บทที่ 1 เมทริก ซ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 16
ถ้า A เป็นเมทริกซ์มิติ 3×3 ใดๆ แล้วดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ
∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣∣
det(A) =
a 21 a 22 a 23
∣a 31 a 32 a 33
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣∣
a 22 a ∣∣∣∣ ∣∣∣∣
23 a 21 a ∣∣∣∣ ∣∣∣∣
23 a 21 a ∣∣∣∣
22
= a 11 −a 12 +a 13
a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32
= a 11 (a 22 a 33 −a 23 a 32 )−a 12 (a 21 a 33 −a 23 a 31 )
+ a 13 (a 21 a 32 −a 22 a 31 ) (2.2)
= a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 −a 13 a 22 a 31
− a 12 a 21 a 33 −a 11 a 23 a 32 (2.3)
การจัดเรียงพจน์ใน (2.3) ใหม่ให้มีรูปแบบดังเช่น (2.2) มีหลายวิธีด้วยกัน และเราสามารถ
แสดงได้ว่า
det(A) = a 11 C 11 +a 12 C 12 +a 13 C 13
= a 11 C 11 +a 21 C 21 +a 31 C 31
= a 21 C 21 +a 22 C 22 +a 23 C 23
= a 12 C 12 +a 22 C 22 +a 32 C 32
= a 31 C 31 +a 32 C 32 +a 33 C 33
= a 13 C 13 +a 23 C 23 +a 33 C 33 (2.4)
สังเกตได้ว่าในแต่ละสมการ สมาชิกและตัวประกอบร่วมเกี่ยวมาจากแถว หรือหลักเดียวกัน สมการ
เหล่านี้เรียกว่า การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยว ของ det(A)
ทฤษฎีบท 2.1 (การกระจายโดยตัวประกอบร่วมเกี่ยว) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ที่มี
มิติ n×n ใดๆ สามารถหาได้โดยการคูณสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ด้วย
ตัวประกอบร่วมเกี่ยวของสมาชิกตัวนั้นแล้วนำมาบวกกัน นั่นคือสำหรับแต่ละ 1 ≤ i ≤ n และ
1 ≤ j ≤ n
det(A) = a 1j C 1j +a 2j C 2j +···+a nj C nj
(การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยวตามหลักที่ j)
และ
det(A) = a i1 C i1 +a i2 C i2 +···+a in C in
(การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยวตามแถวที่ i)
ตัวอย่าง 2.3 กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ในตัวอย่าง 2.2 จงหา det(A) โดยใช้การกระจาย
ตัวประกอบร่วมเกี่ยวตามสดมภ์ที่ 1 ของ A
วิธีทำ .........