บทที่ 1 เมทริก ซ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 32
เนื่องจากเมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ใดๆ จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกที่สมนัยกันของเมทริกซ์ทั้ง
สองมีค่าเท่ากัน ดังนั้นเราสามารถเขียนแทนสมการ m สมการของระบบสมการเชิงเส้นนี้ด้วยสมการ
เมทริกซ์เพียงสมการเดียว
⎡
⎤ ⎡ ⎤
a 11 x 1 +a 12 x 2 +···+a 1n x n b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +···+a 2n x n
⎢
⎥
⎣ . . . ⎦ = b 2
⎢ ⎥
⎣ . ⎦
a m1 x 1 +a m2 x 2 +···+a mn x n b m
และเมทริกซ์ทางซ้ายมือที่มีมิติ m×1 ของสมการนี้ สามารถเขียนในรูปของผลคูณดังนี้
⎡ ⎤⎡
⎤ ⎡ ⎤
a 11 a 12 ··· a 1n x 1 b 1
a 21 a 22 ··· a 2n
x 2
⎢ ⎥⎢
⎥
⎣ . . . ⎦⎣
. ⎦ = b 2 ⎢ ⎥
⎣ . ⎦
a m1 a m2 ··· a mn x m b m
ถ้ากำหนดให้ A, x และ b แทนเมทริกซ์แต่ละเมทริกซ์ตามลำดับ แล้วระบบสมการเชิงเส้น
(3.1) สามารถเขียนแทนด้วยสมการเมทริกซ์
Ax = b
เพียงสมการเดียว และเมทริกซ์ A ในสมการนี้เรียกว่า เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ ของระบบสมการเชิง
เส้น เมทริกซ์แต่งเติม (augmented matrix) ของระบบสมการเชิงเส้น คือเมทริกซ์ที่ได้
จากการนำเมทริกซ์ b มาเขียนรวมกับเมทริกซ์ A โดยเขียนต่อจาก A เป็นหลักสุดท้าย ดังนั้น
เมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้น (3.1) คือ
⎡
⎤
a 11 a 12 ··· a 1n b 1
[ ]
a
A b =
21 a 22 ··· a 2n b 2
⎢
⎥
⎣ . . . . ⎦
a m1 a m2 ··· a mn b m
ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้น
x+2y + z = 3
3x− y −3z = −1
2x+3y + z = 4
คือ
⎡
⎢
⎣
1 2 1 3
3 −1 −3 −1
2 3 1 4
⎤
⎥
⎦
หมายเหตุ ในการสร้างเมทริกซ์แต่งเติม ตัวแปรไม่รู้ค่าของแต่ละสมการจะเขียนในลำดับเดียวกัน และ
ค่าคงตัวต้องอยู่ทางขวามือ