บทที่ 1 เมทริก ซ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 72
บทนิยาม 5.2 ฟังก์ชัน f ′ นิยามโดย
f ′ (x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
(5.9)
เรียกว่า อนุพันธ์ของ f เทียบกับ x โดยที่โดเมนของ f ′ ประกอบด้วยค่า x ในโดเมนของ f
ที่ทำให้ลิมิตหาค่าได้
ตัวอย่าง 5.6 จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = x 3 +7x พร้อมทั้งหาสมการของเส้นสัมผัสโค้ง y = f(x)
ที่จุด x = 1
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.7 จงหา f ′ (x) ถ้า f(x) = √ x
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.8 ถ้า f(x) = 2x−3
5−x จงหา f′ (x)
วิธีทำ .........
บทนิยาม 5.3 ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ (differentiable) ที่ x 0 ถ้าลิมิต
f ′ (x 0 ) = lim
h→0
f(x 0 +h)−f(x 0 )
h
(5.10)
หาค่าได้ และถ้า f หาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดบนช่วงเปิด (a,b) แล้วเรากล่าวว่า f หาอนุพันธ์ได้
บนช่วงเปิด (a,b) และเราสามารถให้นิยามการหาอนุพันธ์ได้บนช่วง (a,+∞), (−∞,a) และ
(−∞,+∞) ในทำนองเดียวกัน สำหรับกรณีที่ f หาอนุพันธ์ได้บนช่วง (−∞,+∞) เราจะกล่าว
ว่า f หาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุด
ตัวอย่าง 5.9 จงแสดงว่า f(x) = |x| หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ x = 0
วิธีทำ จากสมการ (5.10) โดยมี x 0 = 0 จะได้
แต่
f ′ f(0+h)−f(0) f(h)−f(0)
(0) = lim = lim
h→0 h h→0 h
|h|−|0| |h|
= lim = lim
h→0 h h→0 h
|h|
h = {
1 ถ้า h > 0
−1, ถ้า h < 0
ดังนั้น
|h|
lim
h→0 − h
|h|
= −1 และ lim
h→0 + h = 1
เนื่องจากลิมิตด้านเดียวมีค่าไม่เท่ากัน ดังนั้น lim หาค่าไม่ได้ เพราะฉะนั้น f หาอนุพันธ์ไม่
h
ได้ที่ x = 0 ✠
h→0
|h|