la micrometeorologia e la dispersione degli inquinanti ... - ARPA Lazio

MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE
marcata, ma ad uno stato ben preciso in un tempo ben preciso e mi domando quale
possa essere la probabilità che tale stato venga raggiunto da una qualsiasi particella
a partire da una condizione iniziale. Dato che l’interesse è rivolto ad un ben preciso
punto dello spazio delle fasi (cioè ad un ben preciso valore della velocità verticale della
particella), questa visione è di fatto una visione tipicamente euleriana. Con queste premesse
che focalizzano l’attenzione direttamente sulle funzioni di densità di probabilità
del processo stocastico Σ, ci si può porre la domanda se sia possibile una
descrizione di Σ alternativa all’equazione di Langevin. La risposta è affermativa
ed è riassunta nell’equazione seguente in cui compare come variabile proprio la
funzione di densità di probabilità P(w,t)
che prende il nome di equazione di Fokker-Planck.L’equazione di Fokker-Planck è
la controparte euleriana dell’equazione di Langevin. Anch’essa descrive l’evoluzione
del processo stocastico Markoviano, ma mentre la descrizione lagrangiana (equazione
di Langevin) ci presenta una descrizione individualistica (l’evoluzione, cioè,
di una ben precisa particella marcata), l’equazione di Fokker-Planck si dedica ad
una descrizione collettiva dell’intera popolazione di particelle. Il legame fra le due
equazioni è estremamente forte visto che le funzioni A(w,t) e D(w,t) presenti
nella (7.12) sono proprio il coefficiente di drift ed il coefficiente di diffusione
che compaiono anche nell’equazione di Langevin. Le due equazioni sono effettivamente
alternative, ma come vedremo, solo dall’impiego combinato di entrambe è possibile
ottenere modelli lagrangiani a particelle effettivamente utilizzabili.
7.3 MODELLO MONODIMENSIONALE DEL MOTO
DI UNA PARTICELLA.
Studiamo ora con maggior rigore il movimento di una particella di inquinante,
anche se per semplicità limitiamoci per il momento a considerarne il solo movimento
verticale senza dire nulla del suo movimento orizzontale. Realisticamente,
il movimento verticale di una generica particella sarà estremamente irregolare a
causa della turbolenza che caratterizza il PBL e la sua velocità verticale w, per
intervalli temporali dt superiori a t µ potrà essere vista come la realizzazione di un
processo stocastico Markoviano descritto dall’equazione di Langevin, come già
detto. Quindi, dal punto di vista della velocità, la particella durante la sua vita
percorrerà una traiettoria più o meno irregolare nello spazio monodimensionale delle
velocità w. Come conseguenza di ciò, la velocità della particella genererà uno spostamento
della stessa e quindi la particella percorrerà una vera e propria traiettoria
nello spazio monodimensionale della coordinata verticale z. Normalmente si riassume
tutto ciò dicendo che la particella nel tempo percorre una traiettoria nello spazio
bidimensionale delle fasi (z,w).Se l’equazione di Langevin è lo strumento ideale per
descrivere la velocità verticale w, lo spostamento z della particella, e quindi la sua
traiettoria, è efficacemente descritta dalla normale cinematica. In sintesi, il movimento
di una generica particella sullo spazio delle fasi è descritto dal sistema differenziale
stocastico seguente:
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Nella prima equazione, che descrive il movimento secondo w, si distinguono immediatamente
il coefficiente di drift a w (z,w,t), il coefficiente di diffusione b w (z,w,t) e la realizzazione
di un processo incrementale di Wiener dW(t), cioè di realizzazioni non