la micrometeorologia e la dispersione degli inquinanti ... - ARPA Lazio
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MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE La versione operativa delle relazioni precedenti è: Analoghe relazioni valgono per la direzione x e z a patto di utilizzare i valori appropriati di Tempo Lagrangiano di Scala.A proposito del Tempo Lagrangiano di Scala, è opportuno fare alcune considerazioni di utilità pratica: • esiste un Tempo Lagrangiano di Scala per ogni direzione (streamline, trasversale e verticale), e rappresenta in pratica il tempo di decorrelazione del moto della particella nella direzione data; • esiste una relazione tra Tempo Lagrangiano di Scala, varianza della componente del vento relativa alla direzione che si sta considerando e tasso di dissipazione dell’energia cinetica turbolenta che, per il caso verticale è data dalla relazione seguente e per le altre direzioni valgono relazioni analoghe in cui compare il valore appropriato della varianza della componente del vento relativa. Non sarà certo sfuggita una grave incongruenza fisica nella formulazione Particle-Puff fin qui presentata. In essa le coordinate (x,y,z) della particella subiscono variazioni stocastiche e σ x , σ y e σ z aumentano nel tempo, mostrando un progressivo incremento della turbolenza interiorizzata da un puff,e ciò fa sì che di fatto questo modello tenga conto due volte della turbolenza del PBL, cosa ovviamente scorretta (De Haan e Rotach, 1998a; Reynolds, 2000). Perché, viceversa, esso risulti fisicamente corretto è necessario che la turbolenza atmosferica totale interiorizzata dalla particella venga ripartita tra le variazioni stocastiche del baricentro e l’incremento delle deviazioni standard del Kernel gaussiano. Un possibile metodo è quello proposto da De Haan e Rotach (1998b) che si basa sulla constatazione che i vortici di dimensioni paragonabili alla dimensione della particella contribuiscono solo al suo incremento dimensionale mentre i vortici di dimensione maggiore determinano la variazione stocastica della posizione del baricentro della particella rispetto alla traiettoria deterministica imposta dal campo di vento medio. Soffermiamoci inizialmente sulla prima delle due affermazioni. Considerando come dimensione caratteristica della particella nelle tre direzioni cardinali (streamline, trasversale e verticale) rispettivamente le tre deviazioni standard σ x , σ y e σ z ,vortici con frequenza superiore a: contribuendo direttamente all’incremento dimensionale della particella non dovranno contribuire alla variazione nel tempo della velocità (e quindi della posizione) del baricentro della particella. Il meccanismo di generazione delle componenti della velocità della particella, costituito sostanzialmente dalle equazioni di Langevin, tiene conto inevitabilmente dei vortici di ogni dimensione. Una volta generate le nuove componenti della velocità della particella, perché esse non vengano apprezzabilmente contaminate dai vortici che già hanno contribuito al suo incremento dimensionale, è necessario operare un filtraggio numerico di tali componenti con un filtro passa-basso avente una frequenza di taglio prossima a n * x per la componente u della velocità, n * y per la componente v e n * z per la componente w. De Haan e Rotach hanno impiegato a questo proposito un filtro di Kalman, anche 349
MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE se (Reynolds,2000) sono utilizzabili altri tipi di filtri numerici di più semplice applicazione. La discussione fin qui condotta è stata focalizzata interamente su come applicare correttamente il kernel gaussiano.Va comunque rilevato, a margine di tutta la discussione, che molto spesso l’azione di filtraggio numerico sulle componenti della velocità della particella viene ignorata, soprattutto in quei modelli che trattano la dispersione di inquinanti a mesoscala. Comunque fin qui si è definito il contributo di ogni singola particella-puff alla concentrazione in un punto dello spazio ad un istante t e tale contributo è dato dalla relazione (7.38). Pertanto, all’istante t la concentrazione totale rilevata in un punto P è data dalla somma dei contributi derivanti da tutte le particelle presenti nel dominio di calcolo, cioè da: dove N è il numero totale di particelle presenti.Va comunque sottolineato che tale relazione fornisce la concentrazione istantanea dell’inquinante in quel punto, quella cioè che si realizza all’istante t. Nella maggior parte dei casi si è interessati, invece, alla determinazione della concentrazione media di inquinante in un periodo temporale compreso tra l’istante t 1 e l’istante t 2 = t 1 +T.Tale concentrazione media è data da: Dato che, come si vedrà immediatamente nel seguito, le equazioni di Langevin che compongono il modello stocastico che descrive il movimento nello spazio della particella deve essere discretizzato per poter essere risolto, l'intervallo temporale T= t 2 -t 1 verrà suddiviso in m sottointervalli uguali di ampiezza ∆t tali che t j = t j-1 +∆t (per j =0 t 0 = t 1 , per j = m t m = t 2 ) e per ogni istante t j sarà disponibile la relativa concentrazione istantanea data dalla (7.38). La concentrazione media nel periodo tra t 1 e t 2 sarà quindi approssimata dalla relazione: 7.8 LA DISCRETIZZAZIONE DELLE EQUAZIONI DI LANGEVIN In base a quanto esposto finora, il movimento nello spazio-tempo di una generica particella è dato dal sistema stocastico seguente: 350 Se si vuole realizzare un modello operativo,è necessario discretizzare queste equazioni. Se si considera un time-step finito ∆t invece di un incremento temporale infinitesimo dt, con alcune semplificazioni ulteriori la (7.43a) si trasforma nella seguente forma discreta:
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MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE<br />
se (Reynolds,2000) sono utilizzabili altri tipi di filtri numerici di più semplice<br />
applicazione. La discussione fin qui condotta è stata focalizzata interamente su<br />
come applicare correttamente il kernel gaussiano.Va comunque rilevato, a margine<br />
di tutta <strong>la</strong> discussione, che molto spesso l’azione di filtraggio numerico sulle<br />
componenti del<strong>la</strong> velocità del<strong>la</strong> particel<strong>la</strong> viene ignorata, soprattutto in quei<br />
modelli che trattano <strong>la</strong> <strong>dispersione</strong> di <strong>inquinanti</strong> a mesosca<strong>la</strong>.<br />
Comunque fin qui si è definito il contributo di ogni singo<strong>la</strong> particel<strong>la</strong>-puff al<strong>la</strong><br />
concentrazione in un punto dello spazio ad un istante t e tale contributo è dato<br />
dal<strong>la</strong> re<strong>la</strong>zione (7.38). Pertanto, all’istante t <strong>la</strong> concentrazione totale rilevata in un<br />
punto P è data dal<strong>la</strong> somma dei contributi derivanti da tutte le particelle presenti<br />
nel dominio di calcolo, cioè da:<br />
dove N è il numero totale di particelle presenti.Va comunque sottolineato che<br />
tale re<strong>la</strong>zione fornisce <strong>la</strong> concentrazione istantanea dell’inquinante in quel punto,<br />
quel<strong>la</strong> cioè che si realizza all’istante t. Nel<strong>la</strong> maggior parte dei casi si è interessati,<br />
invece, al<strong>la</strong> determinazione del<strong>la</strong> concentrazione media di inquinante in un periodo<br />
temporale compreso tra l’istante t 1 e l’istante t 2 = t 1 +T.Tale concentrazione<br />
media è data da:<br />
Dato che, come si vedrà immediatamente nel seguito, le equazioni di Langevin<br />
che compongono il modello stocastico che descrive il movimento nello spazio<br />
del<strong>la</strong> particel<strong>la</strong> deve essere discretizzato per poter essere risolto, l'intervallo temporale<br />
T= t 2 -t 1 verrà suddiviso in m sottointervalli uguali di ampiezza ∆t tali che<br />
t j = t j-1 +∆t (per j =0 t 0 = t 1 , per j = m t m = t 2 ) e per ogni istante t j sarà disponibile<br />
<strong>la</strong> re<strong>la</strong>tiva concentrazione istantanea data dal<strong>la</strong> (7.38). La concentrazione<br />
media nel periodo tra t 1 e t 2 sarà quindi approssimata dal<strong>la</strong> re<strong>la</strong>zione:<br />
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In base a quanto esposto finora, il movimento nello spazio-tempo di una generica<br />
particel<strong>la</strong> è dato dal sistema stocastico seguente:<br />
350<br />
Se si vuole realizzare un modello operativo,è necessario discretizzare queste equazioni.<br />
Se si considera un time-step finito ∆t invece di un incremento temporale<br />
infinitesimo dt, con alcune semplificazioni ulteriori <strong>la</strong> (7.43a) si trasforma nel<strong>la</strong><br />
seguente forma discreta:
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