Eulero e i poliedri

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10 Indichiamo con Q i (i = 1, 2, ..., F) il generico poligono sferico ottenuto, e con s i il numero dei suoi lati; ricordiamo che: • per i triangoli sferici vale la relazione: α + β + γ – π = (area di T ) / r 2 (formula di Girard , dove α + β + γ – π è l’eccesso angolare del triangolo T • l’eccesso angolare è additivo
11 perciò: somma ampiezze angoli di Q i = (s i – 2) π + (area di Qi) / r 2 Sommiamo membro a membro le relazioni relative a ciascuno degli F poligoni sferici: F ∑ i=1 (somma amp. angoli Q i ) = ∑ F i=1 F area Q i s i −2 π∑ i=1 r 2 poiché: F ∑ i=1 (somma ampiezze angoli Q i ) = 2πV F ∑ i=1 F s i −2 π =π∑ i=1 F s i −∑ i=1 2π =2π S−2π F F area Q ∑ i = i=1 r 2 area sfera r 2 = 4π r 2 r 2 =4π perciò: 2π V =2π S−2π F4π ossia: V + F – S = 2
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Page 5 and 6: la relazione di Eulero 5 • non ri
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Page 25 and 26: 23 • ogni poliedro presenta almen

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