บทที่ 1 เมทริก ซ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 3
เมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกใต้เส้นทแยงมุมหลักทุกตัวเป็นศูนย์เรียกว่า เมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมบน
(upper triangular matrix) เมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกเหนือเส้นทแยงมุมหลักทุกตัวเป็นศูนย์
เรียกว่า เมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมล่าง (lower triangle matrix) และเมทริกซ์จัตุรัสซึ่งสมาชิก
ที่อยู่นอกแนวเส้นทแยงมุมหลักทุกตัวเป็นศูนย์เรียกว่าเมทริกซ์ทแยงมุม (diagonal matrix)
เมทริกซ์ที่น่าสนใจอีกเมทริกซ์หนึ่งคือ เมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกในเส้นทแยงมุมหลักทุกตัวมีค่าเท่า
กับ 1 และสมาชิกที่อยู่นอกแนวเส้นทแยงมุมหลักทุกตัวมีค่าเท่ากับ 0 ตัวอย่างเช่น
[ ]
1 0
,
0 1
⎡ ⎤
1 0 0
⎢ ⎥
⎣0 1 0⎦,
0 0 1
⎡ ⎤
1 0 0 0
0 1 0 0
⎢ ⎥
⎣0 0 1 0⎦ .
0 0 0 1
เมทริกซ์ในรูปแบบนี้เรียกว่า เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix หรือ unit matrix)
และเขียนแทนด้วย I แต่หากต้องการแสดงมิติของเมทริกซ์ เราจะเขียนแทนเมทริกซ์เอกลักษณ์
มิติ n×n ด้วย I n
เมทริกซ์มิติ m×n ที่สมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ เรียกว่า เมทริกซ์ศูนย์ (zero matrix หรือ
null matrix) และเขียนแทนด้วย 0 m×n หรือ 0 ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของเมทริกซ์ศูนย์
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 0 0 [ ] 0
⎢ ⎥ 0 0 0
[ ]
⎢ ⎥
⎣0 0 0⎦,
, ⎣0⎦ และ 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
การดำเนินการบนเมทริกซ์
บทนิยาม 1.2 กำหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ใดๆ สมาชิก a ij และ b kp เป็น สมาชิกที่
สมนัยกัน (corresponding entries) ก็ต่อเมื่อ i = k และ j = p หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง
ว่าสมาชิกของ A สมนัย กับสมาชิกของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทั้งสองอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน
ตัวอย่างเช่น ถ้า
[ ]
1 2 3
A =
4 5 6
[ ]
7 8 9
และ B =
−1 −2 −3
แล้ว 1 สมนัยกับ 7, 2 สมนัยกับ 8 และ 4 สมนัยกับ −1
หมายเหตุ เราจะกล่าวถึงการสมนัยกันของสมาชิก ถ้าเมทริกซ์ทั้ง 2 เมทริกซ์มีมิติเท่ากัน
บทนิยาม 1.3 (การเท่ากันของเมทริกซ์) เมทริกซ์ A และ B จะ เท่ากัน และเขียนแทนด้วย
A = B ถ้าเมทริกซ์ทั้งสองมีมิติเท่ากัน และสมาชิกที่สมนัยกันของเมทริกซ์ทั้งสองมีค่าเท่ากัน
หรือกล่าวได้ว่า ถ้า A = [a ij ] และ B = [b ij ] เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากัน แล้ว A = B ก็
ต่อเมื่อ a ij = b ij สำหรับทุก i และ j