Diffrazione - Consorzio Elettra 2000

Propagazione in ambiente reale
Nella quasi totalità dei radio-collegamenti reali, TX ed RX sono
circondati da oggetti (edifici, colline, vegetazione, suolo, ecc.) che
rendono lo scenario di propagazione assai diverso dallo spazio libero
Londa EM interagisce con gli oggetti dello scenario (riflessioni sulle
pareti, diffrazioni sugli spigoli, ecc.); leffetto di tale interazione dipende
dalle caratteristiche geometriche ed elettromagnetiche dellambiente.
Le caratteristiche della propagazione in un radio-collegamento reale
a. dipendono sensibilmente dalle proprietà dello scenario propagativo
b. hanno un impatto molto significativo sulle caratteristiche del segnale
ricevuto (andamento spazio-temporale della potenza ricevuta, dispersione
angolare, shift in frequenza dovuto a spostamento Doppler, …)

Propagazione in presenza di ostacoli
Londa elettromagnetica subisce diverse interazioni con lambiente reale di
propagazione prima di giungere al ricevitore. I meccanismi di propagazione più
importanti sono:
1) Riflessione;
2) Diffrazione;
3) Trasmissione (Rifrazione);
[ 4) Diffusione (Scattering); ]
In presenza di un ostacolo finito è Il
fenomeno che avviene a causa del
bordo dellostacolo
Diffraction Path
Transmission
Reflection

Diffrazione - il principio di Huygens-Fresnel
Il fenomeno della diffrazione può essere introdotto e descritto a partire dal
principio di Huygens o delle sorgenti secondarie: noto il fronte donda
F allistante t, è possibile ricostruire il successivo fronte donda F
allistante t+dt supponendo che gli elementi di superficie d di F siano
eccitati ad emettere contemporaneamente onde sferiche con la velocità v
dellonda; linviluppo di tali onde secondarie allistante t+dt costituisce il
fronte donda F allo stesso istante.
S 1
Q
!
r o
s
d$
(R)
= K
e
& j%
r & j%
0s
e
0 0
(#
)"
A " " " d!
r
0
s
T
P o
R
! (R) = K (")! A ! e" j# 0r 0
# d$
s
Sup.Sferica
r 0
! e" j# 0s
Teoria scalare
Ψ generica componente del campo

S
Fatte le seguenti ipotesi:
- d , >> λ
- Mezzo senza perdite
-
-
Q
!
d
nˆ
!
!
!
r'
#!
lim r " =
r%$
# n
1
G( !)
= #
4"
- S = sup. donda
Il teorema di Kirchhoff (1/2)
P
S ∞
O
lim r " !
r%$
e #$!
!
!
r
Detta Ψ la generica componente del generico campo,
in una regione omogenea priva di sorgenti:
= 0
Metodo della
' ( () $
/
2 2
funzione di Green ! G
) + . ) = 0 ,,,,,,
- )( r) = ! %) * + G * "
& ( n ( n
dS
#
nel caso in figura quindi
Funzione di Green
di Spazio Libero
*
"
( r) = , !
S
S!
S"
( ) G )* %
&* + , G + # dS
' ) n ) n $
Campo ! in Q
" $$ # $$ %
!( r ! ) = j"
4# F ( $,% ) & e' j"d j"(
e'
* & & ( 1+ cos ) dS!
d (
S
K (!) = j" $ ( 1+ cos ! )
4#

Il teorema di Kirchhoff (2/2)
In assenza di ostacoli (Spazio Libero), il calcolo del campo ricevuto per
mezzo del teorema di Kirchhoff è possibile ma inutilmente complicato,
poiché vale la formula di Friis (estremamente più semplice)
Il teorema di Kirchhoff diviene invece assai utile per valutare il campo
ricevuto in presenza di un ostacolo. Lintegrale deve essere limitato alla
porzione di fronte donda non intercettata dallostacolo stesso:
!( ! r ) = j"
4#
( ) &
j" ( d + ( ) e'
& ( 1+ cos )
* F $,%
dS
d & (
S A
d
S A
ρ
P
Il valore di ψ su S A può essere approssimato con
il valore che si avrebbe in assenza dellostacolo
(approssimazione di Kirchhoff);

Diffrazione – esempi teorici fondamentali
Con il termine Diffrazione si intende indicare una particolare categoria di
fenomeni propagativi generati dalla presenza di ostacoli sul cammino di
propagazione.
Esempi:
Diffrazione da Apertura
Diffrazione da “Knife Edge”
La diffrazione determina in particolare:
Campo non nullo anche in zone non direttamente illuminate dalla sorgente;
Campo diverso da quello di Spazio Libero nelle zone direttamente illuminate
dalla sorgente
La diffrazione è tanto più rilevante quanto più le dimensioni geometriche
in gioco (ostacoli, aperture, raggi di curvatura) sono piccole rispetto a λ
Il teorema di Kirchoff permette di risolvere in linea di principio qualunque
problema di diffrazione. Occorre di volta in volta determinare la superficie
S A e risolvere lintegrale per il calcolo del campo

Zone di Fresnel (1/3)
In alcuni casi è possibile valutare gli effetti della diffrazione senza dover risolvere
esplicitamente lintegrale di Kirchhoff (può essere complicato)
R 1
ρ k
P k
r 3
rk
= R2
r k
+ k
"
!
2
Zone di Fresnel : porzioni
di fronte donda delimitate
dallintersezione fra il
medesimo e le sup.
sferiche di raggio r k
r 1
I zona di Fresnel
T
R
II zona di Fresnel
R 1 R 2
III zona di Fresnel
r 2
ρ k : k mo raggio di Fresnel
r = R 1 +R 2

si può osservare che
Zone di Fresnel (2/3)
2
2
r 2 2 2 2 & ' k
# & ' k
R1
R2
R1
k rk
k R1
1 rk
1
R1
r ! #
= + = ( ' + ( ' = ) (
$
! + ) (
$
% " % k "
2
1 ! x " 1!
x#
0
1
2
x
2
e
R 1 , R 2 >> !
k
R
1
+ R
2
= R
1
*
" ( 1$
(
)
1 0 #
2
.
/ R
k
1
-
+
,
2
'
%
%
&
+ r
k
*
" ( 1$
(
)
1 0 #
2
.
/ r
k
k
-
+
,
2
'
%
%
&
= R
1
+ R
2
+ k "
!
2
$
2
k
1 #
2 R
1
$
1
2
R
2
#
2
k
+ k "
!
2
1
2
)
2
k
&
$
( $
$
%
1
R
1
+
R
2
1
+ k (
#
!
! =
' !
2 "
k (
'
2
*
)
k
=
k ( ' (
R R
1
2
&
(
$
$
1+
%
&
$
k ( ' #
2 !
R !
2
"
k ( '
( R )
$ ! ! 1 + R2
( 1+
2
R1
+ R2
% "
#

Zone di Fresnel (3/3)
Supponendo che k·λ/2

Diffrazione da apertura circolare (1/2)
In alcuni casi, le zone di Fresnel permettono di valutare gli effetti della
diffrazione senza dover risolvere esplicitamente lintegrale di Kirchhoff. E
il caso ad esempio dellapertura circolare, ove si desideri valutare il campo
ricevuto lungo lasse dellapertura
Contributo dellelemento dΣ appart. ad S A
T
R 1
h
S A
R 2
R
dE(R) = j!
4" # F ( $,% ) # e& j!R 1
R 1
R 1 , R 2 >> h χ≅ 0 e F(θ,φ) ≅ A (costante)
#
e&
j!s
s
#( 1+ cos ')d(
dE(R) = j!
2" # A # e$ j!R 1
R 1
#
e$
j!s
s
#d% (*)
Se R 2 >> λ si approssima s ≅ r k allinterno della k ma zona di Fresnel e
analogamente s ≅ r k+1 allinterno della (k+1) ma i contributi dei punti della (k
+1) ma zona di Fresnel differiscono da quelli della k ma per il fatto che nella (*) s
vale r k+1 e non r k . Trascurando leffetto di tale differenza sullampiezza ed
osservando che r k+1 = r k + λ/2 i contributi della (k+1) ma zona sono sfasati
rispetto a quelli della k ma di βλ/2 = π

Diffrazione da apertura circolare (2/2)
Se la (k+1) ma zona di Fresnel passa attraverso lapertura, essa tende ad
annullare i contributi al campo ricevuto dati dalla k ma se dallapertura
passa un numero pari di zone di Fresnel, in R si ha un minimo del campo,
mentre si ha un massimo se tale numero è dispari
Andamento reale
E/ E 0
2
1
0
1 2
h / ρ 1

Diffrazione da Knife-Edge (1/4)
d
X
dΣ
Q
X
T
ρ
h
T
h
R
a
b
Z
Y
R
Z
Ostacolo piano (Knife-Edge = Lama di coltello) appart.al piano XY,
infinitamente esteso in direzione Y e limitato fra h e -∞ in direzione X;
T ed R collocati su asse Z ( alla stessa altezza) da parti opposte
rispetto allostacolo

Diffrazione da Knife-Edge (2/4)
Contributo dellelemento dΣ appartenente ad S A
dE(R) = j!
4" # F $,%
( ) # e& j!d
Ipotesi 1: sorgente tanto lontana dallo schermo da poter approssimare il
fronte donda con il piano XY
E(R) = j!
+) +)
4" # F ( $,% ) # e& j!d j!'
e&
* * # # ( 1+ cos (
d ' )dx dy
E(R) = j!
4"
&)
Ipotesi 2: h

Ipotesi 2 + Ipotesi 3
Diffrazione da Knife-Edge (3/4)
F(θ,φ) = A costante ; χ ≅ 0
d ≈ a , ρ ≈ b
a denominatore si pone d = a , ρ = b
negli esponenziali a numeratore si osserva che
d ! a =
( ) ( ) 2 2 2
x + y
x + y + a ! a = a 1+
! a
1+
z
!
z"
0
' +
d ! a ( a%
1+
%&
2a
( ) x
2 2
+ y
1+
z
2
(
2 2) (
2 2)
x y $ x + y
2
" ! a =
"#
2a
# " b !
(Analogamente)
2b
2
a
2
2

Diffrazione da Knife-Edge (4/4)
E(R) = j!
2"
= j!
2"
# A # e$ j! ( a+b)
ab
# A #
e$ j! ( a+b)
ab
+% +%
&
$%
&
h
+% +%
&
$%
&
h
e
e $ j! x2 + y 2
2a
# e $ j! x2 + y 2
2b
a+b
$ j!
2ab x2 + y 2
( ) dx dy
dx dy

Diffrazione da KE
Attenuazione Supplementare (1/3)
E 0 (R) = campo che si avrebbe in assenza dellostacolo:
E 0
(R) = j!
2"
# A # e$ j! ( a+b)
ab
+% +%
&
&
$% $%
e
a+b
$ j!
2ab x2 + y 2
( ) dx dy
Attenuazione supplementare L S
j!
L S
= E 0
E = 2"
j!
2"
# A # e$ j! ( a+b)
ab
# A #
e$ j! ( a+b)
ab
+% +%
&
&
$% $%
+% +%
&
$%
&
h
e
e
a+b
$ j!
2ab x2 + y 2
a+b
$ j!
2ab x2 + y 2
( ) dx dy
( ) dx dy
=
+%
&
$%
+%
&
h
a+b
$ j!
2ab
e x2 dx
a+b
$ j!
2ab
e x2 dx
L S
=
+$
%
2 ! e
+$
%
h
0
a+b
" j#
2ab x2 dx
a+b
" j#
2ab
e x2 dx

Diffrazione da KE
Attenuazione Supplementare (2/3)
Posto
" = x $
2 a + b
! ab
2
2 a + b
L S
= E 0
E = ! ab
1
2 a + b
! ab
h'
# dx =
+%
&
0
+%
&
2 a+b
! ab
e " j # 2 $ 2 d$
d"
e " j # 2 $ 2 d$
2 a + b
! ab
=
h'
+%
&
2 e " j # 2 $ 2 d$
0
+%
&
2 a+b
! ab
e " j # 2 $ 2 d$
1 j #
!
4 = !
" e
2
1
2
( 1 j)
Integrale di Fresnel
ν 0 : parametro di Fresnel
L S
= E 0
E = 1
+$
1 + j
e ! j " 2 # 2 d#
2
%
# 0
Si noti che:
! o
= h " 1
2

L S
Diffrazione da KE
Attenuazione Supplementare (3/3)
A s (dB) = 20 log (E 0
/ E )
Per ν 0 > - 1 s i p u ò
approssimare come:
L S ( dB) = 6.4 + 20 ! log 10
" 2 2
0
+ 1 + " 0
Per ! 0
< ! " 2 il valore di |
A S (dB)| è inferiore a 1 dB, e
dunque l effetto
dellostacolo risulta in pratica
trascurabile. Osservando che
h
# 0 = ! 2
" 1
la condizione # 0 < " ! 2
corrisponde a h < -ρ 1 ovvero
alla condizione di non
intersezione tra lostacolo ed
il primo ellissoide di Fresnel
! 0
( )

Lee’s simplified attenuation formulas [*]
L(! 0
) =
( ) -0.82.4
+
,
0 &
[*]W. C. Y. Lee, Mobile Communications Engineering, Mc Graw Hill, New York 1982

KE Diffraction – calcolo del campo (1/3)
Bordo del KE coincidente con asse y; R nel generico punto del piano XZ
Ipotesi: onda incidente sul Knife Edge piana uniforme e incidenza
normale:
!
( x,y,z)
( x,y,z)
inc
E $ " j!
z
= A # e
inc &
H
+
'
$%
( x,0,z )
( )
E *
) =
H x,0,z (
j$
A
4'
" "
! !
0 #"
( 1+
cos&
)
e
%
r
# j$
r
R
R
dy' dx'
Supponendo z >> λ e sapendo che le
sorgenti secondarie (y, x) che danno un
contributo significativo al campo ricevuto
in (x,0,z) sono solo quelle per y ≈ qualche
λ (prime zone di Fresnel)
2
( y' )
r
R
=
( )
( )
z
2
E x,0,z )
( = A
H x,0,z '
0
+
2
( x , x' ) + ( y' )
# e
j%
4
*
&
# !
2%
2
+ "
R
( 1+
cos$
)
+
2"
- , j&"
e
#
R
"
0 R
R
dx'
E
inc in ! " jkx j!
z
( x,y,z E = ) = EA
0
e#
e
Y
z
dz
Q(x’,y’,0)
dy
dx’
&
$ (
%
R
dy’
=
X y
z
2
χ
+
r R
2
( x ' x'
)
# !"
R(x,0,z)
( x, y, 0 )
x
Z

KE Diffraction – calcolo del campo (2/3)
Applicando il metodo della fase stazionaria per la risoluzione dellintegrale, è
possibile ottenere la seguente soluzione per il campo ricevuto:
x > 0 (Regione illuminata)
E
( x,0,z
)
# % j$&
% j$
z % j e % 1 1+
cos
( = A " e + A " e 4
0
" " "
( ) 2sin!
H x,0,z
'
&
2#$
!
X y"
x < 0 (Shadow Region)
E
( x,0,z
) # % j$&
% j e % 1 1+
cos
( = A " e 4 " " "
( ) 2sin!
H x,0,z
'
&
2#$
!
Onda Piana
Incidente"
(ρ,θ )"
x" Z
Confine dʼombra"
• θ > 0 se x > 0
• θ < 0 se x < 0

KE Diffraction – calcolo del campo (3/3)
X y"
Onda Piana
Incidente"
(, )"
x" Z
Confine dʼombra"
( )
( )
E x,0,z &
%
H x,0,z $
=
( j'
z
A0
" e " U
$! !#
!!"
Onda Piana
(solo per !> 0)
)
( j'#
( j
(!
) + A " e 4 " " D( !)
0
e
#
$! !#!!!
"
Onda
Cilindrica
Diffratta
Onda Cilindrica Diffratta"
La presenza del knife-edge genera unonda diffratta che nelle ipotesi fatte
risulta essere unonda cilindrica
Le superfici donda sono perciò dei cilindri aventi per asse il bordo superiore del
Knife-Edge è allora possibile definire i Raggi Diffratti che si propagano dal
bordo dellostacolo in direzione radiale.
D
(!)
=
% 1
2#$
1+
cos!
"
2sin!
: Coefficiente di Diffrazione

Osservazioni:
La possibilità di estendere lottica geometrica al fenomeno della
diffrazione fin qui mostrata e sottoposta ai seguenti vincoli e limitazioni:
1) Approccio scalare alla teoria della diffrazione (Huygens-Fresnel);
2) Onda incidente piana;
3) Incidenza normale;
4) Ostacolo assimilato ad un knife-edge trasversalmente illimitato;
5) Ricevitore lontano dal confine dombra del raggio diretto (D(0)=∞)
Tali ipotesi di lavoro assai raramente risultano verificate in situazioni reali
di diffrazione. E quindi opportuno generalizzare lapproccio fin qui
seguito in modo da estendere la descrizione a raggi della diffrazione a
situazioni più realistiche

La legge della Diffrazione
Introdotta da J. B. Keller nel 1961 e si articola nei seguenti 2 seguenti assunti [6] :
I. Si generano uno o più raggi diffratti ogniqualvolta un raggio dellOG classica
(diretto o riflesso) incide su uno spigolo o un vertice;
II. Per ogni cammino diffratto vale il Principio di Fermat (Estensione del principio di
Fermat al fenomeno della diffrazione)
Cono
di
Keller
Legge della diffrazione: il raggio diffratto e quello incidente
giacciono da parti opposte rispetto al piano perpend. allo
spigolo e passante per il punto di diffrazione; gli angoli che tali
raggi formano con lo spigolo (angolo di incidenza e angolo di
di diffrazione) sono dati dalla legge di Snell per la
diffrazione:
n " sin!
= n " sin!
i
i
d
d
Raggio
Incidente
Se i raggi si propagano nello stesso mezzo, θ d =θ ;
Ogni raggio incidente genera una infinità di raggi diffratti
sulla superficie laterale di un cono (cono di Keller)
VEDREMO MEGLIO IN UNA PROSSIMA LEZIONE…