บทที่ 1 เมทริก ซ

บทที่ 1
เมทริกซ์
1.1 เมทริกซ์และการดำเนินการบนเมทริกซ์
กลุ่มของจำนวนซึ่งนำมาจัดเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก หรือที่เรียกว่า เมทริกซ์ ได้ถูกนำมาใช้
ในหลายสาขาวิชา เมทริกซ์จัดว่าเป็นหนึ่งในเครื่องมือที่สำคัญมากทางด้านคณิตศาสตร์ ในหัวข้อนี้
เราจะเรียนรู้บทนิยามเบื้องต้นของเมทริกซ์ การดำเนินการบวก ลบ และคูณเมทริกซ์
สัญลักษณ์ของเมทริกซ์
บทนิยาม 1.1 เมทริกซ์ (matrix) คือ กลุ่มของจำนวนซึ่งนำมาจัดเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
และบรรจุภายในเครื่องหมาย [ ] หรือ ( ) จำนวนซึ่งนำมาจัดเรียงแต่ละจำนวนเรียกว่า สมาชิก
(element หรือ entry) ของเมทริกซ์
และ
ตัวอย่างเช่น
⎡ ⎤
2 3
⎢ ⎥
⎣−1 2 ⎦ (1.1)
0 −5
( )
1 −1 0
(1.2)
0 5 2
[
1 √ ]
2 π 0
(1.3)
⎡ ⎤
2
⎢ ⎥
⎣−3⎦ (1.4)
7
สมาชิกซึ่งจัดเรียงกันในแนวนอนเรียกว่า แถว ของเมทริกซ์ ในขณะที่สมาชิกซึ่งจัดเรียงในแนว
ตั้งเรียกว่า หลัก ของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่นแถวที่สามของเมทริกซ์ (1.1) ประกอบด้วยสมาชิก 0
และ −5 และสมาชิกในหลักที่หนึ่งเมทริกซ์(1.1) คือ 2, −1 และ 0 สำหรับเมทริกซ์ที่มี m
แถว และ n หลัก เรากล่าวว่าเมทริกซ์นั้นมี มิติ (dimension) หรือ อันดับ (order)
1

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 2
m×n ดังนั้นเมทริกซ์(1.1) มีมิติ 3 × 2 เมทริกซ์(1.2) มีมิติ 2 × 3 และเมทริกซ์(1.3)
มีมิติ 1×3
เมทริกซ์ที่มีเพียงแถวเดียว หรือเมทริกซ์มิติ 1 × n เรียกว่า เมทริกซ์แถว (row matrix)
หรือ เวกเตอร์แถว (row vector) ในขณะเดียวกันเมทริกซ์ที่มีเพียงหลักเดียว หรือเมทริกซ์
มิติ m × 1 เรียกว่า เมทริกซ์แนวตั้ง (column matrix) หรือ เวกเตอร์แนวตั้ง (column
vector) ดังนั้นเมทริกซ์(1.3) คือ เมทริกซ์แถวหรือเวกเตอร์แถว และเมทริกซ์(1.4) คือ
เมทริกซ์แนวตั้งหรือเวกเตอร์แนวตั้ง
โดยทั่วไปเรานิยมใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่เช่น A,B,C,... แทนเมทริกซ์ ในขณะที่สมาชิกของ
เมทริกซ์จะเขียนแทนด้วยตัวพิมพ์เล็กที่มีดัชนีล่าง 2 ตัว เช่น a ij หมายถึงสมาชิกในแถวที่ i และ
หลักที่ j ของเมทริกซ์ ดังนั้นรูปทั่วไปของเมทริกซ์มิติ 2×4 สามารถเขียนแทนด้วย
[ ]
a 11 a 12 a 13 a 14
A =
a 21 a 22 a 23 a 24
และรูปทั่วไปของเมทริกซ์มิติ m×n คือ
⎡ ⎤
a 11 a 12 ··· a 14
a
A =
21 a 22 ··· a 24
⎢ ⎥
⎣ . . . ⎦
a m1 a m2 ··· a mn
(1.5)
เพื่อความสะดวกในการนำไปใช้ บางครั้งเราเขียนแทนเมทริกซ์ A ในรูป
[a ij ] m×n หรือ [a ij ]
โดยที่สัญลักษณ์ตัวแรกจะใช้เมื่อต้องการทราบมิติของเมทริกซ์ ในขณะที่สัญลักษณ์ตัวที่สองจะใช้
เมื่อไม่จำเป็นต้องกล่าวถึงมิติของเมทริกซ์
นอกจากนี้สมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ A อาจจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
(A) ij ดังนั้นสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์(1.5) สามารถเขียนแทนด้วย
(A) ij = a ij
และสำหรับเมทริกซ์ ⎡ ⎤
3 6 −1
⎢ ⎥
A = ⎣4 2 0 ⎦
1 −3 −5
เราได้ว่า a 12 = 6, a 21 = 4 และ a 33 = −5
เมทริกซ์ A ที่มี n แถว และ n หลัก เรียกว่า เมทริกซ์จัตุรัส (square matrix) มิติ
n×n หรือ เมทริกซ์จัตุรัสอันดับ n และสมาชิก a 11 , a 22 , ..., a nn ในเมทริกซ์(1.6) คือ
สมาชิกที่อยู่ใน เส้นทแยงมุมหลัก (main diagonal) ของ A
⎡ ⎤
a 11 a 12 ··· a 1n
a 21 a 22 ··· a 2n
⎢ ⎥
(1.6)
⎣ . . . ⎦
a n1 a n2 ··· a nn

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 3
เมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกใต้เส้นทแยงมุมหลักทุกตัวเป็นศูนย์เรียกว่า เมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมบน
(upper triangular matrix) เมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกเหนือเส้นทแยงมุมหลักทุกตัวเป็นศูนย์
เรียกว่า เมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมล่าง (lower triangle matrix) และเมทริกซ์จัตุรัสซึ่งสมาชิก
ที่อยู่นอกแนวเส้นทแยงมุมหลักทุกตัวเป็นศูนย์เรียกว่าเมทริกซ์ทแยงมุม (diagonal matrix)
เมทริกซ์ที่น่าสนใจอีกเมทริกซ์หนึ่งคือ เมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกในเส้นทแยงมุมหลักทุกตัวมีค่าเท่า
กับ 1 และสมาชิกที่อยู่นอกแนวเส้นทแยงมุมหลักทุกตัวมีค่าเท่ากับ 0 ตัวอย่างเช่น
[ ]
1 0
,
0 1
⎡ ⎤
1 0 0
⎢ ⎥
⎣0 1 0⎦,
0 0 1
⎡ ⎤
1 0 0 0
0 1 0 0
⎢ ⎥
⎣0 0 1 0⎦ .
0 0 0 1
เมทริกซ์ในรูปแบบนี้เรียกว่า เมทริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix หรือ unit matrix)
และเขียนแทนด้วย I แต่หากต้องการแสดงมิติของเมทริกซ์ เราจะเขียนแทนเมทริกซ์เอกลักษณ์
มิติ n×n ด้วย I n
เมทริกซ์มิติ m×n ที่สมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ เรียกว่า เมทริกซ์ศูนย์ (zero matrix หรือ
null matrix) และเขียนแทนด้วย 0 m×n หรือ 0 ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของเมทริกซ์ศูนย์
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 0 0 [ ] 0
⎢ ⎥ 0 0 0
[ ]
⎢ ⎥
⎣0 0 0⎦,
, ⎣0⎦ และ 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
การดำเนินการบนเมทริกซ์
บทนิยาม 1.2 กำหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ใดๆ สมาชิก a ij และ b kp เป็น สมาชิกที่
สมนัยกัน (corresponding entries) ก็ต่อเมื่อ i = k และ j = p หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง
ว่าสมาชิกของ A สมนัย กับสมาชิกของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทั้งสองอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน
ตัวอย่างเช่น ถ้า
[ ]
1 2 3
A =
4 5 6
[ ]
7 8 9
และ B =
−1 −2 −3
แล้ว 1 สมนัยกับ 7, 2 สมนัยกับ 8 และ 4 สมนัยกับ −1
หมายเหตุ เราจะกล่าวถึงการสมนัยกันของสมาชิก ถ้าเมทริกซ์ทั้ง 2 เมทริกซ์มีมิติเท่ากัน
บทนิยาม 1.3 (การเท่ากันของเมทริกซ์) เมทริกซ์ A และ B จะ เท่ากัน และเขียนแทนด้วย
A = B ถ้าเมทริกซ์ทั้งสองมีมิติเท่ากัน และสมาชิกที่สมนัยกันของเมทริกซ์ทั้งสองมีค่าเท่ากัน
หรือกล่าวได้ว่า ถ้า A = [a ij ] และ B = [b ij ] เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากัน แล้ว A = B ก็
ต่อเมื่อ a ij = b ij สำหรับทุก i และ j

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 4
ตัวอย่าง 1.1 จงพิจารณาว่าเมทริกซ์ใดต่อไปนี้เท่ากัน
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 −1 1 2 1 4 −1 1 2 −1
A = , B = , C =
2
, D =
4 0 1+2 4 0 4 0 3 4 0 1
วิธีทำ .........
บทนิยาม 1.4 (ผลบวกของเมทริกซ์) กำหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากัน ผลบวก
ของ A และ B ซึ่งเขียนแทนด้วย A+B คือ เมทริกซ์ที่ได้จากการบวกสมาชิกที่สมนัยกันของ
A และ B
หรือกล่าวได้ว่า ถ้า A = [a ij ] และ B = [b ij ] เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากัน แล้ว C = A+B
ก็ต่อเมื่อ c ij = a ij +b ij สำหรับทุก i และ j
ตัวอย่าง 1.2 จงหาเมทริกซ์ C ที่เป็นผลบวกของเมทริกซ์
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1
3 6 −4
2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
A = ⎣−1 5⎦ และ B = ⎣−2 0 ⎦
0 2 −3 −2
วิธีทำ .........
บทนิยาม 1.5 (การคูณโดยสเกลาร์) กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ใดๆ และ c เป็นสเกลาร์ใดๆ
ผลคูณ cA คือ เมทริกซ์ที่ได้จากการคูณสมาชิกทุกตัวของ A ด้วยสเกลาร์ c และเราจะเรียก
เมทริกซ์ cA ว่า พหุคูณสเกลาร์ (scalar multiple) ของ A
หรือกล่าวได้ว่า ถ้า A = [a ij ] แล้ว B = cA ก็ต่อเมื่อ b ij = ca ij สำหรับทุก i และj
ตัวอย่าง 1.3 กำหนดให้
จงหา 3A และ (−1)A
[ ]
1 −1 0 3
A =
2 6 −4 8
วิธีทำ .........
บทนิยาม 1.6 ตัวลบ ของเมทริกซ์ B ซึ่งเขียนแทนด้วย −B คือ เมทริกซ์ (−1)B ที่ได้จาก
การเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกทุกตัวของ B
บทนิยาม 1.7 (ผลต่างของเมทริกซ์) กำหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากัน ผลต่าง
ของ A และ B ซึ่งเขียนแทนด้วย A−B คือ เมทริกซ์ C ที่นิยามโดย C = A+(−B)
หมายเหตุ เมทริกซ์ A−B สามารถหาได้จากการลบสมาชิกทุกตัวของ A ด้วยสมาชิกที่สมนัยกัน
ของ B
[ ] [ ]
1 2 0 4
ตัวอย่าง 1.4 จงหาเมทริกซ์ C = 2A−B เมื่อ A = และ B =
−1 0 −1 0
วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 5
บทนิยาม 1.8 (การคูณเมทริกซ์) ถ้า A เป็นเมทริกซ์มิติ m × n และ B เป็นเมทริกซ์มิติ
p × q แล้ว ผลคูณ AB สามารถหาได้ถ้า n = p และ AB เป็นเมทริกซ์มิติ m × q โดยที่
สมาชิกของ AB ในแถวที่ i และหลักที่ j ได้มาจากการบวกกันของผลคูณระหว่างสมาชิกแต่ละ
ตัวของแถวที่ i ของ A กับสมาชิกที่สมนัยกันในหลักที่ j ของ B
หรือกล่าวได้ว่า ถ้า C = AB แล้ว
n∑
c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j +···+a in b nj หรือ c ij = a ik b kj
ตัวอย่าง 1.5 กำหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ต่อไปนี้ จงหาผลคูณ AB และ BA (ถ้าหา
ได้)
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
3 −2 [ ] 1 2 3 x
⎢ ⎥ −2 1 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
(a) A = ⎣2 4 ⎦, B = (b) A = ⎣4 5 6⎦, B = ⎣y⎦
4 1 6
1 −3
7 8 9 z
วิธีทำ .........
หมายเหตุ จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นได้ว่าการคูณของเมทริกซ์ จะแตกต่างจากการคูณของจำนวน
กล่าวคือ การคูณของจำนวนมีสมบัติการสลับที่ นั่นคือ ถ้า a และ b เป็นจำนวนใดๆ แล้ว ab = ba
แต่การคูณของเมทริกซ์ไม่มีสมบัติดังกล่าว
อย่างไรก็ตาม สถานการณ์หนึ่งที่ทำให้ AB และ BA สามารถหาได้ (แต่อาจจะไม่เท่ากัน)
คือ เมื่อเมทริกซ์ A และ B มีมิติเท่ากันและเป็นเมทริกซ์จัตุรัส
k=1
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
บทนิยาม 1.9 กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์มิติ m × n ใดๆ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน ของ A
(transpose of A) เขียนแทนด้วย A T คือเมทริกซ์มิติ n × m ที่ได้จากการสลับแถวและ
หลักของ A นั่นคือ หลักที่ j ของ A T คือแถวที่ j ของ A
หรือกล่าวได้ว่า B = A T ก็ต่อเมื่อ b ij = a ji สำหรับแต่ละค่าของ i และ j
ตัวอย่าง 1.6 จงหาเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ต่อไปนี้
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
[ ] −3 2 1 2
1 2 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
(a) A = (b) B = ⎣ 4 3 2⎦ (c) C = ⎣3⎦
4 5 6
1 2 5 5
วิธีทำ .........
บทนิยาม 1.10 ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ แล้ว รอย (trace) ของ A เขียนแทนด้วย
tr(A) คือ ผลบวกของสมาชิกที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักของ A แต่ถ้า A ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัส
แล้ว tr(A) หาค่าไม่ได้

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 6
ตัวอย่าง 1.7 จงหารอยของเมทริกซ์ต่อไปนี้
⎡ ⎤
⎡ ⎤ −3 1 7 0
a 11 a 12 a 13
⎢ ⎥
2 4 −8 4
A = ⎣a 21 a 22 a 23 ⎦, B = ⎢ ⎥
⎣ 1 −2 5 0⎦
a 31 a 32 a 33
8 3 −1 0
วิธีทำ .........
เราจะจบหัวข้อนี้โดยการกล่าวถึงสมบัติพีชคณิตของเมทริกซ์ต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 1.1 (สมบัติพีชคณิตของเมทริกซ์) กำหนดให้ A, B และ C เป็นเมทริกซ์ใดๆ
และ a และ b เป็นสเกลาร์ใดๆ และสมมุติให้มิติของเมทริกซ์ในแต่ละการดำเนินการเป็นไปตาม
บทนิยาม พีชคณิตของเมทริกซ์ต่อไปนี้สมเหตุสมผล
(a) A+B = B +A (กฎการสลับที่สำหรับการบวก)
(b) A+(B +C) = (A+B)+C (กฎการจัดหมู่สำหรับการบวก)
(c) A(BC) = (AB)C (กฎการจัดหมู่สำหรับการคูณ)
(d) A(B +C) = AB +AC (กฎการแจกแจงทางซ้าย)
(e) (B +C)A = BA+CA (กฎการแจกแจงทางขวา)
(f) A(B −C) = AB −AC (g) (B −C)A = BA−CA
(h) a(B +C) = aB +aC (i) a(B −C) = aB −aC
(j) (a+b)C = aC +bC (k) (a−b)C = aC −bC
(l) (ab)C = a(bC) (m) a(BC) = (aB)C = B(aC)
(n) A+0 = 0+A = A (o) A−A = 0
(p) 0−A = −A (q) A0 = 0, 0A = 0
(r) AI = A
แบบฝึกหัด 1.1
1. สมมุติให้ A,B,C,D และ E เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติดังนี้
A B C D E
(4×5) (4×5) (5×2) (4×2) (5×4)
จงพิจารณาว่าเมทริกซ์ใดต่อไปนี้หาได้ และมีมิติเท่าใด
(a) BA (b) AC +D (c) AE +B (d) AB +B
(e) E(A+B) (f) E(AC) (g) E T A (h) (A T +E)D
2. ถ้า A เป็นเมทริกซ์มิติ 3×5 และ AB เป็นเมทริกซ์มิติ 3×7 แล้วมิติของเมทริกซ์ B
คืออะไร

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 7
3. จงหาค่า a,b,c และ d จากสมการ
[ ] [ ]
a−b b+c 8 1
=
3d+c 2a−4d 7 6
4. กำหนดให้
⎡ ⎤
3 0 [ ] [ ]
⎢ ⎥ 4 −1 1 4 2
A = ⎣−1 2⎦, B = , C = ,
0 2 3 1 5
1 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 5 2 6 1 3
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
D = ⎣−1 0 1⎦, E = ⎣−1 1 2⎦
3 2 4 4 1 3
จงหาเมทริกซ์ต่อไปนี้ (ถ้าหาได้)
(a) 2A T +C (b) D T −E T (c) (D −E) T (d) B T +5C T
(e) 1 2 CT − 1 A (f) B 4 −BT (g) 2E T −3D T (h) (2E T −3D T ) T
5. จงใช้เมทริกซ์ที่กำหนดให้ในข้อ 4. หาเมทริกซ์ต่อไปนี้ (ถ้าหาได้)
(a) AB (b) BA (c) (3E)D (d) (AB)C
(e) A(BC) (f) CC T (g) (DA) T (h) (C T B)A T
(i) tr(DD T ) (j) tr(4E T −D) (k) tr(C T A T +2E T )
6. จงหาเมทริกซ์ [a ij ] มิติ 6×6 ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ และเขียนคำตอบให้อยู่ในรูป
ทั่วไปมากที่สุด โดยใช้ตัวอักษรแทนจำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์
(a) a ij = 0 ถ้า i ≠ j (b) a ij = 0 ถ้า i > j
(c) a ij = 0 ถ้า i < j (d) a ij = 0 ถ้า |i−j| > 1
7. จงหาเมทริกซ์ A ที่ทำให้
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x x+y
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
A⎣y⎦ = ⎣x−y⎦
z 0
สำหรับทุกค่าของ x, y และ z
8. กำหนดให้
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −2 0 6 0 2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
A = ⎣3 5 −1⎦, B = ⎣ 4 1 −1⎦
2 3 4 −3 8 5
⎡ ⎤
4 −5 3
⎢ ⎥
C = ⎣ 5 7 −2⎦, a = 3, b = −5
−3 2 −1

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 8
จงแสดงว่า
(a) A+(B +C) = (A+B)+C
(c) (a+b)C = aC +bC
(e) a(BC) = (aB)C = B(aC)
(g) (B +C)A = BA+CA
(i) (A T ) T = A
(k) (aC) T = aC T
(b) (AB)C = A(BC)
(d) a(B −C) = aB −aC
(f) A(B −C) = AB −AC
(h) a(bC) = (ab)C
(j) (A+B) T = A T +B T
(l) (AB) T = B T A T
9. กำหนดให้ 0 เป็นเมทริกซ์ศูนย์มิติ 2×2 จงหา
(a) เมทริกซ์ A ที่ทำให้ A ≠ 0 และ AA = 0
(b) เมทริกซ์ A ที่ทำให้ A ≠ 0 และ AA = A
10. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ ถ้าข้อความที่พิจารณาเป็นเท็จ จงยกตัวอย่าง
ประกอบ
(a) tr(AA T ) และ tr(A T A) หาค่าได้เสมอ
(b) tr(AA T ) = tr(A T A) สำหรับทุกเมทริกซ์ A
(c) ถ้าสมาชิกทุกตัวในหลักที่หนึ่งของ A มีค่าเท่ากับศูนย์ แล้วสมาชิกทุกตัวในหลักที่หนึ่ง
ของผลคูณ AB ใดๆมีค่าเท่ากับศูนย์
(d) ถ้าสมาชิกทุกตัวในแถวที่หนึ่งของ A มีค่าเท่ากับศูนย์ แล้วสมาชิกทุกตัวในแถวที่หนึ่ง
ของผลคูณ AB ใดๆมีค่าเท่ากับศูนย์
(e) ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีแถว 2 แถวเหมือนกัน แล้วเมทริกซ์ AA จะมีแถว 2
แถวเหมือนกัน
(f) ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส และ AA มีหลักใดหลักหนึ่งเป็นศูนย์ แล้ว A จะต้องมีหลัก
ใดหลักหนึ่งเป็นศูนย์
(g) ถ้า B เป็นเมทริกซ์มิติ n×n ที่สมาชิกทุกตัวเป็นจำนวนเต็มบวกคู่ และถ้า A เป็น
เมทริกซ์มิติ n×n ที่สมาชิกทุกตัวเป็นจำนวนเต็มบวก แล้วสมาชิกทุกตัวของ AB และ
BA เป็นจำนวนเต็มบวกคู่
(h) ถ้าผลบวกของเมทริกซ์ AB +BA หาได้ แล้ว A และ B ต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัส
คำตอบแบบฝึกหัด 1.1
1. (a) หาไม่ได้ (b) 4×2 (c) หาไม่ได้ (d) หาไม่ได้ (e) 5×5
(f) 5×2 (g) หาไม่ได้ (h) 5×2
2. 5×7 3. a = 5,b = −3,c = 4,d = 1

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 9
4. (a)
(e)
5. (a)
(e)
[ ]
7 2 4
⎡
⎢
⎣
3 5 7
− 1 3
4 2
9
0
4
3 9
4 4
⎤
⎥
⎦
(b)
(f)
⎡ ⎤
−5 0 −1
⎢ ⎥
⎣ 4 −1 1 ⎦
−1 −1 1
[ ]
0 −1
1 0
⎡ ⎤
12 −3
⎢
⎣−4 5
4 1
⎡ ⎤
3 45 9
⎢ ⎥
⎣11 −11 17⎦ (f)
7 17 13
(g)
⎥
⎦ (b) หาไม่ได้ (c)
[ ]
21 17
17 35
(i) 61 (j) 35 (k) 28
⎡
⎤
a 11 0 0 0 0 0
0 a 22 0 0 0 0
6. (a)
0 0 a 33 0 0 0
0 0 0 a 44 0 0
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 0 a 55 0 ⎦
0 0 0 0 0 a 66
(c)
⎡
⎤
a 11 0 0 0 0 0
a 21 a 22 0 0 0 0
a 31 a 32 a 33 0 0 0
a 41 a 42 a 43 a 44 0 0
⎢
⎥
⎣a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 0 ⎦
a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66
(b)
(c)
⎡ ⎤
−5 0 −1
⎢ ⎥
⎣ 4 −1 1 ⎦
−1 −1 1
⎤
⎡
9 1 −1
⎢ ⎥
⎣−13 2 −4⎦
0 1 −6
(h)
⎡
⎢
⎣
(d) หาไม่ได้
9 −13 0
1 2 1
−1 −4 −6
⎤
⎥
⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
42 108 75 3 45 9
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣12 −3 21⎦
(d) ⎣11 −11 17⎦
36 78 63 7 17 13
⎡ ⎤
[ ] 12 6 9
0 −2 11 ⎢ ⎥
(g) (h) ⎣48 −20 14⎦
12 1 8
24 8 16
(d)
⎡
⎤
a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16
0 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26
0 0 a 33 a 34 a 35 a 36
0 0 0 a 44 a 45 a 46
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 0 a 55 a 56 ⎦
0 0 0 0 0 a 66
⎡
⎤
a 11 a 12 0 0 0 0
a 21 a 22 a 23 0 0 0
0 a 32 a 33 a 34 0 0
0 0 a 43 a 44 a 45 0
⎢
⎥
⎣ 0 0 0 a 54 a 55 a 56 ⎦
0 0 0 0 a 65 a 66
⎡ ⎤
1 1 0 [ ] [ ]
⎢ ⎥ 0 1 1 0
7. ⎣1 −1 0⎦
9. (a) (b)
0 0 0 0
0 0 0
[ ] [ ]
0 2 1 2
10. (a) จริง (b) จริง (c) เท็จ ตัวอย่างเช่น A = และ B =
0 4 3 4
[ ]
1 −1
(d) จริง (e) จริง (f) เท็จ ตัวอย่างเช่น A = (g) จริง
1 −1
(h) จริง

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 10
1.2 การดำเนินการขั้นมูลฐานและรูปแบบขั้นบันได
การดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐาน
การดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐาน (elementary row operations) ประกอบด้วยการดำเนินการ
3 แบบ ดังนี้
1. คูณแถวใดแถวหนึ่งด้วยค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ αr i
2. สลับที่สองแถวใดๆของเมทริกซ์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ r i ↔ r j
3. คูณแถวใดแถวหนึ่งด้วยค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้วนำไปบวกกับอีกแถวหนึ่ง เขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์ r j +αr i
⎡ ⎤
2 −3 2 1
⎢ ⎥
ตัวอย่าง 1.8 กำหนดให้ A = ⎣0 8 6 −10⎦ จงหาเมทริกซ์ B ที่เกิดจากการดำเนินการ
4 1 3 −2
ตามแถวขั้นมูลฐานต่อไปนี้บนเมทริกซ์ A
(a) r 1 ↔ r 2 (b) 1 r 2 2 (c) r 3 −2r 1
วิธีทำ .........
บทนิยาม 1.11 เมทริกซ์ A สมมูลตามแถว (row equivalent) กับเมทริกซ์ B ก็ต่อเมื่อ B
เป็นเมทริกซ์ที่ได้จากการใช้การดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐานบน A และจะเขียนแทนด้วย A ∼ B
รูปแบบขั้นบันได
บทนิยาม 1.12 เมทริกซ์ A จะเป็น เมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถว (row-echelon matrix)
ก็ต่อเมื่อ เมทริกซ์ A มีสมบัติต่อไปนี้
1. ถ้าแถวใดแถวหนึ่งของ A มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ แล้วแถวดังกล่าวจะต้องเป็นแถวที่อยู่ด้าน
ล่างของเมทริกซ์
2. สมาชิกตัวแรกที่ไม่เป็นศูนย์ หรือเราเรียกว่า ตัวนำ ของแต่ละแถวจะต้องอยู่ในหลักทางขวา
มือของตัวนำของแถวบน
ถ้าเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถว A มีสมบัติต่อไปนี้เพิ่มเติม แล้วเราจะเรียก A ว่า เมทริกซ์ขั้นบันได
ตามแถวลดรูป (reduced row-echelon matrix)
3. สมาชิกตัวแรกที่ไม่เป็นศูนย์ หรือตัวนำของแถวต้องมีค่าเท่ากับ 1
4. ถ้าตัวนำ 1 ของแถวใดแถวหนึ่งอยู่ในหลักใด แล้วสมาชิกตัวอื่นของหลักนั้นต้องเท่ากับศูนย์

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 11
เมทริกซ์ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถว
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
3 4 −3 7 1 0 0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0 2 6 2 ⎦, ⎣0 3 1⎦,
0 0 1 −1 0 0 0
⎡ ⎤
0 −1 2 6 0
⎢ ⎥
⎣0 0 3 −1 0⎦
0 0 0 0 1
เมทริกซ์ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวลดรูป
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 1 −2 0 0
1 0 0 1 1 0 3 1 0
[ ]
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 0 0 1 3
⎣0 1 0 −1⎦,
⎣0 1 2 1 0⎦,
⎢ ⎥
⎣0 0 0 0 0⎦ , 0 0
0 0
0 0 1 2 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
ตัวอย่าง 1.9 จงหาเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวของ A เมื่อ
⎡ ⎤
0 −3 −6 4 9
−1 −2 −1 3 1
A = ⎢ ⎥
⎣−2 −3 0 3 −1⎦
1 4 5 −9 −7
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 1.10 จงหาเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวลดรูปของ B เมื่อ
⎡
⎤
0 3 −6 6 4 −5
⎢
⎥
B = ⎣3 −7 8 −5 8 9 ⎦
3 −9 12 −9 6 15
วิธีทำ .........
บทนิยาม 1.13 ค่าลำดับชั้น (rank) ของเมทริกซ์ A ใดๆ ซึ่งเขียนแทนด้วย rank(A) คือ
จำนวนแถวที่มีสมาชิกไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวที่สมมูลกับเมทริกซ์ A
ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ในตัวอย่าง 1.9 มีค่าลำดับชั้นเท่ากับ 3
แบบฝึกหัด 1.2
1. จงพิจารณาว่าเมทริกซ์ใดต่อไปนี้ เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถว
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0 0 2 3 0 4 1 1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
(a) ⎣0 2 0⎦
(b) ⎣0 0 −1⎦
(c) ⎣0 −2 2⎦
0 0 3 0 0 0 0 0 3
(e)
⎡ ⎤
1 4 6
⎢ ⎥
⎣0 0 1⎦ (f)
0 −2 3
⎡ ⎤
−1 1 0
⎢ ⎥
⎣ 0 2 0⎦
0 0 0
(g)
⎡ ⎤
1 3 4
⎢ ⎥
⎣0 0 1⎦
0 0 0
(d)
(h)
⎡ ⎤
1 0 0
⎢ ⎥
⎣0 2 0⎦
0 3 0
⎡ ⎤
1 2 3
⎢ ⎥
⎣0 0 0⎦
0 0 4

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 12
2. จงพิจารณาว่าเมทริกซ์ใดต่อไปนี้ เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวลดรูป
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0 0 0 1 0 0 1 0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
(a) ⎣0 1 0⎦
(b) ⎣1 0 0⎦
(c) ⎣0 0 1⎦
0 0 1 0 0 0 0 0 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0 0 1 1 0 1 0 2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
(e) ⎣0 0 0⎦
(f) ⎣0 1 0⎦
(g) ⎣0 1 3⎦
0 0 1 0 0 0 0 0 0
(d)
(h)
⎡ ⎤
1 0 0
⎢ ⎥
⎣0 0 1⎦
0 0 0
⎡ ⎤
0 0 0
⎢ ⎥
⎣0 0 0⎦
0 0 0
3. จงพิจารณาว่าเมทริกซ์ต่อไปนี้ เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถว หรือเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถว
ลดรูป หรือทั้งสองอย่าง หรือไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 1 3 5 7 1 0 0 5
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
(a) ⎣0 0 1 2 3⎦
(b) ⎣0 0 1 3⎦
(c)
0 0 0 0 0 0 1 0 4
⎡ ⎤
[ ] 1 0 0 1 2
1 −7 5 5 ⎢ ⎥
(d) (e) ⎣0 1 0 2 4⎦
(f)
0 1 3 2
0 0 1 3 6
4. จงหาเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวลดรูปที่สมมูลตามแถวกับเมทริกซ์ A เมื่อ
⎡
⎤
2 2 −1 0 1 0
−1 −1 2 −3 1 0
A = ⎢
⎥
⎣ 1 1 −2 0 −1 0⎦
0 0 1 1 1 0
[ ]
1 0 3 1
0 1 2 4
⎡ ⎤
0 1
⎢ ⎥
⎣0 0⎦
0 0
5. จงหาเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวลดรูปที่สมมูลตามแถวกับเมทริกซ์ B เมื่อ
⎡ ⎤
0 0 −2 0 7 12
⎢ ⎥
B = ⎣2 4 −10 6 12 28⎦
2 4 −5 6 −5 −1
6. จงแสดงว่า rank(A) = rank(A T ) เมื่อ
⎡ ⎤
1 −1 2 1
⎢ ⎥
A = ⎣0 1 1 −2⎦
1 −3 0 5
7. จงหาค่าลำดับชั้นของเมทริกซ์ต่อไปนี้

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 13
⎡ ⎤
[ ]
1 0 1
2 0 −3 1
⎢ ⎥
(a) A =
(b) A = ⎣−2 1 1⎦
3 4 2 2
1 1 2
⎡ ⎤
⎡ ⎤
0 6 6 3
1 4 5 2
⎢ ⎥
1 2 1 1
(c) A = ⎣ 2 1 3 0⎦ (d) A = ⎢ ⎥
⎣4 1 −3 4⎦
−1 3 2 2
1 3 2 0
⎡ ⎤
1 2 1 4 2 5
2 4 3 1 6 1
(e) A = ⎢ ⎥
⎣1 2 3 10 6 3 ⎦
2 4 4 −6 8 −8
8. ค่าของ r และ s ที่ทำให้
⎡ ⎤
1 0 0
0 r −2 2
⎢ ⎥
⎣0 s−1 r +2⎦
0 0 3
มีค่าลำดับชั้น 1 หรือ 2 มีหรือไม่ ถ้ามี จงหาค่าเหล่านั้น
คำตอบแบบฝึกหัด 1.2
1. (a), (b), (c), (f), (g) 2. (a), (c), (d), (g), (h)
3. (a) เมทริกซ์ขั้นบันไดแบบแถว (b) ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง (c) ทั้งสองอย่าง
4.
(d) เมทริกซ์ขั้นบันไดแบบแถว (e) ทั้งสองอย่าง (f) ทั้งสองอย่าง
⎡ ⎤
1 1 0 0 1 0 ⎡ ⎤
0 0 1 0 1 0
1 2 0 3 0 7
⎢ ⎥
⎢ ⎥ 5. ⎣0 0 1 0 0 1⎦
⎣0 0 0 1 0 0⎦
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0 0
6. rank(A) = rank(A T ) = 2
7. (a) rank(A) = 2 (b) rank(A) = 3 (c) rank(A) = 2 (d) rank(A) = 3
(e) rank(A) = 3
8. ค่าลำดับชั้นเท่ากับ 2 ถ้า r = 2 และ s = 1; ค่าลำดับชั้นไม่เท่ากับ 1

บทที่ 2
ดีเทอร์มิแนนต์
ในบทนี้เราจะศึกษาสมบัติที่สำคัญของเมทริกซ์จัตุรัส นั่นคือเมทริกซ์จัตุรัสทุกเมทริกซ์จะสอดคล้อง
กับจำนวนจริงที่เรียกว่า ดีเทอร์มิแนนต์ (determinant) หรือ ตัวกำหนด ของเมทริกซ์ ถ้า
A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส แล้วดีเทอร์มิแนนต์ของ A จะเขียนแทนด้วย det(A) หรือ |A|
บทนิยาม 2.1 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 1×1 และ 2×2
[ ]
∣
(a) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A = a มิติ 1×1 คือ det(A) = ∣a∣ = a
[ ]
a b
(b) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A =
c d
มิติ 2×2 คือ det(A) =
a b
∣c d∣ = ad−bc
สำหรับหัวข้อย่อยต่อไปนี้ เราจะเรียนรู้การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสที่มีอันดับต่างๆ
2.1 ดีเทอร์มิแนนต์โดยการกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยว
ไมเนอร์และตัวประกอบร่วมเกี่ยว
วิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ในหัวข้อนี้ เป็นการให้บทนิยามดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ n×n ใน
รูปของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ (n−1)×(n−1) โดยที่เมทริกซ์มิติ (n−1)×(n−1) ที่ป
รากฎในบทนิยามนั้น เป็นเมทริกซ์ย่อยของเมทริกซ์ที่กำหนดให้ และเมทริกซ์ย่อยเหล่านี้มีชื่อเรียก
เฉพาะ
บทนิยาม 2.2 ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส แล้ว ไมเนอร์ (minors) ของ a ij ซึ่งเขียนแทน
ด้วย M ij คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่ได้จากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ออกจาก
เมทริกซ์ A และจำนวน (−1) i+j M ij ซึ่งเขียนแทนด้วย C ij เรียกว่า ตัวประกอบร่วมเกี่ยว
(cofactor) ของ a ij
ตัวอย่าง 2.1 กำหนดให้ A =
⎡ ⎤
2 1 3
⎢ ⎥
⎣4 1 2 ⎦ จงหาไมเนอร์และตัวประกอบร่วมเกี่ยวของ a 11
1 2 −3
และ a 32
14

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 15
วิธีทำ .........
สังเกตได้ว่าตัวประกอบร่วมเกี่ยว และไมเนอร์ของ a ij จะแตกต่างกันเฉพาะเครื่องหมาย นั่น
คือ C ij = ±M ij วิธีการที่ง่ายและรวดเร็วในการพิจารณาว่าจะใช้เครื่องหมาย + หรือ − อาศัย
ข้อเท็จจริงที่ว่า เครื่องหมายที่สัมพันธ์กับ C ij และ M ij คือ เครื่องหมายในแถวที่ i และหลักที่
j ของการจัดเรียงต่อไปนี้
⎡ ⎤
+ − + − + ···
− + − + − ···
+ − + − + ···
⎢
⎣− + − + − ··· ⎥
⎦
. . . . .
ตัวอย่างเช่น C 11 = M 11 , C 21 = −M 21 , C 13 = M 13 และ C 32 = −M 32
การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยว
สำหรับบทนิยามของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 3 × 3 ในรูปของไมเนอร์และตัวประกอบร่วม
เกี่ยวคือ
det(A) = a 11 M 11 +a 12 (−M 12 )+a 13 M 13
= a 11 C 11 +a 12 C 12 +a 13 C 13 (2.1)
จากสมการ (2.1) ดีเทอร์มิแนนต์ของ A สามารถหาได้จากการคูณสมาชิกในแถวที่ 1 ของ A
ด้วยตัวประกอบร่วมเกี่ยวของสมาชิกนั้น แล้วนำมาบวกกันสำหรับกรณีทั่วไป ดีเทอร์มิแนนต์ของ
เมทริกซ์มิติ n×n คือ
det(A) = a 11 C 11 +a 12 C 12 +···+a 1n C 1n
วิธีการคำนวณ det(A) นี้เรียกว่า การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยว ตามแถวที่ 1 ของ A
⎡ ⎤
1 5 0
⎢ ⎥
ตัวอย่าง 2.2 กำหนดให้ A = ⎣2 4 −1⎦ จงหา det(A) โดยใช้การกระจายตัวประกอบ
0 −2 0
ร่วมเกี่ยวตามแถวที่ 1 ของ A
วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 16
ถ้า A เป็นเมทริกซ์มิติ 3×3 ใดๆ แล้วดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ
∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣∣
det(A) =
a 21 a 22 a 23
∣a 31 a 32 a 33
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣∣
a 22 a ∣∣∣∣ ∣∣∣∣
23 a 21 a ∣∣∣∣ ∣∣∣∣
23 a 21 a ∣∣∣∣
22
= a 11 −a 12 +a 13
a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32
= a 11 (a 22 a 33 −a 23 a 32 )−a 12 (a 21 a 33 −a 23 a 31 )
+ a 13 (a 21 a 32 −a 22 a 31 ) (2.2)
= a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 −a 13 a 22 a 31
− a 12 a 21 a 33 −a 11 a 23 a 32 (2.3)
การจัดเรียงพจน์ใน (2.3) ใหม่ให้มีรูปแบบดังเช่น (2.2) มีหลายวิธีด้วยกัน และเราสามารถ
แสดงได้ว่า
det(A) = a 11 C 11 +a 12 C 12 +a 13 C 13
= a 11 C 11 +a 21 C 21 +a 31 C 31
= a 21 C 21 +a 22 C 22 +a 23 C 23
= a 12 C 12 +a 22 C 22 +a 32 C 32
= a 31 C 31 +a 32 C 32 +a 33 C 33
= a 13 C 13 +a 23 C 23 +a 33 C 33 (2.4)
สังเกตได้ว่าในแต่ละสมการ สมาชิกและตัวประกอบร่วมเกี่ยวมาจากแถว หรือหลักเดียวกัน สมการ
เหล่านี้เรียกว่า การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยว ของ det(A)
ทฤษฎีบท 2.1 (การกระจายโดยตัวประกอบร่วมเกี่ยว) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ที่มี
มิติ n×n ใดๆ สามารถหาได้โดยการคูณสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ด้วย
ตัวประกอบร่วมเกี่ยวของสมาชิกตัวนั้นแล้วนำมาบวกกัน นั่นคือสำหรับแต่ละ 1 ≤ i ≤ n และ
1 ≤ j ≤ n
det(A) = a 1j C 1j +a 2j C 2j +···+a nj C nj
(การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยวตามหลักที่ j)
และ
det(A) = a i1 C i1 +a i2 C i2 +···+a in C in
(การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยวตามแถวที่ i)
ตัวอย่าง 2.3 กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ในตัวอย่าง 2.2 จงหา det(A) โดยใช้การกระจาย
ตัวประกอบร่วมเกี่ยวตามสดมภ์ที่ 1 ของ A
วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 17
หมายเหตุ โดยทั่วไปการหาดีเทอร์มิแนนต์ โดยใช้การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยวนั้นเรามักเลือก
กระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยวตามแถว หรือหลักที่มีสมาชิกเป็นศูนย์จำนวนมากๆ เพื่อความสะดวกและ
รวดเร็วในการคำนวณ
ตัวอย่าง 2.4 กำหนดให้
⎡ ⎤
0 2 3 0
0 4 5 0
A = ⎢ ⎥
⎣0 1 0 3⎦
2 0 1 3
จงหา det(A) โดยใช้การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยว
วิธีทำ .........
ทฤษฎีบท 2.2 ถ้า A เป็นเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมมิติ n × n (เมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมบน
เมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมล่างหรือเมทริกซ์ทแยงมุม) แล้ว det(A) คือ ผลคูณของสมาชิกในเส้น
ทแยงมุมหลักของ A นั่นคือ det(A) = a 11 a 22···a nn
ตัวอย่าง 2.5 จงหา det(A) เมื่อ
⎡ ⎤
2 4 −3 5 3
0 −1 6 7 −2
A =
0 0 3 8 5
⎢ ⎥
⎣0 0 0 9 3 ⎦
0 0 0 0 −4
วิธีทำ .........
แบบฝึกหัด 2.1
1. กำหนดให้
⎡ ⎤
3 2 4
⎢ ⎥
A = ⎣1 −2 3⎦
2 3 2
(a) จงหาไมเนอร์ทั้งหมดของ A (b) จงหาตัวประกอบร่วมเกี่ยวทั้งหมดของ A
2. จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ในข้อ8. โดยใช้การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยวตาม
(a) แถวที่ 1 (b) หลักที่ 1 (c) แถวที่ 2
(d) หลักที่ 2 (e) แถวที่ 3 (f) หลักที่ 3
3. จงหาค่าของ λ ทั้งหมดที่ทำให้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้เท่ากับ 0
2−λ 4
∣ 3 3−λ∣

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 18
4. จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้ โดยใช้การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยว
⎡ ⎤
⎡ ⎤
5 2 1
3 3 1
⎢ ⎥
⎢ ⎥
(a) ⎣1 −1 4⎦
(b) ⎣1 0 −4⎦
3 0 2
1 −3 5
⎡ ⎤
⎡ ⎤
4 3 0
k +1 k −1 7
⎢ ⎥
⎢ ⎥
(c) ⎣3 1 2 ⎦ (d) ⎣ 2 k −3 4⎦
5 −1 −4
5 k +1 k
⎡ ⎤
⎡ ⎤
2 3 4 6
2 0 0 1
2 0 −9 6
0 1 0 0
(e) ⎢ ⎥ (f) ⎢ ⎥
⎣4 1 0 2⎦
⎣1 6 2 0⎦
(h)
0 1 −1 0
⎡ ⎤
2 1 2 1
3 0 1 1
⎢ ⎥
⎣−1 2 −2 1⎦
−3 2 3 1
คำตอบแบบฝึกหัด 2.1
1 1 −2 3
1. (a) M 11 = −13, M 12 = −4, M 13 = 7, M 21 = −8, M 22 = −2,
M 23 = 5, M 31 = 14, M 32 = 5, M 33 = −8
(b) C 11 = −13, C 12 = 4, C 13 = 7, C 21 = 8, C 22 = −2, C 23 = −5,
C 31 = 14, C 32 = −5, C 33 = −8
2. −3 3. λ = 6 หรือ −1
4. (a) 13 (b) −66 (c) 58 (d) k 3 −8k 2 −10k +95 (e) 320
(f) 8 (h) 20
2.2 การหาดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้การดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐาน
ในหัวข้อนี้ เราจะเห็นได้ว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสสามารถหาได้โดยการลดรูปเมทริกซ์ให้
อยู่ในรูปขั้นบันไดตามแถว วิธีการนี้มีความสำคัญ เนื่องจากเป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด ใน
การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ทั่วไป
ทฤษฎีบทพื้นฐาน
เริ่มด้วยทฤษฎีบทพื้นฐาน ที่จะนำเราไปสู่ขั้นตอนที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์
ของเมทริกซ์อันดับ n ใดๆ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 19
ทฤษฎีบท 2.3 กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ถ้า A มีแถวใดแถวหนึ่ง หรือหลักใดหลักหนึ่ง
ที่สมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ แล้ว det(A) = 0
ทฤษฎีบท 2.4 ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส แล้ว det(A) = det(A T )
การดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐาน
ทฤษฎีบทต่อไปจะแสดงให้เห็นว่าการดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐานบนเมทริกซ์ใดๆ มีผลกระทบ
กับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นอย่างไร
ทฤษฎีบท 2.5 กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์มิติ n×n
1. ถ้า B เป็นเมทริกซ์ที่ได้จากการคูณแถวใดแถวหนึ่งหรือหลักใดหลักหนึ่งของ A ด้วยสเกลาร์
k แล้ว det(B) = kdet(A)
2. ถ้า B เป็นเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับที่แถวสองแถวหรือหลักสองหลักใดๆของ A แล้ว det(B) =
−det(A)
3. ถ้า B เป็นเมทริกซ์ที่ได้จากการคูณแถวใดแถวหนึ่งของ A ด้วยสเกลาร์แล้วนำไปบวกกับ
อีกแถวหนึ่ง หรือคูณหลักใดหลักหนึ่งของ A ด้วยสเกลาร์แล้วนำไปบวกกับอีกหลักหนึ่ง แล้ว
det(B) = det(A)
เราสามารถแสดงทฤษฎีบทนี้ โดยใช้เมทริกซ์มิติ 3×3 ดังนี้
ความสัมพันธ์
การดำเนินการ
∣ ∣ ka 11 ka 12 ka 13 ∣∣∣∣∣∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣∣ คูณแถวที่ 1 ของ A
a 21 a 22 a 23 = k
a 21 a 22 a 23
∣ a 31 a 32 a 33
∣
ด้วย k
a 31 a 32 a 33
det(B) = kdet(A)
∣ ∣ a 21 a 22 a 23 ∣∣∣∣∣∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣∣ สลับที่แถวที่ 1 กับ
a 11 a 12 a 13 = −
a 21 a 22 a 23
∣a 31 a 32 a 33
∣
แถวที่ 2 ของ A
a 31 a 32 a 33
det(B) = −det(A)
∣ ∣ a 11 +ka 12 a 12 +ka 22 a 13 +ka 23 ∣∣∣∣∣∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣∣ คูณแถวที่ 2 ของ A
a 21 a 22 a 23 =
a 21 a 22 a 23 ด้วย k แล้วนำไป
∣ a 31 a 32 a 33
∣a 31 a 32 a 33 บวกกับแถวที่ 1
det(B) = det(A)
หมายเหตุ จากทฤษฎีบท 2.5(a) ซึ่งแสดงโดยสมการแรกในตารางข้างต้น กล่าวได้ว่าเราสามารถ
ดึงตัวประกอบร่วมออกจากแถวใดแถวหนึ่งหรือหลักใดหลักหนึ่ง โดยผ่านเครื่องหมายดีเทอร์มิแนนต์

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 20
ทฤษฎีบท 2.6 ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีแถวสองแถวเป็นสัดส่วนกัน หรือมีหลักสองหลักเป็น
สัดส่วนกัน แล้ว det(A) = 0
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์ที่มีแถวสองแถวเป็นสัดส่วนกัน หรือหลักสองหลักเป็นสัดส่วนกัน ดังนั้น
ดีเทอร์มิแนนต์ของแต่ละเมทริกซ์มีค่าเท่ากับศูนย์
⎡ ⎤
⎡ ⎤
[ ]
1 −2 5 2
1 −2 7
1 −3
⎢ ⎥
3 1 −4 −2
, ⎣−4 8 8⎦,
⎢ ⎥
−2 6
⎣ 4 7 8 1 ⎦
3 −6 5
−9 −3 12 6
การหาดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้การลดรูปตามแถว
ลำดับต่อไปเราจะแนะนำวิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งใช้การคำนวณน้อยกว่าการหาดีเทอร์มิแนนต์
โดยการกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยว แนวคิดของวิธีดังกล่าวคือ การลดรูปเมทริกซ์ที่กำหนดให้ ไป
อยู่ในรูปเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมบนโดยใช้การดำเนินการตามแถว แล้วจึงคำนวณค่าดีเทอร์มิแนนต์
ของเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมบน และหาความสัมพันธ์ของดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้กับดีเทอร์มิแนนต์ของ
เมทริกซ์ที่กำหนดให้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
⎡ ⎤
3 −6 9
⎢ ⎥
ตัวอย่าง 2.6 จงหาค่าของ det(A) เมื่อ A = ⎣−2 4 −7⎦
0 5 2
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 2.7 จงหาค่าของ det(A) เมื่อ
⎡ ⎤
1 2 0 −2
0 0 2 −1
A = ⎢ ⎥
⎣0 −1 1 0 ⎦
1 3 4 1
วิธีทำ .........
ตัวอย่างต่อไปเป็นการหาดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้การกระจายตัวประกอบร่วมเกี่ยวร่วมกับการดำเนินการ
ตามแถว ซึ่งจัดว่าเป็นวิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ที่มีประสิทธิภาพวิธีหนึ่ง
ตัวอย่าง 2.8 จงหาค่าของ det(A) เมื่อ
⎡ ⎤
3 5 −2 6
1 2 −1 1
A = ⎢ ⎥
⎣2 4 1 5⎦
3 7 5 3
วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 21
ตัวอย่าง 2.9 จงหาค่าของ det(A) เมื่อ
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 2.10 จงหาค่าของ det(A) เมื่อ
วิธีทำ .........
⎡ ⎤
2 1 −3 1
−3 −2 0 2
A = ⎢ ⎥
⎣ 2 1 0 −1⎦
⎢
A = ⎣
1 0 1 2
⎡
1 3
0
3 4
2
−1 3 5 2
1
− 3 5
8 4 4
⎤
⎥
⎦
แบบฝึกหัด 2.2
1. จงแสดงว่า det(A) = det(A T ) เมื่อ
(a) A =
[
1 2
6 −3
]
⎡ ⎤
1 3 2
⎢ ⎥
(b) A = ⎣−1 4 1⎦
5 3 8
2. จงหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์ต่อไปนี้
3 −17 4
(a)
0 5 1
∣0 0 −2∣
−2 1 3
(c)
1 −7 4
∣−2 1 3∣
√ 2 0 0 0
−8 2 0 0
(e)
7 0 −1 0
∣ 9 5 6 1∣
(b)
(d)
(f)
0 0 3
0 4 1
∣2 3 1∣
1 −2 3
2 −4 6
∣5 −8 1∣
1 1 1 3
0 3 1 1
0 0 2 2
∣−1 −1 −1 2∣
3. จงหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้ โดยการลดรูปเมทริกซ์ให้อยู่ใน
รูปเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมบน

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 22
⎡ ⎤
3 0 2
⎢ ⎥
(a) ⎣−1 5 0⎦
1 9 6
⎡ ⎤
1 −2 3 1
5 −9 6 3
(c) ⎢ ⎥
⎣−1 2 −6 −2⎦
2 8 6 1
⎡ ⎤
4 5 0 1 0
0 0 0 0 1
(e)
4 1 8 2 0
⎢ ⎥
⎣1 0 0 1 0⎦
4 8 0 1 0
a b c
4. กำหนดให้
d e f
= 7 จงหา
∣g h i∣
a b c
(a)
d e f
∣5g 5h 5i∣
a b c
(c)
2d+a 2e+b 2f +c
∣ g h i ∣
(b)
(d)
(f)
(b)
(d)
⎡ ⎤
1 −3 0
⎢ ⎥
⎣−2 4 1⎦
5 −2 2
⎡ ⎤
2 0 −1 3
4 0 1 −1
⎢ ⎥
⎣−3 1 0 1 ⎦
1 4 1 1
⎡ ⎤
0 0 0 3 −4
0 0 0 2 1
−1 2 4 0 0
⎢ ⎥
⎣ 3 1 −2 0 0 ⎦
5 1 5 0 0
a b c
g h i
∣d e f∣
−2a −2b −2c
d e f
∣ 3g 3h 3i ∣
5. กำหนดให้
⎡ ⎤
0 1 2 3
1 1 1 1
A = ⎢ ⎥
⎣−2 −2 3 3 ⎦
1 2 −2 −3
(a) จงหา det(A) โดยการลดรูปเมทริกซ์ A ให้อยู่ในรูปเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมบน
(b) จงใช้ค่าของ det(A) ที่คำนวณได้จากข้อ(a) หาค่าของ
0 1 2 3
0 1 2 3
−2 −2 3 3
1 1 1 1
+
1 2 −2 −3
−1 −1 4 4
∣ 1 1 1 1 ∣ ∣ 2 3 −1 −2∣
6. จงแสดงว่า ∣ ∣∣∣∣∣∣ 1 x 1 x 2 1
1 x 2 x 2 2
= (x 2 −x 1 )(x 3 −x 1 )(x 3 −x 2 )
1 x 3 x 2 ∣
3

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 23
7. จงหาค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่กำหนดให้ข้อ3. โดยการใช้การกระจายตัว ประกอบ
ร่วมเกี่ยวร่วมกับการดำเนินการตามแถวดังเช่นตัวอย่าง 2.8
8. จงหาค่าของ x จากสมการ ∣ ∣∣∣∣∣∣ x 5 7
0 x+1 6
= 0
0 0 2x−1∣
9. จงหาค่าของ x ทั้งหมดที่ทำให้ det(A−xI) = 0 เมื่อ
⎡ ⎤
0 −3 4
⎢ ⎥
A = ⎣0 5 0⎦
1 −2 0
และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ 3×3
คำตอบแบบฝึกหัด 2.2
2. (a) −30 (b) 2 (c) 0 (d) 0 (e) −2 (f) 30
3. (a) 62 (b) −17 (c) 39 (d) 30 (e) −72 (f) −715
4. (a) 35 (b) −7 (c) 14 (d) −42 5. (a) 10 (b) 20
8. x = 0,−1, 1 2
9. x = 5,2,−2
2.3 เมทริกซ์ผกผัน
บทนิยาม 2.3 กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ถ้ามีเมทริกซ์ B ที่ทำให้ AB = BA =
I แล้วจะกล่าวว่า A เป็น เมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ (invertible matrix) หรือ A เป็น
เมทริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix) และเรียก B ว่า เมทริกซ์ผกผัน (inverse
matrix) ของ A แต่ถ้า A ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน หรือไม่สามารถหาเมทริกซ์ B ได้ แล้วจะ
กล่าวว่า A เป็น เมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix)
[ ]
[ ]
2 −5
3 5
ตัวอย่าง 2.11 จงแสดงว่า B = เป็นเมทริกซ์ผกผันของ A =
−1 3
1 2
วิธีทำ .........
สมบัติของเมทริกซ์ผกผัน
ทฤษฎีบท 2.7 ถ้า B และ C เป็นเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A แล้ว B = C

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 24
จากทฤษฎีบท 2.7 เราสามารถกล่าวได้ว่า ถ้า A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้วเมทริกซ์ผกผัน
ของ A มีเพียงเมทริกซ์เดียว ซึ่งจะเขียนแทนด้วย A −1 ดังนั้น
AA −1 = I และ A −1 A = I
ทฤษฎีบท 2.8 ให้ A เป็นเมทริกซ์มิติ n×n ใดๆ A จะมีเมทริกซ์ผกผัน ก็ต่อเมื่อ rank(A) =
n นั่นคือก็ต่อเมื่อ det(A) ≠ 0 ดังนั้น A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ถ้า rank(A) = n และเป็น
เมทริกซ์เอกฐานถ้า rank(A) < n
ทฤษฎีบท 2.9 ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานและมีขนาดเท่ากัน แล้ว AB เป็น
เมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ
(AB) −1 = B −1 A −1
ทฤษฎีบท 2.10 ถ้า A 1 ,A 2 ,...,A n เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานและมีขนาดเท่ากัน แล้ว A 1 A 2···A n
เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ
(A 1 A 2···A n ) −1 = A −1
n A−1 n−1···A−1 2 A−1 1
ทฤษฎีบท 2.11 ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ แล้ว
(a) A −1 เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ (A −1 ) −1 = A
(b) สำหรับสเกลาร์ k ≠ 0 ใดๆ เมทริกซ์ kA เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ (kA) −1 = 1 k A−1
ทฤษฎีบท 2.12 ถ้า A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้ว A T เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน และ
(A T ) −1 = (A −1 ) T
ลำดับต่อไปเราจะศึกษาวิธีการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ไม่เอกฐานขนาดใดๆ อย่างไรก็ตาม
ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะกล่าวถึงเงื่อนไขที่ทำให้เมทริกซ์มิติ 2 × 2 มีเมทริกซ์ผกผัน พร้อมทั้งสูตร
ง่ายๆของเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์มิติ 2×2
ทฤษฎีบท 2.13 เมทริกซ์
[ ]
a b
A =
c d
เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ถ้า ad−bc ≠ 0 และเมทริกซ์ผกผันของ A คือ
⎡
[ ] d
A −1 1 d −b ⎢
− b ⎤
= = ⎣
ad−bc ad−bc⎥
ad−bc −c a − c a ⎦
ad−bc ad−bc
ตัวอย่าง 2.12 จงหาเมทริกซ์ผกผันของ
[ ]
1
2
A =
(ex +e −x 1
)
2 (ex −e −x )
1
2 (ex −e −x 1
)
2 (ex +e −x )
วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 25
การหาเมทริกซ์ผกผันโดยวิธีกำจัดเกาส์-จอร์แดน
การหาเมทริกซ์ผกผัน A −1 ของเมทริกซ์ไม่เอกฐาน A มิติ n × n นั้นเราสามารถใช้วิธีการที่
เรียกว่า วิธีการกำจัดเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination) ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้
ขั้นตอน 1 สร้างเมทริกซ์แบ่งส่วน [A|I n ] ซึ่งมีขนาด n×2n
ขั้นตอน 2 ใช้การดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐานกับเมทริกซ์นี้ จนกระทั่งเมทริกซ์ย่อยทางซ้ายมือ
ถูกลดรูปเป็นเมทริกซ์ I n และการดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐานเหล่านี้จะแปลงเมทริกซ์ย่อย
ทางขวามือเป็น A −1 ดังนั้นขั้นตอนสุดท้ายจะได้เมทริกซ์แบ่งส่วนในรูป [I |A −1 ]
ตัวอย่าง 2.13 จงหาเมทริกซ์ผกผันของ
⎡ ⎤
1 −2 1
⎢ ⎥
A = ⎣2 −5 2 ⎦
3 2 −1
วิธีทำ .........
บ่อยครั้งที่เราไม่ทราบว่าเมทริกซ์ที่กำหนดให้เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานหรือไม่ ถ้าเมทริกซ์
A มิติ n × n เป็นเมทริกซ์เอกฐาน แล้วเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวลดรูปของ A จะมีแถวอย่าง
น้อยหนึ่งแถวที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์ดังนั้นถ้าใช้วิธีการเช่นเดียวกับตัวอย่าง 2.13 กับเมทริกซ์ที่
กำหนดให้ แล้วพบว่ามีแถวที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์เกิดขึ้นในการคำนวณกับเมทริกซ์ย่อยทางซ้ายมือ
ในกรณีเช่นนี้เราสามารถหยุดการคำนวณ และสรุปได้ว่า เมทริกซ์ที่กำหนดให้เป็นเมทริกซ์เอกฐาน
ตัวอย่าง 2.14 จงพิจารณาว่าเมทริกซ์
⎡ ⎤
1 3 4
⎢ ⎥
A = ⎣−2 −5 −3⎦
1 4 9
เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานหรือไม่
วิธีทำ .........
การหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้เมทริกซ์ผูกพัน
บทนิยาม 2.4 ถ้า A เป็นเมทริกซ์มิติ n×n ใดๆ และ C ij เป็นตัวประกอบร่วมเกี่ยวของ a ij
แล้วเมทริกซ์ ⎡ ⎤
C 11 C 12 ··· C 1n
C 21 C 22 ··· C 2n
⎢ ⎥
⎣ . . . ⎦
C n1 C n2 ··· C nn
เรียกว่า เมทริกซ์ของตัวประกอบร่วมเกี่ยว ของ A และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์นี้เรียก
ว่า เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ของ A เขียนแทนด้วย adj(A)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 26
ตัวอย่าง 2.15 จงหา adj(A) เมื่อ
⎡ ⎤
3 2 −1
⎢ ⎥
A = ⎣1 6 3 ⎦
2 −4 0
วิธีทำ .........
ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะกล่าวถึงการหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A ซึ่งเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
โดยใช้เมทริกซ์ผูกพันของ A และอาศัยข้อเท็จจริงที่สำคัญที่ได้กล่าวไปแล้ว นั่นคือ เมทริกซ์ จัตุรัส
A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน ก็ต่อเมื่อ det(A) ไม่เท่ากับศูนย์
ทฤษฎีบท 2.14 ถ้า A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แล้ว
A −1 =
1
adj(A) (2.5)
det(A)
ตัวอย่าง 2.16 จงใช้ (2.5) หาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A ในตัวอย่าง 2.15
วิธีทำ .........
แบบฝึกหัด 2.3
1. จงใช้ทฤษฎีบท 2.13 หาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ต่อไปนี้
[ ]
[ ]
1 3
2 3
(a) A =
(b) B =
2 −4
1 1
[ ]
[ ]
−4 −5
3 −7
(c) C =
(d) D =
5 6
−6 13
2. จงใช้เมทริกซ์ A, B และ C ในข้อ1 แสดงว่า
(a) (A −1 ) −1 = A
(c) (AB) −1 = B −1 A −1
(b) (B T ) −1 = (B −1 ) T
(d) (ABC) −1 = C −1 B −1 A −1
3. จงใช้ข้อมูลที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ หาเมทริกซ์ A
[ ]
[ ]
(a) A −1 2 −1
=
(b) (7A) −1 −3 7
=
3 5
1 −2
[ ]
[ ]
(c) (5A T ) −1 −3 −1
=
(d) (I +2A) −1 −1 2
=
5 2
4 5
4. จงหาเมทริกซ์ผกผันของ
[
]
cosθ sinθ
−sinθ cosθ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 27
5. จงใช้วิธีการในตัวอย่าง 2.13 และตัวอย่าง 2.14 หาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่กำหนด
ให้ ถ้าเมทริกซ์ที่กำหนดให้เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
[ ] [ ]
1 4 −3 6
(a) (b)
2 7 4 5
⎡ ⎤
1 0 1
⎢ ⎥
(d) ⎣3 3 4⎦
2 2 3
⎡ ⎤
2 1 4
⎢ ⎥
(g) ⎣3 2 5⎦
0 −1 1
⎡ ⎤
1 0 0 0
1 3 0 0
(j) ⎢ ⎥
⎣1 3 5 0⎦
1 3 5 7
(c)
[
]
6 −4
−3 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 1 1 2 0 5
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
(e) ⎣0 1 1⎦
(f) ⎣0 3 0⎦
0 0 1 1 0 3
⎡ ⎤ ⎡ √ √ ⎤
1 1
− 2 5 5 5 2 3 2 0
⎢1
1 1 ⎥ ⎢
(h) ⎣5
5 10
⎦ (i) ⎣−4 √ √ ⎥
2 2 0 ⎦
1
− 4 1
0 0 1
5 5 10
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1
−8 17 2 0 0 2 0
3
2
4 0 −9
5 (k) ⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 0 ⎦ (l) 1 0 0 1
⎢ ⎥
⎣0 −1 3 0 ⎦
−1 13 4 2
6. จงหาค่า a ที่ทำให้เมทริกซ์ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
⎡ ⎤
[ ]
1 a 0
2 a
⎢ ⎥
(a) A =
(b) A = ⎣−1 0 1⎦
3 4
0 1 1
2 1 5 −3
7. กำหนดให้
[ ]
3 1
A =
5 2
[ ]
1 2
และ B =
3 4
จงหา A −1 จากนั้นใช้ A −1 คำนวณหา
(a) เมทริกซ์ X มิติ 2×2 ที่ทำให้ AX = B
(b) เมทริกซ์ Y มิติ 2×2 ที่ทำให้ YA = B
8. กำหนดให้
⎡ ⎤
3 2 4
⎢ ⎥
A = ⎣1 −2 3⎦
2 3 2
จงหา
(a) adj(A) (b) A −1 โดยใช้ทฤษฎีบท 2.14
9. จงหา A −1 โดยใช้ทฤษฎีบท 2.14

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 28
⎡ ⎤
⎡ ⎤
2 5 5
2 −3 5
⎢ ⎥
⎢ ⎥
(a) A = ⎣−1 −1 0⎦ (b) A = ⎣0 1 −3⎦
2 4 3
0 0 2
⎡ ⎤
⎡ ⎤
2 1 2
4 0 1
⎢ ⎥
⎢ ⎥
(c) A = ⎣3 2 2⎦ (d) A = ⎣2 2 0⎦
1 2 3
3 1 1
10. กำหนดให้
⎡ ⎤
1 3 1 1
2 5 2 2
A = ⎢ ⎥
⎣1 3 8 9⎦
1 3 2 2
(a) จงหา A −1 โดยใช้ทฤษฎีบท 2.14
(b) จงหา A −1 โดยใช้วิธีการในตัวอย่าง 2.13
(c) วิธีการแบบใดที่ใช้การคำนวณน้อยกว่า
11. จงแสดงว่าเมทริกซ์
⎡ ⎤
cosθ sinθ 0
⎢ ⎥
A = ⎣−sinθ cosθ 0⎦
0 0 1
เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานสำหรับทุกค่าของ θ และจงหา A −1 โดยใช้ทฤษฎีบท 2.14
1. (a) A −1 =
[
2
5
(d) D −1 =
3
10
1
− 1
5 10
[
3. (a) A =
[
5
13
(d) A =
5. (a)
(d)
− 3
13
[
− 9
[
−7 4
]
]
− 13 − 7 3 3
−2 −1
]
1
13
2
13
1
13
13
2
− 6
13 13
]
]
คำตอบแบบฝึกหัด 2.3
[ ]
(b) B −1 −1 3
=
1 −2
(b) A =
4.
[
− 5
(b)
2 −1
⎡ ⎤
1 2 −3
⎢ ⎥
⎣−1 1 −1⎦
(e)
0 −2 3
39
4
39
[ ]
2
1
7
1
7
3
7
[ ]
cosθ −sinθ
sinθ cosθ
]
2
13
1
13
⎡ ⎤
1 −1 0
⎢ ⎥
⎣0 1 −1⎦
0 0 1
(c) C −1 =
[ ]
− 2 1
5
(c) A =
− 1 5
(c) ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน
(f)
⎡
⎢
⎣
3
5
[
⎤
3 0 −5
⎥
⎦
0
1
3
0
−1 0 2
6 5
−5 −4
]

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 29
(g)
(j)
⎡ ⎤
−7 5 3
⎢ ⎥
⎣ 3 −2 −2⎦
(h)
3 −2 −1
⎡ ⎤
1 0 0 0
− 1 1
0 0
3 3 ⎢
⎣ 0 − 1 1
⎥
0⎦
5 5
0 0 − 1 1
7 7
(k) ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน
(l)
⎡ ⎤
1 3 1
⎢ ⎥
⎣ 0 1 −1⎦
−2 2 0
⎡
⎢
⎣
− 4 5
6. (a) a ≠ 8 3
(b) a ≠ 1 7. (a)
3
5
1
5
1
5
3
0 −1 0
2
1
0 0 0
2
4
5
(i)
2
− 1 − 1 5 5 5
[ ]
−1 0
4 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
(b)
√
2
26
4 √ 2
26
−3 √ 2
0
√
26
2
0
26
0 0 1
[ ]
−8 5
−14 9
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
13
−13 8 14
− 8 − 14 3 3 3
⎢ ⎥
8. (a) adj(A) = ⎣ 4 −2 −5⎦ (b) A −1 ⎢
= ⎣− 4 2 5 ⎥
3 3 3
⎦
7 −5 −8
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 3
3 −5 −5
1
2 2
9. (a) A −1 ⎢ ⎥
= ⎣−3 4 5 ⎦ (b) A −1 ⎢
= ⎣0 1 3 ⎥
2⎦
2 −2 −3 0 0 1 2
⎡ ⎤ ⎡
(c) A −1 ⎢
= ⎣
2
5
− 7 5
4
5
− 3 5
1
− 2 5 5
4 2
5 5
1
5
⎡ ⎤
−4 3 0 −1
10. A −1 2 −1 0 0
= ⎢ ⎥
⎣−7 0 −1 8 ⎦
6 0 1 −7
− 7 3
⎥
⎦ (d) A −1 ⎢
= ⎣− 1 1 1 ⎥
2 4 2
⎦
−1 −1 2
1
2
5
3
1
− 1 4 2
⎡ ⎤
cosθ −sinθ 0
11. A −1 ⎢ ⎥
= ⎣sinθ cosθ 0⎦
0 0 1
⎤
8
3
⎤
⎥
⎦

บทที่ 3
ระบบสมการเชิงเส้น
ปัญหาที่จัดว่าสำคัญมากในทางคณิตศาสตร์คือ การหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น หรือกล่าวได้
ว่า 70 เปอร์เซนต์ของปัญหาทางคณิตศาสตร์จะเกี่ยวข้องกับการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น
การนำวิธีการทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่มาใช้บ่อยครั้งปัญหาที่มีความซับซ้อนจะถูกลดรูปให้เป็นระบบ
สมการเชิงเส้นเพียงระบบสมการเดียว ระบบสมการเชิงเส้นสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในหลายสาขาวิชา
ด้วยกัน ตัวอย่างเช่น เศรษฐศาสตร์ สังคมศาสตร์ นิเวศน์วิทยา สถิติประชากร พันธุกรรม วิศวกรรม
และฟิสิกส์
3.1 ระบบสมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้น
เส้นตรงใดๆในระนาบเรขาคณิตสามารถเขียนแทนได้ด้วยสมการ
ax+by = c
เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงตัวที่เป็นจำนวนจริง และ a, b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ซึ่งสมการใน
รูปแบบนี้เรียกว่า สมการเชิงเส้น ของตัวแปร x และ y ในกรณีทั่วไปเราสามารถเขียนสมการเชิง
เส้นของตัวแปร x 1 , x 2 , ..., x n ให้อยู่ในรูป
a 1 x 1 +a 2 x 2 +···+a n x n = b
โดยที่ a 1 , a 2 , ..., a n และ b เป็นค่าคงตัวที่เป็นจำนวนจริง และ a 1 , a 2 , ..., a n ไม่เป็น
ศูนย์พร้อมกัน บางครั้งเราจะเรียกตัวแปรที่อยู่ในสมการเชิงเส้นว่า ตัวแปรไม่รู้ค่า
ตัวอย่าง 3.1 สมการ
3x+y = 7, y = 1 5 x+2z +4 และ x 1 +3x 2 −2x 3 +5x 4 = 7
เป็นสมการเชิงเส้น แต่สมการ
√ x+3y = 2, 3x−2y −5z +yz = 4 และ y = cosx
ไม่เป็นสมการเชิงเส้น
✠
30

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 31
ข้อสังเกต สมการเชิงเส้นจะเป็นสมการที่ไม่เกี่ยวข้องกับผลคูณ หรือรากของตัวแปร และตัวแปรทุก
ตัว ต้องเป็นตัวแปรที่มีเลฃชี้กำลังเป็นหนึ่ง และไม่ปรากฎในนิพจน์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันลอการิทึม หรือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ผลเฉลย ของสมการเชิงเส้น a 1 x 1 +a 2 x 2 +···+ a n x n = b คือลำดับของ n จำนวน: s 1 , s 2 ,
..., s n ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริงเมื่อแทนค่า x 1 = s 1 , x 2 = s 2 , ..., x n = s n และเชตของผล
เฉลยทั้งหมดของสมการเชิงเส้นเรียกว่า เชตผลเฉลย หรือบางครั้งเรียกว่า ผลเฉลยทั่วไป ของสมการ
เชิงเส้น
ระบบสมการเชิงเส้น
เชตจำกัดของสมการเชิงเส้นของตัวแปร x 1 , x 2 , ..., x n เรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้น หรือ
ระบบเชิงเส้น และลำดับของจำนวน s 1 , s 2 , ..., s n จะเป็น ผลเฉลย ของระบบสมการเชิงเส้น
ถ้า x 1 = s 1 , x 2 = s 2 , ..., x n = s n เป็นผลเฉลยของสมการทุกสมการในระบบสมการเชิงเส้น
ตัวอย่างเช่น
4x 1 −x 2 +3x 3 = −1
3x 1 +x 2 +9x 3 = −4
เป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีผลเฉลยคือ x 1 = 1, x 2 = 2 และ x 3 = −1 เนื่องจากค่าเหล่านี้
สอดคล้องกับสมการทั้งสอง อย่างไรก็ตาม x 1 = 1, x 2 = 8 และ x 3 = 1 ไม่เป็นผลเฉลย
ของระบบสมการเชิงเส้นข้างต้น เนื่องจากค่าเหล่านี้สอดคล้องกับสมการแรกเพียงสมการเดียว ดังนั้น
ระบบสมการเชิงเส้นบางระบบอาจจะไม่มีผลเฉลย
ถ้าระบบสมการเชิงเส้นใดไม่มีผลเฉลยเราจะเรียกระบบสมการเชิงเส้นนี้ว่า ระบบไม่สอดคล้อง (inconsistent)
แต่ถ้าระบบสมการเชิงเส้นใดมีผลเฉลยอย่างน้อยหนึ่งผลเฉลย แล้วจะเรียกระบบสมการ
นั้นว่า ระบบสอดคล้อง (consistent)
รูปแบบเมทริกซ์ของระบบสมการเชิงเส้น
พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่มี m สมการ และตัวแปรไม่รู้ค่า n ตัวแปร
a 11 x 1 +a 12 x 2 +···+a 1n x n = b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +···+a 2n x n = b 2 (3.1)
.
.
.
.
a m1 x 1 +a m2 x 2 +···+a mn x n = b m
โดยที่ x 1 , x 2 , ..., x n เป็นตัวแปรไม่รู้ค่า และ a และ b ที่มีดัชนีล่างเป็นค่าคงตัวใดๆ
ดัชนีล่างของสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่รู้ค่าจะช่วยบอกตำแหน่งของสัมประสิทธิ์ของระบบสมการ โดย
ที่ดัชนีล่างตัวแรกของสัมประสิทธิ์ a ij จะบ่งชี้สมการที่มีสัมประสิทธิ์นั้น และดัชนีล่างตัวที่สองจะบ่งชี้
ตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์นั้นเป็นตัวคูณ ตัวอย่างเช่น a 23 เป็นสัมประสิทธิ์ที่อยู่ในสมการที่สองและเป็น
ตัวคูณของตัวแปรไม่รู้ค่า x 3

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 32
เนื่องจากเมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ใดๆ จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกที่สมนัยกันของเมทริกซ์ทั้ง
สองมีค่าเท่ากัน ดังนั้นเราสามารถเขียนแทนสมการ m สมการของระบบสมการเชิงเส้นนี้ด้วยสมการ
เมทริกซ์เพียงสมการเดียว
⎡
⎤ ⎡ ⎤
a 11 x 1 +a 12 x 2 +···+a 1n x n b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +···+a 2n x n
⎢
⎥
⎣ . . . ⎦ = b 2
⎢ ⎥
⎣ . ⎦
a m1 x 1 +a m2 x 2 +···+a mn x n b m
และเมทริกซ์ทางซ้ายมือที่มีมิติ m×1 ของสมการนี้ สามารถเขียนในรูปของผลคูณดังนี้
⎡ ⎤⎡
⎤ ⎡ ⎤
a 11 a 12 ··· a 1n x 1 b 1
a 21 a 22 ··· a 2n
x 2
⎢ ⎥⎢
⎥
⎣ . . . ⎦⎣
. ⎦ = b 2 ⎢ ⎥
⎣ . ⎦
a m1 a m2 ··· a mn x m b m
ถ้ากำหนดให้ A, x และ b แทนเมทริกซ์แต่ละเมทริกซ์ตามลำดับ แล้วระบบสมการเชิงเส้น
(3.1) สามารถเขียนแทนด้วยสมการเมทริกซ์
Ax = b
เพียงสมการเดียว และเมทริกซ์ A ในสมการนี้เรียกว่า เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ ของระบบสมการเชิง
เส้น เมทริกซ์แต่งเติม (augmented matrix) ของระบบสมการเชิงเส้น คือเมทริกซ์ที่ได้
จากการนำเมทริกซ์ b มาเขียนรวมกับเมทริกซ์ A โดยเขียนต่อจาก A เป็นหลักสุดท้าย ดังนั้น
เมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้น (3.1) คือ
⎡
⎤
a 11 a 12 ··· a 1n b 1
[ ]
a
A b =
21 a 22 ··· a 2n b 2
⎢
⎥
⎣ . . . . ⎦
a m1 a m2 ··· a mn b m
ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้น
x+2y + z = 3
3x− y −3z = −1
2x+3y + z = 4
คือ
⎡
⎢
⎣
1 2 1 3
3 −1 −3 −1
2 3 1 4
⎤
⎥
⎦
หมายเหตุ ในการสร้างเมทริกซ์แต่งเติม ตัวแปรไม่รู้ค่าของแต่ละสมการจะเขียนในลำดับเดียวกัน และ
ค่าคงตัวต้องอยู่ทางขวามือ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 33
แบบฝึกหัด 3.1
1. จงพิจารณาว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการเชิงเส้นของตัวแปรx 1 , x 2 และ x 3
(a) x 1 +5x 2 − √ 2x 3 = 1 (b) x 1 +3x 2 +x 1 x 3 = 2
(c) x 1 = −7x 2 +3x 3
(d) x −2
1 +x 2 +8x 3 = 5
(e) x 3/5
1 −2x 2 +x 3 = 4 (f) πx 1 − √ 2x 2 + 1 3 x 3 = 7 1/3
2. จงพิจารณาว่าระบบสมการใดต่อไปนี้เป็นระบบสมการเชิงเส้น
(a) x 1 −3x 2 = x 3 −4
x 4 = 1−x 1
x 1 +x 4 +x 3 −2 = 0
(c) 3x− xy = 1
x+2xy −y = 0
(e) 2x 1 −sinx 2 = 3
x 2 = x 1 +x 3
−x 1 +x 2 −3x 3 = 0
(b) 2x− √ y +3z = −1
x+ 2y − z = 2
4x− y = −1
(d) y = 2x−1
y = −x
(f) x 1 + x 2 + x 3 = 1
−2x 2 1 −2x 3 = −1
3x 2 − x 3 = 2
3. จงเขียนระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ในรูปของสมการเมทริกซ์ Ax = b
(a) 3x 1 +2x 2 = 1
2x 1 −3x 2 = 5
(c) 2x 1 + x 2 + x 3 = 4
x 1 − x 2 +2x 3 = 2
3x 1 −2x 2 − x 3 = 0
(b) x 1 + x 2 = 5
2x 1 + x 2 − x 3 = 6
3x 1 −2x 2 +2x 3 = 7
(d) 4x 1 + −3x 3 + x 4 = 1
5x 1 + x 2 −8x 4 = 3
2x 1 −5x 2 +9x 3 − x 4 = 0
3x 2 − x 3 +7x 4 = 2
4. จงเขียนสมการเมทริกซ์ต่อไปนี้ในรูปของระบบสมการเชิงเส้น
⎡ ⎤⎡
⎤ ⎡ ⎤
3 −1 2 x 1 2
⎢ ⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
(a) ⎣ 4 3 7⎦⎣x 2 ⎦ = ⎣−1⎦
−2 1 5 x 3 4
⎡ ⎤⎡
⎤ ⎡ ⎤
3 −2 0 1 w 0
5 0 2 −2
x
(b) ⎢ ⎥⎢
⎥
⎣ 3 1 4 7 ⎦⎣y⎦ = 0
⎢ ⎥
⎣0⎦
−2 5 1 6
5. จงหาเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้
z
0

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 34
(a) 3x 1 −2x 2 = −1
4x 1 +5x 2 = 3
7x 1 +3x 2 = 2
(c) x 1 = 1
x 2 = 2
x 3 = 3
(b) 2x 1 +2x 3 = 1
3x 1 −x 2 +4x 3 = 7
6x 1 +x 2 − x 3 = 0
(d) x 1 +2x 2 − x 4 + x 5 = 1
3x 2 + x 3 − x 5 = 2
x 3 +7x 4 = 1
6. จงหาระบบสมการเชิงเส้นที่สมนัยกับเมทริกซ์แต่งเติมต่อไปนี้
⎡ ⎤
⎡
2 0 0
3 0 −2 5
⎢ ⎥
⎢
(a) ⎣ 3 −4 0 ⎦ (b) ⎣ 7 1 4 −3
0 1 1
0 −2 1 7
⎡
[ ]
1 0 0 0 7
7 2 1 −3 5
0 1 0 0 −2
(c)
(d) ⎢
1 2 4 0 1 ⎣ 0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
คำตอบแบบฝึกหัด 3.1
1. (a), (c), (f) 2. (a), (d)
⎡ ⎤⎡
⎤ ⎡ ⎤
[ ][ ] [ ] 1 1 0 x 1 5
3 2 x 1 1 ⎢ ⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
3. (a) = (b) ⎣2 1 −1⎦⎣x 2 ⎦ = ⎣6⎦
2 −3 x 2 5
3 −2 2 x 3 7
⎡ ⎤⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤⎡
⎤ ⎡ ⎤ 4 0 −3 1 x 1 1
2 1 1 x 1 4
⎢ ⎥⎢
⎥ ⎢ ⎥
5 1 0 −8
x 2
(c) ⎣1 −1 2 ⎦⎣x 2 ⎦ = ⎣2⎦
(d) ⎢ ⎥⎢
⎥
⎣2 −5 9 −1⎦⎣x 3 ⎦ = 3
⎢ ⎥
⎣0⎦
3 −2 −1 x 3 0
0 3 −1 7 x 4 2
4. (a) 3x 1 − x 2 +2x 3 = 2
4x 1 +3x 2 +7x 3 = −1
−2x 1 + x 2 +5x 3 = 4
(b) 3w −2x + z = 0
5w +2y −2z = 0
3w+ x+4y +7z = 0
−2w +5x+ y +6z = 0
⎡ ⎤
3 −2 −1
⎢ ⎥
5. (a) ⎣ 4 5 3 ⎦ (b)
7 3 2
⎡
⎢
⎣
2 0 2 1
3 −1 4 7
6 1 −1 0
⎤
⎥
⎦
(c)
⎡
⎢
⎣
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
⎤
⎥
⎦

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 35
(d)
⎡
⎢
⎣
1 2 0 −1 1 1
0 3 1 0 −1 2
0 0 1 7 0 1
⎤
⎥
⎦
6. (a) 2x 1 = 0
3x 1 −4x 2 = 0
x 2 = 1
(b) 3x 1 −2x 3 = 5
7x 1 +x 2 +4x 3 = −3
−2x 2 +x 3 = 7
(c) 7x 1 +2x 2 +x 3 −3x 4 = 5
x 1 +2x 2 +4x 3 = 1
(d) x 1 = 7
x 2
= −2
x 3 = 3
x 4 = 4
3.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น
3.2.1 วิธีการกำจัดเกาส์เซียน (Gaussian Elimination)
เป็นวิธีการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น Ax = b โดยใช้การดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐานลด
รูปเมทริกซ์แต่งเติม [A|b] ให้เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถว จากนั้นหาผลเฉลยของระบบสมการ
ที่สมนัยกัน โดยใช้วิธีการที่เรียกว่า การแทนค่าย้อนหลัง (back-substitution) ดังตัวอย่าง
ต่อไปนี้
ตัวอย่าง 3.2 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้วิธีการกำจัดเกาส์เซียน
x 1 − x 2 + x 3 = 0
−x 1 + x 2 − x 3 = 0
10x 2 +25x 3 = 90
20x 1 +10x 2 = 80
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 3.3 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้วิธีการกำจัดเกาส์เซียน
x 1 +x 2 −2x 3 +4x 4 = 5
2x 1 +2x 2 −3x 3 +x 4 = 3
3x 1 +3x 2 −4x 3 −2x 4 = 1

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 36
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 3.4 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้วิธีการกำจัดเกาส์เซียน
3x 1 +2x 2 + x 3 = 3
2x 1 + x 2 + x 3 = 0
6x 1 +2x 2 +4x 3 = 6
วิธีทำ .........
3.2.2 วิธีการกำจัดเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan Elimination)
เป็นวิธีการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น Ax = b โดยใช้การดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐาน
ลดรูปเมทริกซ์แต่งเติม [A|b] ให้เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวลดรูป จากนั้นหาผลเฉลยของระบบ
สมการที่สมนัยกัน ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง 3.5 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ โดยใช้วิธีการกำจัดเกาส์-จอร์แดน
x 1 +2x 2 −3x 3 +x 4 = 1
−x 1 − x 2 +4x 3 −x 4 = 6
−2x 1 −4x 2 +7x 3 −x 4 = 1
วิธีทำ .........
3.2.3 หลักเกณฑ์คราเมอร์
ทฤษฎีบทต่อไปจะให้สูตรสำหรับการหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นของ n สมการ n ตัวแปร
ไม่รู้ค่า ซึ่งสูตรนี้รู้จักกันในนาม หลักเกณฑ์คราเมอร์ (Cramer’s rule) 1
ทฤษฎีบท 3.1 (หลักเกณฑ์คราเมอร์) ถ้า Ax = b เป็นระบบสมการเชิงเส้นของ n สมการ n
ตัวแปร โดยที่ det(A) ≠ 0 แล้วระบบสมการเชิงเส้นจะมีผลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียว และผลเฉลยคือ
x 1 = det(A 1)
det(A) , x 2 = det(A 2)
det(A) ,..., x n = det(A n)
det(A)
เมื่อ A j เป็นเมทริกซ์ที่ได้มาจากการแทนสมาชิกทุกตัวของหลักที่ j ของเมทริกซ์ A ด้วยสมาชิก
ทุกตัวของเมทริกซ์
⎡ ⎤
b 1
b
b =
2
⎢ ⎥
⎣.
⎦
b n
1 Gabriel Cramer (1704-1752) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 37
ตัวอย่าง 3.6 จงใช้หลักเกณฑ์คราเมอร์หาผลเฉลยของระบบสมการ
x 1 +2x 2 + x 3 = 5
2x 1 +2x 2 + x 3 = 6
x 1 +2x 2 +3x 3 = 9
วิธีทำ .........
ทฤษฎีบท 3.2 กำหนดให้ Ax = b เป็นระบบสมการเชิงเส้นของ m สมการ n ตัวแปร ถ้า
p = rank(A) และ q = rank([A|b]) แล้วระบบสมการเชิงเส้น Ax = b
(a) ไม่มีผลเฉลย ถ้า p < q
(b) มีผลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียว ถ้า p = q = n
(c) มีผลเฉลยมากมายไม่จำกัด ถ้า p = q และ p < n
แบบฝึกหัด 3.2
1. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ โดยใช้วิธีการกำจัดเกาส์เซียน
(a) x 1 + x 2 +2x 3 = 8
−x 1 −2x 2 +3x 3 = 1
3x 1 −7x 2 +4x 3 = 10
(c) 2x 1 −3x 2 = −2
2x 1 + x 2 = 1
3x 1 +2x 2 = 1
(e) 4x 1 −8x 2 = 12
3x 1 −6x 2 = 9
−2x 1 +4x 2 = −6
(b) 2x 1 +2x 2 +2x 3 = 0
−2x 1 +5x 2 +2x 3 = 1
8x 1 + x 2 +4x 3 = −1
(d) −2b+3c = 1
3a+6b−3c = −2
6a+6b+3c = 5
(f) x 1 +3x 2 + x 3 + x 4 = 3
2x 1 −2x 2 + x 3 +2x 4 = 8
3x 1 + x 2 +2x 3 − x 4 = −1
(h)
x− y +2z − w = −1
(h)
3x 1 +2x 2 − x 3 = −15
2x+ y −2z −2w = −2
5x 1 +3x 2 +2x 3 = 0
−x+2y −4z + w = 1
3x 1 + x 2 +3x 3 = 11
3x
−3w = −3
−6x 1 −4x 2 +2x 3 = 30
(i) x 1 + x 2 +x 3 + x 4 = 0
2x 1 + x 2 −x 3 +3x 4 = 0
x 1 −2x 2 +x 3 + x 4 = 0
(j) 10y −4z + w = 1
x+ 4y − z + w = 2
3x+2y + z +2w = 5
−2x−8y +2z −2w = −4
x−6y +3z = 1
2. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นในข้อ 1 โดยใช้วิธีการกำจัดเกาส์-จอร์แดน

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 38
3. พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์แต่งเติมอยู่ในรูป
⎡ ⎤
1 2 1 1
⎢ ⎥
⎣ −1 4 3 2 ⎦
2 −2 α 3
จงหาค่าของ α ที่ทำให้ระบบสมการมีผลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียว
4. พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์แต่งเติมอยู่ในรูป
⎡ ⎤
1 2 1 0
⎢ ⎥
⎣ 2 5 3 0 ⎦
−1 1 β 0
(a) ระบบสมการนี้มีโอกาสที่จะเป็นระบบไม่สอดคล้องหรือไม่ จงอธิบาย
(b) จงหาค่าของ β ที่ทำให้ระบบสมการมีผลเฉลยมากมายไม่จำกัด
5. พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์แต่งเติมอยู่ในรูป
⎡ ⎤
1 1 3 2
⎢ ⎥
⎣ 1 2 4 3 ⎦
1 3 α β
(a) จงหาค่าของ α และ β ที่ทำให้ระบบสมการมีผลเฉลยมากมายไม่จำกัด
(b) จงหาค่าของ α และ β ที่ทำให้ระบบสมการนี้เป็นระบบไม่สอดคล้อง
6. จงหาผลเฉลย x 1 , x 2 , และ x 3 ของระบบสมการ
เมื่อ λ = 1 และ λ = 2
2x 1 − x 2 = λx 1
2x 1 − x 2 +x 3 = λx 2
−2x 1 +2x 2 +x 3 = λx 3
7. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้โดยใช้หลักเกณฑ์คราเมอร์ (ถ้าหาได้)
(a) x 1 +2x 2 = 3
3x 1 − x 2 = 1
(c) 2x 1 + x 2 −3x 3 = 0
4x 1 +5x 2 + x 3 = 8
−2x 1 − x 2 +4x 3 = 2
(e) 3x 1 − x 2 + x 3 = 4
−x 1 +7x 2 −2x 3 = 1
2x 1 +6x 2 − x 3 = 5
(b) 2x 1 +3x 2 = 2
3x 1 +2x 2 = 5
(d) x 1 +3x 2 +x 3 = 1
2x 1 + x 2 +x 3 = 5
−2x 1 +2x 2 −x 3 = −8
(f) x 1 + x 2 = 0
x 2 + x 3 −2x 4 = 1
x 1 +2x 3 + x 4 = 0
x 1 + x 2 + x 4 = 0

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 39
8. จงใช้หลักเกณฑ์คราเมอร์หาผลเฉลย x 2 ของระบบสมการ
x 1 + x 2 −3x 3 + x 4 = 1
2x 1 + x 2 +2x 4 = 0
x 2 −6x 3 − x 4 = 5
3x 1 + x 2 + x 4 = 1
9. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงเส้น
4x+ y + z + w = 6
3x+7y − z + w = 1
7x+3y −5z +8w = −3
x+ y + z +2w = 3
โดยใช้ (a) หลักเกณฑ์คราเมอร์
(b) วิธีการกำจัดเกาส์-จอร์แดน
คำตอบแบบฝึกหัด 3.2
1. (a) x 1 = 3, x 2 = 1, x 3 = 2 (b) x 1 = − 1 7 − 3 7 t, x 2 = 1 7 − 4 7 t, x 3 = t
(c) ระบบไม่สอดคล้อง (d) ระบบไม่สอดคล้อง (e) x 1 = 3+2t, x 2 = t
(f) x 1 = 3 4 − 5 8 t, x 2 = − 1 4 − 1 8 t, x 3 = t, x 4 = 3
(g) x = t−1, y = 2s, z = s, w = t (h) x 1 = −4, x 2 = 2, x 3 = 7
(i) x 1 = − 4 3 t, x 2 = 0, x 3 = 1 3 t, x 4 = t
(j) x = 14 − 6 t, y = − 7 + 3 t− 1 s, z = −2+t, w = t
5 5 10 10 10
3. α ≠ −2 4. β = 2 5. (a) α = 5, β = 4, (b) α = 5, β ≠ 4
6. ถ้า λ = 1 แล้ว x 1 = x 2 = s, x 3 = 0
ถ้า λ = 2 แล้ว x 1 = − 1 2 s, x 2 = 0, x 3 = s
7. (a) x 1 = 5, x 7 2 = 8 7
(b) x 1 = 11, x 5 2 = − 4 5
(c) x 1 = 4, x 2 = −2, x 3 = 2 (d) x 1 = 2, x 2 = −1, x 3 = 3
(e) ใช้หลักเกณฑ์คราเมอร์ไม่ได้ (f) x 1 = − 2, x 3 2 = 2, x 3 3 = 1, x 3 4 = 0
8. x 2 = 10 9. x = 1, y = 0, z = 2, w = 0

•
•
•
บทที่ 4
ลิมิตและความต่อเนื่อง
การพัฒนาของแคลคูลัสในช่วงเวลาที่ผ่านมา ทำให้นักวิทยาศาสตร์ได้เข้าใจความหมายที่แท้จริงของอัตรา
การเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง เช่น ความเร็ว และความเร่ง เมื่อเกิดความเข้าใจแล้ว วิธีการ
คำนวณที่มีประสิทธิ์ภาพก็เกิดขึ้นตามมา และรากฐานที่สำคัญของอัตราการเปลี่ยนแปลงคือ ลิมิต
ในบทนี้เราจะกล่าวถึงบทนิยามของลิมิต สัญลักษณ์ที่ใช้แทนลิมิต ทฤษฎีบท และวิธีการต่างๆ
สำหรับการหาค่าลิมิต และจะจบบทนี้ด้วยการใช้ลิมิตในการศึกษาความต่อเนื่องของเส้นโค้ง
4.1 ลิมิตของฟังก์ชัน
ความหมายพื้นฐานของลิมิตคือ การใช้ลิมิตเพื่ออธิบายลักษณะของฟังก์ชันเมื่อตัวแปรอิสระของ
ฟังก์ชันมีค่าเข้าใกล้ค่าที่กำหนดให้ ตัวอย่างเช่น หากเราพิจารณาลักษณะของฟังก์ชัน
f(x) = x 2 −x+1
เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 จากกราฟและตารางข้างล่างนี้ จะเห็นได้ว่าค่าของ f(x) มีค่าเข้าใกล้ 3
เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทั้งทางซ้ายและทางขวา เราสามารถอธิบายลักษณะดังกล่าวโดยกล่าวว่าลิมิต
ของ x 2 −x+1 เท่ากับ 3 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทั้งสองทาง และเขียนแทนด้วย
f(x)
3
f(x)
y
x
• • •
2
x
y = x 2 −x+1
x
lim
x→3 (x2 −x+1) = 3
x f(x) x f(x)
1.0 1.000000 3 7.000000
1.5 1.750000 2.5 4.750000
1.9 2.710000 2.1 3.310000
1.95 2.852500 2.05 3.152500
1.99 2.970100 2.01 3.030100
1.995 2.985025 2.005 3.015025
1.999 2.997001 2.001 3.003001
40

•
•
•
•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 41
บทนิยาม 4.1 ถ้าค่าของ f(x) สามารถทำให้มีค่าเข้าใกล้ L โดยการให้ x มีค่าเข้าใกล้ a แล้ว
เราสามารถเขียนแทนด้วย
limf(x) = L (4.1)
x→a
และกล่าวได้ว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a มีค่าเท่ากับ L นอกจากนี้สมการ (4.1)
สามารถเขียนแทนด้วย
ตัวอย่าง 4.1 จงพิจารณาหาค่า lim
x→1
x−1
√ x−1
f(x) → L เมื่อ x → a (4.2)
วิธีทำ ถึงแม้ว่าฟังก์ชัน f(x) = x−1 √ x−1
หาค่าไม่ได้ที่ x = 1 แต่จากกราฟและตารางแสดงค่าของ
ฟังก์ชันต่อไปนี้
3
2
1
y
x f(x) x f(x)
y = √ x−1 0.9 1.9 1.1 2.1
x−1 0.99 1.99 1.01 2.01
• •
x 1 x 2 3
0.999 1.999 1.001 2.001
0.9999 1.9999 1.0001 2.0001
0.99999 1.99999 1.00001 2.00001
x
0.999999 1.999999 1.000001 2.000001
เห็นได้ว่าเมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 1 ทั้งทางซ้ายและทางขวา ค่าของ f(x) มีค่าเข้าใกล้ 2 ดังนั้น
lim
x→1
x−1
√ x−1
= 2
✠
ตัวอย่าง 4.2 จงพิจารณาหาค่า lim
x→0
sinx
x
วิธีทำ ในที่นี้ฟังก์ชัน f(x) = sinx
x
ฟังก์ชันต่อไปนี้
หาค่าไม่ได้ที่จุด x = 0 แต่จากกราฟและตารางแสดงค่าของ
1
f(x)
y
• •
• •
x 0 x
y = sinx
x
x
x f(x)
±0.1 0.998334
±0.01 0.999983
±0.001 0.99999983
±0.0001 0.9999999983
±0.00001 0.999999999983
จะได้ว่า
sinx
lim
x→0 x = 1
✠

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 42
ลิมิตด้านเดียว
ลิมิตในสมการ (4.1) เรียกว่า ลิมิตสองด้าน (two-sided limit) เนื่องจาก f(x) มีค่าเข้า
ใกล้ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทั้งทางซ้ายและทางขวา อย่างไรก็ตามมีฟังก์ชันบางฟังก์ชันที่ค่า
ของฟังก์ชันมีค่าแตกต่างกัน เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้ายและทางขวา ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน
{
f(x) = x
|x| = 1, x > 0
−1, x < 0
ซึ่งมีกราฟดังนี้
y
1
−1
y = x
|x|
x
จากกราฟจะเห็นได้ว่าเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางขวา ค่าของ f(x) เข้าใกล้ค่าลิมิต 1 ในทำนอง
เดียวกันเมื่อ x เข้าใกล้ 0 ทางซ้าย ค่าของ f(x) เข้าใกล้ค่าลิมิต −1 และเราสามารถเขียน
แทนลิมิตเหล่านี้ด้วยสัญลักษณ์ดังนี้
x x
lim = 1 และ lim
x→0 + |x| x→0 − |x| = −1
บทนิยาม 4.2 ถ้าค่าของ f(x) สามารถทำให้มีค่าเข้าใกล้ L โดยการให้ x มีค่าเข้าใกล้ a
(แต่มากกว่า a) แล้วเราจะเขียนแทนด้วย
lim
x→a +f(x)
= L (4.3)
และอ่านว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางขวา มีค่าเท่ากับ L หรือ f(x) เข้า
ใกล้ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางขวา
ถ้าค่าของ f(x) สามารถทำให้มีค่าเข้าใกล้ L โดยการให้ x มีค่าเข้าใกล้ a (แต่น้อยกว่า
a) แล้วจะเขียนแทนด้วย
lim
x→a−f(x) = L (4.4)
และอ่านว่า ลิมิตของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่าเท่ากับ L หรือ f(x) เข้า
ใกล้ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้าย
ความสัมพันธ์ระหว่างลิมิตด้านเดียวและลิมิตสองด้าน
โดยทั่วไปไม่มีการรับประกันว่าฟังก์ชัน f จะมีลิมิตสองด้านที่จุด a ที่กำหนดให้ นั่นคือ ค่าของ
f(x) อาจจะไม่เข้าใกล้จำนวนจริง L เพียงค่าเดียว เมื่อ x → a ในกรณีนี้เราจะกล่าวว่า
limf(x) หาค่าไม่ได้
x→a

•
•
•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 43
ในทำนองเดียวกัน ค่าของ f(x) อาจจะไม่เข้าใกล้จำนวนจริง L เพียงค่าเดียว เมื่อ x → a +
หรือเมื่อ x → a − ในกรณีนี้กล่าวได้ว่า
lim
x→a +f(x)
หาค่าไม่ได้
หรือ
lim
x→a−f(x) หาค่าไม่ได้
การที่ลิมิตสองด้านของฟังก์ชัน f(x) จะหาค่าได้ที่จุด a ค่าของ f(x) จะต้องเข้าใกล้จำนวนจริง
L บางจำนวน เมื่อ x → a และค่าดังกล่าวจะต้องมีค่าเท่ากัน ไม่ว่า x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้าย
หรือทางขวา
บทนิยาม 4.3 ลิมิตสองด้านของฟังก์ชัน f(x) จะหาค่าได้ที่จุด a ก็ต่อเมื่อ ลิมิตด้านเดียวทั้งสอง
หาค่าได้ที่จุด a และมีค่าเท่ากัน นั่นคือ
lim
x→a
f(x) = L ก็ต่อเมื่อ lim
x→a−f(x) = L = lim
x→a +f(x)
ตัวอย่าง 4.3 จงอธิบายว่าทำไม
lim
x→0
x
|x|
หาค่าไม่ได้
วิธีทำ .........
ลิมิตอนันต์
บางครั้งลิมิตด้านเดียวหรือลิมิตสองด้านหาค่าไม่ได้ เพราะว่าค่าของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงโดยไม่มี
ขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชัน f(x) = 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากกราฟและตาราง
แสดงค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้
y
y
y = 1 x
y = 1 x
x
1/x
x
1/x
x
x

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 44
x 1/x x 1/x
−1 −1 1 1
−0.1 −10 0.1 10
−0.01 −100 0.01 100
−0.001 −1000 0.001 1000
−0.0001 −10,000 0.0001 10,000
จะเห็นได้ว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 ทางซ้าย f(x) = 1/x มีค่าเป็นลบ และลดลงโดยไม่มีขีดจำกัด
และเมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 ทางขวา f(x) = 1/x มีค่าเป็นบวก และเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด
นั่นคือ
1
lim
x→0 − x
1
= −∞ และ lim
x→0 + x = +∞
บทนิยาม 4.4 นิพจน์
1
lim
x→a − x
1
= +∞ และ lim
x→a + x = +∞
หมายถึง f(x) มีค่าเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้ายและทางขวาตาม
ลำดับ และถ้าสมการทั้งสองเป็นจริง แล้วจะเขียนแทนด้วย
ในทำนองเดียวกัน นิพจน์
1
lim
x→a − x
1
lim
x→a x = +∞
1
= −∞ และ lim
x→a + x = −∞
หมายถึง f(x) มีค่าลดลงโดยไม่มีขีดจำกัด เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้ายและทางขวาตามลำดับ
และถ้าสมการทั้งสองเป็นจริง แล้วจะเขียนแทนด้วย
1
lim
x→a x = −∞
ตัวอย่าง 4.4 กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีกราฟดังรูป
y
3
2
1
••
1 2 3 4 5 6 7
x
จากกราฟจงหาค่าลิมิตต่อไปนี้

•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 45
(a) lim
x→0 −f(x)
(c) lim
x→3 −f(x)
(e) lim
x→5 −f(x)
(b) lim
x→0 +f(x)
(d) lim
x→3 +f(x)
(f) lim
x→5 +f(x)
วิธีทำ .........
1.
แบบฝึกหัด 4.1
y
y = f(x)
1
x
2.
จากรูปที่กำหนดให้ จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ จงให้เหตุผลประกอบ
(a) lim
x→0 −f(x)
(c) lim
x→0
f(x)
(e) lim
x→2 +f(x)
(g) lim
x→−3 f(x)
4y
3
2
1
(b) lim
x→0 +f(x)
(d) lim
x→2 −f(x)
(f) lim f(x)
x→2
0
-4 -3 -2 -1
-1
0 1 2 3 4 5
-2
-3
-4
y = f(x)
x
จากรูปที่กำหนดให้ จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้ แต่ถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ จงให้เหตุผล
ประกอบ
(a) lim
x→1
f(x)
(b) lim
x→3 −f(x)
(c) lim
x→3 +f(x)
(d) lim
x→3
f(x) (e) f(3) (f) lim
x→−2 −f(x)
(g) lim
x→−2 +f(x)
(h) lim f(x)
x→−2
(i) f(−2)

•
•
•
•
•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 46
3.
4
3
2
1
y
y = f(x)
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
x
จากรูปที่กำหนดให้ จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้ แต่ถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ จงให้เหตุผล
ประกอบ
(a) lim f(x) (b) f(−3) (c) f(−1)
x→−3
(d) lim f(x) (e) f(1) (f) lim
x→−1 x→1 −f(x)
(g) lim
x→1 +f(x)
(h) lim f(x)
x→1
4. จงใช้กราฟหรือตารางแสดงค่าของฟังก์ชัน เพื่อหาค่าลิมิตต่อไปนี้
x−1
(a) lim
(b) lim
x→1 x 3 −1
x→−1
(c) lim
x→−1
x 2 +x
x 2 −x−2
(e) lim
x→0
x 2 +x
sinx
(g) lim
x→0
tanx
sinx
x 2 −1
x+1
(1/ √ x)−(1/5)
(d) lim
x→25 x−25
1−cosx
(f) lim
x→0 x 2
5. จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้
4
(a) lim
x→6 + x−6
1−2x
(c) lim
x→1 x 2 −1
(e) lim
x→2 −
−x
√
4−x
2
x−1
(g) lim
x→−2 + x 2 (x+2)
(b) lim
x→2
1
(x−2) 8
(d) lim
x→2
4−x
(x−2) 2
(f) lim
x→−1 (x2 −2x−3) −2/3
(h)
lim
x→(−π/2) −secx
6. จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเป็นเท็จ
(a) ถ้า f(a) = L แล้ว lim
x→a
f(x) = L
(b) ถ้า limf(x) หาค่าได้ แล้ว lim
x→a −f(x)
และ lim
+f(x)
หาค่าได้
x→a
x→a
(c) ถ้า lim
x→a−f(x) และ lim
x→a +f(x)
หาค่าได้ แล้ว limf(x) หาค่าได้
x→a
(d) ถ้า lim
x→a +f(x)
= +∞ แล้ว f(a) หาค่าไม่ได้
7. จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน f ที่มีสมบัติต่อไปนี้ (อาจมีหลายคำตอบ)

•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 47
(a) f(−1) = 2, f(0) = −1, f(1) = 3 และ lim
x→1
f(x) หาค่าไมได้
(b) f(0) = 1,
lim
x→0−f(x) = 2 และ lim
x→0 +f(x) = 3
(c) f(3) = 3, f(−2) = 1, lim
x→3 +f(x)
= 4, lim
lim f(x) = 2
x→−2
คำตอบแบบฝึกหัด 4.1
x→3 −f(x) = 2
และ
1. (a) −2 (b) 2 (c) หาค่าไม่ได้ (d) −1 (e) 3 (f) หาค่าไม่ได้
(g) 2
2. (a) 3 (b) 2 (c) −2 (d) หาค่าไม่ได้ (e) 1 (f) −1 (g) −1
(h) −1
(i) −3
3. (a) 2 (b) 1 (c) 2 (d) 5 (e) 2 (f) 2 (g) 1
2
(h) หาค่าไม่ได้
4. (a) 1 (b) −2 (c) 1 (d) −0.004 (e) 1 (f) 1 (g) 1
3 3 2
5. (a) +∞ (b) +∞ (c) −∞ (d) +∞ (e) −∞ (f) +∞
(g) −∞
(h) −∞
6. (a) เป็นเเท็จ (b) เป็นจริง (c) เป็นเเท็จ (d) เป็นเเท็จ
7. (a)
y
3
1
x
(b)
y
3
1
x

•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 48
(c)
y
3
1
x
4.2 การคำนวณค่าลิมิต
ขั้นตอนวิธีในการหาค่าลิมิตในที่นี้ประกอบด้วย 2 ขั้นตอนดังนี้
• เริ่มด้วยการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันอย่างง่าย
• จากนั้นใช้ทฤษฎีบทต่างๆ และลิมิตของฟังก์ชันอย่างง่าย หาค่าลิมิตของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
เราจะเริ่มด้วยการกล่าวถึงทฤษฎีบทพื้นฐานต่อไปนี้
ทฤษฎีบท 4.1 กำหนดให้ a และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ
(a)lim
x→a
k = k
(b)lim
x→a
x = a
1
(c) lim
x→0 − x = −∞
1
(d) lim
x→0 + x = +∞
ตัวอย่าง 4.5
lim 7 =
x→−15
lim 5 =
x→π
lim x =
x→3
lim x =
x→−2
ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นเครื่องมือเบื้องต้นที่ใช้ในการหาค่าลิมิต
ทฤษฎีบท 4.2 กำหนดให้ a และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ และสมมุติให้
lim
x→a f(x) = L 1
และ lim
x→a
g(x) = L 2
แล้วจะได้ว่า
(a) lim
x→a
[
cf(x)
]
= clim
x→a
f(x) = cL 1
(b) lim
x→a
[
f(x)+g(x)
]
= lim
x→a
f(x)+ lim
x→a
g(x) = L 1 +L 2
(c) lim
x→a
[
f(x)−g(x)
]
= lim
x→a
f(x)− lim
x→a
g(x) = L 1 −L 2
(d) lim
x→a
[
f(x)·g(x)
]
= lim
x→a
f(x)· lim
x→a
g(x) = L 1 L 2

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 49
f(x)
limf(x)
(e) lim
x→a g(x) = x→a
lim g(x) = L 1
ถ้า L 2 ≠ 0
L 2
x→a
(f) lim
x→a
n √ f(x) = n √
lim
x→a
f(x) = n√ L 1 โดยที่ L 1 > 0 ถ้า n เป็นจำนวนคู่
นอกจากนี้กฎแต่ละข้อข้างต้นเป็นจริงสำหรับลิมิตด้านเดียวเมื่อ x → a − หรือ x → a +
ตัวอย่าง 4.6
lim[f(x)+2g(x)−h(x)] = lim f(x)+2lim g(x)− lim h(x)
x→a x→a x→a x→a
( )( )( )
lim [f(x)g(x)h(x)] = lim f(x) lim g(x) lim h(x)
x→a x→a x→a x→a
lim
x→a [f(x)]3 =
lim
x→a [f(x)]n =
lim
x→a xn =
( ) 3
lim f(x)
x→a
( ) n
lim f(x)
x→a
(
lim
x→a x ) n
= a
n
✠
ลิมิตของฟังก์ชันพหุนามและฟังก์ชันตรรกยะเมื่อ x → a
ตัวอย่าง 4.7 จงหาค่า lim
x→4
(5x 2 +3x−2)
วิธีทำ .........
จากตัวอย่าง 4.7 จะสังเกตได้ว่า ลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม p(x) = 5x 2 + 3x − 2 มีค่าเท่า
กับ p(4) สิ่งที่เกิดขึ้นนี้มิใช่ความบังเอิญ ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะกล่าวโดยทั่วไปว่า ลิมิตของฟังก์ชัน
พหุนาม p(x) เมื่อ x → a มีค่าเท่ากับค่าของฟังก์ชันพหุนามที่ a
ทฤษฎีบท 4.3 สำหรับฟังก์ชันพหุนาม
p(x) = c 0 +c 1 x+···+c n x n
และจำนวนจริง a ใดๆ
lim p(x) = c 0 +c 1 a+···+c n a n = p(a)
x→a
ตัวอย่าง 4.8 จงหาค่า lim
x→3
(3x 2 −2x−21) 2013
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 4.9 จงหาค่า lim
x→2
x 3 +2x−5
x 2 −3
วิธีทำ .........
วิธีการที่ใช้ในการหาค่าลิมิตในตัวอย่าง 4.9 ไม่สามารถใช้ได้กับฟังก์ชันตรรกยะ ในกรณีที่ลิมิต
ของตัวส่วนมีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งมีกรณีที่ต้องพิจารณา 2 กรณี ดังนี้

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 50
◮ ลิมิตของตัวส่วนมีค่าเป็นศูนย์ แต่ลิมิตของตัวเศษไม่เท่ากับศูนย์
◮ ลิมิตของตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเป็นศูนย์
กรณีที่ลิมิตของตัวส่วนมีค่าเป็นศูนย์ แต่ลิมิตของตัวเศษไม่เท่ากับศูนย์ เราสามารถแสดงได้ว่าลิมิ
ตของฟังก์ชันตรรกยะหาค่าไม่ได้ โดยที่เกิดกรณีใดกรณีหนึ่งต่อไปนี้
• ลิมิตเป็น −∞ ทางด้านหนึ่ง และ +∞ อีกด้านหนึ่ง
• ลิมิตเป็น +∞
• ลิมิตเป็น −∞
ตัวอย่าง 4.10
3−x
lim
x→5 + (x−5)(x+3) =
3−x
lim
x→5 − (x−5)(x+3) =
3−x
lim
x→5 (x−5)(x+3) =
สำหรับกรณีที่ฟังก์ชันตรรกยะ p(x)/q(x) มีลิมิตของตัวเศษและตัวส่วนเป็นศูนย์ นั่นคือ p(x) =
0 และ q(x) = 0 ตัวเศษและตัวส่วนของฟังก์ชันตรรกยะจะมีตัวประกอบร่วมอย่างน้อย 1 ตัวประกอบ
ในกรณีนี้ลิมิตของ p(x)/q(x) เมื่อ x → a สามารถหาค่าได้ โดยการตัดตัวประกอบร่วมออก และ
หาค่าลิมิตของฟังก์ชันที่เหลือ
ตัวอย่าง 4.11 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้
x 2 −14x−51
(a) lim
x→−3 x 2 −4x−21
x 2 −3x−10
(c) lim
x→5 x 2 −10x+25
วิธีทำ .........
(b) lim
x→1
x 4 +2x 2 −3
x 2 +2x−3
เศษส่วน f(x)/g(x) ที่ลิมิตของตัวเศษและตัวส่วนเท่ากับศูนย์เมื่อ x → a เรียกว่า รูปแบบ
ยังไม่กำหนด 0/0 (indeterminate form of type 0/0) ลิมิตของฟังก์ชันในรูปแบบนี้
บางครั้งสามารถหาค่าลิมิตได้ โดยใช้วิธีการเดียวกับตัวอย่าง 4.11(c) แต่บางครั้งวิธีการในตัวอย่าง 4.11(c)
ไม่สามารถนำมาใช้ได้ ต้องอาศัยวิธีอื่น ซึ่งจะกล่าวต่อไปในหัวข้อ4.4
ทฤษฎีบทต่อไป เป็นข้อสรุปของลิมิตของฟังก์ชันตรรกยะ
ทฤษฎีบท 4.4 กำหนดให้
f(x) = p(x)
q(x)
เป็นฟังก์ชันตรรกยะ และให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. ถ้า q(a) ≠ 0 แล้ว lim
x→a
f(x) = f(a)
2. ถ้า q(a) = 0 แต่ p(a) ≠ 0 แล้ว lim
x→a
f(x) หาค่าไม่ได้

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 51
ลิมิตที่เกี่ยวข้องกับราก
x 2 −1
ตัวอย่าง 4.12 จงหาค่า lim
x→−1 1− √ 2+x
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 4.13 จงหาค่า lim
x→2
2− 3√ x+6
x−2
วิธีทำ .........
ลิมิตของฟังก์ชันที่นิยามเป็นช่วง
บางครั้งเราอาจพิจารณาฟังก์ชันที่มีนิพจน์ที่แตกต่างกันบนช่วงที่ต่างกัน ซึ่งฟังก์ชันในลักษณะนี้เรียก
ว่า ฟังก์ชันที่นิยามเป็นช่วง (piecewise-defined functions) การหาลิมิตของฟังก์ชันที่
นิยามเป็นช่วงนั้น จะใช้ลิมิตสองด้านในการหาลิมิตที่จุดแบ่งช่วง หรือจุดที่มีการเปลี่ยนนิพจน์
ตัวอย่าง 4.14 กำหนดให้
⎧
⎪⎨
f(x) =
⎪⎩
x 2 −5x+6
|x−2|
2x−1
x+1
ถ้า 0 ≤ x ≤ 2
ถ้า x > 2
จงหา (a) lim
x→2
f(x) และ (b) lim
x→1
f(x)
วิธีทำ .........
1. กำหนดให้
แบบฝึกหัด 4.2
limf(x) = −3, limg(x) = 0, และ lim h(x) = 8
x→a x→a x→a
จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้ และถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ จงให้เหตุผลประกอบ
[ ]
[ ] 2
(a) lim f(x)+h(x) (b) lim f(x)
x→a x→a
(c) lim
√ 3
1
h(x) (d) lim
x→a x→a f(x)
(e) lim
x→a
f(x)
h(x)
(g) lim
x→a
f(x)
g(x)
g(x)
(f) lim
x→a f(x)
(h) lim
x→a
2f(x)
h(x)−f(x)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 52
2. จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้
(a) lim
x→0
(x 2 −3x+1)
(c) lim
x→2
x−5
x 2 +4
(e) lim
x→1
√
x2 +2x+4
(g) lim
x→−3
x 2 −x−12
x+3
x 2 +x−2
(i) lim
x→1 x 2 −3x+2
(1+h) 4 −1
(k) lim
h→0 h
t−1
(m) lim √
t→1 t−1
t 2 +t−6
(o) lim
t→2 t 2 −4
x 4 −16
(q) lim
x→2 x−2
(s) lim
x→1
[ 1
x−1 − 2
x 2 −1
(3+h) −1 −3 −1
(u) lim
h→0 h
√ x−x
(w) lim
x→1 1− √ x
(y) lim
x→0
√ 3+x−
√
3
x
3. จงหาค่า lim
x→2
f(x) โดยที่ f(x) =
4. จงหาค่า lim
x→2
f(x) โดยที่ f(x) =
5. จงหาค่า lim
x→0
f(x) โดยที่ f(x) =
]
{
{
{
(b) lim(x 3 +2)(x 2 −5x)
x→3
(d) lim
x→1
( x 4 +x 2 −6
x 4 +2x+3
(f) lim
x→4 − √
16−x
2
(h) lim
x→−2
x+2
x 2 −x−6
(j) lim
x→1
x 3 −1
x 2 −1
) 2
(2+h) 3 −8
(l) lim
h→0 h
9−t
(n) lim
t→9 3− √ t
√ √
2−t− 2
(p) lim
t→0 t
x 2 −81
(r) lim √
x→9 x−3
[
1
(t) lim
t→0 t √ 1+t − 1 ]
t
x
(v) lim
− 1 2
x−2
x
(x) lim √
x→0 1+3x−1
x→2
1
(z) lim
x→0
xe −2x+1
x 2 +1
3x 2 −2x+1 ถ้า x < 2
x 3 +1 ถ้า x ≥ 2
2x ถ้า x < 2
x 2 ถ้า x ≥ 2
x 2 +1 ถ้า
x < −1
3x+1 ถ้า x ≥ −1
⎧
⎪⎨ 2x+1 ถ้า x < −1
6. จงหาค่า lim f(x) โดยที่ f(x) = 3 ถ้า −1 ≤ x < 1
x→−1 ⎪ ⎩
2x+1 ถ้า x ≥ 1
7. จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 53
(a) lim |x+4|
x→−4
(c) lim
x→1.5
2x 2 −3x
|2x−3|
|x+4|
(b) lim
x→−4 − ( x+4
1
(d) lim
x→0 + x − 1 )
|x|
คำตอบแบบฝึกหัด 4.2
1. (a) 5 (b) 9 (c) 2 (d) − 1 3
(e) − 3 8
(f) 0 (g) −∞
(h) − 6
11
2. (a) 1 (b) −174 (c) − 3 8
(d) 4 9
(e) √ 7 (f) 0 (g) −7
(h) − 1 5
(i) −3 (j) 3 2
(k) 4 (l) 12 (m) 2 (n) 6 (o) 5 4
(p) − √ 2
4
(q) 32 (r) 108 (s) 1 2
(t) − 1 2
(u) − 1 9
(v) − 1 4
(w) 1 (x) 2 3
(y) 1
2 √ 3
3. 9 4. 4 5. 1 6. หาค่าไม่ได้
(z) 0
7. (a) 0 (b) −1 (c) หาค่าไม่ได้ (d) 0
4.3 ลิมิตที่อนันต์
นอกจากลิมิตของฟังก์ชันที่ได้กล่าวไปแล้วเรายังสนใจการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้น
หรือลดลงโดยไม่มีขีดจำกัด เช่นถ้า f(x) = 1/x แล้วจะได้ว่า 1/x → 0 เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นโดย
ไม่มีขีดจำกัด (x → +∞) ในกรณีนี้เราเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
1
lim
x→+∞ x = 0
ในทำนองเดียวกัน เราได้ว่า 1/x → 0 เมื่อ x มีค่าลดลงโดยไม่มีขีดจำกัด (x → −∞) ในกรณี
นี้เราเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
1
lim
x→−∞ x = 0
ทฤษฎีบทต่อไปกล่าวถึงลิมิตของฟังก์ชัน 1/x t สำหรับจำนวนตรรกยะ t > 0 เมื่อ x → ±∞
ซึ่งจะมีลักษณะเดียวกับลิมิตของฟังก์ชัน f(x) = 1/x เมื่อ x → ±∞ ที่กล่าวมาแล้วข้างต้น
ทฤษฎีบท 4.5 สำหรับจำนวนตรรกยะ t > 0 ใดๆ
lim
x→±∞
(
สำหรับกรณีที่ x → −∞ จะสมมุติให้ t =
p
q
1
x t = 0
เมื่อ q เป็นจำนวนคี่)
ทฤษฎีบทต่อไปกล่าวถึงการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันพหุนามที่อนันต์ซึ่งสามารถหาได้โดยง่าย

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 54
ทฤษฎีบท 4.6 กำหนดให้ p n (x) = a n x n +a n−1 x n−1 +···+a 1 x+a 0 เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มี
ระดับขั้นพหุนาม n > 0 แล้วจะได้ว่า
lim p n(x) = lim a nx n =
x→+∞ x→+∞
{
+∞ ถ้า a n > 0
−∞ ถ้า a n < 0
ตัวอย่าง 4.15 จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้
x 3 −x 2 +5x−3
(a) lim
x→+∞ 2x 4 −3x+5
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 4.16 จงหาค่า lim
x→+∞
√
x4 −3x 2 +5
2x 2 −x
วิธีทำ .........
(√
ตัวอย่าง 4.17 จงหาค่า lim x2 +3x−x)
x→+∞
5x 3 −2x 2 +1
(b) lim
x→−∞ 1−3x
วิธีทำ .........
x 3 −5
ตัวอย่าง 4.18 จงหาค่า lim √
x→−∞ x6 −1−2x 3
วิธีทำ .........
1. กำหนดให้
แบบฝึกหัด 4.3
lim f(x) = 3, lim
x→+∞
g(x) = −5 และ lim
x→+∞
h(x) = 0
x→+∞
จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้ และถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ จงให้เหตุผลประกอบ
[ ]
[ ]
(a) lim f(x)+3g(x) (b) lim h(x)−4g(x)+1
x→+∞
x→+∞
[ ]
[ ] 2
(c) lim f(x)g(x) (d) lim g(x)
x→+∞
x→+∞
(e) lim
x→+∞
(g) lim
x→+∞
2. กำหนดให้
√
3
5+f(x)
3h(x)+4
x 2
lim f(x) = 7 และ lim
x→−∞
(f) lim
x→+∞
(h) lim
x→+∞
3
g(x)
6f(x)
5f(x)+3g(x)
g(x) = −6
x→−∞
จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตหาค่าได้ และถ้าลิมิตหาค่าไม่ได้ จงให้เหตุผลประกอบ
[ ]
[ ]
(a) lim 2f(x)−g(x) (b) lim 6f(x)+7g(x)
x→−∞
x→−∞
[
(c) lim x 2 +g(x) ] [
(d) lim x 2 g(x) ]
x→−∞
x→−∞

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 55
(e) lim
x→−∞
(g) lim
x→−∞
√
3
f(x)g(x)
[
f(x)+ g(x) ]
x
3. จงหาค่าลิมิตต่อไปนี้
x+4
(a) lim
x→+∞ x 2 −2x+5
−x
(c) lim √
x→−∞ 4+x
2
x 3 −2x+4
(e) lim
x→+∞ 3x 2 +3x−5
3x 3 −x+5
(g) lim
x→+∞ 4x 3 +4x 2 −1
(√
(i) lim x2 +3−x)
x→+∞
1− √ x
(k) lim
x→+∞ 1+ √ x
(√
(m) lim 9x2 +x−3x)
x→+∞
( √ )
(o) lim x− x
x→+∞
(q) lim
x→+∞
x 7 −1
x 6 +1
(s) lim
x→+∞ sin2x
(u) lim
x→+∞ ln(2x)
g(x) (f) lim
x→−∞ f(x)
(h) lim
x→−∞
xf(x)
(2x+3)g(x)
(1−x)(2+x)
(b) lim
x→−∞ (1+2x)(2−3x)
x 3 −2x+1
(d) lim
x→−∞ 3x 3 +4x−1
x 2 −sinx
(f) lim
x→+∞ x 2 +4x−1
x 4 −x 2 +1
(h) lim
x→+∞√x 5 +x 3 −x
x2 +4x
(j) lim
x→+∞ 4x+1
(√
(l) lim x2 +1− √ x −1)
2
x→+∞
√
(n) lim x
x→+∞
(p) lim
x→−∞ (x3 −5x 2 )
(r) lim
x→+∞ e2x
(t) lim
x→+∞ e−3x cos2x
(v) lim
x→0 +(xln2x)
คำตอบแบบฝึกหัด 4.3
1. (a) −12 (b) 21 (c) −15 (d) 25 (e) 2 (f) − 3 5
(g) 0
(h) +∞
2. (a) 20 (b) 0 (c) +∞ (d) −∞ (e) 3√ −42 (f) − 6 7
(g) 7
(h) −∞
3. (a) 0 (b) 1 6
(c) 1 (d) 1 3
(e) ∞ (f) 1 (g) 3 4
(h) 0
(i) 0 (j) 1 4
(k) −1 (l) 0 (m) 1 6
(n) ∞ (o) ∞
(p) −∞ (q) ∞ (r) ∞ (s) หาค่าไม่ได้ (t) 0 (u) ∞
(v) 0

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 56
4.4 ลิมิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ในหัวข้อนี้ เราจะศึกษาวิธีการหาค่าลิมิตของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยเริ่มด้วย
การกล่าวถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้ ซึ่งจะเป็นประโยชน์สำหรับการหาค่าลิมิต
ทฤษฎีบท 4.7 ถ้า a เป็นจำนวนใดๆที่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนดให้ แล้ว
limsinx = sina lim
x→a
limcscx = csca lim
x→a
ทฤษฎีบท 4.8
cosx = cosa lim
x→a
secx = seca lim
x→a
ทฤษฎีบท 4.9 สำหรับจำนวนจริง k ≠ 0 ใดๆ
ตัวอย่าง 4.19 จงหาค่า lim
x→0
1−cos2x
x 2
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 4.20 จงหาค่า lim
x→0 + 2x−sinx
tan2x
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 4.21 จงหาค่า lim
x→0
2xcot 2 x
cscx
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 4.22 จงหาค่า lim
x→0
1−cosx
xsinx
วิธีทำ .........
sinx
lim
x→0 x = 1
ksinx
lim
x→0 x
tanx = tana
x→a
cotx = cota
x→a
= k
แบบฝึกหัด 4.4
จงหาค่าของลิมิตต่อไปนี้
sin3x
1. lim
x→0 x
3. lim
x→0
sin5x
3x
5. lim
x→0
tan7x
sin3x
7. lim
θ→0
cosθ −1
sinθ
2. lim
x→0 + sin3x
x 2
4. lim
t→0
sin8t
sin9t
6. lim
x→0 + sinx
5 √ x
8. lim
x→0
sin 2 x
x

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 57
tanx
9. lim
x→0 4x
11. lim
x→π/4
sinx−cosx
cos2x
13. lim
x→0
x+sinx
tanx
t 2
15. lim
t→0
1−cos 2 ) t
17. lim
x→0 +sin ( 1
x
10. lim
x→0
cot2x
cscx
12. lim
x→0
2xcot 2 x
cscx
14. lim
x→0
sin(cosx)
secx
θ 2
16. lim
x→θ 1−cosθ
18. lim
x→0
2−cos3x−cos4x
x
คำตอบแบบฝึกหัด 4.4
1. 3 2. +∞ 3. 5 3
4. 8 9
5 7 3
6. 0 7. 0 8. 0 9. 1 4
10. 1 2
11. − 1 √
2
12. 2 13. 2 14. sin1 15. 1 16. 2 17. หาค่าไม่ได้ 18. 0
4.5 ความต่อเนื่อง
สิ่งหนึ่งที่จะช่วยให้เราเข้าใจความหมายที่แท้จริงของความต่อเนื่องของฟังก์ชันคือการพิจารณากราฟ
ของฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง (discontinuous) ที่จุด x = a ต่อไปนี้
y
y = f(x)
y
y = f(x)
•
y
y = f(x)
a
x
a
x
a
x
(a)
(b)
(c)
จากกราฟเราสามารถสรุปแต่ละกราฟได้ดังนี้
(a) ลิมิตของ f(x) หาค่าไม่ได้เมื่อ x เข้าใกล้ a
(b) ค่าของฟังก์ชันและค่าลิมิตที่ a มีค่าไม่เท่ากัน
(c) ฟังก์ชัน f ไม่นิยามที่ a
กราฟของฟังก์ชันทั้งสามลักษณะข้างต้นนำไปสู่บทนิยามของความต่อเนื่องที่จุดใดๆของฟังก์ชัน ดังนี้
บทนิยาม 4.5 ฟังก์ชัน f จะมีความ ต่อเนื่อง (continuous) ที่จุด x = a ถ้า
1. f(a) หาค่าได้
2. lim
x→a
f(x) หาค่าได้ และ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 58
3. lim
x→a
f(x) = f(a)
ตัวอย่าง 4.23 จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องที่จุด x = 2 หรือไม่
⎧
(a) f(x) = x2 −4
⎨
(b) g(x) =
x−2
⎩
⎧
⎨
(c) h(x) =
⎩
วิธีทำ .........
x 2 −4
x−2 , x ≠ 2
3 , x = 2
ทฤษฎีบท 4.10 ถ้าฟังก์ชัน f และ g ต่อเนื่องที่ x = a แล้ว
(a) f +g ต่อเนื่องที่ x = a
(b) f −g ต่อเนื่องที่ x = a
(c) f ·g ต่อเนื่องที่ x = a
x 2 −4
x−2 , x ≠ 2
1 , x = 2
(d) f g
ต่อเนื่องที่ x = a ถ้า g(a) ≠ 0 และไม่ต่อเนื่องที่ x = a ถ้า g(a) = 0
บทนิยาม 4.6 ถ้าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ทุกๆจุดบนช่วงเปิด (a,b) แล้วจะกล่าวว่า f ต่อเนื่อง
บนช่วง (a,b) นอกจากนี้เราสามารถให้นิยามความต่อเนื่องบนช่วง (a,+∞), (−∞,b) และ
(−∞,+∞) ในทำนองเดียวกัน และสำหรับกรณีที่ f ต่อเนื่องบนช่วง (−∞,+∞) เราจะกล่าวว่า
f ต่อเนื่องที่ทุกจุด
บทนิยาม 4.7 ฟังก์ชัน f จะต่อเนื่องที่ทุกๆจุดบนช่วงบนช่วงปิด [a,b] ถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง
1. f ต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a,b)
2. f ต่อเนื่องทางขวาของ a: lim
x→a +f(x)
= f(a)
3. f ต่อเนื่องทางซ้ายของ b: lim
x→b−f(x) = f(b)
ตัวอย่าง 4.24 จงแสดงว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องบนช่วงที่กำหนดให้
วิธีทำ .........
f(x) = √ 16−x 2 , [−4,4]

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 59
ฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องที่ทุกๆจุดบนโดเมนของฟังก์ชัน
1. ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial functions)
2. ฟังก์ชันตรรกยะ (rational functions)
3. ฟังก์ชันราก (root functions)
4. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (trigonometric functions)
5. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (inverse trigonometric functions)
6. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (exponential functions)
7. ฟังก์ชันลอการิทึม (logarithmic functions)
ตัวอย่าง 4.25 จงหาค่าของ x ที่ทำให้กราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ไม่ต่อเนื่อง
วิธีทำ .........
f(x) = x5 −2x 3 +5x
x 2 −3x+2
จากตัวอย่างที่ผ่านมาข้างต้น พบว่าฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x = a อาจมีสาเหตุมาจาก f(a)
หาค่าไม่ได้ หรือ limf(x) หาค่าไม่ได้ หรือ f(a) ≠ limf(x) ภาวะไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน f
x→a x→a
นี้ สามารถแบ่งออกเป็น 2 ชนิดคือ
1. ภาวะไม่ต่อเนื่องที่ขจัดได้ (removable discontinuity) เป็นภาวะไม่ต่อเนื่องที่เกิดขึ้น
เมื่อ f(a) ≠ lim
x→a
f(x) หรือ f(a) หาค่าไม่ได้ ซึ่งสามารถขจัดภาวะไม่ต่อเนื่องได้ โดยการ
กำหนดค่า f(a) ใหม่ให้มีค่าเท่ากับ lim
x→a
f(x) และผลลัพธ์ที่ได้คือ f ต่อเนื่องที่ x = a
2. ภาวะไม่ต่อเนื่องที่ขจัดไม่ได้ (non-removable discontinuity) เป็นภาวะไม่ต่อเนื่อง
ที่เกิดขึ้นเมื่อ lim
x→a
f(x) หาค่าไม่ได้ ภาวะไม่ต่อเนื่องนี้ไม่สามารถขจัดได้ นั่นคือ f เป็น
ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ x = a
ตัวอย่าง 4.26 จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องที่จุดที่กำหนดให้หรือไม่ ถ้าไม่ต่อเนื่อง
แล้วภาวะไม่ต่อเนื่องนี้สามารถขจัดได้หรือไม่ ถ้าได้ จะขจัดอย่างไร
(a) f(x) = x2 −2x−8
, x = −2
x+2
(b) f(x) = x3 +64
x+4 , x = −4
วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 60
ตัวอย่าง 4.27 กำหนดให้
⎧
⎪⎨
f(x) =
⎪⎩
x 2 −2x−3
|x−3|
ถ้า −2 ≤ x < 3
1−5x
√ x+1
ถ้า x ≥ 3
จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่จุด x = 3 หรือไม่ ถ้า f ไม่ต่อเนื่อง แล้วภาวะไม่ต่อเนื่อง
นี้สามารถขจัดได้หรือไม่ ถ้าได้ จะขจัดอย่างไร
วิธีทำ .........
ทฤษฎีบท 4.11 ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (Intermediate Value Theorem) ถ้า f เป็น
ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] และ N เป็นจำนวนจริงใดๆที่มีค่าอยู่ระหว่าง f(a) และ f(b)
แล้วมีจำนวนจริง c ∈ [a,b] อย่างน้อยหนึ่งจำนวนที่ทำให้ f(c) = N
ข้อสังเกต ค่า N ในทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางนั้นมี 2 ลักษณะคือ f(a) < N < f(b) หรือ
f(b) < N < f(a)
ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางกล่าวว่า ถ้า f ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] แล้วค่าของ f ทุกค่าจะอยู่
ระหว่าง f(a) และ f(b) ดังนั้นค่า x ของ f ที่สมนัยกับค่า N อาจจะเกิดขึ้นได้เพียงครั้งเดียว
(
ดังรูป (a)
)
หรือหลายครั้ง
(
ดังรูป (b)
)
ก็ได้
f(b)
y
f(b)
y
N
y = f(x)
N
f(a)
a
y = f(x)
cb
x
f(a)
ac 1 c 2 c 3 b
x
(a)
(b)
ทฤษฎีบท 4.12 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] และถ้า f(a) และ f(b) มีค่าไม่
เท่ากับศูนย์ และมีเครื่องหมายตรงกันข้าม แล้วสมการ f(x) = 0 จะมีผลเฉลยอย่างน้อยหนึ่งผล
เฉลยบนช่วง (a,b)
หมายเหตุ ทฤษฎีบท 4.12 เป็นผลจากทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางเมื่อ N = 0
ตัวอย่าง 4.28 จงแสดงว่าผลเฉลยของสมการ 4x 3 −6x 2 +3x−2 = 0 มีค่าอยู่ระหว่าง 1 และ 2
วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 61
แบบฝึกหัด 4.5
1. จากกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ จงหาจุดที่ทำให้ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง
(a)
y
x
(b)
y
x
(c)
y
x
2. จงแสดงว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องที่จุดที่กำหนดให้
(a) f(x) = x 2 + √ 7−x, x = 4
(b) g(x) = (x+2x 3 ) 4 , x = −1
(c) h(x) = x+1
2x 2 +1 , x = 4
3. จงแสดงว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องบนช่วงที่กำหนดให้
(a) f(x) = 1
x+1 , (−1,∞)
(b) f(x) = x−1
x 2 −4 , (−2,2)
(c) g(t) = √ 9−4t 2 , [− 3 2 , 3 2 ]

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 62
(d) h(z) = √ (z −1)(3−z), [1,3]
4. จงอธิบายว่าทำไมฟังก์ชันต่อไปนี้ไม่ต่อเนื่องที่จุดที่กำหนดให้
(a) f(x) = x
x−1 ; x = 1 (b) f(x) = sin 1 x ; x = 0
(c) f(x) = e 1/x ; x = 0 (d) f(x) = ln|x−2|; x = 2
⎧
⎨ 1
(e) f(x) = x−1 ถ้า x ≠ 1 ; x = 1
⎩
2 ถ้า x = 1
(f) f(x) = x2 −1
x+1 ; x = −1
⎧
⎨ x 2 −2x−8
ถ้า x ≠ 4
(g) f(x) = x−4 ; x = 4
⎩
3 ถ้า x = 4
{
1−x ถ้า x ≤ 2
(h) f(x) =
x 2 −2x ถ้า x > 2 ; x = 2
⎧
⎪⎨ x 2 ถ้า x < 2
(i) f(x) = 3 ถ้า x = 2 ; x = 2
⎪⎩
3x−2 ถ้า x > 2
⎧
⎪⎨ x 2 ถ้า x < 0
(j) f(x) = −x ถ้า 0 ≤ x ≤ 1 ; x = 1
⎪⎩
x ถ้า x > 1
5. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องบนช่วงใดบ้าง
(a) f(x) = 2x+ 3√ x (b) f(x) = 1
x+3
(c) f(x) = 1
x 2 +1
(e) f(x) = x2 +4
x−2
(g) f(x) = 3
x 2 −x
(i) f(x) = sinx
x 2
(d) f(x) = x−5
|x−5|
√
x+1
(f) f(x) = 3 x−1
(h) f(x) = x
4−x 2
6. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้มีความต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องที่จุดใดบ้าง ถ้า f ไม่ต่อเนื่องที่
จุดใด แล้วภาวะไม่ต่อเนื่องนี้สามารถขจัดได้หรือไม่ ถ้าได้จะขจัดอย่างไร

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 63
(a) f(x) = x−2
x 2 −4
(c) f(x) = x−17
|x−17|
√ x−1
(e) f(x) =
x−1
{
−x ถ้า x < 0
(g) f(x) =
x 2 ถ้า x ≥ 0
(b) f(x) =
1
1−|x|
(d) f(x) = 3−√ x
9−x
(f) f(x) = x4 +2x 2 −3
x+1
⎧
⎨ 1+x 2 ถ้า x ≤ 0
(h) f(x) = sinx
⎩ ถ้า x > 0
x
7. จงหาค่าของ c ที่ทำให้ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบนช่วง (−∞,∞)
{
{
x+c ถ้า x < 0 c 2 −x 2 ถ้า x < 0
(a) f(x) =
(b) f(x) =
4−x 2 ถ้า x ≥ 0 2(x−c) 2 ถ้า x ≥ 0
{
{
cx+1 ถ้า x ≤ 3 x 2 −c 2 ถ้า x < 4
(c) f(x) =
(d) f(x) =
cx 2 −1 ถ้า x > 3 cx+20 ถ้า x ≥ 4
8. จงหาค่าของ a และ b ที่ทำให้ฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องที่ทุกๆจุด
⎧
⎪⎨ x+1 ถ้า x < 1
f(x) = ax+b ถ้า 1 ≤ x < 2
⎪⎩
3x+1 ถ้า x ≥ 2
9. จงหาค่าของ k และ m ที่ทำให้ฟังก์ชันต่อไปนี้ต่อเนื่องที่ทุกๆจุด
⎧
⎪⎨ x 2 +5 ถ้า x > 2
f(x) = m(x+1)+k ถ้า −1 < x ≤ 2
⎪⎩
2x 3 +x+7 ถ้า x ≤ −1
10. จงหาค่า k ≠ 0 ที่ทำให้ฟังก์ชัน
⎧
⎨ tankx
ถ้า x < 0
f(x) = x
⎩
3x+2k 2 ถ้า x ≥ 0
ต่อเนื่องที่ x = 0
11. จงใช้ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางแสดงว่า ฟังก์ชัน f(x) มีค่าเท่ากับศูนย์ในช่วงที่กำหนดให้
(a) f(x) = x 2 −7; [2,3]
(b) f(x) = x 3 −4x−2; [−1,0]
(c) f(x) = cosx−x; [0,1]

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 64
12. จงใช้ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางพิสูจน์ว่าสมการ x 3 +3x−2 = 0 มีผลเฉลยที่เป็นจำนวนจริงที่
มีค่าอยู่ระหว่าง 0 และ 1
13. จงใช้ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางพิสูจน์ว่าสมการ (cost)t 3 + 6sin 5 t − 3 = 0 มีผลเฉลยที่เป็น
จำนวนจริงที่มีค่าอยู่ระหว่าง 0 และ 2π
14. จงแสดงว่าสมการ x 5 +4x 3 −7x+14 = 0 มีผลเฉลยที่เป็นจำนวนจริงอย่างน้อยหนึ่งผลเฉลย
คำตอบแบบฝึกหัด 4.5
1. (a) x = −2,2 (b) x = −2,1,4 (c) x = −2,2,4
4. (a) f(1) หาค่าไม่ได้ (b) f(0) หาค่าไม่ได้ (c) f(0) หาค่าไม่ได้
(d) f(2) หาค่าไม่ได้
(g) lim
x→4
f(x) ≠ f(4)
(j) lim
x→1
f(x) หาค่าไม่ได้
(e) lim
x→1
f(x) หาค่าไม่ได้ (f) f(−1) หาค่าไม่ได้
(h) lim
x→2
f(x) หาค่าไม่ได้
(i) lim
x→2
f(x) ≠ f(2)
5. (a) R (b) (−∞,−3)∪(−3,∞) (c) R (d) (−∞,5)∪(5,∞)
(e) (−∞,2)∪(2,∞) (f) (−∞,1)∪(1,∞) (g) (−∞,0)∪(0,1)∪(1,∞)
(h) (−∞,−2)∪(−2,2)∪(2,∞)
(i) (−∞,0)∪(0,∞)
7. (a) 4 (b) 0 (c) 1 3
(d) −2 8. a = 5, b = −3 9. k = 4 m = 5 3
10. k = 1 2

บทที่ 5
อนุพันธ์
เหตุการณ์ทางธรรมชาติหลายเหตุการณ์ เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ เช่น ความเร็ว
ของจรวด อัตราเงินเฟ้อ จำนวนของแบคที่เรียในการเพาะเชื้อ ความรุนแรงของแผ่นดินไหว หรือ
ความต่างศักย์ของกระแสไฟฟ้า ในบทนี้เราจะเรียนรู้แนวคิดของ อนุพันธ์ ซึ่งเป็นเครื่องมือทาง
คณิตศาสตร์สำหรับการศึกษาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดปริมาณหนึ่งเทียบกับปริมาณอื่น การ
ศึกษาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณมีความใกล้เคียงกับแนวคิดของความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
ดังนั้นเราจะเริ่มหัวข้อแรกด้วยการกล่าวถึงบทนิยามทั่วไปของความชันของเส้นสัมผัส และศึกษาวิธีการ
หาความชันและสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง
5.1 ความชันของเส้นสัมผัสและอัตราการเปลี่ยนแปลง
ความชันของเส้นสัมผัสโค้ง
กำหนดให้เส้นโค้ง C เป็นกราฟของสมการ y = f(x) และให้ P ( x 0 ,f(x 0 ) ) เป็นจุดใดๆ บน
เส้นโค้ง C จากรูปที่ 5.1 ถ้า Q ( x,f(x) ) เป็นจุดอีกจุดหนึ่งบนเส้นโค้ง C ที่ไม่ใช่จุด P แล้ว
ความชันของเส้นตัด PQ คือ
m PQ = f(x)−f(x 0)
x−x 0
ถ้าให้ x มีค่าเข้าใกล้ x 0 แล้วจุด Q จะเลื่อนเข้าหาจุด P ตามแนวของเส้นโค้ง C และจะได้
ว่าความชัน m PQ ของเส้นตัด PQ มีค่าเข้าใกล้ความชัน m ของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด P
65

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 66
y
f(x)
f(x 0 )
P
Q
x 0
x
x
รูปที่ 5.1: เส้นตัดและเส้นสัมผัสโค้ง
บทนิยาม 5.1 เส้นสัมผัสโค้ง (tangent line) y = f(x) ที่จุด P ( x 0 ,f(x 0 ) ) คือ เส้นตรงที่
ผ่านจุด P และมีสมการคือ
เมื่อ m คือความชันของเส้นสัมผัสที่นิยามโดย
เมื่อลิมิตหาค่าได้
y −f(x 0 ) = m(x−x 0 )
ตัวอย่าง 5.1 จงหาสมการของเส้นสัมผัสโค้ง y = x 2 ที่จุด P(1,1)
วิธีทำ .........
m = lim
x→x0
f(x)−f(x 0 )
x−x 0
(5.1)
ถ้าหากให้ h = x−x 0 แล้วความชันของเส้นสัมผัสโค้ง (5.1) สามารถเขียนในรูปแบบที่ง่าย
ต่อการนำไปใช้ดังนี้
m = lim
h→0
f(x 0 +h)−f(x 0 )
h
ตัวอย่าง 5.2 จงหาสมการของเส้นสัมผัสโค้ง y = 2 x ที่จุด x = 2
(5.2)
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.3 จงหาความชันของเส้นสัมผัสโค้ง f(x) = √ x ที่จุด (1,1),(4,2) และ (9,3)
วิธีทำ .........
ความเร็ว
หัวข้อหนึ่งที่สำคัญในแคลคูลัสคือ การศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุ ในที่นี้เราจะพิจารณาการเคลื่อนที่
ของวัตถุตามแนวเส้นตรง โดยมีสมการการเคลื่อนที่คือ s = f(t) เมื่อ s แทนระยะทางของ
วัตถุจากจุดเริ่มต้น ณ เวลา t ใดๆ และฟังก์ชัน f ซึ่งแทนการเคลื่อนที่ของวัตถุเรียกว่าฟังก์ชัน

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 67
ตำแหน่ง (position function) ความเร็วเฉลี่ย (average velocity) ของวัตถุในช่วง
เวลา [t 0 ,t 0 +h] เมื่อ h > 0 คือ
ความเร็วเฉลี่ย = ระยะทาง
เวลา
= f(t 0 +h)−f(t 0 )
h
(5.3)
ถ้าหากหาความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาสั้นๆ นั่นคือช่วง [t 0 ,t 0 + h] เมื่อ h → 0 แล้วเราสามารถให้
นิยาม ความเร็ว (velocity) หรือ ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous velocity)
v(t 0 ) ที่เวลา t = t 0 ดังนี้
v(t 0 ) = lim
h→0
f(t 0 +h)−f(t 0 )
h
(5.4)
ตัวอย่าง 5.4 กำหนดให้ลูกบอลตกจากตึกสูง โดยที่ระยะทางที่ลูกบอลตกลงมาสามารถเขียนในรูป
ของสมการ
s = f(t) = 64−16t 2 ฟุต
เมื่อ t แทนเวลาหลังจากที่ลูกบอลตกลงมา และมีหน่วยเป็นวินาที จงหา
(i) ความเร็วเฉลี่ยของลูกบอลระหว่างเวลา t = 1.5 ถึง t = 2
(ii) ความเร็วเฉลี่ยของลูกบอลระหว่างเวลา t = 1.9 ถึง t = 2
(iii) ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งของลูกบอลที่เวลา t = 2
วิธีทำ (i) ความเร็วเฉลี่ยของลูกบอลระหว่างเวลา t = 1.5 ถึง t = 2 คือ
[
f(2)−f(1.5)
] 64−16(2)
2
− [ 64−16(1.5) 2]
=
= −56 ฟุตต่อวินาที
2−1.5 0.5
(ii) ความเร็วเฉลี่ยของลูกบอลระหว่างเวลา t = 1.9 ถึง t = 2 คือ
[
f(2)−f(1.9)
] 64−16(2)
2
− [ 64−16(1.9) 2]
=
= −62.4 ฟุตต่อวินาที
2−1.9 0.1
(iii) จากสมการ (5.4) จะได้ความเร็วขณะใดขณะหนึ่งของลูกบอลที่เวลา t = 2 คือ
v(2) = lim
h→0
f(2+h)−f(2)
h
= lim
h→0
[
64−16(2+h)
2 ] − [ 64−16(2) 2]
h
= lim
h→0
[
64−16(4+4h+h 2 ) ] − [ 64−16(2) 2]
h
−64h−16h 2
= lim
h→0 h
= lim
h→0
−16h(h+4)
h
= lim
h→0
[
−16(h+4)
]
= −64 ฟุตต่อวินาที
✠

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 68
อัตราการเปลี่ยนแปลง
ความเร็วจัดเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลา สำหรับการประยุกต์เรื่อง
อื่นๆ อัตราการเปลี่ยนแปลงที่พบได้เช่น
• นักจุลชีววิทยาต้องการทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงจำนวนของแบคทีเรียในการเพาะเชื้อเทียบกับ
เวลา
• วิศวกรต้องการทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงความยาวของแท่งโลหะเมื่ออุณหภูมิมีการเปลี่ยนแปลง
• นักเศรษฐศาสตร์ต้องการทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงต้นทุนในการผลิตเทียบกับคุณภาพของสินค้า
• นักวิจัยทางการแพทย์ต้องการทราบอัตราการขยายตัวของหลอดเลือดใหญ่เทียบกับความเข้มข้น
ของแอลกอฮอล์ในกระแสเลือด
วัตถุประสงค์ต่อไปคือ การให้ความหมายของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x เมื่อ y
เป็นฟังก์ชันของ x
ในกรณีที่ y เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ x นั่นคือ y = mx + b ความชัน m หมายถึงอัตรา
การเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x
กับ
สำหรับกรณีที่ y = f(x) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x บนช่วง [x 0 ,x 1 ] เท่า
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย = f(x 1)−f(x 0 )
x 1 −x 0
(5.5)
และอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของ y เทียบกับ x ที่ x 0 เท่ากับ
อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง = lim
x 1 →x 0
f(x 1 )−f(x 0 )
x 1 −x 0
(5.6)
ถ้าให้ h = x 1 −x 0 แล้ว (5.5) และ (5.6) จะเขียนแทนด้วย
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย = f(x 0 +h)−f(x 0 )
h
(5.7)
อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง = lim
h→0
f(x 0 +h)−f(x 0 )
x 0
(5.8)
ตัวอย่าง 5.5 ต้นทุนการผลิต (หน่วยเป็นดอลลาร์) ของสินค้าชนิดหนึ่งเป็นไปตามสมการC(x) =
5000+10x+0.05x 2 เมื่อ x แทนปริมาณสินค้า (หน่วยเป็นชิ้น)
(a) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ C เทียบกับ x เมื่อปริมาณการผลิตมีการเปลี่ยนแปลง
จาก x = 100 ถึง x = 105
(b) จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของ C เทียบกับ x เมื่อ x = 100

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 69
วิธีทำ (a) จาก (5.5) จะได้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ C เทียบกับ x เท่ากับ
C(105)−C(100)
105−100
= 6601.25−6500
5
= 101.25
5
= 20.25
นั่นคือต้นทุนการผลิตเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 20.25 ดอลลาร์ต่อการเพิ่มขึ้นของสินค้าหนึ่งชิ้น
(b) จาก (5.6) จะได้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของ C เทียบกับ x เมื่อ
x = 100 คือ
C(x 1 )−C(x 0 )
lim
x 1 →x 0 x 1 −x 0
C(x 1 )−C(100)
= lim
x 1 →100 x 1 −100
= lim
x 1 →100
= lim
x 1 →100
= lim
x 1 →100
(5000+10x 1 +0.05x 2 1)−6500
x 1 −100
0.05x 2 1 +10x 1 −1500
x 1 −100
0.05(x 1 −100)(x 1 +300)
x 1 −100
= lim
x 1 →100 (0.05)(x 1 +300) = 20
นั่นคือต้นทุนการผลิตเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา 20 ดอลลาร์ต่อชิ้น ✠
1. กำหนดให้เส้นโค้งมีสมการ y = f(x)
แบบฝึกหัด 5.1
(a) จงเขียนนิพจน์ของความชันของเส้นตัดที่ผ่านจุด P ( 3,f(3) ) และ Q ( x,f(x) )
(b) จงเขียนนิพจน์ของความชันของเส้นสัมผัสที่จุด P
2. กำหนดให้วัตถุเคลื่อนที่โดยมีฟังก์ชันตำแหน่งคือ s = f(t)
(a) จงเขียนนิพจน์ของความเร็วเฉลี่ยของวัตถุในช่วงเวลาจาก t = t 0 ถึง t = t 0 +h
(b) จงเขียนนิพจน์ของความเร็วขณะใดขณะหนึ่งที่เวลา t = t 0
3. จงหาสมการของเส้นสัมผัสโค้งที่จุดที่กำหนดให้
(a) y = x 2 −2, (1,−1)
(b) y = x 2 −3x, (−2,10)
(c) y = 1−2x−3x 2 , (−2,−7) (c) y = 1 x 2, (−2, 1 4 )
(e) y = 2
x+1 , (1,1) (f) y = √ x+3, (−2,1)
4. (a) กำหนดเส้นโค้ง y = 2
x+3 จงหาความชันของเส้นสัมผัสโค้ง y ที่จุด x = x 0
(b) จงหาความชันเส้นสัมผัสโค้ง y ที่จุด (i) x = −1, (ii) x = 0 และ (iii) x = 1
5. (a) กำหนดเส้นโค้ง y = x 3 −4x+1 จงหาความชันของเส้นสัมผัส y ที่จุด x = x 0
(b) จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y ที่จุด (1,−2) และ (2,1)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 70
6. กำหนดให้ฟังก์ชันต่อไปนี้แทนตำแหน่งของวัตถุที่เวลา t ใดๆ
(a) s = f(t) = 16t 2 +10 (b) s = f(t) = √ t 2 +8t
i. จงหาความเร็วเฉลี่ยระหว่างเวลา t = 0 และ t = 2
ii. จงหาความเร็วเฉลี่ยระหว่างเวลา t = 1 และ t = 2
iii. จงหาความเร็วเฉลี่ยระหว่างเวลา t = 1.9 และ t = 2
iv. จงหาความเร็วเฉลี่ยระหว่างเวลา t = 1.99 และ t = 2
v. จงประมาณค่าความเร็วขณะใดขณะหนึ่งที่เวลา t = 2
7. จงใช้ฟังก์ชันตำแหน่ง s = f(t) ต่อไปนี้ หาค่าความเร็วที่เวลา t = t 0
(a) s = f(t) = −16t 2 +5, t 0 = 1 (b) s = f(t) = √ t+16, t 0 = 0
8. เครื่องวัดอุณหภูมิได้มีการบันทึกอุณหภูมิ T (หน่วยเป็นองศาเซลเซียส) ทุกๆชั่วโมง ตั้งแต่
เที่ยงคืนของวันๆหนึ่งในเมืองแห่งหนึ่ง ถ้า x แทนจำนวนชั่วโมงที่วัดอุณหภูมินับตั้งแต่เที่ยงคืน
และตารางต่อไปนี้แสดงข้อมูลที่จดบันทึกได้
จงหา
x(h) T( ◦ C) x(h) T( ◦ C)
0 6.5 13 16.0
1 6.1 14 17.3
2 5.6 15 18.2
3 4.9 16 18.8
4 4.2 17 17.6
5 4.0 18 16.0
6 4.0 19 14.1
7 4.8 20 11.5
8 6.1 21 10.2
9 8.3 22 9.0
10 10.0 23 7.9
11 12.1 24 7.0
12 14.3
(a) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของอุณหภูมิเทียบกับเวลา
i. จากเที่ยงวันถึง 15.00 น.
ii. จากเที่ยงวันถึง 14.00 น.
iii. จากเที่ยงวันถึง 13.00 น.
(b) ค่าประมาณของอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของอุณหภูมิณเวลาเที่ยงวัน
9. โยนลูกบอลขึ้นไปในอากาศด้วยความเร็ว 40 ฟุตต่อวินาที ความสูงของลูกบอล (หน่วยเป็น
ฟุต) เมื่อเวลาผ่านไป t วินาที ถูกกำหนดโดยสมการ y = 40t − 16t 2 จงหาความเร็วเมื่อ
t = 2 วินาที

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 71
10. ถ้าระยะทาง (หน่วยเป็นเมตร) ที่วัตถุชนิดหนึ่งเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ
s = f(t) = 4t 3 + 6t + 2 เมื่อ t มีหน่วยเป็นวินาที จงหาความเร็วของวัตถุชนิดนี้ที่เวลา
t = t 0 , t = 1, t = 2 และ t = 3 วินาที
1. (a) f(x)−f(3)
x−3
2. (a) f(t 0 +h)−f(t 0 )
h
คำตอบแบบฝึกหัด 5.1
(b) lim
x→3
f(x)−f(3)
x−3
(b) lim
h→0
f(t 0 +h)−f(t 0 )
h
3. (a) y = 2x−3 (b) y = −7x−4 (c) y = 10x+13 (d) y = 1 4 x+ 3 4
(e) y = − 1 2 x+ 3 2
(f) y = 1 2 x+2
4. (a) −2/(x 0 +3) 2 (b) (i) − 1 (ii) − 2 (iii) − 1 2 9 8
5. (a) 3x 2 0 −4 (b) y = −x−1, y = 8x−15
6. (a) (i) 32 (ii) 48 (iii) 62.4 (iv) 63.84 (v) 64
(b) (i) 2.236 (ii) 1.472 (iii) 1.351 (iv) 1.343 (v) 1.342
7. (a) −32 (b) 1 8
8. (a) i. 1.3 องศาเซลเซียสต่อชั่วโมง ii. 1.5 องศาเซลเซียสต่อชั่วโมง
iii. 1.7 องศาเซลเซียสต่อชั่วโมง (b) ≈ 1.9 องศาเซลเซียสต่อชั่วโมง
9. −24 ฟุตต่อวินาที 10. 12t 2 0 +6, 18 เมตรต่อวินาที, 54 เมตรต่อวินาที, 114 เมตร
ต่อวินาที
5.2 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
จากหัวข้อที่ผ่านมาเราได้ว่า
f(x 0 +h)−f(x 0 )
lim
h→0 h
หมายถึง ความชันของเส้นสัมผัสโค้ง y = f(x) ที่ x = x 0 หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะ
หนึ่งของ y เทียบกับ x ที่ x = x 0 และทำให้เห็นได้ว่าเราสามารถใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
เดียวกัน เพื่ออธิบายสิ่งที่แตกต่างกันได้ ในหัวข้อนี้จะกำหนดชื่อและสัญลักษณ์ของ
เพื่อความสะดวกในการนำไปประยุกต์ใช้
f(x 0 +h)−f(x 0 )
lim
h→0 h

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 72
บทนิยาม 5.2 ฟังก์ชัน f ′ นิยามโดย
f ′ (x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
(5.9)
เรียกว่า อนุพันธ์ของ f เทียบกับ x โดยที่โดเมนของ f ′ ประกอบด้วยค่า x ในโดเมนของ f
ที่ทำให้ลิมิตหาค่าได้
ตัวอย่าง 5.6 จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = x 3 +7x พร้อมทั้งหาสมการของเส้นสัมผัสโค้ง y = f(x)
ที่จุด x = 1
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.7 จงหา f ′ (x) ถ้า f(x) = √ x
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.8 ถ้า f(x) = 2x−3
5−x จงหา f′ (x)
วิธีทำ .........
บทนิยาม 5.3 ฟังก์ชัน y = f(x) หาอนุพันธ์ได้ (differentiable) ที่ x 0 ถ้าลิมิต
f ′ (x 0 ) = lim
h→0
f(x 0 +h)−f(x 0 )
h
(5.10)
หาค่าได้ และถ้า f หาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดบนช่วงเปิด (a,b) แล้วเรากล่าวว่า f หาอนุพันธ์ได้
บนช่วงเปิด (a,b) และเราสามารถให้นิยามการหาอนุพันธ์ได้บนช่วง (a,+∞), (−∞,a) และ
(−∞,+∞) ในทำนองเดียวกัน สำหรับกรณีที่ f หาอนุพันธ์ได้บนช่วง (−∞,+∞) เราจะกล่าว
ว่า f หาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุด
ตัวอย่าง 5.9 จงแสดงว่า f(x) = |x| หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ x = 0
วิธีทำ จากสมการ (5.10) โดยมี x 0 = 0 จะได้
แต่
f ′ f(0+h)−f(0) f(h)−f(0)
(0) = lim = lim
h→0 h h→0 h
|h|−|0| |h|
= lim = lim
h→0 h h→0 h
|h|
h = {
1 ถ้า h > 0
−1, ถ้า h < 0
ดังนั้น
|h|
lim
h→0 − h
|h|
= −1 และ lim
h→0 + h = 1
เนื่องจากลิมิตด้านเดียวมีค่าไม่เท่ากัน ดังนั้น lim หาค่าไม่ได้ เพราะฉะนั้น f หาอนุพันธ์ไม่
h
ได้ที่ x = 0 ✠
h→0
|h|

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 73
ทฤษฎีบท 5.1 ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ x 0 แล้ว f ต่อเนื่องที่ x 0
ตัวอย่าง 5.10 จงพิจารณาว่า
f(x) =
{
4 ถ้า x < 2
2x ถ้า x ≥ 2
เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x = 2 หรือไม่
วิธีทำ .........
สัญลักษณ์อื่นของอนุพันธ์
ถ้า y = f(x) นั่นคือ x เป็นตัวแปรอิสระ และ y เป็นตัวแปรตาม แล้วสัญลักษณ์ต่อไปนี้แทน
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f
f ′ (x) = y ′ = dy
dx = df
dx = d
dx f(x) = Df(x) = D xf(x)
และสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x 0 เราเขียนแทนด้วย
f ′ (x 0 ) = dy
dx∣ = d ∣
x=x0
dx f(x) ∣∣∣x=x0
แบบฝึกหัด 5.2
1. ถ้า f(x) = 3x 2 −5x แล้วจงหาค่าของ f ′ (2) และหาสมการของเส้นสัมผัสกราฟพาราโบลา
y = 3x 2 −5x ที่จุด (2,2)
2. ถ้า g(x) = x 3 − 5x + 1 แล้วจงหาค่าของ g ′ (1) และหาสมการของเส้นสัมผัสโค้ง y =
x 3 −5x+1 ที่จุด (1,−3)
3. จงใช้บทนิยาม 5.2 หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x)
(a) f(x) = 3x 2 +1 (b) f(x) = 3
x+1
(c) f(x) = √ 3x+1
(d) f(x) = x 3 +2x−1
4. จงหา f ′ (x 0 ) ของฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยใช้บทนิยาม 5.3
(a) f(x) = 3x+1, x 0 = 1 (b) f(x) = √ 3x+1, x 0 = 1
(c) f(x) = x 2 +2x, x 0 = 0 (d) f(x) = x 3 +4, x 0 = −1
(e) f(x) = x
2x−1 , x 2
0 = 1 (f) f(x) = √ , x 0 = −1 3−x
5. จงพิจารณาหาค่าของ f ′ (0) (ถ้าหาค่าได้) เมื่อกำหนด f(x) ดังต่อไปนี้
{
2x+1 ถ้า x < 0
(a) f(x) =
3x+1 ถ้า x ≥ 0

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 74
⎧
⎨
xsin 1 (b) f(x) = x ถ้า x ≠ 0
⎩ 0 ถ้า x = 0
คำตอบแบบฝึกหัด 5.2
1. 7, y = 7x−12 2. −2, y = −2x−1
3. (a) 6x (b)
−3
(x+1) 2
(c)
3
2 √ 3x+1
(d) 3x 2 +2
4. (a) 3 (b) 3 4
(c) 2 (d) 3 (e) −1 (f) 1 8
5. (a) หาค่าไม่ได้ (b) หาค่าไม่ได้
5.3 กฎอนุพันธ์ทั่วไป
จากหัวข้อที่ผ่านมา เราได้นิยามอนุพันธ์ของฟังก์ชันในรูปของลิมิต ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาทฤษฎีบท
ต่างๆที่ช่วยในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท 5.2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าคงตัวเท่ากับ 0 นั่นคือถ้า c เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว
d
dx [c] = 0
ตัวอย่าง 5.11
d d
[1] = 0,
dx
d
[−5] = 0,
dx
d
[π] = 0,
dx
ทฤษฎีบท 5.3 (กฎกำลัง) ถ้า n เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว
ตัวอย่าง 5.12
d [ ] x
2013
= .........
dx
d
dx [xπ ] = .........
d
[ ]
3√
x
7
= .........
dx [ ]
d 1
= .........
dx x −3/4
d
dx [xn ] = nx n−1
dx [ln2] = 0
✠
ทฤษฎีบท 5.4 (กฎการคูณด้วยค่าคงตัว) ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ c เป็น
จำนวนจริงใดๆ แล้ว cf เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ
d [ ] d cf(x) = c
dx dx f(x)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 75
ตัวอย่าง 5.13
d [ ] 2x
56
= .........
dx
d [ √ −5
3
x ] = .........
dx
d
[ π
= .........
dx x]
ทฤษฎีบท 5.5 (กฎผลบวกและกฎผลต่าง) ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว
f +g และ f −g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ
ตัวอย่าง 5.14 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = x 12 +5x −2 −πx −10
วิธีทำ .........
d [ ] d f(x)+g(x) =
dx dx f(x)+ d
dx g(x)
d [ ] d f(x)−g(x) =
dx dx f(x)− d
dx g(x)
(b) f(x) = 5x5/2 +3x 3/2 −2 √ x+6x
x
ตัวอย่าง 5.15 จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = x 4 −6x 2 +4 ที่มีเส้นสัมผัสในแนวนอน
วิธีทำ .........
ทฤษฎีบท 5.6 (กฎผลคูณ) ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว f · g เป็น
ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ
d d
[f(x)g(x)] = f(x)
dx dx [g(x)]+g(x) d
dx [f(x)]
ตัวอย่าง 5.16 จงหา f ′ (x) ถ้า f(x) = x −7/8 (x 3 −2x+1)
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.17 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = (3x 4 −4x)
(
x 2 − √ x+ 3 )
x
วิธีทำ .........
ทฤษฎีบท 5.7 (กฎผลหาร) ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g(x) ≠ 0
แล้ว f/g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x
d
dx
[ ] f(x)
=
g(x)
g(x) d
dx [f(x)]−f(x) d
dx [g(x)]
[ ] 2
g(x)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 76
ตัวอย่าง 5.18 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = x2 +x+1
(b) f(x) = 5x2 +2x−6
x 3 +4
3x−1
วิธีทำ .........
แบบฝึกหัด 5.3
1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = x 3 −2x+1
(b) f(x) = 3x 2 −4
(c) f(x) = 4
(d) f(x) = 3x 3 −2 √ x
(e) f(x) = 3 −8x+1
x
10
(f) f(x) = √ −2x x
(g) f(x) = 2x 3/2 −3x −1/3 (h) f(x) = 2 3√ x+3
(i) f(x) = x(3x 2 − √ x) (j) f(x) = 3x2 −3x+1
2x
(k) f(x) = x+ 5√ x 2 (l) f(x) = x √ x+ 1
x 2√ x
2. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = (x 2 +3)(x 3 −3x+1)
(b) f(x) = (3x+4)(x 3 −2x 2 +x)
(c) f(x) = ( √ (
x+3x) 5x 2 − 3 )
x
(d) f(x) = 3x−2
5x+1
(f) f(x) = 3x−6√ x
5x 2 −2
(h) f(x) = x2 +3x−2
√ x
( ) x 3
(j) f(x) = (x 2 +3x 2
+1)
x 2 +2
(e) f(x) = x−2
x 2 +x+1
(g) f(x) = (x+1)(x−2)
x 2 −5x+1
(i) f(x) = x( 3√ x+3)
(k) f(x) = x
x+ c x
3. จงหาสมการของเส้นสัมผัสโค้งที่จุดที่กำหนดให้
(a) y = x+ 4 x , (2,4) (b) y = x+√ x, (1,2)
(c) y = 2x
1
, (1,1) (d) y =
x+1 1+x , ( )
−1, 1 2 2
4. จงหาจุดบนเส้นโค้ง y = x 3 −x 2 −x+1 ที่มีเส้นสัมผัสในแนวนอน
5. จงแสดงว่าเส้นโค้ง y = 6x 3 +5x−3 ไม่มีเส้นสัมผัสที่มีความชันเท่ากับ 4

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 77
6. กำหนดให้
f(x) =
{
2−x ถ้า x ≤ 1
x 2 −2x+2 ถ้า x > 1
จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ x = 1 หรือไม่
7. จงหาค่าของ x ที่ทำให้ฟังก์ชัน f(x) = |x 2 −9| หาอนุพันธ์ได้
8. จงหาค่าของ a และ b ที่ทำให้เส้นตรง 2x + y = b สัมผัสกับเส้นโค้ง y = ax 2 เมื่อ
x = 2
9. จงหาฟังก์ชัน y = ax 3 + bx 2 + cx + d ที่กราฟของฟังก์ชันมีเส้นสัมผัสในแนวนอนที่จุด
(−2,6) และ (2,0)
10. จงหากฎผลคูณสำหรับผลคูณของสามฟังก์ชัน f(x)g(x)h(x)
11. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ โดยใช้กฎผลคูณที่หาได้จากข้อ 3.
(a) f(x) = x 2/3 (x 2 −2)(x 3 −x+1)
(b) f(x) = (x+1)(x 3 +4x)(x 5 −3x 2 +1)
12. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีกราฟดังรูป และให้ u(x) = f(x)g(x) และ v(x) = f(x)/g(x)
แล้ว
(a) จงหา u ′ (1) (b) จงหา v ′ (1)
y
1
f
g
1
x
13. กำหนดให้ f(5) = 1, f ′ (5) = 6, g(5) = −3 และ g ′ (5) = 2 จงหาค่า
(a) (fg) ′ (5) (b) (f/g) ′ (5) (c) (g/f) ′ (5)
คำตอบแบบฝึกหัด 5.3
1. (a) 3x 2 −2 (b) 6x (c) 0 (d) 9x 2 − 1 √ x
(e) − 3
x 2 −8
(f) −5x −3/2 −2 (g) 3x 1/2 +x −4/3 (h) 2 3 x−2/3 (i) 9x 2 − 3 2 x1/2
(j) 3 2 − 1 2 x−2 (k) 1+2/(5 5√ x 3 ) (l) 3 2√ x−5/(2x
3 √ x)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 78
2. (a) 2x(x 3 −3x+1)+(x 2 +3)(3x 2 −3)
(b) 3(x 3 −2x 2 +x)+(3x+4)(3x 2 −4x+1)
( 1
(c) +3)(
2 x−1/2 5x 2 − 3 )
+( √ x+3x)(10x+3x −2 ) (d)
x
(e) −x2 +4x+3
(f) (3−3x−1/2 )(5x 2 −2)−(3x−6 √ x)(10x)
(x 2 +x+1) 2 (5x−2) 2
13
(5x+1) 2
(g) −4x2 +6x−11
(x 2 −5x+1) 2 (h) 3 2 x1/2 + 3 2 x−1/2 +x −3/2 (i) 4 3 x1/3 +3
(j) 2x x3 +3x 2
x 2 +2 +(x2 −1) (3x2 +6x)(x 2 +2)−(x 3 +3x 2 )(2x)
(x 2 +2) 2 (k)
3. (a) y = 4 (b) y = 3 2 x+ 1 2
(c) y = 1 2 x+ 1 2
(d) y = 1 2 x+1
2cx
(x 2 +c) 2
4. (1,0),(− 1 3 , 32
27 ) 6. ไม่ 7. หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ x = −3 และ 3 8. a = −1 2 ,b = 2
9. y = 3 16 x3 − 9 4 x+3
10. f ′ (x)g(x)h(x)+f(x)g ′ (x)h(x)+f(x)g(x)h ′ (x)
11. (a) 2 3 x−1/3 (x 2 −2)(x 3 −x+1)+2x 4/3 (x 3 −x+1)+x 2/3 (x 2 −2)(3x 2 −1)
(b) (x 3 +4x)(x 5 −3x 2 +1)+(x+1)(3x 2 +4)(x 5 −3x 2 +1)
+(x+1)(x 3 +4x)(5x 4 −6x)
12. (a) 0 (b) − 2 3
13. (a) 16 (b) − 20 9
(c) 20
5.4 กฎลูกโซ่
หากต้องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน h(x) = √ x 2 +1 จะพบว่ากฎการหาอนุพันธ์ที่ได้กล่าวไปแล้ว
ข้างต้น ไม่สามารถนำมาใช้หา h ′ (x) ได้ แต่จะสังเกตได้ว่า h เป็นฟังก์ชันประกอบ นั่นคือถ้า
ให้ f(u) = √ u และ g(x) = x 2 + 1 แล้ว h(x) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x) และอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชัน f และ g สามารถหาได้โดยง่าย ดังนั้นเป็นการดีที่จะมีกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ประกอบ h = f◦g ในรูปอนุพันธ์ของ f และ g ซึ่งพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ f◦g คือ
ผลคูณของอนุพันธ์ของ f และ g และเราเรียกกฎการหาอนุพันธ์นี้ว่า กฎลูกโซ่ (The Chain
Rule)
ทฤษฎีบท 5.8 (กฎลูกโซ่) ถ้า g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ f เป็นฟังก์ชันที่หา
อนุพันธ์ได้ที่ g(x) แล้วฟังก์ชันประกอบ f ◦g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ
d [ ( )] (
f g(x) = f
′
g(x) ) g ′ (x)
dx
ถ้า y = f(u) และ u = g(x) แล้ว y = f ( g(x) ) และ
dy
dx = dy
du · du
dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 79
ตัวอย่าง 5.19 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) y = (x 5 −4x 3 +πx) 101 (b) g(x) =
วิธีทำ .........
1
3√
x2 +5
(c) h(x) =
( ) 9 x−2
2x+1
แบบฝึกหัด 5.4
1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = (x 3 +4x) 7 (b) f(x) = (x 3 +x−1) 3
(c) f(x) = √ x 2 −7x (d) f(x) = √ x 2 +4
(
(e) f(x) = x−
x) 1 3/2
(f) f(x) = (2x−5) 4 (8x 2 −5) −3
(g) f(x) = (3x−2) 10 (5x 2 −x+1) 12 4
(h) f(x) =
( )
(3x 2 −2x+1) 3
3
x−6
1
(i) f(x) =
(j) f(x) =
x+7
5√ 2x−1
2. จงหาสมการของเส้นสัมผัสโค้ง y = f(x) ที่จุด x = a
(a) y = √ x 2 +16, a = 3 (b) y =
8
√ 4+3x
, a = 4
3. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีกราฟดังรูป และให้ u(x) = f ( g(x) ) , v(x) = g ( f(x) ) และ
w(x) = g ( g(x) ) แล้วจงหาค่าของอนุพันธ์ต่อไปนี้ ถ้าหาค่าได้ แต่ถ้าอนุพันธ์หาค่าไม่ได้ จง
ให้เหตุผลประกอบ
(a) u ′ (1) (b) v ′ (1) (c) w ′ (1)
y
f
1
g
1
x
4. กำหนดให้ F(x) = f ( g(x) ) และ g(3) = 6, g ′ (3) = 4, f ′ (3) = 2 และ f ′ (6) = 7 จง
หา F ′ (3)
5. ตารางต่อไปนี้แสดงค่าของ f, g, f ′ และ g ′
x f(x) g(x) f ′ (x) g ′ (x)
1 3 2 4 6
2 1 8 5 7
3 7 2 7 9

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 80
(a) ถ้า h(x) = f ( g(x) ) แล้วจงหาค่าของ h ′ (1)
(b) ถ้า H(x) = g ( f(x) ) แล้วจงหาค่าของ H ′ (1)
คำตอบแบบฝึกหัด 5.4
1. (a) 7(x 3 +4x) 6 (3x 2 +4) (b) 3(3x 2 +1)(x 3 +x−1) 2 (c)
(d) x(x 2 +4) −1/2 (e) 3 2 (x−1/x)1/2 (1+1/x 2 )
(f) 8(2x−5) 3 (8x 2 −5) −4 (−4x 2 +30x−5)
(g) 6(3x−2) 9 (5x 2 −x+1) 11 (85x 2 −51x+9)
(h)
24(1−3x)
(i) 39(x−6)2
(3x 2 −2x+1) 4 (x+7) 4
(j) − 2 5 (2x−1)−6/5
2x−7
2 √ x 2 −7x
2. (a) y = 3 16
x+ (b) y = − 3 11
x+
5 5 16 4
3. (a) 3 4
(b) หาค่าไม่ได้ (c) −2 4. 28 5. (a) 30 (b) 36
5.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ก่อนที่จะศึกษาในหัวข้อนี้ นักศึกษาควรมีการทบทวนเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดังเช่นเมื่อกล่าว
ถึงฟังก์ชัน f ที่นิยามโดย
f(x) = sinx เมื่อ x เป็นจำนวนจริงใดๆ
แล้ว sinx จะหมายถึง ไซน์ (sine) ของมุม x ที่มีหน่วยเป็นเรเดียน (radian) และสำหรับ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆก็จะมีลักษณะเช่นเดียวกัน นอกจากนี้จะได้ว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชัน
ต่อเนื่องที่ทุกๆจุดบนโดเมนของฟังก์ชันนั้นๆ
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน มีดังนี้
d
d
[sinx] = cosx
dx
d
dx [tanx] = sec2 x
d
d
[secx] = secxtanx
dx
[cosx] = −sinx
dx
d
dx [cotx] = −csc2 x
[cscx] = −cscxcotx
dx
ตัวอย่าง 5.20 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = x 4 sinx
(c) f(x) = secx
1+tanx
(b) f(x) = 3tanx−2cscx
(d) f(x) = √ cotx−cos3x
วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 81
1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = 4sinx−x
แบบฝึกหัด 5.5
(b) f(x) = tanx−cscx
(c) f(x) = xcosx (d) f(x) = 4 √ x−2sinx
(e) f(x) = sinx (f) f(x) = tanx
x
x
(g) f(x) = cosx−1
x
(h) f(x) =
x 2 sinx+cosx
(i) f(x) = cscxcotx
(k) f(x) = 2sinxcosx
(j) f(x) = sinxsecx
(l) f(x) = 4x 2 tanx
(m) f(x) = 4sin 2 x+4cos 2 x (n) f(x) = sin(2x 2 +3)
(o) f(x) = cos(a 3 +x 3 )
(q) f(x) = tan(cosx)
(s) f(x) = cos 2( 3 √ x) )
(u) f(x) = [ x+csc(x 3 +3) ] −3
(p) f(x) = tan 2 x
(r) f(x) = sec 3 4x
2. จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งต่อไปนี้ที่จุดที่กำหนดให้
(t) f(x) = cos 3 (sin2x)
(
(v) f(x) = sin tan √ )
sinx
(a) y = sinx, ( π 2 ,1) (b) y = cosx, (π 2 ,0)
(c) y = tanx, ( π ,1) (d) y = x+cosx, (0,1)
4
(e) y = xcosx, (π,−π)
(f) y = sin(sinx), (π,0)
3. จงหาค่า x ที่ทำให้กราฟของฟังก์ชัน f(x) = x+2sinx มีเส้นสัมผัสในแนวนอน
4. จงหาจุดทั้งหมดบนกราฟของฟังก์ชัน f(x) = 2sinx+sin 2 x ที่มีเส้นสัมผัสในแนวนอน
คำตอบแบบฝึกหัด 5.5
1. (a) 4cosx−1 (b) sec 2 x+cscxcotx (c) cosx−xsinx
(d) 2x −1/2 −2cosx (e) xcosx−sinx
x 2
(g) −x2 sinx−(cosx−1)2x
(f) xsec2 x−tanx
x
(h) sinx+cosx+xsinx−xcosx
x 4
1+sin2x
(i) −cscxcot 2 x−csc 3 x (j) sec 2 x (k) 2cos 2 x−2sin 2 x
(l) 8xtanx+4x 2 sec 2 x (m) 0 (n) 4xcos(2x 2 +3) (o) −3x 2 sin(a 3 +x 3 )
(p) 2tanxsec 2 x (q) −sinxsec 2 (cosx) (r) 12sec 3 4xtan4x
(s) −√ 3 cos(3 √ x)sin(3 √ x) (t) −6cos 2 (sin2x)sin(sin2x)cos2x
x
(u) −3 [ x+csc(x 3 +3) ] −4 [1−3x 2 csc(x 3 +3)cot(x 3 +3)]
(v) cos ( tan √ sinx ) (sec 2√ sinx) [ 1/(2 √ sinx) ] (cosx)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 82
2. (a) y = 1 (b) y = −x+ π 2
(c) y = 2x+1− π 2
(d) y = x+1
(e) y = −x
(f) y = −x+π
3. (2n+1)π ±π/3, เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม
4. ( π
2 +2nπ,3) , ( 3π
2 +2nπ,−1) ,n เป็นจำนวนเต็ม
5.6 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (exponential function) เป็นฟังก์ชันที่พบบ่อยมากในการประยุกต์เรื่อง
ต่างๆ รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือ f(x) = a x เมื่อ a > 0,a ≠ 0 ( ในที่นี้ a เรียกว่า
ฐาน (base) ของฟังก์ชัน ) ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะกล่าวถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ทฤษฎีบท 5.9 สำหรับค่าคงตัว a > 0 ใดๆ
d
dx [ax ] = a x lna
สำหรับกรณีที่ a = e จะได้ว่า lne = 1 และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = e x คือ
d
dx [ex ] = e x
นอกจากนี้ถ้า u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x แล้ว
d
dx [au ] = a u lna· du
dx
และ
d
dx [eu ] = e u · du
dx
ตัวอย่าง 5.21 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = 4 x cosx
(c) h(x) = 2 secx + 1
3√
e
tanx
(b) g(x) = ex −5x+1
x 3 −ln2
วิธีทำ .........
แบบฝึกหัด 5.6
1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = 4e x −x
(b) f(x) = xe x
(c) f(x) = x−2 x (d) f(x) = 2e x+1
(e) f(x) = (1/3) x
(g) f(x) = e 2x
(i) f(x) = ex
x
(f) f(x) = 4 −x+1
(h) f(x) = x 2 e −x
(j) f(x) = e xcosx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 83
2. จงหาสมการของเส้นสัมผัสโค้ง y = f(x) ที่จุด x = 1 เมื่อกำหนด f(x) ดังต่อไปนี้
(a) f(x) = 3e x
(b) f(x) = 3 x
(c) f(x) = xe x
3. กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนเซตของจำนวนจริง R และให้ F(x) = f(e x )
และ G(x) = e f(x) จงหานิพจน์สำหรับ (a) F ′ (x) และ (b) G ′ (x)
คำตอบแบบฝึกหัด 5.6
1. (a) 4e x −1 (b) e x +xe x (c) 1+(ln2)2 x (d) 2e x+1 (e) ( ln 3)( 1 1
3
(f) −(ln4)4 −x+1 (g) 2e 2x (h) 2xe −x −x 2 e −x (i) xex −e x
(j) (cosx−xsinx)e xcosx
2. (a) y = 3e x (b) y = 3ln3(x−1)+3 (c) y = 2e x −e
3. (a) F ′ (x) = e x f ′ (e x ) (b) G ′ (x) = e f(x) f ′ (x)
x 2
) x
5.7 อนุพันธ์ของฟังก์ชันปริยาย
จากการพิจารณาเปรียบเทียบสมการ 2 สมการต่อไปนี้
y = √ x 2 +3 และ x 2 +y 2 = 9
เห็นได้ว่า สมการแรกเป็นการให้นิยามของ y อย่างชัดเจนในรูปฟังก์ชันของ x เราเรียกฟังก์ชัน
ที่มีลักษณะเช่นนี้ว่า ฟังก์ชันชัดแจ้ง (explicit function)
สำหรับสมการที่สองนั้นไม่เป็นฟังก์ชัน แต่เราสามารถแก้สมการหาค่า y ทำให้เราได้ฟังก์ชัน 2
ฟังก์ชัน ( y = √ 9−x 2 และ y = − √ 9−x 2) ที่กำหนดโดยปริยายด้วยสมการ x 2 + y 2 = 9
และเราเรียกฟังก์ชันที่มีลักษณะนี้ว่า ฟังก์ชันปริยาย (implicit function) วิธีการหาอนุพันธ์
ของฟังก์ชันปริยายเรียกว่า การหาอนุพันธ์โดยปริยาย (implicit differentiation) ซึ่งหาได้
โดยการ หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการของฟังก์ชันปริยายเทียบกับ x จากนั้นแก้สมการหาค่า
dy/dx
ตัวอย่างและแบบฝึกหัดในหัวข้อนี้ จะสมมุติให้สมการที่กำหนดให้เป็นการกำหนด y โดยปริยาย
ในรูปฟังก์ชันของ x นั่นคือเราพิจารณาให้ x เป็นตัวแปรอิสระ และ y เป็นตัวแปรตาม
ตัวอย่าง 5.22 จงหา dy
dx ถ้า x3 +y 2 −3y = 5
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.23 จงหา dy
dx ถ้า x2 cosy +sin2y = xy
วิธีทำ .........

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 84
ตัวอย่าง 5.24 จงหา dy
dx ถ้า cos(x+y) = y2 sinx
วิธีทำ .........
แบบฝึกหัด 5.7
1. จงหา dy
dx โดยวิธีการหาอนุพันธ์โดยปริยาย
(a) x 2 +y 2 = 1 (b) x 3 +x 2 y +4y 2 = 6
(c) x 2 y +xy 2 = 3x (d) x 2 y 2 +3y = 4x
(e) √ xy −4y 2 = 12 (f) x+3 = 4x+y 2
y
(g) √ x+y −4x 2 y
= y (h)
x−y = x2 +1
(i) √ xy = 1+xy
(j) e x2y −e y = x
(k) e 4y −lny = 2x (l) 4cosxsiny = 1
(m) cos(x−y) = xe x
(n) xy = cot(xy)
2. จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งต่อไปนี้ที่จุดที่กำหนดให้
(a) x 2 −4y 2 = 0, (2,1) (b) x 2 −4y 3 = 0, (2,1)
(c) x 2 y 2 = 4y, (2,1) (d) x 3 y 3 = 9y, (1,3)
(e) x2
16 − y2
9 = 1, (−5, 9 4 ) (f) y2 = x 3 (2−x), (1,1)
(g) 2(x 2 +y 2 ) 2 = 25(x 2 −y 2 ), (3,1) (h) y 2 = x 3 +3x 2 , (1,2)
(i) y(y 2 −1)(y −2) = x(x−1)(x−2), (0,1)
3. จงใช้วิธีการหาอนุพันธ์โดยปริยายแสดงว่าสมการเส้นสัมผัสโค้ง
คือ x 0x
a + y 0y
= 1
2 b 2
x 2
a 2 + y2
b 2 = 1 ที่จุด (x 0,y 0 )
4. จงหาสมการของเส้นสัมผัสไฮเพอร์โบลา x2
a 2 − y2
b 2 = 1 ที่จุด (x 0,y 0 )
5. จงหาจุดทั้งหมดบนเส้นโค้ง x 2 y 2 +xy = 2 ที่ความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ −1
6. ถ้า x [ f(x) ]3 +xf(x) = 6 และ f(3) = 1 แล้วจงหาค่าของ f ′ (3)
คำตอบแบบฝึกหัด 5.7
1. (a) −x
y
(e)
y
16y √ xy −x
(b) −x(3x+2y)
x 2 +8y
(f)
(c)
y −4y 2
x+3+2y 3
3−2xy −y2
x 2 +2xy
(g) 16x√ x+y −1
1−2 √ x+y
(d) 4−2xy2
3+2x 2 y

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 85
(h) 2x(x−y)2 +y
x
(i) 2y√ xy −y
x−2x √ xy
(j) 1−2xyex2 y
x 2 e x2 y
−e y
(k)
2y
4ye 4y −1
(l) tanxtany
(m) 1+ ex (1+x)
sin(x−y)
(n) −y
x
2. (a) y = 1x (b) y = 1x+ 1 (c) y = −x+3 (d) y = − 9 15
x+
2 3 3 2 2
(e) y = − 5 9 40
x−4 (f) y = x (g) y = − x+ (h) y = 9x− 5 4 13 13 2 2
(i) y = −x+1 4. x 0x
a − y 0y
= 1 5. (−1,−1),(1,1) 6. − 1 2 b 2 6
5.8 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
เราจะเริ่มด้วยการพิจารณาฟังก์ชัน sin −1 ถ้าให้ f(x) = sinx (−π/2 ≤ x ≤ π/2) แล้ว
f −1 (x) = sin −1 x จะเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง (−1,1) และอนุพันธ์ของ sin −1 x สามารถ
หาได้โดยใช้วิธีการหาอนุพันธ์โดยปริยายดังนี้ ให้ y = sin −1 x จะได้ว่า x = siny จากการหา
อนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการเทียบกับ x จะได้
d
dx [x] = d
dx [siny]
1 = cosy dy
dx
dy
dx = 1
cosy = 1
cos ( sin −1 x )
ซึ่งสามารถเขียนในรูปแบบที่ง่าย โดยการใช้เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้
1
x
ดังนั้น
ฉะนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน sin −1 x คือ
sin −1 √x
1−x
2
cos ( sin −1 x ) = √ 1−x 2
dy
dx = 1
√
1−x
2
d [
sin −1 x ] =
dx
1
√
1−x
2
(−1 < x < 1)
นอกจากนี้ถ้า u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของ x แล้วจากกฎลูกโซ่จะได้ว่า
d [
sin −1 u ] =
dx
1 du
√
1−u
2dx (−1 < x < 1)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 86
จากการใช้วิธีการที่กล่วไปข้างต้น เราสามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันที่เหลือได้
และอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถสรุปได้ดังนี้
d [
sin −1 x ] 1
= √
dx 1−x
2
d
dx [cos−1 x] = √ −1
1−x
2
d
dx [tan−1 x] = 1
1+x 2
d
dx [cot−1 x] = −1
1+x 2
d 1
dx [sec−1 x] =
|x| √ x 2 −1
d −1
dx [csc−1 x] =
|x| √ x 2 −1
(−1 < x < 1)
(−1 < x < 1)
(|x| > 1)
(|x| > 1)
ตัวอย่าง 5.25 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) y = tan −1√ x+1 (b) y = cot −1 (sin √ x)
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.26 จงหา dy
( x
)
dx ถ้า y = sec(π2 )+xtan −1 2
วิธีทำ .........
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
แบบฝึกหัด 5.8
1. y = sin −1 (x 2 ) 2. y = tan −1 (e x )
3. y = cos −1 (x 3 ) 4. y = sec −1 (x 2 )
+(ln4)(5 2x )
5. H(x) = (1+x 2 )tan −1 x 6. g(t) = sin −1 (4/t)
7. y = x 2 cot −1 (3x) 8. f(x) = e x −x 2 tan −1 x
9. y = tan −1 (cos2x) 10. y = xcos −1 (2x)
11. y = cos −1 (sinx) 12. y = tan −1 (secx)
1.
2x
√
1−x
4
2.
5. 1+2xtan −1 x 6.
e x
1+e 2x 3.
−4
√
t4 −16t 2
คำตอบแบบฝึกหัด 5.8
−3x 2
√
1−x
6
4.
2
x √ x 4 −1
7. 2xcot −1 (3x)− 3x2
1+9x 2

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 87
8. e x − x2
1+x 2 −2xtan−1 x 9.
11.
−cosx
√
1−sin 2 x = ±1
−2sin2x
1+cos 2 2x
secxtanx
12.
1+sec 2 x
10. cos −1 2x−
2x
√
1−4x
2
5.9 อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม y = log a x เมื่อ x > 0 สามารถหาได้โดยใช้วิธีการหาอนุพันธ์โดย
ปริยายดังนี้ ให้ y = log a x, x > 0 ดังนั้น a y = x จากการหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการเทียบ
กับ x และใช้กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง จะได้ว่า
ดังนั้น
d
dx (ay ) = d
dx (x)
a y lna dy
dx = 1
dy
dx = 1
a y lna = 1
xlna
d
dx [log ax] = 1
xlna , x > 0 (5.11)
ถ้าให้ a = e ในสมการ (5.11) แล้วตัวประกอบ lna ทางขวามือของสมการ (5.11) จะ
กลายเป็น lne = 1 ดังนั้นจะได้อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม log e x = lnx คือ
ว่า
d
dx [lnx] = 1 x
(5.12)
นอกจากนี้ถ้า u เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของ x และถ้า u(x) > 0 แล้วจากกฎลูกโซ่จะได้
d
dx [log au] = 1
ulna · du
dx
และ
ตัวอย่าง 5.27 จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = log 5 (3+tanx)
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.28 จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = ln
[sin ( e )]
x2 −tanx
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.29 จงหาอนุพันธ์ของ y = sin −1 2x+log 3 (x 2 −4)
วิธีทำ .........
(√ ) 2x+3
ตัวอย่าง 5.30 จงหาอนุพันธ์ของ y = ln
x−2
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.31 จงหา f ′ (x) ถ้า f(x) = ln|x|
วิธีทำ .........
d
dx [lnu] = 1 u · du
dx

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 88
การหาอนุพันธ์โดยใช้ลอการิทึม
ลำดับต่อไปเราจะศึกษาวิธีการหาอนุพันธ์ที่เรียกว่า การหาอนุพันธ์โดยใช้ลอการิทึม (logarithmic
differentiation) จากตัวอย่างต่อไปนี้ วิธีการนี้มีประโยชน์สำหรับการหาอนุพันธ์ของ
ฟังก์ชันประกอบของผลคูณ ผลหาร หรือเลขชี้กำลัง
ตัวอย่าง 5.32 จงหาอนุพันธ์ของ y = x3/4√ x 2 +1
(3x+2) 5
วิธีทำ .........
จากตัวอย่าง 5.32 จะได้ขั้นตอนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้ลอการิทึมได้ดังนี้
ขั้นตอนการหาอนุพันธ์โดยใช้ลอการิทึม
1. ใส่ลอการิทึมฐาน e เข้าไปทั้งสองข้างของสมการ y = f(x) และใช้คุณสมบัติ
ของลอการิทึมจัดสมการให้ง่ายขึ้น
2. ใช้วิธีการหาอนุพันธ์โดยปริยาย หาอนุพันธ์เทียบกับ x
3. แก้สมการหา y ′
ตัวอย่าง 5.33 จงหาอนุพันธ์ของ y = (lnx) cosx
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.34 กำหนดให้ y x = siny จงหา dy
dx
วิธีทำ .........
1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
แบบฝึกหัด 5.9
(a) f(x) = ln(2x) (b) f(x) = ln(x 3 )
(c) f(θ) = ln(cosθ) (d) f(x) = log 3 (x 2 −4)
(e) f(x) = ln √ x
( ) a−x
(g) f(x) = ln
a+x
(i) f(x) = lnx
1+x
(f) f(x) = √ xlnx
(h) f(x) = e x lnx
(j) f(x) = |x 3 −x 2 |
(k) f(x) = ln(e −x +xe −x ) (l) f(x) = x 2 ln(1−x 2 )
2. จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งต่อไปนี้ที่จุดที่กำหนดให้
(a) y = x 2 lnx, (1,0)
(b) y = ln(lnx), (e,0)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 89
3. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้โดยใช้ลอการิทึม
(a) y = (2x+1) 5 (x 4 −3) 6
(c) y = x x
(b) y = sin2 xtan 4 x
(x 2 +1) 2
(d) y = x sinx
(e) y = (lnx) x
(f) y = x ex
คำตอบแบบฝึกหัด 5.9
1. (a) f ′ (x) = 1 (b) f ′ (x) = 3 (c) f ′ (θ) = −tanθ
x x
(d) f ′ 2x
(x) = (e) f ′ (x) = 1 (f) f ′ (x) = 2+lnx
(x 2 −4)ln3 2x 2 √ x
(g) f ′ (x) = −2a (h) f ′ (x) = e
(lnx+ x 1 )
a 2 −x 2 x
(i) f ′ (x) = 1+x−xlnx
x(1+x) 2
(l) f ′ (x) = 2xln(1−x 2 )− 2x3
1−x 2
2. (a) y = x−1 (b) x−ey = e
(j) f ′ (x) = 3x−2
x(x−1)
3. (a) y ′ = (2x+1) 5 (x 4 −3) 6 ( 10
2x+1 + 24x3
x 4 −3
(
(b) y ′ = sin2 xtan 4 x
2cotx+ 4sec2 x
(x 2 +1) 2 tanx − 4x
x 2 +1
[
(c) y ′ = x x (lnx+1) (d) y ′ = x sinx cosxlnx+ sinx
x
(
(e) y ′ = (lnx) x lnlnx+ 1 )
lnx
5.10 อนุพันธ์อันดับสูง
)
)
(f) y ′ = e x x ex (
lnx+ 1 x
(k) f ′ (x) = −x
1+x
เนื่องจากอนุพันธ์ f ′ ของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชัน ดังนั้นอนุพันธ์ของ f ′ อาจจะหาค่าได้ ถ้า
f ′ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ แล้วจะเขียนแทนอนุพันธ์ของ f ′ ด้วย f ′′ และเรียกว่า อนุพันธ์
อันดับสอง (second derivative) ของ f และสัญลักษณ์ที่นิยมใช้แทนอนุพันธ์อันดับสอง
ของ y = f(x) มีดังนี้
y ′′ = f ′′ (x) = d2 y
dx 2
สำหรับ อนุพันธ์อันดับสาม (third derivative) ของ f คืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ
สอง สัญลักษณ์ที่นิยมใช้แทนอนุพันธ์อันดับสามของ y = f(x) มีดังนี้
y ′′′ = f ′′′ (x) = d ( ) d 2 y
= d3 y
dx dx 2 dx 3
]
)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 90
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาอนุพันธ์อันดับที่สี่ และอันดับอื่นๆได้ โดยทั่วไปอนุพันธ์อันดับ
ที่ n ของ y = f(x) ได้มาจากการหาอนุพันธ์ของ f เป็นจำนวน n ครั้ง และเขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ดังนี้
ตัวอย่าง 5.35 ถ้า f(x) = 5x 3 −2x 2 +1 แล้ว
y (n) = f (n) (x) = dn y
dx n
f ′ (x) = .........
f ′′ (x) = .........
f ′′′ (x) = .........
f (4) (x) = .........
.
f (n) (x) = ......... (n ≥ 4)
ตัวอย่าง 5.36 จงหา d2 y
dx 2 เมื่อ y = log 5 (e 2x +1)
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 5.37 จงหา y ′′ ถ้า x 2 −xy +y 2 = 6
วิธีทำ .........
แบบฝึกหัด 5.10
1. จงหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = x 4 +3x 2 −2
(b) f(x) = x 5 +6x 2 −7x
(c) f(x) = x 6 + √ x (d) f(x) = √ 2x+1
(e) f(x) = e 2x
(f) y = cos2θ
(g) h(x) = √ x 2 +1 (h) F(s) = (3s+5) 8
(i) y = x
1−x
(k) H(t) = tan3t
(j) y = (1−x 2 ) 3/4
(l) g(t) = t 3 e 5t
2. ถ้า f(x) = (2−3x) −1/2 แล้วจงหา f(0), f ′ (0), f ′′ (0) และ f ′′′ (0)
3. ถ้า f(θ) = cotθ แล้วจงหาค่าของ f ′′′ (π/6)
4. จงหา f (n) (x) ของฟังก์ชันต่อไปนี้
(a) f(x) = 1 x
(b) f(x) = e 2x (c) f(x) = 1
3x 3

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 91
5. จงหาฟังก์ชันพนุนาม P ที่มีระดับขั้นพหุนามเท่ากับสอง (degree 2) ที่ทำให้ P(2) =
5, P ′ (2) = 3 และ P ′′ (2) = 2
6. จงหาค่า r ที่ทำให้ฟังก์ชัน y = e rx สอดคล้องกับสมการ y ′′ +5y ′ −6y = 0
7. กำหนดให้ F(x) = f(x)g(x) โดยที่ f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ จง
แสดงว่า
F ′′ = f ′′ g +2f ′ g ′ +fg ′′
8. กำหนดให้ y = f(u) และ u = g(x) โดยที่ f และ g เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับ
สองได้ จงแสดงว่า
( )
d 2 2
y
dx = d2 y du
+ dy d 2 u
2 du 2 dx dudx 2
คำตอบแบบฝึกหัด 5.10
1. (a) f ′ (x) = 4x 3 +6x, f ′′ (x) = 12x 2 +6
(b) f ′ (x) = 5x 4 +12x−7, f ′′ (x) = 20x 3 +12
(c) f ′ (x) = 6x 5 + 1 2 x−1/2 , f ′′ (x) = 30x 4 − 1 4 x−3/2
(d) f ′ (x) = (2x+1) −1/2 , f ′′ (x) = −(2x+1) −3/2
(e) f ′ (x) = 2e 2x , f ′′ (x) = 4e 2x
(g) h ′ (x) =
x
√
x2 +1 , f′′ (x) =
(f) y ′ = −2sin2θ, y ′′ = −4cos2θ
1
(x 2 +1) 3/2
(h) F ′ (s) = 24(3s+5) 7 , F ′′ (s) = 504(3s+5) 6
(i) y ′ =
1
(1−x) 2, y′′ =
2
(1−x) 3
(j) y ′ = − 3 2 x(1−x2 ) −1/4 , y ′′ = 3 4 (1−x2 ) −5/4 (x 2 −2)
(k) H ′ (t) = 3sec 2 3t, H ′′ (t) = 18sec 2 3ttan3t
(l) g ′ (t) = t 2 e 5t (5t+3), g ′′ (t) = te 5t (25t 2 +30t+6)
2. 1 √
2
,
3
4 √ 2 , 27
16 √ 2 , 405
64 √ 2
3. −80
4. (a) (−1)n n!
(b) 2 n e 2x (c) (−1)n (n+2)!
x n+1 6x n+3
6. r = 1,−6
5. P(x) = x 2 −x+3

บทที่ 6
การประยุกต์ของอนุพันธ์
6.1 ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
การประยุกต์ที่สำคัญอย่างหนึ่งของอนุพันธ์คือ ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด (optimization problems)
ปัญหาดังกล่าว เป็นปัญหาของการหาวิธีที่ดีที่สุดเพื่อทำบางสิ่งบางอย่าง ตัวอย่างเช่น
• ชาวสวนต้องการเลือกผสมพืชพันธุ์ที่จะปลูกเพื่อให้ได้ผลผลิตที่ทำให้มีรายได้มากที่สุด
• ผู้ผลิตสินค้าต้องการให้ค่าขนส่งสินค้ามีค่าน้อยที่สุด
• ผู้ผลิตต้องการทราบขนาดของกระป๋องที่ใช้วัสดุในการผลิตน้อยที่สุด
• นักเดินทางต้องการทราบระยะทางที่น้อยที่สุดระหว่างเมือง 2 เมือง
• นักบินอวกาศต้องการหาความเร่งที่มากที่สุดของยานอวกาศ
ปัญหาเหล่านี้สามารถเปลี่ยนเป็นการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันได้ ดังนั้นเราจะเริ่มด้วยการ
ให้นิยามของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด
บทนิยาม 6.1 กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่นิยามบนสับเซตของจำนวนจริง D (โดเมนของ f)
และ c ∈ D
(a) f มี ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (absolute maximum หรือ global maximum) ที่ c ถ้า
f(c) ≥ f(x) สำหรับทุกค่าของ x ในโดเมน D และเราเรียก f(c) ว่า ค่าสูงสุด (maximum
value) ของ f บน D และเรียกจุด ( c,f(c) ) ว่า จุดสูงสุดสัมบูรณ์ ของ f บน
D
(b) f มี ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ (absolute minimum หรือ global minimum) ที่ c ถ้า
f(c) ≤ f(x) สำหรับทุกค่า x ในโดเมน D และเราเรียก f(c) ว่า ค่าต่ำสุด (minimum
value) ของ f บน D และเรียกจุด ( c,f(c) ) ว่า จุดต่ำสุดสัมบูรณ์ ของ f บน D
และเราจะกล่าวว่า f มี ค่าสุดขีดสัมบูรณ์ (absolute extremum) ที่ c ถ้า f มีค่าสูงสุด
สัมบูรณ์หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ c
92

•
•
•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 93
รูปที่ 6.1 แสดงกราฟของ f ที่มีจุด ( b,f(b) ) เป็นจุดสูงสุดบนกราฟ และมีจุด ( e,f(e) ) เป็น
จุดต่ำสุด ดังนั้น f มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ b และมีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ e
y ( )
b,f(b)
(
e,f(e)
)
a b c d e x
รูปที่ 6.1: ค่าสูงสุด f(b), ค่าต่ำสุด f(e)
คำถาม ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันมีค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์หรือไม่
คำตอบ ไม่ ซึ่งพิจารณาได้จากกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้
y
y
y = f(x)
f(c)
y = f(x)
c
x
c
x
f(c)
(a)
(b)
รูปที่ 6.2: (a) ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ (b) ค่าสูงสุดสัมบูรณ์
จากรูปที่ 6.2(a) พบว่าฟังก์ชัน f ไม่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์แต่มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ c สำหรับรูป
ที่ 6.2(b) เป็นกราฟของฟังก์ชัน f ที่ไม่มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ แต่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ c
คำถาม เมื่อใดฟังก์ชันที่เราพิจารณาจะมีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะตอบคำถามดังกล่าว
ทฤษฎีบท 6.1 ทฤษฎีบทค่าสุดขีด (Extreme Value Theorem) ถ้าฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง
บนช่วงปิด [a,b] แล้ว f จะมีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ f(c) และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ f(d) ที่จุด c และ d
บางจุดในช่วง [a,b]

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 94
y
พิจารณากราฟต่อไปนี้
y
y
| |
a c d b
x
|
a c d = b
x
| |
a c 1 d c 2 b
x
จะเห็นว่าแต่ละกราฟสอดคล้องกับสมมุติฐานของทฤษฎีบท 6.1 ดังนั้นแต่ละกราฟจะมีค่าสูงสุดสัมบูรณ์
และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
แต่ถ้าฟังก์ชันใดขาดสมมุติฐานใดสมมุติฐานหนึ่งในทฤษฎีบท 6.1 แล้วฟังก์ชันนั้นไม่จำเป็นต้อง
มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ ดังตัวอย่างกราฟต่อไปนี้
y
3 +
y
1
|
f
0 2
ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ f(2) = 0
แต่ไม่มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์
x
1 •
0
g
1
x
ฟังก์ชันต่อเนื่อง g ไม่มี
ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
ทฤษฎีบทค่าสุดขีดกล่าวแต่เพียงว่า ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิดจะมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมบูรณ์แต่
ไม่ได้บอกเราว่าจะหาค่าเหล่านี้ได้อย่างไร ก่อนที่จะศึกษาวิธีการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ เราจำเป็นต้อง
พิจารณาค่าสุดขีดอีกชนิดหนึ่ง ซึ่งเรานิยามได้ดังนี้
บทนิยาม 6.2
1. f(c) จะเป็น ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (relative maximum หรือ local maximum) ของ f
ถ้า f(c) ≥ f(x) สำหรับทุกค่าของ x ในช่วงเปิดบางช่วงที่บรรจุค่า c และจะเรียก ( c,f(c) )
ว่า จุดสูงสุดสัมพัทธ์
2. f(c) จะเป็น ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (relative minimum หรือ local minimum) ของ f
ถ้า f(c) ≤ f(x) สำหรับทุกค่าของ x ในช่วงเปิดบางช่วงที่บรรจุค่า c และจะเรียก ( c,f(c) )
ว่า จุดต่ำสุดสัมพัทธ์
ถ้า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ c แล้วเราจะกล่าวว่า f มี ค่าสุดขีดสัมพัทธ์ (relative
extremum) ที่ c

•
•
•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 95
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
[
f ′ (a) หาค่าไม่ได้]
y
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
[
f ′ (c) = 0 ]
a
b
c
d
x
ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
[
f ′ (b) หาค่าไม่ได้]
ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
[
f ′ (d) = 0 ]
รูปที่ 6.3: ค่าสุดขีดสัมพัทธ์
รูปที่ 6.3 แสดงกราฟของฟังก์ชันที่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์หลายค่าด้วยกัน นอกจากนี้ จากรูปเรา
สังเกตได้ว่า ค่าสุดขีดสัมพัทธ์แต่ละค่าจะเกิดที่จุดที่มีเส้นสัมผัสในแนวนอน ( นั่นคือ f ′ (x) = 0 ) หรือ
ที่จุดที่มีเส้นสัมผัสในแนวยืน ( นั่นคือ f ′ (x) หาค่าไม่ได้)
ดังนั้นเราจึงกำหนดชื่อให้กับจุดดังกล่าว ดัง
บทนิยามต่อไปนี้
บทนิยาม 6.3 ค่าวิกฤต (critical number) ของฟังก์ชัน f คือค่า c ที่อยู่ในโดเมนของ
f ที่ทำให้ f ′ (c) = 0 หรือ f ′ (c) หาค่าไม่ได้
ทฤษฎีบท 6.2 ทฤษฎีบทของแฟร์มา (Fermat’s Theorem) ถ้า f มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ c
แล้ว c เป็นค่าวิกฤตของ f
ตัวอย่าง 6.1 จงหาค่าวิกฤตและค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = 2x 3 +3x 2 −12x−5
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.2 จงหาค่าวิกฤตและค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = (2x+3) 2/3
วิธีทำ .........
หมายเหตุ ทฤษฎีบทของแฟร์มากล่าวแต่เพียงว่า ค่าสุดขีดสัมพัทธ์จะเกิดขึ้นเฉพาะที่ค่าวิกฤต แต่ไม่
ได้กล่าวว่า จะมีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ทุกค่าวิกฤต ตัวอย่าง 6.3 จะแสดงให้เห็นว่า ณค่าวิกฤต ฟังก์ชัน
ไม่ได้ให้ค่าสุดขีดสัมพัทธ์
ตัวอย่าง 6.3 จงหาค่าวิกฤตและค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = x 3
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.4 จงหาค่าวิกฤตของ f(x) = x2 +3
x+1

•
•
•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 96
วิธีทำ .........
จากที่ได้กล่าวมาข้างต้น ค่าสุดขีดสัมพัทธ์จะเกิดขึ้นเฉพาะที่ค่าวิกฤต และฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง
ปิดจะมีค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ แต่เรายังไม่ได้กล่าวถึง วิธีการหาค่าสุดขีดดังกล่าว ทฤษฎีบทต่อไปนี้
จะมีประโยชน์ในการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์
ทฤษฎีบท 6.3 ถ้าฟังก์ชัน f ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] แล้วค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f
จะเกิดขึ้นที่จุดปลายของช่วง (a หรือ b) หรือที่ค่าวิกฤตของ f
ทฤษฎีบท 6.3 ช่วยให้เราได้ขั้นตอนของการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันต่อเนื่อง f บน
ช่วงปิด [a,b] ดังนี้
ขั้นตอนที่ 1 หาค่าวิกฤตของ f ในช่วง (a,b)
ขั้นตอนที่ 2 หาค่า f ที่ค่าวิกฤตทั้งหมด และที่จุดปลาย a และ b
ขั้นตอนที่ 3 ค่าที่มากที่สุดที่ได้จากขั้นตอนที่ 2 คือ ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f บนช่วง [a,b] และ
ค่าที่น้อยที่สุดคือ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์
ตัวอย่าง 6.5 จงหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f(x) = x 3 −3x+1 บนช่วงปิด [0,3]
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.6 จงหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f(x) = lnx
x
วิธีทำ .........
บนช่วงปิด [1,3]
แบบฝึกหัด 6.1
1. จากกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงพิจารณาว่าแต่ละค่า a, b, c, d, e, r, s และ
t ให้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมบูรณ์ และค่าสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์หรือไม่
(a) y
a b c d e r s t
x
(b)
y
a b c d e r s
t
x

•
•
•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 97
2. จากกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ จงหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ และค่าสุดขีดสัมพัทธ์
(a)
y
y = f(x)
1
0
1
x
(b)
y
y = f(x)
1
0
1
x
3. จงหาค่าวิกฤตของฟังก์ชันต่อไปนี้ พร้อมทั้งพิจารณาว่าที่ค่าวิกฤตนั้น ฟังก์ชันให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์หรือไม่
(a) f(x) = x 2 +5x−1
(b) f(x) = x 3 −3x+1
(c) f(x) = x 3 −3x 2 +3x (d) f(x) = x 4 −3x 3 +2
(e) f(x) = x 3/4 −4x 1/4 (f) f(x) = x 3 −2x 2 −4x
(g) f(x) = sinxcosx, [0,2π] (h) f(x) = x+1
x−1
(i) f(x) = x (j) f(x) = 1
x 2 2
+1
(ex +e −x )
(k) f(x) = x 4/3 +4x 1/3 +3x −2/3 (l) f(x) = 2x √ x+1
(m) f(x) = e −x2
(n) f(x) = sinx 2 , [0,π]
4. จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ บนช่วงที่กำหนดให้
(a) f(x) = 3x 2 −12x+5, [0,3]
(b) f(x) = 2x 3 +3x 2 +4, [−2,1]
(c) f(x) = x 4 −4x 2 +2, [−3,2] (d) f(x) = x 2 − 2 x , [1 2 ,2]
(e) f(x) = x
x 2 +1 , [0,2]
(f) f(x) = sinx+cosx, [0,π/3]
(g) f(x) = xe −x , [0,2] (h) f(x) = x−3lnx, [1,4]
(i) f(x) = |x−1|, [0,3]
(j) f(x) = 3√ x, [−1,27]

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 98
คำตอบแบบฝึกหัด 6.1
1. (a) ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ b; ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ b, e และr; ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่d
ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ d และ s
(b) ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ e; ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ e และs; ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ t
ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ b, c, d, r และ t
2. (a) ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ f(4) = 4; ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์f(7) = 0
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ f(4) = 4, f(6) = 3; ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ f(2) = 1, f(5) = 2
(b) ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ f(7) = 5; ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ f(1) = 0
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ f(0) = 2, f(3) = 4, f(5) = 3
ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ f(1) = 0, f(4) = 2, f(6) = 1
3. (a) − 5 , ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (b) −1, ค่าสูงสุดสัมพัทธ์; 1, ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
2
(c) 1, ไม่ให้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
(d) 0, ไม่ให้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์;
9
4 , ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
(e) 0, ไม่ให้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์;
16
9 , ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
(f) − 2 , ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์; 2, ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
3
(g) π 4 , 5π 4 , ค่าสูงสุดสัมพัทธ์; 3π
4 , 7π 4 , ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
(h) 1, ไม่ให้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
(i) −1, ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์; 1, ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
(j) 0, ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
(k) −2,1, ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
(l) − 2, ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (m) 0, ค่าสูงสุด
3
√
3π
(n) 0, , ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์; √ √
π , 5π
, ค่าสูงสุดสัมพัทธ์
2 2 2
4. (a) f(0) = 5,f(2) = −7 (b) f(1) = 9,f(−2) = 0
(c) f(−3) = 47,f(± √ 2) = −2
(d) f(2) = 3,f(1) = −1
(e) f(1) = 1 2 ,f(0) = 0 (f) f(π/4) = √ 2,f(0) = 1
(g) f(1) = 1/e,f(0) = 0
(i) f(3) = 2,f(1) = 0
(h) f(1) = 1,f(3) = 3−3ln3
(j) f(27) = 3,f(−1) = −1
6.2 ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
คำถามหนึ่งที่ยังไม่มีคำตอบก็คือ ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันเกิดขึ้นที่ใด และสิ่งที่
ทราบมาแล้วก็คือ ค่าสุดขีดสัมพัทธ์จะเกิดขึ้นเฉพาะที่ค่าวิกฤต แต่ค่าวิกฤตทุกค่าไม่จำเป็นต้องให้ค่า
สุดขีดสัมพัทธ์ ในหัวข้อนี้เราจะพิจารณาว่า ที่ค่าวิกฤตใดให้ค่าสุดขีดสัมพัทธ์ ในขณะเดียวกันจะศึกษา
ความสัมพันธ์ของอนุพันธ์กับการเขียนกราฟของฟังก์ชัน

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 99
บทนิยาม 6.4 กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันที่นิยามบนช่วง I และให้ x 1 และ x 2 เป็นจุดในช่วง
I
(a) f เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) บนช่วง I ถ้า f(x 1 ) < f(x 2 ) เมื่อ
x 1 < x 2
(b) f เป็น ฟังก์ชันลด (decreasing function) บนช่วง I ถ้า f(x 1 ) > f(x 2 ) เมื่อ
x 1 < x 2
(c) f เป็น ฟังก์ชันคงตัว (constant function) ถ้า f(x 1 ) = f(x 2 ) สำหรับทุกค่า x 1
และ x 2
ทฤษฎีบท 6.4 กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด
(a,b)
(a) ถ้า f ′ (x) > 0 สำหรับทุกค่า x ∈ (a,b) แล้ว f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [a,b]
(b) ถ้า f ′ (x) < 0 สำหรับทุกค่า x ∈ (a,b) แล้ว f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง [a,b]
(c) ถ้า f ′ (x) = 0 สำหรับทุกค่า x ∈ (a,b) แล้ว f เป็นฟังก์ชันคงตัวบนช่วง [a,b]
ถึงแม้ว่าทฤษฎีบท 6.4 กล่าวเฉพาะฟังก์ชันที่นิยามบนช่วงปิด แต่ทฤษฎีบท 6.4 นี้สามารถ
นำมาใช้กับช่วงใดๆได้ เช่นถ้า f ต่อเนื่องบนช่วง [a,+∞) และ f ′ (x) > 0 บนช่วง (a,+∞)
แล้ว f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [a,+∞) และถ้า f ต่อเนื่องบนช่วง (−∞,+∞) และ f ′ (x) <
0 บนช่วง (−∞,+∞) แล้ว f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง (−∞,+∞)
ตัวอย่าง 6.7 จงหาช่วงที่ทำให้ f(x) = 3x 4 +4x 3 −12x 2 −5 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่ทำให้
f(x) เป็นฟังก์ชันลด
วิธีทำ .........
ทฤษฎีบท 6.5 การทดสอบโดยใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง (First Derivative Test) กำหนด
ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a,b] และ c ∈ (a,b) เป็นค่าวิกฤตของ f
(a) ถ้า f ′ (x) > 0 สำหรับทุกค่าของ x ∈ (a,c) และ f ′ (x) < 0 สำหรับทุกค่าของ x ∈ (c,b)
(
นั่นคือ f
′
เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบที่ c ) แล้ว f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ c
(b) ถ้า f ′ (x) < 0 สำหรับทุกค่าของ x ∈ (a,c) และ f ′ (x) > 0 สำหรับทุกค่าของ x ∈ (c,b)
(
นั่นคือ f
′
เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกที่ c ) แล้ว f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ c
(c) ถ้า f ′ (x) มีเครื่องหมายเหมือนกันบนช่วง (a,c) และ (c,b) ( นั่นคือ f ′ มีเครื่องหมาย
บวกทั้งสองด้านของ c หรือมีเครื่องหมายลบทั้งสองด้านของ c ) แล้ว f ไม่มีค่าสุดขีด
สัมพัทธ์ที่ c

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 100
รูปภาพต่อไปนี้จะช่วยให้เข้าใจทฤษฎีบท 6.5 มากขึ้น
y
y
f ′ (x) > 0 f ′ (x) < 0
f ′ (x) < 0 f ′ (x) > 0
0 c
x
0 c
x
(a) f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
y
(b) f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
y
f ′ (x) > 0
f ′ (x) > 0
f ′ (x) < 0
f ′ (x) < 0
0 c
x
0 c
x
(c) f ไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์
(d) f ไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์
ตัวอย่าง 6.8 จงหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันในตัวอย่าง 6.7
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.9 จงหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f(x) = x(x−1) 3
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.10 จงหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f(x) = (sinx) 2/3 บนช่วง ( − π , )
2π
6 3
วิธีทำ .........
แบบฝึกหัด 6.2
1. จงหาช่วงที่ทำให้ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด
(a) f(x) = x 3 −3x+2 (b) f(x) = x 4 −8x 2 +1
(c) f(x) = x 6 +192x+17 (d) f(x) = (x+1) 2/3
(e) f(x) = x−2sinx, [0,2π] (f) f(x) = sin3x, [0,π]
(g) f(x) = e x2 −1
(h) f(x) = (lnx)/ √ x
2. จงหาค่า x ที่ทำให้ฟังก์ชันต่อไปนี้มีค่าสุดขีด ( ค่าสุดขีดสัมบูรณ์ หรือค่าสุดขีดสัมพัทธ์)
พร้อมทั้ง
เขียนกราฟ

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 101
(a) f(x) = x 3 +2x 2 −x−1 (b) f(x) = x √ x 2 +1
(c) f(x) = xe −2x (d) f(x) = lnx 2
(e) f(x) = x (f) f(x) = x3
x 2 −1
x 2 −1
(g) f(x) = sinx+cosx (h) f(x) = √ x 3 +3x 2
(i) f(x) = x 2/3 −2x −1/3
3. จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน ที่มีคุณสมบัติตามที่กำหนดให้
(a) f(0) = 1, f(2) = 5, f ′ (x) < 0 สำหรับ x < 0 และ x > 0, f ′ (x) > 0
สำหรับ 0 < x < 2
(b) f(−1) = 1, f(2) = 5, f ′ (x) < 0 สำหรับ x < −1 และ x > 2, f ′ (x) > 0
สำหรับ −1 < x < 2, f ′ (−1) = 0, f ′ (2) หาค่าไม่ได้
(c) f(3) = 0, f ′ (x) < 0 สำหรับ x < 0 และ x > 3, f ′ (x) > 0 สำหรับ 0 < x < 3,
f ′ (3) = 0,
f(0) และ f ′ (0) หาค่าไม่ได้
(d) f(1) = 0, lim f(x) = 2,
x→∞
f ′ (x) < 0 สำหรับ x < 1, f ′ (x) > 0 สำหรับ
x > 1, f ′ (1) = 0
4. จงแสดงว่า 5 เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน g(x) = 2+(x−5) 3 แต่ g ไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่
5
5. จงหาฟังก์ชัน f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d ที่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ −2 เท่ากับ 3 และมีค่าต่ำ
สุดสัมพัทธ์ที่ 1 เท่ากับ 0
6. สมมุติให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกค่าของ x จงพิจารณาว่าข้อความ
ต่อไปนี้เป็นจริงหรือเป็นเท็จ
(a) ถ้า f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง [0,2] แล้ว f(0) > f(1) > f(2)
(b) ถ้า f ′ (1) > 0 แล้ว f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [0,2]
(c) ถ้า f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [0,2] แล้ว f ′ (1) > 0
(d) ถ้า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 1 แล้ว f(1) ≥ f(2)
(e) ถ้า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 1 แล้ว x = 1 เป็นค่าวิกฤตของ f
คำตอบแบบฝึกหัด 6.2
1. (a) ฟังก์ชันเพิ่ม: (−∞,−1)∪(1,∞); ฟังก์ชันลด: (−1,1)
(b) ฟังก์ชันเพิ่ม: (−2,0)∪(2,∞); ฟังก์ชันลด: (−∞,−2)∪(0,2)
(c) ฟังก์ชันเพิ่ม: (−2,∞); ฟังก์ชันลด: (−∞,−2)
(d) ฟังก์ชันเพิ่ม: (−1,∞); ฟังก์ชันลด: (−∞,−1)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 102
(e) ฟังก์ชันเพิ่ม: ( π 3 , 5π 3 )∪(7π 3 ,3π); ฟังก์ชันลด: (0, π 3 )∪(5π 3 , 7π 3 )
(f) ฟังก์ชันเพิ่ม: (0, π 6 )∪(3π 6 , 5π 6 ); ฟังก์ชันลด: (π 6 , 3π 6 )∪(5π 6 ,π)
(g) ฟังก์ชันเพิ่ม: (0,∞); ฟังก์ชันลด: (−∞,0)
(h) ฟังก์ชันเพิ่ม: (0,e 2 ); ฟังก์ชันลด: (e 2 ,∞)
2. (a) ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่x = − 2 − √ 7
; ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = 3 3 −2 + √ 7
3 3
y
2
2
x
(b) ไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์และค่าสุดขีดสัมบูรณ์
10
y
2
x
(c) ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ x = 1 2
y
0.2
1
x
(d) ไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์และค่าสุดขีดสัมบูรณ์
y
1
1
x

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 103
(e) ไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์และค่าสุดขีดสัมบูรณ์
y
2
1
x
(f) ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ x = − √ 3; ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ x = √ 3
y
2
4
x
(g) ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่x = π +2nπ; ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ x = 5π +2nπ
4 4
y
2
π
x
(h) ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = −2; ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ x = 0
y
(i) ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ x = −1
2
y
1
x
2
2
x
5. f(x) = 1 9 (2x3 +3x 2 −12x+7)
6. (a) เป็นจริง (b) เป็นเท็จ (c) เป็นเท็จ (d) เป็นเท็จ (e) เป็นจริง

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 104
6.3 ความเว้า
แม้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f จะบอกช่วงที่ทำให้กราฟของ f มีลักษณะเพิ่มขึ้นหรือลดลง แต่ไม่
ได้บอกว่ากราฟมีลักษณะโค้งแบบใด ตัวอย่างเช่นกราฟของรูปที่ 6.4 ทั้งสองกราฟ มีลักษณะเพิ่ม
ขึ้น แต่มีลักษณะของโค้งไม่เหมือนกัน กราฟทางด้านซ้ายมือมีลักษณะเว้าอยู่ด้านบน ในขณะที่
กราฟทางด้านขวามือมีลักษณะเว้าอยู่ด้านล่าง สำหรับช่วงที่ทำให้กราฟของ f มีความเว้าอยู่ด้านบน
เรากล่าวว่า f เว้าบน (concave up) บนช่วงนั้น และช่วงที่ทำให้กราฟของ f มีความเว้าอยู่
ด้านล่าง จะกล่าวว่า f เว้าล่าง (concave down) บนช่วงนั้น
y
y
0 a b
x
0 a b
x
รูปที่ 6.4:
รูปที่ 6.5 ช่วยให้เราสามารถพิจารณาความเว้าของฟังก์ชันบนช่วงเปิดใดๆ ดังนี้
• f เว้าบน บนช่วงเปิดใดๆ ถ้าความชันของเส้นสัมผัสโค้งเพิ่มขึ้นบนช่วงนั้น และ f เว้าล่าง
ถ้าความชันของเส้นสัมผัสโค้งลดลงบนช่วงนั้น
• f เว้าบน บนช่วงเปิดใดๆ ถ้ากราฟของ f อยู่บนเส้นสัมผัสโค้งบนช่วงนั้น และ f เว้าล่าง
ถ้ากราฟของ f อยู่ล่างเส้นสัมผัสโค้งบนช่วงนั้น
y
y
0 a b
x
0 a b
x
รูปที่ 6.5:
บทนิยาม 6.5 ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนเปิด I ใดๆ แล้ว
(a) f จะเว้าบน(concave up) บนช่วง I ถ้า f ′ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง I
(b) f จะเว้าล่าง(concave down) บนช่วง I ถ้า f ′ เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง I
เนื่องจากความชันของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน f ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ คือค่าของ
อนุพันธ์ f ′ และจากทฤษฎีบท 6.4 จะได้ว่า f ′ เป็นฟังกชันเพิ่มบนช่วงที่ f ′′ มีค่าเป็นบวก และ
f ′ เป็นฟังกชันลดบนช่วงที่ f ′′ มีค่าเป็นลบ ดังที่กล่าวในทฤษฎีบทต่อไปนี้

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 105
ทฤษฎีบท 6.6 กำหนดให้ f ′′ หาค่าได้บนช่วงเปิด I ใดๆ
(a) ถ้า f ′′ (x) > 0 สำหรับทุก x บนช่วง I แล้ว f จะเว้าบนบนช่วง I
(b) ถ้า f ′′ (x) < 0 สำหรับทุก x บนช่วง I แล้ว f จะเว้าล่างบนช่วง I
บทนิยาม 6.6 ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงเปิดใดๆ ที่บรรจุค่า c และถ้า f มีการเปลี่ยน
ความเว้าที่จุด (c,f(c)) แล้ว f จะมีจุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) ที่ c และจะเรียกจุด
(c,f(c)) บนกราฟของ f ว่าจุดเปลี่ยนเว้าของ f
ตัวอย่าง 6.11 จงพิจารณาความเว้าของฟังก์ชัน f(x) = x 4 −6x 2 +3 และหาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี)
วิธีทำ .........
ทฤษฎีบท 6.7 การทดสอบโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง (Second Derivative Test) กำหนด
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองที่ c
(a) ถ้า f ′ (c) = 0 และ f ′′ (c) < 0 แล้ว f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ c
(b) ถ้า f ′ (c) = 0 และ f ′′ (c) > 0 แล้ว f(c) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ c
(c) ถ้า f ′ (c) = 0 และ f ′′ (c) = 0 แล้วการทดสอบนี้ไม่สามารถหาข้อสรุปได้ นั่นคือ f อาจจะ
มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ หรือไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่ c
ตัวอย่าง 6.12 จงหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์ของ f(x) = 3x 5 −5x 3
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.13 กำหนดฟังก์ชัน f(x) = x 4 −4x 3 +12
• จงหาช่วงที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด
• จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี) ของ f
• จงหาช่วงที่ทำให้กราฟของ f เว้าบน หรือเว้าล่าง และหาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี)
• จงเขียนกราฟของ f โดยใช้ข้อมูลที่หาได้ข้างต้น
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.14 กำหนดฟังก์ชัน f(x) = x 2/3 (6−x) 1/3
• จงหาช่วงที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และฟังก์ชันลด
• จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี)
• จงหาช่วงที่ทำให้ f เว้าบน หรือเว้าล่าง และหาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี)
• จงเขียนกราฟของฟังก์ชันโดยใช้ข้อมูลที่หาได้ข้างต้น

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 106
วิธีทำ .........
แบบฝึกหัด 6.3
1. จงหาช่วงที่ทำให้กราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้เว้าบน และเว้าล่าง
(a)
y
20
10
−3
−1
1 3
x
(b)
y
1
−4
−2
2 4
x
(c)
y
10
5
−2
2 4
x
−5
−10
(d)
y
10
5
−3
−1
1 2 3
x
−5
2. จากฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้
• จงหาช่วงที่ทำให้ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น และลดลง
• จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (ถ้ามี)

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 107
• จงหาช่วงที่ทำให้ฟังก์ชันเว้าบนหรือเว้าล่าง และหาจุดเปลี่ยนเว้า (ถ้ามี)
• จงเขียนกราฟของฟังก์ชันโดยใช้ข้อมูลที่หาได้ข้างต้น
(a) f(x) = 2x 3 −3x 2 −12x (b) f(x) = x 4 −6x 2
(c) f(x) = 3x 5 −5x 3 +3 (d) f(x) = x √ x 2 +1
(e) f(x) = x 1/3 (x+3) 2/3
(f) f(x) = sin 2 x
3. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติที่กำหนดให้ต่อไปนี้
(a) f(0) = 2, f ′ (x) > 0 สำหรับทุกค่าของ x, f ′ (0) = 1, f ′′ (x) > 0 สำหรับ
x > 0, f ′′ (x) < 0 สำหรับ x < 0, f ′′ (0) = 0
(b) f(0) = 1, f ′ (x) ≥ 0 สำหรับทุกค่าของ x, f ′ (0) = 0, f ′′ (x) > 0 สำหรับ
x > 0, f ′′ (x) < 0 สำหรับ x < 0, f ′′ (0) = 0
(c) f(0) = 0, f ′ (x) > 0 สำหรับ x < −1 และ −1 < x < 1, f ′ (x) < 0 สำหรับ
x > 1, f ′′ (x) > 0 สำหรับ x < −1, 0 < x < 1 และ x > 1, f ′′ (x) < 0
สำหรับ −1 < x < 0
(d) f(0) = 2, f ′ (x) > 0 สำหรับทุกค่าของ x, f ′ (0) = 1, f ′′ (x) > 0 สำหรับ
x < 0, f ′′ (x) < 0 สำหรับ x > 0
(e) f(0) = 0, f(−1) = −1, f(1) = 1, f ′ (x) > 0 สำหรับ x < −1 และ
0 < x < 1, f ′ (x) < 0 สำหรับ −1 < x < 0 และ x > 1, f ′′ (x) < 0 สำหรับ
x < 0 และ x > 0
(f) f(1) = 0, f ′ (x) < 0 สำหรับ x < 1, f ′ (x) > 0 สำหรับ x > 1, f ′′ (x) < 0
สำหรับ x < 1 และ x > 1
คำตอบแบบฝึกหัด 6.3
1. (a) เว้าบน: (−∞,−1)∪(1,∞); เว้าล่าง: (−1,1)
(b) เว้าบน: (−∞,0); เว้าล่าง: (0,∞)
(c) เว้าบน: (1,∞); เว้าล่าง: (−∞,1)
(d) เว้าบน: (−1,0)∪(1,∞); เว้าล่าง: (−∞,−1)∪(0,1)
2. (a) เพิ่มขึ้น: (−∞,−1)∪(2,∞); ลดลง: (−1,2)
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์: f(−1) = 7; ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์: f(2) = −20
เว้าบน: ( 1,∞); เว้าล่าง: (−∞, 1); จุดเปลี่ยนเว้า: 2 2 (1 2 ,−13)
2

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 108
y
5
−10
1
x
−20
(b) เพิ่มขึ้น: (− √ 3,0)∪( √ 3,∞); ลดลง: (−∞,− √ 3)∪(0, √ 3)
ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์: f(± √ 3) = −9; ค่าสูงสุดสัมพัทธ์: f(0) = 0
เว้าบน: (−∞,−1)∪(1,∞); เว้าล่าง: (−1,1); จุดเปลี่ยนเว้า: (±1,−5)
y
−1
1
• •
x
• •
−10
(c) เพิ่มขึ้น: (−∞,−1)∪(1,∞); ลดลง: (−1,−1)
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์: f(−1) = 5; ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์: f(1) = 1
เว้าบน: (−1/ √ 2,0)∪(1/ √ 2,∞); เว้าล่าง: (−∞,−1/ √ 2)∪(1/ √ 2,∞)
จุดเปลี่ยนเว้า: (0,3), (±1/ √ √
2,3∓ 7 8 2)
y
−1
5
1
x
(d) เพิ่มขึ้น: (−∞,∞); ไม่มีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
เว้าบน: (0,∞); เว้าล่าง: (−∞,0); จุดเปลี่ยนเว้า: (0,0)
y
x
e) เพิ่มขึ้น: (−∞,−3)∪(−1,∞); ลดลง: (−3,−1)
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์: f(−3) = 0; ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์: f(−1) = − 3√ 4
เว้าบน: (−∞,−3)∪(−3,0); เว้าล่าง: (0,∞); จุดเปลี่ยนเว้า: (0,0)

•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 109
y
2
1
x
(f) เพิ่มขึ้น: (0,π/2)∪(π,3π/2); ลดลง: (π/2,π)∪(3π/2,2π)
ค่าสูงสุดสัมพัทธ์: f(π/1) = f(3π/2) = 1; ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์: f(π) = 0
เว้าบน: (0,π/4)∪(3π/4,5π/4)∪(7π/4,2π)
เว้าล่าง: (π/4,3π/4)∪(5π/4,7π/4)
จุดเปลี่ยนเว้า: (π/4, 1 2 ),(3π/4, 1 2 ),(5π/4, 1 2 ),(7π/4, 1 2 ) x
y
1
0
π
2
π
3π
2
2π
6.4 รูปแบบยังไม่กำหนดและหลักเกณฑ์โลปีตาล
ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงวิธีการทั่วไปในการหาลิมิตโดยใช้อนุพันธ์ ซึ่งเป็นวิธีการที่นิยมใช้มากใน
การหาลิมิตโดยใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ และสามารถหาลิมิตได้หลากหลายรูปแบบ
6.4.1 รูปแบบยังไม่กำหนด 0/0
โดยทั่วไปถ้าลิมิตอยู่ในรูปแบบ
f(x)
lim
x→a g(x)
โดยที่ f(x) → 0 และ g(x) → 0 เมื่อ x → a แล้วจะเรียกลิมิตรูปแบบนี้ว่า รูปแบบยังไม่กำหนด
0/0 ( indeterminate form of type 0/0 ) และค่าของลิมิตอาจจะหาค่าได้หรือหาค่าไม่ได้
เราได้พบลิมิตในรูปแบบนี้มาแล้วบ้างในบทที่4 ตัวอย่างเช่น
x 3 +2x−5
lim
x→2 x 2 −3
= 7 และ lim
x→0
sinx
x = 1
ลิมิตแรกเป็นลิมิตของฟังก์ชันตรรกยะ ซึ่งสามารถหาค่าลิมิตได้โดยการตัดทอนตัวประกอบร่วม สำหรับ
ลิมิตที่สอง เราสามารถใช้วิธีการเชิงเรขาคณิตในการหาค่าลิมิต อย่างไรก็ตามมีรูปแบบลิมิตหลาย
รูปแบบที่ไม่สามารถใช้วิธีการทางพีชคณิต หรือวิธีการเชิงเรขาคณิตหาค่าลิมิตได้
ดังนั้นในหัวข้อนี้เราจะเรียนรู้วิธีการที่เรียกว่า หลักเกณฑ์โลปีตาล (L’Hospital’s Rule) ซึ่ง
จะใช้ในการหาลิมิตในรูปแบบยังไม่กำหนด

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 110
ทฤษฎีบท 6.8 ( หลักเกณฑ์โลปีตาลสำหรับรูปแบบยังไม่กำหนด 0/0 ) สมมุติให้ f และ g เป็น
ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิดที่บรรจุจุด x = a (อาจจะยกเว้นที่ x = a) และให้
limf(x) = 0 และ lim g(x) = 0
x→a x→a
ถ้า lim
x→a
[f ′ (x)/g ′ (x)] หาค่าได้ หรือถ้าค่าลิมิตเป็น +∞ หรือ −∞ แล้ว
f(x)
lim
x→a g(x) = lim f ′ (x)
x→a g ′ (x)
นอกจากนี้ข้อความข้างต้นยังคงเป็นจริงสำหรับกรณีของลิมิตเมื่อ x → a − , x → a + , x →
−∞ หรือเมื่อ x → +∞
ตัวอย่างต่อไปนี้จะใช้หลักเกณฑ์โลปีตาลในการหาค่าลิมิต โดยมีขั้นตอนดังนี้
f(x)
ขั้นตอนที่ 1 ตรวจสอบว่า lim อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด 0/0
x→a g(x)
ขั้นตอนที่ 2 หาอนุพันธ์ของ f และ g แยกกัน
ขั้นตอนที่ 3 หาค่า lim
x→a
f ′ (x)
g ′ (x)
ถ้าลิมิตหาค่าได้ หรือค่าลิมิตเป็น +∞ หรือ −∞ แล้วจะได้ว่า
f ′ (x)
lim
x→a g ′ (x) = lim f(x)
x→a g(x)
ตัวอย่าง 6.15 จงหาค่าของ lim
x→1
lnx
1−x
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.16 จงหาค่าของ lim
x→0
1−cosx
sinx
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.17 จงหาค่าของ lim
x→0
tanx−x
x 3
วิธีทำ .........
6.4.2 รูปแบบยังไม่กำหนด ∞ ∞
ถ้าพิจารณาลิมิตในรูปแบบ
f(x)
lim
x→a g(x)
โดยที่ f(x) → +∞ (หรือ −∞) และ g(x) → +∞ (หรือ −∞) เมื่อ x → a แล้วจะได้ว่าลิ
มิตอาจจะหาค่าได้หรือหาค่าไม่ได้ และจะเรียกลิมิตรูปแบบลักษณะนี้ว่า รูปแบบยังไม่กำหนด ∞/∞
(
indeterminate form of type ∞/∞
)
เราได้พบลิมิตในรูปแบบนี้มาก่อนแล้ว เช่น
lim
x→+∞
2x 2 −3
3x 2 −5x

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 111
จากหัวข้อ4.3 จะได้ว่าลิมิตนี้สามารถหาค่าได้ โดยการหารตัวเศษและตัวส่วนด้วย x ยกกำลังเลขชี้
กำลังมากที่สุดของตัวส่วน นั่นคือ
lim
x→+∞
2x 2 −3
3x 2 −5x = lim
x→+∞
(2x 2 −3)/x 2
(3x 2 −5x)/x 2
2− 3
= lim x 2
x→+∞
3− 5 x
= 2−0
3−0 = 2 3
อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถใช้วิธีการนี้กับการหาค่าลิมิต
lim
x→1
lnx
1−x
แต่หลักเกณฑ์โลปีตาลสามารถนำมาใช้ในการหาลิมิตรูปแบบยังไม่กำหนด ∞/∞
ทฤษฎีบท 6.9 ( หลักเกณฑ์โลปีตาลสำหรับรูปแบบยังไม่กำหนด ∞/∞ ) สมมุติให้ f และ g
เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิดที่บรรจุจุด x = a (อาจจะยกเว้นที่ x = a) และให้
limf(x) = ±∞ และ limg(x) = ±∞
x→a x→a
ถ้า lim
x→a
[f ′ (x)/g ′ (x)] หาค่าได้ หรือถ้าค่าลิมิตเป็น +∞ หรือ −∞ แล้ว
f(x)
lim
x→a g(x) = lim f ′ (x)
x→a g ′ (x)
นอกจากนี้ข้อความข้างต้นยังคงเป็นจริงสำหรับกรณีของลิมิตเมื่อ x → a − , x → a + , x →
−∞ หรือเมื่อ x → +∞
e x
ตัวอย่าง 6.18 จงหาค่าของ lim
x→+∞ x 2
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.19 จงหาค่าของ lim
x→0 + lnx
cscx
วิธีทำ .........
6.4.3 รูปแบบยังไม่กำหนด 0·∞
ถ้า limf(x) = 0 แต่ limg(x) = ±∞ แล้วไม่มีความชัดเจนว่า limf(x)g(x) มีค่าเท่าไร
x→a x→a x→a
เราเรียกลิมิตในรูปแบบนี้ว่า รูปแบบยังไม่กำหนด 0 · ∞ ( indeterminate form of type
0·∞ ) ลิมิตในรูปแบบยังไม่กำหนด 0·∞ สามารถหาค่าได้ โดยการเขียนผลคูณ fg ในรูปผลหาร
นั่นคือ
fg = f
1/g
หรือ fg = g
1/f
จากนั้นใช้หลักเกณฑ์โลปีตาลหาลิมิตสำหรับรูปแบบยังไม่กำหนด 0/0 หรือ ∞/∞

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 112
ตัวอย่าง 6.20 จงหาค่าของ lim
x→0 +xlnx
วิธีทำ .........
หมายเหตุ อีกวิธีหนึ่งของการหาค่าลิมิตของตัวอย่าง 6.20 คือเขียนลิมิตใหม่ในรูป
x
lim
x→0 +xlnx
= lim
x→0 + 1/lnx
ซึ่งลิมิตทางขวามือมีรูปแบบยังไม่กำหนด 0/0 แต่การใช้หลักเกณฑ์โลปีตาลในกรณีนี้จะมีความ
ยุ่งยากมากกว่า เพราะต้องหาอนุพันธ์ของ 1/lnx ดังนั้นโดยทั่วไปการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด
จาก 0 · ∞ เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด 0/0 หรือ ∞/∞ ควรเลือกกรณีที่นำไปสู่การหาลิมิตที่ง่าย
กว่า
ตัวอย่าง 6.21 จงหาค่าของ lim
x→π/4 (1−tanx)sec2x
วิธีทำ .........
6.4.4 รูปแบบยังไม่กำหนด ∞−∞
ถ้าค่าลิมิต lim
x→a
[f(x)−g(x)] อยู่ในรูป
(+∞)−(+∞), (−∞)−(−∞), (+∞)+(−∞), (−∞)+(+∞)
แล้วจะเรียกลิมิตรูปแบบนี้ว่า รูปแบบยังไม่กำหนด ∞−∞ ( indeterminate form of type
∞−∞ ) การหาค่าลิมิตในรูปแบบนี้ บางครั้งสามารถหาได้โดยการเปลี่ยนรูปลิมิตของผลต่างเป็นลิมิต
ของผลหาร ซึ่งจะได้ลิมิตที่มีรูปแบบยังไม่กำหนด 0/0 หรือ ∞/∞
[
1
ตัวอย่าง 6.22 จงหาค่าของ lim
x→0 ln(x+1) − 1 ]
x
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.23 จงหาค่าของ
lim
x→(π/2) −(secx−tanx)
วิธีทำ .........
6.4.5 รูปแบบยังไม่กำหนด 0 0 ,∞ 0 ,1 ∞
รูปแบบยังไม่กำหนดหลายรูปแบบเกิดขึ้นมาจากลิมิตในรูป
ซึ่งแบ่งเป็นกรณีได้ดังนี้
[ ] g(x)
lim f(x)
x→a
1. lim
x→a
f(x) = 0 และ lim
x→a
g(x) = 0 จะได้รูปแบบยังไม่กำหนด 0 0

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 113
2. lim
x→a
f(x) = ∞ และ lim
x→a
g(x) = 0 จะได้รูปแบบยังไม่กำหนด ∞ 0
3. lim
x→a
f(x) = 1 และ lim
x→a
g(x) = ±∞ จะได้รูปแบบยังไม่กำหนด 1 ∞
ในแต่ละกรณีเราสามารถหาค่าลิมิตได้ เริ่มด้วยการให้
จากนั้นหาลิมิตของ lny เนื่องจาก
y = [ f(x) ] g(x)
lny = ln [ f(x) ] g(x)
= g(x)·ln[f(x)]
ดังนั้นลิมิตของ lny จะมีรูปแบบยังไม่กำหนด 0·∞ ซึ่งสามารถหาค่าลิมิตได้ โดยวิธีการที่กล่าวมา
ข้างต้น หลังจากที่ทราบค่าลิมิตของ lny แล้วเราสามารถหาค่าลิมิตของ y = [ f(x) ] g(x)
ดังตัวอย่าง
ต่อไปนี้
ตัวอย่าง 6.24 จงหาค่าของ lim
x→0
(tanx) sinx
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.25 จงหาค่าของ lim
x→+∞ (ex +x) 1 x
วิธีทำ .........
ตัวอย่าง 6.26 จงหาค่าของ lim
1
x→1 +x x−1
วิธีทำ .........
แบบฝึกหัด 6.4
จงหาค่าของลิมิตต่อไปนี้
x+2
1. lim
x→−2 x 2 −4
3x 2 +2
3. lim
x→+∞ x 2 −4
e x −1
5. lim
x→0 sinx
sinx−x
7. lim
x→0 x 3
x 3
9. lim
x→+∞ e x
2. lim
x→−2
x+1
x 2 +4x+3
x+1
4. lim
x→−∞ x 2 +4x+3
sinx
6. lim
x→0 x 3
√ x−1
8. lim
x→1 x−1
e x −1
10. lim
x→0 x

เอกสารประกอบการสอนวิชา SC142 จัดทำโดย ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 114
11. lim
x→1
sinπx
x−1
13. lim
x→+∞ xe−x
15. lim
x→0 +xlnx
(√
17. lim x2 −1−x)
x→+∞
19. lim
(lnx+ 1 )
x→0 + x
21. lim
x→0 +xsinx
lnx
12. lim
x→+∞ x 2
14. lim
x→0
xsinx
cosx−1
16. lim
x→0 + lnx
18. lim
x→+∞
cotx
(
1+ 1 x
20. lim
x→0 +(1/x)x
) x
22. lim
x→0
(1−2x) 1/x
คำตอบแบบฝึกหัด 6.4
1. − 1 2. 1 3. 3 4. 0 5. 1 6. ∞ 7. − 1 8. 1 9. 0
4 6 2
10. 1 11. −π 12. 0 13. 0 14. −2 15. 0 16. 0 17. 0 18. e
19. ∞ 20. 1 21. 1 22. e −2