la micrometeorologia e la dispersione degli inquinanti ... - ARPA Lazio

MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE
correlate nel tempo con distribuzione a media nulla e varianza dt. La seconda equazione,
dedicata alla descrizione dello spostamento fisico della particella nello spazio
reale, è la normale legge dello spostamento della cinematica che è stocastica solo
perché dW ha natura stocastica.
Come visto, il sistema (7.13) non è l’unico modo con cui descrivere il moto della
particella, infatti a questa descrizione lagrangiana si affianca anche una descrizione
euleriana in cui viene impiegata la controparte euleriana dell’equazione di
Langevin, cioè l’equazione di Fokker-Planck, dove compare la pdf P(z,w,t) il cui
ovvio significato è la probabilità che al tempo t esista una particella nella posizione
z÷z+dz con velocità verticale w÷w+dw. Dato che stiamo considerando uno spazio
delle fasi bidimensionali, l’equazione di Fokker-Planck sarà simile ma non uguale
a quanto visto in precedenza. In definitiva, la sua forma corretta è la seguente:
Il problema che dobbiamo affrontare ora è il seguente:
• il modello ideale con cui descrivere il moto della particella è sicuramente il sistema
(7.13) in cui però sono presenti i coefficienti a w e b w del tutto incogniti;
• tali coefficienti sono presenti anche nell’equazione di Fokker-Planck (7.14), controparte
euleriana dell’equazione di Langevin;
• nell’equazione (7.14) è presente inoltre la pdf P(z,w,t) che, per quel che ne sappiamo,
rappresenta le proprietà statistiche del movimento delle particelle di un
inquinante, impossibili da determinare.
Ciò che nella realtà siamo in grado di misurare o stimare sono solo le proprietà statistiche
del fluido turbolento in cui si muovono le particelle di inquinante e a cui è
dedicata l’intera Micrometeorologia riassunta nel Cap.2. Sarebbe auspicabile gettare
un ponte tra le proprietà statistiche del fluido e quelle delle particelle e ciò consentirebbe
forse di uscire da questa situazione di blocco logico. Questo ponte è stato
realizzato da Thomson (1987) che formulò la celebre well mixed criterion da cui sono
nati tutti gli sviluppi teorici ed applicativi successivi. Partiamo, nella discussione,
domandandoci per prima cosa quale sia il significato di concentrazione sullo spazio
delle fasi (z,w) di un generico inquinante.Tale concentrazione può essere definita in
maniera rigorosa come:
dove con P a (z,w,t) si è indicata la pdf associata al fatto che un elemento di fluido possiede
al tempo t una posizione z ed una velocità verticale w,proprietà statistica che
è realistico poter conoscere o stimare dalla Micrometeorologia, mentre con P(z,w,t)
si è indicato al solito la pdf di una generica particella in quel punto dello spazio
delle fasi. Il criterio postulato da Thomson, che di fatto rappresenta in un certo senso
un criterio di chiusura,è semplice ed intuitivo. Infatti, tra le tante situazioni possibili
possiamo considerare anche quella in cui le particelle di inquinante siano ben rimescolate
col fluido. Ciò comporta inevitabilmente che:
questo ad un certo generico istante t * .Perché mai questa situazione dovrebb mutare
nel tempo in assenza di sorgenti perturbatrici Un mutamento di concentrazio-
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