บทที่ 1 เมทริก ซ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 24
จากทฤษฎีบท 2.7 เราสามารถกล่าวได้ว่า ถ้า A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้วเมทริกซ์ผกผัน
ของ A มีเพียงเมทริกซ์เดียว ซึ่งจะเขียนแทนด้วย A −1 ดังนั้น
AA −1 = I และ A −1 A = I
ทฤษฎีบท 2.8 ให้ A เป็นเมทริกซ์มิติ n×n ใดๆ A จะมีเมทริกซ์ผกผัน ก็ต่อเมื่อ rank(A) =
n นั่นคือก็ต่อเมื่อ det(A) ≠ 0 ดังนั้น A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ถ้า rank(A) = n และเป็น
เมทริกซ์เอกฐานถ้า rank(A) < n
ทฤษฎีบท 2.9 ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานและมีขนาดเท่ากัน แล้ว AB เป็น
เมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ
(AB) −1 = B −1 A −1
ทฤษฎีบท 2.10 ถ้า A 1 ,A 2 ,...,A n เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานและมีขนาดเท่ากัน แล้ว A 1 A 2···A n
เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ
(A 1 A 2···A n ) −1 = A −1
n A−1 n−1···A−1 2 A−1 1
ทฤษฎีบท 2.11 ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ แล้ว
(a) A −1 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ (A −1 ) −1 = A
(b) สำหรับสเกลาร์ k ≠ 0 ใดๆ เมทริกซ์ kA เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ (kA) −1 = 1 k A−1
ทฤษฎีบท 2.12 ถ้า A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้ว A T เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ
(A T ) −1 = (A −1 ) T
ลำดับต่อไปเราจะศึกษาวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ไม่เอกฐานขนาดใดๆ อย่างไรก็ตาม
ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะกล่าวถึงเงื่อนไขที่ทำให้เมทริกซ์มิติ 2 × 2 มีเมทริกซ์ผกผัน พร้อมทั้งสูตร
ง่ายๆของเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์มิติ 2×2
ทฤษฎีบท 2.13 เมทริกซ์
[ ]
a b
A =
c d
เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ถ้า ad−bc ≠ 0 และเมทริกซ์ผกผันของ A คือ
⎡
[ ] d
A −1 1 d −b ⎢
− b ⎤
= = ⎣
ad−bc ad−bc⎥
ad−bc −c a − c a ⎦
ad−bc ad−bc
ตัวอย่าง 2.12 จงหาเมทริกซ์ผกผันของ
[ ]
1
2
A =
(ex +e −x 1
)
2 (ex −e −x )
1
2 (ex −e −x 1
)
2 (ex +e −x )
วิธีทำ .........