บทที่ 1 เมทริก ซ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 50
◮ ลิมิตของตัวส่วนมีค่าเป็นศูนย์ แต่ลิมิตของตัวเศษไม่เท่ากับศูนย์
◮ ลิมิตของตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเป็นศูนย์
กรณีที่ลิมิตของตัวส่วนมีค่าเป็นศูนย์ แต่ลิมิตของตัวเศษไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถแสดงได้ว่าลิมิ
ตของฟังก์ชันตรรกยะหาค่าไม่ได้ โดยที่เกิดกรณีใดกรณีหนึ่งต่อไปนี้
• ลิมิตเป็น −∞ ทางด้านหนึ่ง และ +∞ อีกด้านหนึ่ง
• ลิมิตเป็น +∞
• ลิมิตเป็น −∞
ตัวอย่าง 4.10
3−x
lim
x→5 + (x−5)(x+3) =
3−x
lim
x→5 − (x−5)(x+3) =
3−x
lim
x→5 (x−5)(x+3) =
สำหรับกรณีที่ฟังก์ชันตรรกยะ p(x)/q(x) มีลิมิตของตัวเศษและตัวส่วนเป็นศูนย์ นั่นคือ p(x) =
0 และ q(x) = 0 ตัวเศษและตัวส่วนของฟังก์ชันตรรกยะจะมีตัวประกอบร่วมอย่างน้อย 1 ตัวประกอบ
ในกรณีนี้ลิมิตของ p(x)/q(x) เมื่อ x → a สามารถหาค่าได้ โดยการตัดตัวประกอบร่วมออก และ
หาค่าลิมิตของฟังก์ชันที่เหลือ
ตัวอย่าง 4.11 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้
x 2 −14x−51
(a) lim
x→−3 x 2 −4x−21
x 2 −3x−10
(c) lim
x→5 x 2 −10x+25
วิธีทำ .........
(b) lim
x→1
x 4 +2x 2 −3
x 2 +2x−3
เศษส่วน f(x)/g(x) ที่ลิมิตของตัวเศษและตัวส่วนเท่ากับศูนย์เมื่อ x → a เรียกว่า รูปแบบ
ยังไม่กำหนด 0/0 (indeterminate form of type 0/0) ลิมิตของฟังก์ชันในรูปแบบนี้
บางครั้งสามารถหาค่าลิมิตได้ โดยใช้วิธีการเดียวกับตัวอย่าง 4.11(c) แต่บางครั้งวิธีการในตัวอย่าง 4.11(c)
ไม่สามารถนำมาใช้ได้ ต้องอาศัยวิธีอื่น ซึ่งจะกล่าวต่อไปในหัวข้อ4.4
ทฤษฎีบทต่อไป เป็นข้อสรุปของลิมิตของฟังก์ชันตรรกยะ
ทฤษฎีบท 4.4 กำหนดให้
f(x) = p(x)
q(x)
เป็นฟังก์ชันตรรกยะ และให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. ถ้า q(a) ≠ 0 แล้ว lim
x→a
f(x) = f(a)
2. ถ้า q(a) = 0 แต่ p(a) ≠ 0 แล้ว lim
x→a
f(x) หาค่าไม่ได้