à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ ภà¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 58 3. lim x→a f(x) = f(a) ตัวอย่าง 4.23 จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องที่จุด x = 2 หรือไม่ ⎧ (a) f(x) = x2 −4 ⎨ (b) g(x) = x−2 ⎩ ⎧ ⎨ (c) h(x) = ⎩ วิธีทำ ......... x 2 −4 x−2 , x ≠ 2 3 , x = 2 ทฤษฎีบท 4.10 ถ้าฟังก์ชัน f และ g ต่อเนื่องที่ x = a แล้ว (a) f +g ต่อเนื่องที่ x = a (b) f −g ต่อเนื่องที่ x = a (c) f ·g ต่อเนื่องที่ x = a x 2 −4 x−2 , x ≠ 2 1 , x = 2 (d) f g ต่อเนื่องที่ x = a ถ้า g(a) ≠ 0 และไม่ต่อเนื่องที่ x = a ถ้า g(a) = 0 บทนิยาม 4.6 ถ้าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ทุกๆจุดบนช่วงเปิด (a,b) แล้วจะกล่าวว่า f ต่อเนื่อง บนช่วง (a,b) นอกจากนี้เราสามารถให้นิยามความต่อเนื่องบนช่วง (a,+∞), (−∞,b) และ (−∞,+∞) ในทำนองเดียวกัน และสำหรับกรณีที่ f ต่อเนื่องบนช่วง (−∞,+∞) เราจะกล่าวว่า f ต่อเนื่องที่ทุกจุด บทนิยาม 4.7 ฟังก์ชัน f จะต่อเนื่องที่ทุกๆจุดบนช่วงบนช่วงปิด [a,b] ถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง 1. f ต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a,b) 2. f ต่อเนื่องทางขวาของ a: lim x→a +f(x) = f(a) 3. f ต่อเนื่องทางซ้ายของ b: lim x→b−f(x) = f(b) ตัวอย่าง 4.24 จงแสดงว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องบนช่วงที่กำหนดให้ วิธีทำ ......... f(x) = √ 16−x 2 , [−4,4]
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 59 ฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องที่ทุกๆจุดบนโดเมนของฟังก์ชัน 1. ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial functions) 2. ฟังก์ชันตรรกยะ (rational functions) 3. ฟังก์ชันราก (root functions) 4. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (trigonometric functions) 5. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (inverse trigonometric functions) 6. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (exponential functions) 7. ฟังก์ชันลอการิทึม (logarithmic functions) ตัวอย่าง 4.25 จงหาค่าของ x ที่ทำให้กราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ไม่ต่อเนื่อง วิธีทำ ......... f(x) = x5 −2x 3 +5x x 2 −3x+2 จากตัวอย่างที่ผ่านมาข้างต้น พบว่าฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x = a อาจมีสาเหตุมาจาก f(a) หาค่าไม่ได้ หรือ limf(x) หาค่าไม่ได้ หรือ f(a) ≠ limf(x) ภาวะไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน f x→a x→a นี้ สามารถแบ่งออกเป็น 2 ชนิดคือ 1. ภาวะไม่ต่อเนื่องที่ขจัดได้ (removable discontinuity) เป็นภาวะไม่ต่อเนื่องที่เกิดขึ้น เมื่อ f(a) ≠ lim x→a f(x) หรือ f(a) หาค่าไม่ได้ ซึ่งสามารถขจัดภาวะไม่ต่อเนื่องได้ โดยการ กำหนดค่า f(a) ใหม่ให้มีค่าเท่ากับ lim x→a f(x) และผลลัพธ์ที่ได้คือ f ต่อเนื่องที่ x = a 2. ภาวะไม่ต่อเนื่องที่ขจัดไม่ได้ (non-removable discontinuity) เป็นภาวะไม่ต่อเนื่อง ที่เกิดขึ้นเมื่อ lim x→a f(x) หาค่าไม่ได้ ภาวะไม่ต่อเนื่องนี้ไม่สามารถขจัดได้ นั่นคือ f เป็น ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ x = a ตัวอย่าง 4.26 จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องที่จุดที่กำหนดให้หรือไม่ ถ้าไม่ต่อเนื่อง แล้วภาวะไม่ต่อเนื่องนี้สามารถขจัดได้หรือไม่ ถ้าได้ จะขจัดอย่างไร (a) f(x) = x2 −2x−8 , x = −2 x+2 (b) f(x) = x3 +64 x+4 , x = −4 วิธีทำ .........
- Page 7 and 8: เอกสารประกอ
- Page 9 and 10: เอกสารประกอ
- Page 11 and 12: เอกสารประกอ
- Page 13 and 14: เอกสารประกอ
- Page 15 and 16: เอกสารประกอ
- Page 17 and 18: เอกสารประกอ
- Page 19 and 20: เอกสารประกอ
- Page 21 and 22: เอกสารประกอ
- Page 23 and 24: เอกสารประกอ
- Page 25 and 26: เอกสารประกอ
- Page 27 and 28: เอกสารประกอ
- Page 29 and 30: เอกสารประกอ
- Page 31 and 32: เอกสารประกอ
- Page 33 and 34: เอกสารประกอ
- Page 35 and 36: เอกสารประกอ
- Page 37 and 38: เอกสารประกอ
- Page 39 and 40: เอกสารประกอ
- Page 41 and 42: • • • • • เอกสา
- Page 43 and 44: • • • • เอกสาร
- Page 45 and 46: • • เอกสารประ
- Page 47 and 48: • เอกสารประก
- Page 49 and 50: เอกสารประกอ
- Page 51 and 52: เอกสารประกอ
- Page 53 and 54: เอกสารประกอ
- Page 55 and 56: เอกสารประกอ
- Page 57: เอกสารประกอ
- Page 61 and 62: เอกสารประกอ
- Page 63 and 64: เอกสารประกอ
- Page 65 and 66: บทที่ 5 อนุพั
- Page 67 and 68: เอกสารประกอ
- Page 69 and 70: เอกสารประกอ
- Page 71 and 72: เอกสารประกอ
- Page 73 and 74: เอกสารประกอ
- Page 75 and 76: เอกสารประกอ
- Page 77 and 78: เอกสารประกอ
- Page 79 and 80: เอกสารประกอ
- Page 81 and 82: เอกสารประกอ
- Page 83 and 84: เอกสารประกอ
- Page 85 and 86: เอกสารประกอ
- Page 87 and 88: เอกสารประกอ
- Page 89 and 90: เอกสารประกอ
- Page 91 and 92: เอกสารประกอ
- Page 93 and 94: • • • • เอกสาร
- Page 95 and 96: • • • • เอกสาร
- Page 97 and 98: • • • • เอกสาร
- Page 99 and 100: เอกสารประกอ
- Page 101 and 102: เอกสารประกอ
- Page 103 and 104: เอกสารประกอ
- Page 105 and 106: เอกสารประกอ
- Page 107 and 108: เอกสารประกอ
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 58<br />
3. lim<br />
x→a<br />
f(x) = f(a)<br />
ตัวอย่าง 4.23 จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องที่จุด x = 2 หรือไม่<br />
⎧<br />
(a) f(x) = x2 −4<br />
⎨<br />
(b) g(x) =<br />
x−2<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
(c) h(x) =<br />
⎩<br />
วิธีทำ .........<br />
x 2 −4<br />
x−2 , x ≠ 2<br />
3 , x = 2<br />
ทฤษฎีบท 4.10 ถ้าฟังก์ชัน f และ g ต่อเนื่องที่ x = a แล้ว<br />
(a) f +g ต่อเนื่องที่ x = a<br />
(b) f −g ต่อเนื่องที่ x = a<br />
(c) f ·g ต่อเนื่องที่ x = a<br />
x 2 −4<br />
x−2 , x ≠ 2<br />
1 , x = 2<br />
(d) f g<br />
ต่อเนื่องที่ x = a ถ้า g(a) ≠ 0 และไม่ต่อเนื่องที่ x = a ถ้า g(a) = 0<br />
บทนิยาม 4.6 ถ้าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ทุกๆจุดบนช่วงเปิด (a,b) แล้วจะกล่าวว่า f ต่อเนื่อง<br />
บนช่วง (a,b) นอกจากนี้เราสามารถให้นิยามความต่อเนื่องบนช่วง (a,+∞), (−∞,b) และ<br />
(−∞,+∞) ในทำนองเดียวกัน และสำหรับกรณีที่ f ต่อเนื่องบนช่วง (−∞,+∞) เราจะกล่าวว่า<br />
f ต่อเนื่องที่ทุกจุด<br />
บทนิยาม 4.7 ฟังก์ชัน f จะต่อเนื่องที่ทุกๆจุดบนช่วงบนช่วงปิด [a,b] ถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง<br />
1. f ต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a,b)<br />
2. f ต่อเนื่องทางขวาของ a: lim<br />
x→a +f(x)<br />
= f(a)<br />
3. f ต่อเนื่องทางซ้ายของ b: lim<br />
x→b−f(x) = f(b)<br />
ตัวอย่าง 4.24 จงแสดงว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องบนช่วงที่กำหนดให้<br />
วิธีทำ .........<br />
f(x) = √ 16−x 2 , [−4,4]
Change language