à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ ภà¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 82 2. (a) y = 1 (b) y = −x+ π 2 (c) y = 2x+1− π 2 (d) y = x+1 (e) y = −x (f) y = −x+π 3. (2n+1)π ±π/3, เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม 4. ( π 2 +2nπ,3) , ( 3π 2 +2nπ,−1) ,n เป็นจำนวนเต็ม 5.6 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (exponential function) เป็นฟังก์ชันที่พบบ่อยมากในการประยุกต์เรื่อง ต่างๆ รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือ f(x) = a x เมื่อ a > 0,a ≠ 0 ( ในที่นี้ a เรียกว่า ฐาน (base) ของฟังก์ชัน ) ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะกล่าวถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ทฤษฎีบท 5.9 สำหรับค่าคงตัว a > 0 ใดๆ d dx [ax ] = a x lna สำหรับกรณีที่ a = e จะได้ว่า lne = 1 และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = e x คือ d dx [ex ] = e x นอกจากนี้ถ้า u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว d dx [au ] = a u lna· du dx และ d dx [eu ] = e u · du dx ตัวอย่าง 5.21 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ (a) f(x) = 4 x cosx (c) h(x) = 2 secx + 1 3√ e tanx (b) g(x) = ex −5x+1 x 3 −ln2 วิธีทำ ......... แบบฝึกหัด 5.6 1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ (a) f(x) = 4e x −x (b) f(x) = xe x (c) f(x) = x−2 x (d) f(x) = 2e x+1 (e) f(x) = (1/3) x (g) f(x) = e 2x (i) f(x) = ex x (f) f(x) = 4 −x+1 (h) f(x) = x 2 e −x (j) f(x) = e xcosx
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 83 2. จงหาสมการของเส้นสัมผัสโค้ง y = f(x) ที่จุด x = 1 เมื่อกำหนด f(x) ดังต่อไปนี้ (a) f(x) = 3e x (b) f(x) = 3 x (c) f(x) = xe x 3. กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนเซตของจำนวนจริง R และให้ F(x) = f(e x ) และ G(x) = e f(x) จงหานิพจน์สำหรับ (a) F ′ (x) และ (b) G ′ (x) คำตอบแบบฝึกหัด 5.6 1. (a) 4e x −1 (b) e x +xe x (c) 1+(ln2)2 x (d) 2e x+1 (e) ( ln 3)( 1 1 3 (f) −(ln4)4 −x+1 (g) 2e 2x (h) 2xe −x −x 2 e −x (i) xex −e x (j) (cosx−xsinx)e xcosx 2. (a) y = 3e x (b) y = 3ln3(x−1)+3 (c) y = 2e x −e 3. (a) F ′ (x) = e x f ′ (e x ) (b) G ′ (x) = e f(x) f ′ (x) x 2 ) x 5.7 อนุพันธ์ของฟังก์ชันปริยาย จากการพิจารณาเปรียบเทียบสมการ 2 สมการต่อไปนี้ y = √ x 2 +3 และ x 2 +y 2 = 9 เห็นได้ว่า สมการแรกเป็นการให้นิยามของ y อย่างชัดเจนในรูปฟังก์ชันของ x เราเรียกฟังก์ชัน ที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า ฟังก์ชันชัดแจ้ง (explicit function) สำหรับสมการที่สองนั้นไม่เป็นฟังก์ชัน แต่เราสามารถแก้สมการหาค่า y ทำให้เราได้ฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน ( y = √ 9−x 2 และ y = − √ 9−x 2) ที่กำหนดโดยปริยายด้วยสมการ x 2 + y 2 = 9 และเราเรียกฟังก์ชันที่มีลักษณะนี้ว่า ฟังก์ชันปริยาย (implicit function) วิธีการหาอนุพันธ์ ของฟังก์ชันปริยายเรียกว่า การหาอนุพันธ์โดยปริยาย (implicit differentiation) ซึ่งหาได้ โดยการ หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการของฟังก์ชันปริยายเทียบกับ x จากนั้นแก้สมการหาค่า dy/dx ตัวอย่างและแบบฝึกหัดในหัวข้อนี้ จะสมมุติให้สมการที่กำหนดให้เป็นการกำหนด y โดยปริยาย ในรูปฟังก์ชันของ x นั่นคือเราพิจารณาให้ x เป็นตัวแปรอิสระ และ y เป็นตัวแปรตาม ตัวอย่าง 5.22 จงหา dy dx ถ้า x3 +y 2 −3y = 5 วิธีทำ ......... ตัวอย่าง 5.23 จงหา dy dx ถ้า x2 cosy +sin2y = xy วิธีทำ .........
- Page 31 and 32: เอกสารประกอ
- Page 33 and 34: เอกสารประกอ
- Page 35 and 36: เอกสารประกอ
- Page 37 and 38: เอกสารประกอ
- Page 39 and 40: เอกสารประกอ
- Page 41 and 42: • • • • • เอกสา
- Page 43 and 44: • • • • เอกสาร
- Page 45 and 46: • • เอกสารประ
- Page 47 and 48: • เอกสารประก
- Page 49 and 50: เอกสารประกอ
- Page 51 and 52: เอกสารประกอ
- Page 53 and 54: เอกสารประกอ
- Page 55 and 56: เอกสารประกอ
- Page 57 and 58: เอกสารประกอ
- Page 59 and 60: เอกสารประกอ
- Page 61 and 62: เอกสารประกอ
- Page 63 and 64: เอกสารประกอ
- Page 65 and 66: บทที่ 5 อนุพั
- Page 67 and 68: เอกสารประกอ
- Page 69 and 70: เอกสารประกอ
- Page 71 and 72: เอกสารประกอ
- Page 73 and 74: เอกสารประกอ
- Page 75 and 76: เอกสารประกอ
- Page 77 and 78: เอกสารประกอ
- Page 79 and 80: เอกสารประกอ
- Page 81: เอกสารประกอ
- Page 85 and 86: เอกสารประกอ
- Page 87 and 88: เอกสารประกอ
- Page 89 and 90: เอกสารประกอ
- Page 91 and 92: เอกสารประกอ
- Page 93 and 94: • • • • เอกสาร
- Page 95 and 96: • • • • เอกสาร
- Page 97 and 98: • • • • เอกสาร
- Page 99 and 100: เอกสารประกอ
- Page 101 and 102: เอกสารประกอ
- Page 103 and 104: เอกสารประกอ
- Page 105 and 106: เอกสารประกอ
- Page 107 and 108: เอกสารประกอ
- Page 109 and 110: • • • • • • • • •
- Page 111 and 112: เอกสารประกอ
- Page 113 and 114: เอกสารประกอ
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 83<br />
2. จงหาสมการของเส้นสัมผัสโค้ง y = f(x) ที่จุด x = 1 เมื่อกำหนด f(x) ดังต่อไปนี้<br />
(a) f(x) = 3e x<br />
(b) f(x) = 3 x<br />
(c) f(x) = xe x<br />
3. กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนเซตของจำนวนจริง R และให้ F(x) = f(e x )<br />
และ G(x) = e f(x) จงหานิพจน์สำหรับ (a) F ′ (x) และ (b) G ′ (x)<br />
คำตอบแบบฝึกหัด 5.6<br />
1. (a) 4e x −1 (b) e x +xe x (c) 1+(ln2)2 x (d) 2e x+1 (e) ( ln 3)( 1 1<br />
3<br />
(f) −(ln4)4 −x+1 (g) 2e 2x (h) 2xe −x −x 2 e −x (i) xex −e x<br />
(j) (cosx−xsinx)e xcosx<br />
2. (a) y = 3e x (b) y = 3ln3(x−1)+3 (c) y = 2e x −e<br />
3. (a) F ′ (x) = e x f ′ (e x ) (b) G ′ (x) = e f(x) f ′ (x)<br />
x 2<br />
) x<br />
5.7 อนุพันธ์ของฟังก์ชันปริยาย<br />
จากการพิจารณาเปรียบเทียบสมการ 2 สมการต่อไปนี้<br />
y = √ x 2 +3 และ x 2 +y 2 = 9<br />
เห็นได้ว่า สมการแรกเป็นการให้นิยามของ y อย่างชัดเจนในรูปฟังก์ชันของ x เราเรียกฟังก์ชัน<br />
ที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า ฟังก์ชันชัดแจ้ง (explicit function)<br />
สำหรับสมการที่สองนั้นไม่เป็นฟังก์ชัน แต่เราสามารถแก้สมการหาค่า y ทำให้เราได้ฟังก์ชัน 2<br />
ฟังก์ชัน ( y = √ 9−x 2 และ y = − √ 9−x 2) ที่กำหนดโดยปริยายด้วยสมการ x 2 + y 2 = 9<br />
และเราเรียกฟังก์ชันที่มีลักษณะนี้ว่า ฟังก์ชันปริยาย (implicit function) วิธีการหาอนุพันธ์<br />
ของฟังก์ชันปริยายเรียกว่า การหาอนุพันธ์โดยปริยาย (implicit differentiation) ซึ่งหาได้<br />
โดยการ หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการของฟังก์ชันปริยายเทียบกับ x จากนั้นแก้สมการหาค่า<br />
dy/dx<br />
ตัวอย่างและแบบฝึกหัดในหัวข้อนี้ จะสมมุติให้สมการที่กำหนดให้เป็นการกำหนด y โดยปริยาย<br />
ในรูปฟังก์ชันของ x นั่นคือเราพิจารณาให้ x เป็นตัวแปรอิสระ และ y เป็นตัวแปรตาม<br />
ตัวอย่าง 5.22 จงหา dy<br />
dx ถ้า x3 +y 2 −3y = 5<br />
วิธีทำ .........<br />
ตัวอย่าง 5.23 จงหา dy<br />
dx ถ้า x2 cosy +sin2y = xy<br />
วิธีทำ .........
Change language