บทที่ 1 เมทริก ซ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 42
ลิมิตด้านเดียว
ลิมิตในสมการ (4.1) เรียกว่า ลิมิตสองด้าน (two-sided limit) เนื่องจาก f(x) มีค่าเข้า
ใกล้ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทั้งทางซ้ายและทางขวา อย่างไรก็ตามมีฟังก์ชันบางฟังก์ชันที่ค่า
ของฟังก์ชันมีค่าแตกต่างกัน เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้ายและทางขวา ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน
{
f(x) = x
|x| = 1, x > 0
−1, x < 0
ซึ่งมีกราฟดังนี้
y
1
−1
y = x
|x|
x
จากกราฟจะเห็นได้ว่าเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางขวา ค่าของ f(x) เข้าใกล้ค่าลิมิต 1 ในทำนอง
เดียวกันเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางซ้าย ค่าของ f(x) เข้าใกล้ค่าลิมิต −1 และเราสามารถเขียน
แทนลิมิตเหล่านี้ด้วยสัญลักษณ์ดังนี้
x x
lim = 1 และ lim
x→0 + |x| x→0 − |x| = −1
บทนิยาม 4.2 ถ้าค่าของ f(x) สามารถทำให้มีค่าเข้าใกล้ L โดยการให้ x มีค่าเข้าใกล้ a
(แต่มากกว่า a) แล้วเราจะเขียนแทนด้วย
lim
x→a +f(x)
= L (4.3)
และอ่านว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางขวา มีค่าเท่ากับ L หรือ f(x) เข้า
ใกล้ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางขวา
ถ้าค่าของ f(x) สามารถทำให้มีค่าเข้าใกล้ L โดยการให้ x มีค่าเข้าใกล้ a (แต่น้อยกว่า
a) แล้วจะเขียนแทนด้วย
lim
x→a−f(x) = L (4.4)
และอ่านว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่าเท่ากับ L หรือ f(x) เข้า
ใกล้ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้าย
ความสัมพันธ์ระหว่างลิมิตด้านเดียวและลิมิตสองด้าน
โดยทั่วไปไม่มีการรับประกันว่าฟังก์ชัน f จะมีลิมิตสองด้านที่จุด a ที่กำหนดให้ นั่นคือ ค่าของ
f(x) อาจจะไม่เข้าใกล้จำนวนจริง L เพียงค่าเดียว เมื่อ x → a ในกรณีนี้เราจะกล่าวว่า
limf(x) หาค่าไม่ได้
x→a