la micrometeorologia e la dispersione degli inquinanti ... - ARPA Lazio

MODELLO EULERIANO
La maggior parte dei metodi impiegati si basa sul Metodo delle Differenze Finite
che ha il compito di approssimare le varie derivate parziali presenti attraverso rapporti
incrementali realizzati in maniera tale che sia noto e garantito l’errore di
approssimazione intrinseco ad ogni schema di discretizzazione.
Questo metodo opera nel modo seguente:
• si consideri un generico istante t n .A questo istante sia nota la concentrazione C n ijk
in ogni cella della griglia di calcolo di indici i,j,k;
• all’istante t n+1 = t n +∆t, la concentrazione nella cella (i,j,k) viene calcolata col metodo
fractional time. Secondo tale metodo si immagina che i fenomeni rappresentati
dai differenti termini presenti nell’equazione agiscano uno dopo l’altro in successione,
cioè:
1. si emette l’inquinante dalle sorgenti attive presenti entro il dominio di calcolo,
2. si calcola il trasporto lungo l’asse x,
3. si calcola il trasporto lungo l’asse y,
4. si calcola il trasporto lungo l’asse z (se necessario),
5. si calcola la diffusione lungo la direzione x,
6. si calcola la diffusione lungo la direzione y,
7. si calcola la diffusione lungo la direzione z.
Questo metodo sostituisce quindi all’equazione originaria del trasporto e della
diffusione un insieme di equazioni molto più semplici e per cui sono noti metodi
numerici di risoluzione robusti ed efficienti. Ciascuna di queste equazioni
viene risolta usando come condizione iniziale proprio il campo elaborato dall’equazione
che la precede nella lista. Il campo prodotto dall’ultima delle equazioni
della lista (in questo caso l’equazione del trasporto in senso verticale) è la concentrazione
finale prevista per l’istante t n+1 .
Molti sono gli schemi numerici che sono stati proposti per risolvere adeguatamente
i singoli problemi parziali della lista. Qui di seguito vengono presentati alcuni di
essi con intenti puramente didattici, senza peraltro considerarli opportuni per una
pratica applicazione. Una descrizione finalizzata agli schemi più adatti all’applicazione
pratica, si faccia riferimento a Jacobson (2000).
5.2.1 Il termine di sorgente
In ciascuna cella del dominio di calcolo al tempo t n è nota la concentrazione C n i,j,k,
che è il risultato finale del passo temporale precedente. Il termine di sorgente opera
su tale campo e calcola il primo campo intermedio risolvendo l’equazione:
dove S(t) è l’emissione, variabile nel tempo, della sorgente localizzata alle coordinate
(x s ,y s ,z s ) e δ è la funzione Delta di Dirac. La soluzione numerica di questa
equazione può essere la seguente:
• in ogni cella in cui risiede una sorgente di inquinante, il campo intermedio risulterà
pari a:
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