บทที่ 1 เมทริก ซ

•
•
•
บทที่ 4
ลิมิตและความต่อเนื่อง
การพัฒนาของแคลคูลัสในช่วงเวลาที่ผ่านมา ทำให้นักวิทยาศาสตร์ได้เข้าใจความหมายที่แท้จริงของอัตรา
การเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง เช่น ความเร็ว และความเร่ง เมื่อเกิดความเข้าใจแล้ว วิธีการ
คำนวณที่มีประสิทธิ์ภาพก็เกิดขึ้นตามมา และรากฐานที่สำคัญของอัตราการเปลี่ยนแปลงคือ ลิมิต
ในบทนี้เราจะกล่าวถึงบทนิยามของลิมิต สัญลักษณ์ที่ใช้แทนลิมิต ทฤษฎีบท และวิธีการต่างๆ
สำหรับการหาค่าลิมิต และจะจบบทนี้ด้วยการใช้ลิมิตในการศึกษาความต่อเนื่องของเส้นโค้ง
4.1 ลิมิตของฟังก์ชัน
ความหมายพื้นฐานของลิมิตคือ การใช้ลิมิตเพื่ออธิบายลักษณะของฟังก์ชันเมื่อตัวแปรอิสระของ
ฟังก์ชันมีค่าเข้าใกล้ค่าที่กำหนดให้ ตัวอย่างเช่น หากเราพิจารณาลักษณะของฟังก์ชัน
f(x) = x 2 −x+1
เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 จากกราฟและตารางข้างล่างนี้ จะเห็นได้ว่าค่าของ f(x) มีค่าเข้าใกล้ 3
เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทั้งทางซ้ายและทางขวา เราสามารถอธิบายลักษณะดังกล่าวโดยกล่าวว่าลิมิต
ของ x 2 −x+1 เท่ากับ 3 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทั้งสองทาง และเขียนแทนด้วย
f(x)
3
f(x)
y
x
• • •
2
x
y = x 2 −x+1
x
lim
x→3 (x2 −x+1) = 3
x f(x) x f(x)
1.0 1.000000 3 7.000000
1.5 1.750000 2.5 4.750000
1.9 2.710000 2.1 3.310000
1.95 2.852500 2.05 3.152500
1.99 2.970100 2.01 3.030100
1.995 2.985025 2.005 3.015025
1.999 2.997001 2.001 3.003001
40