บทที่ 1 เมทริก ซ

บทที่ 2
ดีเทอร์มิแนนต์
ในบทนี้เราจะศึกษาสมบัติที่สำคัญของเมทริกซ์จัตุรัส นั่นคือเมทริกซ์จัตุรัสทุกเมทริกซ์จะสอดคล้อง
กับจำนวนจริงที่เรียกว่า ดีเทอร์มิแนนต์ (determinant) หรือ ตัวกำหนด ของเมทริกซ์ ถ้า
A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส แล้วดีเทอร์มิแนนต์ของ A จะเขียนแทนด้วย det(A) หรือ |A|
บทนิยาม 2.1 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2
[ ]
∣
(a) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A = a มิติ 1×1 คือ det(A) = ∣a∣ = a
[ ]
a b
(b) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A =
c d
มิติ 2×2 คือ det(A) =
a b
∣c d∣ = ad−bc
สำหรับหัวข้อย่อยต่อไปนี้ เราจะเรียนรู้การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสที่มีอันดับต่างๆ
2.1 ดีเทอร์มิแนนต์โดยการกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยว
ไมเนอร์และตัวประกอบร่วมเกี่ยว
วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ในหัวข้อนี้ เป็นการให้บทนิยามดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ n×n ใน
รูปของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ (n−1)×(n−1) โดยที่เมทริกซ์มิติ (n−1)×(n−1) ที่ป
รากฎในบทนิยามนั้น เป็นเมทริกซ์ย่อยของเมทริกซ์ที่กำหนดให้ และเมทริกซ์ย่อยเหล่านี้มีชื่อเรียก
เฉพาะ
บทนิยาม 2.2 ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส แล้ว ไมเนอร์ (minors) ของ a ij ซึ่งเขียนแทน
ด้วย M ij คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ออกจาก
เมทริกซ์ A และจำนวน (−1) i+j M ij ซึ่งเขียนแทนด้วย C ij เรียกว่า ตัวประกอบร่วมเกี่ยว
(cofactor) ของ a ij
ตัวอย่าง 2.1 กำหนดให้ A =
⎡ ⎤
2 1 3
⎢ ⎥
⎣4 1 2 ⎦ จงหาไมเนอร์และตัวประกอบร่วมเกี่ยวของ a 11
1 2 −3
และ a 32
14