à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
à¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ ภà¸à¸à¸à¸µà¹ 1 à¹à¸¡à¸à¸£à¸´à¸ à¸
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 104 6.3 ความเว้า แม้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f จะบอกช่วงที่ทำให้กราฟของ f มีลักษณะเพิ่มขึ้นหรือลดลง แต่ไม่ ได้บอกว่ากราฟมีลักษณะโค้งแบบใด ตัวอย่างเช่นกราฟของรูปที่ 6.4 ทั้งสองกราฟ มีลักษณะเพิ่ม ขึ้น แต่มีลักษณะของโค้งไม่เหมือนกัน กราฟทางด้านซ้ายมือมีลักษณะเว้าอยู่ด้านบน ในขณะที่ กราฟทางด้านขวามือมีลักษณะเว้าอยู่ด้านล่าง สำหรับช่วงที่ทำให้กราฟของ f มีความเว้าอยู่ด้านบน เรากล่าวว่า f เว้าบน (concave up) บนช่วงนั้น และช่วงที่ทำให้กราฟของ f มีความเว้าอยู่ ด้านล่าง จะกล่าวว่า f เว้าล่าง (concave down) บนช่วงนั้น y y 0 a b x 0 a b x รูปที่ 6.4: รูปที่ 6.5 ช่วยให้เราสามารถพิจารณาความเว้าของฟังก์ชันบนช่วงเปิดใดๆ ดังนี้ • f เว้าบน บนช่วงเปิดใดๆ ถ้าความชันของเส้นสัมผัสโค้งเพิ่มขึ้นบนช่วงนั้น และ f เว้าล่าง ถ้าความชันของเส้นสัมผัสโค้งลดลงบนช่วงนั้น • f เว้าบน บนช่วงเปิดใดๆ ถ้ากราฟของ f อยู่บนเส้นสัมผัสโค้งบนช่วงนั้น และ f เว้าล่าง ถ้ากราฟของ f อยู่ล่างเส้นสัมผัสโค้งบนช่วงนั้น y y 0 a b x 0 a b x รูปที่ 6.5: บทนิยาม 6.5 ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนเปิด I ใดๆ แล้ว (a) f จะเว้าบน(concave up) บนช่วง I ถ้า f ′ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง I (b) f จะเว้าล่าง(concave down) บนช่วง I ถ้า f ′ เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง I เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน f ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ คือค่าของ อนุพันธ์ f ′ และจากทฤษฎีบท 6.4 จะได้ว่า f ′ เป็นฟังกชันเพิ่มบนช่วงที่ f ′′ มีค่าเป็นบวก และ f ′ เป็นฟังกชันลดบนช่วงที่ f ′′ มีค่าเป็นลบ ดังที่กล่าวในทฤษฎีบทต่อไปนี้
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 105 ทฤษฎีบท 6.6 กำหนดให้ f ′′ หาค่าได้บนช่วงเปิด I ใดๆ (a) ถ้า f ′′ (x) > 0 สำหรับทุก x บนช่วง I แล้ว f จะเว้าบนบนช่วง I (b) ถ้า f ′′ (x) < 0 สำหรับทุก x บนช่วง I แล้ว f จะเว้าล่างบนช่วง I บทนิยาม 6.6 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงเปิดใดๆ ที่บรรจุค่า c และถ้า f มีการเปลี่ยน ความเว้าที่จุด (c,f(c)) แล้ว f จะมีจุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) ที่ c และจะเรียกจุด (c,f(c)) บนกราฟของ f ว่าจุดเปลี่ยนเว้าของ f ตัวอย่าง 6.11 จงพิจารณาความเว้าของฟังก์ชัน f(x) = x 4 −6x 2 +3 และหาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี) วิธีทำ ......... ทฤษฎีบท 6.7 การทดสอบโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง (Second Derivative Test) กำหนด ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองที่ c (a) ถ้า f ′ (c) = 0 และ f ′′ (c) < 0 แล้ว f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ c (b) ถ้า f ′ (c) = 0 และ f ′′ (c) > 0 แล้ว f(c) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ c (c) ถ้า f ′ (c) = 0 และ f ′′ (c) = 0 แล้วการทดสอบนี้ไม่สามารถหาข้อสรุปได้ นั่นคือ f อาจจะ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ หรือไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ c ตัวอย่าง 6.12 จงหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = 3x 5 −5x 3 วิธีทำ ......... ตัวอย่าง 6.13 กำหนดฟังก์ชัน f(x) = x 4 −4x 3 +12 • จงหาช่วงที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด • จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) ของ f • จงหาช่วงที่ทำให้กราฟของ f เว้าบน หรือเว้าล่าง และหาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี) • จงเขียนกราฟของ f โดยใช้ข้อมูลที่หาได้ข้างต้น วิธีทำ ......... ตัวอย่าง 6.14 กำหนดฟังก์ชัน f(x) = x 2/3 (6−x) 1/3 • จงหาช่วงที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด • จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) • จงหาช่วงที่ทำให้ f เว้าบน หรือเว้าล่าง และหาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี) • จงเขียนกราฟของฟังก์ชันโดยใช้ข้อมูลที่หาได้ข้างต้น
- Page 53 and 54: เอกสารประกอ
- Page 55 and 56: เอกสารประกอ
- Page 57 and 58: เอกสารประกอ
- Page 59 and 60: เอกสารประกอ
- Page 61 and 62: เอกสารประกอ
- Page 63 and 64: เอกสารประกอ
- Page 65 and 66: บทที่ 5 อนุพั
- Page 67 and 68: เอกสารประกอ
- Page 69 and 70: เอกสารประกอ
- Page 71 and 72: เอกสารประกอ
- Page 73 and 74: เอกสารประกอ
- Page 75 and 76: เอกสารประกอ
- Page 77 and 78: เอกสารประกอ
- Page 79 and 80: เอกสารประกอ
- Page 81 and 82: เอกสารประกอ
- Page 83 and 84: เอกสารประกอ
- Page 85 and 86: เอกสารประกอ
- Page 87 and 88: เอกสารประกอ
- Page 89 and 90: เอกสารประกอ
- Page 91 and 92: เอกสารประกอ
- Page 93 and 94: • • • • เอกสาร
- Page 95 and 96: • • • • เอกสาร
- Page 97 and 98: • • • • เอกสาร
- Page 99 and 100: เอกสารประกอ
- Page 101 and 102: เอกสารประกอ
- Page 103: เอกสารประกอ
- Page 107 and 108: เอกสารประกอ
- Page 109 and 110: • • • • • • • • •
- Page 111 and 112: เอกสารประกอ
- Page 113 and 114: เอกสารประกอ
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 105<br />
ทฤษฎีบท 6.6 กำหนดให้ f ′′ หาค่าได้บนช่วงเปิด I ใดๆ<br />
(a) ถ้า f ′′ (x) > 0 สำหรับทุก x บนช่วง I แล้ว f จะเว้าบนบนช่วง I<br />
(b) ถ้า f ′′ (x) < 0 สำหรับทุก x บนช่วง I แล้ว f จะเว้าล่างบนช่วง I<br />
บทนิยาม 6.6 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงเปิดใดๆ ที่บรรจุค่า c และถ้า f มีการเปลี่ยน<br />
ความเว้าที่จุด (c,f(c)) แล้ว f จะมีจุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) ที่ c และจะเรียกจุด<br />
(c,f(c)) บนกราฟของ f ว่าจุดเปลี่ยนเว้าของ f<br />
ตัวอย่าง 6.11 จงพิจารณาความเว้าของฟังก์ชัน f(x) = x 4 −6x 2 +3 และหาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี)<br />
วิธีทำ .........<br />
ทฤษฎีบท 6.7 การทดสอบโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง (Second Derivative Test) กำหนด<br />
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองที่ c<br />
(a) ถ้า f ′ (c) = 0 และ f ′′ (c) < 0 แล้ว f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ c<br />
(b) ถ้า f ′ (c) = 0 และ f ′′ (c) > 0 แล้ว f(c) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ c<br />
(c) ถ้า f ′ (c) = 0 และ f ′′ (c) = 0 แล้วการทดสอบนี้ไม่สามารถหาข้อสรุปได้ นั่นคือ f อาจจะ<br />
มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ หรือไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ c<br />
ตัวอย่าง 6.12 จงหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = 3x 5 −5x 3<br />
วิธีทำ .........<br />
ตัวอย่าง 6.13 กำหนดฟังก์ชัน f(x) = x 4 −4x 3 +12<br />
• จงหาช่วงที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด<br />
• จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) ของ f<br />
• จงหาช่วงที่ทำให้กราฟของ f เว้าบน หรือเว้าล่าง และหาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี)<br />
• จงเขียนกราฟของ f โดยใช้ข้อมูลที่หาได้ข้างต้น<br />
วิธีทำ .........<br />
ตัวอย่าง 6.14 กำหนดฟังก์ชัน f(x) = x 2/3 (6−x) 1/3<br />
• จงหาช่วงที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด<br />
• จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี)<br />
• จงหาช่วงที่ทำให้ f เว้าบน หรือเว้าล่าง และหาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี)<br />
• จงเขียนกราฟของฟังก์ชันโดยใช้ข้อมูลที่หาได้ข้างต้น
Change language