la micrometeorologia e la dispersione degli inquinanti ... - ARPA Lazio

MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE
Tuttavia è molto più interessante complicare ulteriormente l’esempio ed immaginare
che ad ogni istante a partire da t = 0 venga rilasciata nel medesimo punto (0,0)
dello spazio una nuova particella.Vogliamo vedere dopo 1000 secondi quale sia la distribuzione
spaziale delle particelle via via emesse dal punto (0,0). Il risultato è
riportato in Fig.7.2. E’ il primo risultato molto rilevante che siamo riusciti ad ottenere.
In effetti, le 1000 particelle rilasciate tutte nello stesso punto e con le medesime
condizioni iniziali (la velocità iniziale è sempre nulla) grazie alla natura stocastica
della loro velocità verticale si vanno a distribuire nello spazio bidimensionale
(x,y) in modo da formare il tipico pennacchio tanto evidente nella realtà.
Ovviamente, con le informazioni che per il momento abbiamo, non siamo in
grado di mettere in relazione la forma del pennacchio con i coefficienti di drift e di
diffusione A e D presenti nell’equazione di Langevin; per questo dovremo attendere
i paragrafi seguenti.
7.2.3 L’Equazione di Fokker-Planck
Fin qui abbiamo descritto un processo stocastico markoviano in un modo estremamente
diretto e l’equazione di Langevin ne è il risultato principale.
Nell’esempio considerato, il processo stocastico era una particella in moto casuale
(turbolento) in uno spazio monodimensionale e di tale processo fisico l’aspetto considerato
era la velocità w di tale particella. La descrizione che deriva dall’equazione
di Langevin è una descrizione individuale, cioè una descrizione che si riferisce ad una
ben precisa particella marcata che possiamo seguire nella sua evoluzione nel tempo.
Questa è quindi una descrizione lagrangiana che si prende carico della particella e
la segue, senza invocare esplicitamente funzioni di densità di probabilità.
Un modo parallelo che può essere seguito per descrivere questo processo è quello
di impiegare direttamente il concetto di probabilità. Se consideriamo il solito processo
stocastico Σ il cui valore (stato) al tempo t è w = Σ(t) ed il cui stato a t 0 è pari
a W 0 = Σ(t 0 ) (stato iniziale), la probabilità che agli istanti t 1 , t 2 ,…,t N (t 0