บทที่ 1 เมทริก ซ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 5
บทนิยาม 1.8 (การคูณเมทริกซ์) ถ้า A เป็นเมทริกซ์มิติ m × n และ B เป็นเมทริกซ์มิติ
p × q แล้ว ผลคูณ AB สามารถหาได้ถ้า n = p และ AB เป็นเมทริกซ์มิติ m × q โดยที่
สมาชิกของ AB ในแถวที่ i และหลักที่ j ได้มาจากการบวกกันของผลคูณระหว่างสมาชิกแต่ละ
ตัวของแถวที่ i ของ A กับสมาชิกที่สมนัยกันในหลักที่ j ของ B
หรือกล่าวได้ว่า ถ้า C = AB แล้ว
n∑
c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j +···+a in b nj หรือ c ij = a ik b kj
ตัวอย่าง 1.5 กำหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ต่อไปนี้ จงหาผลคูณ AB และ BA (ถ้าหา
ได้)
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
3 −2 [ ] 1 2 3 x
⎢ ⎥ −2 1 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
(a) A = ⎣2 4 ⎦, B = (b) A = ⎣4 5 6⎦, B = ⎣y⎦
4 1 6
1 −3
7 8 9 z
วิธีทำ .........
หมายเหตุ จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นได้ว่าการคูณของเมทริกซ์ จะแตกต่างจากการคูณของจำนวน
กล่าวคือ การคูณของจำนวนมีสมบัติการสลับที่ นั่นคือ ถ้า a และ b เป็นจำนวนใดๆ แล้ว ab = ba
แต่การคูณของเมทริกซ์ไม่มีสมบัติดังกล่าว
อย่างไรก็ตาม สถานการณ์หนึ่งที่ทำให้ AB และ BA สามารถหาได้ (แต่อาจจะไม่เท่ากัน)
คือ เมื่อเมทริกซ์ A และ B มีมิติเท่ากันและเป็นเมทริกซ์จัตุรัส
k=1
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
บทนิยาม 1.9 กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์มิติ m × n ใดๆ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน ของ A
(transpose of A) เขียนแทนด้วย A T คือเมทริกซ์มิติ n × m ที่ได้จากการสลับแถวและ
หลักของ A นั่นคือ หลักที่ j ของ A T คือแถวที่ j ของ A
หรือกล่าวได้ว่า B = A T ก็ต่อเมื่อ b ij = a ji สำหรับแต่ละค่าของ i และ j
ตัวอย่าง 1.6 จงหาเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ต่อไปนี้
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
[ ] −3 2 1 2
1 2 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
(a) A = (b) B = ⎣ 4 3 2⎦ (c) C = ⎣3⎦
4 5 6
1 2 5 5
วิธีทำ .........
บทนิยาม 1.10 ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ แล้ว รอย (trace) ของ A เขียนแทนด้วย
tr(A) คือ ผลบวกของสมาชิกที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักของ A แต่ถ้า A ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัส
แล้ว tr(A) หาค่าไม่ได้