Note di studio su Economia dei Mercati Finanziari Primo Modulo
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<strong>Economia</strong> <strong>dei</strong> <strong>Mercati</strong> <strong>Finanziari</strong><br />
Dipartimento <strong>di</strong> Scienze Economiche<br />
Università <strong>di</strong> Pisa<br />
<strong>Note</strong> <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o <strong>su</strong><br />
<strong>Economia</strong> <strong>dei</strong> <strong>Mercati</strong> <strong>Finanziari</strong><br />
<strong>Primo</strong> <strong>Modulo</strong> ∗<br />
Davide Fiaschi e Nicola Meccheri<br />
Dipartimento <strong>di</strong> Scienze Economiche<br />
Università <strong>di</strong> Pisa<br />
dfiaschi@ec.unipi.it – meccheri@ec.unipi.it<br />
(aggiornate al 7 novembre 2011)<br />
∗ Queste <strong>di</strong>spense costituiscono una prima versione, provvisoria e incompleta, con finalità<br />
esclusivamente <strong>di</strong>dattiche. Segnalazioni <strong>di</strong> eventuali errori o refusi sono davvero gra<strong>di</strong>te e benvenute.
In<strong>di</strong>ce<br />
1 Aspetti Introduttivi 7<br />
I <strong>Mercati</strong> finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
II Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>dei</strong> titoli finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
III Interme<strong>di</strong>azione finanziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
IV Efficienza <strong>dei</strong> mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2 Scelte in Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Incertezza 25<br />
I Definizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
II Valore atteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
III Utilità attesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
III.A Atteggiamento nei confronti del rischio . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
IV Domanda <strong>di</strong> assicurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
V Scelte <strong>di</strong> portafoglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
VI Appen<strong>di</strong>ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
A.1 Derivazione matematica del premio per il rischio e mi<strong>su</strong>re <strong>di</strong> avversione<br />
al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
A.2 Utilità attesa e scelte <strong>di</strong> portafoglio: derivazione matematica . . . . 46<br />
3 Modello Me<strong>di</strong>a-Varianza 49<br />
I Preferenze degli investitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
II Portafoglio che minimizza il rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
II.A Tre casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
III Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli rischiosi . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
III.A Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con n = 2 titoli rischiosi . . . . . . . . . . . 59<br />
III.B Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con n > 2 titoli rischiosi . . . . . . . . . . . 64<br />
IV Titoli rischiosi e un titolo privo <strong>di</strong> rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
V In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
VI Teorema <strong>di</strong> separazione e portafoglio ottimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
VII Appen<strong>di</strong>ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
3
4<br />
A.1 Dall’utilità attesa all’utilità me<strong>di</strong>a-varianza: la funzione <strong>di</strong> utilità<br />
VNM con forma quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
A.2 Derivazione matematica della frontiera <strong>dei</strong> portafogli con due titoli<br />
rischiosi e un titolo risk-free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
4 CAPM 85<br />
I As<strong>su</strong>nzioni del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
I.A Equilibrio nei mercati <strong>dei</strong> capitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
I.B Scelte degli investitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
I.C Aspettative omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />
II Portafoglio <strong>di</strong> mercato e linea del mercato <strong>dei</strong> capitali . . . . . . . . . . . . 87<br />
III Linea del mercato delle attività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
III.A Derivazione della linea del mercato delle attività . . . . . . . . . . . 91<br />
III.B Prezzi <strong>di</strong> equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
III.C Disequilibrio e aggiustamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
IV Rischio <strong>di</strong> mercato e <strong>di</strong>versificazione del portafoglio . . . . . . . . . . . . . 98<br />
V In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance basati <strong>su</strong>l CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Elenco delle figure<br />
2.1 Avversione al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
2.2 Neutralità al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
2.3 Propensione al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
3.1 Curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza dell’investitore nel modello me<strong>di</strong>a-varianza . . . . . . 51<br />
3.2 Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con due titoli rischiosi . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />
3.3 Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con short-sales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
3.4 Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con tre titoli rischiosi . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
3.5 Frontiera <strong>dei</strong> portafogli efficienti con titoli rischiosi e un titolo privo <strong>di</strong> rischio 69<br />
3.6 In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
3.7 In<strong>di</strong>ce RAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
3.8 Scelta ottima del portafoglio <strong>di</strong> investimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
4.1 Portafoglio <strong>di</strong> mercato e linea del mercato <strong>dei</strong> capitali (CML) . . . . . . . 88<br />
4.2 Derivazione della linea del mercato delle attività . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
4.3 Linea del mercato delle attività (SML) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
4.4 Disequilibrio nel modello CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
5
Capitolo 1<br />
<strong>Economia</strong> <strong>dei</strong> mercati finanziari:<br />
aspetti introduttivi<br />
I<br />
<strong>Mercati</strong> finanziari<br />
I mercati finanziari sono i mercati in cui si scambiano fon<strong>di</strong> prestabili o, più semplicemente,<br />
risorse finanziarie. Tali mercati svolgono la funzione essenziale <strong>di</strong> trasferire<br />
risorse finanziarie da chi ne <strong>di</strong>spone in eccesso, rispetto ai <strong>su</strong>oi bisogni del momento, a<br />
chi, viceversa, ne necessita un ammontare maggiore rispetto a quelle che ha attualmente<br />
<strong>di</strong>sposizione. I primi soggetti, cioè coloro che risparmiano e danno a prestito fon<strong>di</strong>, vengono<br />
sovente definiti unità in <strong>su</strong>rplus o cre<strong>di</strong>tori, mentre i secon<strong>di</strong>, che prendono a<br />
prestito fon<strong>di</strong>, sono detti unità in deficit o debitori. In altri termini, nell’ambito <strong>dei</strong><br />
mercati finanziari, i primi soggetti esprimono l’offerta, mentre i secon<strong>di</strong> la domanda <strong>di</strong><br />
fon<strong>di</strong> prestabili. Dal lato dell’offerta, tra i principali cre<strong>di</strong>tori si annoverano generalmente<br />
le famiglie, ma talvolta anche le imprese o certe amministrazioni pubbliche (governi nazionali<br />
o esteri) possono <strong>di</strong>sporre <strong>di</strong> eccedenze finaziarie rispetto ai propri effettivi bisogni<br />
e decidere <strong>di</strong> investirle prestandole a chi ne fa domanda. 1 Dal lato della domanda, invece,<br />
i più importanti debitori sono le imprese e i governi. Le prime, infatti, necessitano <strong>di</strong><br />
ingenti risorse per finanziare gli investimenti connessi alla propria attività produttiva e<br />
commerciale, mentre i secon<strong>di</strong> ricorrono all’indebitamento per finanziare la spesa pubblica<br />
che eccede le entrate fiscali. Peraltro, non raramente anche le famiglie ricorrono<br />
all’indebitamento per finanziare livelli <strong>di</strong> con<strong>su</strong>mo <strong>su</strong>periori ai propri red<strong>di</strong>ti correnti o<br />
l’acquisto <strong>di</strong> beni durevoli (ad esempio, contraendo un mutuo per l’acquisto della casa).<br />
I mercati finanziari possono svolgere un ruolo fondamentale per il buon funzionamento<br />
1 Un esempio è costituito dai cosiddetti fon<strong>di</strong> sovrani che rappresentano speciali istituzioni <strong>di</strong> investimento<br />
pubblici controllati <strong>di</strong>rettamente dai governi <strong>dei</strong> relativi paesi per investire <strong>su</strong>rplus fiscali o riserve<br />
<strong>di</strong> valuta estera.<br />
7
I. <strong>Mercati</strong> finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI<br />
dell’economia. Ciò in quanto, spesso, i soggetti che <strong>di</strong>spongono <strong>di</strong> risorse finanziarie in<br />
eccesso rispetto al loro fabbisogno non coincidono con quelli con le opportunità <strong>di</strong> investimento<br />
più vantaggiose (che, peraltro, non <strong>di</strong>sponendo delle risorse necessarie, potrebbero<br />
non essere in grado <strong>di</strong> realizzarle). In questi casi, dunque, un trasferimento <strong>di</strong> risorse dai<br />
primi soggetti ai secon<strong>di</strong> potrebbe rappresentare l’unica soluzione per sfruttare le opportunità<br />
<strong>di</strong> investimento, con potenziali conseguenze positive per i soggetti coinvolti nello<br />
scambio e, più in generale, per l’economia nel <strong>su</strong>o complesso.<br />
I mercati finanziari oltre a configurarsi come luogo “fisico” o, sempre più frequentemente,<br />
per effetto dello sviluppo delle transazioni via computer (e-finance), “virtuale”, dove<br />
si incontrano soggetti che offrono e domandano risorse finanziarie, costituiscono (al pari<br />
<strong>di</strong> ogni mercato <strong>di</strong> qualsiasi bene o servizio) anche un insieme <strong>di</strong> meccanismi e strumenti<br />
istituzionali che facilitano gli scambi tra tali soggetti. In generale, uno strumento finanziario<br />
è un titolo emesso da un soggetto che domanda risorse finanziarie e che conferisce<br />
a colui che l’“acquista” (prestando così risorse al soggetto che lo ha emesso) un <strong>di</strong>ritto<br />
<strong>su</strong>i red<strong>di</strong>ti futuri dell’emittente o <strong>su</strong>l <strong>su</strong>o patrimonio. Chiaramente, tale titolo costituisce<br />
un’attività finanziaria per il soggetto che l’ha acquistato (o sottoscritto) e, viceversa,<br />
una passività finanziaria per quello che lo ha emesso. Per effetto dell’innovazione finanziaria<br />
che, a seguito <strong>dei</strong> cambiamenti tecnologici e istituzionali, ha introdotto nuove<br />
tipologie <strong>di</strong> strumenti finanziari, esistono oggi <strong>di</strong>versi titoli finanziari che <strong>di</strong>fferiscono, anche<br />
sostanzialmente, gli uni dagli altri; per tale motivo si parla espressamente <strong>di</strong> mercati<br />
finanziari (al plurale), in quanto, almeno in linea concettuale, è possibile in<strong>di</strong>viduare un<br />
<strong>di</strong>stinto mercato (con un proprio peculiare funzionamento) per ognuno <strong>dei</strong> <strong>di</strong>versi titoli <strong>di</strong><br />
riferimento. La lista che segue, sebbene non esaustiva, in<strong>di</strong>vidua alcuni mercati <strong>dei</strong> titoli<br />
finanziari più importanti, evidenziandone alcune delle caratteristiche peculiari.<br />
<strong>Mercati</strong> delle azioni (equity).<br />
Le azioni 2 sono titoli che rappresentano quote <strong>di</strong> proprietà<br />
<strong>di</strong> una società e, in virtù <strong>di</strong> ciò, attribuiscono <strong>di</strong>ritti a chi le sottoscrive <strong>su</strong> una quota<br />
dell’utile netto (red<strong>di</strong>to al netto <strong>di</strong> costi e imposte) della società, nonché <strong>su</strong>l <strong>su</strong>o patrimonio<br />
(attività). L’emissione <strong>di</strong> azioni rappresenta uno <strong>dei</strong> principali strumenti attraverso<br />
cui le imprese (quotate in borsa) reperiscono risorse finanziarie da destinare alla propria<br />
attività produttiva. Per chi le sottoscrive costituiscono un investimento il cui ren<strong>di</strong>mento<br />
<strong>di</strong>pende essenzialmente da due elementi: a) il prezzo delle azioni e b) i <strong>di</strong>viden<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>stribuiti dalla società agli azionisti.<br />
Il prezzo unitario delle azioni si determina nei mercati borsistici, in cui si ha la com-<br />
2 Esistono, in realtà, <strong>di</strong>versi tipi <strong>di</strong> azioni (azioni or<strong>di</strong>narie, azioni privilegiate, azioni <strong>di</strong> risparmio, ecc.)<br />
le quali presentano tra loro <strong>di</strong>fferenze anche rilevanti. Per i nostri scopi, in ciò che segue l’attenzione sarà<br />
concentrata essenzialmente <strong>su</strong>l tipo più comune dell’azione or<strong>di</strong>naria.<br />
8
1. ASPETTI INTRODUTTIVI I. <strong>Mercati</strong> finanziari<br />
preven<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> tali titoli, in base alla legge della domanda e dell’offerta. 3 Ovviamente, per<br />
chi ha sottoscritto delle azioni a un dato prezzo, un aumento <strong>su</strong>l mercato <strong>di</strong> quel prezzo<br />
può produrre un ren<strong>di</strong>mento positivo (in quanto è possibile rivendere <strong>su</strong>l mercato ciascuna<br />
azione a un prezzo maggiore <strong>di</strong> quello speso per il <strong>su</strong>o acquisto), e viceversa. I <strong>di</strong>viden<strong>di</strong>,<br />
invece, costituiscono la parte dell’utile (profitti) della società che vengono <strong>di</strong>stribuiti ai<br />
<strong>su</strong>oi proprietari (azionisti), in rapporto alla rispettiva quota <strong>di</strong> proprietà. Ad esempio, se<br />
si è acquistato un numero <strong>di</strong> azioni che corrispondono, rispetto al numero totale <strong>di</strong> quelle<br />
emesse dalla società, ad una quota pari a un milionesimo e i <strong>di</strong>viden<strong>di</strong> complessivamente<br />
<strong>di</strong>stribuiti ammontano a un milione <strong>di</strong> euro, avremo <strong>di</strong>ritto a ricevere una somma pari a<br />
un euro. Detenendo azioni, in quanto proprietari della società, avremo inoltre <strong>di</strong>ritto <strong>di</strong><br />
voto (nuovamente in rapporto alla quota proprietaria) nelle decisioni societarie, tra cui,<br />
particolarmente importante, quella <strong>su</strong>lla scelta degli amministratori.<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista degli investitori che sottoscrivono azioni, il principale inconveniente<br />
legato all’acquisto <strong>di</strong> tale titolo è legato al fatto che il <strong>di</strong>ritto <strong>su</strong>gli utili che esso conferisce<br />
è un <strong>di</strong>ritto residuale (per usare un’espressione anglosassone, un’azionista è residual<br />
claimant). Ciò vuol <strong>di</strong>re che la società è legalmente obbligata a rimborsare tutti gli altri<br />
cre<strong>di</strong>tori prima <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuire risorse finanziarie ai <strong>su</strong>oi azionisti. Inoltre, anche rispetto<br />
alla <strong>di</strong>stribuzione del residuo, la decisione ultima spetta, in generale, al management della<br />
società. Gli amministratori, ad esempio, potrebbero decidere <strong>di</strong> non <strong>di</strong>stribuire l’utile<br />
netto agli azionisti, per reinvestirlo nell’attività produttiva della società. In più, in virtù<br />
del fatto che il prezzo <strong>di</strong> mercato delle azioni può variare sostanzialmente anche per perio<strong>di</strong><br />
relativamente brevi, l’acquisto <strong>di</strong> azioni è generalmente considerato un investimento<br />
relativamente rischioso.<br />
<strong>Mercati</strong> delle obbligazioni (bonds).<br />
Un’obbligazione è un titolo <strong>di</strong> debito che contiene<br />
la promessa <strong>di</strong> pagamenti perio<strong>di</strong>ci a scadenze prestabilite. Essi sono ampiamente<br />
utilizzati sia dalle imprese private che dai governi e le pubbliche amministrazioni per<br />
reperire risorse finanziarie. Nel caso particolare delle imprese, la scelta <strong>di</strong> finanziare la<br />
propria attività ricorrendo all’emissione <strong>di</strong> obbligazioni piuttosto che a quella <strong>di</strong> azioni,<br />
ossia, in altri termini, ricorrere al debito piuttosto che all’aumento del capitale proprio<br />
(equity), costituisce in concreto una scelta strategica particolarmente rilevante. Oltre all’importante<br />
<strong>di</strong>stinzione tra obbligazioni emesse da imprese private o da enti pubblici,<br />
un’altra rilevante classificazione è quella che <strong>di</strong>stingue le obbligazioni a seconda della loro<br />
scadenza, o momento del rimborso, in obbligazioni a breve termine (scadenza inferiore<br />
3 Una <strong>di</strong>stinzione importante in relazione ai mercati in cui i titoli finanziari, non solo le azioni, sono<br />
scambiati è quella tra mercati primari e secondari. Nei primi si acquistano titoli <strong>di</strong> nuova emissione (ad<br />
esempio, nel caso delle azioni, nuove azioni emesse dalla società a fronte <strong>di</strong> un aumento <strong>di</strong> capitale). Nei<br />
secon<strong>di</strong>, invece, si (ri)vendono e si acquistano titoli già in circolazione.<br />
9
I. <strong>Mercati</strong> finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI<br />
all’anno), a me<strong>di</strong>o termine (scadenza compresa tra uno e <strong>di</strong>eci anni) e a lungo termine<br />
(scadenza a oltre <strong>di</strong>eci anni dall’emissione). 4<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista degli investitori che sottoscrivono un titolo obbligazionario, prestando<br />
così denaro al soggetto che lo ha emesso, il ren<strong>di</strong>mento è legato agli interessi che<br />
rappresentano la remunerazione corrisposta a fronte del prestito. Gli interessi sono calcolati<br />
<strong>su</strong>l valore nominale (o valore <strong>di</strong> rimborso) del titolo, sono corrisposti a scadenze<br />
prefissate, spesso semestrali, e sono espressi in termini percentuali (tassi <strong>di</strong> interesse)<br />
ipotizzando un “prestito” <strong>di</strong> 100. 5 I tassi <strong>di</strong> interesse sono particolarmete importanti<br />
in quanto in grado <strong>di</strong> influenzare numerose decisioni economiche (quali quelle <strong>di</strong> risparmio<br />
delle famiglie e <strong>di</strong> investimento delle imprese), da cui <strong>di</strong>pende la crescita economica<br />
complessiva <strong>di</strong> intere nazioni.<br />
Sebbene il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un’obbligazione <strong>di</strong>penda dagli interessi che percepiscono i<br />
<strong>su</strong>oi possessori, le due cose non coincidono necessariamente (si veda la sezione II). Analogamente<br />
alle azioni, infatti, le obbligazioni, una volta emesse e sottoscritte, possono poi<br />
essere scambiate <strong>su</strong>l mercato (secondario) ad un certo prezzo, il quale <strong>di</strong>pende dall’andamento<br />
<strong>dei</strong> tassi <strong>di</strong> interesse. In particolare, un aumento del tasso <strong>di</strong> interesse implica una<br />
riduzione del prezzo dell’obbligazione (e viceversa). 6 Di conseguenza, se un soggetto che<br />
ha sottoscritto un’obbligazione decide poi <strong>di</strong> non attendere il momento della scadenza,<br />
ma, invece, <strong>di</strong> rivendere prima l’obbligazione <strong>su</strong>l mercato, il <strong>su</strong>o ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong>penderà,<br />
oltre che dagli interessi percepiti fino a quel momento, anche dal guadagno o la per<strong>di</strong>ta<br />
in conto capitale (capital gain o capital loss), legata alla <strong>di</strong>fferenza tra il prezzo a<br />
cui l’obbligazione è stata sottoscritta e quello a cui è stata poi rivenduta.<br />
Un investimento in un titolo obbligazionario è generalmente considerato meno rischioso<br />
rispetto a quello in azioni. Ciò in quanto, a <strong>di</strong>fferenza che per le azioni, ai detentori<br />
<strong>di</strong> obbligazioni spetta il <strong>di</strong>ritto <strong>di</strong> ricevere pagamenti (in relazione agli interessi e/o al<br />
rimborso finale) certi e a scadenze prefissate contrattualmente. Peraltro, tale investimento<br />
raramente è del tutto privo <strong>di</strong> rischio: il soggetto emittente, infatti, potrebbe trovarsi<br />
nell’impossibilità <strong>di</strong> far fronte agli impegni contrattuali, sia in relazione al pagamento degli<br />
interessi che a quello del rimborso finale. In questi casi si parla <strong>di</strong> rischio <strong>di</strong> bancarotta<br />
(default) del soggetto emittente. In generale, tale rischio è maggiore quando il prestito<br />
4 Talvolta, il termine obbligazione viene utilizzato con riferimento esclusivo agli strumenti <strong>di</strong> debito a<br />
me<strong>di</strong>o e lungo termine emessi dalle società (obbligazioni corporate) e dai governi, mentre per gli strumenti<br />
<strong>di</strong> debito a breve termine si parla più specificatamente <strong>di</strong> strumenti monetari.<br />
5 Per alcune obbligazioni, quelle cosiddette senza cedola (o titoli a sconto), non è previsto un vero e<br />
proprio pagamento <strong>di</strong> interessi. In particolare, tali titoli sono acquistati a un valore inferiore a quello<br />
nominale e vengono poi rimborsati a quel valore. Un noto esempio <strong>di</strong> titoli senza cedola è rappresentato<br />
dai Buoni Or<strong>di</strong>nari del Tesoro (BOT).<br />
6 Più specificatamente, i prezzi delle obbligazioni si formano in funzione <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti a scadenza<br />
richiesti dal mercato.<br />
10
1. ASPETTI INTRODUTTIVI I. <strong>Mercati</strong> finanziari<br />
obbligazionario è stato emesso da società private, ma non può escludersi in assoluto tale<br />
evenienza anche per emissioni da parte <strong>di</strong> governi o altre amministrazioni pubbliche.<br />
<strong>Mercati</strong> delle valute. Le risorse finanziarie da trasferire da una nazione a un’altra devono<br />
essere convertiti dalla valuta del paese <strong>di</strong> origine a quella del paese <strong>di</strong> destinazione.<br />
La conversione <strong>di</strong> una valuta in un’altra avviene nel mercato valutario, in cui, generalmente,<br />
si determina anche il prezzo <strong>di</strong> una valuta in termini <strong>di</strong> quello <strong>di</strong> un’altra, ossia<br />
il tasso <strong>di</strong> cambio. Il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un investimento all’estero come, ad esempio, l’acquisto<br />
<strong>di</strong> azioni <strong>di</strong> una società statunitense, <strong>di</strong>penderà, quin<strong>di</strong>, non solo dall’andamento<br />
del prezzo delle azioni (quotate in dollari), ma anche dall’andamento del tasso <strong>di</strong> cambio<br />
tra l’euro ed il dollaro. Più in generale, investire denaro in un valuta estera significa<br />
“scommettere” <strong>su</strong>ll’apprezzamento <strong>di</strong> quella valuta rispetto a quella del proprio paese.<br />
<strong>Mercati</strong> <strong>dei</strong> prestiti ipotecari. La natura essenziale <strong>dei</strong> prestiti ipotecari è quella <strong>di</strong><br />
essere <strong>dei</strong> titoli <strong>di</strong> debito strettamente connessi ad un bene fisico (quello <strong>su</strong> cui è accesa<br />
l’ipoteca). Tipico è il caso <strong>dei</strong> mutui ipotecari per l’acquisto <strong>di</strong> abitazioni, il cui valore<br />
garantisce il cre<strong>di</strong>tore per il rimborso del finanziamento.<br />
<strong>Mercati</strong> <strong>dei</strong> titoli assicurativi e derivati. Come avremo modo <strong>di</strong> analizzare dettagliatamente,<br />
il rischio e l’incertezza sono fattori che pervadono i mercati finanziari. Allo<br />
stesso tempo, esistono strumenti finanziari che consentono a un soggetto <strong>di</strong> mo<strong>di</strong>ficare il<br />
profilo <strong>di</strong> rischio del proprio red<strong>di</strong>to e/o della propria ricchezza. Più esattamente, attraverso<br />
lo scambio <strong>di</strong> attività finanziarie e la stipulazione <strong>di</strong> contratti finanziari, è possibile<br />
il trasferimento del rischio e dell’incertezza dai soggetti meno propensi ad affrontarli ad<br />
altri soggetti più propensi a farlo.<br />
I titoli assicurativi (o polizze <strong>di</strong> assicurazione) costituiscono l’esempio più semplice<br />
e <strong>di</strong>ffuso. Acquistando tali strumenti, infatti, i soggetti possono “proteggersi” da<br />
fluttuazioni del proprio red<strong>di</strong>to o della propria ricchezza che sono in larga parte in<strong>di</strong>pendenti<br />
dai loro comportamenti (ad esempio, in relazione al rischio <strong>di</strong> incen<strong>di</strong>o della propria<br />
abitazione, <strong>di</strong> furto dell’auto o <strong>di</strong> malattia). In questa prospettiva, un titolo assicurativo<br />
può produrre un ren<strong>di</strong>mento positivo, per colui che lo ha sottoscritto, se si verifica l’evento<br />
dannoso (per cui la polizza assicurativa è stata sottoscritta) e ciò determina il <strong>di</strong>ritto al<br />
rimborso. Contrariamente, il titolo produce un ren<strong>di</strong>mento negativo nel caso contrario,<br />
in cui l’evento dannoso non si realizza, per cui, a fronte del pagamento <strong>di</strong> sottoscrizione<br />
della polizza, l’assicurato non riceve alcun rimborso.<br />
Altri titoli finanziari, più complessi, che consentono <strong>di</strong> mo<strong>di</strong>ficare il profilo <strong>di</strong> rischio<br />
<strong>di</strong> investimento, potendo contribuire a ridurlo, sono i titoli derivati. Un titolo derivato è<br />
11
I. <strong>Mercati</strong> finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI<br />
un’attività finanziaria costituita da un contratto, definito <strong>su</strong> <strong>di</strong> un’altra attività finanziaria<br />
preesistente (quale un’azione, un’obbligazione, un prestito ipotecario, una valuta estera o<br />
un in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> borsa), oppure <strong>su</strong> un’attività reale, che viene definita attività sottostante o<br />
primitiva. Gli esempi più noti <strong>di</strong> titoli derivati sono i contratti forward (o contratti<br />
a termine) e le opzioni.<br />
Con i contratti forward due parti si impegnano a realizzare una transazione finanziaria<br />
in un momento futuro a un prezzo prefissato. 7 In gergo, la parte che si impegna<br />
a vendere l’attività sottostante in futuro as<strong>su</strong>me una posizione corta (short position),<br />
mentre la parte che si impegna ad acquistare l’attività as<strong>su</strong>me una posizione lunga (long<br />
position). Ad esempio, due soggetti potrebbero concordare <strong>di</strong> scambiarsi tra un anno <strong>dei</strong><br />
titoli obbligazionari attualmente in possesso <strong>di</strong> una delle parti a un prezzo predefinito<br />
in funzione del tasso <strong>di</strong> interesse <strong>di</strong> oggi. Poiché il contratto “blocca” oggi i termini (il<br />
prezzo) dello scambio futuro, ciò mette al riparo i due soggetti da fluttuazioni <strong>dei</strong> tassi<br />
<strong>di</strong> interesse (e quin<strong>di</strong> <strong>dei</strong> prezzi delle obbligazioni) che si dovessero produrre da oggi ad<br />
un anno. Le opzioni sono, invece, contratti che offrono all’acquirente la possibilità, o il<br />
<strong>di</strong>ritto, <strong>di</strong> acquistare o vendere l’attività finanziaria sottostante a un prezzo specificato,<br />
chiamato prezzo <strong>di</strong> esercizio, per un determinato periodo <strong>di</strong> tempo. La sostanziale <strong>di</strong>fferenza<br />
tra le opzioni e i contratti a termine è la seguente: con le opzioni, se, da un lato,<br />
il ven<strong>di</strong>tore è obbligato ad acquistare o a vendere il titolo sottostante qualora l’acquirente<br />
eserciti il <strong>di</strong>ritto <strong>di</strong> opzione, quest’ultimo non è costretto ad esercitare tale opzione, ma<br />
può decidere <strong>di</strong> lasciarla scadere senza usarla.<br />
I limiti <strong>dei</strong> titoli derivati sono essenzialmente due: il primo è che può non essere<br />
semplice per un soggetto che intende stipulare un contratto <strong>di</strong> un certo tipo trovare una<br />
controparte con esigenze che si “sposano” esattamente con le proprie. Il secondo problema<br />
con i derivati è che, se da un lato, riducono il rischio <strong>di</strong> fluttuazioni <strong>dei</strong> prezzi, dall’altro,<br />
sono soggetti al rischio <strong>di</strong> insolvenza. Ad esempio, se un soggetto si è impegnato ad<br />
acquistare tra un anno un certo titolo ad un dato prezzo e se poi tra un anno il prezzo <strong>di</strong><br />
mercato del titolo ri<strong>su</strong>lta molto più basso <strong>di</strong> quello concordato per l’acquisto, tale soggetto<br />
potrebbe decidere <strong>di</strong> non onorare il contratto. Oppure, se il soggetto è una società, egli<br />
potrebbe non essere in grado <strong>di</strong> rispettare il contratto semplicemente perché nel corso<br />
dell’anno è fallita.<br />
7 Titoli derivati del tutto analoghi ai contratti forward sono i contratti futures. La <strong>di</strong>fferenza sostanziale<br />
tra i due strumenti finanziari sta nel fatto che, mentre i contratti forward sono negoziati bilateralmente<br />
tra i contraenti (che <strong>di</strong>spongono quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> maggiori margini <strong>di</strong> autonomia nel definirne i termini), i futures<br />
sono contratti con caratteristiche standard per i quali esiste un mercato ufficiale.<br />
12
1. ASPETTI INTRODUTTIVI II. Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>dei</strong> titoli finanziari<br />
II<br />
Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>dei</strong> titoli finanziari<br />
Ovviamente, un soggetto che investe in un certo titolo o attività finanziaria lo fa per<br />
ottenere (o perché si aspetta <strong>di</strong> ottenere) un certo ren<strong>di</strong>mento da quel titolo. Come<br />
è stato già accennato nella sezione precedente, la natura del ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo<br />
<strong>di</strong>pende dal tipo <strong>di</strong> titolo considerato. Inoltre, il ren<strong>di</strong>mento si riferisce anche all’orizzonte<br />
temporale per cui il titolo è detenuto dall’investitore (o più in generale, alla durata del<br />
periodo presa in considerazione per calcolare il ren<strong>di</strong>mento). Ad esempio, se vogliamo<br />
calcolare il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un’attività dal tempo t, ad esempio oggi, al tempo t + 1, ad<br />
esempio tra un anno oppure tra due anni, ecc., esso <strong>di</strong>penderà, nel caso <strong>di</strong> un’azione, dalla<br />
<strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> prezzo dell’azione al tempo t e a quello t + 1 nonché dai <strong>di</strong>viden<strong>di</strong> percepiti<br />
in tale arco temporale, nel caso <strong>di</strong> un’obbligazione, ancora dalla <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> prezzo del<br />
titolo nei due perio<strong>di</strong> e dagli interessi incassati tra t e t + 1, nel caso <strong>di</strong> una valuta estera,<br />
dall’andamento del tasso <strong>di</strong> cambio tra valuta estera e nazionale nell’intervallo <strong>di</strong> tempo<br />
considerato, e così via.<br />
Esiste, comunque, un’espressione generale per calcolare il ren<strong>di</strong>mento, o più correttamente<br />
il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, <strong>dei</strong> titoli, che ben si presta, quin<strong>di</strong>, anche per effettuare<br />
confronti tra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> attività finanziarie <strong>di</strong>verse tra loro. In particolare, se ci riferiamo<br />
ad un generico titolo i in un dato arco temporale, da t a t + 1, avremo che il <strong>su</strong>o<br />
tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento r i,t+1 è dato da:<br />
r i,t+1 = v i,t+1 − p i,t<br />
p i,t<br />
dove p i,t rappresenta il prezzo del titolo al tempo t, mentre v i,t+1 rappresenta il payoff<br />
che l’investitore ottiene dal titolo (o può ottenere se vende il titolo) al tempo t + 1. In<br />
particolare, tale payoff è dato dal pagamento che l’investitore otterrebbe dalla ven<strong>di</strong>ta (o<br />
dal rimborso) del titolo al tempo t+1 più i pagamenti già incassati dal titolo (ad esempio,<br />
per <strong>di</strong>viden<strong>di</strong> o interessi) nell’arco del periodo considerato (da t a t + 1).<br />
Esempio 1 (Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un’azione)<br />
Un investitore possiede azioni della società “Alfa” acquistate al tempo t al prezzo unitario<br />
<strong>di</strong> 1, 50 euro. A <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> due anni (tempo t + 1) decide <strong>di</strong> rivenderle ad un prezzo <strong>di</strong><br />
mercato <strong>di</strong> 1, 80 euro. Si calcoli il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento del <strong>su</strong>o investimento tenendo presente<br />
che durante i due anni la società ha <strong>di</strong>stribuito ai <strong>su</strong>oi azionisti i seguenti <strong>di</strong>viden<strong>di</strong>:<br />
nel primo anno, un <strong>di</strong>videndo pari a 0, 05 euro per azione e il secondo anno un <strong>di</strong>videndo<br />
<strong>di</strong> 0, 1 euro per azione.<br />
r Alfa,t+1 =<br />
(1, 80 + 0, 05 + 0, 1) − 1, 50<br />
1, 50<br />
13<br />
=<br />
0, 45<br />
1, 50 = 0, 3
II. Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>dei</strong> titoli finanziari<br />
1. ASPETTI INTRODUTTIVI<br />
per cui, nell’arco <strong>dei</strong> due anni, l’investimento ha fruttato un (tasso <strong>di</strong>) ren<strong>di</strong>mento del<br />
30%.<br />
Esempio 2 (Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un’obbligazione rimborsata alla scadenza)<br />
Un investitore sottoscrive obbligazioni della società “Beta” a 1000 euro. Le obbligazioni<br />
hanno scadenza ad un anno e un tasso annuo <strong>di</strong> interesse del 5%. Si calcoli il tasso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento che ottiene l’investitore se detiene le obbligazioni fino alla scadenza.<br />
In questo caso in<strong>di</strong>viduare il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento che ottiene l’investitore è molto<br />
semplice: esso è chiaramente pari al 5% annuo. 8<br />
Ovviamente, esso sarebbe emerso (con<br />
qualche calcolo in più) anche utilizzando la formula generale. Si noti, infatti, che l’investitore<br />
paga l’obbligazione 1000 euro, ottiene un rimborso finale pari alla stessa cifra e<br />
percepisce un ammontare <strong>di</strong> interessi pari a 50 euro, per cui:<br />
r Beta,t+1 =<br />
(1000 + 50) − 1000<br />
1000<br />
= 50 = 0, 05.<br />
1000<br />
In alcuni casi, il calcolo del tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento per un’obbligazione non è così imme<strong>di</strong>ato;<br />
si consideri il caso seguente.<br />
Esempio 3 (Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un’obbligazione venduta prima della scadenza)<br />
Un investitore sottoscrive obbligazioni della società “Gamma” a 100 euro. Le obbligazioni<br />
hanno scadenza a tre anni e un tasso annuo <strong>di</strong> interesse del 5%.<br />
Alla fine del primo<br />
anno, per sopravvenute necessità <strong>di</strong> denaro liquido, l’investitore decide <strong>di</strong> rivendere le<br />
obbligazioni <strong>su</strong>l mercato; il prezzo <strong>di</strong> mercato è, in quel momento, 85 euro. Si calcoli il<br />
tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento che ottiene l’investitore.<br />
r Gamma,t+1 =<br />
(85 + 5) − 100<br />
100<br />
= −10<br />
100 = −0, 1<br />
per cui, nell’anno l’investimento ha fruttato un ren<strong>di</strong>mento negativo del 10%.<br />
In questo esempio, non deve soprendere il fatto che, sebbene l’obbligazione abbia un<br />
tasso <strong>di</strong> interesse positivo, il ren<strong>di</strong>mento che ottiene l’investitore dal titolo è negativo. Il<br />
tasso <strong>di</strong> interesse, infatti, non tiene conto <strong>di</strong> eventuali <strong>di</strong>fferenze tra il prezzo a cui il titolo<br />
8 In taluni casi gli interessi sono capitalizzati più volte in un anno e il tasso <strong>di</strong> interesse è espresso in<br />
relazione alla frazione <strong>di</strong> anno a cui si riferisce. In questi casi, ai fini <strong>di</strong> un confronto tra alternative <strong>di</strong><br />
investimento con tassi <strong>di</strong> interesse per perio<strong>di</strong> <strong>di</strong>versi, è utile trasformare i tassi in modo che si riferiscano<br />
allo stesso periodo, ad esempio un anno. Utilizzando la formula dell’interesse composto, si ha che:<br />
i A = (1 + i k ) k − 1<br />
dove i A è il tasso annuo <strong>di</strong> interesse, mentre k è il numero <strong>di</strong> volte in cui l’interesse viene capitalizzato<br />
nel corso dell’anno (ad esempio, se il tasso <strong>di</strong> interesse i k è semestrale, k è pari a 2). Un tasso <strong>di</strong> interesse<br />
semestrale del 4, 16% corrisponde, ad esempio, ad un tasso annuo pari a i A = (1 + 0, 0416) 2 − 1 = 0, 0849,<br />
ossia 8, 49%.<br />
14
1. ASPETTI INTRODUTTIVI II. Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>dei</strong> titoli finanziari<br />
è stato acquistato e quello a cui il titolo viene smobilizzato (ossia <strong>dei</strong> guadagni o delle<br />
per<strong>di</strong>te in conto capitale).<br />
Esempio 4 (Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un’azione in valuta estera)<br />
Si consideri un investitore italiano che al tempo t converte euro in dollari al tasso <strong>di</strong> cambio<br />
euro/dollaro <strong>di</strong> 1, 3 (con un euro si acquistano 1, 3 dollari) per acquistare azioni della<br />
società statunitense “MG” al prezzo unitario <strong>di</strong> 2, 6 dollari. Al tempo t + 1 l’investitore<br />
rivende le azioni della società al prezzo <strong>di</strong> 2, 8 dollari per azione. Si calcoli il tasso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento che l’investitore ottiene al tempo t + 1 se il tasso <strong>di</strong> cambio è passato a 1, 4.<br />
In questo caso, per calcolare correttamente il ren<strong>di</strong>mento dell’investimento è opportuno<br />
innanzitutto esprimere i prezzi delle azioni in euro (la valuta del paese dell’investitore)<br />
anziché in dollari. Al tempo t, al tasso <strong>di</strong> cambio euro/dollaro <strong>di</strong> 1, 3, il prezzo delle azioni<br />
<strong>di</strong> 2, 6 dollari corrisponde a 2, 6/1, 3 = 2 euro. Al tempo t+1, invece, al tasso <strong>di</strong> cambio <strong>di</strong><br />
1, 4, il prezzo delle azioni in euro è pari a 2, 8/1, 4 = 2. Si può adesso calcolare facilmente<br />
il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento dell’investimento che è pari a:<br />
r MG,t+1 = 2 − 2<br />
2<br />
Non deve sorprendere il fatto che, sebbene il prezzo (in dollari) dell’azione sia salito, il<br />
ren<strong>di</strong>mento dell’investimento è ri<strong>su</strong>ltato nullo. Ciò è <strong>di</strong>peso dal fatto che nel frattempo<br />
l’euro si è apprezzato rispetto al dollaro e, poiché l’investimento era espresso in dollari,<br />
ciò ha completamente “annullato” l’effetto positivo connesso all’aumento del prezzo<br />
dell’azione.<br />
= 0.<br />
Esempio 5 (Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo assicurativo)<br />
Si consideri un soggetto che acquista al tempo t una polizza assicurativa contro il furto<br />
dell’auto pagando un premio <strong>di</strong> 100 euro. La polizza assicurativa prevede che nel caso <strong>di</strong><br />
furto dell’auto il soggetto abbia <strong>di</strong>ritto ad un rimborso <strong>di</strong> 1.000 euro. Si calcoli il tasso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento del titolo assicurativo al tempo t + 1 nelle ipotesi che, a quella data: i) l’auto<br />
non sia stata rubata; ii) l’auto sia stata rubata.<br />
Nel caso l’auto al tempo t + 1 non sia stata rubata, il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento della polizza<br />
assicurativa è pari a:<br />
r ass,t+1 = 0 − 100<br />
100<br />
= −1.<br />
Il titolo assicurativo ha dato un tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento negativo del 100%.<br />
Viceversa, nel caso l’auto al tempo t + 1 sia stata rubata, il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento della<br />
polizza assicurativa è pari a:<br />
15
II. Tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>dei</strong> titoli finanziari<br />
1. ASPETTI INTRODUTTIVI<br />
r ass,t+1 =<br />
1000 − 100<br />
100<br />
= 9<br />
per cui il titolo ha fornito un tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento pari al 900%.<br />
Finora abbiamo <strong>di</strong>scusso del tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo finanziario senza fare<br />
alcuna <strong>di</strong>stinzione tra tasso nominale <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento e tasso reale <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento.<br />
Il tasso reale <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento si ottiene “correggendo” il tasso nominale dall’effetto<br />
dell’inflazione (tasso <strong>di</strong> variazione percentuale del livello generale <strong>dei</strong> prezzi). Più esattamente,<br />
il tasso reale <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un’attività finanziaria i nell’arco del periodo<br />
t − t + 1, in<strong>di</strong>cato con ˜r i,t+1 , è dato da:<br />
˜r i,t+1 ≃ r i,t+1 − π t+1 (1.1)<br />
dove π t+1 rappresenta il tasso <strong>di</strong> inflazione nell’arco del periodo considerato. Ad esempio,<br />
un tasso (nominale) <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento del 5%, ottenuto da un investitore dal possesso <strong>di</strong><br />
un certo titolo finanziario nell’arco <strong>di</strong> un dato periodo, equivale (all’incirca) ad un tasso<br />
reale del 3%, se, nell’arco <strong>di</strong> quel periodo, si è registrato un tasso <strong>di</strong> inflazione del 2%.<br />
L’Equazione (1.1), spesso in<strong>di</strong>cata come equazione <strong>di</strong> Fisher, dal nome del noto economista<br />
americano dell’Università <strong>di</strong> Yale, Irving Fisher, as<strong>su</strong>me particolare rilevanza<br />
nell’ambito delle <strong>di</strong>scipline <strong>di</strong> economia monetaria e macroeconomia. 9<br />
Un ultimo aspetto rilevante, per quanto concerne il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo<br />
finanziario, è il seguente. Fino ad ora abbiamo ragionato in termini <strong>di</strong> tasso effettivo <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento o tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento ex-post, ossia calcolato al tempo t + 1. Peraltro,<br />
quando un soggetto deve decidere al tempo t in quale titolo investire, conoscerà (ad esempio,<br />
dai quoti<strong>di</strong>ani finanziari) il prezzo <strong>dei</strong> titoli in quel momento (p i,t ), ma, generalmente,<br />
non avrà la possibilità <strong>di</strong> conoscere con certezza i payoffs che potrà ottenere dai vari titoli<br />
fino a t + 1 (v i,t+1 ). 10<br />
Eppure, al momento dell’acquisto, formarsi delle aspettative<br />
<strong>su</strong> tali payoffs, e quin<strong>di</strong> <strong>su</strong>l tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>dei</strong> titoli, è essenziale per effettuare un<br />
investimento “oculato”. Si parla, dunque, <strong>di</strong> tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento o tasso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento ex-ante, in<strong>di</strong>cato formalmente con E[r i,t+1 ] = (E[v i,t+1 ] − p i,t )/p i,t (dove<br />
il simbolo E rappresenta l’aspettativa, o speranza, matematica), in relazione al tasso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo “stimato” al tempo t. Ad esempio, consideriamo il caso del titolo<br />
9 L’equazione <strong>di</strong> Fisher è più spesso presentata in termini <strong>di</strong> tasso <strong>di</strong> interesse (reale e nominale),<br />
piuttosto che in quello, più generale, <strong>di</strong> tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento. Inoltre, in tale contesto, il tasso <strong>di</strong> inflazione<br />
che rileva non è principalmente quello effettivo, ma quello atteso.<br />
10 Ciò è chiaramente vero per le azioni, il cui prezzo varia nel tempo in base al mercato. Peraltro, anche<br />
per le obbligazioni, l’investitore, generalmente, non può escludere al tempo t <strong>di</strong> trovarsi <strong>su</strong>ccessivamente<br />
nelle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> dover rivendere <strong>su</strong>l mercato i titoli. In tale evenienza, quin<strong>di</strong>, anche il payoff delle<br />
obbligazioni <strong>di</strong>venta incerto al momento dell’acquisto, potendo poi <strong>di</strong>pendere anch’esso dall’andamento<br />
del mercato obbligazionario.<br />
16
1. ASPETTI INTRODUTTIVI III. Interme<strong>di</strong>azione finanziaria<br />
assicurativo, esaminato nell’Esempio 5. Se, al tempo t, la probabilità che si verifichi il<br />
furto dell’auto è stimata al 10%, a fronte <strong>di</strong> un tasso effettivo <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento del −100%,<br />
se il furto non si verifica, e del 900%, se il furto si realizza, il tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
della polizza assicurativa è nullo (il calcolo del tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo sarà<br />
analizzato dettagliatamente nel Capitolo 2).<br />
Una questione rilevante è quali informazioni possono utilizzare gli investitori per formarsi<br />
delle aspettative <strong>su</strong> v i,t+1 (e quin<strong>di</strong>, conoscendo p i,t , <strong>su</strong> r i,t+1 ). A tale riguardo,<br />
un’informazione che potrebbero utilizzare è proprio il prezzo del titolo che osservano<br />
al momento dell’acquisto, p i,t . Ciò esprime un aspetto cruciale per quanto concerne il<br />
funzionamento <strong>dei</strong> mercati finanziari e, più specificatamente, <strong>su</strong>l ruolo peculiare che as<strong>su</strong>mono<br />
i prezzi <strong>dei</strong> beni scambiati (titoli e attività finanziarie) in tali mercati. Nei mercati<br />
finanziari, infatti, i prezzi svolgono una duplice funzione:<br />
1. funzione allocativa. Questa è la tipica funzione che i prezzi svolgono nei mercati <strong>di</strong><br />
qualsiasi bene: far fronte, tramite adeguati “aggiustamenti”, a momentanei squilibri<br />
tra domanda e offerta;<br />
2. funzione <strong>di</strong> trasmissione delle informazioni. Nei mercati finanziari i prezzi o<strong>di</strong>erni<br />
<strong>dei</strong> titoli trasmettono informazioni <strong>su</strong> quelli che saranno i loro prezzi futuri (e quin<strong>di</strong><br />
<strong>su</strong>i rispettivi tassi <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento).<br />
La seconda funzione <strong>dei</strong> prezzi nei mercati finanziari, oltre a rivestire un’enorme importanza,<br />
si caratterizza per alcune implicazioni non banali. Una <strong>di</strong> queste fu in<strong>di</strong>viduata<br />
per primo dall’economista inglese John Maynard Keynes in un noto passaggio (<strong>su</strong>l “concorso<br />
legato alla gara <strong>di</strong> bellezza”) della <strong>su</strong>a opera più famosa: la Teoria Generale. Poiché<br />
i prezzi correnti delle attività finanziarie agiscono (trasmettendo informazioni) <strong>su</strong>lle<br />
aspettative degli investitori <strong>su</strong> quelli che saranno i loro prezzi futuri, essi influiranno <strong>su</strong>lle<br />
decisioni <strong>di</strong> acquisto e <strong>di</strong> ven<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> tali investitori. Ma tali decisioni determineranno,<br />
<strong>di</strong> fatto, i prezzi futuri delle attività finanziarie. In sostanza, il processo che lega i prezzi<br />
<strong>dei</strong> titoli e le aspettative degli investitori <strong>su</strong> tali prezzi è circolare e mal si presta, quin<strong>di</strong>,<br />
ad esprimere una chiara relazione <strong>di</strong> causa-effetto tra <strong>di</strong> essi.<br />
III<br />
Interme<strong>di</strong>azione finanziaria<br />
Il “circuito” attraverso cui le risorse finanziarie si trasferiscono dalle unità in <strong>su</strong>rplus<br />
(cre<strong>di</strong>tori) a quelle in deficit (debitori) può essere duplice: si parla, infatti, <strong>di</strong> circuito<br />
<strong>di</strong>retto quando, attraverso l’emissione <strong>di</strong> titoli, i debitori prendono a prestito fon<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>rettamente dai cre<strong>di</strong>tori; si parla, invece, <strong>di</strong> circuito in<strong>di</strong>retto quando nel processo<br />
17
III. Interme<strong>di</strong>azione finanziaria<br />
1. ASPETTI INTRODUTTIVI<br />
interviene un interme<strong>di</strong>ario finanziario, cioè un soggetto che si interpone tra debitori<br />
e cre<strong>di</strong>tori, agevolando il trasferimento <strong>di</strong> fon<strong>di</strong> dagli uni agli altri. L’esempio tipico <strong>di</strong><br />
interme<strong>di</strong>ari finanziari sono le banche, che prendono a prestito dalle unità in <strong>su</strong>rplus per<br />
concedere finanziamenti a quelle in deficit, ma lo sono anche le società finanziarie e quelle<br />
assicurative, i fon<strong>di</strong> comuni d’investimento e i fon<strong>di</strong> pensione, nonché i dealer e i broker<br />
che operano nei mercati secondari. 11<br />
Gli interme<strong>di</strong>ari finanziari possono svolgere un ruolo essenziale nell’ambito <strong>dei</strong> mercati<br />
finanziari, dal momento che nel circuito in<strong>di</strong>retto transita la parte relativamente più<br />
importante delle risorse finanziarie scambiate. Un punto centrale dell’economia <strong>dei</strong> mercati<br />
finanziari è dunque quello <strong>di</strong> comprendere l’importanza del ruolo che svolgono in tali<br />
mercati gli interme<strong>di</strong>ari finanziari; esso concerne aspetti legati ai costi <strong>di</strong> transazione,<br />
all’allocazione del rischio e alla presenza <strong>di</strong> asimmetrie informative, che caratterizzano i<br />
mercati in questione.<br />
Costi <strong>di</strong> transazione.<br />
I costi <strong>di</strong> transazione sono tutti quei costi, sia <strong>di</strong> natura monetaria<br />
che non monetaria (quali, ad esempio, la per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> tempo), che debitori e cre<strong>di</strong>tori<br />
devono sostenere per realizzare uno scambio (transazione). Ad esempio, due soggetti che<br />
intendono realizzare uno scambio <strong>di</strong> fon<strong>di</strong>, dovranno innanzitutto accordarsi <strong>su</strong>i termini<br />
del contratto che regola la transazione (durata del finanziamento, remunerazione del<br />
cre<strong>di</strong>tore, modalità del rimborso, ecc.). Tutto questo può richiedere tempo! Inoltre, una<br />
volta decisi i termini contrattuali, le parti potrebbero decidere <strong>di</strong> renderli legalmente più<br />
“robusti” <strong>di</strong> fronte ad un notaio. Ciò, oltre che tempo, imporrebbe loro anche un esborso<br />
monetario.<br />
Gli interme<strong>di</strong>ari finanziari possono ridurre i costi <strong>di</strong> transazione nei mercati <strong>dei</strong> fon<strong>di</strong><br />
prestabili, innanzitutto in virtù dell’esperienza maturata nei rapporti, da un lato, con chi<br />
offre risorse finanziarie e, dall’altro, con chi le domanda. Inoltre, cosa più importante, essi<br />
hanno la possibilità <strong>di</strong> ridurre i costi unitari <strong>di</strong> transazione, potendo sfruttare la presenza<br />
<strong>di</strong> economie <strong>di</strong> scala. Per capire come, riflettiamo <strong>su</strong> questo fatto: un interme<strong>di</strong>ario<br />
finanziario, ad esempio una banca, propone uno stesso contratto “tipo”, cioè con le stesse<br />
clausole contrattuali, a tutti i soggetti interessati a stipulare con essa quel tipo <strong>di</strong> contratto<br />
(pensiamo, ad esempio, a un deposito <strong>di</strong> risparmio). Ovviamente, progettare quel<br />
contratto sarà per la banca fonte <strong>di</strong> costi <strong>di</strong> transazione (ad esempio, per as<strong>su</strong>mere un<br />
esperto finanziario e/o un avvocato che in<strong>di</strong>viduino la forma contrattuale più conveniente<br />
e legalmente praticabile per la banca), ma è ragionevole <strong>su</strong>pporre che tali costi non <strong>di</strong>pen-<br />
11 I dealer facilitano l’incontro tra ven<strong>di</strong>tori e compratori acquistando i titoli dai primi e vendendoli ai<br />
secon<strong>di</strong>, mentre i broker si limitano a mettere in contatto potenziali acquirenti con potenziali ven<strong>di</strong>tori,<br />
ma non effettuano operazioni <strong>di</strong> compraven<strong>di</strong>ta.<br />
18
1. ASPETTI INTRODUTTIVI III. Interme<strong>di</strong>azione finanziaria<br />
dano dal numero <strong>di</strong> contratti che poi la banca sarà effettivamente in grado <strong>di</strong> stipulare<br />
con i <strong>su</strong>oi clienti; in altri termini, si tratta <strong>di</strong> un costo fisso. Proprio perché è un costo<br />
fisso, tanto maggiore è poi il numero <strong>di</strong> contratti stipulati, tanto più basso sarà il costo<br />
unitario <strong>di</strong> transazione per la banca (in quanto, ovviamente, il costo si ripartisce <strong>su</strong> un<br />
numero maggiore <strong>di</strong> contratti).<br />
In sostanza, proprio grazie al fatto che gli interme<strong>di</strong>ari finanziari stipulano numerosi<br />
contratti finanziari sia con chi presta loro denaro, sia con chi riceve da loro <strong>dei</strong> finanziamenti,<br />
riescono più facilmente, rispetto ai singoli soggetti, ad “ammortizzare” i loro<br />
costi <strong>di</strong> transazione. Tutto ciò, inoltre, può favorire un miglior funzionamento <strong>dei</strong> mercati<br />
finanziari, dal momento che, con costi unitari <strong>di</strong> transazione più bassi, gli interme<strong>di</strong>ari<br />
sono più inclini a realizzare scambi (es. concessione <strong>di</strong> prestiti) che i singoli soggetti, da<br />
soli, non avrebbero convenienza a fare.<br />
Allocazione del rischio. Il rischio è un elemento centrale nei mercati <strong>di</strong> cui stiamo<br />
<strong>di</strong>scutendo. Coloro che investono risorse finanziarie si aspettano <strong>di</strong> ricevere un dato ren<strong>di</strong>mento<br />
e sperano <strong>di</strong> riuscire a ottenerlo col rischio più basso possibile. Gli interme<strong>di</strong>ari<br />
finanziari possono consentire <strong>di</strong> ridurre l’esposizione degli investitori al rischio in <strong>di</strong>verse<br />
mo<strong>di</strong>.<br />
In primo luogo, emettendo e scambiando titoli con profili <strong>di</strong>versi <strong>di</strong> incertezza <strong>su</strong>i ren<strong>di</strong>menti,<br />
gli interme<strong>di</strong>ari finanziari consentono il trasferimento <strong>di</strong> risorse tra soggetti con<br />
atteggiamenti <strong>di</strong>fferenti rispetto al rischio, attuando quel processo noto come ri<strong>di</strong>stribuzione<br />
del rischio. Inoltre, un modo ulteriore per ridurre il rischio <strong>di</strong> investimento<br />
è rappresentato dalla <strong>su</strong>a <strong>di</strong>versificazione. Essa implica la scelta da parte dell’investitore<br />
<strong>di</strong> una combinazione <strong>di</strong> attività finanziarie, detta portafoglio, i cui ren<strong>di</strong>menti si<br />
muovono in modo <strong>di</strong>verso gli uni dagli altri, con il ri<strong>su</strong>ltato che il rischio complessivo è<br />
minore <strong>di</strong> quello delle singole attività che compongono il portafoglio. In tale prospettiva,<br />
la presenza degli interme<strong>di</strong>ari finanziari può essere <strong>di</strong> ausilio per i singoli soggetti. Essi,<br />
infatti, potrebbero ottenere i benefici della <strong>di</strong>versificazione investendo in fon<strong>di</strong> comuni o<br />
in fon<strong>di</strong> pensione, dato che usano i fon<strong>di</strong> raccolti da una molteplicità <strong>di</strong> in<strong>di</strong>vidui per<br />
investirli in un insieme particolarmente ampio <strong>di</strong> attività finanziarie.<br />
Si noti, infine, che le funzioni, generalmente collegate, <strong>di</strong> ri<strong>di</strong>stribuzione del rischio e<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>versificazione possono essere svolte più efficientemente dagli interme<strong>di</strong>ari, anche in<br />
virtù <strong>dei</strong> più bassi costi (unitari) <strong>di</strong> transazione che essi devono sopportare.<br />
Asimmetrie informative. Con riferimento al funzionamento <strong>dei</strong> mercati, si utilizza<br />
l’espressione asimmetria informativa quando i soggetti coinvolti in uno scambio non<br />
sono tutti informati allo stesso modo. In altri termini, un soggetto <strong>di</strong>spone <strong>di</strong> alcune in-<br />
19
III. Interme<strong>di</strong>azione finanziaria<br />
1. ASPETTI INTRODUTTIVI<br />
formazioni, rilevanti per la transazione, che non sono a conoscenza dell’altro, o degli altri,<br />
soggetto(i). La presenza <strong>di</strong> asimmetrie informative costituisce una delle cause principali<br />
e più <strong>di</strong>ffuse <strong>di</strong> fallimento del mercato, in quanto la loro presenza può impe<strong>di</strong>re la realizzazione<br />
concreta <strong>di</strong> transazioni mutuamente vantaggiose (cioè che potrebbero produrre<br />
un beneficio per tutti i soggetti in esse coinvolti).<br />
Quelli finanziari sono tra i mercati in cui i problemi legati alla presenza <strong>di</strong> asimmetrie<br />
informative sono maggiormente pressanti. A tale riguardo è importante <strong>di</strong>stinguere<br />
tra due <strong>di</strong>verse forme <strong>di</strong> asimmetria informativa, le quali possono generare due problemi<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>versa natura. Una prima forma è quella definita <strong>di</strong> asimmetria informativa precontrattuale,<br />
in quanto relativa ad una situazione in cui un soggetto <strong>di</strong>spone <strong>di</strong> informazioni<br />
private, che gli altri soggetti non hanno, già prima <strong>di</strong> stipulare un contratto<br />
finanziario con gli altri soggetti. Ad esempio, consideriamo un contratto <strong>di</strong> finanziamento<br />
tra un’unità in <strong>su</strong>rplus e un’impresa (unità in deficit). Ovviamente, prima <strong>di</strong> concedere<br />
il finanziamento, cioè prima <strong>di</strong> stipulare il contratto, l’unità in <strong>su</strong>rplus avrà interesse a<br />
conoscere il grado <strong>di</strong> “rischiosità” effettiva del progetto <strong>di</strong> investimento per cui l’impresa<br />
richiede il finanziamento. In generale, peraltro, questa informazione è “privata” per le<br />
imprese che richiedono il prestito. Inoltre, tali imprese potrebbero aver convenienza a<br />
non rivelare correttamente l’effettivo grado <strong>di</strong> rischosità <strong>dei</strong> loro progetti se ciò riduce la<br />
probabilità <strong>di</strong> ottenere il finanziamento. Tale situazione può generare un problema particolare<br />
<strong>su</strong>l funzionamento del mercato, che è noto con il termine <strong>di</strong> selezione avversa<br />
(adverse selection). Per capire <strong>di</strong> cosa si tratta, ripren<strong>di</strong>amo l’esempio del contratto <strong>di</strong><br />
finanziamento e consideriamo che se l’unità in <strong>su</strong>rplus fosse perfettamente informata <strong>su</strong>lla<br />
rischiosità <strong>di</strong> ogni progetto <strong>di</strong> investimento per cui le imprese richiedono un finanziamento,<br />
opererebbe una politica <strong>di</strong> tassi <strong>di</strong> interesse bassi per i progetti a basso rischio e <strong>di</strong> tassi <strong>di</strong><br />
interesse alti per i progetti ad alto rischio. Ma se invece non è in grado <strong>di</strong> stabilire a priori<br />
con certezza il grado <strong>di</strong> rischiosità effettiva <strong>di</strong> un dato progetto <strong>di</strong> investimento, potrebbe<br />
non trovare altra alternativa che fissare un tasso <strong>di</strong> interesse unico <strong>su</strong>lla base <strong>di</strong> un rischio<br />
atteso (o me<strong>di</strong>o) <strong>di</strong> fallimento del progetto. Peraltro, dal momento che generalmente tasso<br />
<strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento e rischio sono correlati positivamente, un tasso <strong>di</strong> interesse così determinato<br />
potrebbe ri<strong>su</strong>ltare troppo alto per le imprese che intendono realizzare investimenti a basso<br />
rischio (e basso tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento). Tali imprese accantonerebbero il proprio progetto.<br />
Invece, le uniche imprese a presentare richieste <strong>di</strong> finanziamento sarebbero quelle i<br />
cui progetti <strong>di</strong> investimento ri<strong>su</strong>ltano ad alto rischio (ed alto tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento), cioè<br />
proprio quelle meno “appetibili” dal punto <strong>di</strong> vista dell’unità in <strong>su</strong>rplus.<br />
Oltre a potersi presentare già prima della conclusione del contratto, influenzando la<br />
selezione delle proposte <strong>di</strong> finanziamento, il problema dell’asimmetria informativa può<br />
prodursi anche <strong>su</strong>ccessivamente alla stipula dell’accordo tra i soggetti. In tali circostanze,<br />
20
1. ASPETTI INTRODUTTIVI IV. Efficienza <strong>dei</strong> mercati finanziari<br />
si parla <strong>di</strong> asimmetria informativa post-contrattuale e riguarda, più specificatamente, certe<br />
azioni, scelte e/o comportamenti che un soggetto mette in essere in seguito all’accordo e<br />
che possono con<strong>di</strong>zionare fortemente il ri<strong>su</strong>ltato ottenuto dai soggetti coinvolti nell’ambito<br />
della transazione. Tale situazione può generare un problema concettualmente <strong>di</strong>stinto<br />
dalla selezione avversa e denominato azzardo morale (moral hazard). In generale, nei<br />
mercati finanziari tale problema si ricollega al rischio che coloro che prendono a prestito<br />
fon<strong>di</strong> attuino <strong>dei</strong> comportamenti che, per accrescere i propri ren<strong>di</strong>menti, aumentano anche<br />
la loro probabilità <strong>di</strong> insolvenza (ad esempio, un’impresa che <strong>di</strong> fronte ad un insieme<br />
possibile, o menu, <strong>di</strong> progetti sceglie quello con più alto ren<strong>di</strong>mento atteso, ma maggior<br />
rischio).<br />
Le problematiche della selezione avversa e dell’azzardo morale, proprio perché pervadono<br />
i mercati finanziari, contribuiscono a spiegare molti fenomeni che caratterizzano tali<br />
mercati, quali, ad esempio, le crisi finanziarie, le politiche <strong>di</strong> finanziamento delle banche e<br />
le scelte relative alla struttura finanziaria delle imprese. Inoltre, essi possono fornire una<br />
giustificazione del ruolo e della presenza degli interme<strong>di</strong>ari finanziari. Infatti, quando operano<br />
in modo efficiente e corretto, gli interme<strong>di</strong>ari possono ridurre sostanzialmente i rischi<br />
legati alle problematiche in questione. Ad esempio, in virtù della <strong>su</strong>a specializzazione e<br />
dell’esperienza maturata nelle operazioni <strong>di</strong> finanziamento, i costi che una banca sostiene<br />
per acquisire informazioni <strong>su</strong>l rischio <strong>di</strong> fallimento <strong>di</strong> un’impresa e/o per monitorare le<br />
scelte <strong>di</strong> investimento attuate, <strong>su</strong>ccessivamente al finanziamento, dal <strong>su</strong>o management sono,<br />
in generale, sostanzialmente più bassi <strong>di</strong> quelli che dovrebbe sostenere, per tali scopi,<br />
un piccolo risparmiatore che prestasse i <strong>su</strong>oi fon<strong>di</strong> <strong>di</strong>rettamente all’impresa.<br />
IV<br />
Efficienza <strong>dei</strong> mercati finanziari<br />
Sui me<strong>di</strong>a spesso si <strong>di</strong>batte <strong>su</strong>lla questione se i mercati finanziari funzionino o meno in<br />
modo efficiente. Dal punto <strong>di</strong> vista degli economisti, il concetto <strong>di</strong> efficienza nei mercati<br />
finanziari non è unico, prestandosi ad essere analizzato sotto <strong>di</strong>versi punti <strong>di</strong> vista. Come<br />
sarà illustrato quì <strong>di</strong> seguito, tali concetti, sebbene <strong>di</strong>stinti, non sono in<strong>di</strong>pendenti gli uni<br />
dagli altri.<br />
Efficienza allocativa (o Pareto-efficienza). Il concetto <strong>di</strong> efficienza allocativa o<br />
nel senso <strong>di</strong> Pareto, dal nome dell’economista italiano Vilfredo Pareto (1848-1923), è<br />
quello più ampiamente utilizzato nella teoria economica. Esso è un concetto molto (forse<br />
troppo) generale: una data allocazione (o <strong>di</strong>stribuzione) delle risorse è detta Paretoefficiente<br />
se non è possibile mo<strong>di</strong>ficarla (cioè attuare un processo <strong>di</strong> ri<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
21
IV. Efficienza <strong>dei</strong> mercati finanziari<br />
1. ASPETTI INTRODUTTIVI<br />
quelle risorse) in modo da migliorare il benessere <strong>di</strong> qualche soggetto senza peggiorare<br />
quello <strong>di</strong> qualche altro soggetto.<br />
Nell’ambito <strong>dei</strong> mercati finanziari, una questione rilevante è quella se tali mercati<br />
sono in grado <strong>di</strong> conseguire un ri<strong>su</strong>ltato Pareto-efficiente e in che modo. Un importante<br />
ri<strong>su</strong>ltato della teoria economica, noto come <strong>Primo</strong> Teorema dell’<strong>Economia</strong> del Benessere,<br />
afferma che, se i mercati sono perfettamente concorrenziali, essi sono sempre in grado <strong>di</strong><br />
produrre un’allocazione delle risorse Pareto-efficiente. Molti economisti hanno sostenuto<br />
che, grazie al numero molto elevato sia <strong>di</strong> cre<strong>di</strong>tori che <strong>di</strong> debitori che operano nei mercati<br />
finanziari, tali mercati presentino un grado <strong>di</strong> concorrenza <strong>su</strong>fficientemente elevato (molto<br />
più elevato <strong>di</strong> quello che caratterizza molti altri mercati). Questo ne assicurerebbe il<br />
miglior funzionamento possibile. Inoltre, <strong>su</strong>lla base <strong>di</strong> questo pre<strong>su</strong>pposto, varie forme<br />
<strong>di</strong> intervento e <strong>di</strong> regolamentazione pubblica in tali mercati sarebbero sconsigliabili e<br />
dovrebbero essere contenute al minimo possibile.<br />
D’altro canto, affinché i mercati funzionino in modo concorrenziale, sono necessari<br />
ulteriori pre<strong>su</strong>pposti oltre quello dell’elevato numero <strong>di</strong> compratori e ven<strong>di</strong>tori. Tra essi,<br />
vi è quello che i soggetti che operano nel mercato siano tutti perfettamente informati.<br />
Come abbiamo <strong>di</strong>scusso nella Sezione III, la presenza <strong>di</strong> asimmetrie informative pervade<br />
i mercati finanziari e costituisce una delle cause principali <strong>di</strong> “fallimento” nel loro funzionamento.<br />
12 Per tale motivo, altri economisti ritengono che una qualche forma (per alcuni<br />
anche “robusta”) <strong>di</strong> intervento e <strong>di</strong> regolamentazione pubblica sia del tutto necessaria<br />
per consentire un’allocazione delle risorse più efficiente rispetto a quella che i mercati<br />
finanziari garantirebbero se lasciati liberi <strong>di</strong> funzionare senza alcun intervento dello Stato.<br />
Efficienza operativa.<br />
Il concetto <strong>di</strong> efficienza operativa è un concetto che concerne<br />
principalmente l’efficienza tecnica (connessa, ad esempio, alla riduzione <strong>dei</strong> costi) con cui<br />
operano i vari soggetti che agiscono nei mercati finanziari tra cui, soprattutto, gli interme<strong>di</strong>ari<br />
finanziari. Il concetto <strong>di</strong> efficienza operativa, sebbene più specifico, si ricollega<br />
comunque a quello <strong>di</strong> efficienza allocativa. Ad esempio, il grado <strong>di</strong> concorrenza tra gli<br />
interme<strong>di</strong>ari finanziari, elemento centrale nella prospettiva dell’efficienza allocativa, gioca<br />
un ruolo importante anche per l’efficienza operativa. Infatti, solo un grado più elevato<br />
<strong>di</strong> concorrenza tra gli interme<strong>di</strong>ari finanziari può creare gli adeguati incentivi affinché, da<br />
un lato, essi riducano i costi <strong>di</strong> prduzione <strong>dei</strong> loro servizi e, dall’altro, offrano con<strong>di</strong>zioni<br />
(ad esempio, in termini <strong>di</strong> commissioni, spese, ecc.) più vantaggiose agli altri soggetti,<br />
loro clienti, che operano nel mercato. Inoltre, come abbiamo <strong>di</strong>scusso nella Sezione III, la<br />
12 Tecnicamente, la presenza <strong>di</strong> asimmetrie informative costituisce una delle cause principali <strong>di</strong> incompletezza<br />
<strong>dei</strong> mercati finanziari, che ne può pregiu<strong>di</strong>care la possibilità <strong>di</strong> conseguire un’allocazione delle<br />
risorse Pareto-efficiente.<br />
22
1. ASPETTI INTRODUTTIVI IV. Efficienza <strong>dei</strong> mercati finanziari<br />
presenza degli interme<strong>di</strong>ari nei mercati finanziari è strettamente legata al ruolo che essi<br />
svolgono nella riduzione <strong>dei</strong> costi <strong>di</strong> transazione, nella ri<strong>di</strong>stribuzione del rischio e nella<br />
riduzione delle asimmetrie informative. Dal momento che tali aspetti sono centrali per<br />
il conseguimento <strong>di</strong> un’allocazione Pareto-efficiente, il grado <strong>di</strong> efficienza operativa con<br />
cui gli interme<strong>di</strong>ari assolvono tali compiti as<strong>su</strong>me chiara rilevanza non soltanto fine a se<br />
stesso, ma anche dal punto <strong>di</strong> vista allocativo.<br />
Efficienza informativa. Il concetto <strong>di</strong> efficienza informativa è un concetto molto<br />
più specifico <strong>dei</strong> precedenti e concerne il modo con cui i prezzi <strong>dei</strong> titoli finanziari riflettono<br />
informazioni rilevanti. In prima approssimazione, i mercati finanziari sono detti efficienti<br />
in senso informativo quando i prezzi correnti <strong>dei</strong> titoli riflettono perfettamente tutta<br />
l’informazione <strong>di</strong>sponibile utile per le decisoni <strong>di</strong> investimento. Il concetto <strong>di</strong> efficienza<br />
informativa, sebbene relativamente semplice dal punto <strong>di</strong> vista concettuale, presenta <strong>di</strong>versi<br />
aspetti non banali dal punto <strong>di</strong> vista applicativo, che meritano un approfon<strong>di</strong>mento<br />
più specifico.<br />
Efficienza <strong>di</strong> portafoglio (portfolio efficiency). Un portafoglio efficiente è un<br />
investimento in una combinazione <strong>di</strong> titoli che consente all’investitore <strong>di</strong> ottenere un dato<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso con il rischio più basso o, alternativamente, che consente <strong>di</strong> massimizzare<br />
il ren<strong>di</strong>mento atteso dell’investimento per un dato livello <strong>di</strong> rischio. Tale questione<br />
sarà indagata dettagliatamente nel Capitolo 3.<br />
Letture <strong>di</strong> approfon<strong>di</strong>mento<br />
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,<br />
2005; Cap. 1.<br />
• Mishkin F.S., Eakins S.G., Forestieri G., Istituzioni e mercati finanziari, Pearson,<br />
2007; Cap. 2.<br />
23
IV. Efficienza <strong>dei</strong> mercati finanziari<br />
1. ASPETTI INTRODUTTIVI<br />
24
Capitolo 2<br />
Elementi <strong>di</strong> teoria delle scelte in<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> incertezza<br />
Il rischio e l’incertezza sono elementi che pervadono i mercati finanziari. Un investimento<br />
finanziario, generalmente, comporta sempre che colui che lo realizza debba sopportare<br />
un certo grado, più o meno ampio, <strong>di</strong> rischio. Questo in quanto una serie <strong>di</strong> eventi,<br />
in<strong>di</strong>pendenti dai comportamenti degli investitori, potranno con<strong>di</strong>zionare il ren<strong>di</strong>mento associato<br />
all’investimento. Per comprendere i comportamenti <strong>dei</strong> soggetti e i fenomeni che si<br />
osservano nei mercati finanziari è innanzitutto necessario dotarsi, dunque, <strong>di</strong> un apparato<br />
teorico che ci consenta <strong>di</strong> analizzare le decisioni <strong>dei</strong> soggetti in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> incertezza. 1<br />
In questo capitolo ci occuperemo <strong>di</strong> gettare le basi per costruire un tale approccio teorico.<br />
Nel capitolo <strong>su</strong>ccessivo, applicheremo (con alcuni accorgimenti) il modello quì analizzato<br />
alle cosiddette scelte <strong>di</strong> portafoglio, cioè allo stu<strong>di</strong>o del mix ottimale <strong>di</strong> titoli finanziari in<br />
cui i risparmiatori decidono <strong>di</strong> investire la loro ricchezza.<br />
I<br />
Definizione del problema <strong>di</strong> scelta in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> incertezza<br />
Immaginiamo un soggetto che debba fare una certa scelta, tra <strong>di</strong>verse alternative possibili,<br />
in relazione ad un evento incerto. L’incertezza consiste nel fatto che, al momento<br />
della scelta, il soggetto non ha la possibilità <strong>di</strong> conoscere il ri<strong>su</strong>ltato finale dell’evento.<br />
Più specificatamente, ipotizziamo che il soggetto possa scegliere tra <strong>di</strong>versi atti o azioni<br />
1 In seguito, i concetti <strong>di</strong> rischio e <strong>di</strong> incertezza saranno utilizzati quasi in<strong>di</strong>fferentemente l’uno dall’altro.<br />
È importante però sottolineare come nell’ambito della teoria economica essi abbiano spesso as<strong>su</strong>nto<br />
connotati ben <strong>di</strong>stinti. In particolare, nella <strong>su</strong>a opera del 1920 Risk, Uncertainty and Profit, l’economista<br />
americano Frank Knight per primo fece riferimento al concetto <strong>di</strong> “rischio” in relazione ad eventi non<br />
certi, ma alle cui possibili realizzazioni è sensato assegnare delle probabilità, mentre accostò il concetto<br />
<strong>di</strong> “incertezza” a eventi talmente impreve<strong>di</strong>bili per cui non è in alcun modo possibile associare delle<br />
probabilità alle loro realizzazioni. È al primo concetto che sarà fatto riferimento in ciò che segue.<br />
25
II. Valore atteso<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
ognuno <strong>dei</strong> quali può produrre per lui <strong>dei</strong> ri<strong>su</strong>ltati incerti. Ad esempio, potrebbe trattarsi<br />
<strong>di</strong> un risparmiatore che deve decidere come investire i <strong>su</strong>oi risparmi tra <strong>di</strong>versi titoli (o tra<br />
<strong>di</strong>verse combinazioni <strong>di</strong> titoli), non sapendo a priori quali saranno i ren<strong>di</strong>menti che potrà<br />
ottenere da essi. Per semplificare l’analisi, immaginiamo che, sebbene il soggetto non<br />
possa sapere con certezza quale ri<strong>su</strong>ltato si produrrà in concreto, esso conosca l’insieme<br />
<strong>dei</strong> possibili ri<strong>su</strong>ltati associati a ciascun atto che può scegliere: in<strong>di</strong>chiamo con il vettore<br />
(W 1 , W 2 , ..., W m ) gli m ri<strong>su</strong>ltati possibili associati ad una qualsiasi azione appartenente<br />
all’insieme <strong>di</strong> scelta del soggetto. Ipotizziamo, inoltre, che il soggetto conosca la probabilità<br />
con cui ciascun ri<strong>su</strong>ltato si può realizzare in concreto. In<strong>di</strong>chiamo con (π 1 , π 2 , ..., π m )<br />
il vettore delle probabilità: data l’azione generica scelta dal soggetto, il ri<strong>su</strong>ltato W k (connesso<br />
a quell’azione) si produrrà con probabilità π k , con k = 1, 2, ..., m. Ad esempio,<br />
un risparmiatore non è in grado <strong>di</strong> conoscere al momento dell’investimento il payoff che<br />
potrà ottenere acquistando delle azioni <strong>di</strong> una certa società. Al tempo stesso, <strong>su</strong>lla base,<br />
ad esempio, dell’andamento storico del titolo e del prezzo corrente (che può trasmettere<br />
informazioni <strong>su</strong>l prezzo futuro), egli potrebbe dedurre le probabilità da attribuire ai<br />
<strong>di</strong>versi ri<strong>su</strong>ltati (payoff ) possibili.<br />
Definiamo, adesso, un concetto rilevante per l’analisi <strong>su</strong>ccessiva, cioè quello <strong>di</strong> lotteria:<br />
Definizione 1 (Lotteria)<br />
Data un’azione scelta dal soggetto, la lotteria L ad essa associata è il vettore ca<strong>su</strong>ale<br />
L ≡ (W 1 , W 2 , ..., W m ; π 1 , π 2 , ..., π m )<br />
dove W k è un ri<strong>su</strong>ltato possibile e π k è la probabilità che, data l’azione compiuta dal<br />
soggetto, quel ri<strong>su</strong>ltato si verifichi (con k = 1, 2, ..., m e ∑ k π k = 1).<br />
In sostanza, per ogni azione che il soggetto può scegliere, avremo una lotteria ad essa<br />
associata. La lotteria rias<strong>su</strong>me l’insieme <strong>dei</strong> ri<strong>su</strong>ltati, e le probabilità che essi si realizzino,<br />
connessi ad una certa azione che appartiene all’insieme <strong>di</strong> scelta del soggetto. Il problema<br />
<strong>di</strong> scelta <strong>di</strong> quest’ultimo, quin<strong>di</strong>, può essere impostato nei termini <strong>di</strong> scelta della lotteria<br />
che meglio sod<strong>di</strong>sfa le <strong>su</strong>e preferenze. In<strong>di</strong>viduando la lotteria preferita, infatti, è possibile<br />
in<strong>di</strong>viduare la scelta migliore del soggetto (quella a cui la lotteria preferita è associata).<br />
Ovviamente, a questo punto si tratta <strong>di</strong> definire un criterio che ci consenta <strong>di</strong> “or<strong>di</strong>nare”<br />
le lotterie in funzione delle preferenze del soggetto.<br />
II<br />
Valore atteso<br />
Da quì in poi considereremo che i ri<strong>su</strong>ltati (W 1 , W 2 , ..., W m ) <strong>di</strong> ogni lotteria siano<br />
sempre espressi in termini monetari; ad esempio, per un investitore, sia il totale <strong>dei</strong><br />
26
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA II. Valore atteso<br />
pagamenti (payoffs) ottenuti fino al momento del rimborso o del <strong>di</strong>sinvestimento.<br />
primo semplice modo per or<strong>di</strong>nare le lotterie è quello in base al loro valore atteso,<br />
in<strong>di</strong>cato con E[W ] e così calcolato:<br />
E[W ] = W 1 π 1 + W 2 π 2 + ... + W m π m =<br />
m∑<br />
W k π k .<br />
Il concetto <strong>di</strong> valore atteso <strong>di</strong> una lotteria consente anche <strong>di</strong> definire cosa si intende<br />
per lotteria attuarialmente equa:<br />
Definizione 2 (Lotteria attuarialmente equa)<br />
Una lotteria L si definisce attuarialmente equa (o, più semplicemente, equa) se il <strong>su</strong>o<br />
valore atteso è nullo (ossia E[W ] = 0).<br />
Si consideri che fino adesso abbiamo considerato implicitamente lotterie per cui il soggetto<br />
non è chiamato a pagare alcun prezzo per parteciparvi. Ovviamente, nella maggior<br />
parte <strong>dei</strong> casi, questo non si verifica. Ad esempio, nel caso del risparmiatore che deve<br />
valutare in quali titoli investire, oltre a considerare i pagamenti incerti che le <strong>di</strong>fferenti<br />
opzioni <strong>di</strong> investimento possono produrre, egli dovrà anche tener conto che l’investimento<br />
richiederà un pagamento iniziale per la sottoscrizione <strong>dei</strong> titoli. Questo, ci porta a definire<br />
il concetto <strong>di</strong> lotteria equa in un modo alternativo: una lotteria è equa se il pagamento richiesto<br />
per parteciparvi è uguale al valore atteso della “vincita”. Formalmente, in<strong>di</strong>cando<br />
con A il pagamento necessario per “partecipare” ad una lotteria, quest’ultima si definisce<br />
equa se vale E[W ] = A.<br />
Esempio 6 (Valore atteso e titoli finanziari)<br />
Guar<strong>di</strong>amo <strong>di</strong> utilizzare il concetto <strong>di</strong> valore atteso, descritto prcedentemente, per un<br />
titolo finanziario, mettendolo in relazione con quello <strong>di</strong> tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento del<br />
titolo, così come definito nel Capitolo 1 (Sezione II). 2<br />
k=1<br />
Un<br />
A tale scopo, si consideri un<br />
risparmiatore che stà valutando la possibilità <strong>di</strong> investire i <strong>su</strong>oi risparmi nel titolo azionario<br />
della società “X”. Al momento dell’investimento, gli analisti finanziari prevedono che tra<br />
un anno il prezzo dell’azione “X” possa valere 1, 20 euro con probabilità 1 , 1, 50 euro con<br />
3<br />
probabilità 1 e 1, 80 euro con probabilità 1 . Se l’investitore acquistasse oggi 100 azioni<br />
3 3<br />
della società “X” per rivenderle tra un anno, quale sarebbe il valore atteso della ricchezza<br />
finale prodotta dall’investimento <strong>su</strong>lla base delle previsioni degli analisti (è previsto che nel<br />
corso dell’anno non vengono <strong>di</strong>stribuiti <strong>di</strong>viden<strong>di</strong>) Inoltre, se oggi il prezzo dell’azione è<br />
pari a 0, 90 euro, acquistando le azioni della società “X”, <strong>di</strong> fatto, il risparmiatore “gioca”<br />
2 Per semplificare il testo, rispetto alle definizioni del Capitolo 1, <strong>di</strong> seguito, per il tasso atteso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento, non viene riportato l’in<strong>di</strong>ce temporale e quello che identifica il particolare titolo.<br />
27
II. Valore atteso<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
o no ad una lotteria equa Infine, qual’è il tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento dell’investimento<br />
da oggi ad un anno<br />
Consideriamo che nel caso <strong>dei</strong> titoli finanziari, il generico ri<strong>su</strong>ltato W k in termini <strong>di</strong><br />
ricchezza finale, che un risparmiatore ottiene ad una certa data dal possesso <strong>dei</strong> titoli,<br />
è pari al prodotto tra il prezzo (o più in generale il payoff) del titolo a quella data e il<br />
numero <strong>di</strong> unità <strong>di</strong> quel titolo possedute dall’investitore. Nel nostro esempio, in<strong>di</strong>cando<br />
con x la quantità delle azioni acquistate dall’investitore e con v k il prezzo dell’azione<br />
all’atto del <strong>di</strong>sinvestimento (che può variare in base all’evento che in concreto si realizza),<br />
avremo quin<strong>di</strong> che W k = v k x. Tenendo, inoltre, conto che, al momento dell’investimento,<br />
le previsioni degli analisti in<strong>di</strong>viduano tre possibili “scenari” le cui rispettive probabilità<br />
sono π 1 = π 2 = π 3 = 1 , applicando la formula del valore atteso, otteniamo:<br />
3<br />
( ( ( 1 1 1<br />
E[W ] = 120 + 150 + 180 = 150.<br />
3)<br />
3)<br />
3)<br />
Per stabilire se l’acquisto <strong>dei</strong> titoli corrisponde o meno a una lotteria è equa, occorre<br />
confrontare il valore atteso E[W ] con il pagamento iniziale per la sottoscrizione <strong>dei</strong> titoli.<br />
In<strong>di</strong>cando con p il prezzo (unitario) <strong>di</strong> mercato delle azioni, il pagamento iniziale è dato<br />
da A = px. Per cui, in relazione al nostro esempio, avremo che:<br />
E[W ] = 150 > 90 = A.<br />
Poiché il valore atteso della lotteria associata all’acquisto delle azioni è maggiore del<br />
pagamento iniziale <strong>di</strong> sottoscrizione, la lotteria non è equa. Per essere equa, infatti, il<br />
prezzo o<strong>di</strong>erno dell’azione sarebbe dovuto essere 1, 50 euro, il che avrebbe comportato<br />
E[W ] = A = 150.<br />
Infine, per calcolare il tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento possiamo fare riferimento alla formula<br />
del tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, in<strong>di</strong>viduata nella Sezione II del Capitolo 1 (r = (v − p)/p). In<br />
particolare, tenendo conto delle probabilità con cui i vari payoff v k si realizzano avremo:<br />
( ) ( ( ) ( ( ) ( 1, 20 − 0, 90 1 1, 50 − 0, 90 1 1, 80 − 0, 90 1<br />
E[r] =<br />
+<br />
+<br />
≃ 0, 66<br />
0, 90 3)<br />
0, 90 3)<br />
0, 90 3)<br />
per cui il tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento è <strong>di</strong> circa il 66% (si noti che, avendo già in<strong>di</strong>viduato<br />
che il valore atteso E[W ] del titolo è maggiore del pagamento iniziale A, potevamo già<br />
intuire come il ren<strong>di</strong>mento atteso dell’investimento fosse positivo).<br />
Definito il concetto <strong>di</strong> valore atteso <strong>di</strong> una lotteria, potremmo essere tentati <strong>di</strong> affermare<br />
che ciò è tutto quello che ci serve per or<strong>di</strong>nare <strong>di</strong>fferenti lotterie secondo le preferenze<br />
<strong>dei</strong> soggetti. Ciascun soggetto potrebbe preferire la lotteria che, rispetto a tutte le altre,<br />
28
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA II. Valore atteso<br />
garantisce il valore atteso più alto. Oppure, se il soggetto potesse scegliere <strong>di</strong> partecipare<br />
a più lotterie (ad esempio, il risparmiatore potesse investire in più titoli o più combinazioni<br />
<strong>di</strong> titoli) contemporaneamente, potremmo essere portati ad affermare che convenga<br />
sempre partecipare a quelle lotterie per cui il valore atteso della vincita è maggiore del<br />
prezzo da pagare per parteciparvi (lotterie attuarialmente vantaggiose) e scartare invece<br />
quelle per cui vale il contrario (lotterie attuarialmente svantaggiose). Tale ragionamento,<br />
in generale, non è corretto in quanto non è in grado <strong>di</strong> tener conto del <strong>di</strong>fferente<br />
atteggiamento nei confronti del rischio da parte <strong>dei</strong> soggetti.<br />
Immaginiamo le due seguenti lotterie: L ′ = (−900, 300, 900; 1 3 , 1 3 , 1 3 ) e L′′ = (50, 150; 1 2 , 1 2 ).<br />
Entrambe le lotterie hanno lo stesso valore atteso, pari a 100, e quin<strong>di</strong> potremmo essere<br />
tentati <strong>di</strong> affermare che siano tra loro in<strong>di</strong>fferenti per i vari soggetti. Peraltro, le due<br />
lotterie sono tra loro ben <strong>di</strong>verse. Nella prima esiste una probabilità positiva <strong>di</strong> vincere<br />
sia una cifra relativamente alta, sia una cifra più contenuta. Al tempo stesso, però, esiste<br />
una probabilità non trascurabile <strong>di</strong> perdere una somma considerevole (−900 con probabilità<br />
1 ). Nella seconda lotteria, invece, vi è una probabilità pari al 50% <strong>di</strong> vincere una<br />
3<br />
cifra positiva più o meno alta, ma comunque relativamente modesta. In altri termini, a<br />
parità <strong>di</strong> valore atteso, L ′ è molto più rischiosa <strong>di</strong> L ′′ ; d’altro canto L ′ può consentire al<br />
soggetto delle vincite che con L ′′ non è assolutamente in grado <strong>di</strong> raggiungere. In virtù<br />
<strong>di</strong> ciò, è lecito aspettarsi che ci siano soggetti che preferiscano L ′ a L ′′ , altri soggetti che<br />
preferiscono L ′′ a L ′ , e altri ancora per cui le due lotterie sono effettivamente equivalenti.<br />
Inoltre, sebbene la lotteria L ′ abbia un valore atteso strettamente positivo, è del<br />
tutto probabile che vi siano soggetti non <strong>di</strong>sposti a “giocare” L ′ , in quanto assolutamente<br />
contrari alla possibilità <strong>di</strong> perdere una cifra pari a 900. Questi ultimi soggetti, inoltre,<br />
potrebbero perfino preferire alla lotteria L ′′ un’altra lotteria molto simile a L ′ , ma con un<br />
valore atteso leggermente più basso (ad esempio, la lotteria L ′′′ = (50, 149; 1 2 , 1 2 )).<br />
In conclusione, la scelta <strong>dei</strong> soggetti <strong>di</strong>penderà anche (soprattutto) dalla loro propensione<br />
ad accettare il rischio e il solo criterio del valore atteso, come abbiamo <strong>di</strong>mostrato,<br />
non è assolutamente in grado <strong>di</strong> cogliere tale aspetto. Un altro tipico esempio che rias<strong>su</strong>me<br />
l’inadeguatezza del concetto <strong>di</strong> valore atteso come base per descrivere le scelte <strong>dei</strong><br />
soggetti in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> incertezza fu proposto per la prima volta dal matematico svizzero<br />
Daniel Bernoulli ed è noto con il nome <strong>di</strong> Paradosso <strong>di</strong> San Pietroburgo.<br />
Esempio 7 (Paradosso <strong>di</strong> San Pietroburgo)<br />
Supponiamo <strong>di</strong> partecipare al seguente gioco (lotteria). Si lancia una moneta non truccata,<br />
per cui la probabilità che esca testa (croce) è pari a 1/2, fino a che non esce testa. La prima<br />
volta che esce testa si smette <strong>di</strong> lanciare la moneta e si determinano i premi nel modo<br />
seguente: se esce testa al primo lancio si vince una somma pari a 2 (euro, ad esempio).<br />
Se esce testa al secondo lancio si ottiene una somma pari a 2 2 = 4. Se esce testa al terzo<br />
29
III. Utilità attesa<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
lancio si ottiene 2 3 = 8, al quarto lancio 2 4 = 16 e così via. Poiché, se necessario, la<br />
moneta viene lanciata un numero infinito <strong>di</strong> volte, i lanci sono in<strong>di</strong>pendenti tra loro e la<br />
probabilità che esca testa è 1/2, il valore atteso <strong>di</strong> questa lotteria è pari a:<br />
( ( ) 2 ( ) 3 1 1 1<br />
2 + 2<br />
2)<br />
2 + 2 3 + ... = 1 + 1 + 1 + ... = ∞.<br />
2 2<br />
In sostanza, poicé il valore atteso <strong>di</strong> questo gioco è infinito, se un soggetto facesse le<br />
<strong>su</strong>e scelte esclusivamente <strong>su</strong>lla base del valore atteso, dovrebbe essere <strong>di</strong>sposto a pagare<br />
una grande somma <strong>di</strong> denaro pur <strong>di</strong> partecipare a questa lotteria. In realtà, ovviamente,<br />
le persone non sono <strong>di</strong>sposte a pagare una grande somma <strong>di</strong> denaro per partecipare ad un<br />
gioco, come quello appena descritto, che dà loro una probabilità molto piccola <strong>di</strong> vincere<br />
una grande somma <strong>di</strong> denaro.<br />
III<br />
Utilità attesa<br />
Per ovviare ai problemi connessi al valore atteso, descritti precedentemente, si può<br />
fare riferimento al concetto <strong>di</strong> utilità attesa, che rappresenta l’ipotesi <strong>di</strong> comportamento<br />
maggiormente utilizzata dagli economisti nell’analisi delle scelte in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
incertezza. La teoria dell’utilità attesa von Neumann-Morgenstern (VNM), dal nome del<br />
matematico John von Neumann e da quello dell’economista Oskar Morgenstern che per<br />
primi l’hanno elaborata, 3 afferma che le preferenze <strong>dei</strong> soggetti rispetto a certe azioni,<br />
o lotterie che le rappresentano, possono essere rappresentate tramite una funzione che<br />
assegna alla generica lotteria L un valore, in<strong>di</strong>cato con U(L), dato da:<br />
U(L) = u(W 1 )π 1 + u(W 2 )π 2 + ... + u(W m )π m =<br />
m∑<br />
u(W k )π k (2.1)<br />
dove u(W k ) è la funzione che associa un dato livello <strong>di</strong> utilità alla generica somma<br />
<strong>di</strong> denaro W k ottenuta con certezza. 4 In base all’ipotesi <strong>di</strong> utilità attesa VNM, date<br />
due lotterie qualsiasi L ′ e L ′′ , un soggetto preferirà (strettamente) la prima lotteria alla<br />
3 Von Neumann e Morgenstern elaborano tale teoria nel 1944 nel loro libro Theory of Games and<br />
Economic Behavior come teoria normativa, cioè come una teoria che definisce le scelte ottimali degli<br />
agenti in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> incertezza, date certe ipotesi <strong>di</strong> comportamento. Peraltro, tale approccio viene<br />
spesso utilizzato (compreso nell’ambito <strong>dei</strong> mercati finanziari) come teoria positiva, cioè come teoria che<br />
descrive gli effettivi comportamenti degli agenti. In tale prospettiva, peraltro, essa non è esente da critiche<br />
e contrad<strong>di</strong>zioni.<br />
4 È opportuno riba<strong>di</strong>re ulteriormente la <strong>di</strong>fferenza sostanziale che esiste tra le funzioni U e u. Mentre<br />
la funzione <strong>di</strong> utilità attesa U è definita <strong>su</strong> un “bene” incerto quale una lotteria, ossia esprime l’utilità<br />
che un soggetto ottiene “giocando” la lotteria L, la funzione <strong>di</strong> utilità u è definita <strong>su</strong> un “bene” certo<br />
quale una somma <strong>di</strong> denaro, ossia esprime l’utilità che un soggetto ottiene <strong>di</strong>sponendo con certezza della<br />
somma W k , che rappresenta un ri<strong>su</strong>ltato possibile della lotteria L.<br />
k=1<br />
30
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilità attesa<br />
seconda se e solo se l’utilità attesa che egli attribuisce alla prima lotteria è maggiore <strong>di</strong><br />
quella che attribuisce alla seconda, ossia se e solo se vale U(L ′ ) > U(L ′′ ).<br />
Come emerge chiaramente dall’Equazione (2.1), con il criterio dell’utilità attesa ciò<br />
che conta per attribuire un “valore” alla lotteria L non è semplicemente il <strong>su</strong>o valore<br />
atteso (ossia la me<strong>di</strong>a ponderata, in base alle rispettive probabilità, delle vincite della<br />
lotteria), ma si deve tener conto anche <strong>di</strong> come è fatta la funzione u. Come vedremo,<br />
è proprio tale funzione, che può <strong>di</strong>fferire da soggetto a soggetto, che consentirà <strong>di</strong> tener<br />
conto dell’atteggiamento nei confronti del rischio, nell’ambito del processo con cui vengono<br />
valutate e or<strong>di</strong>nate le varie lotterie. In particolare, U(L) è una funzione lineare ponderata<br />
dell’utilità che i soggetti percepiscono in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> certezza, in generale u(W ), dove i<br />
pesi sono dati dalle probabilità associate ai vari ri<strong>su</strong>ltati. In altri termini, essa esprime<br />
l’aspettativa <strong>dei</strong> soggetti <strong>su</strong>ll’utilità che otterranno dall’esito finale della lotteria; per tale<br />
motivo, in ciò che segue, sarà anche in<strong>di</strong>cata con E[u(W )] (cioè U(L) ≡ E[u(W )], per cui,<br />
<strong>di</strong> quì in avanti, U(L) e E[u(W )] saranno utilizzati in<strong>di</strong>fferentemente per in<strong>di</strong>care l’utilità<br />
attesa della lotteria considerata). 5<br />
III.A<br />
Atteggiamento nei confronti del rischio<br />
Una volta definita la funzione <strong>di</strong> utilità attesa VNM che rappresenta le preferenze <strong>dei</strong><br />
soggetti <strong>su</strong> lotterie, ossia <strong>su</strong> alternative incerte, è necessario approfon<strong>di</strong>re la forma e le<br />
proprietà <strong>di</strong> tale funzione soprattutto per quanto concerne la pre<strong>di</strong>sposizione <strong>dei</strong> soggetti<br />
ad accettare il rischio.<br />
Innanzitutto, poiché stiamo considerando i ri<strong>su</strong>ltati delle lotterie come “premi monetari”,<br />
generalmente si <strong>su</strong>ppone che la funzione in questione sia sempre crescente nei ri<strong>su</strong>ltati;<br />
formalmente, avremo sempre che u ′ (W ) = du(W )/dW > 0. Ad esempio, trattandosi <strong>di</strong><br />
un investitore, esso preferirà sempre investire in un titolo che gli fornisce pagamenti più<br />
elevati a quello che gli fornisce pagamenti inferiori. Più interessante è analizzare la curvatura<br />
della funzione (ossia se cresca più o meno proporzionalmente rispetto ai ri<strong>su</strong>ltati) dal<br />
momento che ciò esprime proprio l’atteggiamento nei confronti del rischio <strong>dei</strong> vari soggetti.<br />
Prima <strong>di</strong> fare questo, è opportuno definire due concetti che saranno utili nell’analisi<br />
<strong>su</strong>ccessiva: quello <strong>di</strong> equivalente certo e quello <strong>di</strong> premio per il rischio.<br />
5 Analogamente a quanto stu<strong>di</strong>ato nel corso <strong>di</strong> microeconomia per la funzione <strong>di</strong> utilità del con<strong>su</strong>matore<br />
nei problemi <strong>di</strong> scelta in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> certezza, l’esistenza della funzione <strong>di</strong> utilità attesa VNM si fonda<br />
<strong>su</strong> alcune ipotesi, o assiomi, relativi al comportamento <strong>dei</strong> soggetti. Inoltre, è possibile <strong>di</strong>mostrare che<br />
tale funzione è unica a meno <strong>di</strong> trasformazioni affini positive. Non ci concentreremo quì <strong>su</strong> tali aspetti,<br />
che e<strong>su</strong>lano in larga parte dai nostri scopi, per i quali riman<strong>di</strong>amo il lettore interessato ad un manuale <strong>di</strong><br />
microeconomia (es. Kreps (1993, Cap. 3)).<br />
31
III. Utilità attesa<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
Definizione 3 (Equivalente certo)<br />
Data una lotteria L, si definisce equivalente certo <strong>di</strong> L il ri<strong>su</strong>ltato CE L che, se ottenuto<br />
con certezza, fornisce un’utilità esattamente uguale all’utilità attesa <strong>di</strong> L, ossia<br />
u(CE L ) = E[u(W )]. (2.2)<br />
La definizione <strong>di</strong> equivalente certo implica un confronto tra ri<strong>su</strong>ltati certi ed incerti.<br />
Infatti, per un soggetto, “partecipare” ad una lotteria comporta sempre l’as<strong>su</strong>nzione <strong>di</strong> un<br />
certo grado <strong>di</strong> rischio. L’equivalente certo ci <strong>di</strong>ce quale sarebbe la situazione non rischiosa<br />
che sarebbe per lui in<strong>di</strong>fferente a partecipare alla lotteria.<br />
Definizione 4 (Premio per il rischio)<br />
Data una lotteria L, si definisce premio per il rischio la somma P R L per cui ri<strong>su</strong>lta<br />
u(E[W ] − P R L ) = E[u(W )]. (2.3)<br />
Anche l’intuizione che stà <strong>di</strong>etro al concetto <strong>di</strong> premio per il rischio è relativamente<br />
semplice. Se il soggetto gioca la lotteria L sà che otterrà in me<strong>di</strong>a una somma pari a<br />
E[W ], ma potrebbe anche ottenere un ri<strong>su</strong>ltato peggiore (o migliore). La questione che<br />
si può dunque porre è la seguente: quale somma massima il soggetto è <strong>di</strong>sposto a pagare<br />
per “assicurarsi” e ottenere il valore me<strong>di</strong>o (atteso) della lotteria con certezza anziché<br />
“partecipare” alla lotteria Tale somma è proprio quella rappresentata dal premio per il<br />
rischio.<br />
Si noti, infine, un ultimo aspetto rilevante connesso alle definizioni <strong>di</strong> equivalente certo<br />
e premio per il rischio. Considerando congiuntamente le Equazioni (2.2) e (2.3) notiamo<br />
che u(CE L ) = u(E[W ] − P R L ), che implica CE L = E[W ] − P R L o, equivalentemente,<br />
P R L = E[W ]−CE L . 6 In sostanza, il premio per il rischio associato ad una lotteria L è dato<br />
dalla <strong>di</strong>fferenza tra il valore atteso della lotteria e il <strong>su</strong>o equivalente certo (nell’Appen<strong>di</strong>ce<br />
A.1 in fondo al capitolo viene fornita una derivazione matematica più dettagliata del<br />
premio per il rischio associato ad una data lotteria).<br />
Avversione al rischio<br />
Partiamo dall’analisi del comportamento <strong>di</strong> un soggetto che non ama il rischio; più<br />
tecnicamente si parla in questo caso <strong>di</strong> soggetto avverso al rischio. Immaginiamo, come<br />
esempio <strong>di</strong> riferimento, la seguente lotteria con due possibili ri<strong>su</strong>ltati: L = (W 1 , W 2 ; π 1 , π 2 ),<br />
con W 1 < W 2 . In<strong>di</strong>chiamo, inoltre, con µ L il valore atteso della lotteria, ossia µ L ≡<br />
E[W ] = W 1 π 1 + W 2 π 2 . In relazione alla lotteria in questione, la funzione <strong>di</strong> utilità <strong>di</strong> un<br />
6 Tecnicamente, ciò richiede che la funzione u sia invertibile, il che è assicurato dal fatto che u è una<br />
funzione monotona crescente (u ′ (W ) > 0).<br />
32
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilità attesa<br />
u(W)<br />
u(W 2 )<br />
u(µ L )<br />
u(CE L ) = E[u(W)]<br />
e<br />
b<br />
d<br />
c<br />
u(W)<br />
u(W 1 )<br />
a<br />
W 1 CE L µ L W 2<br />
W<br />
Figura 2.1: Avversione al rischio<br />
soggetto avverso al rischio è rappresentata graficamente in Figura 2.1. Si noti <strong>su</strong>bito la<br />
forma della funzione u(W ), che, come specificato in precedenza, esprime l’utilità del soggetto<br />
in corrispondenza <strong>di</strong> pagamenti certi. Tale funzione, oltre ad essere sempre crescente<br />
(in quanto u ′ (W ) > 0), ha una curvatura concava verso il basso; <strong>di</strong> seguito capiremo le<br />
implicazione che ne derivano.<br />
u(W 1 ) e u(W 2 ), <strong>su</strong>ll’asse delle or<strong>di</strong>nate, rappresentano l’utilità che il nostro soggetto<br />
otterrebbe potendo <strong>di</strong>sporre con certezza delle somme <strong>di</strong> denaro W 1 e W 2 , rispettivamente.<br />
u(µ L ), che equivale a u(E[W ]), rappresenta invece l’utilità che il soggetto otterrebbe<br />
ottenendo una somma certa pari al valore atteso della lotteria L. 7 Ma come si trova il<br />
valore che il soggetto attribuisce alla lotteria L Ossia, in altri termini, come si trova<br />
l’utilità attesa E[u(W )] (o U(L)) che il soggetto avverso al rischio attribuisce alla possibilità<br />
<strong>di</strong> “giocare” la lotteria L Per rispondere a questa domanda, consideriamo, in<br />
Figura 2.1, il segmento che unisce i punti a e c, corrispondenti ai livelli <strong>di</strong> utilità u(W 1 )<br />
e u(W 2 ). In<strong>di</strong>chiamo, poi, con d il punto <strong>su</strong> tale segmento in corrispondenza, <strong>su</strong>ll’asse<br />
delle ascisse, del valore atteso della lotteria, µ L . L’utilità attesa attribuita dal soggetto<br />
(avverso al rischio) alla lotteria L, in<strong>di</strong>cata con E[u(W )], si trova <strong>su</strong>ll’asse delle or<strong>di</strong>nate<br />
proprio in corrispondenza del punto d. Si notino i seguenti aspetti.<br />
1. Poiché ri<strong>su</strong>lta E[u(W )] < u(µ L ) (o, equivalentemente, E[u(W )] < u(E[W ])) l’utilità<br />
attesa che un soggetto avverso al rischio ottiene giocando una lotteria il cui valore<br />
7 Ovviamente, <strong>su</strong>ll’asse delle ascisse µ L si colloca tra W 1 e W 2 , trattandosi <strong>di</strong> una loro me<strong>di</strong>a ponderata.<br />
33
III. Utilità attesa<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
atteso è µ L è inferiore all’utilità che avrebbe ottenuto potendo <strong>di</strong>sporre con certezza<br />
<strong>di</strong> una somma esattamente pari al valore atteso della lotteria (tale utilità corrisponde,<br />
<strong>su</strong>ll’asse delle or<strong>di</strong>nate in Figura 2.1, al punto b). In sostanza, l’avversione al<br />
rischio esprime la preferenza per la certezza a scapito della <strong>di</strong>spersione della ricchezza.<br />
È importante sottolineare come tale ri<strong>su</strong>ltato <strong>di</strong>penda strettamente dalla forma<br />
concava della funzione u(W ); 8 ciò dunque spiega il perché si utilizzi una funzione<br />
u fatta in questo modo per rappresentare le preferenze <strong>di</strong> un soggetto avverso al<br />
rischio.<br />
2. In Figura 2.1 è anche riportato <strong>su</strong>ll’asse delle ascisse, con CE L , l’equivalente certo<br />
associato alla lotteria L.<br />
In base alla Definizione 3, esso rappresenta la somma<br />
certa che fornisce un livello <strong>di</strong> utilità, <strong>su</strong>ll’asse delle or<strong>di</strong>nate, tale per cui ri<strong>su</strong>lta<br />
u(CE L ) = E[u(W )] (utilità corrispondente al punto e <strong>su</strong>lla funzione u(W )).<br />
noti che, in questo caso, l’equivalente certo è inferiore al valore atteso della lotteria<br />
(CE L < µ L ). In virtù <strong>di</strong> ciò, considerando la definizione <strong>di</strong> premio per il rischio<br />
(P R L = µ L − CE L ), si può anche affermare che, nel caso <strong>di</strong> soggetti avversi al<br />
rischio, il premio per il rischio è positivo (P R L > 0).<br />
3. Un ultimo aspetto da sottolineare in relazione al comportamento <strong>di</strong> soggetti avversi<br />
al rischio è il seguente. Consideriamo il concetto <strong>di</strong> lotteria equa, già definito precedentemente.<br />
Esso prevede che per partecipare ad una lotteria, un soggetto paghi<br />
una somma pari al <strong>su</strong>o valore atteso. Se un soggetto è avverso al rischio, possiamo<br />
affermare con certezza che esso non parteciperà mai ad una lotteria equa. Infatti,<br />
nei termini della Figura 2.1, si priverebbe <strong>di</strong> una somma certa µ L per partecipare<br />
ad una lotteria la cui utilità attesa (E[u(W )]) è inferiore all’utilità della somma <strong>di</strong><br />
cui si priva (u(µ L )); ciò, ovviamente, non sarebbe per lui conveniente!<br />
In conclusione, possiamo rias<strong>su</strong>mere questa sezione con la seguente definizione generale<br />
<strong>di</strong> soggetto avverso al rischio in<strong>di</strong>viduando, <strong>su</strong>ccessivamente, le quattro con<strong>di</strong>zioni<br />
equivalenti che contrad<strong>di</strong>stinguono tale atteggiamento nell’ambito dell’approccio teorico<br />
dell’utilità attesa VNM (nell’Appen<strong>di</strong>ce A.1 in fondo al capitolo sono <strong>di</strong>scusse più<br />
dettagliatamente alcune mi<strong>su</strong>re <strong>di</strong> avversione al rischio <strong>dei</strong> soggetti).<br />
Definizione 5 (Avversione al rischio)<br />
Un soggetto si definisce avverso al rischio ogni qual volta l’utilità che ottiene da un<br />
8 Infatti, dati due numeri reali W 1 e W 2 e fissati 0 ≤ π 1 , π 2 ≤ 1, con π 1 + π 2 = 1, una funzione<br />
u si definisce (strettamente) concava se ri<strong>su</strong>lta π 1 u(W 1 ) + π 2 u(W 2 ) < u(π 1 W 1 + π 2 W 2 ). Si noti che,<br />
nel nostro caso, il termine <strong>di</strong> sinistra della <strong>di</strong><strong>su</strong>guaglianza (nota anche come <strong>di</strong><strong>su</strong>guaglianza <strong>di</strong> Jensen)<br />
corrisponde all’utilità attesa associata alla lotteria (E[u(W )]), mentre il termine <strong>di</strong> destra corrisponde<br />
all’utilità associata al valore atteso della lotteria (u(E[W ])).<br />
Si<br />
34
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilità attesa<br />
ri<strong>su</strong>ltato certo è maggiore dell’utilità attesa <strong>di</strong> una lotteria con lo stesso ri<strong>su</strong>ltato (valore)<br />
atteso.<br />
Le con<strong>di</strong>zioni che in<strong>di</strong>viduano un soggetto avverso al rischio sono le seguenti:<br />
• la funzione <strong>di</strong> utilità <strong>su</strong>i ri<strong>su</strong>ltati certi è concava (formalmente, u ′′ (W ) < 0);<br />
• l’equivalente certo <strong>di</strong> una qualsiasi lotteria è inferiore al <strong>su</strong>o valore atteso;<br />
• il premio per il rischio è positivo;<br />
• il soggetto non accetta mai lotterie eque.<br />
Esempio 8<br />
Ad un soggetto viene offerto un titolo finanziario che si prevede possa produrre una<br />
ricchezza finale pari a 64 euro con probabilità 1 e 100 euro con probabilità 1 . Il soggetto è<br />
2 2<br />
avverso al rischio e le <strong>su</strong>e preferenze sono rappresentate dalla funzione <strong>di</strong> utilità u(W ) =<br />
√<br />
W . Si determini l’utilità attesa del titolo per il soggetto, il <strong>su</strong>o equivalente certo e il<br />
premio per il rischio.<br />
L’acquisto del titolo corrisponde all’acquisto <strong>di</strong> una lotteria L = (64, 100; 1, 1 ), per cui<br />
2 2<br />
l’utilità attesa che il soggetto ottiene è:<br />
E[u(W )] = 1 2 u(64) + 1 2 u(100) = 1 2<br />
√ 1√ 64 + 100 = 4 + 5 = 9.<br />
2<br />
Per calcolare l’equivalente certo occorre in<strong>di</strong>viduare quella somma certa CE L<br />
fornisce al soggetto un’utilità pari a quella attesa dalla lotteria, ossia per cui ri<strong>su</strong>lta:<br />
che<br />
u(CE L ) = √ CE L = 9.<br />
Tale somma è ovviamente CE L = 9 2 = 81.<br />
Infine, il premio per il rischio P R L non è altro che la <strong>di</strong>fferenza tra il valore atteso del<br />
titolo ed il <strong>su</strong>o equivalente certo, per cui:<br />
P R L = E[W ] − CE L = 1 2 (64) + 1 (100) − 81 = 82 − 81 = 1.<br />
2<br />
Neutralità al rischio<br />
Consideriamo la stessa lotteria L della sezione precedente, ma analizziamo adesso il<br />
caso <strong>di</strong> un soggetto né avverso, né amante del rischio: tecnicamente si parla in questo<br />
caso <strong>di</strong> soggetto neutrale al rischio. In questo caso, la <strong>su</strong>a funzione <strong>di</strong> utilità VNM è<br />
rappresentata graficamente in Figura 2.2.<br />
35
III. Utilità attesa<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
u(W)<br />
u(W)<br />
u(W 2 )<br />
u(µ L ) = u(CE L ) = E[u(W)]<br />
u(W 1 )<br />
W 1 µ L = CE L W 2<br />
W<br />
Figura 2.2: Neutralità al rischio<br />
Come è possibile notare, la funzione u(W ) adesso è lineare. Ciò comporta che il<br />
soggetto sia in<strong>di</strong>fferente tra ricevere una somma certa µ L oppure giocare la lotteria L, il<br />
cui ri<strong>su</strong>ltato atteso è µ L . Formalmente, E[u(W )] = u(µ L ) (o E[u(W )] = u(E[W ])). Inoltre,<br />
proprio per questo motivo, l’equivalente certo associato alla lotteria coincide esattamente<br />
con il <strong>su</strong>o valore atteso (CE L = µ L ) e il premio per il rischio è nullo (P R L = 0). Infine,<br />
a questo punto dovrebbe essere chiaro come un soggetto neutrale al rischio sia del tutto<br />
in<strong>di</strong>fferente tra accettare o meno lotterie eque, dal momento che la somma che paga<br />
per parteciparvi ha per lui esattamente lo stesso “valore” della lotteria a cui partecipa.<br />
Analogamente a quanto fatto per un soggetto avverso al rischio, tutto ciò può essere<br />
sintetizzato come segue.<br />
Definizione 6 (Neutralità al rischio)<br />
Un soggetto si definisce neutrale al rischio ogni qual volta l’utilità che ottiene da un<br />
ri<strong>su</strong>ltato certo è esattamente uguale all’utilità attesa <strong>di</strong> una lotteria con lo stesso ri<strong>su</strong>ltato<br />
(valore) atteso.<br />
Le con<strong>di</strong>zioni che in<strong>di</strong>viduano un soggetto neutrale al rischio sono le seguenti:<br />
• la funzione <strong>di</strong> utilità <strong>su</strong>i ri<strong>su</strong>ltati certi è lineare (formalmente, u ′′ (W ) = 0);<br />
• l’equivalente certo <strong>di</strong> una qualsiasi lotteria è uguale al <strong>su</strong>o valore atteso;<br />
• il premio per il rischio è nullo;<br />
36
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilità attesa<br />
• il soggetto è in<strong>di</strong>fferente ad accettare o meno lotterie eque.<br />
Esempio 9<br />
Si riprenda l’Esempio 8, ma as<strong>su</strong>miamo adesso che il soggetto sia neutrale al rischio: le <strong>su</strong>e<br />
preferenze sono rappresentate dalla funzione <strong>di</strong> utilità u(W ) = W . Si determini l’utilità<br />
attesa del titolo per il soggetto, il <strong>su</strong>o equivalente certo ed il premio per il rischio.<br />
L’utilità attesa, che coincide adesso con il valore atteso della lotteria associata al titolo<br />
finanziario, è data da:<br />
E[u(W )] = 1 2 u(64) + 1 2 u(100) = 1 2 (64) + 1 (100) = 32 + 50 = 82.<br />
2<br />
L’equivalente certo CE L che fornisce al soggetto un’utilità pari a quella attesa dalla<br />
lotteria ri<strong>su</strong>lta adesso:<br />
u(CE L ) = CE L = 82.<br />
Tale somma coincide con il valore atteso del titolo (E[W ] = CE L ), per cui il premio<br />
per il rischio P R L è pari a zero.<br />
Propensione al rischio<br />
L’ultimo caso da considerare è quello <strong>di</strong> un soggetto amante del rischio, ossia quello<br />
che è tecnicamente definito soggetto propenso al rischio. L’andamento della funzione<br />
<strong>di</strong> utilità VNM nel caso <strong>di</strong> propensione al rischio è presentata in Figura 2.3.<br />
Come era logico attendersi, questo caso è l’esatto contrario <strong>di</strong> quello con avversione al<br />
rischio. In primo luogo, la funzione u(W ) per un soggetto propenso al rischio è convessa<br />
verso il basso. Il soggetto preferisce, quin<strong>di</strong>, giocare la lotteria L piuttosto che ricevere con<br />
certezza µ L . Formalmente, E[u(W )] > u(µ L ) (o E[u(W )] > u(E[W ])). Ciò ovviamente ha<br />
perfettamente senso. Soggetti amanti del rischio preferiranno “giocarsi” la possibilità <strong>di</strong><br />
vincere una somma elevata piuttosto che accontentarsi <strong>di</strong> una somma (certa) interme<strong>di</strong>a,<br />
anche se questo comporta il rischio <strong>di</strong> ricevere alla fine solo una somma molto bassa<br />
(possibilmente anche negativa, cioè una per<strong>di</strong>ta).<br />
Inoltre, con propensione al rischio, l’equivalente certo associato alla lotteria è maggiore<br />
del <strong>su</strong>o valore atteso (CE L > µ L ), ossia il premio per il rischio è negativo (P R L <<br />
0). Anche questo è facilmente spiegabile: mentre nel caso <strong>di</strong> avversione al rischio il<br />
soggetto, pur <strong>di</strong> ottenere una somma certa, è <strong>di</strong>sposto a pagare un premio per eliminare<br />
il rischio associato alla lotteria, un soggetto propenso al rischio, viceversa, chiede lui <strong>di</strong><br />
essere pagato (premio negativo) per privarsi del rischio insito nella lotteria. Questo spiega<br />
intuitivamente anche il motivo per cui tale soggetto accetterà sempre <strong>di</strong> partecipare a<br />
lotterie eque.<br />
37
III. Utilità attesa<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
u(W)<br />
u(W)<br />
u(W 2 )<br />
u(CE L ) = E[u(W)]<br />
u(µ L )<br />
u(W 1 )<br />
W 1 µ L CE L W 2<br />
Figura 2.3: Propensione al rischio<br />
W<br />
Definizione 7 (Propensione al rischio)<br />
Un soggetto si definisce propenso al rischio ogni qual volta l’utilità che ottiene da un<br />
ri<strong>su</strong>ltato certo è inferiore all’utilità attesa <strong>di</strong> una lotteria con lo stesso ri<strong>su</strong>ltato (valore)<br />
atteso.<br />
Le con<strong>di</strong>zioni che in<strong>di</strong>viduano un soggetto propenso al rischio sono le seguenti:<br />
• la funzione <strong>di</strong> utilità <strong>su</strong>i ri<strong>su</strong>ltati certi è convessa (formalmente, u ′′ (W ) > 0);<br />
• l’equivalente certo <strong>di</strong> una qualsiasi lotteria è <strong>su</strong>periore al <strong>su</strong>o valore atteso;<br />
• il premio per il rischio è negativo;<br />
• il soggetto accetta sempre lotterie eque.<br />
Esempio 10<br />
Ripren<strong>di</strong>amo nuovamente l’Esempio 8, ma consideriamo adesso un soggetto propenso al<br />
rischio con preferenze rappresentate dalla funzione <strong>di</strong> utilità u(W ) = W 2 . Si determini<br />
l’utilità attesa del titolo per il soggetto, il <strong>su</strong>o equivalente certo ed il premio per il rischio.<br />
Data la funzione utilità u(W ) = W 2 , l’utilità attesa che ottiene il soggetto è:<br />
E[u(W )] = 1 2 u(64) + 1 2 u(100) = 1 2 (64)2 + 1 2 (100)2 = 2048 + 5000 = 7048.<br />
Per calcolare l’equivalente certo corrispondente al titolo occorre in<strong>di</strong>viduare quella<br />
somma certa CE L che sod<strong>di</strong>sfa:<br />
38
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA IV. Domanda <strong>di</strong> assicurazione<br />
u(CE L ) = (CE L ) 2 = 7048.<br />
a:<br />
Tale somma è CE L = √ 7048 ≃ 83, 95.<br />
Il premio per il rischio P R L , infine, è (come ci si attendeva) negativo in quanto pari<br />
P R L = E[W ] − CE L ≃ 82 − 83, 95 ≃ −1, 95.<br />
IV<br />
Avversione al rischio e domanda <strong>di</strong> assicurazione<br />
Come abbiamo illustrato precedentemente, pur <strong>di</strong> ottenere una somma certa piuttosto<br />
che quella incerta associata alla lotteria, il soggetto avverso al rischio è <strong>di</strong>sposto a<br />
pagare una somma positiva (il premio per il rischio). In questa sezione affronteremo più<br />
dettagliatamente tale questione, analizzando come tutto ciò si traduca nella domanda <strong>di</strong><br />
assicurazione (o <strong>di</strong> titoli assicurativi) che un tale soggetto chiede al mercato per far fronte<br />
all’incertezza legata al futuro.<br />
Immaginiamo un soggetto avverso al rischio che in un dato istante temporale t <strong>di</strong>sponga<br />
<strong>di</strong> una data ricchezza pari a W . Supponiamo che esista una probabilità positiva π che il<br />
soggetto <strong>su</strong>bisca un certo evento dannoso che produca per lui una per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> un ammontare<br />
monetario pari a D, così che la <strong>su</strong>a ricchezza complessiva possa <strong>di</strong>ventare W −D al tempo<br />
t+1. Il soggetto può però rivolgersi al mercato per assicurarsi contro l’evento dannoso. In<br />
particolare, può “acquistare” unità <strong>di</strong> denaro come rimborso al tempo t+1 con<strong>di</strong>zionato al<br />
verificarsi dell’evento dannoso. In<strong>di</strong>chiamo con w le unità <strong>di</strong> denaro/rimborso acquistate<br />
dal soggetto (che esprimono, quin<strong>di</strong>, l’entità della copertura assicurativa contro l’evento<br />
dannoso) e as<strong>su</strong>miamo che ognuna <strong>di</strong> esse abbia un prezzo pari a 0 < p < 1. 9 Il problema<br />
da analizzare concerne, quin<strong>di</strong>, la scelta ottimale <strong>di</strong> w da parte del nostro soggetto.<br />
A tale scopo, consideriamo innanzitutto quali sono i ri<strong>su</strong>ltati per il soggetto in corrispondenza<br />
<strong>dei</strong> due eventi possibili: quello in cui il danno si verifica e quello in cui non<br />
si verifica. Immaginando che il soggetto si assicuri per una somma generica w, nel caso<br />
si verifichi il danno, il ri<strong>su</strong>ltato (o ricchezza finale) che ottiene è W − D + w − pw (la<br />
ricchezza che residua più il rimborso dell’assicurazione meno il pagamento o premio assicurativo).<br />
Se, viceversa, il danno non si verifica, il ri<strong>su</strong>ltato per il soggetto è W − pw (la<br />
ricchezza iniziale meno il premio). Dati questi ri<strong>su</strong>ltati, il soggetto sceglierà l’ammontare<br />
ottimale <strong>di</strong> copertura assicurativa in modo da massimizzare la <strong>su</strong>a utilità attesa associata<br />
alla particolare “lotteria” che stiamo esaminando. Formalmente:<br />
9 Ovviamente, p non può as<strong>su</strong>mere un valore maggiore <strong>di</strong> uno, altrimenti nes<strong>su</strong>n soggetto avrebbe<br />
convenienza ad assicurarsi.<br />
39
IV. Domanda <strong>di</strong> assicurazione<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
max πu(W − D + w − pw) + (1 − π)u(W − pw). (2.4)<br />
w<br />
La con<strong>di</strong>zione del primo or<strong>di</strong>ne per il problema (2.4) è data da:<br />
π(1 − p)u ′ (W − D + w − pw) − p(1 − π)u ′ (W − pw) = 0<br />
che, tramite semplici passaggi algebrici, può essere riscritta come: 10<br />
u ′ (W − D + w − pw)<br />
u ′ (W − pw)<br />
=<br />
p(1 − π)<br />
π(1 − p) . (2.5)<br />
Poiché, chiaramente, la scelta ottima del soggetto <strong>di</strong>pende da p, il prezzo dell’assicurazione,<br />
è importante chiedersi, a questo punto, qual’è il prezzo che rende il contratto (o<br />
titolo) assicurativo equo per il soggetto. In effetti, dal punto <strong>di</strong> vista del soggetto, possiamo<br />
considerare il titolo assicurativo come una lotteria con ri<strong>su</strong>ltati w − pw (rimborso<br />
meno pagamento iniziale), nel caso <strong>di</strong> danno, e −pw (per<strong>di</strong>ta pari al pagamento) nel caso<br />
in cui il danno non si verifichi; formalmente, tale lotteria può essere rappresentata dal<br />
seguente vettore (w − pw, −pw; π, 1 − π). Posta la questione in questi termini, è semplice<br />
adesso in<strong>di</strong>viduare il valore <strong>di</strong> p che rende equo il titolo assicurativo. Esso è dato da<br />
p = π: dal punto <strong>di</strong> vista del soggetto, la lotteria corrispondente al titolo assicurativo è<br />
equa se e solo se il prezzo <strong>di</strong> un’unità <strong>di</strong> denaro ottenuto come rimborso per il verificarsi<br />
dell’evento dannoso è pari alla probabilità che l’evento dannoso si verifichi. 11<br />
As<strong>su</strong>miamo che il contratto assicurativo sia equo e in<strong>di</strong>viduiamo la scelta ottima <strong>di</strong> w<br />
(la copertura assicurativa) da parte del soggetto. A tale scopo, notiamo che con p = π il<br />
lato destro della con<strong>di</strong>zione espressa dall’Equazione (2.5) è pari a uno. Di conseguenza,<br />
affinché tale con<strong>di</strong>zione sia sod<strong>di</strong>sfatta, anche il rapporto che si trova al lato sinistro deve<br />
essere uguale a uno. Ciò comporta 12 che W − D + w − pw = W − pw, che, a <strong>su</strong>a volta, è<br />
sod<strong>di</strong>sfatta per w = D. Qualunque soggetto avverso al rischio decide sempre <strong>di</strong> assicurarsi<br />
completamente contro il rischio <strong>di</strong> un evento dannoso, se il contratto <strong>di</strong> assicurazione che<br />
gli viene offerto è attuarialmente equo.<br />
Potendo stipulare contratti assicurativi equi, chi è avverso al rischio decide sempre<br />
per un’assicurazione che copre completamente il danno e, così facendo, stabilizza la <strong>su</strong>a<br />
10 Si noti che, con soggetti avversi al rischio, la con<strong>di</strong>zione del secondo or<strong>di</strong>ne per il problema <strong>di</strong> massimizzazione,<br />
descritto dall’espressione (2.4), è sempre sod<strong>di</strong>sfatta. Infatti, la con<strong>di</strong>zione del secondo or<strong>di</strong>ne<br />
è data da π(1 − p) 2 u ′′ (W − D + w − pw) + p 2 (1 − π)u ′′ (W − pw) < 0, che è sempre sod<strong>di</strong>sfatta per u ′′ < 0<br />
(soggetto avverso al rischio).<br />
11 Dal punto <strong>di</strong> vista della compagnia <strong>di</strong> assicurazione che offre il titolo assicurativo, un prezzo p = π<br />
implica un profitto atteso nullo: ciò equivale all’ipotesi <strong>di</strong> concorrenza perfetta nel settore assicurativo.<br />
12 Si ricor<strong>di</strong> che la funzione u è sempre strettamente concava.<br />
40
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA IV. Domanda <strong>di</strong> assicurazione<br />
ricchezza. 13 Infatti, è facile calcolare come, con assicurazione completa, la ricchezza finale<br />
(al tempo t+1) del soggetto sia costante, e pari a W −pw, in<strong>di</strong>pendentemente dall’evento<br />
che si produce in concreto. Ciò avviene, <strong>di</strong> fatto, perché acquistando il titolo assicurativo<br />
il soggetto sfrutta un effetto <strong>di</strong> <strong>di</strong>versificazione: per lui, infatti, il “ren<strong>di</strong>mento” del titolo<br />
è positivo quando si verifica l’evento negativo (il danno) e negativo quando si ha l’evento<br />
positivo (il danno non si realizza).<br />
È proprio sottoponendosi a due fonti <strong>di</strong> rischio correlate<br />
negativamente che egli riduce il <strong>su</strong>o rischio complessivo. Tale questione <strong>di</strong>venta centrale<br />
per la scelta <strong>dei</strong> titoli nei mercati finanziari (le cosiddette scelte <strong>di</strong> portafoglio), che sarà<br />
introdotta nella sezione seguente e analizzata più dettagliatamente nel Capitolo 3.<br />
Esempio 11<br />
Si consideri un soggetto avverso al rischio la cui funzione <strong>di</strong> utilità as<strong>su</strong>me la forma<br />
seguente: u(W ) = √ W . Tale soggetto <strong>di</strong>spone <strong>di</strong> una ricchezza iniziale pari a 100 euro,<br />
ma esiste la possibilità che un evento dannoso (ad esempio, un furto) possa ridurla a<br />
30 euro. Supponiamo che la probabilità con cui il danno si verifichi sia stimata al 30%.<br />
Supponiamo che per ogni euro <strong>di</strong> copertura assicurativa che il soggetto può acquistare da<br />
una compagnia <strong>di</strong> assicurazione, sia richiesto il pagamento <strong>di</strong> un premio <strong>di</strong> 0, 40 euro. Per<br />
quanto sceglie <strong>di</strong> assicurarsi il nostro soggetto<br />
Per rispondere alla domanda, consideriamo che, data la funzione <strong>di</strong> utilità u(W ) =<br />
√<br />
W , con un certo livello w <strong>di</strong> copertura assicurativa, se il danno si verifica (con probabilità<br />
π = 0, 3), il nostro soggetto ottiene una ricchezza finale pari a 30+w −0, 4w = 30+0, 6w,<br />
a cui corrisponde un’utilità data da √ 30 + 0, 6w. Viceversa, se il danno non si verifica<br />
(con probabilità (1 − π) = 0, 7), il soggetto ottiene una ricchezza finale 100 − 0, 4w, a<br />
cui corrisponde un’utilità pari a √ 100 − 0, 4w. Quin<strong>di</strong>, applicando l’Equazione (2.5), con<br />
semplici passaggi algebrici otteniamo:<br />
√ 100 − 0, 4w<br />
√ 30 + 0, 6w<br />
=<br />
0, 4(0, 7)<br />
0, 3(0, 6)<br />
che implica 18 √ 100 − 0, 4w = 28 √ 30 + 0, 6w (dove entrambi i termini sono stati moltiplicati<br />
per cento).<br />
Elevando entrambi termini al quadrato e risolvendo rispetto a w<br />
otteniamo w = 14, 8. Il soggetto, sebbene avverso al rischio, sceglie in questo caso una<br />
copertura assicurativa solo parziale, cioè sceglie <strong>di</strong> assicurarsi per un ammontare inferiore<br />
all’entità del danno (14, 8 < 70). Ciò era preve<strong>di</strong>bile in quanto con un premio <strong>di</strong> 0, 40 euro,<br />
13 Una copertura assicurativa non totale da parte <strong>di</strong> soggetti avversi al rischio, che si può osservare<br />
frequentemente nella realtà, può essere spiegata in vari mo<strong>di</strong>. Ad esempio, è facile verificare che se il<br />
contratto non è equo, perché ri<strong>su</strong>lta p > π, il soggetto, sebbene avverso al rischio, sceglie un livello<br />
<strong>di</strong> copertura assicurativa solo parziale (w < D). Anche gli aspetti connessi alla presenza <strong>di</strong> asimmetrie<br />
informative nei mercati possono contribuire a spiegare contratti assicurativi sottoscritti da soggetti avversi<br />
al rischio con grado <strong>di</strong> copertura non totale.<br />
41
V. Scelte <strong>di</strong> portafoglio 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
il titolo assicurativo non è una lotteria equa, bensì una lotteria attuarialmente svantaggiosa<br />
per l’assicurato. Infatti, per avere una lotteria equa (che avrebbe spinto l’assicurato<br />
a scegliere la copertura totale) il premio sarebbe dovuto essere pari a 0, 30 euro.<br />
V<br />
Utilità attesa e scelte <strong>di</strong> portafoglio<br />
Consideriamo adesso in che modo l’apparato teorico dell’utilità attesa VNM, descritto<br />
in precedenza, possa essere utilizzato per stu<strong>di</strong>are il problema delle scelte <strong>di</strong> portafoglio.<br />
In sostanza, tale problema consiste nell’analizzare come un soggetto investa in modo<br />
ottimale (cioè nel modo che meglio risponde alle proprie preferenze) la ricchezza <strong>di</strong> cui<br />
<strong>di</strong>spone in un portafoglio (o mix) <strong>di</strong> titoli o attività finanziarie.<br />
In<strong>di</strong>chiamo con P il generico portafoglio <strong>di</strong> investimento. Esso può essere rappresentato<br />
come un vettore (x 1 , x 2 , ..., x n ), dove x i rappresenta la quantità del titolo generico i<br />
presente nel portafoglio (con n titoli a <strong>di</strong>sposizione <strong>su</strong> cui poter investire). Rappresentiamo,<br />
invece, con il solito vettore (W 1 , W 2 , ..., W m ) i possibili ri<strong>su</strong>ltati (in termini ricchezza<br />
finale) che l’investitore può ottenere investendo la <strong>su</strong>a ricchezza iniziale in un dato portafoglio.<br />
Come al solito, a tali ri<strong>su</strong>ltati è associato il vettore (π 1 , π 2 , ..., π m ), che esprime<br />
le probabilità con cui i <strong>di</strong>versi ri<strong>su</strong>ltati possono realizzarsi. Consideriamo, inoltre, che il<br />
generico ri<strong>su</strong>ltato W k <strong>di</strong>pende, adesso, da: i) la quantità x i <strong>di</strong> ciascun titolo contenuta nel<br />
portafoglio e ii) il payoff ottenuto dall’investitore per ciascuna unità posseduta del titolo<br />
i. Poiché quest’ultimo valore è una variabile aleatoria, nel senso che può variare a seconda<br />
dell’evento che si realizza in concreto, esso sarà in<strong>di</strong>cato con v ki . Ad esempio, se il titolo i<br />
è un’azione, v ki rappresenta il prezzo (payoff ) dell’azione in corrispondenza dell’“evento”<br />
(possibile andamento <strong>di</strong> borsa) k. In virtù <strong>di</strong> ciò, il generico ri<strong>su</strong>ltato relativo alla ricchezza<br />
finale associata ad un dato portafoglio può essere riscritto, più specificatamente,<br />
come:<br />
n∑<br />
W k = v k1 x 1 + v k2 x 2 + ... + v kn x n = v ki x i . (2.6)<br />
Il problema dell’investitore nella scelta del portafoglio ottimale può dunque essere<br />
espresso nei termini seguenti:<br />
i=1<br />
max E[u(W )] = ∑ m<br />
π k u(W k ) (2.7)<br />
(x 1 ,x 2 ,...,x n)<br />
k=1<br />
s. a:<br />
p 1 x 1 + p 2 x 2 + ... + p n x n = W . (2.8)<br />
42
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA V. Scelte <strong>di</strong> portafoglio<br />
Il problema rappresentato dalle Espressioni (2.7) e (2.8) può essere sintetizzato come<br />
segue: l’investitore sceglie il portafoglio <strong>di</strong> investimento P = (x 1 , x 2 , ..., x n ) in modo<br />
da massimizzare la <strong>su</strong>a utilità attesa E[u(W )] (dove i vari W k corrispondono a quelli<br />
dell’Espressione (2.6)) dato il vincolo (2.8). Quest’ultimo rappresenta il vincolo <strong>di</strong> bilancio<br />
dell’investitore: la <strong>su</strong>a ricchezza iniziale, in<strong>di</strong>cata con W , uguaglia la spesa complessiva<br />
per l’acquisto del portafoglio, data da ∑ i p ix i (dove p i rappresenta il prezzo unitario del<br />
titolo i). Più in generale, il vincolo espresso dalla Con<strong>di</strong>zione (2.8) deve valere con il segno<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong><strong>su</strong>guaglianza, ≤, nel senso che l’ammontare delle risorse spese dall’investitore non<br />
può <strong>su</strong>perare le risorse a <strong>su</strong>a <strong>di</strong>sposizione (la <strong>su</strong>a ricchezza iniziale); peraltro, <strong>su</strong>lla base<br />
<strong>di</strong> certe as<strong>su</strong>nzioni, in particolare quella che il soggetto preferisca sempre un’ammontare<br />
<strong>su</strong>periore, anziché inferiore, <strong>di</strong> ricchezza finale, la <strong>di</strong><strong>su</strong>guaglianza può essere sostituita con<br />
l’uguaglianza.<br />
La soluzione del problema espresso dalle Espressioni (2.7)-(2.8) è derivata analiticamente<br />
nell’Appen<strong>di</strong>ce A.2 a questo capitolo. Quì ci limiteremo a considerare la soluzione<br />
finale. In particolare, in corrispondenza della scelta ottima dell’investitore deve essere<br />
sod<strong>di</strong>sfatta la con<strong>di</strong>zione seguente:<br />
E[(v 1 /p 1 )u ′ (W )] = E[(v 2 /p 2 )u ′ (W )] = ... = E[(v n /p n )u ′ (W )]. (2.9)<br />
L’Espressione (2.9) può essere facilmente rappresentata in termini <strong>di</strong> tassi <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
<strong>dei</strong> vari titoli. In effetti, tale trasformazione può tornare utile dal momento che la<br />
valutazione e le scelte <strong>dei</strong> <strong>di</strong>versi titoli, da parte degli investitori, si basa generalmente <strong>su</strong>i<br />
loro tassi (attesi) <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento (si veda la Sezione II del Capitolo 1). Poiché il tasso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un generico titolo i è r i = (v i − p i )/p i , otteniamo che v i /p i = 1 + r i , per<br />
cui l’Espressione (2.9) può essere riscritta come:<br />
E[(1 + r 1 )u ′ (W )] = E[(1 + r 2 )u ′ (W )] = ... = E[(1 + r n )u ′ (W )]. (2.10)<br />
L’Espressione (2.10) può essere interpretata nel modo seguente. Un soggeto che investe<br />
un’unità ad<strong>di</strong>zionale della <strong>su</strong>a ricchezza nel generico titolo i ottiene un payoff (ponderato<br />
per il prezzo del titolo) (1+r i ) che gli produce un incremento <strong>di</strong> utilità pari a (1+r i )u ′ (W ).<br />
Ovviamente, dal momento che tale incremento può variare a seconda dell’evento che si<br />
realizza ex-post, al momento dell’investimento il soggetto valuterà l’incremento atteso <strong>di</strong><br />
utilità, rappresentato da E[(1 + r i )u ′ (W )]. L’Espressione (2.10) in<strong>di</strong>ca, appunto, che la<br />
scelta del portafoglio ottimo <strong>di</strong> investimento si ha quando il soggetto sceglie le quantità<br />
<strong>dei</strong> <strong>di</strong>versi titoli in modo tale che l’incremento atteso <strong>di</strong> utilità (o utilità marginale attesa)<br />
derivante dall’investire un’unità ad<strong>di</strong>zionale <strong>di</strong> ricchezza è uguale per tutti i titoli. Perché<br />
questo Perché se così non fosse, cioè se E[(1 + r i )u ′ (W )] fosse maggiore per alcuni titoli<br />
43
VI. Appen<strong>di</strong>ce<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
e minore per altri, l’investitore non starebbe facendo la scelta ottimale, dal momento<br />
che gli converrebbe <strong>di</strong>sinvestire ricchezza dai titoli con utilità marginale attesa più bassa<br />
per investirla nei titoli con utilità marginale attesa più elevata. Così facendo, infatti,<br />
aumenterebbe la <strong>su</strong>a utilità attesa.<br />
Le Con<strong>di</strong>zioni (2.9) e (2.10), che sono equivalenti, costituiscono un insieme <strong>di</strong> con<strong>di</strong>zioni<br />
necessarie per la soluzione del problema <strong>di</strong> scelta del portafoglio <strong>di</strong> investimento da<br />
parte <strong>di</strong> un soggetto; esse, peraltro, in generale non sono <strong>su</strong>fficienti. La <strong>su</strong>fficienza è assicurata<br />
dall’ipotesi <strong>di</strong> avversione al rischio (u ′′ (W )) dell’investitore. 14 Peraltro, anche con<br />
soggetto avverso al rischio, l’approccio seguito in questa sezione rimane troppo generale<br />
per sviluppare considerazioni più specifiche. A tale scopo occorre necessariamente fare<br />
riscorso a delle forme particolari della funzione <strong>di</strong> utilità VNM. Nel capitolo che segue ci<br />
muoveremo in tale <strong>di</strong>rezione. Ciò ci permetterà <strong>di</strong> scendere più in profon<strong>di</strong>tà nell’analisi<br />
delle scelte ottimali <strong>di</strong> investimento <strong>dei</strong> risparmiatori nei mercati finanziari.<br />
VI<br />
Appen<strong>di</strong>ce<br />
A.1 Derivazione matematica del premio per il rischio e mi<strong>su</strong>re <strong>di</strong> avversione<br />
al rischio<br />
Il concetto <strong>di</strong> premio per il rischio e quello, connesso, <strong>di</strong> equivalente certo <strong>di</strong> una<br />
lotteria, introdotti in questo capitolo, si riferiscono ad una particolare funzione <strong>di</strong> utilità<br />
u definita <strong>su</strong> ri<strong>su</strong>ltati certi. In questa appen<strong>di</strong>ce, il concetto <strong>di</strong> premio per il rischio<br />
sarà derivato esplicitamente da una particolare lotteria e dalla funzione <strong>di</strong> utilità <strong>di</strong> un<br />
soggetto. In particolare, as<strong>su</strong>miamo adesso che i ri<strong>su</strong>ltati della lotteria L considerata siano<br />
una variabile aleatoria continua, il cui valore atteso è E[W ] ≡ µ L .<br />
In<strong>di</strong>cando con P R L il premio per il rischio associato alla lotteria L, dalla definizione<br />
<strong>di</strong> premio per il rischio, abbiamo che:<br />
u(µ L − P R L ) = E[u(W )].<br />
(A1)<br />
In<strong>di</strong>chiamo adesso con Ŵ la realizzazione <strong>di</strong> una certo ri<strong>su</strong>ltato della lotteria. Utilizzando<br />
l’espansione <strong>di</strong> Taylor centrata <strong>su</strong>l valore atteso della lotteria, µ L , fino al secondo<br />
or<strong>di</strong>ne otteniamo che l’utilità che il soggetto ottiene dalla realizzazione <strong>di</strong> Ŵ è: 15<br />
14 In particolare, l’ipotesi <strong>di</strong> avversione al rischio garantisce che la Con<strong>di</strong>zione (2.10) definisca un’unica<br />
soluzione del problema <strong>di</strong> massimizzazione dell’utilità attesa in termini <strong>di</strong> ricchezza e ad un insieme <strong>di</strong><br />
soluzioni in termini <strong>di</strong> portafoglio. Ulteriori proprietà sono richieste per l’unicità del portafoglio ottimo.<br />
15 Si noti che in ciò che segue si as<strong>su</strong>me che la funzione u sia due volte <strong>di</strong>fferenziabile. Inoltre, fermarsi<br />
al secondo or<strong>di</strong>ne dell’espansione <strong>di</strong> Taylor equivale ad as<strong>su</strong>mere che la <strong>di</strong>fferenza tra Ŵ e µ L sia<br />
“<strong>su</strong>fficientemente” piccola.<br />
44
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA VI. Appen<strong>di</strong>ce<br />
u(Ŵ ) ≃ u(µ L) + (Ŵ − µ L)u ′ (µ L ) + 1 2 (Ŵ − µ L) 2 u ′′ (µ L ).<br />
(A2)<br />
Sostituendo Ŵ con W , nell’espressione (A2), e calcolandone il valore atteso, otteniamo:<br />
E[u(W )] ≃ u(µ L ) + E[W − µ L ]u ′ (µ L ) + 1 2 E[(W − µ L) 2 ]u ′′ (µ L )<br />
che, considerando che E[W −µ L ] = E[W ]−µ L = µ L −µ L = 0 e che E[(W −µ L ) 2 ] = σL<br />
2<br />
(dove σL 2 rappresenta la varianza <strong>dei</strong> ri<strong>su</strong>ltati della lotteria L), può essere riscritta come:<br />
E[u(W )] ≃ u(µ L ) + 1 2 σ2 Lu ′′ (µ L ).<br />
(A3)<br />
Se, come abbiamo ipotizzato finora, le <strong>di</strong>fferenze tra i <strong>di</strong>versi ri<strong>su</strong>ltati della lotteria<br />
L e il <strong>su</strong>o valore atteso, µ L , sono <strong>su</strong>fficientemente piccoli, allora anche il premio per<br />
il rischio P R L sarà <strong>su</strong>fficientemente piccolo. Possiamo allora applicare l’espansione <strong>di</strong><br />
Taylor, sempre centrandola in µ L , fino al primo or<strong>di</strong>ne all’Espressione (A1) ottenendo:<br />
u(µ L − P R L ) ≃ u(µ L ) − P R L u ′ (µ L ).<br />
(A4)<br />
Considerando, dall’Equazione (A1), che u(µ L −P R L ) = E[u(W )], usando le Espressioni<br />
(A3) e (A4) e risolvendo rispetto a P R L , otteniamo un’espressione analitica per il premio<br />
per il rischio, che <strong>di</strong>pende dalla lotteria L e dalla funzione <strong>di</strong> utilità u del soggetto:<br />
P R L ≃ − 1 u ′′ (µ L )<br />
2 σ2 L<br />
u ′ (µ L ) .<br />
(A5)<br />
L’Espressione (A5) in<strong>di</strong>ca che il premio per il rischio <strong>di</strong>pende dalla variabilità <strong>dei</strong><br />
ri<strong>su</strong>ltati della lotteria (espressa da σ 2 L ) e dal rapporto u′′ (µ L )/u ′ (µ L ).<br />
In particolare,<br />
tale rapporto (che <strong>di</strong>pende dalla funzione <strong>di</strong> utilità u) esprime una mi<strong>su</strong>ra del grado <strong>di</strong><br />
avversione al rischio del soggetto, definita coefficiente assoluto (Arrow-Pratt) <strong>di</strong><br />
avversione al rischio. Più precisamente, tale coefficiente è dato da:<br />
R a (W ) = − u′′ (W )<br />
u ′ (W ) .<br />
(A6)<br />
In particolare, dall’Espressione (A6), si noti che se il soggetto è avverso il rischio,<br />
per cui u ′′ (W ) < 0, il coefficiente (assoluto) <strong>di</strong> avversione al rischio, R a (W ) è positivo.<br />
Inoltre, in questo caso, dall’Espressione (A5) è possibile verificare che, come già sapevamo,<br />
il premio per il rischio è positivo. In sostanza, come è logico attendersi, il premio per il<br />
rischio che un soggetto avverso al rischio è <strong>di</strong>sposto a pagare per eliminare l’incertezza<br />
associata a una data lotteria è positivo e tanto più elevato tanto maggiore è l’incertezza<br />
della lotteria (ossia la variabilità <strong>dei</strong> <strong>su</strong>oi ri<strong>su</strong>ltati espressa da σL 2 ) e tanto più il soggetto<br />
45
VI. Appen<strong>di</strong>ce<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
è avverso al rischio (ossia tanto più elevato è il <strong>su</strong>o coefficiente <strong>di</strong> avversione al rischio<br />
R a (W )). Infine, utilizzando sempre le Espressioni (A5) e (A6), è facile verificare che,<br />
in linea con quanto già <strong>di</strong>scusso nella Sezione III.A, nel caso <strong>di</strong> soggetto propenso al<br />
rischio (u ′′ (W ) > 0) valgono considerazioni esattamente opposte rispetto a quelle per un<br />
soggetto avverso al rischio, mentre nel caso <strong>di</strong> un soggetto neutrale al rischio (u ′′ (W ) = 0)<br />
il coefficiente <strong>di</strong> avversione al rischio è pari a zero e, conseguentemente, il premio per il<br />
rischio è nullo.<br />
Una mi<strong>su</strong>ra alternativa, rispetto al coefficiente assoluto <strong>di</strong> avversione al rischio, è la<br />
seguente, definita coefficiente relativo (Arrow-Pratt) <strong>di</strong> avversione al rischio:<br />
R r (W ) = −W u′′ (W )<br />
u ′ (W ) .<br />
(A7)<br />
Il vantaggio <strong>di</strong> R r (W ) rispetto a R a (W ), nel mi<strong>su</strong>rare il grado <strong>di</strong> avversione al rischio<br />
<strong>di</strong> un soggetto, sta nel fatto che la prima (a <strong>di</strong>fferenza della seconda) non <strong>di</strong>pende dalla<br />
scelta dell’unità <strong>di</strong> mi<strong>su</strong>ra utilizzata per mi<strong>su</strong>rare i ri<strong>su</strong>ltati della lotteria.<br />
A.2 Utilità attesa e scelte <strong>di</strong> portafoglio: derivazione matematica<br />
La soluzione del problema <strong>di</strong> scelta <strong>di</strong> portafoglio, presentato nella Sezione V e definito<br />
dalle Espressioni (2.7) e (2.8), comporta, in primo luogo, la costruzione della seguente<br />
funzione Lagrangiana:<br />
̷L = π 1 u(W 1 ) + π 2 u(W 2 ) + ... + π m u(W m ) + λ(W − p 1 x 1 + p 2 x 2 + ... + p n x n ).<br />
(A8)<br />
Tenendo conto che W k = v k1 x 1 +v k2 x 2 +...+v kn x n , calcoliamo le derivate parziali della<br />
Funzione (A8) rispetto alla quantità da acquistare <strong>dei</strong> <strong>di</strong>versi titoli (i vari x i ) e rispetto al<br />
termine λ, che rappresenta il moltiplicatore <strong>di</strong> Lagrange associato al vincolo <strong>di</strong> bilancio.<br />
Otteniamo così le seguenti n + 1 con<strong>di</strong>zioni (necessarie) del primo or<strong>di</strong>ne (n per i vari x i<br />
e una in relazione al termine λ):<br />
π 1 v 11 u ′ (W 1 ) + π 2 v 21 u ′ (W 2 ) + ... + π m v m1 u ′ (W m ) = λp 1<br />
π 1 v 12 u ′ (W 1 ) + π 2 v 22 u ′ (W 2 ) + ... + π m v m2 u ′ (W m ) = λp 2<br />
.<br />
π 1 v 1n u ′ (W 1 ) + π 2 v 2n u ′ (W 2 ) + ... + π m v mn u ′ (W m ) = λp n<br />
p 1 x 1 + p 2 x 2 + ... + p n x n = W .<br />
46
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA VI. Appen<strong>di</strong>ce<br />
Le prime n con<strong>di</strong>zioni del primo or<strong>di</strong>ne possono essere riscritte, in forma più compatta,<br />
nel modo seguente: 16 E[v i u ′ (W )] = λp i con i = 1, 2, ..., n.<br />
Adesso, <strong>di</strong>videndo ambo i lati per p i , otteniamo:<br />
E[(v i /p i )u ′ (W )] = λ con i = 1, 2, ..., n. (A9)<br />
Ovviamente, poiché tutti i valori <strong>di</strong> E[(v i /p i )u ′ (W )] (con i = 1, 2, ..., n) devono essere<br />
uguali ad una stessa costante λ, dall’Espressione (A9) otteniamo:<br />
E[(v 1 /p 1 )u ′ (W )] = E[(v 2 /p 2 )u ′ (W )] = ... = E[(v n /p n )u ′ (W )]<br />
che è l’Espressione (2.9), utilizzata e descritta nella Sezione V <strong>di</strong> questo capitolo.<br />
Letture <strong>di</strong> approfon<strong>di</strong>mento<br />
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,<br />
2005; Cap. 4.<br />
• Barucci E., Teoria <strong>dei</strong> mercati finanziari, il Mulino, 2000; Cap. 2.<br />
• Kreps D., Corso <strong>di</strong> microeconomia, il Mulino, 1993; Cap. 3.<br />
• Schotter A., Microeconomia, Giappichelli, 2002; Cap. 14.<br />
16 Si noti che le con<strong>di</strong>zioni del primo or<strong>di</strong>ne appena definite valgono tutte con il segno <strong>di</strong> uguaglianza<br />
sotto l’ipotesi che l’investitore possa “acquistare” una quantità anche negativa <strong>di</strong> qualche titolo. Tale<br />
situazione è resa possibile, nell’ambito <strong>dei</strong> mercati finanziari, dalla possibilità <strong>di</strong> effettuare ven<strong>di</strong>te allo<br />
scoperto, cioè prendere <strong>dei</strong> titoli a prestito per venderli, impegnandosi al tempo stesso a restituirli a una<br />
certa scadenza (tale aspetto sarà <strong>di</strong>scusso e analizzato più dettagliatamente nel Capitolo 3). Se viceversa<br />
la ven<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> titoli allo scoperto è esclusa, altri vincoli (<strong>di</strong> non-negatività delle quantità x i ) andrebbero<br />
considerati e non sarebbe possibile escludere che le con<strong>di</strong>zioni del primo or<strong>di</strong>ne valgano, per qualche<br />
titolo, con il segno <strong>di</strong> <strong>di</strong><strong>su</strong>guaglianza (
VI. Appen<strong>di</strong>ce<br />
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA<br />
48
Capitolo 3<br />
Il modello me<strong>di</strong>a-varianza delle<br />
scelte <strong>di</strong> portafoglio<br />
Nel capitolo precedente abbiamo introdotto il problema della scelta ottimale <strong>di</strong> un<br />
portafoglio <strong>di</strong> investimento da parte <strong>di</strong> un soggetto. In questo capitolo approfon<strong>di</strong>remo<br />
più nel dettaglio tale questione. In particolare, as<strong>su</strong>meremo che i soggetti, nelle scelte<br />
<strong>dei</strong> titoli finanziari da “inserire” nei loro portafogli <strong>di</strong> investimento, preferiscano un ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso più elevato, ma non amino il rischio (cioè siano avversi al rischio). In<br />
tali circostanze, e <strong>su</strong>lla base <strong>di</strong> certe ipotesi che analizzeremo, il problema <strong>di</strong> scelta del<br />
portafoglio ottimo <strong>di</strong> investimento può essere espresso in termini <strong>di</strong> massimizzazione <strong>di</strong><br />
una funzione <strong>di</strong> utilità che <strong>di</strong>pende esclusivamente dalla me<strong>di</strong>a e dalla varianza <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti<br />
<strong>dei</strong> vari possibili portafogli <strong>di</strong> titoli. 1 Nell’ambito <strong>di</strong> tale modello, infatti, la me<strong>di</strong>a e<br />
la varianza <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti esprimono le aspettative degli investitori, rispettivamente, <strong>su</strong>l<br />
ren<strong>di</strong>mento e <strong>su</strong>l rischio <strong>dei</strong> vari portafogli e sono quin<strong>di</strong> tutte le informazioni che servono<br />
loro per effettuare la scelta del portafoglio ottimale. 2<br />
Oltre che per la <strong>su</strong>a rilevanza teorica, il modello me<strong>di</strong>a-varianza acquisisce anche<br />
un’importanza pratica dal momento che, tramite adeguate tecniche statistiche, le me<strong>di</strong>e,<br />
le varianze e le covarianze (che acquisiscono anch’esse rilevanza nell’ambito del modello)<br />
<strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti delle attività finanziarie possono essere calcolate o stimate concretamente<br />
<strong>su</strong>lla base degli andamenti passati <strong>dei</strong> prezzi <strong>dei</strong> titoli e/o utilizzando ulteriori informazioni<br />
<strong>di</strong>sponibili. Le scelte degli investitori che stu<strong>di</strong>eremo in questo capitolo, quin<strong>di</strong>, possono<br />
1 L’origine e lo sviluppo del modello me<strong>di</strong>a-varianza per l’analisi delle scelte <strong>di</strong> portafoglio si deve<br />
all’economista americano Harry Markowitz, premiato, insieme a William Sharpe e Merton Miller, con il<br />
Nobel nel 1990 per i contributi agli stu<strong>di</strong> teorici ed empirici in campo finanziario.<br />
2 Il modello me<strong>di</strong>a-varianza delle scelte <strong>di</strong> portafoglio, che analizzeremo in questo capitolo, si fonda<br />
<strong>su</strong> alcune ipotesi semplificatrici tra cui, in particolare, la durata uniperiodale degli investimenti (cioè,<br />
nell’ambito del periodo <strong>di</strong> tempo considerato, gli investitori scelgono un certo portafoglio <strong>di</strong> investimento<br />
e non mo<strong>di</strong>ficano la loro scelta), l’assenza <strong>di</strong> imposte e <strong>di</strong> costi <strong>di</strong> transazione e la perfetta competitività<br />
<strong>dei</strong> mercati finanziari.<br />
49
I. Preferenze degli investitori 3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
essere lette in questi termini: presa conoscenza, tramite le informazioni <strong>di</strong>sponibili, delle<br />
me<strong>di</strong>e (ren<strong>di</strong>menti attesi) e delle varianze (rischi) <strong>dei</strong> <strong>di</strong>versi titoli finanziari, gli investitori<br />
ne scelgono la combinazione (portafoglio) che meglio sod<strong>di</strong>sfa le loro preferenze. 3<br />
I<br />
Preferenze degli investitori<br />
Definiamo con P un generico portafoglio <strong>di</strong> titoli o attività finanziarie (cioè un<br />
insieme <strong>di</strong> <strong>di</strong>versi titoli o attività finanziarie possedute da un investitore). In particolare,<br />
come nella Sezione V del capitolo precedente, il portafoglio P può essere pensato come un<br />
vettore (x 1 , x 2 , ..., x n ), dove x i rappresenta la quantità del titolo generico i presente nel<br />
portafoglio (con n titoli a <strong>di</strong>sposizione <strong>su</strong> cui poter investire). Immaginiamo poi che le preferenze<br />
degli investitori (avversi al rischio) rispetto ai vari portafogli siano rappresentate<br />
dalla seguente funzione <strong>di</strong> utilità:<br />
V = V (µ P , σ 2 P ) (3.1)<br />
dove µ P ≡ E [r P ] rappresenta il (tasso <strong>di</strong>) ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o o atteso del portafoglio<br />
generico P (con r P il ren<strong>di</strong>mento effettivo del portafoglio) e σP 2 ≡ E [(r P − µ P ) 2 ]<br />
è la varianza del ren<strong>di</strong>mento del portafoglio (cioè una mi<strong>su</strong>ra <strong>di</strong> quanto il ren<strong>di</strong>mento<br />
effettivo <strong>di</strong> P può variare rispetto alla <strong>su</strong>a me<strong>di</strong>a o ren<strong>di</strong>mento atteso). 4<br />
Inoltre, sempre<br />
con riferimento all’Espressione (3.1), ha senso interpretare la varianza del portafoglio, σ 2 P ,<br />
come una mi<strong>su</strong>ra del rischio a cui va incontro l’investitore “acquistando” il portafoglio<br />
P : tanto più il ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> P può variare rispetto alla <strong>su</strong>a me<strong>di</strong>a, tanto più è rischioso<br />
scegliere la composizione <strong>di</strong> titoli rappresentata da quel portafoglio.<br />
Poiché stiamo as<strong>su</strong>mendo che gli investitori siano avversi al rischio, avremo che la<br />
funzione V è crescente in µ P (maggiore è il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> P maggiore è l’utilità<br />
che l’investitore ottiene investendo in quel portafoglio) e decrescente in σP<br />
2 (maggiore è<br />
il rischio associato a P minore è l’utilità che l’investitore ottiene investendo in esso la<br />
3 Peraltro, è importante sottolineare che i concetti teorici <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a e varianza a cui ci riferiremo nel<br />
resto del capitolo e le loro stime statistiche, che è possibile ricavare dai dati a <strong>di</strong>sposizione, sono due<br />
concetti <strong>di</strong>stinti. Dal punto <strong>di</strong> vista dell’analisi economica che svilupperemo è <strong>su</strong>fficiente as<strong>su</strong>mere che gli<br />
investitori si comportino secondo il criterio me<strong>di</strong>a-varianza, in<strong>di</strong>pendentemente dal fatto che ne conoscano<br />
i valori.<br />
4 Nell’Appen<strong>di</strong>ce A.1 <strong>di</strong> questo capitolo sarà mostrato come la funzione <strong>di</strong> utilità V possa essere derivata<br />
analiticamente da una funzione <strong>di</strong> utilità VNM nel caso quest’ultima as<strong>su</strong>ma la particolare forma<br />
quadratica nella ricchezza finale. Peraltro, l’ipotesi <strong>di</strong> funzione <strong>di</strong> utilità quadratica, non è necessaria per<br />
giustificare il criterio me<strong>di</strong>a-varianza. Quest’ultimo, infatti, può essere anche motivato, più in generale,<br />
nell’ambito della teoria dell’utilità attesa nel caso i ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> titoli siano <strong>di</strong>stribuiti come una variabile<br />
ca<strong>su</strong>ale normale. Peraltro, anche l’ipotesi <strong>di</strong> normalità della <strong>di</strong>stribuzione <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti, sebbene<br />
<strong>su</strong>fficiente, non è necessaria (teoricamente, infatti, l’utilizzo del criterio me<strong>di</strong>a-varianza è compatibile con<br />
altri tipi <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione statistica in relazione ai ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> titoli).<br />
50
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA I. Preferenze degli investitori<br />
µ P<br />
µ PC’ P C’<br />
µ PC<br />
P C<br />
µ PB’<br />
µ PB<br />
P B<br />
P A<br />
P B’<br />
σ PB<br />
2<br />
σ PB’ 2 σ PC<br />
2<br />
σ PC’ 2<br />
σ P<br />
2<br />
Figura 3.1: Curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza dell’investitore nel modello me<strong>di</strong>a-varianza<br />
<strong>su</strong>a ricchezza), cioè, se V rappresenta le preferenze <strong>di</strong> un investitore, per esso µ P è un<br />
“bene”, mentre σP 2 è un “male”. Formalmente, ciò può essere espresso con ∂V/∂µ P > 0 e<br />
∂V/∂σP 2 < 0. In altri termini, a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso, investitori avversi al rischio<br />
preferiranno sempre investimenti con minor variabilità del ren<strong>di</strong>mento. 5<br />
Nel modello me<strong>di</strong>a-varianza delle scelte <strong>di</strong> portafoglio, le curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong><br />
un investitore rappresentano l’insieme <strong>di</strong> tutte le combinazioni (µ P , σP 2 ) che danno all’investitore<br />
un uguale livello <strong>di</strong> utilità e che sono, quin<strong>di</strong>, per lui in<strong>di</strong>fferenti. Inoltre, poiché<br />
ogni coppia (µ P , σP 2 ) si riferisce a uno specifico portafoglio, ogni punto <strong>su</strong> una data curva<br />
<strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza in<strong>di</strong>vidua proprio un certo portafoglio <strong>di</strong> investimento. In altri termini,<br />
una curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza può essere considerata come l’insieme <strong>dei</strong> portafogli che danno<br />
all’investitore lo stesso livello <strong>di</strong> utilità.<br />
In Figura 3.1 sono rappresentate, nello spazio (µ P , σP 2 ), le curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> un<br />
investitore con preferenze rappresentate dall’Espressione (3.1), che rispecchiano il criterio<br />
me<strong>di</strong>a-varianza. In relazione a tali curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza, tre aspetti meritano <strong>di</strong> essere<br />
sottolineati:<br />
1. le curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza sono inclinate positivamente. Ciò <strong>di</strong>pende dal fatto che gli<br />
5 Si noti come questo non sia vero se gli investitori fossero neutrali al rischio (per cui conterebbe<br />
solo il ren<strong>di</strong>mento atteso, mentre, a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso, la variabilità dell’investimento non<br />
rileverebbe) o propensi al rischio (che, a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso, preferirebbero investimenti con<br />
maggiore variabilità del ren<strong>di</strong>mento, in quanto, a fronte <strong>di</strong> per<strong>di</strong>te maggiori, potrebbero consentire <strong>di</strong><br />
ottenere guadagni più alti).<br />
51
I. Preferenze degli investitori 3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
argomenti della funzione V sono uno un “bene” (µ P ) e l’altro un “male” (σP 2 ): se ne<br />
aumenta uno, per rimanere <strong>su</strong> una stessa curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza (stesso livello <strong>di</strong> utilità<br />
per l’investitore), deve necessariamente aumentare anche l’altro. Consideriamo,<br />
ad esempio, i due portafogli rappresentati dai punti P B e P C che si trovano <strong>su</strong> una<br />
stessa curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza. P C rispetto a P B dà all’investitore un ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
maggiore. Di conseguenza, per trovarsi <strong>su</strong>lla stessa curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> P B , P C<br />
deve essere anche più rischioso <strong>di</strong> P B (ciò è possibile solo con curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza<br />
inclinate positivamente); se così non fosse, infatti, darebbe necessariamente all’investitore<br />
un’utilità maggiore <strong>di</strong> P B e quin<strong>di</strong>, per definizione, dovrebbe trovarsi <strong>su</strong> una<br />
<strong>di</strong>versa curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza. Formalmente tutto ciò può essere rias<strong>su</strong>nto <strong>di</strong>cendo<br />
che il saggio marginale <strong>di</strong> sostituzione tra ren<strong>di</strong>mento atteso e rischio dµ P /dσ 2 P (ossia<br />
il saggio al quale l’investitore sarebbe <strong>di</strong>sposto ad accettare un rischio più alto a<br />
fronte <strong>di</strong> un maggior ren<strong>di</strong>mento), che mi<strong>su</strong>ra graficamente l’inclinazione della curva<br />
<strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza in ogni <strong>su</strong>o punto, è sempre positivo; 6<br />
2. l’utilità dell’investitore aumenta quando ci si sposta verso curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza più<br />
alte. Consideriamo, ad esempio, i portafogli P A e P B . Essi sono caratterizzati<br />
dallo stesso rischio (σ 2 P A<br />
= σ 2 P B<br />
), ma P B dà un ren<strong>di</strong>mento atteso maggiore <strong>di</strong> P A<br />
(µ PB > µ PA ). P B è quin<strong>di</strong> certamente preferito dall’investitore rispetto a P A , cioè P B<br />
dà all’investitore un’utilità maggiore <strong>di</strong> P A . Inoltre, per definizione, tutti i portafogli<br />
che si trovano <strong>su</strong>lla stessa curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza (più alta) <strong>di</strong> P B danno all’investitore<br />
un’utilità maggiore <strong>di</strong> tutti i portafogli che si trovano <strong>su</strong>lla curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza (più<br />
bassa) <strong>di</strong> P A ;<br />
3. le curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza sono convesse verso l’origine degli assi. Intuitivamente,<br />
tale proprietà può essere spiegata nel modo seguente. 7 Consideriamo nuovamente i<br />
portafogli <strong>di</strong> investimento P B e P C . Immaginiamo <strong>di</strong> cambiare la composizione <strong>dei</strong><br />
titoli che compongono i due portafogli in modo da aumentare in egual mi<strong>su</strong>ra (al<br />
margine) il loro rischio (in Figura 3.1, da σP 2 B<br />
a σ 2 P B<br />
′, per il portafoglio P B , e da σP 2 C<br />
a σ 2 P C<br />
′, per il portafoglio P C , con (σ 2 P ′ B<br />
− σP 2 B<br />
) = (σ 2 P ′ C<br />
− σP 2 C<br />
)). Ci potremmo allora<br />
chiedere: <strong>di</strong> quanto deve aumentare il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>dei</strong> due portafogli, quando<br />
aumenta nella stessa mi<strong>su</strong>ra il loro rischio, per ottenere due nuovi portafogli (P B<br />
′<br />
e P C ′ ) che rimangono <strong>su</strong>lla stessa curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> P B e P C Con curve <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>fferenza convesse verso l’origine degli assi, avremo che l’aumento <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
6 Ciò può essere verificato utilizzando la formula del saggio marginale <strong>di</strong> sostituzione: dµ P /dσ 2 P =<br />
−(∂V/∂σ 2 P )/(∂V/∂µ P ). Poiché, in base alle nostre ipotesi, vale sempre ∂V/∂µ P > 0 e ∂V/∂σ 2 P < 0,<br />
necessariamente avremo che dµ P /dσ 2 P > 0.<br />
7 La convessità verso l’origine degli assi delle curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza nello spazio ( µ P , σ 2 P<br />
)<br />
può essere<br />
<strong>di</strong>mostrata, più rigorosamente, come implicazione della forma quadratica della funzione VNM.<br />
52
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA II. Portafoglio che minimizza il rischio<br />
atteso del portafoglio ottenuto da P B (da µ PB<br />
portafoglio ottenuto da P C (da µ PC<br />
a µ PB<br />
′) è minore rispetto a quello del<br />
a µ PC<br />
′). Ciò in quanto il grado <strong>di</strong> rischio <strong>di</strong> P C è<br />
maggiore <strong>di</strong> quello <strong>di</strong> P B : per accettare un ulteriore incremento <strong>di</strong> rischio (e rimanere<br />
<strong>su</strong>lla stessa curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza) l’investitore richiede quin<strong>di</strong> un maggior incremento<br />
<strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso “partendo” da P C (che ha già un rischio relativamente alto)<br />
piuttosto che da P B . Formalmente, il saggio marginale <strong>di</strong> sostituzione dµ P /dσ 2 P è<br />
crescente rispetto a σP 2 , cioè rispetto al rischio.<br />
II<br />
Scelta del portafoglio che minimizza in assoluto il rischio<br />
Nella sezione precedente, abbiamo definito uno strumento, quello delle curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza<br />
nello spazio (µ P , σP 2 ), che ci servirà per trovare il portafoglio <strong>di</strong> titoli o attività<br />
finanziarie che un investitore sceglie in base alle <strong>su</strong>e preferenze. Il passo <strong>su</strong>ccessivo è quello<br />
<strong>di</strong> definire un criterio per in<strong>di</strong>viduare l’insieme <strong>di</strong> tutti i portafogli tra cui l’investitore<br />
sceglie il <strong>su</strong>o preferito. Prima <strong>di</strong> fare questo, è interessante (e anche utile per l’analisi<br />
<strong>su</strong>ccessiva) analizzare un caso molto particolare: quello in cui l’investitore è interessato<br />
esclusivamente alla minimizzazione del rischio <strong>di</strong> investimento (ossia, il caso <strong>di</strong><br />
massima avversione al rischio da parte dell’investitore). In altri termini, consideriamo un<br />
investitore che si <strong>di</strong>sinteressa completamente del ren<strong>di</strong>mento atteso e vuole investire la<br />
<strong>su</strong>a ricchezza nel portafoglio che gli consente <strong>di</strong> ridurre al minimo il rischio, ossia σ 2 P .8<br />
A tale scopo, in<strong>di</strong>chiamo con a i la porzione <strong>di</strong> ricchezza dell’investitore investita nel<br />
titolo i presente nel portafoglio P (con ∑ n<br />
i=1 a i = 1), con µ i il <strong>su</strong>o tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
e con σ ij ≡ E[(r i − µ i )(r j − µ j )] la covarianza tra il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento del titolo<br />
i e quello del titolo j (anch’esso presente nel portafoglio P ). Allora, il tasso atteso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> P e il <strong>su</strong>o rischio (varianza) possono essere scritti come:<br />
σ 2 P =<br />
µ P =<br />
n∑<br />
i=1<br />
n∑<br />
a i µ i (3.2)<br />
i=1<br />
n∑<br />
a i a j σ ij . 9 (3.3)<br />
j=1<br />
8 Si noti che, in questo caso, l’investitore non sarà mai <strong>di</strong>sponibile a scambiare un maggior rischio <strong>di</strong><br />
investimento con un più elevato ren<strong>di</strong>mento atteso. Formalmente, il saggio marginale <strong>di</strong> sostituzione tra<br />
rischio e ren<strong>di</strong>mento (atteso) per tale investitore è sempre pari a dµ P /dσP<br />
2 = ∞, che implica curve <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>fferenza perfettamente verticali.<br />
9 In generale, la varianza complessiva <strong>di</strong> un portafoglio con n titoli sarà data dalla somma <strong>di</strong> n termini<br />
connessi alle varianze <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> singoli titoli più altri n(n − 1)/2 termini connessi alle covarianze<br />
tra i ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> titoli.<br />
53
II. Portafoglio che minimizza il rischio<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
Esempio 12<br />
Si consideri un portafoglio <strong>di</strong> investimento composto da tre tipi <strong>di</strong> azioni: quelle della<br />
società “1-Alfa”, quelle della società “2-Beta” e quelle della società “3-Gamma” (i =<br />
1, 2, 3). Le quote <strong>dei</strong> tre titoli presenti nel portafoglio sono, rispettivamente, del 20%,<br />
30% e 50%. Supponiamo, inoltre, che i ren<strong>di</strong>menti attesi delle tre azioni, µ 1 , µ 2 e µ 3 ,<br />
siano 10%, 20% e 8% e che le varianze <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti, σ1, 2 σ2 2 e σ3, 2 siano 16, 9, 4. Infine,<br />
consideriamo che le covarianze tra i <strong>di</strong>versi titoli sono, rispettivamente, σ 12 = 3, σ 13 = −2<br />
e σ 23 = 0. Si calcolino il ren<strong>di</strong>mento atteso del portafoglio, µ P , e la <strong>su</strong>a varianza (grado<br />
<strong>di</strong> rischio), σP 2 .<br />
Poiché con tre <strong>di</strong>versi titoli, in generale, abbiamo che:<br />
nel caso del nostro esempio avremo che:<br />
µ P = a 1 µ 1 + a 2 µ 2 + a 3 µ 3<br />
µ P = 0, 2(0, 1) + 0, 3(0, 2) + 0, 5(0, 08) = 0, 12<br />
per cui il ren<strong>di</strong>mento atteso del portafoglio è del 12%.<br />
Nel caso <strong>di</strong> tre titoli la formula generale della varianza <strong>di</strong> portafoglio è data da:<br />
σ 2 P = a 1 a 1 σ 11 + a 2 a 1 σ 21 + a 3 a 1 σ 31 + a 1 a 2 σ 12 + a 2 a 2 σ 22 + a 1 a 3 σ 13 + a 2 a 3 σ 23 + a 3 a 3 σ 33<br />
da cui, considerando che σ ii = σ 2 i<br />
e σ ij = σ ji , otteniamo:<br />
σ 2 P = a 2 1σ 2 1 + a 2 2σ 2 2 + a 2 3σ 2 3 + 2a 1 a 2 σ 12 + 2a 1 a 3 σ 13 + 2a 2 a 3 σ 23 .<br />
Più specificatamente, nel caso del nostro esempio abbiamo che:<br />
σP 2 = 0, 64 + 0, 81 + 1 + 0, 36 − 0, 4 + 0 = 2, 41<br />
per cui la varianza complessiva del portafoglio (che mi<strong>su</strong>ra il <strong>su</strong>o grado <strong>di</strong> rischio) è<br />
2,41.<br />
Si noti <strong>su</strong>bito un aspetto che sarà approfon<strong>di</strong>to dettagliatamente in seguito: in questo<br />
caso il portafoglio “<strong>di</strong>versificato” (cioè composto da tre <strong>di</strong>fferenti azioni) ha un rischio<br />
minore rispetto al caso in cui l’investitore avesse investito tutta la <strong>su</strong>a ricchezza in un<br />
solo tipo <strong>di</strong> azione (infatti, il rischio <strong>di</strong> portafoglio, mi<strong>su</strong>rato dalla rispettiva varianza <strong>dei</strong><br />
ren<strong>di</strong>menti, è pari a 2,41 contro 16, 9 e 4 delle singole azioni).<br />
Per semplificare ulteriormente l’analisi che segue, immaginiamo una situazione in cui<br />
54
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA II. Portafoglio che minimizza il rischio<br />
esistono due soli titoli, ad esempio, le azioni emesse da due <strong>di</strong>stinte società, in cui l’investitore<br />
può investire la <strong>su</strong>a ricchezza. La questione che si pone è dunque: per minimizzare<br />
il rischio <strong>di</strong> investimento, conviene investire in un solo titolo o in entrambe le azioni<br />
E ancora, come si determinano esattamente le quote della ricchezza a <strong>di</strong>sposizione da<br />
destinare ai due titoli finanziari<br />
Consideriamo innanzitutto che, con due sole attività finanziarie, il ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
del portafoglio è µ P = a 1 µ 1 + a 2 µ 2 . Peraltro, nel caso particolare che stiamo adesso<br />
considerando, µ P non è rilevante per l’investitore, in quanto il <strong>su</strong>o solo interesse è il<br />
rischio <strong>di</strong> portafoglio che, con due soli titoli, è mi<strong>su</strong>rato da σP 2 = a2 1σ1 2 + a 2 2σ2 2 + 2a 1 a 2 σ 12 .<br />
È utile, a questo punto, introdurre un concetto <strong>di</strong> statistica particolarmente importante<br />
in campo finanziario: il coefficiente <strong>di</strong> correlazione. In particolare, siamo qui interessati<br />
alla correlazione tra i ren<strong>di</strong>menti delle <strong>di</strong>verse attività finanziarie: nel caso che stiamo<br />
analizzando, il coefficiente <strong>di</strong> correlazione tra i tassi <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>dei</strong> due titoli, in<strong>di</strong>cato<br />
con ρ 12 , è dato da ρ 12 ≡ σ 12 /σ 1 σ 2 (dove σ 1 e σ 2 sono le deviazioni standard <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti<br />
<strong>dei</strong> due titoli). Inoltre, tenendo conto che, con due sole attività finanziarie, abbiamo<br />
a 2 = 1−a 1 , il problema <strong>di</strong> scelta dell’investitore (portafoglio che minimizza il rischio) può<br />
essere così rappresentato:<br />
min<br />
a 1<br />
σ 2 P = a 2 1σ 2 1 + (1 − a 1 ) 2 σ 2 2 + 2a 1 (1 − a 1 )ρ 12 σ 1 σ 2 . (3.4)<br />
Ovviamente, trovando il valore ottimo <strong>di</strong> a 1 che risolve il problema definito dall’espressione<br />
(3.4), è possibile in<strong>di</strong>viduare automaticamente anche il valore <strong>di</strong> a 2 (pari al<br />
complemento a uno rispetto a a 1 ) e quin<strong>di</strong> la composizione del portafoglio che minimizza<br />
il rischio <strong>di</strong> investimento. 10<br />
A tale scopo, occorre calcolare la derivata prima <strong>di</strong> σP<br />
2 rispetto a a 1 e uguagliarla a<br />
zero (con<strong>di</strong>zione del primo or<strong>di</strong>ne):<br />
dσ 2 P<br />
da 1<br />
= 2a 1 σ 2 1 − 2(1 − a 1 )σ 2 2 + 2(1 − 2a 1 )ρ 12 σ 1 σ 2 = 0<br />
da cui, risolvendo per a 1 , otteniamo il <strong>su</strong>o valore ottimo:<br />
a ∗ 1 =<br />
σ 2 2 − ρ 12 σ 1 σ 2<br />
σ 2 1 + σ 2 2 − 2ρ 12 σ 1 σ 2<br />
. (3.5)<br />
Si noti come nel caso in cui un titolo fosse privo <strong>di</strong> rischio (risk-free), la scelta del-<br />
10 Inoltre, poiché a i è la porzione <strong>di</strong> ricchezza spesa dal soggetto per l’acquisto del titolo i, una volta<br />
in<strong>di</strong>viduato a i è semplice in<strong>di</strong>viduare la quantità x i che il soggetto acquista del titolio i. Essa, infatti, è<br />
pari a x i = a i W /p i , dove W e p i sono dati e corrispondono, rispettivamente, alla la ricchezza complessiva<br />
investita dal soggetto e al prezzo <strong>di</strong> mercato del titolo i.<br />
55
II. Portafoglio che minimizza il rischio<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
l’investitore (interessato esclusivamente al rischio <strong>di</strong> investimento) <strong>di</strong>venterebbe banale:<br />
investire tutta la <strong>su</strong>a ricchezza nel titolo privo <strong>di</strong> rischio.<br />
Ciò è chiaramente confermato<br />
dall’Espressione (3.5). Ad esempio, se il titolo privo <strong>di</strong> rischio fosse il titolo 1<br />
(σ 1 = σ 2 1 = 0), dall’Espressione (3.5) otterremmo a ∗ 1 = 1 e, conseguentemente, a ∗ 2 = 0. Al<br />
contrario, se il titolo privo <strong>di</strong> rischio fosse il titolo 2 (σ 2 = σ 2 2 = 0) otterremmo a ∗ 1 = 0 e<br />
a ∗ 2 = 1. Inoltre, in entrambi i casi, il rischio dell’investimento sarebbe ovviamente nullo.<br />
Peraltro, ciò che ri<strong>su</strong>lterà meno banale sarà <strong>di</strong>mostrare, come faremo in seguito, che, in<br />
certe circostanze, grazie alla <strong>di</strong>versificazione <strong>di</strong> portafoglio è possibile azzerare il rischio<br />
<strong>di</strong> investimento anche quando i titoli sono entrambi rischiosi.<br />
Esempio 13<br />
Si consideri un soggetto che intende investire la <strong>su</strong>a ricchezza in titoli azionari emessi<br />
da due <strong>di</strong>stinte società (la società A e la società B) ed immaginiamo che l’investitore<br />
sia interessato esclusivamente a minimizzare il rischio <strong>di</strong> investimento. Quale dovrebbe<br />
essere la composizione ottimale del portafoglio dell’investitore nel caso si abbia σA 2 = 0, 16,<br />
σB 2 = 0, 25 e ρ AB = 0, 25 (cioè i ren<strong>di</strong>menti delle due azioni sono correlati positivamente)<br />
Quale è il grado <strong>di</strong> rischio che l’investitore sopporta in corrispondenza <strong>di</strong> tale portafoglio<br />
Applicando la formula (3.5) è facile calcolare la quota <strong>di</strong> ricchezza che l’investitore<br />
deve spendere, per minimizzare il rischio <strong>di</strong> investimento, nell’acquisto del titolo A. Essa<br />
è data da:<br />
a ∗ A =<br />
0, 25 − 0, 25(0, 4)(0, 5)<br />
0, 16 + 0, 25 − 2(0, 25)(0, 4)(0, 5) = 20<br />
31 .<br />
Per minimizzare il rischio <strong>di</strong> investimento il soggetto deve quin<strong>di</strong> spendere 20/31 della<br />
<strong>su</strong>a ricchezza nell’acquisto delle azioni emesse dalla società A e la restante parte, pari a<br />
11/31, nell’acquisto <strong>di</strong> quelle emesse dalla società B.<br />
Utilizzando i valori ottimali <strong>di</strong> a A e a B nella formula della varianza <strong>di</strong> portafoglio,<br />
otteniamo il rischio associato al portafoglio ottimo:<br />
σ 2 P ∗ =<br />
( ) 2 20<br />
0, 16 +<br />
31<br />
( ) 2 11<br />
0, 25 + 2<br />
31<br />
( 20<br />
31<br />
) ( ) 11<br />
(0, 25)(0, 4)(0, 5) ≃ 0, 121<br />
31<br />
che, anche in questo caso, è inferiore a quello <strong>dei</strong> portafogli con un solo titolo, σ 2 A =<br />
0, 16 e σB 2 = 0, 25.<br />
II.A<br />
Tre casi particolari<br />
In relazione all’Espressione (3.5) è importante analizzare tre casi particolari che ci<br />
consentiranno <strong>di</strong> ottenere alcuni ri<strong>su</strong>ltati particolarmente importanti per quanto concerne<br />
56
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA II. Portafoglio che minimizza il rischio<br />
la possibilità <strong>di</strong> ridurre, tramite un’adeguata <strong>di</strong>versificazione del portafoglio, il rischio <strong>di</strong><br />
investimento; i casi particolari sono quelli in cui il coefficiente <strong>di</strong> correlazione ρ 12 as<strong>su</strong>me<br />
i valori (a) ρ 12 = −1, (b) ρ 12 = 0 e (c) ρ 12 = 1.<br />
Caso a: ρ 12 = −1<br />
Nel caso con ρ 12 = −1, in cui i ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> due titoli sono perfettamente correlati<br />
negativamente, l’Espressione (3.5) <strong>di</strong>venta:<br />
a ∗ 1 =<br />
σ2 2 + σ 1 σ 2<br />
= σ 2(σ 1 + σ 2 )<br />
σ1 2 + σ2 2 + 2σ 1 σ 2 (σ 1 + σ 2 ) = σ 2<br />
(3.6)<br />
2 σ 1 + σ 2<br />
per cui a ∗ 2 = 1 − a ∗ 1 = σ 1<br />
σ 1 +σ 2<br />
.<br />
Sostituendo i valori <strong>di</strong> a ∗ 1 e 1 − a ∗ 1 nella formula della varianza del ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong><br />
portafoglio σ 2 P (con ρ 12 = −1), che compare nell’Espressione (3.4), otteniamo:<br />
σ 2 P ∗ =<br />
( ) (<br />
σ2<br />
2 σ 2<br />
(σ 1 + σ 2 ) 2 σ2 1<br />
σ2<br />
1 +<br />
(σ 1 + σ 2 ) 2 σ2 2 − 2<br />
σ 1 + σ 2<br />
)<br />
σ1<br />
σ 1 + σ 2<br />
σ 1 σ 2 =<br />
= σ2 2σ1<br />
2<br />
(σ 1 + σ 2 ) + σ2 1σ2<br />
2<br />
2 (σ 1 + σ 2 ) − 2 σ1σ 2 2<br />
2 = 0. (3.7)<br />
2 (σ 1 + σ 2 )<br />
2<br />
Si può quin<strong>di</strong> concludere che, in questo caso, tramite un’adeguata <strong>di</strong>versificazione<br />
del portafoglio è ad<strong>di</strong>rittura possibile azzerare il rischio <strong>di</strong> investimento, sebbene i titoli<br />
utilizzati per costruire il portafoglio costituiscano <strong>di</strong> per sé investimenti rischiosi.<br />
Caso b: ρ 12 = 0<br />
Nel caso con ρ 12 = 0, in cui non c’è correlazione tra i ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> due titoli,<br />
l’Espressione (3.5) <strong>di</strong>venta semplicemente:<br />
a ∗ 1 = σ2 2<br />
σ 2 1 + σ 2 2<br />
(3.8)<br />
e quin<strong>di</strong> a ∗ 2 = 1 − a ∗ 1 = σ2 1<br />
.<br />
σ1 2+σ2 2<br />
Sostituendo i valori <strong>di</strong> a ∗ 1 e 1 − a ∗ 1 nella formula della varianza del ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong><br />
portafoglio σ 2 P (con ρ 12 = 0), che compare nell’Espressione (3.4), otteniamo:<br />
( )<br />
σP 2 ∗ σ<br />
2 2 ( )<br />
= 2<br />
σ<br />
σ 2 2 2<br />
σ1 2 + σ2<br />
2 1 + 1<br />
σ 2<br />
σ1 2 + σ2<br />
2 2 = σ4 2σ1 2 + σ1σ 4 2<br />
2 =<br />
(σ1 2 + σ2) 2 2<br />
( )<br />
= σ2 1σ2(σ 2 1 2 + σ2)<br />
2 σ<br />
= σ 2 2<br />
2<br />
(σ1 2 + σ2) 2 2 1<br />
. (3.9)<br />
σ1 2 + σ2<br />
2<br />
)<br />
Innanzitutto si noti che < 1, per cui dall’Espressione (3.9) emerge che σP 2 ∗ <<br />
(<br />
σ 2<br />
2<br />
σ 2 1 +σ2 2<br />
57
II. Portafoglio che minimizza il rischio<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
σ 2 1; il rischio associato al portafoglio (ottimo) “<strong>di</strong>versificato” è sempre inferiore a quello<br />
dell’investimento nel solo titolo 1. Inoltre, considerando<br />
(<br />
che l’Espressione<br />
)<br />
(3.9), nella <strong>su</strong>a<br />
forma finale, può anche essere riscritta come σP 2 ∗ = σ2 2 σ 2<br />
1<br />
(e ricordando nuovamente<br />
σ<br />
)<br />
1 2+σ2 2<br />
che < 1), avremo anche che σP 2 ∗ < σ2.<br />
2<br />
(<br />
σ 2<br />
1<br />
σ 2 1 +σ2 2<br />
In conclusione, quin<strong>di</strong>, anche quando i tassi <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>dei</strong> titoli non sono affatto<br />
correlati, è possibile costruire adeguatamente un portafoglio <strong>di</strong>versificato che consente<br />
sempre <strong>di</strong> ridurre (ma non azzerare) il rischio <strong>di</strong> investimento rispetto a quello<br />
corrispondente a entrambi i soli titoli che lo compongono.<br />
Caso c: ρ 12 = 1<br />
L’ultimo caso particolare da analizzare è quello con ρ 12 = 1 (perfetta correlazione<br />
positiva tra i ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> due titoli). Per stabilire adesso se la <strong>di</strong>versificazione del<br />
portafoglio può consentire <strong>di</strong> ridurre il rischio <strong>di</strong> investimento non è necessario fare riferimento<br />
all’Espressione (3.5), ma è <strong>su</strong>fficiente utilizzare la formula della varianza del<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> portafoglio che, con ρ 12 = 1, è data da:<br />
σP 2 = a 2 1σ1 2 + (1 − a 1 ) 2 σ2 2 + 2a 1 (1 − a 1 )σ 1 σ 2 = (a 1 σ 1 + (1 − a 1 )σ 2 ) 2 (3.10)<br />
che comporta σ P = (a 1 σ 1 + (1 − a 1 )σ 2 ). Ovviamente, la deviazione standard del<br />
ren<strong>di</strong>mento del portafoglio σ P può essere considerata, analogamente alla varianza σP 2 , una<br />
mi<strong>su</strong>ra del rischio <strong>di</strong> portafoglio, nel senso che tanto più grande è σ P , tanto più grande<br />
sarà σ 2 P<br />
e quin<strong>di</strong> il rischio associato al portafoglio P . Inoltre, poiché, con ρ 12 = 1, σ P<br />
è una me<strong>di</strong>a ponderata delle deviazioni standard <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> due titoli, σ 1 e σ 2<br />
(dove i pesi sono rappresentati dalle quote, a 1 e 1 − a 1 ), che ne esprimono il rispettivo<br />
rischio, per una nota proprietà della me<strong>di</strong>a aritmetica, σ P si collocherà necessariamente<br />
tra σ 1 e σ 2 . In particolare, se σ 1 < σ 2 avremo σ 1 < σ P < σ 2 , mentre se σ 1 > σ 2 ri<strong>su</strong>lterà<br />
σ 2 < σ P < σ 1 , per cui in questo caso non sarà mai possibile sfruttare la <strong>di</strong>versificazione del<br />
portafoglio per ridurre il rischio <strong>di</strong> investimento (converrà infatti investire sempre tutta<br />
la propria ricchezza nel solo titolo meno rischioso).<br />
Ovviamente, gli investitori raramente hanno il solo obiettivo <strong>di</strong> ridurre al minimo il<br />
rischio <strong>di</strong> investimento, <strong>di</strong>sinteressandosi completamente del ren<strong>di</strong>mento. Più in generale,<br />
essi ricercano quel portafoglio <strong>di</strong> investimento in grado <strong>di</strong> fornire quel giusto mix tra<br />
ren<strong>di</strong>mento e rischio che meglio sod<strong>di</strong>sfa le loro preferenze. Prima <strong>di</strong> proseguire in tale <strong>di</strong>rezione,<br />
è però opportuno sintetizzare i ri<strong>su</strong>ltati più importanti raggiunti in questa sezione<br />
(si tenga presente che i ri<strong>su</strong>ltati relativi ai tre casi particolari, analizzati in un contesto<br />
semplificato con due soli titoli, possono essere estesi e valgono anche in un contesto più<br />
generale con n titoli), dal momento che torneranno poi utili anche nell’analisi <strong>su</strong>ccessiva:<br />
58
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA III. Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli rischiosi<br />
• tramite un’adeguata <strong>di</strong>versificazione <strong>di</strong> portafoglio è generalmente (ma non<br />
sempre) possibile ridurre il rischio <strong>di</strong> investimento rispetto a quello delle singole<br />
attività possedute in portafoglio;<br />
• a parità <strong>di</strong> altre con<strong>di</strong>zioni, tanto più c’è correlazione positiva tra i tassi <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
delle attività facenti parte del portafoglio <strong>di</strong> investimento, tanto maggiore è<br />
il rischio ad esso associato (tale affermazione può essere chiaramente verificata utilizzando<br />
l’espressione generale (3.3) per il rischio (varianza) <strong>di</strong> portafoglio, riscritta<br />
utilizzando i coefficienti <strong>di</strong> correlazione tra i ren<strong>di</strong>menti: σP<br />
2 = ∑ ∑<br />
i j a ia j ρ ij σ i σ j ;<br />
poiché il coefficiente <strong>di</strong> correlazione as<strong>su</strong>me valori compresi tra ±1, il rischio (varianza)<br />
<strong>di</strong> portafoglio sarà tanto maggiore tanto più i vari ρ ij tendono al loro valore<br />
massimo (+1) e tanto minore tanto più essi tendono al loro valore minimo (-1));<br />
• nel caso <strong>di</strong> correlazione negativa perfetta tra i tassi <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento delle attività<br />
finanziarie ( ρ ij = −1), tramite un’adeguata <strong>di</strong>versificazione del portafoglio è perfino<br />
possibile ridurre a zero il rischio <strong>di</strong> investimento.<br />
III Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli finanziari rischiosi (e<br />
assenza <strong>di</strong> titoli privi <strong>di</strong> rischio)<br />
III.A<br />
Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con n = 2 titoli rischiosi<br />
Iniziamo adesso l’analisi che consentirà <strong>di</strong> definire scelta ottima dell’investitore (quando<br />
è interessato non solo al rischio, ma anche al ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> portafoglio). Per in<strong>di</strong>viduare<br />
l’insieme <strong>di</strong> scelta dell’investitore, cioè i possibili portafogli <strong>di</strong> investimento tra cui sceglie<br />
quello preferito, il primo passo da compiere è quello <strong>di</strong> costruire la cosiddetta frontiera<br />
<strong>dei</strong> portafogli (portfolio frontier) o frontiera rischio-ren<strong>di</strong>mento, che, in termini<br />
generali, può essere definita nel modo seguente:<br />
Definizione 8 (Frontiera <strong>dei</strong> portafogli)<br />
La frontiera <strong>dei</strong> portafogli (o frontiera rischio-ren<strong>di</strong>mento) in<strong>di</strong>vidua tutti i portafogli<br />
(combinazioni <strong>di</strong> titoli o attività finanziarie) che consentono all’investitore <strong>di</strong> ottenere un<br />
certo tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento al rischio più basso.<br />
In sostanza, la frontiera <strong>dei</strong> portafogli in<strong>di</strong>vidua i portafogli <strong>di</strong> investimento che un<br />
con<strong>su</strong>lente finanziario dovrebbe proporre al nostro investitore (avverso al rischio) in base<br />
al ren<strong>di</strong>mento atteso da lui richiesto al con<strong>su</strong>lente. A tale riguardo, si noti innanzitutto<br />
una cosa: a <strong>di</strong>fferenza del caso analizzato nella sezione precedente, in cui l’investitore<br />
si <strong>di</strong>sinteressava completamente del ren<strong>di</strong>mento atteso e si preoccupava solo del rischio<br />
59
III. Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli rischiosi<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
µ P<br />
ρ 12 = -1<br />
P 1<br />
P Z<br />
ρ 12 = 1<br />
P 2<br />
σ P<br />
Figura 3.2: Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con due titoli rischiosi<br />
dell’investimento, con la frontiera <strong>dei</strong> portafogli è possibile in<strong>di</strong>viduare la combinazione <strong>di</strong><br />
titoli che consente <strong>di</strong> minimizzare il rischio, ma in relazione ad un dato tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
che l’investitore si prefigge <strong>di</strong> conseguire.<br />
Procederemo nella costruzione della frontiera <strong>di</strong> portafoglio per tappe <strong>su</strong>ccessive. In<br />
primo luogo, continuiamo per il momento a considerare il caso particolare <strong>di</strong> un’economia<br />
con due soli titoli finanziari as<strong>su</strong>mendo che si tratti <strong>di</strong> titoli rischiosi (ad esempio, azioni<br />
<strong>di</strong> due società). Inoltre, seguendo una prassi consolidata, esprimeremo adesso il rischio <strong>di</strong><br />
portafoglio in termini <strong>di</strong> deviazione standard (σ P ) piuttosto che in termini <strong>di</strong> varianza (σ 2 P )<br />
<strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti. Ai nostri scopi, poiché la varianza è il quadrato della deviazione standard,<br />
ciò non produrrà alcun rilevante cambiamento. 11 In generale, la frontiera <strong>dei</strong> portafogli per<br />
il caso particolare che stiamo considerando, ossia <strong>di</strong> sole due attività rischiose, as<strong>su</strong>merà<br />
la forma grafica rappresentata dalla curva in grassetto che unisce i punti P 1 e P 2 in Figura<br />
3.2.<br />
I punti P 1 e P 2 rappresentano i due portafogli in cui l’investitore investe tutta la<br />
<strong>su</strong>a ricchezza, rispettivamente, nelle azioni della prima società e in quelle della seconda<br />
società. Ogni punto <strong>su</strong>lla curva che unisce i due punti rappresenta invece un portafoglio<br />
per cui l’investitore spende la <strong>su</strong>a ricchezza per acquistare, in una certa combinazione,<br />
sia azioni della prima che della seconda società. Inoltre, in base alla Definizione 8, ogni<br />
11 In particolare, poiché la costruzione della frontiera <strong>dei</strong> portafogli implica la minimizzazione del rischio<br />
(per ogni dato livello <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso), minimizzare rispetto alla deviazione standard è equivalente<br />
a farlo rispetto alla varianza.<br />
60
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA III. Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli rischiosi<br />
punto <strong>su</strong>lla frontiera in<strong>di</strong>vidua il portafoglio che consente <strong>di</strong> ottenere un dato (tasso <strong>di</strong>)<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso (µ P <strong>su</strong>ll’asse verticale) al rischio più basso (espresso dal corrispondente<br />
valore <strong>di</strong> σ P <strong>su</strong>ll’asse orizzontale).<br />
Per chiarire ulteriormente come la frontiera <strong>di</strong> portafoglio è stata costruita in Figura<br />
3.2, può essere utile considerare che ogni frontiera è <strong>di</strong>segnata per un dato valore del<br />
coefficiente <strong>di</strong> correlazione tra i ren<strong>di</strong>menti delle due azioni e in<strong>di</strong>viduare la forma della<br />
frontiera per i due casi particolari (estremi) in cui i ren<strong>di</strong>menti sono perfettamente correlati<br />
positivamente e negativamente (ρ 12 = ±1). A seconda del caso, in tali circostanze la<br />
deviazione standard del portafoglio è pari a:<br />
σ P =| a 1 σ 1 ± (1 − a 1 )σ 2 | . 12<br />
Consideriamo dapprima il caso con perfetta correlazione positiva per cui σ P = a 1 σ 1 +<br />
(1 − a 1 )σ 2 ; in questo caso, come abbiamo già analizzato nella Sezione II.A, la deviazione<br />
standard del generico portafoglio P , in cui sono presenti contemporaneamente sia azioni<br />
della prima che della seconda società (0 < a 1 < 1), è una combinazione lineare convessa<br />
delle deviazioni standard <strong>dei</strong> due portafogli “estremi” (in cui sono presenti azioni <strong>di</strong> una<br />
sola società). Inoltre, poiché la stessa cosa vale per il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso del<br />
portafoglio, µ P = a 1 µ 1 + (1 − a 1 )µ 2 ), la frontiera <strong>dei</strong> portafogli è rappresentata, in Figura<br />
3.2, dal segmento tratteggiato che unisce i portafogli P 1 e P 2 .<br />
Consideriamo adesso il caso con perfetta correlazione negativa. In tale circostanza,<br />
dalla sezione precedente, sappiamo che tramite un’adeguata composizione (<strong>di</strong>versificazione)<br />
<strong>di</strong> portafoglio è ad<strong>di</strong>rittura possibile azzerare il rischio <strong>di</strong> investimento. Graficamente,<br />
ciò comporta che la frontiera <strong>di</strong> portafoglio che unisce i punti P 1 e P 2 passi per un punto<br />
(portafoglio) <strong>su</strong>ll’asse delle or<strong>di</strong>nate (dove abbiamo σ P = 0). Immaginiamo che tale portafoglio<br />
sia il punto in<strong>di</strong>cato con la lettera P Z in Figura 3.2. Per cui, tenendo conto che<br />
con ρ 12 = −1 la frontiera è lineare e che, per definizione, σ P non può essere negativa, la<br />
frontiera <strong>dei</strong> portafogli che unisce P 1 e P 2 , nel caso <strong>di</strong> perfetta correlazione negativa, avrà<br />
la forma rappresentata, in Figura 3.2, dalla spezzata P 1 P Z P 2 .<br />
Ovviamente per valori interme<strong>di</strong> <strong>di</strong> ρ 12 (−1 < ρ 12 < 1) la frontiera (che non sarà<br />
più lineare) si troverà “nel mezzo” alle forme as<strong>su</strong>nte nei due casi estremi, collocandosi<br />
all’interno del triangolo che unisce i punti P 1 , P Z e P 2 e potendo, quin<strong>di</strong>, as<strong>su</strong>mere (per<br />
un dato valore <strong>di</strong> ρ 12 ) la forma della curva in grassetto rappresentata in Figura 3.2.<br />
12 Tale formula si ottiene considerando che, con due titoli e ρ 12 = ±1, la varianza <strong>di</strong> portafoglio è<br />
σ 2 P = a2 1σ 2 1 + (1 − a 1 ) 2 σ 2 2 ± 2a 1 (1 − a 1 )σ 1 σ 2 , che può essere riscritta come σ 2 P = (a 1σ 1 ± (1 − a 1 )σ 2 ) 2 .<br />
La formula in questione si ricava, dunque, considerando che la deviazione standard (che, per definizione,<br />
non può essere negativa) è la ra<strong>di</strong>ce quadrata della varianza.<br />
61
III. Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli rischiosi<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
µ P<br />
P X<br />
P 1<br />
P S<br />
P E<br />
P MR<br />
P 2<br />
σ P<br />
Figura 3.3: Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con short-sales<br />
Prima <strong>di</strong> estendere il caso qui analizzato, è importante approfon<strong>di</strong>re alcuni altri aspetti<br />
connessi a tale economia (con due sole attività finanziarie rischiose). In Figura 3.2 la frontiera<br />
<strong>dei</strong> portafogli che unisce i punti P 1 e P 2 non “prosegue” oltre quelli. In altri termini,<br />
se l’investitore decide <strong>di</strong> investire tutta la <strong>su</strong>a ricchezza nell’acquisto <strong>di</strong> un solo tipo <strong>di</strong><br />
azione, ne potrà acquistare un numero massimo pari a W /p i (con W la ricchezza iniziale<br />
dell’investitore e p i il prezzo <strong>di</strong> mercato dell’azione i) e non più <strong>di</strong> quello. In generale,<br />
tutto ciò appare sensato, ma nell’ambito <strong>dei</strong> mercati finanziari esiste uno “strumento” che<br />
può permettere <strong>di</strong> aggirare il vincolo della ricchezza iniziale dell’investitore e consentirgli<br />
<strong>di</strong> costruirsi un portafoglio con un numero <strong>di</strong> azioni <strong>su</strong>periore a quello massimo che la <strong>su</strong>a<br />
ricchezza iniziale gli avrebbe permesso <strong>di</strong> acquistare: si tratta delle cosiddette ven<strong>di</strong>te<br />
allo scoperto (short-sales).<br />
Tramite le ven<strong>di</strong>te allo scoperto un investitore può vendere <strong>dei</strong> titoli che non possiede<br />
(prendendoli a prestito, ad esempio, da un operatore finanziario) per poi riacquistarli e<br />
restituirli alla scadenza pattuita (per tale motivo, analogamente ai contratti a termine, si<br />
parla <strong>di</strong> posizione corta per l’investitore che deve restituire i titoli ottenuti in prestito).<br />
Nel caso particolare che stiamo considerando, tramite le ven<strong>di</strong>te allo scoperto, l’investitore<br />
può utilizzare il ricavato derivante dalla ven<strong>di</strong>ta allo scoperto <strong>di</strong> un certo tipo <strong>di</strong> azione<br />
per acquistare un numero maggiore, rispetto a quello che si sarebbe potuto permettere<br />
62
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA III. Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli rischiosi<br />
con la <strong>su</strong>a sola ricchezza iniziale, dell’altro tipo. 13<br />
La Figura 3.3 estende la frontiera <strong>dei</strong><br />
portafogli vista precedentemente al caso in cui sono ammesse ven<strong>di</strong>te <strong>di</strong> azioni allo scoperto.<br />
In particolare, poiché attraverso le ven<strong>di</strong>te allo scoperto è possibile costruirsi <strong>dei</strong><br />
portafogli <strong>di</strong> investimento, e quin<strong>di</strong> raggiungere combinazioni rischio-ren<strong>di</strong>mento (graficamente,<br />
punti nel piano σ P − µ P ), che non si potevano ottenere senza tale strumento,<br />
la frontiera comprenderà adesso nuovi portafogli (come quello in<strong>di</strong>cato con P S ) che si<br />
collocano “oltre” i punti P 1 e P 2 e che, quin<strong>di</strong>, non facevano parte della frontiera rappresentata<br />
in Figura 3.2, in cui le ven<strong>di</strong>te allo scoperto non erano ammesse. Si noti, peraltro,<br />
che, anche utilizzando le ven<strong>di</strong>te allo scoperto, non tutti portafogli (combinazioni rischioren<strong>di</strong>mento)<br />
sono “raggiungibili” dall’investitore; ad esempio, date le caratteristiche, in<br />
termini <strong>di</strong> tassi attesi <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, varianze e covarianze, <strong>dei</strong> titoli <strong>di</strong>sponibili (il titolo<br />
1 e il titolo 2) per formare portafogli <strong>di</strong> investimento, la combinazione rischio-ren<strong>di</strong>mento<br />
rappresentata dal portafoglio P X non è conseguibile.<br />
Un altro importante portafoglio rappresentato in Figura 3.3 è il punto P MR . Esso,<br />
infatti, è il portafoglio con minor rischio (σ P più basso) tra tutti quelli situati <strong>su</strong>lla<br />
frontiera. Si noti la <strong>di</strong>fferenza tra questo e qualsiasi altro portafoglio <strong>su</strong>lla frontiera:<br />
mentre in ogni altro portafoglio <strong>di</strong>verso da P MR il rischio <strong>di</strong> investimento è minimizzato<br />
per un dato ren<strong>di</strong>mento atteso, il portafoglio P MR è quello che minimizza il rischio <strong>di</strong><br />
investimento in<strong>di</strong>pendentemente dal ren<strong>di</strong>mento. In sostanza, il portafoglio P MR corrisponde<br />
a quello in<strong>di</strong>viduato nella Sezione II, che sceglierebbe un investitore interessato<br />
esclusivamente alla minimizzazione del rischio.<br />
Un ultimo importante aspetto da sottolineare riguarda la relazione tra i portafogli<br />
situati nel tratto crescente e quelli situati nel tratto decrescente della frontiera. A tale<br />
riguardo, si considerino i portafogli P 2 e P E in Figura 3.3: essi sono caratterizzati dallo<br />
stesso rischio, ma P E fornisce un ren<strong>di</strong>mento atteso maggiore <strong>di</strong> P 2 . Per tale motivo,<br />
pur essendo situati entrambi <strong>su</strong>lla frontiera, solo P E è un portafoglio efficiente.<br />
particolare, un portafoglio efficiente può essere definito nel modo seguente:<br />
Definizione 9 (Portafoglio efficiente)<br />
Un portafoglio P si definisce efficiente se massimizza il tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento µ P per<br />
13 In generale le ven<strong>di</strong>te allo scoperto sono utilizzate nei mercati finanziari dagli investitori per ottenere<br />
<strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti aggiuntivi. Ad esempio, se un soggetto si aspetta che un certo titolo possa <strong>su</strong>bire in<br />
futuro una riduzione <strong>di</strong> prezzo, avrà interesse a farselo prestare per rivenderlo imme<strong>di</strong>atamente. Se le<br />
<strong>su</strong>e previsioni si rivelano poi corrette, potrà riacquistarlo in futuro al prezzo più basso per restituirlo al<br />
possessore originario, lucrando così <strong>su</strong>lla <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> prezzo. Ovviamente, colui che presta titoli ad un<br />
altro soggetto, generalmente, richiederà in cambio il pagamento <strong>di</strong> una commissione, che, peraltro, non<br />
sarà considerata espressamente nella nostra analisi (ciò non produce importanti conseguenze <strong>su</strong>i ri<strong>su</strong>ltati<br />
che analizzeremo). Infine, occorre sottolineare che, anche per i rischi che tale pratica può implicare, la<br />
possibilità <strong>di</strong> effettuare ven<strong>di</strong>te allo scoperto è generalmente assoggettata a precisi vincoli istituzionali e<br />
non tutti gli operatori finanziari possono ricorrere abitualmente a tale strumento.<br />
63<br />
In
III. Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli rischiosi<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
un dato grado <strong>di</strong> rischio σ P .<br />
L’insieme (o frontiera) <strong>dei</strong> portafogli efficienti coincide con il tratto crescente<br />
(a partire dal portafoglio P MR ) della frontiera <strong>dei</strong> portafogli. Come avremo modo <strong>di</strong><br />
vedere in seguito, quando gli investitori hanno preferenze che sod<strong>di</strong>sfano il criterio me<strong>di</strong>avarianza,<br />
sceglieranno sempre un portafoglio <strong>di</strong> investimento che appartiene all’insieme<br />
<strong>dei</strong> portafogli efficienti.<br />
III.B<br />
Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con n > 2 titoli rischiosi<br />
La prima estensione della semplice economia con due attività finanziarie rischiose, che<br />
abbiamo analizzato nella sezione precedente, consiste nell’introdurre un numero n > 2 <strong>di</strong><br />
titoli finanziari, tra cui l’investitore può scegliere. Manteniamo per il momento, invece,<br />
l’ipotesi che si tratti <strong>di</strong> tutti titoli rischiosi (ad esempio, tutte azioni <strong>di</strong> n <strong>di</strong>stinte società).<br />
Ovviamente la prima questione da affrontare è come la frontiera <strong>dei</strong> portafogli cambi<br />
rispetto al caso con due sole azioni. A tale proposito, una prima intuizione <strong>di</strong> come sia fatta<br />
la frontiera <strong>di</strong> portafoglio con n > 2 azioni si può ottenere considerando che all’aumentare<br />
del numero delle azioni aumenta la possibilità dell’investitore <strong>di</strong> <strong>di</strong>versificare il proprio<br />
portafoglio <strong>di</strong> investimento. Ciò, come abbiamo visto, può consentire <strong>di</strong> ridurne il rischio.<br />
In altri termini, all’aumentare del numero <strong>dei</strong> titoli <strong>di</strong>sponibili, è possibile investire la<br />
ricchezza <strong>di</strong>sponibile in modo da ottenere un certo ren<strong>di</strong>mento (atteso) con un rischio<br />
più basso. Graficamente, ciò implica che, in generale, all’umentare <strong>di</strong> n la frontiera <strong>di</strong><br />
portafoglio si sposta sempre più verso l’asse delle or<strong>di</strong>nate (valori sempre più bassi <strong>di</strong> σ P<br />
per dati valori <strong>di</strong> µ P ). 14<br />
Per approfon<strong>di</strong>re graficamente ulteriormente la cosa, consideriamo la Figura 3.4. In<br />
essa è riportata nuovamente la frontiera <strong>dei</strong> portafogli costruita con due soli titoli finanziari<br />
rischiosi, che comprende i portafogli P 1 e P 2 . Il portafoglio P C , che appartiene anch’esso<br />
a quella frontiera, è, quin<strong>di</strong>, un portafoglio ottenuto con una data combinazione delle<br />
azioni delle due società <strong>di</strong> partenza. Immaginiamo adesso che l’investitore possa scegliere<br />
tra tre azioni e che, in virtù <strong>di</strong> ciò, il portafoglio P 3 sia per lui una scelta possibile. In<br />
particolare, “acquistando” il portafoglio P 3 , egli investe tutta la <strong>su</strong>a ricchezza nell’acquisto<br />
delle azioni <strong>di</strong> una terza società. Inoltre, adesso è anche possibile costruire nuovi portafogli<br />
<strong>di</strong>versificati che contengono azioni della terza società. Ad esempio, il portafoglio P D è<br />
ottenuto combinando in certe proporzioni le azioni della terza società con quelle della<br />
seconda società (si collocherebbe, quin<strong>di</strong>, <strong>su</strong>lla frontiera <strong>dei</strong> portafogli dell’“economia”<br />
14 Più rigorosamente, la frontiera <strong>dei</strong> portafogli non si sposta mai verso destra (non si allontana mai<br />
dall’asse delle or<strong>di</strong>nate) all’aumentare <strong>di</strong> n. Lo spostamento verso sinistra, infatti, potrebbe non realizzarsi<br />
con l’introduzione nell’insieme <strong>di</strong> scelta <strong>di</strong> nuovi titoli, i cui ren<strong>di</strong>menti sono perfettamente correlati<br />
positivamente con quelli <strong>di</strong> attività finanziarie ottenute come combinazioni <strong>di</strong> titoli già presenti.<br />
64
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA III. Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli rischiosi<br />
µ P<br />
P C<br />
P 1<br />
P 2<br />
P D<br />
P 3<br />
σ P<br />
Figura 3.4: Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con tre titoli rischiosi<br />
in cui fossero presenti solo titoli <strong>di</strong> tali società). Allora, lo stesso ragionamento che, a<br />
partire dai portafogli P 1 e P 2 , avevamo utilizzato per costruire la frontiera <strong>dei</strong> portafogli<br />
nella Sezione III.A, può essere adesso ripetuto partendo da P C e P D , costruendo così<br />
portafogli in cui sono contenute contemporaneamente azioni <strong>di</strong> tutte e tre le società: ciò<br />
che otteniamo è la frontiera in grassetto <strong>di</strong> Figura 3.4, la quale, come ci attendevamo,<br />
si colloca, per ogni dato valore <strong>di</strong> µ P , “più vicina” (o, in generale, “non più lontana”)<br />
all’asse delle or<strong>di</strong>nate rispetto a quelle con due sole attività finanziarie. Inoltre, come per<br />
il caso con due soli titoli, l’insieme <strong>dei</strong> portafogli efficienti coincide con il tratto crescente<br />
della frontiera.<br />
L’idea <strong>di</strong> come si costruisce la frontiera <strong>dei</strong> portafogli con n attività rischiose si può<br />
esprimere anche in termini analitici. Come abbiamo avuto più volte modo <strong>di</strong> ricordare,<br />
ogni portafoglio <strong>su</strong>lla frontiera rappresenta la combinazione <strong>di</strong> titoli o attività finanziarie<br />
che minimizza il rischio <strong>di</strong> investimento σP<br />
2 (o, equivalentemente, σ P ) per ogni dato<br />
livello <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento (atteso) µ P . Formalmente, un portafoglio <strong>su</strong>lla frontiera può essere<br />
in<strong>di</strong>viduato dalla combinazione <strong>di</strong> titoli espressa dalle quote (a 1 , a 2 , ..., a n ) che sod<strong>di</strong>sfano<br />
il problema seguente:<br />
65
IV. Titoli rischiosi e un titolo privo <strong>di</strong> rischio<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
min<br />
(a 1 ,a 2 ,...,a σ2 P =<br />
n)<br />
n∑<br />
i=1<br />
n∑<br />
a i a j σ ij (3.11)<br />
j=1<br />
s. a:<br />
n∑<br />
a i µ i = µ P (3.12)<br />
i=1<br />
n∑<br />
a i = 1. (3.13)<br />
i=1<br />
In particolare, i Vincoli (3.12) e (3.13) esprimono, rispettivamente, che: i) il portafoglio<br />
in<strong>di</strong>viduato dalla soluzione del problema minimizza il rischio <strong>di</strong> investimento dato un certo<br />
tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento (obiettivo) µ P che l’investitore intende realizzare, e ii) la somma<br />
delle quote <strong>di</strong> ricchezza investita nei vari titoli è pari a uno. Si noti che, quando sono<br />
ammesse ven<strong>di</strong>te allo scoperto, per alcuni titoli potrà anche ri<strong>su</strong>ltare a i > 1. Ovviamente,<br />
a fronte <strong>di</strong> ciò, per qualche altro titolo (venduto allo scoperto) j ≠ i dovrà ri<strong>su</strong>ltare a j < 0.<br />
Nel caso, invece, le ven<strong>di</strong>te allo scoperto fossero vietate, un ulteriore vincolo andrebbe<br />
inserito nel problema <strong>di</strong> minimizzazione, ossia a i ≥ 0, ∀i.<br />
Dalla soluzione matematica del Problema (3.11), sotto i Vincoli (3.12) e (3.13), sarà<br />
possibile in<strong>di</strong>viduare (dalle quote <strong>di</strong> ricchezza investite nei vari titoli) un portafoglio che<br />
appartiene alla frontiera. Ripetendo tale proce<strong>di</strong>mento per ogni possibile valore “obiettivo”<br />
del ren<strong>di</strong>mento (atteso) µ P , otterremo tutti i portafogli (uno per ogni µ P ) che<br />
costituiscono la frontiera.<br />
IV<br />
Frontiera <strong>dei</strong> portafogli con titoli finanziari rischiosi e un<br />
titolo privo <strong>di</strong> rischio<br />
Intoduciamo adesso nell’economia, insieme ai titoli finanziari rischiosi, un’attività<br />
priva <strong>di</strong> rischio (risk-free), ad esempio un deposito bancario o un titolo obbligazionario<br />
“sicuro” emesso dallo Stato (ad esempio un BOT). 15 A tale riguardo, consideriamo,<br />
innanzitutto, che introdurre la presenza <strong>di</strong> tale titolo può consentire ai soggetti, non solo<br />
la possibilità <strong>di</strong> investire i loro risparmi (concedendo così prestito ad altri soggetti) in<br />
un’attività senza rischio, ma anche quella <strong>di</strong> prendere denaro a prestito (ad esempio, da<br />
una banca) al tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento, o <strong>di</strong> interesse, privo <strong>di</strong> rischio.<br />
15 Si noti che se, da un lato, è del tutto sensato considerare senza rischio tali investimenti qualora<br />
si faccia riferimento al ren<strong>di</strong>mento nominale, d’altro lato, la questione ri<strong>su</strong>lta senz’altro più <strong>di</strong>scutibile<br />
in relazione al ren<strong>di</strong>mento reale (in quanto l’inflazione potrebbe ri<strong>su</strong>ltare un fenomeno particolarmente<br />
incerto e complesso da prevedere).<br />
66
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA IV. Titoli rischiosi e un titolo privo <strong>di</strong> rischio<br />
Se in<strong>di</strong>chiamo con r 0 il tasso effettivo <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento del titolo privo <strong>di</strong> rischio, chiaramente,<br />
avremo che µ 0 ≡ E[r 0 ] = r 0 e σ0 2 = σ 0 = 0, dove µ 0 , σ0 2 e σ 0 rappresentano,<br />
rispettivamente, il tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento dell’attività priva <strong>di</strong> rischio, la <strong>su</strong>a varianza<br />
e la <strong>su</strong>a deviazione standard.<br />
Adesso, è possibile affermare che la frontiera <strong>dei</strong> portafogli in un’economia in cui sono<br />
presenti attività finanziarie rischiose e un titolo privo <strong>di</strong> rischio è una semiretta inclinata<br />
positivamente che origina dall’asse delle or<strong>di</strong>nate. Per <strong>di</strong>mostrare tale affermazione,<br />
immaginiamo che l’investitore abbia, in qualche modo (possibilmente, ma non necessariamente,<br />
in modo efficiente), già in<strong>di</strong>viduato un portafoglio <strong>di</strong> investimento composto da<br />
sole attività rischiose: in<strong>di</strong>chiamo con P R tale portafoglio (con µ R e σR 2 , rispettivamente,<br />
il <strong>su</strong>o tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento e la varianza). Ammettiamo che adesso si apra la possibilità<br />
<strong>di</strong> investire anche nel titolo privo <strong>di</strong> rischio. A partire dal portafoglio P R , quin<strong>di</strong>,<br />
l’investitore può adesso costruirsi un nuovo portafoglio in cui sono presenti sia attività<br />
rischiose che l’attività priva <strong>di</strong> rischio. Più specificatamente, egli ha adesso la possibilità<br />
<strong>di</strong> scegliere quanto della <strong>su</strong>a ricchezza mantenere investita nel portafoglio P R e quanto,<br />
viceversa, <strong>di</strong>sinvestire da P R e destinare all’acquisto del titolo privo <strong>di</strong> rischio.<br />
In<strong>di</strong>chiamo con a 0 la quota <strong>di</strong> ricchezza <strong>di</strong>sinvestita da P R per l’acquisto del titolo<br />
risk-free e con P il nuovo generico portafoglio “costruito” dall’investitore combinando il<br />
portafoglio rischioso P R con il titolo risk-free. Tenendo presente che la covarianza e, quin<strong>di</strong>,<br />
il coefficiente <strong>di</strong> correlazione tra i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> un’attività priva <strong>di</strong> rischio e un qualsiasi<br />
altro portafoglio <strong>di</strong> investimento sono pari a zero, avremo, allora, che il ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
e il rischio del portafoglio P saranno dati, rispettivamente, da:<br />
µ P = a 0 r 0 + (1 − a 0 )µ R (3.14)<br />
σ 2 P = (1 − a 0 ) 2 σ 2 R. (3.15)<br />
come:<br />
L’Espressione (3.15) implica, chiaramente, σ P<br />
= (1 − a 0 )σ R , che possiamo riscrivere<br />
1 − a 0 = σ P<br />
σ R<br />
(3.16)<br />
da cui si ottiene:<br />
a 0 = σ R − σ P<br />
σ R<br />
(3.17)<br />
Sostituendo per a 0 e 1 − a 0 (Espressioni (3.17) e (3.16)) nell’Equazione (3.14), tramite<br />
semplici passaggi algebrici, otteniamo:<br />
67
IV. Titoli rischiosi e un titolo privo <strong>di</strong> rischio<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
µ P = r 0 +<br />
( )<br />
µR − r 0<br />
σ P . (3.18)<br />
σ R<br />
L’Espressione (3.18) esprime il fatto che, per portafogli <strong>di</strong> investimento in cui sono<br />
presenti attività rischiose e un’attività priva <strong>di</strong> rischio, vale sempre una relazione lineare<br />
tra il tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento (µ P ) e la deviazione standard, ossia il rischio, del<br />
portafoglio (σ P ).<br />
Poiché, per costruzione, l’Equazione (3.18) vale per ogni generico portafoglio P (con<br />
titoli rischiosi e un titolo privo <strong>di</strong> rischio), essa può essere riscritta più in generale come<br />
µ P = a + bσ P (con a = r 0 e b = (µ R − r 0 )/σ R ) da cui emerge chiaramente come tutti i<br />
portafogli costruiti combinando, in proporzioni <strong>di</strong>fferenti, un portafoglio <strong>di</strong> titoli rischiosi<br />
(P R ) con il titolo privo <strong>di</strong> rischio si collochino <strong>su</strong> una semiretta con intercetta positiva<br />
<strong>su</strong>ll’asse delle or<strong>di</strong>nate pari a r 0 (il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento dell’attività priva <strong>di</strong> rischio) e<br />
inclinazione data da (µ R − r 0 )/σ R .<br />
A tale riguardo, si noti anche che, dal momento<br />
che nes<strong>su</strong>no avrebbe convenienza a detenere attività rischiose se il titolo senza rischio<br />
offrisse anche un ren<strong>di</strong>mento <strong>su</strong>periore, in generale, ha senso concentrarsi esclusivamente<br />
<strong>su</strong>i portafogli che si collocano <strong>su</strong>lle semirette per cui vale µ R −r 0 > 0, le semirette, cioè, con<br />
inclinazione positiva (si ricor<strong>di</strong> che la deviazione standard, σ P , è positiva per definizione).<br />
Ciò esprime chiaramente la presenza <strong>di</strong> un trade-off tra ren<strong>di</strong>mento e rischio: i portafogli<br />
con un ren<strong>di</strong>mento (atteso) più alto presenteranno anche un maggiore rischio. 16<br />
A tal punto, si tratta <strong>di</strong> stabilire quale, tra le tante semirette che originano da r 0 e che<br />
si ottengono combinando il titolo risk-free con i <strong>di</strong>versi portafogli rischiosi, costituisca la<br />
frontiera <strong>dei</strong> portafogli efficienti. A tale riguardo si consideri la Figura 3.5 dove è riportato<br />
il portafoglio P 0 riferito a un investimento in cui tutta la ricchezza dell’investitore è spesa<br />
per acquistare l’attività priva <strong>di</strong> rischio: le <strong>su</strong>e coor<strong>di</strong>nate, infatti, sono µ 0 = r 0 e σ 0 = 0.<br />
P R e P T , invece, sono due portafogli in cui l’investitore spende, in proporzioni <strong>di</strong>verse,<br />
tutta la <strong>su</strong>a ricchezza nell’acquisto <strong>di</strong> soli titoli rischiosi (si noti che tali portafogli si<br />
collocano <strong>su</strong>l tratto crescente della frontiera <strong>dei</strong> portafogli con soli titoli rischiosi per<br />
cui, se non fosse presente il titolo risk-free, sarebbero entrambi portafogli efficienti). Le<br />
due semirette che originano da P 0 e passano per P R e P T rappresentano, dunque, tutti i<br />
portafogli che si ottengono combinando, in proporzioni <strong>di</strong>fferenti, il titolo privo <strong>di</strong> rischio<br />
e, rispettivamente, i (le combinazioni <strong>di</strong> titoli presenti nei) portafogli rischiosi P R e P T . 17<br />
16 Più specificatamente, in base all’Espressione (3.18), µ P cresce al crescere del rapporto σ P /σ R . Ciò<br />
ha chiaramente senso: poiché, come abbiamo visto, σ P /σ R è uguale a (1 − a 0 ), che rappresenta la<br />
quota <strong>di</strong> titoli rischiosi presenti nel portafoglio P , al crescere <strong>di</strong> tale quota aumenta il ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
dell’investimento µ P in quanto µ R > r 0 .<br />
17 A questo punto si potrebbe porre la seguente domanda: consideriamo, ad esempio, la semiretta<br />
passante per P R (<strong>di</strong>scorso analogo potrebbe essere fatto per quella passante per P T ); se in P 0 l’investitore<br />
spende tutta la <strong>su</strong>a ricchezza per acquistare il titolo risk-free, in P R spende tutta la <strong>su</strong>a ricchezza per<br />
68
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA IV. Titoli rischiosi e un titolo privo <strong>di</strong> rischio<br />
µ P<br />
P D<br />
P T<br />
P 0<br />
P R<br />
r 0<br />
σ P<br />
Figura 3.5: Frontiera <strong>dei</strong> portafogli efficienti con titoli rischiosi e un titolo privo <strong>di</strong> rischio<br />
Peraltro, è facile mostrare che per ogni portafoglio situato <strong>su</strong>lla semiretta passante per<br />
P R , esiste un altro portafoglio <strong>su</strong> quella passante per P T che:<br />
i. consente <strong>di</strong> ottenere un dato ren<strong>di</strong>mento atteso con un rischio minore; oppure<br />
ii. a parità <strong>di</strong> rischio consente <strong>di</strong> ottenere un ren<strong>di</strong>mento atteso maggiore.<br />
Ovviamente, dal punto <strong>di</strong> vista grafico, tali ri<strong>su</strong>ltati <strong>di</strong>pendono dal fatto che la semiretta<br />
passante per P T si colloca sempre a sinistra e al <strong>di</strong> sopra <strong>di</strong> quella passante per P R .<br />
È semplice <strong>di</strong>mostrare, inoltre, che i portafogli <strong>su</strong>lla semiretta passante per P T dominano,<br />
nel senso prima definito, tutti i portafogli che si collocano <strong>su</strong> una qualsiasi altra semiretta<br />
che origina da P 0 e che passa per un portafoglio qualsiasi <strong>su</strong>lla frontiera con solo titoli<br />
rischiosi. Ciò in quanto la semiretta passante per P T è l’unica che è tangente a quella<br />
frontiera; per tale motivo, il portafoglio P T si definisce portafoglio <strong>di</strong> tangenza. In<br />
sostanza, quin<strong>di</strong>, in presenza <strong>di</strong> un titolo senza rischio la frontiera <strong>dei</strong> portafogli efficienti<br />
è la semiretta inclinata positivamente che origina dal portafoglio senza rischio P 0 ed è<br />
tangente alla frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli rischiosi (in Figura 3.5, essa coincide,<br />
dunque, con la semiretta in grassetto passante proprio per il portafoglio <strong>di</strong> tangenza P T ),<br />
per cui l’equazione che la caratterizza sarà:<br />
acquistare il portafoglio rischioso e tra P 0 e P R spende tutta la <strong>su</strong>a ricchezza per acquistare portafogli<br />
che sono un mix <strong>dei</strong> portafogli precedenti, come può l’investitore acquistare portafogli che si trovano <strong>su</strong>lla<br />
semiretta a destra <strong>di</strong> P R Per rispondere a tale domanda si veda, tra un attimo, quanto argomentato in<br />
relazione ai portafogli con debito.<br />
69
IV. Titoli rischiosi e un titolo privo <strong>di</strong> rischio<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
µ P = r 0 +<br />
( )<br />
µT − r 0<br />
σ P (3.19)<br />
σ T<br />
dove, chiaramente, µ T e σ T sono, rispettivamente, il ren<strong>di</strong>mento atteso e il rischio (deviazione<br />
standard) del portafoglio <strong>di</strong> tangenza.<br />
In relazione alla frontiera efficiente <strong>di</strong> Figura 3.5, si noti anche che per ciascun portafoglio<br />
che si colloca tra P 0 e P T (compreso P 0 , ma non P T ), spendendo parte della<br />
<strong>su</strong>a ricchezza nell’acquisto del titolo privo <strong>di</strong> rischio, l’investitore, <strong>di</strong> fatto, sta concedendo<br />
denaro a prestito. Consideriamo, invece, il portafoglio P D . Esso si colloca oltre P T .<br />
L’investitore, quin<strong>di</strong>, non avrebbe potuto raggiungerlo con la sola <strong>su</strong>a ricchezza. Per riuscirci,<br />
può adesso sfruttare la presenza dell’attività priva <strong>di</strong> rischio. In particolare, può<br />
indebitarsi (cioè prendere denaro a prestito al tasso risk-free) e utilizzare le risorse aggiuntive<br />
così ottenute per potersi permettere un investimento altrimenti non realizzabile: per<br />
tale motivo, un portafoglio oltre P T , come P D , è anche detto portafoglio con debito<br />
(levered portfolio).<br />
Infine, analogamente a quanto visto nella Sezione III.B in assenza del titolo riskfree,<br />
la frontiera (efficiente) <strong>dei</strong> portafogli può essere ricavata analiticamente risolvendo il<br />
seguente problema, che è del tutto simile al precedente, con l’unica (importante) <strong>di</strong>fferenza<br />
che adesso “l’insieme <strong>di</strong> scelta” dell’investitore è più ampio, comprendendo anche l’attività<br />
priva <strong>di</strong> rischio; in particolare, in ciò che segue, a 0 si riferisce alla scelta dell’investitore<br />
<strong>su</strong>lla quota <strong>di</strong> ricchezza destinata all’acquisto dell’attività risk-free (in Appen<strong>di</strong>ce A.2<br />
al capitolo, il proce<strong>di</strong>mento matematico per il calcolo della frontiera <strong>dei</strong> portafogli sarà<br />
sviluppato analiticamente per il caso particolare in cui sono presenti due attività rischiose<br />
e una priva <strong>di</strong> rischio): 18<br />
min<br />
(a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a σ2 P =<br />
n)<br />
a 0 r 0 +<br />
a 0 +<br />
n∑<br />
i=1<br />
n∑<br />
a i a j σ ij (3.20)<br />
j=1<br />
s. a:<br />
n∑<br />
a i µ i = µ P (3.21)<br />
i=1<br />
n∑<br />
a i = 1. (3.22)<br />
i=1<br />
18 Oltre a quello rappresentato <strong>di</strong> seguito, un metodo matematico alternativo per in<strong>di</strong>viduare la frontiera<br />
efficiente (con un titolo risk-free) si basa <strong>su</strong>ll’osservazione che quest’ultima coincide con la semiretta<br />
avente intercetta r 0 <strong>su</strong>ll’asse delle or<strong>di</strong>nate e con inclinazione più elevata (compatibilmente con l’insieme<br />
<strong>di</strong> scelta <strong>dei</strong> portafogli, rispetto al quale la semiretta è tangente). In virtù <strong>di</strong> tale osservazione, la frontiera<br />
efficiente può essere costruita in<strong>di</strong>viduando i portafogli che, per ogni dato tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento µ P ,<br />
massimizzano l’inclinazione della semiretta (µ P −r 0 )/σ P , sotto il vincolo che le quote <strong>di</strong> ricchezza investite<br />
nei vari titoli sommino a uno (a 0 + ∑ i a i = 1).<br />
70
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA V. In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance<br />
Esempio 14<br />
Si as<strong>su</strong>ma che µ T = 0, 1 e σ T = 0, 5 siano, rispettivamente, il ren<strong>di</strong>mento atteso e il rischio<br />
del portafoglio <strong>di</strong> tangenza, mentre il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento del titolo privo <strong>di</strong> rischio sia del<br />
5%. Se un investitore intende realizzare un investimento con ren<strong>di</strong>mento atteso del 20%,<br />
qual’è il rischio più basso che deve sopportare Inoltre, come si compone il portafoglio<br />
che gli consente <strong>di</strong> ottenere il ren<strong>di</strong>mento atteso desiderato con il rischio più basso<br />
Il portafoglio che minimizza il rischio in corrispondenza <strong>di</strong> un ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
del 20% si trova chiaramente <strong>su</strong>lla frontiera efficiente, per cui occorre far riferimento<br />
all’Equazione (3.19). In particolare, risolvendo rispetto a σ P otteniamo:<br />
σ P =<br />
( )<br />
µP − r 0<br />
σ T<br />
µ T − r 0<br />
da cui, il rischio minimo per µ P = 0, 2 (considerando i valori <strong>di</strong> µ T e σ T ) è pari a:<br />
σ P =<br />
( )<br />
0, 2 − 0, 05<br />
0, 5 = 1, 5.<br />
0, 1 − 0, 05<br />
Per calcolare poi la composizione del portafoglio, possiamo fare riferimento alla formula<br />
del ren<strong>di</strong>mento atteso dello stesso, ossia µ P = a 0 r 0 + (1 − a 0 )µ T , che implica a 0 = (µ P −<br />
µ T )/(r 0 − µ T ), da cui otteniamo che:<br />
a 0 =<br />
0, 2 − 0, 1<br />
0, 05 − 0, 1 = −2<br />
e 1−a 0 = 3. In altri termini, l’investitore si indebita (al tasso risk-free) per un ammontare<br />
<strong>di</strong> risorse pari al doppio della <strong>su</strong>a ricchezza iniziale al fine <strong>di</strong> investire una somma pari a<br />
tre volte la <strong>su</strong>a ricchezza iniziale nel portafoglio rischioso (<strong>di</strong> tangenza). Ciò (cioè il fatto<br />
che debba indebitarsi) era atten<strong>di</strong>bile, dal momento che l’investitore ambisce a ottenere<br />
un ren<strong>di</strong>mento atteso più elevato rispetto a quello del portafoglio <strong>di</strong> tangenza.<br />
V<br />
Frontiera <strong>dei</strong> portafogli e in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance delle attività<br />
finanziarie<br />
La frontiera <strong>dei</strong> portafogli può essere utile <strong>di</strong> per sé anche a definire, in<strong>di</strong>pendentemente<br />
dalle preferenze <strong>dei</strong> singoli investitori, la performance <strong>di</strong> un’attività finanziaria o<br />
<strong>di</strong> un portafoglio <strong>di</strong> investimento contenente più titoli finanziari contemporaneamente. In<br />
particolare, in letteratura sono stati proposti vari in<strong>di</strong>ci per mi<strong>su</strong>rare le performance <strong>di</strong><br />
un’attività che tenesse conto sia del ren<strong>di</strong>mento atteso che della <strong>su</strong>a rischiosità che si richiamano<br />
esplicitamente al concetto <strong>di</strong> frontiera efficiente. Fra questi, as<strong>su</strong>me particolare<br />
71
V. In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance 3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
FPE<br />
µ P<br />
P 3<br />
P T<br />
µ P 1<br />
P1<br />
µ P P2 2<br />
r 0 s 2 = µ P 2<br />
−r 0<br />
σ P2<br />
s 1 = µ P 1<br />
−r 0<br />
σ P1<br />
σ P<br />
σ P2<br />
σ P1<br />
Figura 3.6: In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe<br />
interesse l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe (Sharpe ratio), dal nome dell’economista William Sharpe<br />
che per primo lo ha proposto, che, in relazione all’attività i-esima, è definito come:<br />
s i = µ i − r 0<br />
σ i<br />
. (3.23)<br />
L’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe valuta quin<strong>di</strong> un’attività, che può essere un singolo titolo oppure<br />
un intero portafoglio, in relazione sia al <strong>su</strong>o ren<strong>di</strong>mento atteso in eccesso rispetto al<br />
ren<strong>di</strong>mento dell’attività risk-free, sia alla <strong>su</strong>a rischiosità, mi<strong>su</strong>rata da σ i , la deviazione<br />
standard del <strong>su</strong>o ren<strong>di</strong>mento. In Figura 3.6, ad esempio, il portafoglio P 1 ha un ren<strong>di</strong>mento<br />
maggiore <strong>di</strong> P 2 , ma associato anche a un livello maggiore <strong>di</strong> rischio. Peraltro, se<br />
valutiamo tramite l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe i due portafogli P 2 ri<strong>su</strong>lta preferito rispetto P 1 . Ciò<br />
è facilmente intuibile considerando anche che l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe non è altro che l’inclinazione<br />
della semiretta (già <strong>di</strong>scussa nella Sezione IV) che origina dall’asse delle or<strong>di</strong>nate<br />
in corrispondenza <strong>di</strong> r 0 , il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento del titolo privo <strong>di</strong> rischio, e passante per<br />
il particolare portafoglio considerato. Poiché il portafoglio P 2 si colloca <strong>su</strong> una semiretta<br />
più inclinata <strong>di</strong> quella <strong>su</strong> cui si colloca P 1 , in base all’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe, la performance <strong>di</strong><br />
P 2 è migliore a quella <strong>di</strong> P 1 .<br />
Ovviamente, se calcolato per due portafogli che si collocano <strong>su</strong>lla frontiera <strong>dei</strong> portafogli<br />
efficienti (in Figura 3.6, la semiretta F P E), ad esempio P T (il “portafoglio <strong>di</strong><br />
tangenza”) e P 3 , l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe ri<strong>su</strong>lta uguale, dal momento che i portafogli efficienti<br />
si trovano tutti <strong>su</strong>lla stessa semiretta. Inoltre, per motivi che adesso dovrebbero ri<strong>su</strong>ltare<br />
72
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA V. In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance<br />
P T<br />
RAP 2<br />
RAP 1<br />
P 2<br />
P 1<br />
r 0<br />
s 1<br />
µ P<br />
σ P<br />
RAP FPE<br />
FPE<br />
σ BENCH<br />
Figura 3.7: In<strong>di</strong>ce RAP<br />
chiari, l’in<strong>di</strong>ce è massimo proprio per i portafogli efficienti (si confronti l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe<br />
per i portafogli P 1 e P 2 con quello per i portafogli P T e P 3 ). Possiamo dunque concludere<br />
che, dati due portafogli, se l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe del primo è <strong>su</strong>periore a quello del secondo,<br />
siamo sicuri che il secondo portafoglio non potrà appartenere alla frontiera efficiente<br />
(peraltro, a priori, non possiamo concludere che il primo vi appartenga).<br />
Un altro in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> performance finanziaria, derivato dall’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe, è l’in<strong>di</strong>ce<br />
RAP (Risk-Adjusted Performance), proposto dall’economista Franco Mo<strong>di</strong>gliani,<br />
che fa riferimento ad un generico portafoglio benchmark P BENCH ed è definito come:<br />
ossia, in termini dell’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe:<br />
RAP i = r 0 + σ BENCH<br />
σ i<br />
(µ i − r 0 ) ,<br />
RAP i = r 0 + σ BENCH s i . (3.24)<br />
Si noti, innanzitutto, che dal momento che l’in<strong>di</strong>ce RAP è una funzione lineare positiva<br />
dell’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe, i due in<strong>di</strong>ci mantengono esattamente lo stesso “or<strong>di</strong>ne” <strong>di</strong><br />
performance <strong>dei</strong> vari titoli (portafogli). Inoltre, l’in<strong>di</strong>ce RAP i è pari al ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
dell’attività i se il rischio dell’attività i (ossia σ i ) è pari a quello del portafoglio benchmark,<br />
mentre, a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso µ i , cresce mano a mano che il rischio relativo<br />
dell’attività i <strong>di</strong>minuisce (ossia σ i decresce rispetto a σ BENCH ). E’ imme<strong>di</strong>ato che tale<br />
in<strong>di</strong>ce possa essere calcolato anche per un generico portafoglio.<br />
Graficamente, per un dato portafoglio, l’in<strong>di</strong>ce RAP si ottiene fissando <strong>su</strong>ll’asse delle<br />
73
V. In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance 3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
ascisse il “rischio” del portafoglio benchmark, σ BENCH , e in<strong>di</strong>viduandone il relativo valore<br />
<strong>su</strong>ll’asse delle or<strong>di</strong>nate in corrispondenza del punto <strong>di</strong> intersezione tra σ BENCH e la<br />
semiretta con intercetta r 0 <strong>su</strong> cui si colloca il portafoglio considerato. Ad esempio, nella<br />
Figura 3.7 l’in<strong>di</strong>ce RAP <strong>dei</strong> due portafogli P 1 e P 2 (RAP 1 e RAP 2 ), quando σ BENCH<br />
rappresenta il rischio del portafoglio benchmark, conferma che il portafoglio P 2 dovrebbe<br />
essere preferito a P 1 . Osserviamo che il RAP massimo viene raggiunto per i portafoglio<br />
<strong>su</strong>lla frontiera efficiente (ve<strong>di</strong> RAP F P E nella figura), così che anche questo in<strong>di</strong>ce può<br />
essere utilizzato per scartare portafogli inefficienti.<br />
Esempio 15<br />
Si considerino i tre seguenti portafogli finanziari, caratterizzati dalle coppie tasso atteso<br />
<strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento-rischio: P 1 ) µ 1 = 15, 5%, σ 1 = 0, 2; P 2 ) µ 2 = 9, 2%, σ 2 = 0, 09; P 3 ) µ 3 =<br />
12%, σ 3 = 0, 12. Si calcolino i rispettivi in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> Sharpe e RAP , ipotizzando che il tasso <strong>di</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento del titolo privo <strong>di</strong> rischio sia r 0 = 5% e che il rischio del portafoglio benchmark<br />
sia σ BENCH = 0, 1, e si in<strong>di</strong>chi quali portafogli non appartengono alla frontiera efficiente.<br />
Applicando la formula dell’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe otteniamo:<br />
0, 155 − 0, 05<br />
s 1 = = 0, 525<br />
0, 2<br />
0, 092 − 0, 05<br />
s 2 = ≃ 0, 467<br />
0, 09<br />
0, 12 − 0, 05<br />
s 3 = ≃ 0, 583.<br />
0, 12<br />
Applicando la formula dell’in<strong>di</strong>ce RAP otteniamo:<br />
RAP 1 = 0, 05 + 0, 1 (0, 155 − 0, 05) = 0, 1025<br />
0, 2<br />
RAP 2 = 0, 05 + 0, 1 (0, 092 − 0, 05) ≃ 0, 0967<br />
0, 09<br />
RAP 3 = 0, 05 + 0, 1 (0, 12 − 0, 05) ≃ 0, 1083.<br />
0, 12<br />
Sulla base <strong>dei</strong> ri<strong>su</strong>ltati degli in<strong>di</strong>ci possiamo dedurre che i portafogli P 1 e P 2 non<br />
appartengono alla frontiera <strong>dei</strong> portafogli efficienti.<br />
74
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA VI. Teorema <strong>di</strong> separazione e portafoglio ottimo<br />
VI<br />
Teorema <strong>di</strong> separazione e scelta del portafoglio ottimo<br />
Prima <strong>di</strong> passare ad analizzare la scelta del portafoglio ottimo (tra i tanti che si collocano<br />
<strong>su</strong>lla frontiera efficiente) da parte dell’investitore, è importante sottolineare un<br />
ultimo aspetto. In effetti, in base al ragionamento con cui la frontiera efficiente è stata<br />
in<strong>di</strong>viduata, tutti gli investitori con le stesse “credenze” riguardo ai ren<strong>di</strong>menti attesi e<br />
alle varianze, o deviazioni standard, (e covarianze) <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> vari titoli, saranno<br />
caratterizzati dalla stessa frontiera efficiente e avranno sempre convenienza a scegliere un<br />
portafoglio che si colloca <strong>su</strong> quella stessa frontiera. Peraltro, per come la frontiera è stata<br />
costruita (combinando, in proporzioni <strong>di</strong>verse, il portafoglio risk-free e quello rischioso),<br />
ogni <strong>su</strong>o portafoglio, limitatamente alla sola componente rischiosa, sarà caratterizzato<br />
dalla stessa combinazione <strong>di</strong> titoli. In particolare, considerando specificatamente la Figura<br />
3.5 della Sezione IV, tale combinazione <strong>di</strong> titoli rischiosi sarà quella corrispondente<br />
al portafoglio “<strong>di</strong> tangenza” P T . Le preferenze degli investitori, dunque, determineranno<br />
i punti (portafogli) in cui essi si posizioneranno lungo la frontiera (che, chiaramente, saranno<br />
<strong>di</strong>versi per investitori con preferenze <strong>di</strong>verse) 19 , ossia la particolare combinazione<br />
tra titolo privo <strong>di</strong> rischio e portafoglio P T , ma non influiranno <strong>su</strong>lle proporzioni con cui<br />
gli investitori deterranno titoli rischiosi. In altri termini, le preferenze degli investitori influiranno<br />
<strong>su</strong>ll’ammontare assoluto <strong>di</strong> denaro investito in ciascun titolo rischioso (e quin<strong>di</strong><br />
nella componente rischiosa dell’investimento nel <strong>su</strong>o complesso), ma non nelle proporzioni<br />
con cui il denaro viene investito tra i <strong>di</strong>versi titoli rischiosi. Tutto ciò, ci porta a enunciare<br />
un ri<strong>su</strong>ltato fondamentale della teoria delle scelte <strong>di</strong> portafoglio, noto come teorema <strong>di</strong><br />
separazione o del fondo comune (separation or mutual fund theorem):<br />
Teorema 1 (Teorema <strong>di</strong> separazione)<br />
Per ogni investitore interessato soltanto alla me<strong>di</strong>a e alla varianza (deviazione standard)<br />
<strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti, il portafoglio ottimo consiste in una certa combinazione del titolo privo <strong>di</strong><br />
rischio e <strong>di</strong> un particolare portafoglio <strong>di</strong> attività rischiose (il fondo comune) che è lo stesso<br />
per tutti gli investitori con le stesse credenze <strong>su</strong>lle me<strong>di</strong>e, le varianze e le covarianze <strong>dei</strong><br />
ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> vari titoli.<br />
L’asserto del teorema non è banale: qualunque siano le preferenze in<strong>di</strong>viduali (e la<br />
ricchezza) degli investitori, questi ultimi <strong>di</strong>stribuiranno la loro ricchezza tra il titolo privo<br />
<strong>di</strong> rischio e un portafoglio rischioso che è in<strong>di</strong>pendente dalle loro preferenze.<br />
In altri<br />
19 Ad esempio, mentre un investitore più avverso al rischio sceglierà, verosimilmente, un portafoglio<br />
senza debito e in larga parte composto dal titolo privo <strong>di</strong> rischio (cioè, graficamente, un punto molto<br />
vicino a P 0 ), un altro investitore, meno avverso al rischio, potrebbe scegliere il portafoglio P D , prendendo<br />
a prestito denaro per investirne un ammontare maggiore della propria ricchezza nel portafoglio P T .<br />
75
VI. Teorema <strong>di</strong> separazione e portafoglio ottimo<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
termini, la scelta <strong>di</strong> portafoglio <strong>di</strong> ciascun investitore, concettualmente, può essere separata<br />
in due <strong>di</strong>stinte fasi:<br />
1. in<strong>di</strong>viduare la composizione efficiente del portafoglio relativa ai soli titoli rischiosi,<br />
ossia in<strong>di</strong>viduare il portafoglio <strong>di</strong> tangenza; questa scelta è in<strong>di</strong>pendente dalle<br />
preferenze degli investitori ed è la stessa per tutti gli investitori con le stesse credenze<br />
<strong>su</strong>lle me<strong>di</strong>e, varianze e covarianze <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> titoli (ossia, questa scelta<br />
<strong>di</strong>pende dalle credenze, ma non dalle preferenze degli investitori);<br />
2. in<strong>di</strong>viduare la composizione ottimale della ricchezza tra il portafoglio rischioso (<strong>di</strong><br />
tangenza) e il titolo privo <strong>di</strong> rischio; questa scelta <strong>di</strong>pende dalle preferenze <strong>dei</strong> singoli<br />
investitori e, quin<strong>di</strong>, <strong>di</strong>fferirà da soggetto a soggetto.<br />
Ai fini pratici, inoltre, tutto questo può avere implicazioni interessanti. Ad esempio,<br />
un con<strong>su</strong>lente finanziario che dovesse consigliare a un soggetto come investire in modo<br />
ottimale la <strong>su</strong>a ricchezza, non dovrebbe preoccuparsi <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare esattamente il portafoglio<br />
che meglio sod<strong>di</strong>sfa le preferenze del <strong>su</strong>o cliente; potrebbe, invece, proporgli, insieme<br />
al titolo risk-free, un solo portafoglio, quello corrispondente al portafoglio <strong>di</strong> tangenza, e<br />
lasciare che il cliente scelga la combinazione tra i due che più lo sod<strong>di</strong>sfa! 20<br />
Adesso, l’ultimo passo da compiere è quello <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare il portafoglio ottimo per<br />
l’investitore, cioè quello che si caratterizza per la combinazione ren<strong>di</strong>mento atteso, µ P ,<br />
e rischio, σP<br />
2 (o σ P ), che meglio sod<strong>di</strong>sfa le <strong>su</strong>e preferenze (ossia, che massimizza la <strong>su</strong>a<br />
funzione <strong>di</strong> utilità V , così come definita nella Sezione I). Come è stato appena specificato,<br />
per gli investitori che si formano le stesse idee o credenze (perché <strong>di</strong>spongono, ad esempio,<br />
delle stesse informazioni) <strong>su</strong>lle me<strong>di</strong>e e le varianze (e le covarianze) <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> vari<br />
titoli, la frontiera <strong>dei</strong> portafogli efficienti, e, conseguentemente, la combinazione ottimale<br />
<strong>di</strong> titoli con specifico riferimento alla sola componente rischiosa, è la stessa. Peraltro,<br />
la scelta “definitiva” <strong>di</strong> ciascun investitore non sarà generalmente la stessa in quanto,<br />
in presenza <strong>di</strong> un titolo privo <strong>di</strong> rischio, la quota <strong>di</strong> ricchezza da destinare all’acquisto<br />
<strong>di</strong> quest’ultimo (e quin<strong>di</strong> quella residua da destinare alla componente rischiosa) potrà<br />
20 Sotto as<strong>su</strong>nzioni particolari, che saranno analizzate dettagliatamente nello stu<strong>di</strong>o del modello CAPM<br />
(Cap. 4), il compito del con<strong>su</strong>lente finanziario ri<strong>su</strong>lterebbe ancora più facile in quanto, come portafoglio<br />
rischioso, potrebbe semplicemente fare riferimento a un generale in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> borsa (quale, ad esempio, il<br />
FTSE MIB per l’Italia o lo S&P 500 per gli Stati Uniti). Si noti, inoltre, che un ri<strong>su</strong>ltato del tutto<br />
analogo a quello enfatizzato con il teorema <strong>di</strong> separazione vale anche per un’economia con solo titoli<br />
rischiosi (in taluni casi, si parla infatti <strong>di</strong> primo e <strong>di</strong> secondo teorema <strong>di</strong> separazione, a seconda del tipo<br />
<strong>di</strong> economia considerata). In questo caso, la scelta ottima dell’investitore potrebbe essere in<strong>di</strong>viduata<br />
proponendogli, in<strong>di</strong>pendentemente dalle <strong>su</strong>e preferenze, due portafogli (rischiosi) qualsiasi <strong>su</strong>lla frontiera<br />
efficiente, lasciando che lui scelga la combinazione tra i due che meglio lo sod<strong>di</strong>sfa. Peraltro, in tal caso,<br />
i due “fon<strong>di</strong> comuni” (e tutti portafogli ottenuti combinandoli in proporzioni <strong>di</strong>fferenti) non saranno<br />
ovviamente caratterizzati dalla stessa proporzione <strong>di</strong> titoli rischiosi.<br />
76
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA VI. Teorema <strong>di</strong> separazione e portafoglio ottimo<br />
µ P<br />
µ P*<br />
P*<br />
P T<br />
r 0<br />
σ P*<br />
σ P<br />
Figura 3.8: Scelta ottima del portafoglio <strong>di</strong> investimento<br />
<strong>di</strong>fferire da investitore ad investitore in funzione delle <strong>di</strong>verse preferenze <strong>su</strong>lla combinazione<br />
rischio-ren<strong>di</strong>mento. Inoltre, in base al teorema <strong>di</strong> separazione, enunciato precedentemente,<br />
sappiamo che per in<strong>di</strong>viduare il portafoglio che meglio sod<strong>di</strong>sfa le preferenze <strong>di</strong> un certo<br />
investitore, è <strong>su</strong>fficiente proporgli due soli portafogli (<strong>di</strong> cui uno quello privo <strong>di</strong> rischio e<br />
l’altro scelto adeguatamente) e lasciare che decida come ripartire la <strong>su</strong>a ricchezza nella<br />
combinazione <strong>di</strong> tali portafogli che più lo sod<strong>di</strong>sfa.<br />
Al fine <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare il portafoglio ottimo per un certo investitore (in base alle <strong>su</strong>e<br />
preferenze), facciamo riferimento alla Figura 3.8. In essa è rappresentata la frontiera<br />
<strong>dei</strong> portafogli efficienti che ha origine dal portafoglio risk-free ed è tangente, in corrispondenza<br />
del portafoglio P T , alla frontiera <strong>dei</strong> portafogli con soli titoli rischiosi. Date le<br />
preferenze dell’investitore, espresse dalle curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza rappresentate in Figura 3.8,<br />
il portafoglio ottimo è P ∗ (a cui è associato un ren<strong>di</strong>mento atteso µ P ∗ e un rischio σ P ∗).<br />
Esso corrisponde al punto <strong>di</strong> tangenza tra la frontiera efficiente e la curva <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza<br />
più lontana dall’origine degli assi, che rappresenta, quin<strong>di</strong>, il livello <strong>di</strong> utilità più elevato<br />
che, dato l’insieme <strong>dei</strong> portafogli efficienti, l’investitore può conseguire. In questo caso,<br />
inoltre, poiché il portafoglio ottimo si colloca tra il portafoglio senza rischio e quello <strong>di</strong><br />
tangenza, l’investitore sceglie <strong>di</strong> investire la <strong>su</strong>a ricchezza in parte nel titolo senza rischio<br />
e in parte in titoli rischiosi; la combinazione <strong>di</strong> questi ultimi è quella corrispondente al<br />
portafoglio P T . Infine si noti che, in base all’u<strong>su</strong>ale interpretazione geometrica <strong>di</strong> un punto<br />
<strong>di</strong> tangenza (per cui, in quel punto, la pendenza delle due curve è la stessa), il portafoglio<br />
77
VI. Teorema <strong>di</strong> separazione e portafoglio ottimo<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
(punto) ottimo, P ∗ , può essere identificato con l’uguaglianza tra il saggio marginale <strong>di</strong><br />
sostituzione tra ren<strong>di</strong>mento e rischio (dµ P /dσ P ) dell’investitore, che mi<strong>su</strong>ra la pendenza<br />
delle <strong>su</strong>e curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza, e quella della frontiera efficiente; formalmente:<br />
dµ P<br />
dσ P<br />
| P =P ∗= µ T − r 0<br />
σ T<br />
. (3.25)<br />
In relazione alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio relativa alla scelta del portafoglio ottimo,<br />
rappresentata dall’Espressione (3.25), meritano <strong>di</strong> essere sottolineati i seguenti aspetti:<br />
1. a parità <strong>di</strong> altre con<strong>di</strong>zioni, tanto maggiore è il ren<strong>di</strong>mento atteso del portafoglio<br />
rischioso (<strong>di</strong> mercato) rispetto a quello del titolo risk-free (cioè tanto più grande è<br />
la <strong>di</strong>fferenza µ T − r 0 ) e tanto minore è il rischio associato al portafoglio <strong>di</strong> mercato,<br />
σ T , tanto maggiore sarà la quota <strong>di</strong> ricchezza spesa dall’investitore nel portafoglio<br />
rischioso (e viceversa). Ciò in quanto, in tali circostanze, il lato destro dell’Espressione<br />
(3.25) sarà relativamente più elevato (la frontiera efficiente sarà relativamente<br />
più inclinata) e, in equilibrio, questo dovrà valere anche per il lato sinistro. Ma<br />
poiché il saggio marginale <strong>di</strong> sostituzione tra ren<strong>di</strong>mento e rischio, dµ P /dσ P , è crescente<br />
rispetto al rischio <strong>di</strong> portafoglio (si veda la Sezione I <strong>di</strong> questo capitolo),<br />
questo si verificherà in corrispondenza <strong>di</strong> portafogli in cui la componente rischiosa<br />
è (relativamente) più elevata;<br />
2. a parità <strong>di</strong> altre con<strong>di</strong>zioni, tanto più l’investitore è avverso al rischio, tanto minore<br />
sarà la quota <strong>di</strong> ricchezza che investirà nel portafoglio rischioso (e viceversa). Ciò,<br />
oltre che intuitivamente, può essere spiegato considerando che tanto più un soggetto<br />
è avverso al rischio, tanto maggiore sarà (per ogni dato grado <strong>di</strong> rischio σ P ) il “<strong>su</strong>o”<br />
saggio marginale <strong>di</strong> sostituzione dµ P /dσ P (cioè maggiore sarà la compensazione, in<br />
termini <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso, che richiederà per accettare un incremento marginale<br />
del rischio <strong>di</strong> investimento). Tutto ciò implica, graficamente, curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza<br />
dell’investitore più inclinate e, conseguentemente, un punto <strong>di</strong> tangenza (portafoglio<br />
ottimo) con una data frontiera efficiente più vicino all’asse delle or<strong>di</strong>nate (in cui i<br />
portafogli sono caratterizzati da una minore quota della componente rischiosa). 21<br />
21 Il caso estremo, <strong>di</strong> un investitore interessato esclusivamente alla minimizzazione del rischio <strong>di</strong> investimento,<br />
comporta curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza perfettamente verticali, con incrementi <strong>di</strong> utilità che si ottengono<br />
spostandosi verso curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza più vicine all’asse delle or<strong>di</strong>nate. Ovviamente, in tale situazione, il<br />
portafoglio ottimo sarà quello che minimizza il rischio <strong>di</strong> investimento in<strong>di</strong>pendentemente dal ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso, che coinciderà con il portafoglio composto esclusivamente dal titolo risk-free.<br />
78
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA VII. Appen<strong>di</strong>ce<br />
VII<br />
Appen<strong>di</strong>ce<br />
A.1 Dall’utilità attesa all’utilità me<strong>di</strong>a-varianza: la funzione <strong>di</strong> utilità VNM<br />
con forma quadratica<br />
La funzione <strong>di</strong> utilità me<strong>di</strong>a-varianza V = V (µ P , σP 2 ), utilizzata in questo capitolo<br />
per rappresentare le preferenze <strong>dei</strong> risparmiatori nelle loro scelte <strong>dei</strong> portafogli <strong>di</strong> investimento,<br />
può essere ricavata formalmente da una particolare funzione <strong>di</strong> utilità VNM<br />
definita <strong>su</strong>lla ricchezza (<strong>su</strong>i ri<strong>su</strong>ltati) finale(i) dell’investitore, quella avente forma quadratica.<br />
In particolare, qualsiasi funzione <strong>di</strong> utilità VNM con forma quadratica può essere<br />
rappresentata, genericamente, nel modo seguente:<br />
u(W ) = W − bW 2<br />
(A1)<br />
dove b > 0 è un parametro relativo alle preferenze dell’investitore.<br />
Con riferimento all’Espressione (A1) si notino, innanzitutto, i seguenti aspetti. In<br />
primo luogo, la derivata prima <strong>di</strong> u rispetto a W è u ′ (W ) = 1 − 2bW , per cui non è<br />
necessariamente sempre positiva. Poiché nel Capitolo 2, in cui abbiamo introdotto la<br />
funzione <strong>di</strong> utilità VNM per analizzare le scelte <strong>dei</strong> soggetti in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> incertezza, si<br />
è as<strong>su</strong>nto che valga sempre u ′ (W ) > 0 (i soggetti preferiscono sempre livelli più elevati <strong>di</strong><br />
ricchezza), un’ipotesi aggiuntiva <strong>su</strong>lla funzione quadratica che, in tale contesto, si as<strong>su</strong>me<br />
generalmente sod<strong>di</strong>sfatta è 2bW < 1, che assicura che u ′ (W ) > 0 sia sempre rispettata. 22<br />
In secondo luogo, calcolando la derivata seconda della funzione quadratica, otteniamo<br />
u ′′ (W ) = −2b < 0, per cui tale funzione esprime le preferenze <strong>di</strong> soggetti avversi al<br />
rischio; 23 infatti, è proprio a tali tipi <strong>di</strong> soggetti che ci siamo riferiti nell’analisi delle<br />
scelte <strong>di</strong> portafoglio basate <strong>su</strong>l criterio me<strong>di</strong>a-varianza. Ma come è possibile arrivare alla<br />
funzione <strong>di</strong> utilità me<strong>di</strong>a-varianza partendo da quella VNM con forma quadratica<br />
Calcolando l’aspettativa <strong>su</strong>ll’utilità rappresentata nell’espressione (A1), otteniamo:<br />
E[u(W )] = E[W ] − bE[W 2 ] = E[W ] − b(var[W ] + E[W ] 2 )<br />
(A2)<br />
dove var[W ], la varianza <strong>dei</strong> ri<strong>su</strong>ltati finali, è definita come var[W ] ≡ E[(W −E[W ]) 2 ].<br />
Dall’espressione (A2) ri<strong>su</strong>lta chiaro come, in questo caso, l’utilità attesa E[u(W )] <strong>di</strong>-<br />
22 Più esattamente, poiché u è definita <strong>su</strong>i “premi” <strong>di</strong> una lotteria, la con<strong>di</strong>zione aggiuntiva deve essere<br />
sod<strong>di</strong>sfatta per ogni possibile premio, cioè 2bW k < 1, con k = 1, 2, ..., m.<br />
23 Si noti, peraltro, che se calcoliamo il coefficiente assoluto <strong>di</strong> avversione al rischio Arrow-Pratt (si veda<br />
l’Appen<strong>di</strong>ce A.1) per la forma funzionale in oggetto otteniamo R a (W ) = −[u ′′ (W )/u ′ (W )] = 2b/(1 −<br />
2bW ), che implica R a(W ′ ) > 0; il grado <strong>di</strong> avversione (assoluta) al rischio aumenta all’aumentare della<br />
ricchezza (premio) finale. Tale proprietà della funzione quadratica è stata spesso criticata in quanto<br />
ritenuta controintutiva.<br />
79
VII. Appen<strong>di</strong>ce<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
penda esclusivamente (b è un parametro) dalla “me<strong>di</strong>a” (valore atteso) della ricchezza<br />
finale, E[W ], e dalla <strong>su</strong>a varianza, var[W ]; formalmente, E[u(W )] = F (E[W ], var[W ]),<br />
dove F è una particolare forma funzionale.<br />
Per passare dalla funzione F (E[W ], var[W ]) alla funzione V (µ P , σP 2 ), che è espressa<br />
non in termini <strong>di</strong> ricchezza finale W prodotta dal portafoglio <strong>di</strong> investimento, ma in<br />
quelli del <strong>su</strong>o (tasso <strong>di</strong>) ren<strong>di</strong>mento (µ P ≡ E [r P ], σ 2 P ≡ E [(r P − µ P ) 2 ]), si noti che tra<br />
la ricchezza finale e il ren<strong>di</strong>mento prodotto da un dato portafoglio esiste la relazione<br />
seguente: W = (1 + r P )W , dove W è la ricchezza (pagamento) iniziale investita(o) dal<br />
risparmiatore. Da ciò, calcolando l’aspettativa <strong>su</strong> W (e ricordando le definizioni <strong>di</strong> µ P e<br />
σ 2 P ), deriva che E[W ] = (1 + µ P )W e var[W ] = σ 2 P W 2 . Sostituendo nella funzione F , da<br />
quest’ultima si ottiene la definizione della funzione me<strong>di</strong>a-varianza V : 24<br />
F ((1 + µ P )W , σ 2 P W 2 ) ≡ V (µ P , σ 2 P ).<br />
(A3)<br />
A.2 Derivazione matematica della frontiera <strong>dei</strong> portafogli con due titoli rischiosi<br />
e un titolo risk-free<br />
Consideriamo un’economia composta da tre attività finanziarie, <strong>di</strong> cui due rischiose (i<br />
titoli 1 e 2) e una priva <strong>di</strong> rischio (il titolo 0). Il rischio del portafoglio P composto dalle<br />
tre attività, identificato con la varianza del ren<strong>di</strong>mento σ 2 , è dunque pari a:<br />
σ 2 P = a 2 1σ 2 1 + a 2 2σ 2 2 + 2a 1 a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 .<br />
(A4)<br />
Il ren<strong>di</strong>mento atteso del portafoglio, µ P , è invece pari a:<br />
µ P = a 0 r 0 + a 1 µ 1 + a 2 µ 2 . (A5)<br />
Infine occorrerà tener conto del vincolo che assicura che tutta la ricchezza dell’investitore<br />
W venga allocata, ossia:<br />
a 0 + a 1 + a 2 = 1.<br />
(A6)<br />
L’investitore dovrà quin<strong>di</strong> trovare la combinazione <strong>di</strong> (a 0 , a 1 , a 2 ) tale per cui σP<br />
2 è<br />
minimizzato per un dato livello <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso µ P . Per fare questo impostiamo il<br />
problema <strong>di</strong> minimo:<br />
24 Si noti come la funzione F , oltre che da µ P e σP 2 <strong>di</strong>penda, in generale, anche da W , la ricchezza<br />
iniziale dell’investitore, che, essendo data, costituisce un parametro che non compare nella funzione V .<br />
In particolare, per quanto concerne le curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza dell’investitore, è possibile <strong>di</strong>mostrare che,<br />
ceteris paribus (cioè per ogni data coppia µ P -σP 2 ), tanto maggiore è la <strong>su</strong>a ricchezza iniziale tanto meno<br />
inclinate sono le curve <strong>di</strong> in<strong>di</strong>fferenza che rappresentano le <strong>su</strong>e preferenze.<br />
80
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA VII. Appen<strong>di</strong>ce<br />
( ) ( ) 1 1 (a )<br />
min σ 2 2<br />
P =<br />
(a 0 ,a 1 ,a 2 ) 2 2 1 σ1 2 + a 2 2σ2 2 + 2a 1 a 2 ρ 12 σ 1 σ 2<br />
{<br />
µ<br />
s. a: P = a 0 r 0 + a 1 µ 1 + a 2 µ 2<br />
a 0 + a 1 + a 2 = 1<br />
dove nella minimizzazione abbiamo inserito la costante (1/2) semplicemente per facilitare<br />
i calcoli.<br />
Formuliamo quin<strong>di</strong> la Lagrangiana del problema sostituendo <strong>di</strong>rettamente il vincolo<br />
per le quote nel vincolo relativo al ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> modo da eliminare una delle<br />
variabili <strong>di</strong> scelta. In particolare sostituiamo per a 0 = 1 − a 1 − a 2 , per cui:<br />
̷L =<br />
( 1<br />
2)<br />
σ 2 P + λ [µ P − r 0 − a 1 (µ 1 − r 0 ) − a 2 (µ 2 − r 0 )] .<br />
Le con<strong>di</strong>zioni del primo or<strong>di</strong>ne per la massimizzazione del portafoglio sono:<br />
∂̷L<br />
= a 1 σ1 2 + a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 − λ (µ 1 − r 0 ) = 0<br />
∂a 1<br />
∂̷L<br />
= a 2 σ2 2 + a 1 ρ 12 σ 1 σ 2 − λ (µ 2 − r 0 ) = 0<br />
∂a 2<br />
∂̷L<br />
∂λ = µ P − r 0 − a 1 (µ 1 − r 0 ) − a 2 (µ 2 − r 0 ) = 0.<br />
(A7)<br />
(A8)<br />
(A9)<br />
Dalle Con<strong>di</strong>zioni (A7) e (A8) otteniamo che:<br />
a 1 σ1 2 + a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 = λ (µ 1 − r 0 )<br />
a 2 σ2 2 + a 1 ρ 12 σ 1 σ 2 = λ (µ 2 − r 0 )<br />
da cui, moltiplicando entrambi i lati dell’Equazione (A10) per a 1<br />
dell’Equazione (A11) per a 2 , otteniamo:<br />
a 2 1σ1 2 + a 1 a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 = a 1 λ (µ 1 − r 0 )<br />
a 2 2σ2 2 + a 1 a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 = a 2 λ (µ 2 − r 0 ) .<br />
(A10)<br />
(A11)<br />
ed entrambi i lati<br />
(A12)<br />
(A13)<br />
Infine, sommando lato a lato le due equazioni ri<strong>su</strong>lta:<br />
a 2 1σ 2 1 + a 2 2σ 2 2 + 2a 1 a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 = λ [a 1 (µ 1 − r 0 ) + a 2 (µ 2 − r 0 )]<br />
81
VII. Appen<strong>di</strong>ce<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
ossia, tenendo conto delle Equazioni (A4) e (A5):<br />
σ 2 P = λ (µ P − r 0 )<br />
da cui:<br />
ossia:<br />
λ =<br />
σ2 P<br />
µ P − r 0<br />
. (A14)<br />
Stabilito il valore <strong>di</strong> λ possiamo adesso ricavarci il valore <strong>di</strong> a 2 dall’Equazione (A11),<br />
che sostituito nell’Equazione (A10) porta a:<br />
a 2 = λ (µ 2 − r 0 ) − a 1 ρ 12 σ 1 σ 2<br />
σ 2 2<br />
[ ]<br />
λ<br />
a 1 σ1 2 (µ2 − r 0 ) − a 1 ρ 12 σ 1 σ 2<br />
+<br />
ρ 12 σ 1 σ 2 = λ (µ 1 − r 0 )<br />
da cui, dopo alcuni passaggi algebrici, si ottiene:<br />
σ 2 2<br />
a 1<br />
(<br />
1 − ρ<br />
2<br />
12<br />
)<br />
σ<br />
2<br />
1 σ 2 2 = λ [ (µ 1 − r 0 ) σ 2 2 − ρ 12 σ 1 σ 2 (µ 2 − r 0 ) ] .<br />
(A15)<br />
In ultimo, sostituendo per λ (Equazione (A14)) nell’Equazione (A15), e ricordando<br />
che ρ 12 σ 1 σ 2 = σ 12 , otteniamo:<br />
a ∗ 1 =<br />
ed analogamente:<br />
a ∗ 2 =<br />
σ 2 P<br />
(µ P − r 0 ) (1 − ρ 2 12) σ 2 1<br />
σ 2 P<br />
(µ P − r 0 ) (1 − ρ 2 12) σ 2 2<br />
Infine, dal Vincolo (A6) abbiamo quin<strong>di</strong> che:<br />
[<br />
µ 1 − r 0 − σ ]<br />
12<br />
(µ<br />
σ2<br />
2 2 − r 0 )<br />
(A16)<br />
[<br />
µ 2 − r 0 − σ ]<br />
12<br />
(µ<br />
σ1<br />
2 1 − r 0 ) . (A17)<br />
a ∗ 0 = 1 − a ∗ 1 − a ∗ 2.<br />
(A18)<br />
Come era logico aspettarsi, la quota dell’attività i-esima nel portafoglio efficiente P<br />
aumenta all’aumentare del <strong>su</strong>o ren<strong>di</strong>mento, µ i , e <strong>di</strong>minuisce all’aumentare del rischio del<br />
<strong>su</strong>o ren<strong>di</strong>mento, ossia σi 2 . Tuttavia l’effetto del ren<strong>di</strong>mento dell’attività j-esima, ossia µ j ,<br />
<strong>su</strong>lla quota detenuta dell’attività i-esima passa attraverso la covarianza delle due attività,<br />
ossia σ ij . Nel caso questa sia negativa, ossia σ ij < 0, allora un aumento <strong>di</strong> µ j porta ad un<br />
aumento <strong>di</strong> a i . La ragione ormai dovrebbe essere chiara, ossia covarianza negativa <strong>di</strong> un<br />
ren<strong>di</strong>mento significa per chi detiene quell’attività un minor rischio <strong>di</strong> portafoglio.<br />
82
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA VII. Appen<strong>di</strong>ce<br />
Letture <strong>di</strong> approfon<strong>di</strong>mento<br />
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,<br />
2005; Cap. 5.<br />
• Barucci E., Teoria <strong>dei</strong> mercati finanziari, il Mulino, 2000; Cap. 4.<br />
• Cuthbertson K. e Nitzsche D., <strong>Economia</strong> finanziaria quantitativa, il Mulino, 2005;<br />
Cap. 5.<br />
• Elton E.J. e Gruber M.J., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, John<br />
Wiley, 1995.<br />
83
VII. Appen<strong>di</strong>ce<br />
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA<br />
84
Capitolo 4<br />
Il modello CAPM<br />
Stu<strong>di</strong>ando come agiscono (o dovrebbero agire razionalmente) gli investitori nel formare<br />
i loro portafogli <strong>di</strong> investimento, nel capitolo precedente abbiamo <strong>di</strong> fatto analizzato la<br />
domanda <strong>di</strong> titoli finanziari in base a un particolare modello (quello me<strong>di</strong>a-varianza) <strong>di</strong><br />
comportamento degli investitori. 1 Peraltro, nel modello me<strong>di</strong>a-varianza, gli investitori,<br />
nel decidere i loro portafogli <strong>di</strong> investimento, considerano i prezzi e i ren<strong>di</strong>menti attesi<br />
delle singole attività finanziarie come dati. In altri termini, il modello me<strong>di</strong>a-varianzia, <strong>di</strong><br />
per sé, non <strong>di</strong>ce niente <strong>su</strong> come si formano <strong>su</strong>l mercato i prezzi (e i ren<strong>di</strong>menti attesi) <strong>dei</strong><br />
singoli titoli. Il modello CAPM (Capital Asset Pricing Model), che analizzeremo<br />
in questo capitolo, si propone invece <strong>di</strong> spiegare proprio come si formano, in equilibrio, i<br />
prezzi e i ren<strong>di</strong>menti attesi delle attività finanziarie. 2<br />
Le ipotesi <strong>di</strong> partenza del CAPM sono che gli investitori: i) prendano le proprie decisioni<br />
<strong>di</strong> investimento in base a quanto prescritto dal modello me<strong>di</strong>a-varianza delle scelte <strong>di</strong><br />
portafoglio; e ii) con<strong>di</strong>vidano tutti le stesse aspettative <strong>su</strong>lla me<strong>di</strong>a, la varianza e le covarianze<br />
<strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti delle attività; si parla a questo proposito <strong>di</strong> “homogeneous beliefs”.<br />
I prezzi <strong>di</strong> equilibrio delle attività, che poi determineranno i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> equilibrio,<br />
dovranno essere tali da eliminare possibili eccessi <strong>di</strong> domanda e <strong>di</strong> offerta nel mercato.<br />
L’interesse è capire come si comportino i ren<strong>di</strong>menti in equilibrio e come gli investitori<br />
1 Si noti che la domanda <strong>di</strong> titoli finanziari riflette l’offerta <strong>di</strong> fon<strong>di</strong> prestabili. Sottoscrivendo (domandando)<br />
titoli finanziari, infatti, gli investitori offrono risorse finanziarie ai soggetti che li hanno<br />
emessi.<br />
2 Gli economisti William Sharpe e John Lintner hanno fornito, negli anni 60 dello scorso secolo, i<br />
maggiori contributi a questo filone <strong>di</strong> letteratura, tanto che Sharpe, insieme a Markovitz, ha ricevuto<br />
nel 1990 il premio Nobel per l’economia. Esistono vari sviluppi ed estensioni del modello <strong>di</strong> base del<br />
CAPM. Ad esempio, se si considera un contesto in cui non è presente alcuna attività priva <strong>di</strong> rischio<br />
allora abbiamo il Black CAPM , chiamato così in onore dell’economista Fischer Black, che piú ne ha<br />
approfon<strong>di</strong>to le proprietá. Esistono poi versioni più complicate del CAPM, come la versione con scelte<br />
intertemporali, il cosiddetto ICAPM (intertemporal CAPM ) e anche un modello che include le scelte <strong>di</strong><br />
con<strong>su</strong>mo, il cosiddetto CCAPM (con<strong>su</strong>mption CAPM ).<br />
85
I. As<strong>su</strong>nzioni del modello 4. CAPM<br />
decidano quanto rischio sopportare nei propri portafogli; in altri termini, che relazione<br />
<strong>su</strong>ssiste in equilibrio tra i ren<strong>di</strong>menti (attesi) e il rischio delle varie attività finanziarie.<br />
I<br />
Le as<strong>su</strong>nzioni alla base del CAPM<br />
Nel seguito presentiamo e vagliamo in dettaglio le ipotesi alla base del modello CAPM.<br />
Divideremo tali ipotesi in tre gruppi principali, ossia i) le ipotesi relative all’equilibrio <strong>di</strong><br />
tutti i mercati delle attività, ii) le ipotesi <strong>su</strong>l comportamento degli investitori e iii) le<br />
ipotesi <strong>su</strong>lle aspettative degli investitori. L’esplicitazione delle ipotesi alla base del CAPM<br />
dovrebbero servire a chiarire i <strong>su</strong>oi limiti applicativi alla realtà, cioè quanto questi limiti<br />
pregiu<strong>di</strong>chino la capacità del modello nello spiegare i comportamenti degli investitori e i<br />
prezzi osservati nei mercati.<br />
I.A<br />
Equilibrio nei mercati <strong>dei</strong> capitali<br />
1. Nei mercati non sono presenti frizioni <strong>di</strong> alcun tipo. Questo significa assenza <strong>di</strong><br />
costi <strong>di</strong> transazione e nes<strong>su</strong>n limite allo scambio <strong>di</strong> attività (ad esempio <strong>di</strong>vieto <strong>di</strong><br />
ven<strong>di</strong>te allo scoperto). Sebbene tale situazione non si verifica sostanzialmente mai<br />
nella realtà, il CAPM darà in<strong>di</strong>cazioni tanto più precise tanto minori sono le frizioni<br />
presenti nel mercato (cioè tanto più ci si avvicina al contesto ideale <strong>su</strong> cui il CAPM<br />
si fonda).<br />
2. Gli investitori non incontrano mai limiti nel prendere a prestito o nell’investire<br />
nell’attività priva <strong>di</strong> rischio. Se sono presenti <strong>dei</strong> limiti, ad esempio perché non é<br />
possibile per un investitore prendere a prestito al tasso privo <strong>di</strong> rischio piú <strong>di</strong> un<br />
certo ammontare <strong>di</strong> risorse, allora il CAPM potrebbe non essere adeguato a spiegare<br />
i ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong> equilibrio.<br />
3. Le attività sono infinitamente <strong>di</strong>visibili. Il CAPM quin<strong>di</strong> potrebbe non essere adeguato<br />
se gli investitori hanno un patrimonio limitato ed esistano alcune attività non<br />
facilmente <strong>di</strong>visibili (si pensi all’investimento in beni immobili).<br />
4. Tutti gli scambi devono avvenire ai prezzi <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong> mercato. Non è quin<strong>di</strong><br />
compatibile con il CAPM la possibilità che avvengano scambi a prezzi non <strong>di</strong><br />
equilibrio, come avviene <strong>di</strong> solito nei mercati. Tuttavia se tali scambi influenzano<br />
marginalmente la ricchezza degli investitori l’ipotesi non si rivela cruciale.<br />
5. Gli investitori devono comportarsi da price-takers, ossia non devono esistere situazioni<br />
<strong>di</strong> monopolio nel mercato. Anche in questo caso è possibile che in alcuni<br />
86
4. CAPM II. Portafoglio <strong>di</strong> mercato e linea del mercato <strong>dei</strong> capitali<br />
mercati esistano operatori che abbiano un certo potere <strong>di</strong> mercato, ossia abbiano il<br />
potere <strong>di</strong> con<strong>di</strong>zionare i prezzi <strong>di</strong> equilibrio (o pensino <strong>di</strong> poterlo fare).<br />
6. Le imposte devono essere neutrali. Questo non significa che le tasse debbano essere<br />
zero, ma che invece tutti gli investitori siano tassati alla medesima aliquota e che<br />
non vi sia una tassazione <strong>di</strong>fferenziale fra guadagni in conto capitale e <strong>di</strong>viden<strong>di</strong><br />
(come invece è nella realtà). In generale si richiede quin<strong>di</strong> che la tassazione sia non<br />
<strong>di</strong>storsiva delle scelte in<strong>di</strong>viduali <strong>di</strong> investimento.<br />
I.B<br />
Scelte degli investitori<br />
1. Tutti gli investitori adottano un orizzonte uniperiodale. Quello che rileva per loro<br />
è quin<strong>di</strong> la ricchezza a fine periodo rispetto a quella <strong>di</strong> inizio periodo. Esistono<br />
estensioni del CAPM che permettono <strong>di</strong> <strong>su</strong>perare tale ipotesi (il cosiddetto ICAMP).<br />
2. Tutti gli investitori si comportano in accordo al modello me<strong>di</strong>a-varianza. Tale ipotesi<br />
è quella che ha dato ambito a un largo <strong>di</strong>battito e a una notevole mole <strong>di</strong> contributi,<br />
che mirano a <strong>di</strong>mostrare come gli investitori spesso non usino regole <strong>di</strong> decisione<br />
ottimizzanti ma ispirate al buon senso o all’esperienza passata. Tale letteratura<br />
prende il nome <strong>di</strong> finanza comportamentale (behavioural finance).<br />
I.C<br />
Aspettative omogenee<br />
1. Tutti gli investitori con<strong>di</strong>vidono le stesse stime delle aspettative <strong>su</strong>l ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso, varianza e covarianza delle <strong>di</strong>verse attività. Questa ipotesi ri<strong>su</strong>lta cruciale<br />
ai fini del CAPM e anch’essa ha dato origine a molte controversie in letteratura.<br />
II<br />
Portafoglio <strong>di</strong> mercato e linea del mercato <strong>dei</strong> capitali<br />
Come già sappiamo dal modello me<strong>di</strong>a-varianza delle scelte <strong>di</strong> portafoglio, analizzato<br />
nel capitolo precedente, investitori con aspettative omogenee <strong>su</strong>lle me<strong>di</strong>e, le varianze e le<br />
covarianze <strong>dei</strong> titoli finanziari con<strong>di</strong>vidono la stessa frontiera efficiente (F P E). Ossia, per<br />
investitori con le stesse aspettative, i portafogli efficienti sono situati nello stesso luogo<br />
geometrico nel piano (σ P , µ P ). Dal teorema <strong>di</strong> separazione sappiamo, inoltre, che tali<br />
investitori detengono un portafoglio che, limitatamente alla sola componente rischiosa, è<br />
uguale per tutti. Le <strong>di</strong>fferenze fra gli investitori, dovute a <strong>di</strong>verse attitu<strong>di</strong>ni al rischio (e<br />
alla <strong>di</strong>versa ricchezza), si esplicano invece nelle <strong>di</strong>verse proporzioni in cui essi <strong>di</strong>vidono la<br />
propria ricchezza fra il portafoglio rischioso e l’attività priva <strong>di</strong> rischio.<br />
87
II. Portafoglio <strong>di</strong> mercato e linea del mercato <strong>dei</strong> capitali<br />
4. CAPM<br />
In base alle as<strong>su</strong>nzioni del CAPM, tutti gli investitori che operano <strong>su</strong>l mercato <strong>dei</strong> capitali<br />
hanno aspettative omogenee e, conseguentemente, detengono attività rischiose nelle<br />
stesse proporzioni. Peraltro, dal momento che il mercato <strong>dei</strong> capitali è, chiaramente, un<br />
aggregato <strong>di</strong> tutti gli investitori, logicamente ogni investitore deterrà titoli rischiosi nella<br />
stessa proporzione del mercato. Per tale motivo, sotto le as<strong>su</strong>nzioni del CAPM, il portafoglio<br />
<strong>di</strong> tangenza, che identifica proprio la combinazione <strong>di</strong> titoli rischiosi detenuta<br />
da ciascun investitore, viene anche definito portafoglio <strong>di</strong> mercato e, analogamente, la<br />
frontiera efficiente, costruita combinando in proporzioni <strong>di</strong>fferenti il portafoglio <strong>di</strong> mercato<br />
con il titolo privo <strong>di</strong> rischio, viene anche in<strong>di</strong>cata come linea del mercato <strong>dei</strong> capitali<br />
o capital market line (CML).<br />
Definizione 10 (Linea del mercato <strong>dei</strong> capitali)<br />
La linea del mercato <strong>dei</strong> capitali, o CML, esprime la relazione <strong>di</strong> equilibrio tra il ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso e il rischio (deviazione standard) <strong>dei</strong> portafogli efficienti.<br />
In base alla Definizione 10 e dall’analisi sviluppata nel Capitolo 3 si può facilmente<br />
dedurre che l’equazione che caratterizza la CML è data da:<br />
µ P = r 0 +<br />
( )<br />
µM − r 0<br />
σ P (4.1)<br />
σ M<br />
dove µ P e σ P rappresentano il ren<strong>di</strong>mento atteso e la deviazione standard <strong>di</strong> un generico<br />
portafoglio efficiente P , mentre µ M e σ M esprimono il ren<strong>di</strong>mento atteso e la deviazione<br />
standard del portafoglio <strong>di</strong> mercato. La CML, quin<strong>di</strong>, è rappresentata da una retta con<br />
intercetta verticale pari a r 0 e coefficiente angolare (positivo) dato da (µ M − r 0 )/σ M .<br />
µ P<br />
CML<br />
P3<br />
∗<br />
µ PM<br />
P M<br />
σ PM σ P<br />
r 0<br />
P ∗ 1<br />
P ∗ 2<br />
Figura 4.1: Portafoglio <strong>di</strong> mercato e linea del mercato <strong>dei</strong> capitali (CML)<br />
88
4. CAPM II. Portafoglio <strong>di</strong> mercato e linea del mercato <strong>dei</strong> capitali<br />
La Figura 4.1 riporta la linea del mercato <strong>dei</strong> capitali (CML) che rappresenta, quin<strong>di</strong>,<br />
il luogo geometrico nello spazio (σ P , µ P ) <strong>dei</strong> portafogli efficienti. Il portafoglio <strong>di</strong> mercato,<br />
in<strong>di</strong>cato con P M , è costituito invece dal portafoglio <strong>di</strong> tangenza tra la CML e la frontiera<br />
efficiente con soli titoli rischiosi. Ovviamente, tutti i portafogli scelti in equilibrio dagli<br />
investitori devono appartenere alla CML. In particolare, nella figura sono stati in<strong>di</strong>cati<br />
tre portafogli ottimali, P1 ∗ , P2<br />
∗ e P3 ∗ , per tre possibili investitori con <strong>di</strong>verse preferenze.<br />
Esempio 16<br />
As<strong>su</strong>mete che nel mercato esistano due sole attività rischiose, il titolo A e il titolo B, i cui<br />
tassi attesi e le deviazioni standard <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti sono riportati nella seguente tabella,<br />
insieme alle proporzioni con cui tali titoli sono detenuti nel portafoglio <strong>di</strong> mercato:<br />
Titolo µ σ Quote in P M<br />
A 0,1 0,2 0,4<br />
B 0,15 0,28 0,6<br />
Dato un livello <strong>di</strong> correlazione fra i ren<strong>di</strong>menti delle attività A e B pari a ρ AB = 0, 3 e<br />
un tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento dell’attività priva <strong>di</strong> rischio r 0 = 0, 05, si calcoli l’equazione della<br />
CML.<br />
Per definire l’equazione della CML occorre innanzitutto calcolare µ M e σ M . In<br />
particolare, il ren<strong>di</strong>mento atteso del portafoglio <strong>di</strong> mercato è dato da:<br />
µ M = a A µ A + a B µ B = 0, 4(0, 1) + 0, 6(0, 15) = 0, 13<br />
mentre σ M si può ottenere nel modo seguente:<br />
σ M =<br />
√<br />
a 2 A σ2 A + a2 B σ2 B + 2ρ ABa A a B σ A σ B =<br />
= √ (0, 4) 2 (0, 2) 2 + (0, 6) 2 (0, 28) 2 + 2(0, 3)(0, 4)(0, 6)(0, 2)(0, 28) = 0, 2.<br />
Da tali dati, considerando l’Equazione<br />
(<br />
(4.1), si<br />
)<br />
deduce che, in questo esempio, l’equazione<br />
della CML è data da: µ P = 0, 05 + σ P = 0, 05 + 4 σ P .<br />
0,13−0,05<br />
0,2<br />
Prima <strong>di</strong> passare ad analizzare più dettagliatamente la relazione che <strong>su</strong>ssiste, in equilibrio,<br />
tra ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un singolo titolo e il <strong>su</strong>o rischio in base alle ipotesi del<br />
CAPM, è opportuno evidenziare ulteriormente alcune importanti proprietà del portafoglio<br />
<strong>di</strong> mercato che ci porteranno anche a fornirne una definizione più precisa. In primo luogo,<br />
è possibile affermare che tutte le attività finanziarie (rischiose) <strong>di</strong>sponibili <strong>su</strong>l mercato<br />
saranno presenti nel portafoglio <strong>di</strong> mercato. In altri termini, non sarà mai possibile che<br />
un’attività finanziaria <strong>di</strong>sponibile abbia una quota pari a zero nel portafoglio <strong>di</strong> mercato.<br />
89
III. Linea del mercato delle attività<br />
4. CAPM<br />
Per capire questa affermazione occorre tener presente che il concetto <strong>di</strong> portafoglio <strong>di</strong><br />
mercato è un concetto <strong>di</strong> equilibrio. Se un’attività fosse presente <strong>su</strong>l mercato ma non<br />
fosse detenuta dagli investitori, si determinerebbe un’eccesso <strong>di</strong> offerta per quel titolo.<br />
Questo produrrebbe una caduta del <strong>su</strong>o prezzo e, conseguentemente, un aumento del <strong>su</strong>o<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso (si ricor<strong>di</strong> la formula generale del ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo). Ma ciò<br />
spingerebbe gli investitori a domandare l’attività per cui, in equilibrio (domanda uguale<br />
all’offerta), il relativo titolo entrerà certamente a far parte, in una qualche proporzione<br />
positiva, del portafoglio <strong>di</strong> mercato. Analogamente, se un’attività fosse domandata in<br />
una quantità maggiore rispetto a quella <strong>di</strong>sponibile (offerta) <strong>su</strong>l mercato, il <strong>su</strong>o prezzo<br />
salirebbe, mentre il ren<strong>di</strong>mento scenderebbe. Ciò spingerebbe gli investitori a ridurre la<br />
domanda del titolo fino a quando domanda e offerta non si equilibrano. Nel portafoglio<br />
<strong>di</strong> mercato, quin<strong>di</strong>, il titolo sarà presente proprio nella proporzione per cui il prezzo e il<br />
ren<strong>di</strong>mento (atteso) sono tali da garantire l’uguaglianza tra domanda e offerta. 3<br />
Definizione 11 (Portafoglio <strong>di</strong> mercato)<br />
Il portafoglio <strong>di</strong> mercato è il portafoglio composto da tutti i titoli (rischiosi) presenti <strong>su</strong>l<br />
mercato, dove le quote <strong>dei</strong> <strong>di</strong>versi titoli sono quelle detenute in equilibrio dal mercato nel<br />
<strong>su</strong>o complesso, ossia quelle per cui, per ciascun titolo, la domanda e l’offerta <strong>di</strong> mercato<br />
sono uguali. 4<br />
III<br />
Linea del mercato delle attività<br />
In base alla Definizione 10, la linea del mercato <strong>dei</strong> capitali esprime la relazione <strong>di</strong><br />
equilibrio tra il ren<strong>di</strong>mento atteso e il rischio (deviazione standard) <strong>dei</strong> portafogli efficienti.<br />
Peraltro, <strong>di</strong> per sé, essa non fornisce alcuna in<strong>di</strong>cazione <strong>su</strong>lla relazione tra il ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso e il rischio delle singole attività finanziarie.<br />
Infatti, in generale, i singoli titoli<br />
finanziari (o, più precisamente i portafogli composti esclusivamente da un solo titolo)<br />
non si collocheranno <strong>su</strong>lla CML, in quanto, come sappiamo dal capitolo precedente,<br />
3 Ovviamente, la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio dovrà essere sod<strong>di</strong>sfatta anche per il titolo risk-free. In<br />
particolare, il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> tale titolo dovrà essere tale per cui l’ammontare <strong>di</strong> risorse prese a<br />
prestito e quelle prestate a quel tasso sono le stesse.<br />
4 Sebbene l’idea <strong>di</strong> portafoglio <strong>di</strong> mercato sia piuttosto intuitiva e, ai fini pratici, molto rilevante<br />
(ad esempio, nel portafoglio <strong>di</strong> mercato dovrebbe investire un fondo comune che intendesse attuare una<br />
strategia passiva <strong>di</strong> investimento, non scommettendo cioè <strong>su</strong> un particolare titolo, ma puntando <strong>su</strong>lla più<br />
ampia <strong>di</strong>versificazione possibile), in<strong>di</strong>viduarlo esattamente, in concreto, non è compito facile. Ad esempio,<br />
quali titoli rischiosi dovrebbero essere inclusi nel portafoglio <strong>di</strong> mercato (solo azioni o anche obbligazioni)<br />
Solo titoli nazionali o anche stranieri Altri investimenti rischiosi non prettamente finanziari, come quelli<br />
in capitale umano, immobili, metalli preziosi e opere d’arte, andrebbero considerati nel portafoglio <strong>di</strong><br />
mercato E in che modo A causa <strong>di</strong> tali questioni, <strong>di</strong> non semplice soluzione, generalmente viene fatto<br />
riferimento ad alcune proxy del portafoglio <strong>di</strong> mercato che consistono negli in<strong>di</strong>ci azionari della borsa nel<br />
<strong>su</strong>o complesso (quale, ad esempio, il FTSE MIB per l’Italia o lo S&P 500 per gli Stati Uniti).<br />
90
4. CAPM III. Linea del mercato delle attività<br />
µ P<br />
CML<br />
P M<br />
P i<br />
r 0<br />
σ P<br />
Figura 4.2: Derivazione della linea del mercato delle attività<br />
portafogli composti da un solo titolo sono generalmente inefficienti. Per approfon<strong>di</strong>re la<br />
relazione che <strong>su</strong>ssiste (in equilibrio) tra il ren<strong>di</strong>mento e il rischio <strong>dei</strong> singoli titoli occorre<br />
quin<strong>di</strong> sviluppare un’analisi più dettagliata che, in primo luogo, consisterà nel derivarne<br />
formalmente l’equazione.<br />
III.A<br />
Derivazione della linea del mercato delle attività<br />
Si consideri la Figura 4.2 dove il portafoglio P i è composto dal solo titolo generico<br />
i. Chiaramente, dal momento che con il portafoglio P i i vantaggi della <strong>di</strong>versificazione<br />
non sono sfruttati, esso non è un portafoglio efficiente per cui non si colloca <strong>su</strong>lla CML<br />
e neppure <strong>su</strong>lla frontiera efficiente con soli titoli rischiosi (si trova infatti all’interno della<br />
frontiera <strong>dei</strong> portafogli con solo titoli rischiosi). Esistono cioè altri portafogli (anche<br />
composti da soli titoli rischiosi) che, rispetto a P i , consentono, a parità <strong>di</strong> rischio, <strong>di</strong> ottenere<br />
un ren<strong>di</strong>mento atteso maggiore oppure, a parità <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso, conferiscono<br />
all’investitore un più basso rischio.<br />
Ammettiamo adesso <strong>di</strong> combinare in quote a i e (1 − a i ) il portafoglio P i con il portafoglio<br />
<strong>di</strong> mercato P M , ottenedo così un nuovo portafoglio P con ren<strong>di</strong>mento atteso e<br />
varianza dati da:<br />
µ P = a i µ i + (1 − a i )µ M (4.2)<br />
91
III. Linea del mercato delle attività<br />
4. CAPM<br />
σP 2 = a 2 i σi 2 + (1 − a i ) 2 σM 2 + 2a i (1 − a i )σ iM . (4.3)<br />
Per ragioni che dovrebbero essere adesso chiare, in base al valore as<strong>su</strong>nto da a i , il<br />
nuovo portafoglio P si collocherà in un punto <strong>su</strong>lla curva tratteggiata che passa per i<br />
punti P i e P M (si tenga presente che sia P i che P M sono portafogli composti da soli titoli<br />
rischiosi). In particolare, nello spazio (σ P , µ P ), l’inclinazione della curva tratteggiata è<br />
data da dµ P /dσ P , 5 che può essere anche riscritta nel modo seguente:<br />
dµ P<br />
dσ P<br />
= dµ P /da i<br />
dσ P /da i<br />
. (4.4)<br />
Utilizzando l’Espressione (4.2) è semplice calcolare che:<br />
Per calcolare invece dσ P /da i occorre considerare che:<br />
dµ P<br />
da i<br />
= µ i − µ M . (4.5)<br />
dσ 2 P<br />
dσ P<br />
· dσ P<br />
da i<br />
= dσ2 P<br />
da i<br />
⇔ dσ P<br />
da i<br />
dove, utilizzando l’Espressione (4.3), abbiamo che:<br />
= dσ2 P /da i<br />
dσ 2 P /dσ P<br />
(4.6)<br />
e<br />
dσ 2 P<br />
da i<br />
= 2a i σ 2 i − 2(1 − a i )σ 2 M + 2(1 − 2a i )σ iM (4.7)<br />
per cui:<br />
dσ 2 P<br />
dσ P<br />
= 2σ P (4.8)<br />
dσ P<br />
da i<br />
= 2a iσ 2 i − 2(1 − a i )σ 2 M + 2(1 − 2a i)σ iM<br />
2σ P<br />
. (4.9)<br />
L’ultimo passo da compiere consiste nel considerare che in corrispondenza del portafoglio<br />
<strong>di</strong> mercato P M , la curva tratteggiata in Figura 4.2 è tangente alla linea del mercato<br />
<strong>dei</strong> capitali, 6 per cui la <strong>su</strong>a inclinazione, in quel punto, coincide proprio con quella della<br />
CML, ossia (µ M − r 0 )/σ M . Peraltro, in corrispondenza <strong>di</strong> P M , avremo anche che a i = 0<br />
e P = P M , per cui, utilizzando le Espressioni (4.4), (4.5) e (4.9) (con a i = 0 e σ P = σ M )<br />
otteniamo:<br />
5 Si noti che, trattandosi <strong>di</strong> una curva, l’inclinazione varia in ogni <strong>su</strong>o punto.<br />
6 Chiaramente, la curva tratteggiata non può “tagliare” la CML. Se così non fosse, infatti, non tutti<br />
i portafogli <strong>su</strong>lla CML sarebbero efficienti, il che contrasterebbe con la <strong>su</strong>a stessa definizione.<br />
92
4. CAPM III. Linea del mercato delle attività<br />
dµ P<br />
dσ P<br />
| ai =0 = (µ i − µ M )σ M<br />
σ iM − σ 2 M<br />
da cui, risolvendo con alcuni passaggi algebrici rispetto a µ i :<br />
σ 2 M<br />
= µ M − r 0<br />
σ M<br />
(4.10)<br />
( )<br />
µM − r 0<br />
E[r i ] ≡ µ i = r 0 +<br />
σ iM . (4.11)<br />
L’Equazione (17) rappresenta una linea retta con intercetta r 0 e inclinazione (µ M −<br />
r 0 )/σM 2 . Poiché l’inclinazione è certamente positiva, essa in<strong>di</strong>ca che, in equilibrio, le attività<br />
finanziarie che presentano covarianze con il ren<strong>di</strong>mento del mercato nel <strong>su</strong>o complesso<br />
σ iM più elevate saranno caratterizzate da ren<strong>di</strong>menti attesi maggiori. La relazione espressa<br />
dall’Equazione (17) è nota come linea del mercato delle attività o security market<br />
line (SML).<br />
Definendo con β i ≡ σ iM /σM 2 , la SML può anche essere riscritta nel modo seguente:<br />
µ i = r 0 + (µ M − r 0 )β i (4.12)<br />
dove il termine β i è noto come beta dell’attività i-esima ed esprime la reattività del<br />
ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> tale attività rispetto a variazioni del ren<strong>di</strong>mento me<strong>di</strong>o del mercato nel <strong>su</strong>o<br />
complesso (cioè rispetto a varizioni del ren<strong>di</strong>mento del portafoglio <strong>di</strong> mercato).<br />
Definizione 12 (Linea del mercato delle attività)<br />
La linea del mercato delle attività, o SML, esprime la relazione <strong>di</strong> equilibrio tra il ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso e il rischio delle singole attività finanziarie, dove il rischio è espresso dal<br />
beta delle attività.<br />
L’Equazione (4.12), che, in Figura 4.3, è stata rappresentata graficamente nello spazio<br />
(β i ,µ i ), è il nocciolo del CAPM. Essa esprime il fatto che per calcolare il ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso <strong>di</strong> un titolo finanziario è necessario conoscere due sole cose (oltre all’informazione,<br />
facilmente <strong>di</strong>sponibile, <strong>su</strong>l tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento del titolo privo <strong>di</strong> rischio): i) il ren<strong>di</strong>mento<br />
atteso del mercato nel <strong>su</strong>o complesso e ii) il beta del titolo considerato. Essa stabilisce,<br />
inoltre, che in equilibrio <strong>su</strong>ssiste una relazione lineare tra il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un titolo<br />
e il rischio (espresso dal beta del titolo) ad esso associato.<br />
È importante evidenziare alcune interessanti proprietà <strong>dei</strong> beta delle attività finanziarie<br />
e della SML. In primo luogo, considerando che σ 0M = 0 e σ MM = σM 2 è imme<strong>di</strong>ato<br />
stabilire che β 0 = 0 e β M = 1, ossia il beta dell’attività priva <strong>di</strong> rischio è nullo, mentre<br />
il beta <strong>di</strong> mercato è pari a uno. Può poi essere utile ricavare il premio per il rischio<br />
(risk premium) dell’attività i-esima, definito come la <strong>di</strong>fferenza fra il ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
dell’attività i e il ren<strong>di</strong>mento dell’attività senza rischio, ossia µ i − r 0 . Utilizzando<br />
l’Equazione (4.12), esso è dato da:<br />
93
III. Linea del mercato delle attività<br />
4. CAPM<br />
µ i<br />
β i<br />
r 0<br />
µ M − r 0<br />
SML<br />
Figura 4.3: Linea del mercato delle attività (SML)<br />
µ i − r 0 = (µ M − r 0 )β i . (4.13)<br />
In base all’Equazione (4.13) emerge come per investimenti rischiosi (cioè in attività<br />
caratterizzate da un beta positivo), il premio per il rischio prevede un tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
aggiuntivo proporzionale alla reattività rispetto al mercato. Titoli con coefficienti <strong>di</strong><br />
reattività inferiori alla me<strong>di</strong>a (β i < 1) dovrebbero comportare un premio per il rischio<br />
inferiore a quello del mercato nel <strong>su</strong>o complesso. Viceversa, titoli con coefficienti <strong>di</strong><br />
reattività <strong>su</strong>periori alla me<strong>di</strong>a (β i > 1) dovrebbero comportare un premio per il rischio<br />
<strong>su</strong>periore a quello del mercato. Inoltre, dall’Espressione (4.13) emerge anche che potrebbe<br />
(raramente) accadere che un’attività presenti un ren<strong>di</strong>mento atteso più basso <strong>di</strong> quello<br />
dell’attività priva <strong>di</strong> rischio, cioè un premio per il rischio negativo. Ciò potrebbe <strong>su</strong>ccedere<br />
perchè il <strong>su</strong>o beta è negativo, ossia se il <strong>su</strong>o ren<strong>di</strong>mento atteso è correlato negativamente<br />
al ren<strong>di</strong>mento atteso del portafoglio <strong>di</strong> mercato, ossia ρ iM ≡ σ iM /(σ i σ M ) < 0 (in Figura<br />
4.3 si tratterebbe <strong>dei</strong> titoli che si collocano <strong>su</strong>lla SML a sinistra <strong>di</strong> r 0 ).<br />
Infine, oltre al beta <strong>di</strong> un’attività è possibile calcolare anche quello <strong>di</strong> un’intero portafoglio:<br />
quest’ultimo è uguale alla me<strong>di</strong>a ponderata <strong>dei</strong> beta delle attività incluse nel portafoglio,<br />
dove i pesi sono dati dalle quote delle singole attività <strong>su</strong>l totale del portafoglio.<br />
Formalmente, il beta <strong>di</strong> un generico portafoglio P è dato da:<br />
β P =<br />
n∑<br />
a i β i . (4.14)<br />
i=1<br />
94
4. CAPM III. Linea del mercato delle attività<br />
Di consequenza, non solo ogni singola attività finanziaria si collocherà <strong>su</strong>lla SML, ma<br />
anche ciascun portafoglio formato con le attività presenti <strong>su</strong>l mercato. In particolare,<br />
la relazione <strong>di</strong> equilibrio tra il ren<strong>di</strong>mento atteso e il rischio <strong>di</strong> ogni generico portafoglio<br />
P sarà definita dall’equazione µ P = r 0 + (µ M − r 0 )β P . Tutto ciò inoltre consente <strong>di</strong><br />
chiarire meglio una delle <strong>di</strong>fferenze sostanziali che <strong>su</strong>ssistono tra la linea del mercato <strong>dei</strong><br />
capitali (CML) e la linea del mercato delle attività (SML): nella prima sono inclusi<br />
esclusivamente i portafogli efficienti, mentre quelli inefficienti si collocano al <strong>di</strong> sotto della<br />
linea; nella seconda, invece, si collocano tutti i portafogli, siano essi efficienti o inefficienti<br />
(compresi quelli formati con un solo titolo).<br />
Infine, proprio con riferimento ai portafogli efficienti, cioè i portafogli che si collocano<br />
<strong>su</strong>lla CML, è possibile utilizzare l’Espressione (4.14) per calcolarne facilmente il relativo<br />
beta. Infatti, per ciascun portafoglio efficiente, P EF F , composto per una quota a 0 dal<br />
titolo risk-free e una quota a M = 1 − a 0 dal portafoglio <strong>di</strong> mercato, avremo che il relativo<br />
beta sarà dato da (si ricor<strong>di</strong> che β 0 = 0 e β M = 1):<br />
β EF F = a 0 β 0 + a M β M = a M . (4.15)<br />
Dall’Espressione (4.15) emerge chiaramente come per portafogli efficienti composti in<br />
parte dal titolo privo <strong>di</strong> rischio e in parte dal portafoglio <strong>di</strong> mercato (per cui vale a 0 > 0)<br />
avremo che 0 < β EF F = a M < 1, per cui in equilibrio saranno caratterizzati da un premio<br />
per il rischio positivo, ma inferiore a quello del portafoglio <strong>di</strong> mercato. Viceversa, per<br />
portafogli efficienti con debito (per cui vale a 0 < 0) avremo che β EF F = a M > 1 e,<br />
in equilibrio, il relativo premio per il rischio sarà maggiore <strong>di</strong> quello del portafoglio <strong>di</strong><br />
mercato.<br />
Esempio 17<br />
Si considerino i dati esposti nella seguente tabella in relazioni ai singoli titoli A e B, al<br />
portafoglio <strong>di</strong> mercato (M) e al titolo risk-free (RF ):<br />
Attività ρ iM σ<br />
A 0,9 0,2<br />
B 0,8 0,09<br />
M 1 0,12<br />
RF 0 0<br />
Considerando che il ren<strong>di</strong>mento del titolo privo <strong>di</strong> rischio è r 0 = 0, 05 mentre quello<br />
atteso del mercato è µ M = 0, 12, si definisca l’equazione della SML, si calcolino i beta e<br />
i premi per il rischio delle attività A e B e quelli <strong>di</strong> un portafoglio composto per il 40%<br />
dall’attività A e per il 60% dall’attività B.<br />
95
III. Linea del mercato delle attività<br />
4. CAPM<br />
Utilizzando l’Equazione (4.12), la SML è data da:<br />
µ i = 0, 05 + 0, 07β i .<br />
Inoltre, considerando che σ iM ≡ ρ iM σ i σ M , con i dati a <strong>di</strong>sposizione è facile calcolare i<br />
beta delle due attività:<br />
β A =<br />
0, 9(0, 2)(0, 12)<br />
(0, 12) 2 = 1, 5; β B =<br />
che implicano i seguenti premi per il rischio:<br />
0, 8(0, 09)(0, 12)<br />
(0, 12) 2 = 0, 6<br />
µ A − r 0 = 1, 5(0, 07) = 0, 105; µ B − r 0 = 0, 6(0, 07) = 0, 042. 7<br />
Infine, considerando l’Espressione (4.14), avremo che il beta e il premio per il rischio<br />
del portafoglio saranno, rispettivamente:<br />
β P = 0, 4(1, 5) + 0, 6(0, 6) = 0, 96; µ P − r 0 = 0, 96(0, 07) = 0, 0672.<br />
III.B<br />
Prezzi <strong>di</strong> equilibrio<br />
Stabiliti come si comportano i ren<strong>di</strong>menti attesi in equilibrio è possibile esprimere<br />
il tutto anche in termini <strong>dei</strong> prezzi <strong>di</strong> equilibrio delle attività. Ricordando la formula<br />
generale per calcolare il tasso atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un’attività generica i, ossia:<br />
E[r i ] ≡ µ i = E [v i] − p i<br />
p i<br />
(4.16)<br />
sostituendola nell’equazione della SML, cioè nell’Espressione (4.12), otteniamo:<br />
da cui, risolvendo rispetto a p i :<br />
E [v i ] − p i<br />
p i<br />
= r 0 + (µ M − r 0 )β i (4.17)<br />
p i =<br />
E [v i ]<br />
1 + r 0 + (µ M − r 0 )β i<br />
. (4.18)<br />
L’Equazione (4.18) afferma che, in equilibrio, il prezzo dell’attività i, p i , deve essere<br />
pari al valore “scontato” del <strong>su</strong>o prezzo atteso (o, più in generale, del totale <strong>dei</strong> <strong>su</strong>oi payoffs<br />
attesi) E[v i ], dove il tasso <strong>di</strong> sconto tiene conto del ren<strong>di</strong>mento dell’attività priva <strong>di</strong> rischio<br />
r 0 (come sarebbe nel caso con investitori neutrali al rischio), ma anche del rischio che il<br />
7 Si noti come, alternativamente, i premi per il rischio si sarebbero potuti ottenere calcolando i<br />
ren<strong>di</strong>menti attesi <strong>di</strong> equilibrio <strong>dei</strong> due titoli utilizzando l’equazione della SML e sottraendo il tasso<br />
risk-free.<br />
96
4. CAPM III. Linea del mercato delle attività<br />
detenere tale attività comporta per l’investitore, ossia β i (µ M − r 0 ); come abbiamo visto<br />
in precedenza, infatti, quest’ultimo termine rappresenta proprio il premio per il rischio<br />
associato all’attività i-esima.<br />
III.C<br />
Disequilibrio e aggiustamento<br />
Come abbiamo visto, la linea del mercato delle attività o SML rappresenta tutte le<br />
combinazioni <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento atteso e beta che le attività mostrano in equilibrio se vale<br />
la teoria del CAPM. L’equazione che la caratterizza (Equazione (4.12)) si presta inoltre<br />
a essere verificata empiricamente una volta fissato r 0 e calcolato (tramite dati storici)<br />
il ren<strong>di</strong>mento atteso e il beta <strong>di</strong> ogni attività. In particolare, il CAPM pre<strong>di</strong>ce che le<br />
combinazioni effettivamente osservate tra i ren<strong>di</strong>menti attesi e i beta <strong>di</strong> tutte le attività<br />
dovrebbero posizionarsi intorno alla SML (la possibilità <strong>di</strong> un errore statistico nella<br />
realizzazione del ren<strong>di</strong>mento può implicare che la combinazione effettivamente osservata<br />
<strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento/rischio non si collochi esattamente <strong>su</strong>lla SML).<br />
µ i<br />
β i<br />
µ O A<br />
µ A<br />
P A<br />
SML<br />
r 0<br />
P B<br />
β A<br />
Figura 4.4: Disequilibrio nel modello CAPM<br />
La SML fornisce anche l’intuizione <strong>di</strong> cosa dovrebbe <strong>su</strong>ccedere se il mercato non fosse<br />
in equilibrio, ossia se si osservasse una combinazione (µ i , β i ) situata fuori della SML. Si<br />
consideri a questo riguardo la Figura 4.4. Come rappresentato in figura, ammettiamo, ad<br />
esempio, che il portafoglio P A , composto solo dal titolo A (ma considerazioni del tutto<br />
analoghe valgono anche per un portafoglio “<strong>di</strong>versificato, cioè composto da <strong>di</strong>versi titoli),<br />
presenti una combinazione ren<strong>di</strong>mento atteso/rischio che ri<strong>su</strong>lta essere sopra la SML.<br />
97
IV. Rischio <strong>di</strong> mercato e <strong>di</strong>versificazione del portafoglio<br />
4. CAPM<br />
In tale situazione, dato β A , il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> equilibrio sarebbe dovuto essere µ A<br />
(quello corrispondente <strong>su</strong>lla SML). Invece il ren<strong>di</strong>mento atteso corrente che si osserva<br />
<strong>su</strong>l mercato è µ O A (l’apice O si riferisce proprio al fatto che si tratta del ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
effettivamente osservato) che è inferiore a µ A . In questa situazione l’attività A appare<br />
sottovalutata (undervalued) o sottoprezzata (underpriced). Infatti, ricordando che il tasso<br />
atteso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento <strong>di</strong> un titolo generico i è dato da µ i = (E[v i ] − p i )/p i = (E[v i ]/p i ) − 1,<br />
dato il valore atteso del prezzo dell’attività A, E[v A ], avremo che:<br />
µ O A = E [v A]<br />
p O A<br />
− 1 > µ A = E [v A]<br />
p A<br />
− 1 ⇔ p O A < p A (4.19)<br />
dove p A è il prezzo dell’attività A corrispondente a µ A , ossia il <strong>su</strong>o prezzo <strong>di</strong> equilibrio.<br />
Ovviamente, in tutto questo ragionamento è implicita l’as<strong>su</strong>nzione (alla base del CA-<br />
PM) che gli investitori abbiano aspettative omogenee <strong>su</strong> E[v A ]. In questo caso, quin<strong>di</strong>,<br />
poiché l’attività A è sottovalutata, tutti gli investitori (se credono al CAPM) tenderanno<br />
a domandarne una quantità maggiore e ciò produrrà un aumento del prezzo corrente p O A ;<br />
ciò proseguirà fino a che p O A = p A che implica µ O A = µ A, per cui l’attività A si collocherà<br />
adesso <strong>su</strong>lla SML (in equilibrio). Di converso la coppia ren<strong>di</strong>mento atteso/rischio relativa<br />
all’attività B (rappresentata dal portafoglio P B nella figura), che ri<strong>su</strong>lta sotto la SML,<br />
segnala che l’attività B è sopravalutata (overvalued) o sovraprezzata (overpriced). In tale<br />
caso, in base ad un ragionamento analogo al precedente, il prezzo corrente dell’attività B<br />
dovrebbe <strong>di</strong>minuire, e il <strong>su</strong>o ren<strong>di</strong>mento atteso salire, fino a che il punto B non sarà <strong>su</strong>lla<br />
SML.<br />
IV<br />
Rischio <strong>di</strong> mercato e <strong>di</strong>versificazione del portafoglio<br />
Una questione che è importante approfon<strong>di</strong>re è la seguente. In base alle pre<strong>di</strong>zioni<br />
del CAPM, in equilibrio, il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un titolo finanziario dovrebbe <strong>di</strong>pendere<br />
dal beta del titolo. In altri termini, il beta del titolo esprime il rischio rilevante ai<br />
fini della determinazione del ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> equilibrio del titolo. Ma il beta <strong>di</strong><br />
un’attività finanziaria non coincide in realtà con il <strong>su</strong>o rischio complessivo, che è invece<br />
rappresentato dalla varianza del <strong>su</strong>o ren<strong>di</strong>mento. In particolare, in base al modello CAPM,<br />
in<strong>di</strong>cando con ε i un termine <strong>di</strong> errore statistico con valore atteso nullo (E[ε i ] = 0) relativo<br />
al ren<strong>di</strong>mento del titolo i-esimo, in equilibrio, il ren<strong>di</strong>mento effettivamente osservato <strong>di</strong><br />
tale titolo dovrebbe ri<strong>su</strong>ltare pari a:<br />
r i = r 0 + (r M − r 0 )β i + ε i (4.20)<br />
98
4. CAPM IV. Rischio <strong>di</strong> mercato e <strong>di</strong>versificazione del portafoglio<br />
che, sotto l’ipotesi che le variabili r M (il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento del portafoglio <strong>di</strong> mercato)<br />
e ε i non siano correlate (ossia, E[r M ε i ] = 0), implica che la varianza <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti del<br />
titolo i, σ 2 i , può essere espressa come: 8<br />
σ 2 i = β 2 i σ 2 M + σ 2 ε i<br />
. (4.21)<br />
L’Equazione (4.21) mostra che il rischio complessivo associato all’attività i può essere<br />
scomposto nella somma <strong>di</strong> un rischio connesso alle fluttuazioni del mercato, chiamato<br />
anche rischio sistematico o rischio <strong>di</strong> mercato, ossia βi 2 σM 2 , e <strong>di</strong> un rischio specifico<br />
della sola attività i-esima, chiamato anche rischio i<strong>di</strong>osincratico o rischio non <strong>di</strong> mercato,<br />
ossia σ 2 ε i<br />
. La questione che quin<strong>di</strong> può sorgere spontanea è perché, in equilibrio, il<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso del titolo non <strong>di</strong>pende dal <strong>su</strong>o rischio complessivo o, in altri termini,<br />
perché la componente <strong>di</strong> rischio non <strong>di</strong> mercato (che non <strong>di</strong>pende dal beta del titolo) non<br />
contribuisce a determinarne il ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
Per fornire l’intuizione <strong>su</strong>lla risposta a tale questione, si consideri innanzitutto che,<br />
poiché l’Espressione (4.21) vale per ogni singola attivitá finanziaria, essa deve valere anche<br />
per ciascun portafoglio P composto da <strong>di</strong>fferenti titoli:<br />
σP 2 = βP 2 σM 2 + σε 2 P<br />
(4.22)<br />
dove σε 2 P<br />
rappresenta la varianza del termine <strong>di</strong> errore relativo al ren<strong>di</strong>mento dell’intero<br />
portafoglio P , con ε P = ∑ i a iε i (dove a i è la quota del titolo i presente nel portafoglio<br />
P ).<br />
Sotto certe con<strong>di</strong>zioni e tramite un’adeguata scelta delle quote a i che compongono<br />
il portafoglio (in altri termini, tramite un’adeguata <strong>di</strong>versificazione dell’investimento), si<br />
può adesso <strong>di</strong>mostrare come sia possibile eliminare la componente i<strong>di</strong>osincratica del rischio<br />
associato al portafoglio (che si ricollega alla componente i<strong>di</strong>osincratica, o non <strong>di</strong> mercato,<br />
del rischio delle singole attività che lo compongono). In particolare, as<strong>su</strong>miamo che: i) il<br />
numero <strong>di</strong> attività presenti in portafoglio sia N con a i = 1/N (ad esempio, se N = 100<br />
ciascun titolo è presente in una quota pari all’ 1% dell’intero portafoglio); e ii) i termini<br />
8 Infatti:<br />
[<br />
σi 2 = E<br />
[<br />
(r i − µ i ) 2] = E<br />
[<br />
(r i − r 0 − β i (µ M − r 0 )) 2] =<br />
= E (r 0 + β i (r M − r 0 ) + ε i − r 0 − β i (µ M − r 0 )) 2] =<br />
[<br />
= E (β i (r M − µ M ) + ε i ) 2] ]<br />
= E<br />
[β i 2 (r M − µ M ) 2 + ε 2 i + 2β i (r M − µ M ) ε i =<br />
= β 2 i σ 2 M + σ 2 ε i<br />
+ 2β i E [(r M − µ M ]) ε i ] .<br />
Sotto l’ipotesi che E[(r M − µ M ) ε i ] = 0, ossia che E[r M ε i ] = 0, otteniamo il ri<strong>su</strong>ltato riportato<br />
nell’Equazione (4.21).<br />
99
IV. Rischio <strong>di</strong> mercato e <strong>di</strong>versificazione del portafoglio<br />
4. CAPM<br />
<strong>di</strong> errore <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti <strong>dei</strong> <strong>di</strong>versi titoli siano tra loro non correlati (σ εi ε j<br />
i ≠ j). In tali circostanze, avremo che:<br />
= 0, ∀i, j con<br />
σ 2 ε P<br />
=<br />
N∑<br />
a 2 i σε 2 i<br />
=<br />
i=1<br />
N∑<br />
( ) 2 1<br />
σε 2 N i<br />
= 1 N<br />
i=1<br />
N∑<br />
i=1<br />
σ 2 ε i<br />
N . (4.23)<br />
In base all’Espressione (4.23), sotto con<strong>di</strong>zioni molto generali, ossia che la me<strong>di</strong>a delle<br />
varianze <strong>dei</strong> termini <strong>di</strong> errore, ∑ i σ2 ε i<br />
/N, sia limitata al crescere <strong>di</strong> N (questo <strong>su</strong>ccede se<br />
le varianze sono finite), otteniamo che quando N → ∞ allora σε 2 P<br />
→ 0. In altri termini,<br />
tramite un’adeguata <strong>di</strong>versificazione del portafoglio <strong>di</strong> investimento, il ruolo della componente<br />
i<strong>di</strong>osincratica <strong>di</strong> rischio delle singole attività che compongono il portafoglio può<br />
essere completamente eliminata. 9 Ciò, inoltre, fornisce anche una spiegazione del perché,<br />
in base al modello CAPM, solo il rischio <strong>di</strong> mercato <strong>di</strong> un’attività finanziaria determina il<br />
<strong>su</strong>o ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> equilibrio: infatti, in equilibrio (dove sono sfruttate tutte le opportunità<br />
<strong>di</strong> ridurre il rischio tramite un’adeguata <strong>di</strong>versificazione del portafoglio), solo la<br />
componente <strong>di</strong> rischio dell’attività che non può essere eliminata tramite la <strong>di</strong>versificazione<br />
(ossia la componente <strong>di</strong> rischio <strong>di</strong> mercato) giocherà un ruolo rilevante nel determinarne<br />
il ren<strong>di</strong>mento atteso (e, con esso, il prezzo e il premio per il rischio).<br />
Dobbiamo infine osservare che <strong>di</strong>versificare il portafoglio può non essere l’unico modo<br />
per <strong>di</strong>minuire il rischio i<strong>di</strong>osincratico. In effetti, l’investitore potrebbe decidere <strong>di</strong><br />
impiegare delle risorse per ottenere un’informazione più precisa <strong>su</strong>lle caratteristiche <strong>di</strong> alcune<br />
particolari attività. Questo comporterebbe una <strong>di</strong>minuzione della varianza relativa<br />
al ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> queste particolari attività e quin<strong>di</strong> una riduzione della varianza<br />
complessiva del portafoglio.<br />
Esempio 18<br />
Ipotizzando che la deviazione standard del ren<strong>di</strong>mento del portafoglio <strong>di</strong> mercato sia<br />
σ M = 15, 2, si calcolino il rischio <strong>di</strong> mercato e quello i<strong>di</strong>osincratico (non <strong>di</strong> mercato) delle<br />
tre attività A, B e C, i cui dati rilevanti sono riportati nella tabella sottostante:<br />
9 Si osservi che se esiste una covarianza non nulla fra i termini <strong>di</strong> errore <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti allora non<br />
è possibile, in generale, concludere che il rischio i<strong>di</strong>osincratico possa essere annullato. A tal proposito,<br />
è interessante notare che, rigorosamente, l’ipotesi assoluta <strong>di</strong> covarianze nulle non è coerente con il<br />
modello CAPM. Infatti, nel CAPM, esiste in equilibrio una correlazione positiva fra le <strong>di</strong>verse componenti<br />
i<strong>di</strong>osincratiche <strong>dei</strong> ren<strong>di</strong>menti delle attività. In realtà, la conclusione che abbiamo appena raggiunto vale<br />
anche nel CAPM, ma la <strong>di</strong>mostrazione ri<strong>su</strong>lta più complicata in quanto implica l’applicazione <strong>di</strong> una<br />
versione della Legge <strong>dei</strong> Gran<strong>di</strong> Numeri che permetta una minima covarianza fra i ren<strong>di</strong>menti.<br />
100
4. CAPM V. In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance basati <strong>su</strong>l CAPM<br />
Attività β σ<br />
A 0,66 14,6<br />
B 1,11 28,9<br />
C 1,02 85,4<br />
Innanzitutto, con i dati a <strong>di</strong>sposizione è semplice calcolare il rischio <strong>di</strong> mercato delle<br />
tre attività:<br />
β 2 Aσ 2 M = (0, 66) 2 (15, 2) 2 ≃ 100, 64<br />
β 2 Bσ 2 M = (1, 11) 2 (15, 2) 2 ≃ 284, 66<br />
β 2 Cσ 2 M = (1, 02) 2 (15, 2) 2 ≃ 240, 37.<br />
Inoltre, utilizzando l’Espressione (4.21), in generale, il rischio i<strong>di</strong>osincratico <strong>di</strong> un titolo<br />
può essere calcolato come σε 2 i<br />
= σi 2 − βi 2 σM 2 , per cui avremo che:<br />
σε 2 A<br />
≃ (14, 6) 2 − 100, 64 = 103, 76<br />
σε 2 B<br />
≃ (28, 9) 2 − 284, 66 = 550, 55<br />
σε 2 C<br />
≃ (85, 4) 2 − 240, 37 = 7052, 79.<br />
Si noti come, sebbene il ren<strong>di</strong>mento del titolo C abbia una varianza complessiva molto<br />
alta, gran parte <strong>di</strong> tale variabilità è riconducibile alla componente non <strong>di</strong> mercato del<br />
rischio del titolo. Siccome la componente <strong>di</strong> rischio non <strong>di</strong> mercato può essere eliminata<br />
con la <strong>di</strong>versificazione, ciò comporta che rispetto al titolo B, che presenta una variabilità<br />
complessiva del ren<strong>di</strong>mento meno elevata, il beta del titolo C sia minore. A <strong>su</strong>a volta,<br />
ciò implicherà che, sebbene nel complesso C sia più rischioso <strong>di</strong> B, il ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
<strong>di</strong> equilibrio del primo titolo sarà meno elevato <strong>di</strong> quello del secondo.<br />
V<br />
In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance basati <strong>su</strong>l CAPM<br />
Nel capitolo precedente abbiamo introdotto e analizzato alcuni in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance<br />
per singole attività finanziarie o per interi portafogli <strong>di</strong> investimento collegati al concetto <strong>di</strong><br />
frontiera efficiente. Adesso, presenteremo ulteriori in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance più strettamente<br />
connessi al modello CAPM. 10 A tale riguardo, un primo in<strong>di</strong>ce utilizzato in letteratura è<br />
10 L’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe, già analizzato nel Cap. 3, può essere interpretato anche in termini del CAPM.<br />
Infatti, in base a tale modello, ogni portafoglio detenuto dagli investitori in equilibrio (cioè che appartiene<br />
alla CML) deve presentare lo stesso valore in termine dell’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe. Inoltre, se un portafoglio<br />
101
V. In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance basati <strong>su</strong>l CAPM 4. CAPM<br />
l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Treynor che, per una generica attività (o un generico portafoglio) i è definito<br />
come segue:<br />
t i = µ i − r 0<br />
β i<br />
(4.24)<br />
da cui emerge che tale in<strong>di</strong>ce esprime il premio per il rischio dell’attività considerata,<br />
µ i − r 0 , normalizzato per il rischio dell’attività in termini del <strong>su</strong>o beta. Ad esempio, poiché<br />
il beta del portafoglio <strong>di</strong> mercato è uguale a uno, il <strong>su</strong>o in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Treynor sarà µ M −r 0 .<br />
Inoltre, tutti i portafogli efficienti, che si collocano come il portafoglio <strong>di</strong> mercato <strong>su</strong>lla<br />
CML, saranno anch’essi caratterizzati dallo stesso in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Treynor del portafoglio <strong>di</strong><br />
mercato. Di consequenza, un’attività (o un portafoglio) il cui in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Treynor è maggiore<br />
<strong>di</strong> µ M −r 0 sta mostrando un ren<strong>di</strong>mento “anormalmente” alto rispetto all’equilibrio del<br />
CAPM. Questo dovrebbe spingere gli investitori a comprare tale attività. Inoltre, analogamente<br />
per gli altri in<strong>di</strong>ci analizzati nel capitolo precedente, è anche possibile utilizzare<br />
l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Treynor per classificare attività/portafogli alternativi, preferendo quelle/i con<br />
l’in<strong>di</strong>ce più elevato.<br />
Un altro in<strong>di</strong>ce simile a quello <strong>di</strong> Treynor è l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Jensen che, per l’attività<br />
i-esima, deriva dalla seguente espressione:<br />
e, più precisamente, è dato da:<br />
µ i − r 0 = J i + (µ M − r 0 ) β i (4.25)<br />
J i = µ i − r 0 − (µ M − r 0 ) β i . (4.26)<br />
Valori dell’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Jensen maggiori <strong>di</strong> zero significano che l’attività considerata sta<br />
facendo meglio <strong>di</strong> quanto dovrebbe rispetto all’equilibrio (ossia, ha un ren<strong>di</strong>mento atteso<br />
anormalmente alto rispetto all’equilibrio previsto dal CAPM) e quin<strong>di</strong> vi è convenienza<br />
a comprarla; viceversa se J i è negativo. Anche l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Jensen può essere utilizzato<br />
per classificare <strong>di</strong>verse attività o portafogli e, a questo proposito, è utile osservare che<br />
esso fornisce lo stessa classificazione dell’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Treynor per le attività (portafogli) con<br />
beta positivo, ma non per quelle con beta negativo (infatti, è imme<strong>di</strong>ato verificare che<br />
t i = J i /β i + µ M − r 0 ossia J i = (t i − µ M + r 0 )β i ).<br />
Esempio 19<br />
Ipotizzando che il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> mercato sia µ M = 0, 15, mentre il tasso <strong>di</strong> ren<strong>di</strong>mento<br />
del titolo privo <strong>di</strong> rischio sia r 0 = 0, 05, si stabilisca, in base ai valori riportati<br />
presenta un in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Sharpe più basso <strong>di</strong> un altro portafoglio, allora il primo non potrà appartenere alla<br />
CML e, quin<strong>di</strong>, non potrà essere un portafoglio <strong>di</strong> equilibrio (ossia un portafoglio efficiente).<br />
102
4. CAPM V. In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance basati <strong>su</strong>l CAPM<br />
nella seguente tabella, quale delle attività A e B presenta la migliore performance in base<br />
all’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Jensen.<br />
Titolo µ σ β<br />
A 0,12 0,4 0<br />
B 0,18 0,3 1,5<br />
Calcolanda l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Jensen delle due attività otteniamo:<br />
e<br />
J A = 0, 12 − 0, 05 − (0, 15 − 0, 05)0 = 0, 07<br />
J B = 0, 18 − 0, 05 − (0, 15 − 0, 05)1, 5 = −0, 02<br />
da cui emerge chiaramente come, in base alla teoria del CAPM, il titolo A abbia una<br />
performance migliore <strong>di</strong> quella del titolo B.<br />
Si noti come non saremmo certamente arrivati a tale conclusione se si fossero considerati<br />
soltanto i valori del ren<strong>di</strong>mento atteso e della deviazione standard (senza considerare i<br />
beta) <strong>dei</strong> due titoli. Infatti, il titolo B ha un ren<strong>di</strong>mento atteso maggiore e una deviazione<br />
standard minore del titolo A. Ma, come sappiamo, nel CAPM ciò che rileva come rischio<br />
<strong>di</strong> un titolo è il <strong>su</strong>o beta e non la deviazione standard!<br />
Da ciò deriva anche che per confrontare il ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> due titoli a parità<br />
<strong>di</strong> rischio, occorre farlo tra due titoli con lo stesso beta. Tale considerazione ci aiuta<br />
ulteriormente a capire perchè il titolo A è un “buon titolo” (cioè un titolo con una buona<br />
performance), mentre lo stesso non vale per il titolo B (che ad<strong>di</strong>rittura presenta un in<strong>di</strong>ce<br />
<strong>di</strong> Jensen negativo). Infatti, il ren<strong>di</strong>mento atteso del titolo A può essere confrontato con<br />
quello del titolo privo <strong>di</strong> rischio (entrambi infatti hanno un beta pari a zero e, quin<strong>di</strong>,<br />
sono comparabili dal punto <strong>di</strong> vista del rischio) notando come il ren<strong>di</strong>mento del titolo A<br />
sia relativamente elevato (0, 12 contro 0, 05).<br />
Invece, il ren<strong>di</strong>mento atteso del titolo B deve essere confrontato con quello <strong>di</strong> un’attività<br />
(portafoglio) con lo stesso beta. Ad esempio, potrebbe essere confrontato con il<br />
ren<strong>di</strong>mento atteso <strong>di</strong> un portafoglio composto per una quota pari a 1, 5 dal portafoglio<br />
<strong>di</strong> mercato e una quota pari a −0, 5 dal titolo privo <strong>di</strong> rischio; infatti, il beta <strong>di</strong> questo<br />
portafoglio (con debito) è proprio 1, 5. Inoltre, (ricordando che µ M = 0, 15 e r 0 = 0, 05)<br />
il <strong>su</strong>o ren<strong>di</strong>mento atteso sarà −0, 5(0, 05) + 1, 5(0, 15) = 0, 2; quin<strong>di</strong>, a parità <strong>di</strong> rischio,<br />
fornisce un ren<strong>di</strong>mento maggiore <strong>di</strong> quello del titolo B (che è 0,18).<br />
103
V. In<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> performance basati <strong>su</strong>l CAPM 4. CAPM<br />
Letture <strong>di</strong> approfon<strong>di</strong>mento<br />
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,<br />
2005; Cap. 6.<br />
• Barucci E., Teoria <strong>dei</strong> mercati finanziari, il Mulino, 2000; Cap. 5.<br />
• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999; Cap.<br />
9.<br />
104