใช้สมการ (3.8) ในการคํานวณ 

เมืNอวาดกราฟในโปรแกรม MathCAD จะได้ว่า 

m 1 

m 2 

m 

1 

= 

m 

2 

m 1 

m 

2 

m 

1 = 

100 

m 

2 

ให้สังเกตว่าในกรณีของ m1 = m2 

มวลทั Wงคู่โคจรรอบกันและกัน ในขณะทีNถ้า m 1 มีขนาดใหญ่ 



เมืNอเทียบกับ m 2 จะดูเหมือนว่า m 1 เป็นใจกลางทีNหยุดนิ Nง และมี m 2 โคจรอยู่โดยรอบ ตอบ 

ในหัวข้อ 3.2 เราได้ใช้ Lagrange mechanics เป็นพื Wนฐานในการสร้างเครืNองมือในการวิเคราะห์การ 

โคจรของดาว มีทฤษฏีบทและสมการจํานวนหนึ NงทีNได้กล่าวถึง อาทิ 1) การเคลืNอนทีNภายใต้ 

central force motion จะต้องมี angular momentum และ พลังงาน คงทีN ดังแสดงในสมการ (3.15) 

และ สมการ (3.16) ตามลําดับ และ 2) รูปร่างของวงโคจร ซึ Nงแทนด้วยฟังชันก์ r = r( θ ) ในพิกัด 

polar นั Wน มีความสัมพันธ์โดยตรงกับลักษณะของแรง F( r ) ทีNอนุภาคทั Wงสองกําลังกระทําต่อกัน 

ดังแสดงในสมการ (3.20) 

และในลําดับต่อไป เราจะได้ศึกษาแรง F( r ) ทีNเป็นตัวควบคุมพฤติกรรมการเคลืNอนทีNของวัตถุใน 

อวกาศ นั Nนก็คือ แรงโน้มถ่วง หรือ Gravity ซึ Nงอยู่ในรูปของ F( r) 

= − เมืNอ k = Gm 

2 

1m2 

อีก 

ทั Wงจะได้เป็นการแสดงตัวอย่างของการนําสมการทีNได้กล่าวมาแล้วข้างต้น มาประยุกต์ใช้ในการ 

วิเคราะห์ กฎทีNว่าด้วยการเคลืNอนทีNของดาวเคราะห์ของ Kepler ใน Section 3.3 และ Orbit Dynamics 

ใน Section 3.4 

r 

k 

Section 3.3 Kepler's Problem 

ดาราศาสตร์เป็นสิ NงทีNอยู ่ควบคู่กับมนุษย์ ตั Wงแต่ในยุคแรกทีNมีการเกิดขึ Wนของอารยะธรรม ชาวอียิปต์ทีN 

ต้องพึ Nงพาแม่นํ Wา Nile ในการเกษตรกรรม จําเป็นต้องทราบล่วงหน้าว่าเมืNอใดแม่นํ Wาจะท่วม เพืNอ 

เตรียมการป้ องกันความเสียหาย จากการสังเกตพบว่าการท่วมของแม่นํ Wาเกิดขึ Wนเป็นรอบ และในแต่ 

ละรอบนั Wน อยู่ห่างกันประมาณ 365 ราตรี นี Wเองจึงเป็นทีNมาของการกําหนดว่า 1 ปี มี 365 วัน ซึ Nงเป็น 

ระบบทีNมีขึ Wน อย่างน้อย 3000 ปีก่อนคริสตกาล (Zewail, Nobel Lecture, 1999) 

จนกระทั Nงในยุคสมัยของราชวงศ์ทีN 1 ของอียิปต์ เมืNอประมาณ 3100 ปีก่อนคริสตกาล ปราชญ์ใน 

แผ่นดินได้สังเกตว่า ทุกครั WงทีNจะมีการท่วมของแม่นํ Wา Nile ดาวฤกษ์ ทีNมีชืNอว่า Sirius จะปรากฏเด่น 

บนท้องฟ้ าเมืNอยามรุ่งสางในทิศตะวันออก เพราะฉะนั Wน แทนทีNจะทํานายการมาเยือนของอุทกภัย 

โดยใช้ระบบของการนับราตรี ชาวอียิปต์หันมาสังเกตดาวบนท้องฟ้ า และการใช้ดาวบนท้องฟ้ าใน 

การกําหนดระบบของปฏิทิน หรือ astronomical calendar ได้ถือกําเนิดขึ Wน เส้นทางการเคลืNอนทีNของ 

ดวงดาว คาบทีNใช้ในการโคจรครบหนึ Nงรอบ ตลอดจนอัตราเร็วของการเคลืNอนทีN ล้วนเป็นสิ NงทีNนัก 

ดาราศาสตร์ได้ขบคิดศึกษามาหลายศตวรรษ 



จนกระทั Nงในตอนต้นของศตวรรษทีN 17 เกือบ 5,000 ปีภายหลังจากการกําเนิดของ astronomical 

calendar Johann Kepler นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน ได้ทําการศึกษาข้อมูลทางดาราศาสตร์ ซึ Nงเกิด 

จากการสังเกตและบันทึกอย่างละเอียดโดย Tycho Brathe จากการศึกษาข้อมูลของการทดลอง 

ดังกล่าว Kepler ค้นพบกฎการเคลืNอนทีNของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ 3 ข้อด้วยกัน 

เกือบ 100 ปีต่อมา Newton บิดาแห่งวิชากลศาสตร์ และผู้คิดค้น calculus ได้พิสูจน์ให้เห็นในทาง 

ทฤษฏีถึงทีNมาของกฎทั Wง 3 ข้อทีN Kepler ค้นพบ นับเป็นกระบวนการทางวิทยาศาสตร์ทีNสอด 

ประสานอย่างงดงาม ระหว่างการสังเกตด้วยการทดลองของ Tycho Brathe การวิเคราะห์ผลการ 

ทดลองในเบื Wองต้นโดย Johann Kepler และการทําความเข้าใจในเชิงทฤษฏีของ Isacc Newton 

เนื Wอหาในหัวข้อ 3.3 นี W เราจะได้ย้อนรอยอดีตของการศึกษาการโคจรของดาวเคราะห์ ตลอดจนกฎ 

ทั Wง 3 ข้อของ Kepler อย่างไรก็ดี เป็นทีNทราบโดยทั Nวไปว่า วงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ 

นั Wน มีลักษณะเป็นวงรี หรือ บางครั Wงวงกลม เพืNอทีNจะวิเคราะห์การเคลืNอนทีNดังกล่าวโดยใช้ 

คณิตศาสตร์ เราจะต้องทําการทบทวนทฤษฏีบททีNว่าด้วย conic section กันเสียก่อน 

Conic Section เกิดจากการทีระนาบตัดกับทรงกรวย 

Credit: Keith G. Calkins 

Parabola ระนาบมี Slope 

เท่ากับ Slope ของกรวย 

วงกลม วงรี ระนาบมี Slope 

น้อยกว่า Slope ของกรวย 

Hyperbola ระนาบมี Slope 

มากกว่า Slope ของกรวย 

ภาพ (3.8) แสดงพื WนทีNหน้าตัดรูปแบบต่างๆกัน ซึ NงเกิดจากการทีNระนาบ ตัดกับทรงกรวย 

Conic Section - ภาคตัดกรวย 

รูปร่างทางเรขาคณิต อาทิเช่น วงกลม วงรี parabola หรือ hyperbola จัดอยู่ในกลุ่มของรูปร่างทีNเรา 

เรียกว่า "conic section" หรือ "ภาคตัดกรวย" ซึ NงเกิดจากการทีNระนาบ ตัดกับรูปกรวย ดังแสดงใน 


W 


ภาพ (3.8) 

เมืNอระนาบตัดกับทรงกรวยดังแสดงในภาพ ขึ Wนอยู่กับความชัน หรือ slope ของระนาบ 

พื WนทีNหน้าตัดทีNเกิดขึ Wนก็จะมีรูปร่างทางเรขาคณิตทีNแตกต่างกัน ซึ Nงสามารถจําแนกออกเป็นประเภท 

ได้ดังนี 

Parabola เป็นกรณีทีN slope ของระนาบ มีค่าเท่ากับ slope ของกรวยพอดี 

วงกลม และ วงรี 

เกิดขึ Wนถ้า slope ของระนาบ มีค่าน้อยกว่า ความชันของกรวย 

จากภาพจะพบว่า ถ้าระนาบมีความชันเป็นศูนย์ ก็จะเกิดวงกลม 

Hyperbola เมืNอระนาบมีความชันมากขึ Wน จนมากกว่า slope ของกรวย 

เมืNอต้องการศึกษาสมบัติของรูปร่างดังกล่าวโดยอาศัยกระบวนการทางคณิตศาสตร์ เราสามารถทํา 

ได้โดยอาศัยพิกัด Cartesian ซึ Nงมีสมการของแต่ละรูปร่างนั Wน แตกต่างกันออกไป ดังแสดงในภาพ 

(3.9) 

2 

x 

= 

4 

ay 

2 

2 2 2 

x + y = 

r 

2 

2 2 

x y 

+ = 

1 

2 2 

a b 

2 

2 2 

x y 

− = 

1 

2 2 

a b 

2 

1 

1 

1 

1 

− 2 

− 1 

0 1 2 

− 2 

− 1 

0 1 2 

− 2 

− 1 

0 1 2 

− 2 

− 1 

0 1 2 

− 

1 

− 

1 

− 

2 

− 

2 

− 

2 

− 

2 

parabola circle ellipse hyperbola 

ภาพ (3.9) แสดงสมการทางคณิตศาสตร์ของรูปร่างต่างๆ ซึ Nงเขียนขึ Wนโดยใช้พิกัด Cartesian 

− 

1 

− 

1 

ดังแสดงในภาพ รูปร่างทีNแตกต่างกัน เมืNอเขียนขึ Wนเป็นสมการในพิกัด Cartesian ก็จะมีรูปแบบ 

ของสมการแตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม เมืNอนักศึกษาสังเกตการเกิดขึ Wนของรูปร่าง conic section 

ดังกล่าวนี W ปรากฏว่ามีกระบวนการทีNเหมือนกัน กล่าวคือ เกิดจากการตัดกันระหว่างระนาบและทรง 

กรวย เหมือนกัน จะต่างกันก็แต่เพียง slope ของระนาบเท่านั Wน ด้วยต้นตอของการเกิดรูปร่างทีN 

เหมือนกัน บอกใบ้ให้ทราบว่า มีวิธีทีNเราจะรวบเอารูปร่างทางเรขาคณิตเหล่านี W รวมเป็นหนึ Nงให้อยู ่ใน 

รูปแบบของสมการทางคณิตศาสตร์อันเดียวกัน 



ในระบบพิกัดแบบ polar ซึ Nงใช้ตัวแปร ( r, 

θ ) ในการกํากับตําแหน่งของวัตถุ รูปร่างของภาคตัด 

กรวยทั Wงหมด อยู ่ในรูปแบบของสมการ 

สมการของ Conic Section 

⎧ε 

= 0 circle 

α ⎪0 < ε < 1 ellipse 

r( θ ) = ⎨ 

1 + ε cosθ 

⎪ε 

= 1 parabola 

⎪ 

⎩1 < ε hyperbola 

____ สมการ (3.21) 

และเพืNอทีNให้นักศึกษาเข้าใจถึงความสําคัญของตัวแปร ε , α ตลอดจนเงืNอนไขดังสมการข้างต้น เรา 

จะวิเคราะห์การเกิดขึ Wนของ วงกลม วงรี parabola และ hyperbola ในรายละเอียด 

2 

1 

circle: ε = 

0 

ε = a) กรณีของ วงกลม เมืNอ ε = 0 จะทํา 

ให้รัศมี r( θ ) ลดรูปลงมาเหลือค่าคงทีN 

ซึ Nงก็คือ α 

α 

r( θ ) = = 

1 ε cos 

θ 

α 

+ 

− 3 

− 2 

− 1 

0 1 

− 

1 

− 

2 

ดังนั Wน α ทําหน้าทีNเป็นรัศมีของวงกลม 

นั Nนเอง 

2 

1 

− 3 

− 2 

− 1 

0 1 

r 

max 

− 

1 

− 

2 

r 

min 

ellipse: 0 < ε 

< 

1 

@ θ = 

0 

α 

r 

( θ 

) 

= = 

r 

1 

+ 

ε 

@ θ 

= 

π 

α 

r 

( θ 

) 

= = 

r 

1 

− 

ε 

min 

max 

b) ในกรณีของ วงรี เมืNอ 0 < ε < 1 

r( θ ) จะเปลีNยนแปลงตามมุม θ 

โดยเริ NมทีN r min ณ θ = 0 เพิNมขึ WนเรืNอยๆ 

ตามมุม θ ถึงจุดสูงสุดทีN r max ณ 

θ = π จากนั Wนวกกลับ ทําให้เกิดวงปิด 

2 

1 

− 3 

− 2 

− 1 

0 1 

− 

1 

− 

2 

r min 

parabola: ε = 

1 

@ θ = 

0 

α 

r 

( θ ) 

= = 

r 

1 + 

1 

@ θ 

= 

π 

r 

( θ ) 

= ∞ = 

r 

max 

(ไม่มีจุดวกกลับ) 

min 

c) ในกรณีของ parabola เมืNอ ε = 1 

r( θ ) ยังคงมีค่า rmin = α 2 ณ θ = 0 

แต่มีค่า rmax 

α 

= = ∞ 

1−1 

หรือไม่มีจุด 

วกกลับ ทําให้ไม่เกิดวงปิด ซึ Nงเป็น 

ลักษณะของพาราโบล่า 



2 

1 

− 3 

− 2 

− 1 

0 1 

− 1 

− 2 

hyperbola: ε > 

1 

@ θ = 

0 

α 

r( θ ) = = r 

1+ 

ε 

@ θ 

< 

π 

r 

( θ ) 

= ∞ = 

r 

max 

(ไม่มีจุดวกกลับ) 

min 

d) ในกรณีของ hyperbola ถ้า ε > 1 

มุม θ ไม่จําเป็นต้องมีค่าเท่ากับ 180 องศา 

เพืNอจะทําให้เทอม 1− ε cosθ 

= 0 

ดังนั Wน r max = ∞ ณ θ < π ส่งผลให้ 

ความโค้ง "เปิดอ้า" ออกมากกว่า parabola 

กล่าวโดยสรุป รูปเรขาคณิต วงกลม วงรี parabola และ hyperbola จัดอยู่ในประเภททีNเรียกว่า conic 

section ซึ NงเกิดจากการทีNระนาบดัดกับทรงกรวย ในพิกัด polar เราสามารถแทนสมการของรูปร่าง 

α 

1 ε cosθ 

ดังกล่าว รวมอยู ่ในสมการเดียวคือ r( θ ) = โดยทีNตัวแปร ε ซึ NงมีชืNอในทางคณิตศาสตร์ 

+ 

ว่า "eccentricity" เป็นตัวกําหนดชนิดของรูปร่างทีNเกิดขึ Wน ดังแสดงในภาพ (3.10) 

2 

1 

α 

r 

( θ 

) 

= 1 + ε cos θ 

ellipse 

circle 

− 3 

− 2 

− 1 

0 1 

− 1 

parabola 

hyperbola 

− 2 

ชนิดของ conic section 

ε 

= 0 circle 

0 < ε 

< 1 ellipse 

ε 

= 

1 parabola 

1 < 

ε 

hyperbola 

ภาพ (3.10) แสดงชนิดของ conic section โดยมีจุดกําเนิดเป็น จุดโฟกัส 




r max 

r min 

จุดกําเนิด (Focus) 

b = semi-minor axis 

aε 

a = semi-major axis 

ภาพ (3.11) แสดงวงรี โดยมีจุดโฟกัสเป็นจุดกําเนิด 

วงรีประกอบด้วย 2 แกน คือ a) major axis หรือ แกนหลัก และ b) minor axis หรือ แกนรอง ใน 

การอธิบายถึงขนาดของมัน เรามักใช้ตัวแปร a และ b เรียกว่า semi-major axis และ semi-minor 

axis ซึ Nงหมายถึง ความยาวกึ Nงหนึ Nงของแกนหลัก และ กึ Nงหนึ Nงของแกนรอง ตามลําดับ ดังแสดงใน 

ภาพ จงพิสูจน์ว่า 

Ellipse semi-major axis a = ___________ สมการ (3.22) 

− 

2 

วิธีทํา จากสมการ (3.21) ในกรณีของวงรี 0 < ε < 1 นั Wน 

1 

α 

ε 

α 

r = rmin 

= ณ θ = 0 

1 + ε 

α 

r = rmax 

= ณ θ = π 

1 − ε 

และจากคํานิยามของ semi-major axis ในภาพข้างต้น ระยะ 2a = rmin + rmax 

ดังนั 

Wน 

หรือ 

α α ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ 2 

2a = r min + r max = + = α ⎜ + ⎟ = α = α 

1+ ε 1− ε ⎝1+ ε 1− ε ⎠ 

⎜ ( 1 ε )( 1 ε ) ⎟ 

⎝ + − ⎠ 1−ε 

2 

a 

1 

α 

= 

− 

ตอบ 

ε 

2 

แบบฝึ กหัด 3.7 ในกรณีของวงรี จะแสดงให้เห็นว่า 

Ellipse semi-minor axis b = αa 

___________ สมการ (3.23) 



แบบฝึ กหัด 3.8 ในกรณีของวงรี จะแสดงให้เห็นว่า 

Ellipse Area A = π ab ___________ สมการ (3.24) 

บอกใบ้ ทําการ integrate ในพิกัด Cartesian ผนวกกับสูตร 

∫ 

1 ⎛ 

dx a − x = x a − x + a 

2 ⎜ 

⎝ 

2 2 2 2 2 −1 

sin 

x ⎞ 

a ⎟ 

⎠ 

1st Law of Kepler 

Kepler ภายหลังจากการศึกษาข้อมูลการเคลืNอนทีNของดาว ซึ Nงรวบรวมไว้โดย Tycho Brahe ได้เสนอ 

กฎของการเคลืNอนทีNของดาวเคราะห์ไว้ทั Wงหมด 3 ข้อ โดย 2 ข้อแรกในปี ค.ศ. 1609 และ ข้อ 

สุดท้ายในปี ค.ศ. 1619 และมีใจความสําคัญก็คือ 

Kepler's Law 

I. Law of Orbits ดาวเคราะห์เคลืNอนทีNเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัส 

___________ สมการ (3.25) 

เพืNอแสดงให้เห็นว่า กฎข้อแรกของ Kepler นั Wน สอดคล้องกับสมการการเคลืNอนทีNของ central force 

motion ทีNผ่านมาใน Section 3.2 เราพิจารณาสมการทีNแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง เส้นทางการ 

เคลืNอนทีN r( θ ) และแรง F( r ) ดังแสดงในสมการ (3.20) 

2 

d ⎛ 1 ⎞ 1 µ k 

2 ⎜ ⎟ + = 

r r 

2 

dθ 

⎝ ⎠ l 

___________________ สมการ (3.26) 

k 

= − ซึ 

r 

ทั Wงนี WเมืNอแทน F( r) 

2 

Nงเป็นลักษณะของแรงโน้มถ่วง ( k = Gm1m 

2) จะได้ทางขวามือของ 

สมการข้างต้น สมการ (3.26) เป็นตัวกําหนดพฤติกรรมการเคลืNอนทีNของระบบ ภายใต้แรงโน้มถ่วง 

ซึ Nงมีผลเฉลยของสมการคือฟังชันก์ r( θ ) 

ในลําดับต่อไปเราต้องการทดสอบว่า ถ้า r( θ ) อยู่ในรูปของวงรีดังสมการ (3.21) แล้วจะสามารถ 

ทําให้สมการ (3.26) เป็นจริงได้หรือไม่ 

α 

1 ε cosθ 

เริNมด้วยการแทน r( θ ) = ในทางซ้ายมือของสมการ (3.26) 

+ 



Left Hand Side: L.H.S. = 

2 2 

d ⎛ 1 ⎞ 1 d ⎛1+ ε cosθ ⎞ 1+ 

ε cosθ 

2 ⎜ ⎟ + = 

r r 

2 ⎜ ⎟ + 

dθ 

⎝ ⎠ dθ 

⎝ α ⎠ α 

0 − ε cosθ 1+ 

ε cosθ 

= + 

α α 

2 

d ⎛ 1 ⎞ 1 1 

2 ⎜ ⎟ + = 

dθ 

⎝ r ⎠ r α 

ซึ Nงเป็นค่าคงทีN ในขณะทีNทางขวามือของสมการ (3.26) อยู ่ในรูปของ 

µk 

Right Hand Side: R.H.S. = 

2 

l 

และก็เป็นค่าคงทีNอีกเช่นกัน จะเห็นว่าสมการ (3.26) มีโอกาสเป็นจริงได้ ด้วยเงืNอนไข 

1 µ k 

α = 2 

l 

หรือ 

2 

α µk 

= l ___________________ สมการ (3.27) 

ในเมืNอฟังชันก์ r( θ ) 

= α 

ซึ 

1 + ε cosθ 

Nงเป็นสมการการเคลืNอนทีNในลักษณะของ conic section ทําให้ 

สมการ (3.26) เป็นจริงได้ ย่อมแสดงว่ามันเป็น ผลเฉลยของสมการ และบ่งบอกถึงเส้นทางการ 

เคลืNอนทีNในกรณีของแรงโน้มถ่วง 

จากบทพิสูจน์ข้างต้น เส้นทางการโคจรของดาวเคราะห์ หรือ วัตถุในท้องฟ้ า จริงอยู ่อาจจะอยู ่ใน 

รูปของวงรี ดังทีNกฎข้อ 1 ของ Kepler กล่าวไว้ อย่างไรก็ตาม รูปร่างของวงโคจรทีNสามารถอธิบายได้ 

ด้วยสมการ r( θ ) 

= α 

นั 

1 + ε cosθ 

ขึ Wนอยู่กับเงืNอนไขของตัวแปร α และทีNสําคัญ ε 

Wน ยังสามารถเป็น circle, parabola, หรือ hyperbola ได้อีกด้วย 

จากสมการ (3.27) เราได้ทราบความสัมพันธ์ระหว่าง α กับ angular momentum ของระบบ และเรา 

สามารถหาความสัมพันธ์ระหว่าง eccentricity ε กับพลังงานของระบบได้ดังนี W 

Eccentricity 

2El 

ε = 1+ 

µ k 

2 

2 




สมการข้างต้นมีความสําคัญอย่างยิ Nงในการวิเคราะห์หารูปร่างของวงโคจร ว่าเกีNยวพันกับ angular 

momentum l และ พลังงานของระบบ E เช่นใด 

แบบฝึ กหัด 3.9 พิสูจน์สมการ (3.28) 

บอกใบ้ หา E ของระบบ ณ ตําแหน่ง 

ดังนั Wนเราสรุปได้ว่า 

r = r ซึ 

min 

Nงเป็นจุดวกกลับพอดี ดังนั Wน r ɺ = 0 ณ จุด θ = 0 

Central Force Motion ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง F( r) 

= − 

2 

α 

1 ε cosθ 

มีเส้นทางของวงโคจร r( θ ) = โดยทีN 

+ 

2 

α µk 

r 

k 

= l และ 

2El 

ε = 1+ 

µ k 


แบบฝึ กหัด 3.10 คํานวณพลังงาน E ของระบบ ในกรณีของวงโคจรรูปวงกลม 

เฉลย 

µ k 

E = − 

2 l 

2 

2 

ขณะดาวเคราะห์เคลือนที ภายในหนึงหน่วยเวลา dt 

มันกวาดได้พืนที 

dA 

(a) 

2 

2 

dA 

dt 

dA 

2 nd Law of Kepler: มีค่าคงทีเสมอ 

(จุดโฟกัส) 

dA 

(b) 

ภาพ (3.12) แสดงลักษณะของพื WนทีN dA ทีNเกิดขึ Wน ในขณะดาวเคราะห์โคจร 

2nd Law of Kepler 

กฎข้อ 2 ของ Kepler เกีNยวข้องกับอัตราเร็วของการเคลืNอนทีN ในขณะทีNดาวเคราะห์อยู ่ในวงโคจรทีNมี 

ลักษณะเป็นวงรี ยกตัวอย่างเช่น ในกรณีของโลกซึ Nงกําลังโคจรรอบดวงอาทิตย์ดังแสดงในภาพ (3.12) 

ในขณะทีNกําลังเคลืNอนทีNในระนาบ ณ ตําแหน่ง (a) วัตถุจะสามารถกวาดได้พื WนทีN dA จากการศึกษา 

Kepler พบว่า พื WนทีNซึ Nงดาวเคราะห์กวาดได้ ต่อหนึ Nงหน่วยเวลา มีค่าคงทีNเสมอ 



Kepler's Law 

II. Law of Areal Velocity 

พื WนทีN ซึ Nงดาวเคราะห์กวาดได้ ต่อหนึ Nงหน่วยเวลา มีค่าคงทีNเสมอ 


กฎข้อ 2 ของ Kepler ทําให้เราสามารถอธิบายได้ว่า เพราะเหตุใดเวลาทีNดาวหางโคจรเข้ามาใกล้ดวง 

อาทิตย์ มันจะมีอัตราเร็วสูงกว่าในขณะทีNมันอยู ่ไกลจากดวงอาทิตย์ 

ดังแสดงในภาพ (3.12) จุด (a) ในขณะทีNอยู ่ไกลจากดวงอาทิตย์ รัศมีของการโคจรมีค่ามาก และมี 

พื WนทีN ทีNกวาดได้เท่ากับ dA 

เมืNอดาวหางเข้าใกล้ดวงอาทิตย์ ณ จุด (b) ดังแสดงในภาพ เนืNองจากรัศมีของการโคจรมีค่าน้อย 

พื WนทีN ทีNกวาดได้มีแนวโน้มจะน้อยลง เพืNอบังคับให้พื WนทีN dA มีค่าเท่าเดิม เป็นไปตามกฎข้อ 2 ของ 

Kepler ดาวหางจะต้องเคลืNอนทีNในแนวเส้นโค้ง ให้เป็นระยะทางไกลกว่าเดิม 

เมืNอดาวหาง ณ จุด (b) ต้องเดินทางเป็นระยะทางไกลกว่า เมืNอเปรียบเทียบกับจุด (a) ภายในระยะเวลา 

เท่าๆกัน เราบอกได้ว่า อัตราเร็วของดาวหางจะสูงขึ WนเมืNอเคลืNอนทีNเข้ามาใกล้ดวงอาทิตย์ 

dθ 

r ( θ 

) 

rdθ 

โดยอาศัยกฎการอนุรักษ์ angular momentum เราสามารถพิสูจน์กฎข้อ 2 ของ Kepler ได้อย่างง่ายดาย 

พิจารณาการโคจรเป็นรูปวงรี ดังแสดงในภาพข้างต้น 

ภายในเวลา dt วัตถุเคลืNอนทีNเป็นระยะสั Wนๆ และมีมุมกวาด dθ ส่งผลให้เกิดเป็นพื WนทีNรูป 

สามเหลีNยม ซึ Nงมีขนาดเท่ากับ 

1 

2 

1 

2 r dθ 

2 

dA = x ฐาน x สูง = 



เมืNอนํา dt หารทั Wงสองข้างของสมการข้างต้น ทําให้ 

dA 

dt 

1 dθ 

1 

2 dt 2 

2 2 

= r = r ɺ 

θ 

2 

นอกจากนี Wเราทราบว่า angular momentum = µ r ɺ 2 

l θ หรือ r ɺ θ เพราะฉะนั Wนแล้ว พื WนทีN 

ทีNกวาดได้ ต่อหนึ Nงหน่วยเวลา ก็คือ 

= l 

µ 


dA l 

= = constant 

dt 2µ 


3rd Law of Kepler 

โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ 1 รอบ ใช้เวลา 1 ปี ระยะเวลาดังกล่าวนี Wเอง คือคาบของการเคลืNอนทีNของ 

วัตถุครบ 1 รอบ แทนด้วยสัญลักษณ์ τ นักศึกษาคงจะพอเดาได้ว่า คาบของการเคลืNอนทีNนั Wน ควร 

จะสัมพันธ์อยู ่กับรัศมีของการโคจร กล่าวคือ ดาวเคราะห์ทีNโคจรอยู ่ใกล้ดวงอาทิตย์ อาทิ ดาวพุธ 

ดาวศุกร์ หรือ แม้กระทั Nงโลก ควรจะมีคาบ τ น้อยกว่าดาวทีNอยู ่ห่างออกไป อาทิเช่น ดาวยูเรนัส 

โคจรรอบดวงอาทิตย์ 1 รอบใช้เวลาถึง 84.07 ปี 

Kepler เป็นคนแรกทีNสามารถอธิบายสมการทางคณิตศาสตร์ ทีNโยงความสัมพันธ์ ระหว่าง period ของ 

การเคลืNอนทีN τ และ semi-major axis ของการโคจร a ได้สําเร็จ และเสนอเป็นกฎข้อ 3 ของ 

Kepler ในปี ค.ศ. 1619 หรือ 10 ปีให้หลังนับจากทีNเขาเสนอกฎ 2 ข้อแรก 

Kepler's Law 

2 3 

III. Law of Period คาบยกกําลังสอง แปรผันตรงกับ semi-mjor axis กําลังสาม หรือ τ ∼ a 


แบบฝึ กหัด 3.11 ในการโคจรเป็นวงกลมเนืNองจากแรงโน้มถ่วงรอบจุดโฟกัส ถ้าอยู่ห่างจากจุด 

โฟกัสออกไป 9 เท่า จะใช้เวลาโคจรครบ 1 รอบนานขึ Wนเท่าใด 

เฉลย ใช้เวลานานขึ Wน 27 เท่า 

ด้วยข้อจํากัดทางทฤษฏีในยุคของ Kepler ซึ Nงเป็นเวลาเกือบ 100 ปี ก่อนทีNจะมีกลศาสตร์ Newton 



หรือ calculus เป็นเรืNองน่าทึ NงทีN Kepler สามารถวิเคราะห์ข้อมูล จนสามารถมองเห็นความสัมพันธ์ 

ดังในสมการ (3.32) 

โดยอาศัยการศึกษาเรืNอง central force motion เราผู้ได้มีโอกาสศึกษาเกีNยวกับกลศาสตร์ ตลอดจน 

calculus มาพอสมควร ย่อมถือว่าได้เปรียบ Kepler เมืNอกว่า 400 ปีก่อน มากมายนัก 

จากสมการ (3.31) เราทราบว่าพื WนทีN dA ทีNวัตถุกวาดไปได้ภายในเวลาสั Wนๆ อยู่ในรูปของ 

dA = l dt 

2µ 

ทั Wงนี WเมืNอทําการ integrate ทั Wงสองข้างของสมการ 

dA = l l 

dt = dt 

2µ 2µ 

∫ ∫ ∫ 

จะเห็นว่า ∫ dA ก็คือพื WนทีNทั Wงหมดของวงรี ซึ Nงจากสมการ (3.24) ในแบบฝึกหัด A = π ab 

ในขณะทีN ∫ dt ก็คือเวลาทั Wงหมดในการโคจร ซึ Nงก็คือ คาบ τ นัNนเอง เพราะฉะนั Wนแล้ว 

π ab 

= l τ 

2µ 

เมืNอแทน b = αa 

ดังปรากฏในสมการ (3.23) และ 

2 

α µk 

= l ดังปรากฏในสมการ (3.29) จะได้ 

ว่า 

π a 

2 

l l 

a = τ 

µ k 2µ 

ทําการยกกําลังสองทั Wงสองข้าง และจัดรูป จะนําไปสู ่สมการทีNอธิบายกฎข้อ 3 ของ Kepler กล่าวคือ 


2 

2 4π µ 3 

τ = a ___________________ สมการ (3.33) 

k 

แบบฝึ กหัด 3.12 ดาว 2 ดวงโคจรรอบกันและกันในลักษณะวงกลม โดยมีคาบเท่ากับ τ จงแสดง 



ให้เห็นว่า ระยะห่างระหว่างดาวทั Wงสองคือ 

m 

+ m 

3 2 

Binary Stars a = G 

1 2 

τ ___________________ สมการ (3.34) 

4π 

2 

ภาพ (3.13) แสดงข้อมูลของดาวเคราะห์ (คัดลอกมาจาก Marion และ Thornton, "Classical 

Dynamics of Particles and System") 

แบบฝึ กหัด 3.13 จากข้อมูลทีNแสดงในภาพ (3.13) วาดกราฟแสดงความสัมพันธ์ ระหว่าง 

3 

a (ใน 

2 

แนวนอน) และ τ (ในแนวตั Wง) ซึ Nงจะได้กราฟเส้นตรง ทีNมีความชันโดยประมาณคือ 

2 

4π 

GM 

M ⊙ คือมวลของดวงอาทิตย์ อภิปรายว่าเหตุใด โดยประมาณแล้ว เราไม่จําเป็นต้องนํามวลของดาว 

เคราะห์มาวิเคราะห์ร่วมด้วย 

⊙ 

เมืNอ 



การเดินทางของยานอวกาศ STARDUST ในการเก็บตัวอย่างจากดาวหาง 

Collect Sample 

STARDUST 

Reentry 

Wild 2 

Earth 

Research 

Jupiter 

Credit: Jet Propulsion Laboratory 

ภาพ (3.14) แสดงวงโคจรในช่วงแรกของยานอวกาศ STARDUST เปรียบเทียบกับของดาวหาง 

Wild 2 เพืNอจะเคลืNอนทีNเข้าสู่วงโคจรของ Wild 2 ตัวยานอวกาศต้องมีการจุดเชื Wอเพลิง เพืNอเพิNม 

พลังงานของมัน ทุกอย่างจะต้องคํานวณไว้ล่วงหน้าอย่างแม่นยํา ก่อนเหตุการณ์จริง 

Section 3.4 Orbit Dynamics 

การ "ขับ" กระสวยอวกาศเพืNอเดินทางระหว่างดาวเคราะห์ หรือ การพุ่งเฉียดดาวหางเพืNอเก็บตัวอย่าง 

ของแก็ส นั Wนลําบากกว่ากับขับรถยนต์หลายเท่าตัว ประการแรกเชื WอเพลิงทีNบรรจุอยู่มีจํากัด 

เพราะฉะนั Wนการเลี Wยว หรือ การเปลีNยนเส้นทางโคจรแต่ละครั Wง จําเป็นต้องมีการคํานวณอย่างละเอียด 

เพืNอให้ถึงทีNหมายโดยใช้พลังงานน้อยทีNสุด ประการทีNสอง การเคลืNอนทีNใช้เวลานาน และใช้เวลา 

ส่วนใหญ่ปล่อยให้กระสวยอวกาศเคลืNอนทีNตามกฎทางฟิสิกส์ ในขณะทีNการขับรถ เราจําเป็นต้อง 

เลี Wยวซ้ายหรือแซงขวาอยู ่บ่อยครั Wง 

orbit dynamics เป็นหัวข้อทีNเกีNยวข้องกับการควบคุม หรือ เปลีNยนแปลงวงโคจรของวัตถุในอวกาศ 

และมีศักยภาพในการนําไปประยุกต์ใช้ประโยชน์อย่างมหาศาล ทั WงทีNเกีNยวกับดาวเทียม การสํารวจ 

อวกาศ และ การบิน ยกตัวอย่างเช่น "project stardust" 

NASA ซึ Nงเป็นองค์กรการสํารวจอวกาศของประเทศสหรัฐ ได้ลงทุนกว่า 150$ ล้านเหรียญ ใน 

โครงการทีNจะส่งกระสวยอวกาศออกไปเก็บตัวอย่างของแก็สและฝุ ่นละอองทีNอยู ่โดยรอบดาวหาง 

และนํากลับมาศึกษาบนผิวโลก โดยให้ชืNอโครงการนี Wว่า project stardust 



ดังแสดงในภาพ (3.14) เป็นแผนเส้นทางการโคจรทีNเริ Nมวางไว้ในปี ค.ศ. 1992 โดยทีNยานอวกาศ 

ทะยานออกจากโลกเมืNอวันทีN 7 กุมภาพันธ์ 1999 เพืNอเก็บตัวอย่างสารประเภทคาร์บอนของดาวหาง 

Comet Wild 2 จากนั Wนวนรอบดวงอาทิตย์ 3 รอบ และเดินทางกลับมายังผิวโลกเมืNอ เดือน 

มกราคม ค.ศ. 2004 นับรวมเป็นเวลากว่า 5 ปีของการเดินทาง 

และเนื Wอหาใน Section 3.4 Orbit Dynamics เราจะได้มีโอกาสศึกษาเทคนิคอย่างง่ายของการควบคุม 

เส้นทางการบินในอวกาศ 

เราสามารถเปลีNยนวงโคจร โดยอาศัยแรงขับจากการจุดระเบิดไอพ่น ทําให้ความเร็วของดาวเทียม 

สูงขึ Wน หรือ ตํ Nาลง ขึ Wนอยู่กับทิศทางของแรงขับ เมืNอความเร็วเปลีNยนแปลง ส่งผลให้พลังงานของ 

มันมีค่าแตกต่างจากเดิมตามไปด้วย ดังนั Wน ในขั Wนต้นนี W เราจะเริ Nมศึกษาความสัมพันธ์ระหว่าง 

พลังงาน E ของการเคลืNอนทีN และ รูปร่างของวงโคจรทีNจะเกิดขึ Wน 

พลังงาน และ วงโคจร 

พิจารณาสมการของพลังงาน E ในระบบ central force motion 

2 

2 l 

ɺ ( ) ___________________ สมการ (3.35) 

2 

1 

E = µ r + + U r 

2 2µ 

r 

ในเมืNอ E มีค่าคงทีN ดังนั Wนถ้าเราสามารถคํานวณพลังงานดังกล่าว ณ จุดใดจุดหนึ Nงของวงโคจร มันก็ 

ย่อมมีค่าเท่าเดิมในทุกๆตําแหน่งเช่นเดียวกัน ดังนั Wน พิจารณาในขณะทีNวัตถุเคลืNอนทีNเข้ามาใกล้จุด 

โฟกัสมากทีNสุด หรือ r = rmin 

ดังแสดงในภาพ (3.10) 1) สมมุติว่าวัตถุเริ NมเคลืNอนทีNเข้ามาใกล้ ในช่วงนี W รัศมี r จะมีค่าลดลง หรือ 

dr 

อีกนัยหนึ Nง 0 

dt < 2) เมืNอมาถึงยังตําแหน่ง r = rmin 

= วัตถุจะอยู ่ใกล้จุดโฟกัสทีNสุด 3) 

1 + ε 

dr 

จากนั Wนจะเริ NมเคลืNอนทีNออกห่าง ทําให้รัศมีเพิ Nมขึ WนเมืNอเวลาผ่านไป หรืออีกนัยหนึ Nง 0 

dt > โดยทีN 

ทั Wง 3 ขั Wนตอนสรุปโดยสังเขปได้ว่า 

α 

1) เคลืNอนเข้าใกล้ 

dr 

0 

dt < 

2) ใกล้ทีNสุด ณ r 

α 

rmin 

= = 

1 + ε 



dr 

3) เริNมออกห่าง 0 

dt > 

จากกระบวนการข้างต้น จะพบว่า dr มีการเปลีNยนเครืNองหมาย จากน้อยกว่าศูนย์ มาเป็น มากกว่า 

dt 

dr 

ศูนย์ ดังนั Wน ณ ตําแหน่ง r = r จะได้ว่า อัตราเร็วในแนวรัศมี r ɺ 0 

min 

dt = = 

แบบฝึ กหัด 3.14 จงพิสูจน์ว่า ณ ตําแหน่ง 

เท่านั Wน กล่าวคือ v = rθɺ 

r = r อัตราเร็วของวัตถุมีเฉพาะส่วนของการหมุน 

min 

ดังนั Wน เมืNอแทน r ɺ = 0 ณ ตําแหน่ง r rmin 

ถ่วง ในสมการ (3.35) จะทําให้ 

α 

= = แทน U ( r) 

1 + ε 

k 

r 

= − ในกรณีของแรงโน้ม 

min 

l k 

E = 0 + − 

2 µr r 

2 

2 

min 

min 

2 

แต่จากสมการ (3.27) l = αµk ดังนั Wนพลังงาน E 

α 

1 ε 

จากนั Wนแทน rmin 

= จะได้ว่า + 

α µ k 

= 

2 r 

1+ ε ⎛1+ 

ε ⎞ k 

E = k ⎜ − 1⎟ 

= − 

α ⎝ 2 ⎠ 2 

k k ⎛ α ⎞ 

− = ⎜ −1⎟ 

r r 2r 

⎠ 

µ min 

2 min min ⎝ min 

2 

( 1− 

ε ) 

เนืNองจาก semi-major axis a สัมพันธ์อยู ่กับ eccentricity ε ดังในสมการ (3.22) เพราะฉะนั Wน 

พลังงาน E ลดรูปเหลือเพียง 

α 

E 

k 

2a 

= − ___________________ สมการ (3.36) 

ผลลัพธ์ข้างต้น มีความสําคัญอย่างยิ Nง ในการควบคุมกระสวยอวกาศ เพราะแสดงความสัมพันธ์ 

ระหว่างพลังงานของมัน และ semi-major axis a ซึ NงเกีNยวข้องโดยตรงกันรูปร่างของวงโคจร ดังทีN 

ได้กล่าวไปแล้วในตอนต้นว่า เราสามารถควบคุมพลังงานโดยการจุดระเบิดเครืNองยนต์จรวด และ 



อาศัยสมการ (3.36) เป็นการควบคุมเส้นทาง และ รูปร่างของการโคจรโดยปริยาย 


บั Wงไฟมวล m อยู่ในวงโคจร ภายใต้สนามโน้มถ่วงทีNมีค่าคงทีN k โดยทีNวงโคจรเป็นวงกลมซึ Nงมีรัศมี 

r จากนั WนมีการจุดระเบิดเพืNอเร่งให้อัตราเร็วขึ Wนมากกว่าเดิม 2 เท่า จงหาลักษณะของวงโคจรใหม่ 

1 

วิธีทํา จากโจทย์แสดงว่า พลังงานศักย์อยู ่ในรูปของ U ( r) 

= − และเมืNอวงโคจรเป็นวงกลม 

แสดงว่ารัศมี r มีค่าคงทีN หรือ rmin rmax r1 

k 

r 

= = ในการนําสมการ (3.36) มาใช้งาน เราต้องทราบ 

r + r 2r 

2 2 

min max 

semi-major axis a ของการเคลืNอนทีN และจากภาพ (3.11) a = = 

1 

ทําให้บั Wงไฟมี 

พลังงานก่อนการจุดระเบิดเท่ากับ 

E 

1 

= − 

k 

2r 

1 

และเราสามารถคํานวณหาอัตราเร็วในขณะนี Wได้ โดยพิจารณา E 1 ออกเป็นส่วนของพลังงานจลน์ 

และพลังงานศักย์ 

1 2 1 2 k 

E1 = mv 1 + U ( r) = mv1 

− 

2 2 r 

1 

กําหนดให้ E 1 ทั Wงสองสมการเท่ากัน และแก้หา v 1 จะได้ว่า 

k 

mr 

Circular Orbit v1 

= ________________ สมการ (3.37) 

จากนั Wนโจทย์กําหนดให้ มีการจุดระเบิด ทําให้อัตราเร็วเพิ Nมขึ Wนเป็น 2 เท่า เพราะฉะนั Wนแล้ว 

1 

v = 2v = 2 

2 1 

k 

mr 

1 

เมืNออัตราเร็วเปลีNยน พลังงานงานก็ย่อมเปลีNยนแปลง และจากสมการ (3.36) ทําให้ semi-major axis 

a ของวงโคจรแตกต่างออกไปจากเดิม พลังงานภายหลังการจุดระเบิดคือ 



1 2 1 

2 v k ⎛ 

2 4 

k ⎞ 

E = m − = m⎜ 

⎟ − k = 

k 

2 r1 2 ⎝ mr1 ⎠ r1 r1 

อาศัยสมการ (3.36) เราคํานวณ semi-major axis a 2 ได้ว่า 

a 

2 

k r 

= − = − 

1 

2E 

2 

2 

เมืNอ a 2 ทีNคํานวณได้ มีค่าติดลบ เราสามารถวิเคราะห์ลักษณะของวงโคจรได้โดยพิจารณา 

ความสัมพันธ์ระหว่าง semi-major axis a และ eccentricity ε ดังสมการ (3.22) 

α 

a = 

2 

1 −ε 

2 

การทีN a จะติดลบได้ ก็ต่อเมืNอ ε > 1 หรือ อีกนัยหนึ Nง ε > 1 ซึ Nงจากสมการ (3.21) 

ε > 1 เป็นวงโคจรแบบ hyperbola ภายหลังการจุดระเบิด ตอบ 

(b) วงโคจร hyperbola 

(a) วงกลม 

r 1 

ซึ Nงเราสรุปเป็น 3 ขั Wนตอนดังแสดงในภาพ 

1) บั Wงไฟโคจร ภายในวงโคจร (a) 

2) มีการจุดระเบิด ทําให้ค่า eccentricity ε > 1 และเปลีNยนรูปร่างของวงโคจร เป็น hyperbola 

3) โคจรตามแนวเส้น วงโคจร (b) 



Hohman Transfer - การเปลียนวงโคจร 

เชื Wอเพลิงเป็นข้อจํากัดอย่างยิ Nงในการเดินทางระหว่างเคราะห์ เพราะฉะนั WนการจุดระเบิดเครืNองยนต์ 

ไอพ่นในแต่ละครั WงเพืNอเร่งให้ยานอวกาศมีความเร็วในทิศทางและขนาดทีNต้องการ จึงต้องทําด้วย 

ความระมัดระวังและแม่นยําทีNสุด ในปี 1925 Walter Hohmann นักวิจัยในสาขาการเดินทางอวกาศ 

ได้คิดค้นวิธีการเดินทางระหว่างดาวเคราะห์ ทีNใช้พลังงานน้อยทีNสุด ด้วยการจุดระเบิดเพียง 2 ครั Wง 

ซึ Nงกระบวนการดังกล่าวเรียกโดยทั Nวไปว่า "Hohman Transfer" (Marion and Thornton, "Classical 

Dynamics of Particles and Systems") 

2 

กระบวนการ Hohman Transfer 

v 2 

r 1 

r 1 

2 

โลก 

r 

v 1 

ดาวอังคาร 

r 

v HT 

ภาพ (3.15) แสดงกระบวนการ 3 ขั Wนตอนของ Hohman Transfer 

พิจารณาดาวเคราะห์ 2 ดวงทีNโคจรเป็นวงกลม ในระนาบเดียวกัน อาทิเช่น โลกและดาวอังคาร ดัง 

แสดงในภาพ (3.15) โดยทีNโลกและดาวอังคารมีรัศมี r 1 และ r 2 ตามลําดับ 

ก่อนทีNจะวิเคราะห์กระบวนการเดินทางระหว่างโลกและดาวอังคาร เราพิจารณาสมบัติของแต่ละวง 

โคจรเสียก่อน 

เพืNอทีNจะอยู่ในวงโคจรของโลก เราสามารถคํานวณพลังงานของยานอวกาศจากสมการ (3.36) 

E 

1 

= − 

k 

2r 

1 

ในสมการข้างต้น เนืNองจากเป็นวงกลม semi-major axis a1 = r1 

นัNนเอง และในทํานองเดียวกัน 



กับบั Wงไฟในตัวอย่างโจทย์ทีNผ่านมา เราสามารถคํานวณอัตราเร็วของยานอวกาศ ทีNต้องการอยู่ในวง 

โคจรของโลกได้ว่า 

วงโคจรของโลก v1 

= 

k 

mr 

1 

เมืNอ m คือมวลของยานอวกาศ และ ในทํานองเดียวกัน 

วงโคจรของดาวอังคาร v2 

= 

k 

mr 

2 

เมืNอทราบอัตราเร็วทีNยานอวกาศจะต้องมี ในการเคลืNอนทีNอยู ่ในวงโคจรเดียวกันกับโลก และ กับดาว 

อังคารแล้ว ในคราวนี Wเราเริ Nมพิจารณากระบวนการ Hohmann transfer ซึ Nงประกอบด้วย 3 ข้อดัง 

แสดงในภาพ (3.15) 

1) ยิงยานอวกาศเข้าสู ่วงโคจรของโลก ดังแสดงเป็นเส้นโค้งสีเขียว ในขั Wนแรกนี W ยานอวกาศ 

จะต้องมีอัตราเร็วเท่ากับ v 1 

2) ปรับเข้าสู ่วงโคจรรูปวงรี ซึ Nงมีทิศทางของแกนหลัก (major axis) หันออกด้านนอก ทําให้ 

สามารถเคลืNอนออกห่างจากดวงอาทิตย์ได้ เรียกวงโคจรในลักษณะวงรีนี Wว่า Hohmann transfer orbit 

ซึ NงในทีNนี Wจะแทนด้วย subscript HT เราสามารถคํานวณอัตราเร็ว v HT ทีNยานอวกาศจะต้องมี ในการ 

เคลืNอนทีNในวงรีดังกล่าว โดยอาศัยสมการ (3.36) อีกเช่นกัน 

E 

HT 

k 

= − 

2a 

HT 

จากการวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตจะพบว่า semi-major axis ของ วงรีดังกล่าวมีค่าเท่ากับ a = 

1 2 

เพราะฉะนั Wน พลังงานคือ 

HT 

r + r 

2 

E 

HT 

= − k 

r + r 

1 2 

ซึ NงเมืNอกระจายพลังงานรวมดังกล่าว ออกเป็นส่วนของพลังงานศักย์ และ พลังงานศักย์ จะได้ว่า 


W 


k 1 1 

E m U r m 

2 2 

HT = − = v HT + ( 1) = vHT 

− 

r1 + r2 2 2 r1 

k 

ในสมการข้างต้นจะเห็นว่า เป็นพลังงานศักย์ ณ รัศมี r 1 ก็เพราะในขณะทีNมีการจุดระเบิดเพืNอเปลีNยน 

เข้าสู ่วงรีนั Wน เรายังห่างจากดวงอาทิตย์เป็นระยะ r 1 อยู่นั Nนเอง 

ทั Wงนี W เมืNอแก้สมการหา v HT จะได้ว่า 

= 

k ⎛ 

− 

⎝ 

vHT 

2⎜1 mr1 1 + r2 r1 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


สมการ (3.38) เป็นอัตราเร็วทีNยานอวกาศจะต้องมี เพืNอเข้าสู ่วงรี หรือ Hohman transfer orbit 

3) เมืNอเดินทางออกห่างจากดวงอาทิตย์ มาถึงระยะ r = r2 

ทําการยิงไอพ่นอีกครั Wงหนึ NงเพืNอปรับ 

อัตราเร็ว ให้มีขนาดเท่ากับ v 2 ก็จะเข้าสู ่วงโคจรของดาวอังคารดังต้องการ 

11 

ยกตัวอย่างเช่น เมืNอแทนรัศมี r 1 = 1.495× 10 เมตร และ r2 r 1 = 1.5237 จากข้อมูลทีNปรากฏ 

ในภาพ (3.13) นอกจากนี W 

k GmM ⊙ 

= = GM 

m m 

อัตราเร็วในแต่ละขั Wนตอนของ Hohman transfer ดังต่อไปนี 

1) เข้าสู ่วงโคจรของโลก v1 

2) ขับเคลืNอนทีNเข้าสู ่วงรี 

3) ขับเคลืNอนเข้าสู ่วงโคจรดาวอังคาร v2 

⊙ เมืNอ M ⊙ คือมวลของดวงอาทิตย์ จะได้ 

≅ 29.8km s 

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft May 2012 

vHT 

≅ 32.7 km s 

≅ 24.1km s 

อย่างไรก็ตาม Hohman transfer ดังแสดงในภาพ (3.15) จะต้องมีการกําหนดช่วงเวลาทีNเหมาะสมใน 

การเข้าสู ่วงรี เพราะเมืNอยานอวกาศมาถึงยังวงโคจรของดาวอังคาร ยกตัวอย่างเช่นในขั WนตอนทีN 3 

ดาวอังคารจะต้องอยู ่ ณ ตําแหน่งดังกล่าวพอดี 


จงคํานวณเวลาทีNยานอวกาศ เดินทางจากวงโคจรของโลก ไปยังดาวอังคาร โดยอาศัย Hohmann 

transfer orbit


วิธีทํา จากฎข้อ 3 ของ Kepler เราสามารถคํานวณคาบทีNใช้ในการโคจรของวงรี ดังกล่าวได้ว่า 

2 

2 4π µ 3 

HT aHT 

τ = 

k 

ซึ Nงจากภาพ (3.15) a = 

1 2 

กําหนดให้ m คือมวลของยานอวกาศ และ M ⊙ คือมวลของ 

ดวงอาทิตย์ ดังนั Wน 

HT 

r + r 

2 

2 2 

4 4π 

mM⊙ 

π µ = 

k 

( m + M⊙ ) G mM⊙ ( + ⊙ ) 

มวลมากกว่ายานอวกาศ เราประมาณได้ว่า ( m + M ) ≅ M 

กฎข้อ 3 ของ Kepler ทีNว่า 

= 

⊙ 

2 

4π 

m M G 

และเนืNองจาก ดวงอาทิตย์มี 

⊙ ทําให้ได้ความสัมพันธ์ในรูปของ 

τ 

2 

2 4π 

⎛ r1 + r2 

HT 

M⊙G 

⎝ 2 

⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎠ 

3 

หรือ 

τ 

HT 

2π 

⎛ r1 + r2 

⎞ 

= ⎜ ⎟ 

M G ⎝ 2 ⎠ 

⊙ 

3 2 

เมืNอแทน 

G = 6.673× 

10 

−11 

m 

3 

kg ⋅s 

11 

( ) 

r = × × จะได้ว่า 

2 1.5237 1.495 10 m 

2 

30 

11 

, M ⊙ = 1.989× 

10 kg , 

r = × , แล 

1 1.495 10 m 

τ 

HT 

3 2 

2π 

⎛ r1 + r2 

⎞ 

7 

= ⎜ ⎟ = 4.469× 

10 s 

M G ⎝ 2 ⎠ 

⊙ 

หรือ ประมาณ 517 วัน 

อย่างไรก็ตาม นี Wเป็นเวลาในการโคจรครบ 1 รอบ แต่ในกรณีของ Hohmann transfer orbit เรา 

เดินทางเฉพาะขาไป ดังนั Wน เวลาทีNใช้ในการเดินทางคือ ครึ Nงหนึ Nงของคาบพอดี เพราะฉะนั Wน 

เวลาทีNใช้เดินทาง เท่ากับ 259 วัน โดยประมาณ ตอบ 

Section 3.5 บทสรุป 

ในการศึกษาการเคลืNอนทีNของระบบ 2 อนุภาค ซึ NงมีแรงทีNกระทําต่อกัน อยู่ในแนวเส้นตรงระหว่าง 


W 


อนุภาคทั Wงสอง หรือทีNเรียกว่า central force motion เริNมด้วยการพิจารณา center of mass หรือ จุด 

ศูนย์กลางมวลของระบบ 

 


1 1 2 2 3 3 

r = 

cm 

 

m r + m r + m r + ⋯ 

M 

เมืNอ M = m1 + m2 + m3 

+⋯ 

ซึ Nงจุดศูนย์กลางมวลดังกล่าว มีประโยชน์อย่างยิ Nงในการวิเคราะห์ระบบของวัตถุทีNมีรูปทรง และจาก 

กฎข้อ 2 ของ Newton จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั Wงก้อนจะมีความเร่งก็ต่อเมืNอ มีแรงภายนอก มา 

กระทําเท่านั Wน หรืออีกนัยหนึ Nง 

 

a 

cm 

2 

d 

= 

2 cm = F 

 

 

r 

dt M 

(ext) 

net 

และเราได้นําหลักการดังกล่าว มาเป็นเครืNองมือในการศึกษาตัวอย่างโจทย์ในหลายกรณี อาทิเช่น Jack 

เดินบนท้องเรือ หรือกล่องไถลบนฐานสามเหลีNยมเป็นต้น 

ในแง่ของ central force motion เราได้ใช้ประโยชน์จาก center of mass โดยการกําหนดให้จุด 

ดังกล่าวเป็นจุดกําเนิดในการวิเคราะห์ระบบ 2 อนุภาค ทําให้รูปแบบทางคณิตศาสตร์ ดูเสมือนว่า 

เป็นระบบ 1 อนุภาคซึ Nงมีมวล µ เรียกโดยทั Nวไปว่า reduced mass ซึ Nงอาจจะเขียนโดยใช้ภาษาของ 

Lagrange mechanics ได้ว่า 

1 

= −U ( r) 

2 

≡ x + y + z r ≡ r − r 

 

2 

System of Two Particles L µ r ɺ 

2 2 2 2 

เมืNอ r ɺ ɺ ɺ ɺ โดยทีN 1 2 

m m 

m + m 

และ µ ≡ 

1 2 

1 2 

ซึ NงมีชืNอว่า Reduced Mass 

จะสังเกตเห็นว่า ตัวแปร r ทีNกําลังกล่าวถึงในระบบเสมือนทีNดูคล้ายจะประกอบด้วย 1 อนุภาคนี 

มีความหมายเป็นระยะห่างระหว่างอนุภาค m 1 และ m 2 นัNนเอง 

อาศัยกฎเกณฑ์ของ Lagrange mechanics เราสามารถสรุปว่า reduced mass µ ดังกล่าวเคลืNอนทีNแต่ 

เฉพาะในระนาบเดียวเท่านั Wน จึงเหมาะสมทีNเราจะใช้เพียง 2 ตัวแปร ( r, 

θ ) ในพิกัด polar ในการ 

อธิบายตําแหน่งของมวลดังกล่าว ซึ NงเมืNอพยายามสร้าง Lagrange equation of motion ทําให้เราได้ 

ข้อสรุปหลายอย่างเกีNยวกับ central force motion กล่าวคือ 



และ 

2 

Angular Momentum l = µ r ɺ θ = ค่าคงทีNเสมอ 

Total Energy 

1 2 l 

E = µ rɺ 

+ + U ( r) 

2 

2 

2µ 

r 

2 

ทั Wงนี W เราได้ยกตัวอย่างการนําสมการของพลังงาน E มาประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์หาเงืNอนไขของ 

stable circular orbit โดยนิยามให้ 

ภายใต้เงืNอนไข 

Effective Potential Energy 

l 

Ueff ( r) ≡ + U( r) 

2 

2µr 

2 

d U 

dr = 

เงืNอนไข Equilibrium eff ( r ) = 0 

Stable Circular Orbit 

Unstable Circular Orbit 

2 

r R 

d 

2 U eff ( r ) > 0 

dr 

2 

r= 

R 

d 

2 U eff ( r ) < 0 

dr 

นอกจาก angular momentum l และพลังงาน E แล้ว ในกระบวนการของการสร้าง Lagrange 

equation of motion เรายังค้นพบสมการทีNโยงความสัมพันธ์ระหว่างแรง F( r ) ทีNอนุภาคทั Wงสอง 

กระทําต่อกัน และลักษณะวงโคจร r( θ ) ทีNเกิดขึ Wน 

r= 

R 

2 2 

d ⎛ 1 ⎞ 1 µ r 

2 ⎜ ⎟ + = − 

r r 

2 

dθ 

⎝ ⎠ l 

F( r) 

และอาศัยเซตของสมการดังกล่าวมาข้างต้น ทําให้เราสามารถทํานายการเคลืNอนทีNของ reduced mass 

µ ว่ามีรัศมี r = r( t) 

และ มุม θ = θ ( t) 

เปลีNยนแปลงกับเวลาอย่างไรได้สําเร็จ แม้ว่าสมการ 

ข้างต้นจะประยุกต์ใช้ได้กับแรง F( r ) ได้หลากหลาย แต่เราได้ทําการตีกรอบการพิจารณาเฉพาะ 

k 

แรงโน้มถ่วง F( r) 

= − และหันมาศึกษาในเรืNองกฎของ Kepler ซึ NงเกีNยวข้องกับการเคลืNอนทีNของ 

2 

ดาวเคราะห์ทั Wง 3 ข้อ 

r 

และในขั Wนนี Wเอง ทีNเราได้ทบทวนคณิตศาสตร์ทีNเกีNยวข้องกับ conic section หรือ ภาคตัดกรวย ซึ Nงก็คือ 



เซตของรูปร่าง วงกลม วงรี parabola และ hyperbola ว่าสามารถเขียนเป็นสมการในพิกัด polar ได้ว่า 

สมการของ Conic Section 

⎧ε 

= 0 circle 

α ⎪0 < ε < 1 ellipse 

r( θ ) = ⎨ 

1 + ε cosθ 

⎪ε 

= 1 parabola 

⎪ 

⎩1 < ε hyperbola 

เมืNอ ε มีชืNอว่า eccentricity ทีNเป็นตัวกําหนดรูปร่างของ conic section และอาศัยสมการของการ 

เคลืNอนทีN ดังทีNกล่าวไว้ในตอนต้น เราได้ทําการวิเคราะห์ กฎข้อ 1 ของ Kepler ทีNมีใจความว่า 

Kepler's Law 

I. Law of Orbits ดาวเคราะห์เคลืNอนทีNเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัส 

ซึ NงเมืNอเราทําการพิสูจน์ โดยอาศัยกลไกของ Lagrange mechanics ทําให้ได้ข้อสรุปทีNคล้ายคลึง (แต่กิน 

ใจความกว้างขวางกว่า) กฎข้างต้น กล่าวคือ 

Central Force Motion ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง F( r) 

= − 

2 

α 

1 ε cosθ 

มีเส้นทางของวงโคจร r( θ ) = โดยทีN 

+ 

และเมืNอหันมาพิจารณา กฎข้อ 2 ของ Kepler ทีNว่า 

2 

α µk 

r 

k 

= l และ 

2El 

ε = 1+ 

µ k 

Kepler's Law 

II. Law of Areal Velocity พื WนทีN ซึ Nงดาวเคราะห์กวาดได้ ต่อหนึ Nงหน่วยเวลา มีค่าคงทีNเสมอ 

ทําให้เราได้ข้อสรุป ในทํานองเดียวกัน 

2 

2 


dA l 

= = constant 

dt 2µ 

ในท้ายทีNสุด กฎข้อ 3 ของ Kepler ทีNโยงความสัมพันธ์ระหว่างคาบของการโคจร และ ขนาดของวง 

โคจร ซึ Nงมีใจความสําคัญคือ 



Kepler's Law 

III. Law of Period 

คาบยกกําลังสอง แปรผันตรงกับ semi-mjor axis กําลังสาม หรือ 

2 3 

τ ∼ a 

และอีกเช่นเคย อาศัยสมการของ central force motion เราได้บทสรุปทีNมีความสมบูรณ์ของสมการ 

มากกว่า กล่าวคือ 


2 

2 4π µ 3 

τ = 

k 

a 

อย่างไรก็ตาม การนําสมการของ central force motion มาประยุกต์ใช้ให้เห็นจริง มิได้จํากัดอยู ่แต่เพียง 

การพิสูจน์กฎทั Wง 3 ข้อของ Kepler ดังทีNผ่านมาเท่านั Wน เรายังได้นํามาประยุกต์ในการศึกษาเรืNอง orbit 

dynamics ซึ NงเกีNยวข้องกับการควบคุม หรือ เปลีNยนแปลงวงโคจรของยานอวกาศ 

ในการขับเคลืNอนยานอวกาศ ทําได้โดยการยิงไอพ่นเพืNอปรับอัตราเร็ว และทําให้พลังงานของมัน 

เปลีNยนแปลง ส่งผลให้รูปร่างของวงโคจรแตกต่างไปจากเดิม โดยทีNความสัมพันธ์ระหว่าง 

พลังงานและวงโคจรก็คือ 

E = − 

เมืNอ a คือ semi-major axis ของวงโคจร และสมการเดียวนี Wเอง เป็นเครืNองมือให้เราสามารถ 

วิเคราะห์วงโคจรของบั Wงไฟในตัวอย่างโจทย์ ตลอดจนศึกษาการส่งยานอวกาศระหว่างวงโคจรของ 

โลกและดาวอังคารโดยใช้พลังงานน้อยทีNสุด หรือทีNเรียกว่า Hohmann transfer นั Nนเอง 

k 

2a 

Section 3.6 ปัญหาท้ายบท 

แบบฝึ กหัด 3.15 

ในอวกาศสมมุติให้มีเพียงดาวเคราะห์ 2 ดวงมีมวลเป็น m 1 และ m 2 เริNมจากจุดหยุดนิ Nง เป็น 

ระยะห่าง r 0 ด้วยแรงโน้มถ่วง ทั Wงคู่ดึงดูดกันและชนกันในทีNสุด ตําแหน่งของการชน อยู ่ห่างจาก 

ดาวเคราะห์ m 1 เท่าใด 



แบบฝึ กหัด 3.16 คนด้านซ้ายมวล m 1 และด้านขวามวล m 2 ยืนหยุดนิ Nงห่างกันเป็นระยะ d บน 

พื WนทีNปราศจากแรงเสียดทาน จากนั Wนทั Wงสองเริ Nมดึงเชือก จุดทีNเคลืNอนทีNเข้ามาพบกัน อยู่ห่างจากจุดทีN 

คนทางซ้ายยืนอยู ่เดิมเท่าใด 

แบบฝึ กหัด 3.17 จงแสดงให้เห็นว่า ในกรณีของวงรี จุดโฟกัส จะอยู ่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงรี 

เป็นระยะทาง aε ดังแสดงในภาพ (3.11) 

แบบฝึ กหัด 3.18 ดาวมวล m 1 และ m 2 เริNมจากจุดหยุดนิ NงทีNระยะ r 0 ด้วยแรงโน้มถ่วง จึงพุ่งเข้า 

มาหากัน ในขณะทีNอยู ่ห่างกันเป็นระยะ r < r0 

มวลทั Wงสองมีความเร็วเท่าใด 

เฉลย v1 2 

2G 

⎛ 1 1 ⎞ 

= m ⎜ − ⎟ M ⎝ r r 0 ⎠ 

และ v2 1 

2G 

⎛ 1 1 ⎞ 

= m ⎜ − ⎟ M ⎝ r r 0 ⎠ 

เมืNอ M = m1 + m2 

แบบฝึ กหัด 3.19 จากการวิเคราะห์ระบบของดาว 2 ดวง เมืNอลดรูปเหลือมวลลดทอน (reduced mass) 

ก้อนเดียว จะได้ว่า เส้นทางโคจรเป็นแบบก้นหอย ดังสมการ r = kθ จงหาแรงทีNอนุภาคทั Wงสอง 

กระทําต่อกัน และ พลังงานของระบบ 

เฉลย 

2 2 

l ⎛ 2k 

1 ⎞ 

F( r) 

= − + 

µ ⎜ 5 3 

r r ⎟ 

⎝ ⎠ 

E 

2 2 

1 2 k 

= µ rɺ 

− l 

4 

2 2µ 

r 

แบบฝึ กหัด 3.20 จากข้อทีNผ่านมา สมมุติให้ ณ เวลา t = 0 reduced mass อยู่ ณ รัศมี 

r 0 มุม θ 0 และกําลังโดนเหวีNยงด้วยอัตราเร็วเชิงมุม ɺ θ ( t = 0) = ω a) จงแสดงว่า 0 

r และ θ 

เปลีNยนแปลงกับเวลาอย่างไร b) ต้องรออีกนานเท่าใด กว่ารัศมีจะออกมาอยู ่ ณ 4 เท่าของรัศมีเดิม 

เฉลย a) 

⎛ ω0 

⎞ 

r( t) = r0 

⎜3 t + 1⎟ 

⎝ θ0 

⎠ 

1 

3 

และ 

⎛ ω0 

⎞ 

θ ( t) = θ0 

⎜3 t + 1⎟ 

⎝ θ0 

⎠ 

1 

3 

θ0 

และ b) ( 4 3 − 1) 

แบบฝึ กหัด 3.21 เมืNอวิเคราะห์ดาวเคราะห์ขนาดเล็กมากมวล m โคจรรอบดาวฤกษ์ขนาดใหญ่มวล 

M ตามหลักการ ต้องมองว่าเป็น reduced mass µ เคลืNอนทีNเป็นวง r = r( θ ) แต่บางครั Wงโดย 

อนุโลมเรามองว่าเป็นมวล m โคจรรอบดาวฤกษ์ 

3ω 

0 

สมมุติว่าดาวฤกษ์มีมวลเป็น 100 เท่าของดาวเคราะห์ จงหาว่ามวล m และ reduced mass µ 

ต่างกันกีNเปอร์เซ็นต์ 

เฉลย 1% 



แบบฝึ กหัด 3.22 วัตถุมวล m อยู่ในวงโคจร ภายใต้สนามโน้มถ่วงทีNมีค่าคงทีN k โดยทีNวงโคจร 

เป็นวงกลมซึ Nงมีรัศมี r 1 จะต้องเร่งให้อัตราเร็วเพิ Nมขึ Wนกว่าเดิมกีNเท่า จึงจะโคจรเป็นรูป parabola 

เฉลย 2 เท่า 

แบบฝึ กหัด 3.23 ดาวเคราะห์มวล m โคจรเป็นวงกลมด้วยรัศมี R รอบดวงอาทิตย์มวล M ⊙ ถ้า 

สมมุติให้ M⊙ ≫ m และเมืNอเวลา t = 0 มุม θ = 0 พอดี จงแสดงให้เห็นว่า 

2π 

GM⊙ 

θ ( t) 

= t = t 

τ 

3 2 

R 

แบบฝึ กหัด 3.24 ดาวเคราะห์มวล m 1 และ m 2 โคจรเป็นวงกลมด้วยรัศมี R 1 และ R 2 รอบดวง 

อาทิตย์มวล M⊙ ≫ m1 , m2 

จงวาดภาพเพืNอแสดงให้เห็นว่า ดวงอาทิตย์ และ ดาวเคราะห์ทั Wงสอง 

จะอยู ่ในแนวเส้นตรงเดียวกันเมืNอ 

Alignment θ1 − θ2 = nπ 

เมืNอ n เป็นจํานวนเต็มคู่ - ดาวเคราะห์ทั Wงสองจะอยู ่ใกล้กันทีNสุด 

n เป็นจํานวนเต็มคีN - ดาวเคราะห์ทั Wงสองจะอยู ่ไกลกันทีNสุด 

แบบฝึ กหัด 3.25 กาลครั Wงหนึ Nงมีระบบสุริยะในกาแลกซีไกลโพ้น มนุษย์อาศัยอยู ่บนดาวเคราะห์ 

Krypton ซึ Nงโคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงกลมใช้เวลา 1 ปี ณ รัศมีไกลออกไป λ เท่า ดาวเคราะห์ 

ชืNอ Xenon โคจรเป็นวงกลมเช่นเดียวกัน 

ดาวตั 

งแถว แนวเดียวกัน ประจันหน้า 

ต่างก็ท้า เข้าประชิด ผิดวิสัย 

ในครานี มิอาจป้ อง ผองภัย 

จึงเตือนไว้ อีก ____ ปี จะมีมา 

วันหนึ Nง เกิดดวงอาทิตย์ ดาว Krypton และ ดาว Xenon มาเรียงตัวกัน เกิดอาเพศสงครามไปทั Nว ว่า 

แล้วพระอาจารย์จึงจับดวงเมือง และบันทึกในหลักศิลาเพืNอเตือนภัยให้เตรียมการป้ องกันเหตุการณ์ทีN 

จะเกิดซํ Wารอยในอนาคต จะเกิดเหตุการณ์เช่นนี WอีกกีNปี 

เฉลย 

n 

2 

2 − 

λ λ 

ปี n = 1 



แบบฝึ กหัด 3.26 โลกและดาวอังคาร จะโคจรเข้าใกล้กันมากทีNสุด ทุกๆ 780 วัน ซึ Nงเป็นคาบเวลาทีN 

เรียกโดยทั Nวไปว่า Earth-Mars Synodic Period จงใช้ข้อมูลในภาพ (3.13) เพืNอคํานวณระยะเวลา 

ดังกล่าว 

2 

× 365 ≅ 780 

2 

2 − 

1.5237 1.5237 

เฉลย ( ) 

วัน

บทที่ 3. Central Force Motion - ภาควิชาฟิสิกส์ - มหาวิทยาลัยขอนแก่น

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?