la micrometeorologia e la dispersione degli inquinanti ... - ARPA Lazio

TEORIA DI BASE DELLA DISPERSIONE DEGLI INQUINANTI IN ATMOSFERA
La densità di probabilità di trovare la particella nella posizione x al tempo t può
essere espressa come prodotto di altre due densità di probabilità:
• la densità di probabilità che, se la particella si trova nella posizione x’ al tempo t’,
arriverà a x al tempo t.Tale densità di probabilità la indichiamo come Q(x,t x’,t’)
e le attribuiamo il nome di probabilità di transizione della particella.
• la densità di probabilità di trovare la particella nella posizione x al tempo t indipendentemente
dalla posizione x’ assunta al tempo t’. Essa risulta pari a:
La Ψ(x,t) è stata definita considerando una singola particella. Se, tuttavia, fosse presente
inizialmente un numero arbitrario m di particelle e se la posizione della i-
esima particella fosse completamente descritta dalla funzione densità Ψ(x,t), si può
mostrare che la concentrazione media di insieme nel punto x è dato da:
Esprimendo la Ψ(x,t) presente nella relazione precedente in funzione della distribuzione
iniziale delle particelle (quella cioè riscontrabile nello spazio a t 0 ) e della
distribuzione spaziotemporale delle particelle emesse dalla sorgente S(x,t) (in particelle
per volume e tempo) e sostituendo il tutto nella (3.19), si ottiene la seguente
formula per la concentrazione media:
in cui il primo membro a destra rappresenta le particelle presenti a t 0 ed il secondo
termine tiene conto delle particelle aggiunte dalla sorgente nell’intervallo temporale
t’-t 0 . Questa è la relazione fondamentale dell’approccio lagrangiano e descrive
matematicamente l’evoluzione spazio-temporale della concentrazione delle
sostanze inquinanti nel PBL. La determinazione di una volta noto
e S(x’,t) richiede la valutazione della probabilità di transizione
Q(x 0 ,t 0 /x’,t’). Se Q è noto per x,x’, t e t’, la concentrazione media , può
essere calcolata risolvendo semplicemente la (3.21). Ci sono tuttavia due sostanziali
problemi connessi con l’uso di questa relazione. Per prima cosa essa vale solo in
assenza di reazioni chimiche. In secondo luogo una conoscenza così completa delle
proprietà della turbolenza atmosferica, necessarie per determinare Q, non sono in
generale disponibili, salvo che in situazioni molto semplici.
Riassumendo, le tecniche lagrangiane cercano di descrivere la statistica delle concentrazioni
in termini di proprietà statistiche degli spostamenti di gruppi di particelle
rilasciate nel fluido. La matematica di questo approccio è più trattabile di
quella dei metodi euleriani, non essendoci evidenti problemi di chiusura, ma l’applicabilità
delle equazioni risultanti è limitata dalla difficoltà di determinare in
modo accurato le statistiche delle particelle. Inoltre, queste equazioni non sono
direttamente applicabili a situazioni in cui le reazioni chimiche non lineari rivestono
una notevole importanza. Qui di seguito, come nel caso euleriano, vengono
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