la micrometeorologia e la dispersione degli inquinanti ... - ARPA Lazio

TEORIA DI BASE DELLA DISPERSIONE DEGLI INQUINANTI IN ATMOSFERA
presentate alcune soluzioni della (3.21) in situazioni altamente idealizzate,rimandando
al Capitolo 7 la presentazione dei modelli lagrangiani effettivamente utilizzabili.
3.2.2 Le equazioni della concentrazione media in un fluido turbolento
L’utilizzabilità pratica dell’approccio lagrangiano dipende dalla capacità di valutare
la probabilità di transizione Q(x,t/x’,t’).Per affrontare il problema gradualmente
cerchiamo situazioni in cui si nota tale probabilità o ne sia facilmente
individuabile una realistica approssimazione. Si ritorni per un momento all’equazione
dell’avvezione che, per una situazione di flusso monodimensionale con
un termine generico di sorgente S(x, t),diventa:
L’obbiettivo è risolvere tale equazione per una particolare scelta della velocità u
e trovare la concentrazione c corrispondente a tale scelta. Si assuma che u sia
indipendente dalla distanza sottovento x e dipenda solo da t; in questo modo la
velocità u(t) è solo una variabile casuale dipendente dal tempo. Dato che u(t) è una
variabile casuale, è necessario specificare la rispettiva densità di probabilità. E’
ragionevole assumere una probabilità di tipo gaussiano del tipo:
dove il valore medio della velocità del vento è u e la relativa varianza è σ 2 u,ed
ipotizzare che il processo stocastico sia stazionario con funzione di autocorrelazione
data da:
Secondo la relazione funzionale proposta per la funzione di autocorrelazione, la
massima correlazione tra due velocità in due istanti temporali differenti si ha
quando questi due istanti coincidono e risulta pari a σ 2 u.All’aumentare della separazione
temporale (time-lag), la correlazione decresce esponenzialmente con un
tempo caratteristico pari a 1/b. La stazionarietà del processo implica che le proprietà
statistiche di u a due differenti istanti dipendano solo dal time lag e non dai
due istanti individualmente. Per una sorgente variabile nel tempo di intensità S(t),
posta all’origine del sistema di assi (x = 0), la soluzione della (3.22) è data da:
dove:
è proprio la distanza percorsa da una particella tra gli istanti τ e t. Poiché X(t, τ)
è una variabile casuale, anche c(x,t) lo sarà. In realtà siamo interessati al valor
medio c(x,t), dato da:
216
Dato che, la pdf di u(t) è gaussiana, anche la variabile casuale X(t, τ) lo sarà e avrà
la forma: