à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ ภà¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 86 จากการใช้วิธีการที่กล่วไปข้างต้น เราสามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันที่เหลือได้ และอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถสรุปได้ดังนี้ d [ sin −1 x ] 1 = √ dx 1−x 2 d dx [cos−1 x] = √ −1 1−x 2 d dx [tan−1 x] = 1 1+x 2 d dx [cot−1 x] = −1 1+x 2 d 1 dx [sec−1 x] = |x| √ x 2 −1 d −1 dx [csc−1 x] = |x| √ x 2 −1 (−1 < x < 1) (−1 < x < 1) (|x| > 1) (|x| > 1) ตัวอย่าง 5.25 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ (a) y = tan −1√ x+1 (b) y = cot −1 (sin √ x) วิธีทำ ......... ตัวอย่าง 5.26 จงหา dy ( x ) dx ถ้า y = sec(π2 )+xtan −1 2 วิธีทำ ......... จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ แบบฝึกหัด 5.8 1. y = sin −1 (x 2 ) 2. y = tan −1 (e x ) 3. y = cos −1 (x 3 ) 4. y = sec −1 (x 2 ) +(ln4)(5 2x ) 5. H(x) = (1+x 2 )tan −1 x 6. g(t) = sin −1 (4/t) 7. y = x 2 cot −1 (3x) 8. f(x) = e x −x 2 tan −1 x 9. y = tan −1 (cos2x) 10. y = xcos −1 (2x) 11. y = cos −1 (sinx) 12. y = tan −1 (secx) 1. 2x √ 1−x 4 2. 5. 1+2xtan −1 x 6. e x 1+e 2x 3. −4 √ t4 −16t 2 คำตอบแบบฝึกหัด 5.8 −3x 2 √ 1−x 6 4. 2 x √ x 4 −1 7. 2xcot −1 (3x)− 3x2 1+9x 2
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 87 8. e x − x2 1+x 2 −2xtan−1 x 9. 11. −cosx √ 1−sin 2 x = ±1 −2sin2x 1+cos 2 2x secxtanx 12. 1+sec 2 x 10. cos −1 2x− 2x √ 1−4x 2 5.9 อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม y = log a x เมื่อ x > 0 สามารถหาได้โดยใช้วิธีการหาอนุพันธ์โดย ปริยายดังนี้ ให้ y = log a x, x > 0 ดังนั้น a y = x จากการหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการเทียบ กับ x และใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง จะได้ว่า ดังนั้น d dx (ay ) = d dx (x) a y lna dy dx = 1 dy dx = 1 a y lna = 1 xlna d dx [log ax] = 1 xlna , x > 0 (5.11) ถ้าให้ a = e ในสมการ (5.11) แล้วตัวประกอบ lna ทางขวามือของสมการ (5.11) จะ กลายเป็น lne = 1 ดังนั้นจะได้อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม log e x = lnx คือ ว่า d dx [lnx] = 1 x (5.12) นอกจากนี้ถ้า u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของ x และถ้า u(x) > 0 แล้วจากกฎลูกโซ่จะได้ d dx [log au] = 1 ulna · du dx และ ตัวอย่าง 5.27 จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = log 5 (3+tanx) วิธีทำ ......... ตัวอย่าง 5.28 จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = ln [sin ( e )] x2 −tanx วิธีทำ ......... ตัวอย่าง 5.29 จงหาอนุพันธ์ของ y = sin −1 2x+log 3 (x 2 −4) วิธีทำ ......... (√ ) 2x+3 ตัวอย่าง 5.30 จงหาอนุพันธ์ของ y = ln x−2 วิธีทำ ......... ตัวอย่าง 5.31 จงหา f ′ (x) ถ้า f(x) = ln|x| วิธีทำ ......... d dx [lnu] = 1 u · du dx
- Page 35 and 36: เอกสารประกอ
- Page 37 and 38: เอกสารประกอ
- Page 39 and 40: เอกสารประกอ
- Page 41 and 42: • • • • • เอกสา
- Page 43 and 44: • • • • เอกสาร
- Page 45 and 46: • • เอกสารประ
- Page 47 and 48: • เอกสารประก
- Page 49 and 50: เอกสารประกอ
- Page 51 and 52: เอกสารประกอ
- Page 53 and 54: เอกสารประกอ
- Page 55 and 56: เอกสารประกอ
- Page 57 and 58: เอกสารประกอ
- Page 59 and 60: เอกสารประกอ
- Page 61 and 62: เอกสารประกอ
- Page 63 and 64: เอกสารประกอ
- Page 65 and 66: บทที่ 5 อนุพั
- Page 67 and 68: เอกสารประกอ
- Page 69 and 70: เอกสารประกอ
- Page 71 and 72: เอกสารประกอ
- Page 73 and 74: เอกสารประกอ
- Page 75 and 76: เอกสารประกอ
- Page 77 and 78: เอกสารประกอ
- Page 79 and 80: เอกสารประกอ
- Page 81 and 82: เอกสารประกอ
- Page 83 and 84: เอกสารประกอ
- Page 85: เอกสารประกอ
- Page 89 and 90: เอกสารประกอ
- Page 91 and 92: เอกสารประกอ
- Page 93 and 94: • • • • เอกสาร
- Page 95 and 96: • • • • เอกสาร
- Page 97 and 98: • • • • เอกสาร
- Page 99 and 100: เอกสารประกอ
- Page 101 and 102: เอกสารประกอ
- Page 103 and 104: เอกสารประกอ
- Page 105 and 106: เอกสารประกอ
- Page 107 and 108: เอกสารประกอ
- Page 109 and 110: • • • • • • • • •
- Page 111 and 112: เอกสารประกอ
- Page 113 and 114: เอกสารประกอ
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 87<br />
8. e x − x2<br />
1+x 2 −2xtan−1 x 9.<br />
11.<br />
−cosx<br />
√<br />
1−sin 2 x = ±1<br />
−2sin2x<br />
1+cos 2 2x<br />
secxtanx<br />
12.<br />
1+sec 2 x<br />
10. cos −1 2x−<br />
2x<br />
√<br />
1−4x<br />
2<br />
5.9 อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม<br />
อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม y = log a x เมื่อ x > 0 สามารถหาได้โดยใช้วิธีการหาอนุพันธ์โดย<br />
ปริยายดังนี้ ให้ y = log a x, x > 0 ดังนั้น a y = x จากการหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการเทียบ<br />
กับ x และใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง จะได้ว่า<br />
ดังนั้น<br />
d<br />
dx (ay ) = d<br />
dx (x)<br />
a y lna dy<br />
dx = 1<br />
dy<br />
dx = 1<br />
a y lna = 1<br />
xlna<br />
d<br />
dx [log ax] = 1<br />
xlna , x > 0 (5.11)<br />
ถ้าให้ a = e ในสมการ (5.11) แล้วตัวประกอบ lna ทางขวามือของสมการ (5.11) จะ<br />
กลายเป็น lne = 1 ดังนั้นจะได้อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม log e x = lnx คือ<br />
ว่า<br />
d<br />
dx [lnx] = 1 x<br />
(5.12)<br />
นอกจากนี้ถ้า u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของ x และถ้า u(x) > 0 แล้วจากกฎลูกโซ่จะได้<br />
d<br />
dx [log au] = 1<br />
ulna · du<br />
dx<br />
และ<br />
ตัวอย่าง 5.27 จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = log 5 (3+tanx)<br />
วิธีทำ .........<br />
ตัวอย่าง 5.28 จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = ln<br />
[sin ( e )]<br />
x2 −tanx<br />
วิธีทำ .........<br />
ตัวอย่าง 5.29 จงหาอนุพันธ์ของ y = sin −1 2x+log 3 (x 2 −4)<br />
วิธีทำ .........<br />
(√ ) 2x+3<br />
ตัวอย่าง 5.30 จงหาอนุพันธ์ของ y = ln<br />
x−2<br />
วิธีทำ .........<br />
ตัวอย่าง 5.31 จงหา f ′ (x) ถ้า f(x) = ln|x|<br />
วิธีทำ .........<br />
d<br />
dx [lnu] = 1 u · du<br />
dx
Change language