หน้า 1-23 - Pioneer.chula.ac.th

บทที่ 11
การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชัน
ตรีโกณผกผัน
ฟงกชันตรีโกณพัฒนามาจากอัตราสวนตรีโกณ ซึ่งมีคาขึ้นอยูกับขนาดของมุมของรูป
สามเหลี่ยมมุมฉาก การวัดขนาดของมุมนั้นเราวัดไดดวยความยาวสวนโคงของวงกลมรัศมี
หนึ่งหนวยที่มีจุดศูนยกลางที่จุดยอดของมุม เชนมุม AOB ในรูปขวามือ ขนาดของมุมนี้วัด
ไดดวยความยาวสวนโคงของวงกลมรัศมีหนึ่งหนวยจดศูนยกลางที่ O
เราจึงตองเรียนรูวิธีคํานวณหาความยาวเสนโคงกันเสียกอน
A
B
O
11.1 ความยาวเสนโคงและพื้นที่สวนของวงกลม
เสนโคงที่เราจะพิจารณาหาความยาวในที่นี้ จะไมจํากัดเฉพาะสวนโคงของวงกลมเทานั้น หากแตจะ
ครอบคลุมเสนโคงที่เปนกราฟของฟงกชันที่มีอนุพันธเปนฟงกชันตอเนื่อง
ให f เปนฟงกชันที่อนุพันธ f ′ มีความตอเนื่องในชวง [ ab ,] เราจะพิจารณาหาสูตรสําหรับใชในการ
คํานวณความยาวของเสนโคง y = f()
x สวนที่อยูในชวง [ ab ,]
ให
0 1 2 3
…
n−1
a = x < x < x < x < < x < x = b
เปนการแบงชวง [ ab ,] ออกเปน n ชวงยอย
เราจะประมาณความยาวเสนโคงสวนที่อยูในชวงยอยแตละ
ชวงดวยความยาวของเสนตรงที่โยงจุดหัวกับจุดทายของเสนโคง
ในชวงนั้นๆ ดังรูปขวามือ
หากแบงชวงละเอียดขึ้นผลบวกจะมีคาใกลความยาวเสนโคง
ยิ่งขึ้น ผลบวกดังกลาวก็คือ
∑
n
( x− x ) + ( fx ( ) −fx
( ))
2 2
i i−1 i i−1
โดยการใชทฤษฎีบทคามัชฌิมกับพจน (( fxi) − fx (
i − 1))
แลวแยกแฟคเตอร ( xi
− xi
− 1)
ออกนอก
เครื่องหมายรูท จะไดผลบวกเปน

2 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
∑
+ ′ −
* 2
1 ( f ( x
i)) ( xi xi
− 1)
ซึ่งเห็นไดวาเปนผลบวกรีมันนของ
2
1 + ( f′
( x))
บนชวง [ ab ,]
ผลบวกนี้จึงมีลิมิตเปน
เราจึงไดวา
∫
a
b
1 + ( ′( ))
2
f x dx
ความยาวเสนโคง (กราฟของ f ) สวนที่อยูในชวง [ ab ,]
หมายเหตุ
∫
b
= 1 + ( ′( ))
a
2
f x dx
ที่กําหนดไววา f เปนฟงกชันที่อนุพันธ f ′ เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องนั้น ก็เพื่อให
2
1 + ( f′
( x))
(11.1)
เปนฟงกชันที่อินทิเกรตได เงื่อนไขที่ออนกวาขอกําหนดดังกลาวที่ยังคงทําให (11.1) เปนฟงกชันที่อินทิเกรตไดก็
มี เชน กําหนดวา f ′ มีขอบเขตและมีจุดที่ไมตอเนื่องเพียงจํานวนจํากัด เปนตน
2
ตัวอยาง 11.1.1 จงประมาณความยาวเสนโคง y = x สวนที่อยูในชวง [1,3] โดยใชเกณฑของซิมปสันในการ
อินทิเกรต
วิธีทํา ในที่นี้
fx ( )
′ =
2
= x จะไดวา f ( x) 2
x
ดังนั้น ความยาวเสนโคง คือ
3
2
∫ 1 + (2 x) dx ≈ 8.268145901
•
1
บทนิยาม 11.1.1 สําหรับมุมใดๆ ขนาดของมุมนั้นก็คือ ความยาวของสวนโคงของวงกลมรัศมี 1 หนวยจุด
ศูนยกลางที่จุดยอดของมุม ที่อยูระหวางแขนทั้งสองของมุม เราเรียกหนวยของการวัดนี้วาเรเดียน สวนของ
วงกลมที่อยูระหวางแขนของมุมที่จุดยอดอยูที่จุดศูนยกลางของวงกลมเปน เซกเตอรหนึ่งของวงกลมวงนั้น
รูปขวามือเปนตัวอยางหนึ่งของเซกเตอร ในรูปนี้ OA กับ OB
ก็คือรัศมีสองเสนที่เปนแขนของมุมซึ่งมีจุดยอดอยูที่จุดศูนยกลางของวงกลม
มุมภายนอกก็ทําใหเกิดเซกเตอรอีกเซกเตอรหนึ่ง
O
A
B

11.1 ความยาวเสนโคงและพื้นที่สวนของวงกลม 3
ขอสังเกต
ในรูปขวามือ AOB เปนเซกเตอรของวงกลมที่มีรัศมียาว R (คือ OA=OB=R)
สมมติวามุม AOB มีขนาด θ เรเดียน ดังนั้นเมื่อเขียนวงกลมรัศมี 1 หนวย
ที่มีจุดศูนยกลางที่ O ตัดแขนของมุมที่ A′ กับ B′ สวนโคง AB ′ ′ ก็มี
ความยาว θ
เราจะไดวาสวนโคง AB มีความยาว θ R และ เซกเตอร OAB มี
1 2
พื้นที่ θ
2 R
ตอไปนี้เปนแนวทางพิจารณาหาสูตรทั้งสองนี้
A
A′
O
B′
B
สําหรับสูตรแรก ความยาวสวนโคง AB = θ R เราพิจารณาได
จากรูปเดิม แตลากเสนแนวดิ่งจาก B กับ B′มาตั้งฉากกับแกน X
สมมติวาจุดเชิงเสนตั้งฉากมีพิกัดเปน b กับ b′ ตามลําดับ
A
A′
O
B′
B
เราคํานวณความยาวสวนโคง AB กับ AB ′ ′ ไดโดยการอินทิเกรตบน
ชวง [0,b] กับ [0, b′ ] ตามลําดับ จากผลลัพธทั้งสองเราจะไดสูตรที่ตองการ
สําหรับสูตรที่สอง พื้นที่เซกเตอร OAB =
เราพิจารณาไดจากรูปขวามือจะเห็นไดวา
1
2 θ R
2
A
B
พื้นที่เซกเตอร OAB = พื้นที่ OABC - พื้นที่ OBC
O
C
OBC เปนรูปสามเหลี่ยม จึงคํานวณหาพื้นที่ไดโดยใชสูตรพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
สวน พื้นที่ OABC นั้นหาไดโดยการอินทิเกรต
A
R
− x
2 2
บนชวง [0, b] และเมื่อใชการอินทิเกรตทีละสวน จะไดพจนหนึ่งที่มีความยาว
สวนโคง AB เปนแฟคเตอร เมื่อทําเปนผลสําเร็จ ก็จะไดสูตรที่ตองการ
O
B
C
รายละเอียด ใหนิสิตทําเปนแบบฝกหัด

4 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
แบบฝกหัด 11.1
1. ขวามือเปนรูปดังที่กลาวมาขางตน
(a) จงเขียนความยาว A'B' เปนอินทิกรัล
(b) จงเขียนความยาว AB เปนอินทิกรัล
(c) ใชการเปลี่ยนตัวแปรของการอินทิเกรตใน ขอ 1.2 ใหไดอินทิกรัลในขอ 1.1
(d) ใช 1.1-1.3 อธิบายใหไดสูตรแรก
A
A′
O
B′
B
2. ขวามือเปนรูปดังที่กลาวมาขางตนสําหรับสูตรที่สอง
(a) จงใชสูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม OBC
A
(b) จงเขียนพื้นที่ OABC เปน อินทิกรัล
(c) ทําการอินทิเกรตทีละสวนกับอินทิกรัลใน 2.2
(d) ใช 2.1 กับ 2.3 หาพื้นที่ของ OAB และแสดงใหเห็นวาผลลัพธก็คือสูตรที่สอง
O
B
C
3. จากที่นิยามไววา π คือพื้นที่ของวงกลมรัศมีหนึ่งหนวย จงใชนิยามนี้แสดงการพิจารณาตอบคําถามตอไปนี้
(a) เสนรอบวงของวงกลมรัศมีหนึ่งหนวยยาวเทาใด
(b) มุมฉากมีขนาดกี่เรเดียน
(c) เสนรอบวงของวงกลมรัศมี R มีความยาวเทาใด
11.2 สูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณ
ฟงกชันตรีโกณเกี่ยวของกันดวยเอกลักษณตางๆ เมื่อเรามีสูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณฟงกชันใดฟงกชัน
หนึ่ง เราก็จะหาสูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณอื่นๆที่เหลือไดโดยอาศัยเอกลักษณตางๆ เหลานั้น ในที่นี้ เรา
จะพิจารณาหาสูตรสําหรับดิฟเฟอเรนชิเอต sine แลวจึงใชผลลัพธที่ไดหาสูตรสําหรับดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชัน
ตรีโกณอื่นๆ
ในการนี้ เราจะใชคุณสมบัติของ sine ที่วา
ซึ่งไดจากอสมการ
กับความตอเนื่องของ cosine ซึ่งทําใหเราไดวา
sin θ
lim = 1
θ→0
θ
sin θ
cos θ ≤ ≤ 1
θ

11.2 สูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณ 5
ตอไปนี้จะแสดงการพิจารณาใหไดอสมการดังกลาว
lim cos θ = 1
θ→0
เราจะพิจารณาเซกเตอรของวงกลมรัศมี 1 หนวยที่มีมุมที่จุดศูนยกลาง θ เปรียบเทียบกับรูปสามเหลี่ยมสอง
รูป รูปหนึ่งบรรจุภายในเซกเตอร อีกรูปหนึ่งลอมเซกเตอร
T
A
ในรูปขวามือ สามเหลี่ยม OAB บรรจุอยูภายในเซกเตอร OAB
และสามเหลี่ยม OTB ลอมเซกเตอร OAB
จึงเปรียบเทียบพื้นที่กันไดวา
θ
พื้นที่สามเหลี่ยม OAB ≤ พื้นที่เซกเตอร OAB และ พื้นที่เซกเตอร
OAB ≤ พื้นที่สามเหลี่ยม OTB
O
ในที่นี้มุม OBT เปนมุมฉาก จึงได BT = tan θ
สามเหลี่ยม OTB จึงมีพื้นที่ = 1 tan θ
2
ลาก AC ตั้งฉากกับ OB ที่ C ไดสวนสูงของสามเหลี่ยม OAB คือ AC = sin θ
สามเหลี่ยม OAB จึงมีพื้นที่ = 1 sin θ และเซกเตอร OAB มีพื้นที่ = 1 2
2 θ
อสมการทั้งสองจึงกลายเปน
จากอสมการทั้งสอง เราไดวา
1 1
sin θ ≤ θ และ 1 θ
1 tan θ
2 2 2 2
sin θ
θ
≤ 1 และ
ซึ่งรวมกันเปนอสมการขางตนที่เราที่ตองการ ดังนั้นเราจึงไดวา
คือไดวา
A
C
T
B
O
≤ ตามลําดับ
sin θ
cos θ ≤
θ
sin θ
cos θ ≤
≤ 1
θ
sin θ
lim cos θ ≤ lim ≤ 1
θ→0 θ→0
θ
sin θ
1 ≤ lim ≤ 1
θ→0
θ
B
sin θ
lim = 1
θ→0
θ

6 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
ตอไปนี้จะพิจารณาหาสูตรดิฟเฟอเรนชิเอต sine คือหาสูตรสําหรับ sin ′( x)
ในการนี้ เราตองหาลิมิต
ซึ่งทําไดดังตอไปนี้
x + h − x
lim
h →0
sin( ) sin( )
h
1) หาผลตาง sin( x + h) − sin( x)
โดยการใชเอกลักษณตรีโกณ ซึ่งจะไดวา
2) หาเศษสวน
h h
sin( x + h) − sin( x) = 2 cos( x + )sin( )
2 2
sin( x + h) −sin( x)
h
ซึ่งจะไดวา
sin( x + h) −sin( x)
h h h h h
= {2 cos( x + )sin( )}/ h = cos( x + ){sin( )/( )}
h
2 2 2 2 2
3) หาลิมิตของเศษสวนในขอ 2) เปนคาของ sin ′( x)
ซึ่งจะไดวา
สําหรับฟงกชัน v ใดๆที่ดิฟเฟอเรนชิเอตได เราจึงไดวา
sin ′( x) = cos( x)
จึงไดเปนสูตรวา
dsin( v( x)) dsin( v( x)) dv( x)
=
dx dv( x)
dx
dv( x)
= cos( vx ( ))
dx
d sin( v )
= cos( v)
dv
dx
dx
เมื่อไดสูตรดิฟเฟอเรนชิเอต sine แลว เราก็หาสูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณอื่นๆเชน cosine
และ tangent ไดโดยใชเอกลักษณที่เขียนฟงกชันเหลานั้นในพจนของ sine :-
( แสดงการหาสูตร cos ( x)
′ กับ tan ( x)
π
cos( x) = sin( −x)
2
sin( x)
tan( x)
=
cos( x)
′ ในชั้นเรียน)

11.2 สูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณ 7
รวมสูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณ:
1)
dsin( v) dv dcsc( v)
dv
= cos( v) 4) =−csc( v)ctn( v)
dx dx dx dx
2)
dcos( v) dv dsec( v)
dv
=− sin( v) 5) = sec( v)tan( v)
dx dx dx dx
d tan( v) dv dctn( v)
dv
= v
=− v
dx dx dx dx
2 2
3) sec ( ) 6) csc ( )
ตัวอยาง 11.2.1
1. จงหาสูตรเทเลอรพรอมเศษเหลือของ cos(x) รอบ 0 (วัด x เปนเรเดียน)
2. สําหรับ x ที่มีคาเปนบวกและไมเกิน 1 หากตองการใหเศษเหลือมีคาไมเกิน 0.0005 พจนสุดทายของสูตร
เทเลอรคืออะไร
3. จงประมาณ cosine ของ 1 เรเดียน โดยการใชสูตรในขอ 2.
ตัวอยาง 11.2.2 กําหนดให fx ( ) = x−cos( x), 0 ≤x≤
4π
1. จงพิจารณาวา f เพิ่มขึ้นหรือลดลงในชวงใดบาง
2. จงพิจารณาวากราฟของ f มีลักษณะเวาลางหรือเวาบนในชวงใดบาง
3. จงรางกราฟของ f
4. ถากราฟของ f ตัดแกน x จงใชวิธีของนิวตันประมาณรากชองสมการ x - cos(x) = 0
ตัวอยาง 11.2.3
จงดิฟเฟอเรนชิเอต
1.
2
fx ( ) = x sin( x) 2.
2
fx ( ) = sin( x)
3.
2
fx ( ) = sin ( x) 4.
x
fx ( ) = sin( e)
x sin( x) 2 − sin( x)
5. fx ( ) = 6. fx ( ) =
2
1+ x
2−cos( x)
7. fx ( ) = xtan( x) 8. fx ( ) = sec(2 x) + tan(2 x)
9. จงแสดงวาสูตรของเทเลอรพรอมดวยเศษเหลือของฟงกชัน sine รอบจุด 0 เปนดังตอไปนี้
x x x ( 1) sin( c)
x
sin( x) = x − + − … +− ( 1) +− ( 1)
3! 5! (2k
+ 1)! (2k
+ 2)!
โดยที่ c อยูระหวาง 0 กับ x
3 5 (2k+ 1) 2k+
2
k
k+

8 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
x
fx = x − ≤x≤
π
2
10. กําหนดให ( ) sin( ) 0 4
1) จงพิจารณาวา f เพิ่มขึ้นหรือลดลงในชวงใดบาง
2) จงพิจารณาวากราฟของ f มีลักษณะเวาลางหรือเวาบนในชวงใดบาง
3) จงรางกราฟของ f
4) ถากราฟของ f ตัดแกน x จงใชวิธีของนิวตันประมาณรากของสมการ sin( x) − = 0
x
2
แบบฝกหัด 11.2
1. จงดิฟเฟอเรนชิเอต
(a) fx () = sin()cos() x x
(b) fx () = cos() x − 4sin(5) x
2 2
2
(c) fx () = tan() x + sin( x)
(d) fx ( ) = sin(5 x)
x
2sin(2e
− 1)
tan(2 x)
(e) fx ( ) = (f) fx ( ) =
x
sin( x) + cos( x)
2
(g) fx ( ) = cos (sin( x))
(h) fx ( ) = cos(tan( x))
sin( x)
3
(i) fx ( ) = (j) fx ( ) = xcsc ( x)
x
csc( x)
2
(k) fx ( ) = (l) fx ( ) = x sin(2x+
3)
1 − sin( x)
2 2 2 2
(m) fx ( ) = tan ( x) −cot (1 − x)
(n) fx
(o)
(q)
(s)
2 2
fx ( ) = 3sec ( x) − sec( x)csc ( x)
(p)
2
( ) = 1+
cos( x)
fx ( )
= e
sin(2 x)
2
fx ( ) = sec( x ln x)
(r) fx () = cot(2−
3) x
fx
3 2
( ) tan (2 x)
= (t)
2. สําหรับแตละฟงกชันตอไปนี้
1.
2.
2
x
fx ( ) = cos(2 x)
−
4
2
fx ( ) = tan( x)
fx ( ) = 5
5
2sec( x )
(a) จงพิจารณาวา f เพิ่มขึ้นหรือลดลงในชวงใดบาง
(b) จงพิจารณาวากราฟของ f มีลักษณะเวาลางหรือเวาบนในชวงใดบาง
(c) จงรางกราฟของ f
(d) ถากราฟของ f ตัดแกน x จงใชวิธีของนิวตันประมาณรากของสมการฟงกชัน

11.3 การดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันผกผัน 9
11.3 การดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันผกผัน
ในหัวขอตอไป เราจะกลาวถึงฟงกชันตรีโกณผกผันและหาสูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันเหลานั้น ในหัวขอนี้
เราจะกลาวถึงการดิฟเฟอเรนชิเอตไดของฟงกชันผกผันโดยทั่วๆ ไป และสูตรสําหรับดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันผกผัน
เสียกอน เพื่อจะไดใชในการดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณผกผันในหัวขอถัดไป
1
ทฤษฎีบท 11.3.1 ถา f เปนฟงกชันเพิ่มบนชวง [ abและมีความตอเนื่องบน ,]
[ ab ,] ฟงกชันผกผัน f −
ยอมเปนฟงกชันเพิ่มที่มีความตอเนื่องบน [ ab ,] ดวย และถา f เปนฟงกชันที่ดิฟเฟอเรนชิเอตไดที่ x ใน ( ab ,)
1
และ f′ ( x) ≠ 0ยอมไดวา
f − ก็เปนฟงกชันที่ดิฟเฟอเรนชิเอตไดที่ fx () และไดวา
−
f ′(())
f x =
f ′ ( x)
1 1
ทฤษฎีบท 11.3.2 ถา f เปนฟงกชันลดบนชวง [ ab ,] และมีความตอเนื่องบน [,]
ab ฟงกชันผกผัน
ยอมเปนฟงกชันลดที่มีความตอเนื่องบน [ ab ,] ดวย และถา f เปนฟงกชันที่ดิฟเฟอเรนชิเอตไดที่ x ใน ( ab ,)
1
และ f′ ( x) ≠ 0ยอมไดวา f − ก็เปนฟงกชันที่ดิฟเฟอเรนชิเอตไดที่ fx () และไดวา
1
f −
−
f ′(())
f x =
f ′ ( x)
1 1
ขอสังเกต ถาเราเขียน y = f( x)
เราจะไดวา x = f −1
() y เห็นไดวา f − 1 ′(())
f x ก็คือ dx
ดังนั้นสูตรในทฤษฎีบททั้งสองก็คือ
dx 1 1
= =
dy f ′( x)
dy
dx
สูตรนี้เปนสูตรที่จําไวใชไดงาย
2
1
ตัวอยาง 11.3.1 ให fx ( ) = x โดยที่ x ≥0 จงแสดงการพิจารณาหาอนุพันธของ f −
วิธีทํา ในที่นี้ f เปนฟงกชันเพิ่มที่มีความตอเนื่องและมี f′ ( x) ≠ 0ใน (0, +∞ ) จึงใชทฤษฎีบท 11.3.1 ได
2
เขียน y = x แลวใชสูตร จะไดวา
ตัวอยาง 11.3.2
dx 1 1 1
= = = •
dy dy 2x 2 y
dx
2
1
1. ให fx ( ) = x โดยที่ x ≤ 0 จงแสดงการพิจารณาหาอนุพันธของ f −
3
1
2. ให fx ( ) = x โดยที่ −∞ < x < +∞ จงพิจารณาวา f − ดิฟเฟอเรนชิเอตไมไดที่จุดใดบาง จง
1
หาอนุพันธของ f − 1
ที่จุดซึ่ง f − ดิฟเฟอเรนชิเอตได
3. จงใชสูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันผกผันหาอนุพันธของฟงกชันผกผันของ ln( x )
dy

10 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
แบบฝกหัด 11.3
1
จงหา ( f −
)′( a)
เมื่อกําหนดฟงกชัน f และจํานวนจริง a ในแตละขอตอไปนี้
4
1. fx ( ) = x
3 x
3. fx ( ) = 2x
5 x
3 1
5. fx ( ) = 3
− , a = 6 2. ( )
+ + , a = -2 4. ( )
fx = x
3 2x
1
fx = 4
1
− 4x , a = 1 6. fx ( ) =
2
1 x
+ − , a = 2
x − , a = 2
+ , a = 1
7. fx ( ) = 3 x , a = 1 8
8. fx ( ) =
2
ln( x + 1) , a = 0
11.4 การดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณผกผัน
ฟงกชันตรีโกณแตละฟงกชันลวนไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ความสัมพันธผกผันของมันจึงไมเปนฟงกชัน
แตถาเราจํากัดโดเมนของแตละฟงกชันใหแคบลง เชน
ถากําหนดให ( ) sin( ),
เราจะไดวา f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
π π
fx = x − ≤x≤
2 2
ยิ่งกวานั้น f ยังเปนฟงกชันที่สอดคลองเงื่อนไขของทฤษฎีบท 11.3.1 อีกดวย ดังนั้นฟงกชันผกผันของ f จึงดิฟ
เฟอเรนชิเอตได และใชสูตรหาอนุพันธที่ใหไวได
สําหรับฟงกชันตรีโกณอื่นๆก็เชนกัน เราอาจกําหนดโดเมนใหแคบลงใหใชทฤษฎีบท 11.3.1 ได หรือไมก็ใช
ทฤษฎีบท 11.3.2 ได ฟงกชันตรีโกณผกผันจึงหมายถึง ฟงกชันผกผันของฟงกชันตรีโกณที่ถูกจํากัดโดเมนให
1
แคบลงดังที่กลาวมาแลว เราตองเขาใจและระลึกไววา f − 1
ไมใช sin − 1
เพราะ sin − 1
ไมเปนฟงกชัน แต f − เปน
1
ฟงกชัน เราจึงไมใชสัญลักษณ sin − 1
เขียนเพื่อแสดงถึง f − สัญลักษณที่เราจะใชคือ arcsin
ดังนั้น ถา sin( θ ) = x เรายอมไดวา arcsin( x)
= θ โดยที่ในที่นี้ละไวเปนที่เขากันวา
π π
− ≤θ
≤
2 2
หมายเหตุ อันที่จริงการจํากัดโดเมนของ sine ใหไดฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งนั้น มีชวงอื่นๆที่ใชไดอีกมากมาย แตใชวา
ตางคนจะกําหนดเอาเองตามชอบ เพื่อใหทฤษฎีใชไดรวมกันเปนสากล นักคณิตศาสตรกําหนดความหมายของ
ฟงกชันตรีโกณผกผันไวดังนี้

11.4 การดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณผกผัน 11
(1) arcsin( x)
= θ หมายความวา sin( θ ) = x โดยที่
π π
− ≤θ
≤
2 2
(2) arccos( x)
(3) arctan( x)
= θ หมายความวา cos( θ ) = x โดยที่ 0 ≤θ ≤ π
= θ หมายความวา tan( θ ) = x โดยที่
π
(4) arcctn( x) = − arctan( x)
2
(5) arcsec( x) = arccos(1/ x), | x | ≥ 1
π π
− ≤θ
≤
2 2
(6) arccsc( x) = arcsin(1/ x), | x | ≥ 1
การดิฟเฟอเรนชิเอต arcsine ทําไดดังนี้
ใชสูตร ได
นั่นคือ ไดวา
dθ
dx
1 1
= =
dx 1 − x
dθ
2
θ = arcsin( x)
x = sin( θ)
dx
= cos( θ) = 1 −x
dθ
2
(1)
d
1
arcsin( x) = , − 1 < x < 1
2
dx
1 − x
สูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณผกผันอื่นๆไดแก
(2)
d
−1
arccos( x) = , − 1 < x < 1
2
dx
1 − x
d
1
(3) arctan( x)
=
2
dx
1 + x
d
−1
(4) arcctn( x)
=
2
dx
1 + x
(5)
d
1
arcsec( x) = , | x | > 1
2
dx | x | x − 1

12 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
(6)
d
−1
arccsc( x) = , | x | > 1
2
dx | x | x − 1
จะละการหาสูตรเหลานี้ไวเปนแบบผึกหัด
อนึ่งเมื่อใชกฏลูกโซประกอบกับสูตรเหลานี้เราจะไดสูตรที่ทั่วไปกวา เชน
d
1
arctan( v)
=
dx
1 +
dv
2
v dx
ตัวอยาง 11.4.1 สําหรับแตละฟงกชัน f ตอไปนี้ใหถือวาโดเมนของ f ประกอบดวย x ทั้งหลายที่สูตรที่
กําหนดใหมีความหมาย ในแตละขอจงหา f′
( x)
fx x fx x
2
1. ( ) = arcsin(2 ) 2. ( ) = arccos( )
fx x fx x x
2
3. ( ) = arctan(tan ( )) 4. ( ) = −arctan( )
5. fx ( ) = arccos(1/ x) 6. fx ( ) = arcsin(sin( x) −cos( x))
7. fx ( ) = ln(arccos(1/ x))
แบบฝกหัด 11.4
แตละฟงกชัน f ตอไปนี้ใหถือวาโดเมนของ f ประกอบดวย x ทั้งหลายที่สูตรกําหนดใหมีความหมาย ในแตละ
ขอจงหา f′
( x)
1.
3.
5.
7.
x
2arccos( )
2
fx () = e
2. fx () = arccsc(ln x) − lnx
fx
= x
4. fx ( ) = arctan( x)
2
( ) cos(arcsin )
2 2
fx ( ) arcsin x arccos x
= + 6.
2 x
fx ( ) = arc cot( ) + arctan( )
x 2
2
fx ( ) = tan (arccos x+ ln( x))
8. fx ( ) = (cos x)(arccos x)
x
9. fx ( ) = arctan( e)
10.
fx ( ) = 3
2
arcsin( x )
11.
fx
= x
12. fx ( ) = e arcsec( e )
2
( ) arccos( )
− x
−x
13.
fx
= x + 14.
2
() arccsc( 1)
arccosx
fx ( ) = sin( x )

11.5 การอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณ 13
15.
arcsin( x)
fx () = 16.
sin( x)
fx () =
1
arc sec( x)
17.
fx
= x + 18.
2
() ln(arccos( 1))
fx
2
() = arccos(ln( + 1))
x
19.
2
2
arc cot( x )sin( x)
arc csc(2 x)cos( x )
fx ( ) = 20. fx () =
x + 1
2
x
e cos(2 x)
3 arctan( x + 1)
11.5 การอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณ
จากสูตรดิฟเฟอเรนชิเอตฟงกชันตรีโกณที่รวบรวมไวขางตน เราไดสูตรดิฟเฟอเรนเชียลตอไปนี้ ตามลําดับ
1) dsin( v) = cos( v)
dv
2) dcos( v) =−sin( v)
dv
2
3) tan( ) sec ( )
d v = v dv
4) dcsc( v) =−csc( v)ctn( v)
dv
5) dsec( v) = sec( v)tan( v)
dv
2
6) ctn( ) csc ( )
d v =− v dv
และจากสูตรดิฟเฟอเรนเชียลเหลานี้ เราไดสูตรอินทิเกรตตอไปนี้
∫
∫
∫
∫
∫
∫
1) cos( vdv ) = sin( v)
+ C
2) sin( vdv ) =− cos( v)
+ C
2
3) sec ( ) tan( )
vdv= v + C
4) csc()ctn() v v dv =− csc() v + C
5) sec( v)tan( v) dv = sec( v)
+ C
2
6) csc ( ) ctn( )
vdv=− v + C
ตอไปนี้เปนตัวอยางแสดงการใชสูตร และจะใหโจทยแบบฝกหัดที่ใกลเคียงคูกันไป
ตัวอยาง 11.5.1 จงอินทิเกรต sin(2 xdx )
วิธีทํา ให v = 2
x
∫
1 1 1
sin(2 x) dx = sin( v) dv = ( − cos( v) + C) =− cos(2 x)
+ C′
2 2 2
∫ ∫ •

14 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
ตัวอยาง 11.5.2 จงอินทิเกรต
π
1. ∫ cos(3x + 1) dx 2. ∫ sin( −2 x)
dx
6
2
3. sec ( πxdx ) 4. csc( πx)ctn( πxdx
)
∫
ตัวอยาง 11.5.3 จงอินทิเกรต ∫ cos(4 θ)sin(2 θ)dθ
แนวคิด
ดังนั้น
วิธีทํา
∫
เนื่องจากเราเขียนผลคูณ sin(A)cos(B) ไดเปน
1
sin(2 θ)cos(4 θ) = (sin(6 θ) − sin(2 θ))
2
∫
1
sin(2 θ)cos(4 θ) dθ = ∫ (sin(6 θ) −sin(2 θ))
dθ
2
1 1
= ∫ (sin(6 θ) dθ−
sin(2 θ))
dθ
2
∫
2
=
ตัวอยาง 11.5.4 จงอินทิเกรต
∫
∫
(ใหนิสิตทําตอ)
1. sin(5 x)cos( x) dx 2. cos(3 x)cos( x)
dx
3. sin( x)sin(3 x)
dx
∫
1
sin( A)cos( B) = (sin( A+ B) + sin( A−
B))
2
แนวคิดที่ใชในการอินทิเกรตในตัวอยาง 11.5.3 นั้น สามารถใชกับการอินทิเกรตที่มี sine หรือ cosine เปนแฟค
เตอรอยูหลายแฟคเตอรก็ได เชน
•
ตัวอยาง 11.5.5 จงอินทิเกรต ∫ sin( x)cos(2 x)sin(3 x)
dx
ตัวอยาง 11.5.6 จงอินทิเกรต
3
แนวคิด
∫
เนื่องจาก cos( θ) dθ dsin( θ)
sin ( θ)cos( θ)d
θ
∫ ∫ ∫
θ θ dθ θ d θ u du
3 3 3
= จึงไดวา sin ( )cos( ) = sin ( ) sin( ) =
วิธีทํา ให u = sin( θ)
ดังนั้น du = cos( θ)
dθ
ดังนั้น
4
3 3 1 4
sin ( θ )cos( θ u
) d θ = u du = + C = sin ( ) C
4 4
θ +
∫ ∫ •

11.5 การอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณ 15
ตัวอยาง 11.5.7 จงอินทิเกรต
∫
x x dx x x dx
5 4
1. sin ( )cos( ) 2. cos ( )sin( )
∫
x x dx x x dx
3 2 6
3. tan ( )sec ( ) 4. tan( )sec ( )
∫
∫
ตัวอยาง 11.5.8 จงอินทิเกรต
3 5
แนวคิด
∫
cos ( θ)sin ( θ)dθ
เนื่องจาก cos( θ) dθ = dsin( θ)
จึงไดวา
3 5 2 5
cos ( θ)sin ( θ) dθ = cos ( θ)sin ( θ)cos( θ)
dθ
∫
วิธีทํา ให u = sin( θ)
∫
∫
∫
= −
θ θ θ dθ
2 5
(1 sin ( ))sin ( )cos( )
= −
θ θ θ
2 5
(1 sin ( ))sin ( ) d sin( )
∫ ∫ ∫
2 5
= ∫ (1 − u ) u du = (ใหนิสิตทําตอ)
θ θ dθ θ θ θ dθ θ θ d θ
3 5 2 5 2 5
cos()sin() = cos()sin()cos() = (1−sin())sin() sin()
ตัวอยางและโจทยแบบฝกหัดตางๆที่กลาวมาแลวเปนตัวอยางของการอินทิเกรตในรูป
∫
∫
∫
m n
sin ( x)cos ( x)
dx
m
n
sec ( x)tan ( x)
dx
sin( mx)cos( nx)
dx
•
อภิปรายในชั้นเรียนวาวิธีการที่ใชในตัวอยางใชไดกับการอินทิเกรตเหลานี้เพียงบางสวน มีกรณีที่ใชวิธีการใน
ตัวอยางไมได !
m n
สําหรับ sin ( x)cos ( x)
dx
∫ ในกรณีที่ ทั้ง m และ n เปนเลขคู เราใชเอกลักษณ
ดังในตัวอยางตอไป
2
ตัวอยาง 11.5.9 จงอินทิเกรต
วิธีทํา
∫
sin ( θ)dθ
θ
1 1
= −
2 2
1 1
= +
2 2
2
sin ( ) cos(2 )
θ
2
cos ( ) cos(2 )
θ
θ

16 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
∫
{ }
2 1 1 1 1
sin ( θ) dθ =
⌠
− cos(2 θ) dθ = ⌠ dθ−⌠
cos(2 θ)
dθ
⌡ 2 2 ⌡ 2 ⌡ 2
θ 1
= − sin(2 θ ) + C
2 4
•
ตัวอยาง 11.5.10 จงอินทิเกรต sec( θ)d
แนวคิด
∫
วิธีนี้อาศัยกลเม็ดเล็กนอย สังเกตวา
sec( θ) d tan( θ)
sec( θ) dθ = sec( θ) dθ
= sec( θ ) sec( θ )
tan( θ) d sec( θ)
sec( θ) dθ = sec( θ) dθ
= tan( θ ) tan( θ )
จึงเห็นไดวา
( sec( θ) + tan( θ)
)
sec( θ) dθ = sec( θ) dθ
( sec( θ ) + tan( θ ) )
2
( )
θ
sec ( θ) + sec( θ)tan( θ) dθ d ( tan( θ) + sec( θ)
)
= =
( sec( θ) + tan( θ) ) ( sec( θ) + tan( θ)
)
วิธีทํา
∫
⌠ ( sec( θ) + tan( θ)
)
sec( θ) dθ = ⎮ sec( θ) dθ
⌡ ( sec( θ ) + tan( θ ) )
⌠ d ( tan( θ) + sec( θ)
)
= ⎮
⌡ ( sec( θ) + tan( θ)
)
= ln sec( θ) + tan( θ)
+ C
ตัวอยาง 11.5.11 จงอินทิเกรต
3
แนวคิด
∫
sec ( θ)dθ
•
2
ใชการอินทิเกรตทีละสวน โดยให dv = sec ( θ)
dθ
ตองมีการพลิกแพลงเล็กนอย •
การอินทิเกรตฟงกชันตรรกยะของฟงกชันตรีโกณ เชน
θ
2
เราทําไดโดยการแทนคา u = tan( )
⌠
⎮
⌡
sin( θ)
dθ
3sin( θ) + 4cos( θ)

11.5 การอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณ 17
ในการแทนคานี้ จะไดวา
sin( )
2u
1 u
2
θ = +
2
cos( θ)
1 − u
1 u
2
= +
2
ตัวอยาง 11.5.12 จงอินทิเกรต
θ
2
⌠
⎮
⌡
วิธีทํา ให u = tan( ) จะไดวา
เมื่อแทนคาลงไปและจัดพจน จะได
2du
dθ =
1 + u
sin( θ)
dθ
3sin( θ) + 4cos( θ)
−
sin( θ) = cos( θ)
= θ =
1+ u 1+ u 1+
u
2
2u 1 u 2du
d
2 2 2
⌠ ⎮
⌡
sin( θ)
dθ
udu
2
3sin() θ 4cos() θ =− ⌠ ⎮
+ ⌡ (2u + 1)( u −2)(1 − u)(1 + u)
ซึ่งทํา (เปนแบบฝกหัด) ไดโดยการแยกเศษสวนยอย •
ตัวอยาง 11.5.13 จงอินทิเกรต ∫ sec( θ)dθ
โดยการแทนคาดวย u = tan( )
วิธีทํา
∫
dθ
2du
sec( θ)
dθ
=
⌠
=
⌠
|1 |
⎮ ⎮
⌡ cos( θ) ⌡ (1 − u)(1 + u)
ln + u
= + C |1 − u |
θ
2
u u u u
= = + = sec( θ) + tan( θ)
2 2 2
1−u 1−u 1−u 1−u
2 2
1 + (1 + ) 1+
2
•

18 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
แบบฝกหัด 11.5
จงหาคาของการอินทิเกรตตอไปนี้
1.
3.
4 2
∫ e x sin ( e x )cos ( e x ) dx
2. ∫ (sin 6 x)(cos 4 )
2 3
∫ sin ( x )cos ( x)
dx
4.
5. ∫ (2 sin x + 3 cos x)
dx
6.
7.
3 2
∫ sec ( x )tan ( x)
dx
8.
9. ∫ (1 − cos ec( x) cot( x))
dx
10.
x
11. ∫ (2 sin x − 5 e ) dx
12.
∫
∫
∫
∫
∫
3 3
x dx
sin ( x)cos ( x)
dx
2
(tan x + 1) dx
e
x
5
x
cos (5 + e ) dx
2
( x − sin x)
dx
2 2
( x + sec x ) dx
13.
2
∫ (sec x − sin x)
dx
x
14. (cos x + 3 )
∫
dx
15.
2 2 2
∫ e x sin(3 e x )cos( e x ) dx
16. ∫ sin(2 )sin( )cos( )
sin x
17. ∫ sec x(tan x − 2 sec x)
dx
18. ∫ 2 dx
cos x
19.
4
x +
sin x
1−
sin
2
∫ ( sec xdx )
20. ∫ 2
x x x dx
dx
x
11.6 การอินทิเกรตโดยใชฟงกชันตรีโกณ
ในหัวขอนี้เราจะอินทิเกรตฟงกชันตางๆ โดยการใชวิธีการแทนคาดวยฟงกชันตรีโกณ เชนถาฟงกชันที่เรา
2 2
จะอินทิเกรตมีแฟคเตอร a − v ซึ่งติดรากที่สองอยู เราก็อาจใชการแทนคา v = asin( θ)
ซึ่งจะทําใหแฟค
เตอรดังกลาวไมติดรากที่สอง
⌠
⌡
dv
ตัวอยาง 11.6.1 จงอินทิเกรต ⎮
2 2
a
− v
วิธีทํา ให v = asin( θ)
ดังนั้นเราไดวา
⌠
dv
( a > 0)
⌠ acos( θ)
dθ
= = dθ
= θ + C
a cos( θ)
⎮
⎮
⌡ 2 2
∫
⌡
a
− v

11.6 การอินทิเกรตโดยใชฟงกชันตรีโกณ 19
v
a
⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠
⎟
แตเนื่องจาก sin( θ ) = จึงไดวา θ arcsin v ⎜
a
จึงไดคําตอบวา
หมายเหตุ
⌠
⎮
⌡
a
dv
− v
2 2
⎛v
⎞ = arcsin
⎜ + C
⎝a
⎠⎟
เนื่องจากในที่นี้เราใชฟงกชัน arcsin การแทนคา v = sin( θ)
นั้นจึงถือไดวา
จึงได cos( θ ) > 0 ผลลัพธที่วา
⌠
⎮
⌡
a
dv
− v
2 2
⎛v
⎞ = arcsin
⎜ + C
⎝a
⎠⎟
π π
− < θ <
2 2
ถือเปนสูตรอินทิเกรตสูตรหนึ่ง จะจําไวใช
ก็ได หรือจะอินทิเกรตโดยการแทนคาดังแสดงไวในตัวอยางก็ได อยางไรก็ตาม การอินทิเกรตโดยการแทนคาดวย
ฟงกชันตรีโกณเปนวิธีที่ใชไดกวางขวางกวา จึงตองเรียนรูไว หัวขอจะแสดงตัวอยางการแทนคาดวยฟงกชัน
ตรีโกณตางๆ
⌠ dv
⌡ a + v
ตัวอยาง 11.6.2 จงอินทิเกรต ( a > 0)
2 2
วิธีทํา ให v = atan( θ)
ดังนั้นเราไดวา
2 2
dv a sec ( θ) dθ a sec ( θ)
dθ
⌠ ⌠
⌠
= =
⌡
2 2 ⎮ 2 2 2 ⎮ 2 2
a + v ⌡ a + a tan ( θ) ⌡ a sec ( θ)
1 1 1 ⎛v
⎞ = ⌠ dθ
= θ + C = arctan
+ C
⌡ a a a
⎜⎝a⎠⎟
ผลลัพธนี้เปนสูตรหนึ่งที่ควรจําไวใช (เคยใชมาแลว!) •
•
⌠
⌡
dv
ตัวอยาง 11.6.3 จงอินทิเกรต ⎮
2 2
a
+ v
( a > 0)
วิธีทํา ให v = atan( θ)
ดังนั้นเราไดวา
2
⌠ dv ⌠ a sec ( θ)
dθ
⎮ = ⎮
=
⌡
2 2
∫
⌡
a
+ v
sec( θ)
dθ
a sec( θ)
= ln | sec( θ) + tan( θ) | + C
v
a
a
+ v
2 2
θ
2 2
a + v v
= ln | + | + C
a a
2 2
= ln | + + | − ln( ) +
a v v a C
•
2 2
= ln | a + v + v | + C′

20 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
⌠
⌡
dv
ตัวอยาง 11.6.4 จงอินทิเกรต ⎮
2 2
วิธีทํา ให v = asec( θ)
ดังนั้นเราไดวา
⌠
⎮
⌡
v
dv
−a
2 2
v
−a
⌠ asec( θ)tan( θ)
dθ
= ⎮
= …
⌡ a |tan( θ)|
( a > 0)
( อภิปรายวิธีจัดการกับคาสัมบูรณ ในชั้นเรียน) •
⌠
⌡ x
ตัวอยาง 11.6.5 จงอินทิเกรต
2
xdx
+ 6x
+ 13
2 2 2
วิธีทํา สังเกตวา x + 6x + 13 = ( x + 3) + 2 จึงควรกําหนดการแทนคา x + 3 = 2tan( θ)
(แสดงวิธีทําในชั้นเรียน ถึงคําตอบ และแสดงการตรวจสอบคําตอบ) •
⌠
⌡
xdx
ตัวอยาง 11.6.6 จงอินทิเกรต ⎮
2
5+ 4x
−x
2 2 2
วิธีทํา สังเกตวา 5+ 4x − x = 3 −( x − 2) จึงควรกําหนดการแทนคา x − 2 = 3sin( θ)
( รวมกันทําในชั้นเรียน แลวตรวจสอบคําตอบ ) •
⌠
ตัวอยาง 11.6.7 จงอินทิเกรต ⎮
2
⌡
x
( x + 2) dx
+ 10x
−75
2 2 2
วิธีทํา สังเกตวา x + 10x − 75 = ( x + 5) − 10 จึงควรกําหนดการแทนคา x + 5 = 10 sec( θ)
( รวมกันทําในชั้นเรียน แลวตรวจสอบคําตอบ ) •
⌠ dx
⌡ x 9x + 4
ตัวอยาง 11.6.8 จงอินทิเกรต ⎮
2
2 2 2
วิธีทํา สังเกตวา 9x
+ 4 = (3 x) + 2 จึงควรกําหนดการแทนคา 3x
= 2tan( θ)
( รวมกันทําในชั้นเรียน แลวตรวจสอบคําตอบ ) •
ตัวอยาง 11.6.9 จงอินทิเกรต
1. ⌠ dx
⌠ dx
2.
⌡
2 ⎮
2
x + 25 ⌡ x + 16
3.
⌠ xdx ⌠ ( x − 2) dx
⎮
4. ⎮
⌡ x + 6x + 25 ⌡ 5+ 2x + x
5.
⌠ xdx
dx
6.
⌠
⎮
⎮
⌡ + x − x ⌡ x + x
2 2
2 2
8 2 4

11.7 เทคนิคการอินทิเกรตอื่นๆ 21
แบบฝกหัด 11.6
จงหาคาของการอินทิเกรตดังตอไปนี้
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
dx
∫ 2.
2
4 − x
1
∫ dx
4.
2
4x x − 4
dx
∫ 6.
2x
25 + e
dx
∫ 8.
2
2+
9x
dx
∫ 10.
2x
e
− 1
x + 2
∫ dx
12.
2
4 − x
dx
∫ 14.
2
x 4x − 9
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2x
e
4 + e
x
4x
1−
2x
dx
2
dx
1
( ) dx
2
25 + 4x
x
dx
4
x + 16
x
dx
4
1 − x
1
dx
2
3x
− x
dx
1 − ( x + 1)
2
11.7 เทคนิคการอินทิเกรตอื่นๆ
การอินทิเกรตที่ทํามาในหัวขอตางๆกอนหนานี้ อันที่จริงเปนการหาปฎิยานุพันธ นิสิตไดเห็นประโยชนมา
บางแลว อาจจําแนกประโยชนไดเปนสองประเภท ดังนี้
1. ใชคํานวณอินทิกรัลจํากัดเขต เชนใชในการคําณวณ พื้นที่ ปริมาตร งาน โมเมนต
2. ใชหาผลเฉลยของสมการดิฟเฟอเรนเชียล ซึ่งใชในการหาความสัมพันธระหวางปริมาณตางๆ
การอินทิเกรตใหไดผลลัพธออกมาเปนสูตรนั้นใชวาจะทําไดเสมอไป ขึ้นอยูกับวาเรามีฟงกชันใดไวใชบาง
เชน ถาเรายังไมมีฟงกชัน ln เราก็ยังทําอินทิเกรต
ไมได เปนตน
∫
dx
x
เมื่อพบกับฟงกชันที่อินทิเกรตออกมาเปนสูตรไมได เราก็ใชวิธีเชิงตัวเลข (numerical method) เชน การ
ใชเกณฑของซิมปสัน การอินทิเกรตนั้นบางกรณีเราตองใชเทคนิคตางๆ หลายแบบประกอบกัน ตอไปนี้เปน
ตัวอยางโจทยระคน (รวมทํากันในชั้นเรียน)

22 บทที่ 11 การดิฟเฟอเรนชิเอตและการอินทิเกรตฟงกชันตรีโกณและฟงกชันตรีโกณผกผัน
dx
∫
e +
x
edx
x
e + 1
ตัวอยาง 11.7.1 จงอินทิเกรต
x x
x
วิธีทํา เขียนใหมไดเปน ∫ แลวใชการแทนคา u = e
2
x
ตอบ arctan( e )
ตัวอยาง 11.7.2 จงอินทิเกรต
x
วิธีทํา ใชการแทนคา u = e
2
ตอบ e
e −
+ C
•
∫
e
x
edx
x x
+ e −
1 ln(
x
+ 1) + C
•
2
x
ตัวอยาง 11.7.3 จงอินทิเกรต e sin(2 )
วิธีทํา
∫
ลองใชการอินทิเกรตทีละสวน
x dx
x
dv = e dx dv = sin(2 x) dx
1
e x − e x + C •
5
x
x
ตอบ ( sin(2 ) 2 cos(2 ))
ตัวอยาง 11.7.4 จงอินทิเกรต ∫ x cos(3 x)
dx
วิธีทํา ใชการอินทิเกรตทีละสวน dv = cos(3 )
ตอบ
x dx
1 1
x sin(3 x) + cos(3 x)
+ C
•
3 9
ตัวอยาง 11.7.5 จงอินทิเกรต ∫ arcsin( xdx )
วิธีทํา ใชการอินทิเกรตทีละสวน dv = dx
2
ตอบ arcsin( ) 1
x x + − x + C
•
ตัวอยาง 11.7.6 จงอินทิเกรต
1. ∫ arctan( xdx )
2. ∫ xarctan( x)
dx
3 2
3. ∫ xarcsin( x)
dx
4. ∫ x 4 − x dx
x
edx
3dx
5. ∫ 6.
2x
2x
∫
e −e −
2
9 − x
7.
∫ x 2 sin(3 x)
dx
8.
∫
2 −x
xe
sin(3 x)
dx

11.7 เทคนิคการอินทิเกรตอื่นๆ 23
แบบฝกหัด 11.7
จงอินทิเกรต
x arctan x
1. ∫ 3 dx
2. ∫ x arcsin xdx
2
(1 + x ) 2
3.
3
5
8
5
(1 − cos x)
∫ dx
4.
(1 + cos x)
∫
5 3
cos x sin x dx
1+
cos2x
x ln x
5. ∫ sin(arctan xdx )
6. ∫
2 4dx
4− 12x
+ 9x
x
7. ∫ arccos dx
8. arctan(1 + xdx )
x + 1
∫
9.
3
∫ x ln(1 + x ) dx
10.
x
∫
2x
xe
4 −e
xe
ln x
11. ∫ x 3
dx
12.
2
(1 + e )
∫ dx
( x + 1)
arccos x sin 2x
13. ∫ 3 dx
14.
4 4
x
∫
dx
cos x + sin x
15.
17.
2 2
∫ x ln( x + 1 + x ) dx
16.
arctan x
e
∫ 2 2dx
18.
(1 + x )
∫
∫
x
e
2x
dx
(1 + sin x)
dx
1+
cosx
3 x
cosec
2
x dx
cot 2
19.
1
∫
(3 + 5 cos x)(2 + sin x) dx
20.
∫
2
1+
cos x sin2x cos2xdx