à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ ภà¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 50 ◮ ลิมิตของตัวส่วนมีค่าเป็นศูนย์ แต่ลิมิตของตัวเศษไม่เท่ากับศูนย์ ◮ ลิมิตของตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเป็นศูนย์ กรณีที่ลิมิตของตัวส่วนมีค่าเป็นศูนย์ แต่ลิมิตของตัวเศษไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถแสดงได้ว่าลิมิ ตของฟังก์ชันตรรกยะหาค่าไม่ได้ โดยที่เกิดกรณีใดกรณีหนึ่งต่อไปนี้ • ลิมิตเป็น −∞ ทางด้านหนึ่ง และ +∞ อีกด้านหนึ่ง • ลิมิตเป็น +∞ • ลิมิตเป็น −∞ ตัวอย่าง 4.10 3−x lim x→5 + (x−5)(x+3) = 3−x lim x→5 − (x−5)(x+3) = 3−x lim x→5 (x−5)(x+3) = สำหรับกรณีที่ฟังก์ชันตรรกยะ p(x)/q(x) มีลิมิตของตัวเศษและตัวส่วนเป็นศูนย์ นั่นคือ p(x) = 0 และ q(x) = 0 ตัวเศษและตัวส่วนของฟังก์ชันตรรกยะจะมีตัวประกอบร่วมอย่างน้อย 1 ตัวประกอบ ในกรณีนี้ลิมิตของ p(x)/q(x) เมื่อ x → a สามารถหาค่าได้ โดยการตัดตัวประกอบร่วมออก และ หาค่าลิมิตของฟังก์ชันที่เหลือ ตัวอย่าง 4.11 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ x 2 −14x−51 (a) lim x→−3 x 2 −4x−21 x 2 −3x−10 (c) lim x→5 x 2 −10x+25 วิธีทำ ......... (b) lim x→1 x 4 +2x 2 −3 x 2 +2x−3 เศษส่วน f(x)/g(x) ที่ลิมิตของตัวเศษและตัวส่วนเท่ากับศูนย์เมื่อ x → a เรียกว่า รูปแบบ ยังไม่กำหนด 0/0 (indeterminate form of type 0/0) ลิมิตของฟังก์ชันในรูปแบบนี้ บางครั้งสามารถหาค่าลิมิตได้ โดยใช้วิธีการเดียวกับตัวอย่าง 4.11(c) แต่บางครั้งวิธีการในตัวอย่าง 4.11(c) ไม่สามารถนำมาใช้ได้ ต้องอาศัยวิธีอื่น ซึ่งจะกล่าวต่อไปในหัวข้อ4.4 ทฤษฎีบทต่อไป เป็นข้อสรุปของลิมิตของฟังก์ชันตรรกยะ ทฤษฎีบท 4.4 กำหนดให้ f(x) = p(x) q(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ และให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. ถ้า q(a) ≠ 0 แล้ว lim x→a f(x) = f(a) 2. ถ้า q(a) = 0 แต่ p(a) ≠ 0 แล้ว lim x→a f(x) หาค่าไม่ได้
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 51 ลิมิตที่เกี่ยวข้องกับราก x 2 −1 ตัวอย่าง 4.12 จงหาค่า lim x→−1 1− √ 2+x วิธีทำ ......... ตัวอย่าง 4.13 จงหาค่า lim x→2 2− 3√ x+6 x−2 วิธีทำ ......... ลิมิตของฟังก์ชันที่นิยามเป็นช่วง บางครั้งเราอาจพิจารณาฟังก์ชันที่มีนิพจน์ที่แตกต่างกันบนช่วงที่ต่างกัน ซึ่งฟังก์ชันในลักษณะนี้เรียก ว่า ฟังก์ชันที่นิยามเป็นช่วง (piecewise-defined functions) การหาลิมิตของฟังก์ชันที่ นิยามเป็นช่วงนั้น จะใช้ลิมิตสองด้านในการหาลิมิตที่จุดแบ่งช่วง หรือจุดที่มีการเปลี่ยนนิพจน์ ตัวอย่าง 4.14 กำหนดให้ ⎧ ⎪⎨ f(x) = ⎪⎩ x 2 −5x+6 |x−2| 2x−1 x+1 ถ้า 0 ≤ x ≤ 2 ถ้า x > 2 จงหา (a) lim x→2 f(x) และ (b) lim x→1 f(x) วิธีทำ ......... 1. กำหนดให้ แบบฝึกหัด 4.2 limf(x) = −3, limg(x) = 0, และ lim h(x) = 8 x→a x→a x→a จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้ และถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ จงให้เหตุผลประกอบ [ ] [ ] 2 (a) lim f(x)+h(x) (b) lim f(x) x→a x→a (c) lim √ 3 1 h(x) (d) lim x→a x→a f(x) (e) lim x→a f(x) h(x) (g) lim x→a f(x) g(x) g(x) (f) lim x→a f(x) (h) lim x→a 2f(x) h(x)−f(x)
- Page 1 and 2: บทที่ 1 เมทริ
- Page 3 and 4: เอกสารประกอ
- Page 5 and 6: เอกสารประกอ
- Page 7 and 8: เอกสารประกอ
- Page 9 and 10: เอกสารประกอ
- Page 11 and 12: เอกสารประกอ
- Page 13 and 14: เอกสารประกอ
- Page 15 and 16: เอกสารประกอ
- Page 17 and 18: เอกสารประกอ
- Page 19 and 20: เอกสารประกอ
- Page 21 and 22: เอกสารประกอ
- Page 23 and 24: เอกสารประกอ
- Page 25 and 26: เอกสารประกอ
- Page 27 and 28: เอกสารประกอ
- Page 29 and 30: เอกสารประกอ
- Page 31 and 32: เอกสารประกอ
- Page 33 and 34: เอกสารประกอ
- Page 35 and 36: เอกสารประกอ
- Page 37 and 38: เอกสารประกอ
- Page 39 and 40: เอกสารประกอ
- Page 41 and 42: • • • • • เอกสา
- Page 43 and 44: • • • • เอกสาร
- Page 45 and 46: • • เอกสารประ
- Page 47 and 48: • เอกสารประก
- Page 49: เอกสารประกอ
- Page 53 and 54: เอกสารประกอ
- Page 55 and 56: เอกสารประกอ
- Page 57 and 58: เอกสารประกอ
- Page 59 and 60: เอกสารประกอ
- Page 61 and 62: เอกสารประกอ
- Page 63 and 64: เอกสารประกอ
- Page 65 and 66: บทที่ 5 อนุพั
- Page 67 and 68: เอกสารประกอ
- Page 69 and 70: เอกสารประกอ
- Page 71 and 72: เอกสารประกอ
- Page 73 and 74: เอกสารประกอ
- Page 75 and 76: เอกสารประกอ
- Page 77 and 78: เอกสารประกอ
- Page 79 and 80: เอกสารประกอ
- Page 81 and 82: เอกสารประกอ
- Page 83 and 84: เอกสารประกอ
- Page 85 and 86: เอกสารประกอ
- Page 87 and 88: เอกสารประกอ
- Page 89 and 90: เอกสารประกอ
- Page 91 and 92: เอกสารประกอ
- Page 93 and 94: • • • • เอกสาร
- Page 95 and 96: • • • • เอกสาร
- Page 97 and 98: • • • • เอกสาร
- Page 99 and 100: เอกสารประกอ
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 51<br />
ลิมิตที่เกี่ยวข้องกับราก<br />
x 2 −1<br />
ตัวอย่าง 4.12 จงหาค่า lim<br />
x→−1 1− √ 2+x<br />
วิธีทำ .........<br />
ตัวอย่าง 4.13 จงหาค่า lim<br />
x→2<br />
2− 3√ x+6<br />
x−2<br />
วิธีทำ .........<br />
ลิมิตของฟังก์ชันที่นิยามเป็นช่วง<br />
บางครั้งเราอาจพิจารณาฟังก์ชันที่มีนิพจน์ที่แตกต่างกันบนช่วงที่ต่างกัน ซึ่งฟังก์ชันในลักษณะนี้เรียก<br />
ว่า ฟังก์ชันที่นิยามเป็นช่วง (piecewise-defined functions) การหาลิมิตของฟังก์ชันที่<br />
นิยามเป็นช่วงนั้น จะใช้ลิมิตสองด้านในการหาลิมิตที่จุดแบ่งช่วง หรือจุดที่มีการเปลี่ยนนิพจน์<br />
ตัวอย่าง 4.14 กำหนดให้<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
f(x) =<br />
⎪⎩<br />
x 2 −5x+6<br />
|x−2|<br />
2x−1<br />
x+1<br />
ถ้า 0 ≤ x ≤ 2<br />
ถ้า x > 2<br />
จงหา (a) lim<br />
x→2<br />
f(x) และ (b) lim<br />
x→1<br />
f(x)<br />
วิธีทำ .........<br />
1. กำหนดให้<br />
แบบฝึกหัด 4.2<br />
limf(x) = −3, limg(x) = 0, และ lim h(x) = 8<br />
x→a x→a x→a<br />
จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้ และถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ จงให้เหตุผลประกอบ<br />
[ ]<br />
[ ] 2<br />
(a) lim f(x)+h(x) (b) lim f(x)<br />
x→a x→a<br />
(c) lim<br />
√ 3<br />
1<br />
h(x) (d) lim<br />
x→a x→a f(x)<br />
(e) lim<br />
x→a<br />
f(x)<br />
h(x)<br />
(g) lim<br />
x→a<br />
f(x)<br />
g(x)<br />
g(x)<br />
(f) lim<br />
x→a f(x)<br />
(h) lim<br />
x→a<br />
2f(x)<br />
h(x)−f(x)
Change language