บทที่ 1 เมทริก ซ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 31
ข้อสังเกต สมการเชิงเส้นจะเป็นสมการที่ไม่เกี่ยวข้องกับผลคูณ หรือรากของตัวแปร และตัวแปรทุก
ตัว ต้องเป็นตัวแปรที่มีเลฃชี้กำลังเป็นหนึ่ง และไม่ปรากฎในนิพจน์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันลอการิทึม หรือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ผลเฉลย ของสมการเชิงเส้น a 1 x 1 +a 2 x 2 +···+ a n x n = b คือลำดับของ n จำนวน: s 1 , s 2 ,
..., s n ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริงเมื่อแทนค่า x 1 = s 1 , x 2 = s 2 , ..., x n = s n และเชตของผล
เฉลยทั้งหมดของสมการเชิงเส้นเรียกว่า เชตผลเฉลย หรือบางครั้งเรียกว่า ผลเฉลยทั่วไป ของสมการ
เชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้น
เชตจำกัดของสมการเชิงเส้นของตัวแปร x 1 , x 2 , ..., x n เรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้น หรือ
ระบบเชิงเส้น และลำดับของจำนวน s 1 , s 2 , ..., s n จะเป็น ผลเฉลย ของระบบสมการเชิงเส้น
ถ้า x 1 = s 1 , x 2 = s 2 , ..., x n = s n เป็นผลเฉลยของสมการทุกสมการในระบบสมการเชิงเส้น
ตัวอย่างเช่น
4x 1 −x 2 +3x 3 = −1
3x 1 +x 2 +9x 3 = −4
เป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีผลเฉลยคือ x 1 = 1, x 2 = 2 และ x 3 = −1 เนื่องจากค่าเหล่านี้
สอดคล้องกับสมการทั้งสอง อย่างไรก็ตาม x 1 = 1, x 2 = 8 และ x 3 = 1 ไม่เป็นผลเฉลย
ของระบบสมการเชิงเส้นข้างต้น เนื่องจากค่าเหล่านี้สอดคล้องกับสมการแรกเพียงสมการเดียว ดังนั้น
ระบบสมการเชิงเส้นบางระบบอาจจะไม่มีผลเฉลย
ถ้าระบบสมการเชิงเส้นใดไม่มีผลเฉลยเราจะเรียกระบบสมการเชิงเส้นนี้ว่า ระบบไม่สอดคล้อง (inconsistent)
แต่ถ้าระบบสมการเชิงเส้นใดมีผลเฉลยอย่างน้อยหนึ่งผลเฉลย แล้วจะเรียกระบบสมการ
นั้นว่า ระบบสอดคล้อง (consistent)
รูปแบบเมทริกซ์ของระบบสมการเชิงเส้น
พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่มี m สมการ และตัวแปรไม่รู้ค่า n ตัวแปร
a 11 x 1 +a 12 x 2 +···+a 1n x n = b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +···+a 2n x n = b 2 (3.1)
.
.
.
.
a m1 x 1 +a m2 x 2 +···+a mn x n = b m
โดยที่ x 1 , x 2 , ..., x n เป็นตัวแปรไม่รู้ค่า และ a และ b ที่มีดัชนีล่างเป็นค่าคงตัวใดๆ
ดัชนีล่างของสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่รู้ค่าจะช่วยบอกตำแหน่งของสัมประสิทธิ์ของระบบสมการ โดย
ที่ดัชนีล่างตัวแรกของสัมประสิทธิ์ a ij จะบ่งชี้สมการที่มีสัมประสิทธิ์นั้น และดัชนีล่างตัวที่สองจะบ่งชี้
ตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์นั้นเป็นตัวคูณ ตัวอย่างเช่น a 23 เป็นสัมประสิทธิ์ที่อยู่ในสมการที่สองและเป็น
ตัวคูณของตัวแปรไม่รู้ค่า x 3