la micrometeorologia e la dispersione degli inquinanti ... - ARPA Lazio

MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE
Quale sarà il valore che il processo produrrà al tempo t+dt (in cui, come si è visto,
dt > t µ ) Formalmente si può dire che:
in cui dΣ è un ulteriore processo che gestisce la transizione tra lo stato del sistema
all’istante t e lo stato al tempo t+dt; tale processo prende il nome di propagatore del
processo markoviano Σ. Essendo la differenza di due variabili stocastiche, sarà esso
pure un processo stocastico che dipenderà sia dall’intervallo di tempo dt che dal valore
assunto del processo al tempo t. Il propagatore dΣ è quindi un processo stocastico
che al tempo t produce il valore ξ (che è quindi una variabile stocastica). Se, a
questo punto, si applicano pazientemente le consuete nozioni di Statistica
(Gillespie, 1992), si giunge alla fondamentale relazione seguente:
in cui dW è la realizzazione di un processo stocastico (cioè un Valore) a media nulla,
con distribuzione gaussiana e varianza pari a dt, detto processo incrementale di Wiener.
Questa è la celebre equazione di Langevin che è il vero modello per il sistema monodimensionale
che si sta trattando e ci dice che la variazione stocastica dw della velocità
verticale turbolenta della particella in realtà è la somma di due contributi distinti:
• un contributo deterministico proporzionale ad A(w,t), detto termine di drift,
• un contributo stocastico proporzionale a D(w,t), detto termine di diffusione.
Quello che ci resta da fare è individuare una forma funzionale per A(w,t) e B(w,t),ma
questo problema lo tratteremo più avanti.
Per chiarire meglio quanto fin qui mostrato, si consideri una particella in moto in
un piano bidimensionale (x,z) entro un fluido turbolento. Consideriamo, per il
momento, solo il suo movimento verticale (lungo l’asse z, quindi) ed immaginiamo
che la deviazione standard della componente relativa della velocità dell’aria in cui è
immersa sia pari a σ w
2 = 0.9 m • s -1 . Dato che è immersa in un fluido turbolento,
anche la particella in esame mostrerà un movimento lungo l’asse di tipo turbolento
ed immaginiamo, inoltre, che la velocità w lungo l’asse z sia, con buona approssimazione,
la realizzazione di un processo stocastico di tipo Markoviano. Da quanto si
è visto, se consideriamo istanti temporali equidistanti spaziati da un intervallo temporale
dt superiore al tempo caratteristico di Kolmogorov, l’equazione che descrive
la variazione di w da un istante all’altro è l’equazione di Langevin. L’obiettivo della
prima parte di questo esercizio è la visualizzazione dell’andamento nel tempo di w.
Per fare questo, è necessario definire:
• una velocità iniziale w 0 per la velocità verticale della particella,
• un valore di A e D,
• la durata della simulazione.
Immaginiamo, per esempio, che la velocità verticale iniziale w 0 sia pari a 0 m •s-1 , che
il coefficiente di drift dipenda solo da w e sia pari a A(w,t) = 0.03 w, che il coefficiente
di diffusione D non dipenda dall’istante temporale considerato ma sia legato
a σ w dalla relazione D(w) = 2 •σ w 2 /30 e che la simulazione inizi al tempo t = 0
e termini a t = 1000 s e due istanti successivi siano separati da un intervallo temporale
dt pari a 1 s. L’andamento nel tempo della velocità ad un generico istante
temporale k sarà quindi dato dalla relazione ricorsiva seguente:
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