la micrometeorologia e la dispersione degli inquinanti ... - ARPA Lazio

MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE
so senza memoria e prende il nome di processo Markoviano, dal nome del matematico
russo Markov cui si deve lo studio sistematico e rigoroso di tale tipo di processo
stocastico. Il processo Σ che stiamo considerando (cioè la velocità verticale
della particella) è Markoviano Per rispondere a questa domanda, è opportuno
considerare due istanti successivi t 1 e t 2 = t 1 + ∆t. La Micrometeorologia ci
assicura che l’accelerazione di una particella in un fluido turbolento al tempo t 2
risulta correlata con l’accelerazione a t 1 solo se l’intervallo ∆t tra i due istanti
temporali è inferiore al tempo di scala caratteristico di Kolmogorov t µ definito come
(Monin e Yaglom,1971b):
in cui v è la viscosità cinematica dell’aria e ε è il tasso di dissipazione dell’energia
cinetica turbolenta. Nel PBL t µ è dell’ordine di 10 -1 ÷10 -2 s. Se consideriamo
intervalli temporali ∆t maggiori di t µ , le accelerazioni a t 1 e t 2 non sono tra loro
correlate e ciò è sufficiente per garantirci che il processo Σ può essere considerato
a tutti gli effetti un processo Markoviano. Per questo, quando si applicherà
la teoria che andiamo sviluppando, sarà necessario considerare scale temporali
superiori a t µ .
Ogni processo stocastico produce valori stocastici (realizzazioni di un processo stocastico)
e quindi ad esso è associabile una funzione di densità di probabilità (pdf). Nel
caso specifico, al processo Σ è associata una pdf P Σ (w), tale che P Σ (w). dw è la probabilità
che il processo Σ produca un valore di velocità verticale della particella
compreso nell’intervallo w e w+dw. La pdf avrà le consuete proprietà:
• P Σ (w) definisce completamente il processo stocastico Σ;
• vale la condizione di normalizzazione:
• la probabilità che il processo Σ produca un valore entro un intervallo [a,b] è pari a:
• il valore medio dei valori prodotti dal processo Σ è pari a:
• il momento di ordine n-esimo è definito dalla relazione seguente:
Nel caso in cui n = 2, otteniamo facilmente la definizione di varianza:
e di deviazione standard:
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7.2.2 L’equazione di Langevin
Consideriamo con più attenzione il processo stocastico Σ.Al tempo iniziale t 0 ,il
valore assunto sarà w 0 = Σ(t 0 ) e sia noto il valore w = Σ(t) assunto al tempo t.