à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ ภà¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
• • • • • • • • • • เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 94 y พิจารณากราฟต่อไปนี้ y y | | a c d b x | a c d = b x | | a c 1 d c 2 b x จะเห็นว่าแต่ละกราฟสอดคล้องกับสมมุติฐานของทฤษฎีบท 6.1 ดังนั้นแต่ละกราฟจะมีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ แต่ถ้าฟังก์ชันใดขาดสมมุติฐานใดสมมุติฐานหนึ่งในทฤษฎีบท 6.1 แล้วฟังก์ชันนั้นไม่จำเป็นต้อง มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ดังตัวอย่างกราฟต่อไปนี้ y 3 + y 1 | f 0 2 ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ f(2) = 0 แต่ไม่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ x 1 • 0 g 1 x ฟังก์ชันต่อเนื่อง g ไม่มี ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ทฤษฎีบทค่าสุดขีดกล่าวแต่เพียงว่า ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิดจะมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมบูรณ์แต่ ไม่ได้บอกเราว่าจะหาค่าเหล่านี้ได้อย่างไร ก่อนที่จะศึกษาวิธีการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ เราจำเป็นต้อง พิจารณาค่าสุดขีดอีกชนิดหนึ่ง ซึ่งเรานิยามได้ดังนี้ บทนิยาม 6.2 1. f(c) จะเป็น ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (relative maximum หรือ local maximum) ของ f ถ้า f(c) ≥ f(x) สำหรับทุกค่าของ x ในช่วงเปิดบางช่วงที่บรรจุค่า c และจะเรียก ( c,f(c) ) ว่า จุดสูงสุดสัมพัทธ์ 2. f(c) จะเป็น ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (relative minimum หรือ local minimum) ของ f ถ้า f(c) ≤ f(x) สำหรับทุกค่าของ x ในช่วงเปิดบางช่วงที่บรรจุค่า c และจะเรียก ( c,f(c) ) ว่า จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ถ้า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ c แล้วเราจะกล่าวว่า f มี ค่าสุดขีดสัมพัทธ์ (relative extremum) ที่ c
• • • • เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 95 ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ [ f ′ (a) หาค่าไม่ได้] y ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ [ f ′ (c) = 0 ] a b c d x ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ [ f ′ (b) หาค่าไม่ได้] ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ [ f ′ (d) = 0 ] รูปที่ 6.3: ค่าสุดขีดสัมพัทธ์ รูปที่ 6.3 แสดงกราฟของฟังก์ชันที่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์หลายค่าด้วยกัน นอกจากนี้ จากรูปเรา สังเกตได้ว่า ค่าสุดขีดสัมพัทธ์แต่ละค่าจะเกิดที่จุดที่มีเส้นสัมผัสในแนวนอน ( นั่นคือ f ′ (x) = 0 ) หรือ ที่จุดที่มีเส้นสัมผัสในแนวยืน ( นั่นคือ f ′ (x) หาค่าไม่ได้) ดังนั้นเราจึงกำหนดชื่อให้กับจุดดังกล่าว ดัง บทนิยามต่อไปนี้ บทนิยาม 6.3 ค่าวิกฤต (critical number) ของฟังก์ชัน f คือค่า c ที่อยู่ในโดเมนของ f ที่ทำให้ f ′ (c) = 0 หรือ f ′ (c) หาค่าไม่ได้ ทฤษฎีบท 6.2 ทฤษฎีบทของแฟร์มา (Fermat’s Theorem) ถ้า f มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ c แล้ว c เป็นค่าวิกฤตของ f ตัวอย่าง 6.1 จงหาค่าวิกฤตและค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = 2x 3 +3x 2 −12x−5 วิธีทำ ......... ตัวอย่าง 6.2 จงหาค่าวิกฤตและค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = (2x+3) 2/3 วิธีทำ ......... หมายเหตุ ทฤษฎีบทของแฟร์มากล่าวแต่เพียงว่า ค่าสุดขีดสัมพัทธ์จะเกิดขึ้นเฉพาะที่ค่าวิกฤต แต่ไม่ ได้กล่าวว่า จะมีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ทุกค่าวิกฤต ตัวอย่าง 6.3 จะแสดงให้เห็นว่า ณค่าวิกฤต ฟังก์ชัน ไม่ได้ให้ค่าสุดขีดสัมพัทธ์ ตัวอย่าง 6.3 จงหาค่าวิกฤตและค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = x 3 วิธีทำ ......... ตัวอย่าง 6.4 จงหาค่าวิกฤตของ f(x) = x2 +3 x+1
- Page 43 and 44: • • • • เอกสาร
- Page 45 and 46: • • เอกสารประ
- Page 47 and 48: • เอกสารประก
- Page 49 and 50: เอกสารประกอ
- Page 51 and 52: เอกสารประกอ
- Page 53 and 54: เอกสารประกอ
- Page 55 and 56: เอกสารประกอ
- Page 57 and 58: เอกสารประกอ
- Page 59 and 60: เอกสารประกอ
- Page 61 and 62: เอกสารประกอ
- Page 63 and 64: เอกสารประกอ
- Page 65 and 66: บทที่ 5 อนุพั
- Page 67 and 68: เอกสารประกอ
- Page 69 and 70: เอกสารประกอ
- Page 71 and 72: เอกสารประกอ
- Page 73 and 74: เอกสารประกอ
- Page 75 and 76: เอกสารประกอ
- Page 77 and 78: เอกสารประกอ
- Page 79 and 80: เอกสารประกอ
- Page 81 and 82: เอกสารประกอ
- Page 83 and 84: เอกสารประกอ
- Page 85 and 86: เอกสารประกอ
- Page 87 and 88: เอกสารประกอ
- Page 89 and 90: เอกสารประกอ
- Page 91 and 92: เอกสารประกอ
- Page 93: • • • • เอกสาร
- Page 97 and 98: • • • • เอกสาร
- Page 99 and 100: เอกสารประกอ
- Page 101 and 102: เอกสารประกอ
- Page 103 and 104: เอกสารประกอ
- Page 105 and 106: เอกสารประกอ
- Page 107 and 108: เอกสารประกอ
- Page 109 and 110: • • • • • • • • •
- Page 111 and 112: เอกสารประกอ
- Page 113 and 114: เอกสารประกอ
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 95<br />
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์<br />
[<br />
f ′ (a) หาค่าไม่ได้]<br />
y<br />
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์<br />
[<br />
f ′ (c) = 0 ]<br />
a<br />
b<br />
c<br />
d<br />
x<br />
ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์<br />
[<br />
f ′ (b) หาค่าไม่ได้]<br />
ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์<br />
[<br />
f ′ (d) = 0 ]<br />
รูปที่ 6.3: ค่าสุดขีดสัมพัทธ์<br />
รูปที่ 6.3 แสดงกราฟของฟังก์ชันที่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์หลายค่าด้วยกัน นอกจากนี้ จากรูปเรา<br />
สังเกตได้ว่า ค่าสุดขีดสัมพัทธ์แต่ละค่าจะเกิดที่จุดที่มีเส้นสัมผัสในแนวนอน ( นั่นคือ f ′ (x) = 0 ) หรือ<br />
ที่จุดที่มีเส้นสัมผัสในแนวยืน ( นั่นคือ f ′ (x) หาค่าไม่ได้)<br />
ดังนั้นเราจึงกำหนดชื่อให้กับจุดดังกล่าว ดัง<br />
บทนิยามต่อไปนี้<br />
บทนิยาม 6.3 ค่าวิกฤต (critical number) ของฟังก์ชัน f คือค่า c ที่อยู่ในโดเมนของ<br />
f ที่ทำให้ f ′ (c) = 0 หรือ f ′ (c) หาค่าไม่ได้<br />
ทฤษฎีบท 6.2 ทฤษฎีบทของแฟร์มา (Fermat’s Theorem) ถ้า f มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ c<br />
แล้ว c เป็นค่าวิกฤตของ f<br />
ตัวอย่าง 6.1 จงหาค่าวิกฤตและค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = 2x 3 +3x 2 −12x−5<br />
วิธีทำ .........<br />
ตัวอย่าง 6.2 จงหาค่าวิกฤตและค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = (2x+3) 2/3<br />
วิธีทำ .........<br />
หมายเหตุ ทฤษฎีบทของแฟร์มากล่าวแต่เพียงว่า ค่าสุดขีดสัมพัทธ์จะเกิดขึ้นเฉพาะที่ค่าวิกฤต แต่ไม่<br />
ได้กล่าวว่า จะมีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ทุกค่าวิกฤต ตัวอย่าง 6.3 จะแสดงให้เห็นว่า ณค่าวิกฤต ฟังก์ชัน<br />
ไม่ได้ให้ค่าสุดขีดสัมพัทธ์<br />
ตัวอย่าง 6.3 จงหาค่าวิกฤตและค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = x 3<br />
วิธีทำ .........<br />
ตัวอย่าง 6.4 จงหาค่าวิกฤตของ f(x) = x2 +3<br />
x+1
Change language