Sezione F7 Meccanica del continuo

Sezione F7
Meccanica del continuo
D. Ambrosi, Meccanica della crescita: continui monocomponente e miscele
D. Bambusi, Metodi di forma normale in equazione a derivate parziali
I. Barbieri, Fenomeni ondulatori in biologia
V. Berti, Risultati di esistenza e unicità per un’equazione integro-differenziale con nucleo
di memoria singolare
S. Carillo, Minimum free energy in heat condition: materials with memory
C. Cattani, Cubic nonlinear waves in elastic materials
G. Caviglia, Riflessione e trasmissione in solidi anisotropi stratificati: esistenza e unicità
P. Cermelli, Renormalized energy and forces on dislocations
A. Lovinson, Funzioni generatrici globali a finiti parametri in teoria dei campi
F. Mainardi, Risultati recenti per l’equazione della diffusione frazionaria
P. M. Mariano, Hamiltonian structures in multifield theories of complex materials
M. S. Mongiovì, Su un modello macroscopico della turbolenza quantistica
M. G. Naso, Controllo delle vibrazioni in una piastra termoelastica mediante sorgenti
di calore
M. Padula, Lyapunov method applied to nonlinear hyperelastic and linearly viscous
bodies
L. Palese, A linear magnetic Benard problem with hall and ion-slip effects
F. Pastrone, Non linear waves in approximately constrained materials
S. Polidoro, Decadimento esponenziale per le equazioni di Maxwell con memoria al
bordo
L. Restuccia, Material forces in inhomogeneous ferroelectric crystals
E. Scarpetta, Analytical results for scattering problems in wave propagation
G. Tomassetti, Equazioni di evoluzione di una parete di dominio in un corpo ferromagnetico
indeformabile

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Meccanica della crescita: continui
monocomponente e miscele
D. Ambrosi, A. Farina, L. Fusi
Dipartimento di Matematica “U. Dini”, Università degli Studi di Firenze
I tessuti biologici sono caratterizzato dal fatto che crescono, aumentano e diminuiscono
continuamente la loro massa. La crescita dei tessuti molli non e’ di tipo superficiale,
come avviene per le ossa, ma volumetrico. Diverse recenti osservazioni sperimentali hanno
mostrato che questa dipende in modo complesso dallo sollecitazioni meccaniche a cui e’
sottoposto il materiale. Una descrizione matematica della loro meccanica raramente puó
prescindere da una conoscenza della loro dinamica di crescita.
Da un punto di vista matematico questa fenomenologia è un caso particolare della del
problema di modellizzare la crescita di un mezzo continuo. In questa comunicazione si
discuterà l’efficacia di una decomposizione moltiplicativa del gradiente di deformazione
in due contributi, uno che renda conto della crescita, l’altro che descriva le proprietà
meccaniche del corpo. In particolare, verranno discussi i legami tra gradiente di crescita
e tasso di crescita, il ruolo dell’equazione di bilancio dell’energia e la possibilità di trarre
restrizioni sulle relazioni costitutive a partire da opportuni principi. La teoria sviluppata
nel caso monocomponente può essere estesa a miscele in cui una delle due componenti
sia un solido elastico. Si mostreranno infine alcuni risultati numerici di simulazioni in
geometrie semplici.
Corso Duca degli Abruzzi 24, 10129 Torino.
E-mail address: ambrosi@calvino.polito.it
Viale Morgagni 67/A, 50134 Firenze, Italy
E-mail address: angiolo.farina@math.unifi.it, fusi@math.unifi.it
1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS.
Questa ricerca è stata parzialmente finanziata dall’INDAM-GNFM.

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Metodi di forma normale in
equazione a derivate parziali
Dario Bambusi
Dipartimento di Matematica, Universita’ degli studi di Milano
Si intende esporre una recente generalizzazione della teoria delle forme normali a equazioni
a derivate parziali iperboliche, mettendo in evidenza come essa permetta di descrivere
qualitativamente le soluzioni di tali equazioni. Si metteranno in evidenza importanti differenze
tra il caso semilineare e quasilineare. Ci si propone di illustrare anche alcune
applicazioni a MHD e altri modelli descriventi la dinamica di corpi continui.
Via Saldini 50, 20133 Milano
E-mail address: Bambusi@mat.unimi.it
1991 Mathematics Subject Classification. 37K55.
Il lavoro è stato parzialmente finanziato dal MIUR, Progetto COFIN2001 “Dinamica dei sistemi classici
Hamiltoniani, fondamenti dinamici della meccanica statistica e dinamica dell’interazione radiazione
materia”

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
FENOMENI ONDULATORI IN BIOLOGIA
I. Barbieri ∗ , L. Colì ◦ , F. Melloni ∗ , G. Pallotti ◦ , P. Pettazzoni ◦ , S. Stefoni ◦
Università di Bologna “Alma Mater Studiorum”,
∗ Facoltà di Scienze MM.FF.NN. – ◦ Facoltà di Medicina e Chirurgia
I fenomeni periodici regolano il mondo della Biologia, in primo luogo il corpo umano
sviluppa nel suo interno fenomeni costantemente ondulatori.
I periodi che si presentano variano in funzione di quelle che sono le attività che debbono
essere svolte e dei diversi organi deputati ad esse; ogni cellula del nostro corpo ha un suo
processo armonico che svolge e quindi quando viene generata nasce con una sua particolare
caratteristica di funzione periodica.
In questo lavoro saranno presentati quelli che sono i problemi dell’onda sfigmica e della
biomeccanica ad essi connessi.
Il cuore genera l’onda sfigmica dando con ciò origine ad un’oscillazione forzata, necessaria
per far scorrere il sangue in tutto il circuito cardiovascolare e quindi ossigenare i
tessuti per permettere la loro sopravvivenza.
I fenomeni di trasmissione dell’onda sfigmica nel corpo umano sono retti dalle leggi che
furono messe in evidenza da Max Anliker che rilevò inoltre l’importanza che rivestono i
tessuti molli dell’intera struttura umana.
Oltre a quella che è l’esposizione del processo dal punto di vista teorico, verrà considerato
anche l’effetto che viene ad aversi a livello pratico e clinico.
E-mail address: barbieri@dm.unibo.it, pallotti@DF.UNIBO.IT

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Risultati di esistenza e unicità per un’equazione
integro-differenziale con nucleo di memoria singolare
Valeria Berti
Università di Bologna
L’evoluzione di un solido viscoelastico lineare è descritta dall’equazione differenziale
(1) ü(x, t) = ∇ · T (x, t) + f(x, t),
in cui il tensore degli sforzi T soddisfa l’equazione costitutiva
T (x, t) = G ∞ (x)∇u(x, t) −
∫ ∞
0
G ′ (x, s)[∇u(x, t) − ∇u(x, t − s)]ds ,
Nelle trattazioni classiche, si assume che il nucleo di memoria G ′ sia una funzione L 1 del
tempo. Tuttavia il comportamento di alcuni materiali viscoelastici può essere descritto da
un modello in cui il nucleo presenta una singolarità iniziale.
In questa presentazione verrà considerato il caso in cui G ′ /∈ L 1 , ma una sua primitiva
sia integrabile nell’origine.
La ricerca delle soluzioni deboli dell’equazione (1) porta all’introduzione di uno spazio
funzionale dipendente esplicitamente dalle proprietà del nucleo di memoria. Sotto opportune
ipotesi di regolarità delle sorgenti, si dimostra un teorema di esistenza e unicità
della soluzione del problema evolutivo. Tale risultato è ottenuto utilizzando il metodo della
trasformata di Fourier per ricercare le soluzioni nel dominio delle frequenze e riconducendo
il sistema integro-differenziale originario alla determinazione delle soluzioni di un problema
ellittico con frequenza fissata.
Dipartimento di Matematica, P.zza Porta San Donato 5, 40126 Bologna.
E-mail address: berti@dm.unibo.it
1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS: 74D05, 74H20, 74H25.

Minimum free energy in heat conduction:
materials with memory 1
Sandra Carillo
Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze Applicate, Università di
Roma “La Sapienza”, I-00161 Rome, Italy
The minimum free energy is obtained in the cases of a rigid linear heat conductor with
memory. Thus, the result is compared with results concerning the minimum free energy
in isothermal viscoelasticity. Interesting similarities can be observed when such results
are compared. In addition, in both the cases, the minimum free energy is related to
the maximum recoverable work. The model of rigid heat conductor here adopted is that
one comprised in Fabrizio, Gentili and Reynolds [3] where the thermodynamics of a rigid
omogeneous linear heat conductor with memory is studied. The results concerning the
minimum free energy in this framework have been recently studied [1]; they are compared
with results in the study of isothermal viscoelasticity. In particular, results here referred
to have been obtained by Fabrizio and Golden [4], Fabrizio, Deseri, Gentili and Golden
[2], Golden [6], Gentili [5], where, in addition, historical notes as well as many references
on the study of isothermal viscoelasticity are comprised.
E-mail address: carillo@dmmm.uniroma1.it
References
[1] S. Carillo: A rigid linear heat conductor with memory: minimum free energy, preprint
Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici, Universita‘ di Roma “La Sapienza”,
2003.
[2] L. Deseri, G. Gentili, J.M. Golden: An Explicit Formula for the Minimum Free Energies
in Linear Viscoelasticity, J. Elasticity, 54, p. 141-185, 1999.
[3] M. Fabrizio, G. Gentili, D.W.Reynolds: On rigid heat conductors with memory, Int.
J. Eng. Sci. , 36, p. 765–782, 1998.
[4] M. Fabrizio, J.M. Golden: Maximum and minimum free energies for a linear viscoelastic
material, Quart. Appl. Math., 60, no. 2, p. 341–381, 2002.
[5] G. Gentili: Maximum recoverable work, minimum free energy and state space in linear
viscoelasticity, Quart. Appl. Math., 60, no. 1, p. 153–182, 2002.
[6] J. M. Golden: Free energies in the frequency domain: the scalar case, Quart. Appl.
Math., 58, p. 121–150, 2000.
1
Classificazione AMS 80A20, 74F05
Under the support of G.N.F.M.-I.N.D.A.M. and of M.I.U.R., Progetto Cofinanziato 2002 Modelli Matematici
per la Scienza dei Materiali
1

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Cubic Nonlinear Waves in Elastic Materials
Carlo Cattani
Università di Roma “La Sapienza”,
Sunto The lecture is devoted to cubic nonlinearity of hyperelastic waves in materials and deals with: 1)
Cubic nonlinear wave equations for hyperelastic plane waves in materials; 2) Third harmonics generation
by initially excited harmonic longitudinal wave; 3) New simple waves generation by initially excited simple
longitudinal wave. Especial attention is payed to simple waves and similarity between new harmonic and
simple waves generation. Some peculiarities of using the wavelets analysis to revealed wave effects are
discussed.
It is shown that cubic nonlinearity and nonlinearities of higher order follow naturally from classical
nonlinear acoustics approach and should be considered equally important compared with the quadratic
nonlinearity. Cubic non-linearity is widely discovered and investigated
surface waves in fluids.
in the theory of internal and
Nonlinear deformations are realized in classical theory using the Murnaghan elastic potential
W (ɛ ik) ) = 1 2 λ(ɛ mm) 2 + µ(ɛ ik ) 2 +
+ 1 3 Aɛ ikɛ im ɛ km + B(ɛ ik ) 2 ɛ mm + 1 3 C(ɛ mm) 3 . (1)
Here λ, µ are Lame elastic constants, A, B, C are Murnaghan elastic constants, ɛ ik = 1 2 (u i,k + u k,i +
u m,i u m,k ) is the nonlinear Green strain tensor.
The Murnaghan potential describes a broad class of materials, is basic in mechanics of materials and
widely used. The Murnaghan representation, usually noted as cubic, relatively to the strain tensor is
W quad = 1 (
2 λ( ) 2 1
u m,m +
4 µ( ) 2
u i,k + u k,i + µ + 1 )u
4 A i,k u m,k u m,i +
+ 1 ( ) ( ) 2 1
λ + B um,m ui,k +
2
12 Au i,ku k,m u m,i +
+ 1 2 Bu i,ku k,i u m,m + 1 3 C( u m,m
) 3. (2)
This form preserves the initial cubic nonlinearity, but already not on the strain tensor. Owing to nonlinearity
of the Green strain tensor, the complete representation of the Murnaghan potential will include
summands from the second to the sixth orders relatively to the gradient. All these terms will be taken
into account, coming into the third and more orders nonlinearities in material deformations.
Dipartimento di Matematica “G.Castelnuovo”,
Università di Roma “La Sapienza”,
P.le A. Moro 5, I-00185 Rome
E-mail address: carlo.cattani@uniroma1.it

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Riflessione e trasmissione in solidi anisotropi
stratificati: esistenza e unicità
G. Caviglia e A. Morro
Università di Genova
Si considera uno strato solido di spessore finito, con parametri materiali variabili con
continuità lungo una direzione assegnata n. Lo strato è compreso fra due semispazi (solidi)
omogenei; in generale, i piani di contatto sono superfici di discontinuità dei parametri
materiali. Si suppone che i solidi siano viscoelastici lineari anisotropi. Essendo assegnata
un’onda che incide sullo strato, si esamina il problema della riflessione-trasmissione.
Nel dominio delle trasformate di Fourier, si sceglie la dipendenza dalle coordinate
trasversali e dal tempo tipica delle onde piane, modellando così l’effetto di onde incidenti
oblique. In queste ipotesi le equazioni di propagazione sono scritte nella forma di
un sistema di sei equazioni differenziali ordinarie del primo ordine, lineari, a coefficienti
complessi, nel quale sono incognite le componenti dello spostamento e della trazione sui
piani ortogonali alla direzione della stratificazione, n.
Si associa ad ogni onda uno scalare, F, che rappresenta il flusso di energia per unità
di tempo e per unità di superficie perpendicolare ad n. Come conseguenza del secondo
principio della termodinamica si dimostra che F decresce durante la propagazione nel caso
di solido viscoelastico e che si mantiene costante nel caso di solido elastico. Si dimostra
inoltre che F è generato da una matrice hermitiana Φ avente tre autovalori positivi e
tre autovalori negativi. Mediante gli autovettori di Φ associati agli autovalori positivi
(negativi) si definiscono i tre generatori delle onde che si propagano in avanti (all’indietro)
rispetto al verso di n, essendo inteso che il verso di propagazione di un’onda è determinato
dal segno del corrispondente flusso di energia F.
Rappresentando in termini di generatori le onde incidente (assegnata), riflessa (incognita)
e trasmessa (incognita) e sfruttando la proprietà del flusso F si dimostra un teorema
di esistenza e unicità per il problema delle riflessione e trasmissione.
E-mail address: caviglia@dima.unige.it
1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS: 74J20, 74D05.
La ricerca che ha condotto a questo lavoro è stata svolta nell’ambito del Progetto di Ricerca COFIN
2002 “Modelli Matematici per la Scienza dei Materiali” del MIUR.

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Renormalized energy and forces on dislocations
Paolo Cermelli ∗ and Giovanni Leoni ∗∗
(∗) Dipartimento di Matematica, Universita’ di Torino, (∗∗)
Department of Mathematical Sciences, Carnegie-Mellon University.
The goal of this work is to give a variational formulation of the equilibrium problem for
a finite number of screw dislocations in a cylindrical domain, give a representation of the
renormalized energy and discuss its relation with the configurational forces (the Peach-
Köhler force) on the dislocations. The results obtained in this paper may provide the basis
to study the relations between discrete and continuum theories of dislocations, in order to
characterize ’ab initio’ the macroscopic constitutive relations of defective materials.
(∗) Via C. Alberto 10, 10123 Torino, Italy, (∗∗) Pittsburgh, PA 15213, USA
E-mail address: (∗) paolo.cermelli@unito.it, (∗∗) leoni@math.cmu.edu
1991 Mathematics Subject Classification. 74-xx, 49-xx.
Progetto Cofin 2002: ”Modelli Matematici per la Scienza dei Materiali” .

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Funzioni generatrici globali
a finiti parametri
in teoria dei campi
Alberto Lovison
Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata
Consideriamo il principio variazionale di Volterra-Vainberg per un problema quasi lineare
con condizioni al bordo di Dirichlet:
{ N(u) = Lu − εF (u) = 0 in Ω
u| ∂Ω = 0
⇐⇒
dJ(u) = 0, J(u) =
∫ 1
0
u critico per
〈N(tu), u〉 dt,
dove L è un operatore ellittico, F un operatore non lineare limitato, ε è un (piccolo)
parametro. Se la perturbazione F (u) ha inoltre derivata limitata, allora, grazie alla decomposizione
spettrale dell’operatore L ed a una tecnica di punto fisso, consistente sostanzialmente
in una versione spettrale —introdotta in [1]— della riduzione finito-dimensionale
di Amann-Conley-Zehnder —c.f. [2]—, possiamo scrivere un nuovo equivalente principio
variazionale dW (µ 1 , . . . , µ m ) = 0, dove ora W (µ 1 , . . . , µ m ) dipende soltanto da m
parametri reali. Condizioni di limitatezza su F assicurano l’esistenza di soluzioni u sulla
base di considerazioni topologiche. La teoria si configura utile per esempio in problemi di
Elasto-Statica.
[1] F. Cardin, Global Finite Generating Functions for Field Theory, Banach Center Publications,
Vol. 59, 2002.
[2] C. Viterbo, Recent progress in periodic orbits of autonomous Hamiltonian systems and
applications to symplectic geometry. Nonlinear functional analysis (Newark, NJ, 1987),
227–250, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 121, Dekker, New York, 1990.
Via Belzoni, 7 - 35131 Padova
E-mail address: lovison@math.unipd.it
1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS.

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Risultati recenti per
l’equazione della diffusione frazionaria
Francesco MAINARDI, Gianni PAGNINI, Alesandro VIVOLI
Dipartimento di Fisica dell’Università di Bologna
Si analizzano i recenti risultati ottenuti dal nostro gruppo di ricerca sui processi diffusivi
anomali governati da equazioni di evoluzione integro-differenziali i cui operatori si
interpretano come derivate spazio-temporali frazionarie (cioè di ordine non intero). In particolare
si derivano le soluzioni fondamentali in termini di funzioni speciali appartenenti
alla classe generale delle funzioni H . Tali funzioni furono introdotte negli anni ’60 da Fox
mediante i cosidetti integrali di Mellin-Barnes nel campo complesso. Tali soluzioni si possono
interpretare come densità spaziali di probabilità che si evolvono nel tempo, relative
a processi stocastici non-Gaussiani e non-Markoviani. Mediante il metodo delle differenze
finite usato per approssimare le derivate frazionarie si forniscono modelli discreti e continui
di ”random walk” che forniscono una descrizione adeguata di questi processi stocastici.
Via Irnerio 46, 40126 BOLOGNA
E-mail address: francesco.mainardi@unibo.it
Via Gobetti 101, 40129 Bologna
E-mail address: g.pagnini@isac.cnr.it
Via Irnerio 46, 40126 BOLOGNA
E-mail address: alessandro.vivoli@studio.unibo.it
1991 Mathematics Subject Classification. 26A33, 33C60, 45K05, 60G18, 60G50, 60G55, 60J60..
This work is partially supported by GNFM-INDAM

Hamiltonian structures in multifield theories of complex
materials
Gianfranco Capriz and Paolo Maria Mariano
Preliminary results toward the analysis of the Hamiltonian structure of multifield
theories describing complex materials are mustered: we involve the invariance
under the action of a general Lie group of the balance of substructural interactions.
Poisson brackets are also introduced in the material representation to account for
general material substructures described by coarse-grained order parameters belonging
to a paracompact differentiable manifold without boundary.
A Hamilton-Jacobi equation suitable for multifield models is presented.
Finally, a spatial version of all these topics is discussed without making use of
the notion of paragon setting, involving strictly only the current spatial metric.
Università di Pisa, Dipartimento di Matematica, via F. Buonarroti 2, I-56127 Pisa
E-mail address: capriz@dm.unipi.it
Current address: Università di Roma ”La Sapienza”, Dipartimento di Ingegneria Strutturale
e Geotecnica, via Eudossiana 18, I-00184 Roma
E-mail address: paolo.mariano@uniroma1.it
1991 Mathematics Subject Classification. 74A30; 74N15; 74B99.
1

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
SU UN MODELLO MACROSCOPICO
DELLA TURBOLENZA QUANTISTICA
Maria Stella Mongiovì
Dipartimento di Matematica ed Applicazioni, Università di Palermo
In questo lavoro, utilizzando i metodi della termodinamica di non equilibrio, si formula
un modello macroscopico della turbolenza superfluida. In particolare, proseguendo uno
studio già iniziato, si ampliare un precedente modello termodinamico monofluido dell’elio II
liquido [1-8], volto essenzialmente alla descrizione di flussi laminari, allo scopo di studiarne
il comportamento in presenza di turbolenza, anche in riferimenti non inerziali. Gli effetti
macroscopici del groviglio di vortici sono descritti mediante l’introduzione di un tensore,
caratterizzante la turbolenza quantistica.
Tale modello prende in considerazione come campi fondamentali la densità, la temperatura,
la velocità, il flusso di calore ed il contributo al tensore pressione dovuto alla
presenza dei vortici. Le equazioni di evoluzione per questi campi sono dedotte utilizzando
i metodi della termodinamica estesa ed applicate allo studio della turbolenza quantistica.
In particolare, nel lavoro verrà analizzata l’evoluzione della struttura del groviglio di
vortici in canali di varia forma e dimensione in presenza di flussi sia di materia che di calore
(counterflow and coflow), e l’influenza della rotazione sulla struttura e sull’evoluzione del
groviglio di vortici. Ciò verrà fatto studiando l’effetto della presenza del groviglio di vortici
sulla propagazione dell’onda termica.
Bibliografia
[1] Mongiovì M.S. J. Non Equilibrium Thermodyn., Vol.16, (1991), 225-239
[2] Mongiovì, M.S., Phys. Rev. B, 48, N 0 9, 6276-6283, (1993)
[3] Mongiovì, M.S., Romeo, S., J. Non-Equilib. Thermodyn., 20, (1995), 39-49
[4] Mongiovì, M.S., Romeo, S., Z.A.M.P., 47, (1996), pp. 144-161.
[5] Mongiovì, M.S., Physica A, 292, 1-4, (2001), 55-74.
[6] Mongiovì, M.S., Phys. Rev. B, 63, (2001), 12501, (4 pages).
[7] Jou, D., Lebon, G., Mongiovì, M.S., ”Phys. Rev. B, 66, (2002), 224509, (9 pages).
[8] Mongiovì, M.S., Peruzza, R.A., Zangew. Math. Phys. 54, (4), (2003), 1-18
c/o Facoltà di Ingegneria, Viale delle Scienze, I-90128 Palermo, Italy
E-mail address: mongiovi@unipa.it
1991 Mathematics Subject Classification. Classificazione AMS 82D50, 76F99.
Lavoro svolto con i contributi del MIUR, fondi 60%

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Controllo delle vibrazioni in una piastra termoelastica
mediante sorgenti di calore.
Maria Grazia Naso
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Brescia
Presentiamo alcuni risultati sul controllo, in un dato istante T > 0, della soluzione (u, θ)
per la piastra termoelastica di tipo Eulero-Bernoulli
⎧
u tt + ∆ ⎪⎨
2 u + ∆θ = 0 , θ t − ∆θ − ∆u t = χ ω f in Ω × (0, T )
u = 0, ∆u = 0, θ = 0 su ∂Ω × (0, T ) (1)
⎪⎩
u(0) = u 0 , u t (0) = u 1 , θ(0) = θ 0
in Ω
dove Ω è un sottoinsieme aperto, connesso e limitato di R 2 , con bordo ∂Ω, ω un qualsiasi
sottoinsieme aperto di Ω, χ ω è la funzione caratteristica di ω, e u 0 , u 1 , θ 0 sono i dati iniziali
in un opportuno spazio. Posto v := u t , introdotto H := ( H 2 (Ω) ∩ H 1 0 (Ω)) ×L 2 (Ω)×L 2 (Ω),
con [û 0 , û 1 , ˆθ 0 ] ∈ H e ˆf ∈ L 2 (ω × (0, T )), sia ẑ(T ) := [û(T ), ˆv(T ), ˆθ(T )] la soluzione del
sistema (1) nell’istante T > 0. Scelta poi un’altra terna di dati iniziali [ũ 0 , ũ 1 , ˜θ 0 ] ∈ H,
vogliamo determinare se esista un controllo ˜f ∈ L 2 (ω × (0, T )) tale che la soluzione ˜z(T ),
associata al sistema, sia uguale a ẑ(T ), nello stesso istante T (controllo delle traiettorie).
Il problema può essere risolto considerando il sistema (1) con z 0 := ẑ 0 − ˜z 0 , f := ˆf − ˜f e
cercando un controllo f ∈ L 2 (ω × (0, T )) in modo tale che lo stato iniziale z 0 possa essere
trasferito allo stato nullo, nell’istante T (controllabilità nulla).
Illustriamo quindi i risultati teorici [BN] e numerici [GN], determinati in particolare
quando ω ⊂ Ω. Applicando un metodo iterativo e stime di osservabilità, proviamo che il
modello è controllabile a zero, in un qualsiasi istante T > 0 mediante controlli termici di
tipo L 2 (ω × (0, T )).
Bibliografia
[BN] A. Benabdallah, M.G. Naso, Null controllability of a thermoelastic plate, Abstr. Appl. Anal. 7 (2002), no. 11,
585–599.
[GN] P. Gervasio, M.G. Naso, Numerical approximations of the controllability of trajectories for Euler-Bernoulli thermoelastic
plates, preprint, 2003.
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Brescia, Via Valotti 9, 25133 Brescia, Italia.
E-mail address: naso@ing.unibs.it
1991 Mathematics Subject Classification. 35B37, 74B05, 93B05.
Questi risultati sono stati ottenuti sotto gli auspici del G.N.F.M.–C.N.R. e parzialmente finanziati dal
M.I.U.R. attraverso il Programma di Ricerca 2002 ‘Modelli Matematici per la Scienza dei Materiali’.

Power and incremental work for a thermoelastic body: their
consequences on control of a rest state.
M. Padula, Dept. Mathematics, University of Ferrara, Italy
Abstract
Let C k be the reference configuration of a thermo-elastic body B, and let C ∗ be a rest
state configuration of B. We reach three objectives: i) control in time of perturbations to C ∗
in terms of the data; ii) asymptotic decay to zero, as t → ∞, of perturbations to C ∗, in case
of dissipative systems; iii) nonlinear instability in case of nodissipative mechanical systems.
To not obscure the lines of reasoning, mechanical systems are considered first. The concept
of power is used to construct a Lyapunov functional V correct to furnish stability in the
mean when the total energy E has a minimum at C ∗, then introducing the new concept of
incremental work another functional F is constructed which provides at once asymptotic
stability if E has a minimum at C ∗ and instability if E has a maximum at C ∗. Paper ends
with study of thermo-elastic systems, where a different energy H is introduced, it remembers
the Helmohltz free energy. Stability in the mean is proven, for nondissipative systems, when
the basic temperature is uniform, furthermore, asymptotic stability is proven in case the basic
temperature gradient is not to large.
Stability in the mean for hyperelastic, or thermo-elastic continua, is proved under the
assumtpion that the basic configuration is a local minimum for a suitable energy E(S). To
this end, we employ the difference between the balance equations of power, valid for the
motion C t, and for the rest C ∗. In this way, the Lyapunov functional is the difference between
the energy E in the states C t and C ∗, that is V = E(C t) − E(C ∗), the viscous dissipative
term can be zero. Next, we analize the same continua when the viscous dissipative term
is not zero. In this case, the time derivative of E(C t) − E(C ∗) is strictly negative, and a
decay of the motion to the rest is expected in the general theory. Multiplying the momentum
equation times the displacement vector joining x ∈ C t to x ∗ ∈ C ∗, and then integrating
over C t, we obtain a fictious energy V 1 that must be added to V. The stability in the mean
may be achieved for general boundary conditions: displacement and traction problem. The
asymptotic result is achieved for displacement problem. We confine ourselves to displacement
problem at boundary.
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A LINEAR MAGNETIC BÉNARD PROBLEM WITH HALL AND ION-SLIP EFFECTS
L. Palese
University Campus, Mathematics Department, Bari, Italia.
A.Georgescu
University of Pitesti, Faculty of Mathematics and Computer Science, Pitesti, Romania.
For normal mode perturbations, in the hypothesis that the principle of exchange of
stabilities holds, the eigenvalue problems defining the neutral curves of the linear stability
for some magnetic electroanisotropic Bénard problem are solved by Budiansky-DiPrima
method. The unknown functions are taken as Fourier series on some total sets of separable
Hilbert spaces and the expansion functions satisfied only part of the boundary conditions
of the problem. This introduces some constraints to be satisfied by the Fourier coefficients.
In order to keep the number of these constraints as low as possible we are lead to use total
sets for the even velocity and temperature fields different from the case when velocity
and temperature are odd.The splitting of the unknown functions into even and odd parts
leads to two problems of the same order as the given one each of which containing even
as well as odd order parts of these functions. The secular equations involve series which
are truncated to one and two terms, the last situation corresponding to best results. A
closed form of the neutral curve is obtained. The presence of the Hall and ion-slip currents
is proved to be destabilizing. We recover the destabilizing effect of the Hall current and,
in the case when the Hall effect is absent, we prove that the singularities ot the secular
equation are eigenvalues of the given boundary value problem. In other words, the smallest
singular value of the secular equation defines the neutral curve of the linear instability.
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XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Non Linear Waves in Approximately
Constrained Materials
Franco Pastrone and Maria Luisa Tonon
Dipartimento di Matematica. Universita’ di Torino
A first definition of approximately constrained bodies is due to G. Grioli and it is based
on the idea that we can choose in the constitutive equations of a hyperelastic material an
appropriate structural parameter such that the body becomes rigid when the parameter
tends to infinity.
This idea was refined by S. Marzano and P. Podio Guidugli, who used a Signorini-type
perturbative scheme based on constitutive equations exhibiting a pole of some order: for
example, a first order pole defines an approximately constrained material if at the first
order of approximation the displacement gradient is constrained.
Similar problems has been faced by G. A. Rogerson and N. H. Scott, with a different
terminology (nearly-constrained materials).
Recently, F. Pastrone and M.L. Tonon, L. Bortoloni and F. Pastrone proposed a general
treatment of the propagation of non linear acceleration waves in approximately constrained
materials with first and second order poles.
Explicit results for speeds and amplitudes can be obtained in some particular cases, like
St. Venant- Kirchhoff materials, which can be used to approximate rigid or incompressible
bodies, according to the different choices for the singular term in the constitutive equations;
the same occurs for isotropic hyperelastic materials.
The use of a suitable ray method allows us to determine propagation speeds and evolution
equations for isotropic and anisotropic materials; hence we can apply this method
to unidirectionally fibre-reinforced materials, with the constraint that the fibre is almost
inextensible or almost rigid. It is proved that we can have only waves propagating along
the fibres.
Finally, we study the propagation of waves in approximately inextensible bodies (in
some preferred direction), which include the previous case, as an example of materials
with a second order pole. Many real materials exhibit such a behaviour, characterized by
a strong anisotropy and mechanical properties which are highly dependent on a preferred
direction in the material.
Via Carlo Alberto 10, 10123 Torino
E-mail address: franco.pastrone@unito.it
1991 Mathematics Subject Classification. 74J30.
Progetto COFIN 2002: Modelli matematici in scienza dei materiali

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Decadimento esponenziale per le equazioni
di Maxwell con memoria al bordo
R. Nibbi, S. Polidoro
Dipartimento di Matematica, Università di Bologna
L’evoluzione del campo elettromagnetico (E, H) in un dielettrico lineare, isotropo ed
omogeneo, in assenza di cariche libere e di sorgenti esterne, è descritta in Q = Ω × R + ,
dove Ω è un dominio sufficientemente regolare d R 3 , dalle equazioni di Maxwell
(1) ε ∂E
∂t − ∇ × H = 0,
µ∂H ∂t
+ ∇ × E = 0, ∇ · E = 0, ∇ · H = 0.
Supponiamo che la frontiera ∂Ω sia realizzata da un “buon conduttore”, in modo tale che
la relazione tra il campo elettrico ed il campo magnetico al bordo sia:
(2) E τ (t) = η 0 H(t) × n +
∫ ∞
0
η(s)H(t − s) × n d s,
dove E τ è la componente tangenziale del campo elettrico sul bordo e n rappresenta la
normale esterna al bordo. Nelle ipotesi η ∈ L 1 (R + ) ∩ H 1 (R + ) con η ′ < 0, η ′′ ≥ 0 ed
introdotta la “storia passata integrata” H t (s) = ∫ s
H(t − τ)d τ, la funzione
0
(3) Ψ(t) = 1 ∫
[
ε|E(t)| 2 + µ|H(t)| 2] d x − 1 ∫ ∫ ∞
η ′ (s)|H t (s) × n| 2 d s d σ(x)
2
2
Ω
può essere considerata come energia del sistema.
Mediante la teoria dei semigruppi di contrazioni negli spazi di Hilbert, mostriamo che
l’ipotesi che il nucleo di memoria η “decada esponenzialmente” (ossia: esiste una costante
positiva κ per cui η ′′ + κη ′ > 0 in R + ) sia una condizione sufficiente per il decadimento
esponenziale dell’energia (3): Ψ(t) ≤ M exp(−µt)Ψ(0), con M e µ costanti positive. Infine
dimostriamo che se la norma della soluzione del problema (1)−(2) decade esponenzialmente
(in media), nel senso che esiste una costante α positiva per cui
∫ ∞
( ∫
(
exp(2αt) |Eτ (t)| 2 + |H(t) × n| 2) )
d σ d t < ∞,
0
∂Ω
allora anche il nucleo di memoria η decade esponenzialmente (in media).
P.zza Porta San Donato, 5 - 40126 Bologna
E-mail address: nibbi@dm.unibo.it, polidoro@dm.unibo.it
1991 Mathematics Subject Classification. 35Q60, 74D05, 78A25, 78M35.
∂Ω
0

MATERIAL FORCES INHOMOGENEOUS FERROELECTRIC
CRYSTALS
G. A. Maugin
Loboratoire de Modélization en Mécanique
Université Pierre et Marie Curie
Paris, France
L. Restuccia
University of Messina
Department of Mathematics
Messina, Italy
Abstract
Within the framework of the theory of inhomogeneities ([1]), a systematic construction of the canonical
balance laws of so-called pseudomomentum ([2]) and energy are formulated in the case of thermoelastic
ferroelectrics ([3], [4]). This exploits the notion of material forces on the material manifold. In order to
describe the microstructure of those media the local electric polarization density per unit mass is considered
as an additional degree of freedom which possesses its own dynamics and inertia.
Together with the polarization gradients (describing nonlocal interactions responsible for electric ordering
phenomenologically) it is introduced in the free-energy density.
The canonical form of the energy and pseudomomentum balance plays a crucial role in applications
related to fracture (computation of the so-called energy-release rate and in phase-transition fronts (energy
dissipated at the front).
References
[1] Maugin G.A. (1993), Material inhomogeneities in elasticity, Chapman and Hall, London.
[2] Maugin G.A., Trimarco C. (1992), Pseudomomentum and material forces in nonlinear elasticity: Variational
formulations and application to brittle fracture, Acta Mechanica, 94 1–28.
[3] Maugin G.A., Pouget J. (1980), Electroacoustic equations for one-domain ferroelectric bodies, J. Acoust.
Soc. Am. 68 (2), 575–587.
[4] Maugin G.A., (1988), Continuum Mechanics and Electromagnetic Solids, North-Holland, Amsterdam.
[5] Maugin G.A., (1997), Thermomechanics of inhomogeneous-heterogeneous systems: application to the irreversible
progress of two- and three-dimensional defects. ARI 50, 41–56.
[6] Descalu C.,Maugin G.A., (1994), Energy-release rates and path-independent integrals in electroelastic crack
propagation. Int. J. Engng. Sci. 32, 755–765.
[7] Maugin G.A., Trimarco C., (1997), Driving force on phase transition fronts in thermoelastic crystals.
Mathematics and Mechanics of Solids, 2, 199–214.
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XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Analytical results for scattering problems
in wave propagation
Edoardo Scarpetta
Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione e
Matematica Applicata - Università di Salerno
In the context of wave propagation through damaged (elastic) solids, an analytical
approach to study the normal penetration of a scalar plane wave into a periodic array of
defects with arbitrary shape is developed.
Starting from an integral representation of the wave field and the scattering parameters
already known in the literature for purely numerical treatments, we apply simple (but uniform)
approximations valid in the so-called one-mode regime so as to derive some auxiliary
integral equations independent on frequency.
The problem is thus reduced to a 13×13 (or 22×22) linear system, whose solution leads
to explicit analytical formulas for the above field and parameters.
Numerical resolution of the main integral equations for assigned shapes provide values
for some constants, so that several graphs showing comparison with previous and exact
(numerical) results can be set up.
via Ponte don Melillo, 84084 Fisciano (SA)
E-mail address: scarpett@diima.unisa.it
1991 Mathematics Subject Classification. 73D25.
Questa ricerca è stata svolta nell’ambito delle attività del Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica
dell’INdAM

XVII Congresso U.M.I.
Milano, 8-13 settembre 2003
Equazioni di evoluzione di una parete di dominio
in un corpo ferromagnetico indeformabile
Giuseppe Tomassetti
Dipartimento di Ingegneria Civile
Università di Roma “Tor Vergata”
In condizioni di saturazione, un corpo ferromagnetico ci appare suddiviso in regioni in
cui l’orientamento del versore magnetizzazione m è costante, i domini magnetici, separate
da sottili regioni di transizione nell’orientamento di m, le pareti di dominio. L’applicazione
di campi magnetici induce un riorientamento della magnetizzazione e, conseguentemente,
la crescita di alcuni domini a scapito di altri.
La dinamica della magnetizzazione in un corpo ferromagnetico indeformabile è descritta
dalla equazione di Gilbert
∂m
∂t + ρ m × ∂m
∂t = m × (
α∆m + 1 ε (m · e)e + h )
,
dove ρ, α ed ε sono costanti positive, il vettore e è l’asse secondo il quale la magnetizzazione
è facile, e h è il campo magnetico.
In questo lavoro vengono ricavate dall’equazione di Gilbert le equazioni di evoluzione
di una parete di dominio, vista come un’interfaccia di fase tra domini confinanti di orientazione
(≡ fase) differente. La parete viene modellata come una superficie regolare S(t)
che evolve nel tempo così come prescrivono le condizioni di raccordo di due soluzioni della
equazioni di Gilbert, l’una valida in un intorno tubolare di S(t) l’altra nella regione complementare
ad S(t), entrambe ottenute per espansione formale in serie di potenze di ε. Si
trova che, per ε → 0, la parete deve evolvere secondo una equazione di tipo “moto per
curvatura”:
ρ v − σ k = p,
dove v e k sono, rispettivamente, la velocità e la curvatura media della superficie, ρ e σ
sono delle costanti positive, e p è un termine forzante dovuto al campo magnetico.
Viale Politecnico snc, 00133 Roma.
E-mail address: tomassetti@ing.uniroma2.it
1991 Mathematics Subject Classification. 35Q60, 41A60.
Ricerca svolta nell’ambito del Progetto Cofinanziato 2002 “Modelli Matematici per la Scienza dei
Materiali” e del TMR Contract FMRX-CT98-0229 “Phase Transitions in Crystalline Solids”.