บทที่ 1 เมทริก ซ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 111
จากหัวข้อ4.3 จะได้ว่าลิมิตนี้สามารถหาค่าได้ โดยการหารตัวเศษและตัวส่วนด้วย x ยกกำลังเลขชี้
กำลังมากที่สุดของตัวส่วน นั่นคือ
lim
x→+∞
2x 2 −3
3x 2 −5x = lim
x→+∞
(2x 2 −3)/x 2
(3x 2 −5x)/x 2
2− 3
= lim x 2
x→+∞
3− 5 x
= 2−0
3−0 = 2 3
อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถใช้วิธีการนี้กับการหาค่าลิมิต
lim
x→1
lnx
1−x
แต่หลักเกณฑ์โลปีตาลสามารถนำมาใช้ในการหาลิมิตรูปแบบยังไม่กำหนด ∞/∞
ทฤษฎีบท 6.9 ( หลักเกณฑ์โลปีตาลสำหรับรูปแบบยังไม่กำหนด ∞/∞ ) สมมุติให้ f และ g
เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิดที่บรรจุจุด x = a (อาจจะยกเว้นที่ x = a) และให้
limf(x) = ±∞ และ limg(x) = ±∞
x→a x→a
ถ้า lim
x→a
[f ′ (x)/g ′ (x)] หาค่าได้ หรือถ้าค่าลิมิตเป็น +∞ หรือ −∞ แล้ว
f(x)
lim
x→a g(x) = lim f ′ (x)
x→a g ′ (x)
นอกจากนี้ข้อความข้างต้นยังคงเป็นจริงสำหรับกรณีของลิมิตเมื่อ x → a − , x → a + , x →
−∞ หรือเมื่อ x → +∞
e x
ตัวอย่าง 6.18 จงหาค่าของ lim
x→+∞ x 2
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.19 จงหาค่าของ lim
x→0 + lnx
cscx
วิธีทำ .........
6.4.3 รูปแบบยังไม่กำหนด 0·∞
ถ้า limf(x) = 0 แต่ limg(x) = ±∞ แล้วไม่มีความชัดเจนว่า limf(x)g(x) มีค่าเท่าไร
x→a x→a x→a
เราเรียกลิมิตในรูปแบบนี้ว่า รูปแบบยังไม่กำหนด 0 · ∞ ( indeterminate form of type
0·∞ ) ลิมิตในรูปแบบยังไม่กำหนด 0·∞ สามารถหาค่าได้ โดยการเขียนผลคูณ fg ในรูปผลหาร
นั่นคือ
fg = f
1/g
หรือ fg = g
1/f
จากนั้นใช้หลักเกณฑ์โลปีตาลหาลิมิตสำหรับรูปแบบยังไม่กำหนด 0/0 หรือ ∞/∞