la micrometeorologia e la dispersione degli inquinanti ... - ARPA Lazio

MODELLO LAGRANGIANO A PARTICELLE
quindi il suo movimento sarà in parte deterministico (il trasporto dovuto ai moti medi
del PBL e rappresentato da u,v,w) ed in parte stocastico (rappresentato da u p ,v p ,w p e
dovuto all’azione della turbolenza del PBL sul moto della particella).
Lo spostamento della particella lungo la traiettoria tra l’istante t e l’istante t+dt sarà,
dunque, pari a:
secondo cui la traiettoria di una particella è in parte determinabile deterministicamente
(secondo le leggi della cinematica) ed in parte è di natura puramente stocastica.
Come descrivere la natura stocastica del movimento della particella Nei prossimi
paragrafi si studierà proprio ciò e, per semplificare la trattazione, inizialmente si limita
l’attenzione alla sola fluttuazione verticale w p ’ della velocità della particella.
7.2 LA TEORIA DI UN PROCESSO STOCASTICO
MARKOVIANO MONODIMENSIONALE
Per cercare di dominare la complessa realtà fin qui delineata, concentriamoci per il
momento su una situazione relativamente semplice costituita da una particella che si
trova in un fluido ipotetico in cui la turbolenza agisce solamente lungo la verticale.In
questo caso la particella oscillerà stocasticamente lungo la verticale con velocità (stocastica)
w. Lo studio che condurremo ai punti successivi si avvarrà della bellissima (e
chiarissima!) esposizione fatta da Gillespie (1992).
7.2.1 Il processo markoviano
Se si considera un sistema fisico caratterizzato da una variabile che evolve nel tempo,
la funzione che specifica il valore di tale variabile (cioè la sua realizzazione) ad ogni
istante di interesse prende il nome di processo. Nel caso che stiamo considerando:
• il sistema fisico è la particella considerata, posta entro questo fluido ideale,
• la variabile caratteristica è la velocità verticale w,
• il processo è la funzione matematica (per il momento ignota) Σ, che ad ogni istante
t > T 0 ci fornisce il valore w, cioè:
Un processo si dice stocastico, se le sue realizzazioni non sono prevedibili con certezza;
più precisamente, un processo si dice stocastico se la conoscenza dei suoi valori
fino al tempo t (incluso) ci consente di predire solo in termini probabilistici il corrispondente
valore a t+dt. Quanto conosciamo sulla natura imprevedibile della velocità
verticale della particella ci porta a formulare l’ipotesi che essa sia effettivamente
un processo stocastico.
Dalla definizione data di processo stocastico, può nascere la legittima domanda:
quanto il passato di un processo stocastico può influenzarne il futuro Ovviamente
non esiste una risposta generale e convincente al quesito, anche se, nell’ottica della
ricerca della massima semplicità, si può sicuramente cercare di individuare il processo
stocastico più semplice in assoluto, cioè quel processo il cui futuro è determinato
solo dal presente ed è indipendente dal passato. Un processo di questo tipo è un proces-
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