Note di studio su Economia dei Mercati Finanziari Primo Modulo

Economia dei Mercati Finanziari
Dipartimento di Scienze Economiche
Università di Pisa
Note di studio su
Economia dei Mercati Finanziari
Primo Modulo ∗
Davide Fiaschi e Nicola Meccheri
Dipartimento di Scienze Economiche
Università di Pisa
dfiaschi@ec.unipi.it – meccheri@ec.unipi.it
(aggiornate al 7 novembre 2011)
∗ Queste dispense costituiscono una prima versione, provvisoria e incompleta, con finalità
esclusivamente didattiche. Segnalazioni di eventuali errori o refusi sono davvero gradite e benvenute.

Indice
1 Aspetti Introduttivi 7
I Mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II Tasso di rendimento dei titoli finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III Intermediazione finanziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
IV Efficienza dei mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Scelte in Condizioni di Incertezza 25
I Definizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II Valore atteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III Utilità attesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
III.A Atteggiamento nei confronti del rischio . . . . . . . . . . . . . . . . 31
IV Domanda di assicurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
V Scelte di portafoglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
VI Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.1 Derivazione matematica del premio per il rischio e misure di avversione
al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.2 Utilità attesa e scelte di portafoglio: derivazione matematica . . . . 46
3 Modello Media-Varianza 49
I Preferenze degli investitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
II Portafoglio che minimizza il rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
II.A Tre casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
III Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi . . . . . . . . . . . . . . . . 59
III.A Frontiera dei portafogli con n = 2 titoli rischiosi . . . . . . . . . . . 59
III.B Frontiera dei portafogli con n > 2 titoli rischiosi . . . . . . . . . . . 64
IV Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
V Indici di performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
VI Teorema di separazione e portafoglio ottimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
VII Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3

4
A.1 Dall’utilità attesa all’utilità media-varianza: la funzione di utilità
VNM con forma quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.2 Derivazione matematica della frontiera dei portafogli con due titoli
rischiosi e un titolo risk-free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 CAPM 85
I Assunzioni del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
I.A Equilibrio nei mercati dei capitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
I.B Scelte degli investitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
I.C Aspettative omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
II Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali . . . . . . . . . . . . 87
III Linea del mercato delle attività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
III.A Derivazione della linea del mercato delle attività . . . . . . . . . . . 91
III.B Prezzi di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
III.C Disequilibrio e aggiustamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
IV Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio . . . . . . . . . . . . . 98
V Indici di performance basati sul CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Elenco delle figure
2.1 Avversione al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Neutralità al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Propensione al rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1 Curve di indifferenza dell’investitore nel modello media-varianza . . . . . . 51
3.2 Frontiera dei portafogli con due titoli rischiosi . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Frontiera dei portafogli con short-sales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Frontiera dei portafogli con tre titoli rischiosi . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 Frontiera dei portafogli efficienti con titoli rischiosi e un titolo privo di rischio 69
3.6 Indice di Sharpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.7 Indice RAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.8 Scelta ottima del portafoglio di investimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali (CML) . . . . . . . 88
4.2 Derivazione della linea del mercato delle attività . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3 Linea del mercato delle attività (SML) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Disequilibrio nel modello CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5

Capitolo 1
Economia dei mercati finanziari:
aspetti introduttivi
I
Mercati finanziari
I mercati finanziari sono i mercati in cui si scambiano fondi prestabili o, più semplicemente,
risorse finanziarie. Tali mercati svolgono la funzione essenziale di trasferire
risorse finanziarie da chi ne dispone in eccesso, rispetto ai suoi bisogni del momento, a
chi, viceversa, ne necessita un ammontare maggiore rispetto a quelle che ha attualmente
disposizione. I primi soggetti, cioè coloro che risparmiano e danno a prestito fondi, vengono
sovente definiti unità in surplus o creditori, mentre i secondi, che prendono a
prestito fondi, sono detti unità in deficit o debitori. In altri termini, nell’ambito dei
mercati finanziari, i primi soggetti esprimono l’offerta, mentre i secondi la domanda di
fondi prestabili. Dal lato dell’offerta, tra i principali creditori si annoverano generalmente
le famiglie, ma talvolta anche le imprese o certe amministrazioni pubbliche (governi nazionali
o esteri) possono disporre di eccedenze finaziarie rispetto ai propri effettivi bisogni
e decidere di investirle prestandole a chi ne fa domanda. 1 Dal lato della domanda, invece,
i più importanti debitori sono le imprese e i governi. Le prime, infatti, necessitano di
ingenti risorse per finanziare gli investimenti connessi alla propria attività produttiva e
commerciale, mentre i secondi ricorrono all’indebitamento per finanziare la spesa pubblica
che eccede le entrate fiscali. Peraltro, non raramente anche le famiglie ricorrono
all’indebitamento per finanziare livelli di consumo superiori ai propri redditi correnti o
l’acquisto di beni durevoli (ad esempio, contraendo un mutuo per l’acquisto della casa).
I mercati finanziari possono svolgere un ruolo fondamentale per il buon funzionamento
1 Un esempio è costituito dai cosiddetti fondi sovrani che rappresentano speciali istituzioni di investimento
pubblici controllati direttamente dai governi dei relativi paesi per investire surplus fiscali o riserve
di valuta estera.
7

I. Mercati finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
dell’economia. Ciò in quanto, spesso, i soggetti che dispongono di risorse finanziarie in
eccesso rispetto al loro fabbisogno non coincidono con quelli con le opportunità di investimento
più vantaggiose (che, peraltro, non disponendo delle risorse necessarie, potrebbero
non essere in grado di realizzarle). In questi casi, dunque, un trasferimento di risorse dai
primi soggetti ai secondi potrebbe rappresentare l’unica soluzione per sfruttare le opportunità
di investimento, con potenziali conseguenze positive per i soggetti coinvolti nello
scambio e, più in generale, per l’economia nel suo complesso.
I mercati finanziari oltre a configurarsi come luogo “fisico” o, sempre più frequentemente,
per effetto dello sviluppo delle transazioni via computer (e-finance), “virtuale”, dove
si incontrano soggetti che offrono e domandano risorse finanziarie, costituiscono (al pari
di ogni mercato di qualsiasi bene o servizio) anche un insieme di meccanismi e strumenti
istituzionali che facilitano gli scambi tra tali soggetti. In generale, uno strumento finanziario
è un titolo emesso da un soggetto che domanda risorse finanziarie e che conferisce
a colui che l’“acquista” (prestando così risorse al soggetto che lo ha emesso) un diritto
sui redditi futuri dell’emittente o sul suo patrimonio. Chiaramente, tale titolo costituisce
un’attività finanziaria per il soggetto che l’ha acquistato (o sottoscritto) e, viceversa,
una passività finanziaria per quello che lo ha emesso. Per effetto dell’innovazione finanziaria
che, a seguito dei cambiamenti tecnologici e istituzionali, ha introdotto nuove
tipologie di strumenti finanziari, esistono oggi diversi titoli finanziari che differiscono, anche
sostanzialmente, gli uni dagli altri; per tale motivo si parla espressamente di mercati
finanziari (al plurale), in quanto, almeno in linea concettuale, è possibile individuare un
distinto mercato (con un proprio peculiare funzionamento) per ognuno dei diversi titoli di
riferimento. La lista che segue, sebbene non esaustiva, individua alcuni mercati dei titoli
finanziari più importanti, evidenziandone alcune delle caratteristiche peculiari.
Mercati delle azioni (equity).
Le azioni 2 sono titoli che rappresentano quote di proprietà
di una società e, in virtù di ciò, attribuiscono diritti a chi le sottoscrive su una quota
dell’utile netto (reddito al netto di costi e imposte) della società, nonché sul suo patrimonio
(attività). L’emissione di azioni rappresenta uno dei principali strumenti attraverso
cui le imprese (quotate in borsa) reperiscono risorse finanziarie da destinare alla propria
attività produttiva. Per chi le sottoscrive costituiscono un investimento il cui rendimento
dipende essenzialmente da due elementi: a) il prezzo delle azioni e b) i dividendi
distribuiti dalla società agli azionisti.
Il prezzo unitario delle azioni si determina nei mercati borsistici, in cui si ha la com-
2 Esistono, in realtà, diversi tipi di azioni (azioni ordinarie, azioni privilegiate, azioni di risparmio, ecc.)
le quali presentano tra loro differenze anche rilevanti. Per i nostri scopi, in ciò che segue l’attenzione sarà
concentrata essenzialmente sul tipo più comune dell’azione ordinaria.
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1. ASPETTI INTRODUTTIVI I. Mercati finanziari
prevendita di tali titoli, in base alla legge della domanda e dell’offerta. 3 Ovviamente, per
chi ha sottoscritto delle azioni a un dato prezzo, un aumento sul mercato di quel prezzo
può produrre un rendimento positivo (in quanto è possibile rivendere sul mercato ciascuna
azione a un prezzo maggiore di quello speso per il suo acquisto), e viceversa. I dividendi,
invece, costituiscono la parte dell’utile (profitti) della società che vengono distribuiti ai
suoi proprietari (azionisti), in rapporto alla rispettiva quota di proprietà. Ad esempio, se
si è acquistato un numero di azioni che corrispondono, rispetto al numero totale di quelle
emesse dalla società, ad una quota pari a un milionesimo e i dividendi complessivamente
distribuiti ammontano a un milione di euro, avremo diritto a ricevere una somma pari a
un euro. Detenendo azioni, in quanto proprietari della società, avremo inoltre diritto di
voto (nuovamente in rapporto alla quota proprietaria) nelle decisioni societarie, tra cui,
particolarmente importante, quella sulla scelta degli amministratori.
Dal punto di vista degli investitori che sottoscrivono azioni, il principale inconveniente
legato all’acquisto di tale titolo è legato al fatto che il diritto sugli utili che esso conferisce
è un diritto residuale (per usare un’espressione anglosassone, un’azionista è residual
claimant). Ciò vuol dire che la società è legalmente obbligata a rimborsare tutti gli altri
creditori prima di distribuire risorse finanziarie ai suoi azionisti. Inoltre, anche rispetto
alla distribuzione del residuo, la decisione ultima spetta, in generale, al management della
società. Gli amministratori, ad esempio, potrebbero decidere di non distribuire l’utile
netto agli azionisti, per reinvestirlo nell’attività produttiva della società. In più, in virtù
del fatto che il prezzo di mercato delle azioni può variare sostanzialmente anche per periodi
relativamente brevi, l’acquisto di azioni è generalmente considerato un investimento
relativamente rischioso.
Mercati delle obbligazioni (bonds).
Un’obbligazione è un titolo di debito che contiene
la promessa di pagamenti periodici a scadenze prestabilite. Essi sono ampiamente
utilizzati sia dalle imprese private che dai governi e le pubbliche amministrazioni per
reperire risorse finanziarie. Nel caso particolare delle imprese, la scelta di finanziare la
propria attività ricorrendo all’emissione di obbligazioni piuttosto che a quella di azioni,
ossia, in altri termini, ricorrere al debito piuttosto che all’aumento del capitale proprio
(equity), costituisce in concreto una scelta strategica particolarmente rilevante. Oltre all’importante
distinzione tra obbligazioni emesse da imprese private o da enti pubblici,
un’altra rilevante classificazione è quella che distingue le obbligazioni a seconda della loro
scadenza, o momento del rimborso, in obbligazioni a breve termine (scadenza inferiore
3 Una distinzione importante in relazione ai mercati in cui i titoli finanziari, non solo le azioni, sono
scambiati è quella tra mercati primari e secondari. Nei primi si acquistano titoli di nuova emissione (ad
esempio, nel caso delle azioni, nuove azioni emesse dalla società a fronte di un aumento di capitale). Nei
secondi, invece, si (ri)vendono e si acquistano titoli già in circolazione.
9

I. Mercati finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
all’anno), a medio termine (scadenza compresa tra uno e dieci anni) e a lungo termine
(scadenza a oltre dieci anni dall’emissione). 4
Dal punto di vista degli investitori che sottoscrivono un titolo obbligazionario, prestando
così denaro al soggetto che lo ha emesso, il rendimento è legato agli interessi che
rappresentano la remunerazione corrisposta a fronte del prestito. Gli interessi sono calcolati
sul valore nominale (o valore di rimborso) del titolo, sono corrisposti a scadenze
prefissate, spesso semestrali, e sono espressi in termini percentuali (tassi di interesse)
ipotizzando un “prestito” di 100. 5 I tassi di interesse sono particolarmete importanti
in quanto in grado di influenzare numerose decisioni economiche (quali quelle di risparmio
delle famiglie e di investimento delle imprese), da cui dipende la crescita economica
complessiva di intere nazioni.
Sebbene il rendimento di un’obbligazione dipenda dagli interessi che percepiscono i
suoi possessori, le due cose non coincidono necessariamente (si veda la sezione II). Analogamente
alle azioni, infatti, le obbligazioni, una volta emesse e sottoscritte, possono poi
essere scambiate sul mercato (secondario) ad un certo prezzo, il quale dipende dall’andamento
dei tassi di interesse. In particolare, un aumento del tasso di interesse implica una
riduzione del prezzo dell’obbligazione (e viceversa). 6 Di conseguenza, se un soggetto che
ha sottoscritto un’obbligazione decide poi di non attendere il momento della scadenza,
ma, invece, di rivendere prima l’obbligazione sul mercato, il suo rendimento dipenderà,
oltre che dagli interessi percepiti fino a quel momento, anche dal guadagno o la perdita
in conto capitale (capital gain o capital loss), legata alla differenza tra il prezzo a
cui l’obbligazione è stata sottoscritta e quello a cui è stata poi rivenduta.
Un investimento in un titolo obbligazionario è generalmente considerato meno rischioso
rispetto a quello in azioni. Ciò in quanto, a differenza che per le azioni, ai detentori
di obbligazioni spetta il diritto di ricevere pagamenti (in relazione agli interessi e/o al
rimborso finale) certi e a scadenze prefissate contrattualmente. Peraltro, tale investimento
raramente è del tutto privo di rischio: il soggetto emittente, infatti, potrebbe trovarsi
nell’impossibilità di far fronte agli impegni contrattuali, sia in relazione al pagamento degli
interessi che a quello del rimborso finale. In questi casi si parla di rischio di bancarotta
(default) del soggetto emittente. In generale, tale rischio è maggiore quando il prestito
4 Talvolta, il termine obbligazione viene utilizzato con riferimento esclusivo agli strumenti di debito a
medio e lungo termine emessi dalle società (obbligazioni corporate) e dai governi, mentre per gli strumenti
di debito a breve termine si parla più specificatamente di strumenti monetari.
5 Per alcune obbligazioni, quelle cosiddette senza cedola (o titoli a sconto), non è previsto un vero e
proprio pagamento di interessi. In particolare, tali titoli sono acquistati a un valore inferiore a quello
nominale e vengono poi rimborsati a quel valore. Un noto esempio di titoli senza cedola è rappresentato
dai Buoni Ordinari del Tesoro (BOT).
6 Più specificatamente, i prezzi delle obbligazioni si formano in funzione dei rendimenti a scadenza
richiesti dal mercato.
10

1. ASPETTI INTRODUTTIVI I. Mercati finanziari
obbligazionario è stato emesso da società private, ma non può escludersi in assoluto tale
evenienza anche per emissioni da parte di governi o altre amministrazioni pubbliche.
Mercati delle valute. Le risorse finanziarie da trasferire da una nazione a un’altra devono
essere convertiti dalla valuta del paese di origine a quella del paese di destinazione.
La conversione di una valuta in un’altra avviene nel mercato valutario, in cui, generalmente,
si determina anche il prezzo di una valuta in termini di quello di un’altra, ossia
il tasso di cambio. Il rendimento di un investimento all’estero come, ad esempio, l’acquisto
di azioni di una società statunitense, dipenderà, quindi, non solo dall’andamento
del prezzo delle azioni (quotate in dollari), ma anche dall’andamento del tasso di cambio
tra l’euro ed il dollaro. Più in generale, investire denaro in un valuta estera significa
“scommettere” sull’apprezzamento di quella valuta rispetto a quella del proprio paese.
Mercati dei prestiti ipotecari. La natura essenziale dei prestiti ipotecari è quella di
essere dei titoli di debito strettamente connessi ad un bene fisico (quello su cui è accesa
l’ipoteca). Tipico è il caso dei mutui ipotecari per l’acquisto di abitazioni, il cui valore
garantisce il creditore per il rimborso del finanziamento.
Mercati dei titoli assicurativi e derivati. Come avremo modo di analizzare dettagliatamente,
il rischio e l’incertezza sono fattori che pervadono i mercati finanziari. Allo
stesso tempo, esistono strumenti finanziari che consentono a un soggetto di modificare il
profilo di rischio del proprio reddito e/o della propria ricchezza. Più esattamente, attraverso
lo scambio di attività finanziarie e la stipulazione di contratti finanziari, è possibile
il trasferimento del rischio e dell’incertezza dai soggetti meno propensi ad affrontarli ad
altri soggetti più propensi a farlo.
I titoli assicurativi (o polizze di assicurazione) costituiscono l’esempio più semplice
e diffuso. Acquistando tali strumenti, infatti, i soggetti possono “proteggersi” da
fluttuazioni del proprio reddito o della propria ricchezza che sono in larga parte indipendenti
dai loro comportamenti (ad esempio, in relazione al rischio di incendio della propria
abitazione, di furto dell’auto o di malattia). In questa prospettiva, un titolo assicurativo
può produrre un rendimento positivo, per colui che lo ha sottoscritto, se si verifica l’evento
dannoso (per cui la polizza assicurativa è stata sottoscritta) e ciò determina il diritto al
rimborso. Contrariamente, il titolo produce un rendimento negativo nel caso contrario,
in cui l’evento dannoso non si realizza, per cui, a fronte del pagamento di sottoscrizione
della polizza, l’assicurato non riceve alcun rimborso.
Altri titoli finanziari, più complessi, che consentono di modificare il profilo di rischio
di investimento, potendo contribuire a ridurlo, sono i titoli derivati. Un titolo derivato è
11

I. Mercati finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
un’attività finanziaria costituita da un contratto, definito su di un’altra attività finanziaria
preesistente (quale un’azione, un’obbligazione, un prestito ipotecario, una valuta estera o
un indice di borsa), oppure su un’attività reale, che viene definita attività sottostante o
primitiva. Gli esempi più noti di titoli derivati sono i contratti forward (o contratti
a termine) e le opzioni.
Con i contratti forward due parti si impegnano a realizzare una transazione finanziaria
in un momento futuro a un prezzo prefissato. 7 In gergo, la parte che si impegna
a vendere l’attività sottostante in futuro assume una posizione corta (short position),
mentre la parte che si impegna ad acquistare l’attività assume una posizione lunga (long
position). Ad esempio, due soggetti potrebbero concordare di scambiarsi tra un anno dei
titoli obbligazionari attualmente in possesso di una delle parti a un prezzo predefinito
in funzione del tasso di interesse di oggi. Poiché il contratto “blocca” oggi i termini (il
prezzo) dello scambio futuro, ciò mette al riparo i due soggetti da fluttuazioni dei tassi
di interesse (e quindi dei prezzi delle obbligazioni) che si dovessero produrre da oggi ad
un anno. Le opzioni sono, invece, contratti che offrono all’acquirente la possibilità, o il
diritto, di acquistare o vendere l’attività finanziaria sottostante a un prezzo specificato,
chiamato prezzo di esercizio, per un determinato periodo di tempo. La sostanziale differenza
tra le opzioni e i contratti a termine è la seguente: con le opzioni, se, da un lato,
il venditore è obbligato ad acquistare o a vendere il titolo sottostante qualora l’acquirente
eserciti il diritto di opzione, quest’ultimo non è costretto ad esercitare tale opzione, ma
può decidere di lasciarla scadere senza usarla.
I limiti dei titoli derivati sono essenzialmente due: il primo è che può non essere
semplice per un soggetto che intende stipulare un contratto di un certo tipo trovare una
controparte con esigenze che si “sposano” esattamente con le proprie. Il secondo problema
con i derivati è che, se da un lato, riducono il rischio di fluttuazioni dei prezzi, dall’altro,
sono soggetti al rischio di insolvenza. Ad esempio, se un soggetto si è impegnato ad
acquistare tra un anno un certo titolo ad un dato prezzo e se poi tra un anno il prezzo di
mercato del titolo risulta molto più basso di quello concordato per l’acquisto, tale soggetto
potrebbe decidere di non onorare il contratto. Oppure, se il soggetto è una società, egli
potrebbe non essere in grado di rispettare il contratto semplicemente perché nel corso
dell’anno è fallita.
7 Titoli derivati del tutto analoghi ai contratti forward sono i contratti futures. La differenza sostanziale
tra i due strumenti finanziari sta nel fatto che, mentre i contratti forward sono negoziati bilateralmente
tra i contraenti (che dispongono quindi di maggiori margini di autonomia nel definirne i termini), i futures
sono contratti con caratteristiche standard per i quali esiste un mercato ufficiale.
12

1. ASPETTI INTRODUTTIVI II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari
II
Tasso di rendimento dei titoli finanziari
Ovviamente, un soggetto che investe in un certo titolo o attività finanziaria lo fa per
ottenere (o perché si aspetta di ottenere) un certo rendimento da quel titolo. Come
è stato già accennato nella sezione precedente, la natura del rendimento di un titolo
dipende dal tipo di titolo considerato. Inoltre, il rendimento si riferisce anche all’orizzonte
temporale per cui il titolo è detenuto dall’investitore (o più in generale, alla durata del
periodo presa in considerazione per calcolare il rendimento). Ad esempio, se vogliamo
calcolare il rendimento di un’attività dal tempo t, ad esempio oggi, al tempo t + 1, ad
esempio tra un anno oppure tra due anni, ecc., esso dipenderà, nel caso di un’azione, dalla
differenza di prezzo dell’azione al tempo t e a quello t + 1 nonché dai dividendi percepiti
in tale arco temporale, nel caso di un’obbligazione, ancora dalla differenza di prezzo del
titolo nei due periodi e dagli interessi incassati tra t e t + 1, nel caso di una valuta estera,
dall’andamento del tasso di cambio tra valuta estera e nazionale nell’intervallo di tempo
considerato, e così via.
Esiste, comunque, un’espressione generale per calcolare il rendimento, o più correttamente
il tasso di rendimento, dei titoli, che ben si presta, quindi, anche per effettuare
confronti tra i rendimenti di attività finanziarie diverse tra loro. In particolare, se ci riferiamo
ad un generico titolo i in un dato arco temporale, da t a t + 1, avremo che il suo
tasso di rendimento r i,t+1 è dato da:
r i,t+1 = v i,t+1 − p i,t
p i,t
dove p i,t rappresenta il prezzo del titolo al tempo t, mentre v i,t+1 rappresenta il payoff
che l’investitore ottiene dal titolo (o può ottenere se vende il titolo) al tempo t + 1. In
particolare, tale payoff è dato dal pagamento che l’investitore otterrebbe dalla vendita (o
dal rimborso) del titolo al tempo t+1 più i pagamenti già incassati dal titolo (ad esempio,
per dividendi o interessi) nell’arco del periodo considerato (da t a t + 1).
Esempio 1 (Tasso di rendimento di un’azione)
Un investitore possiede azioni della società “Alfa” acquistate al tempo t al prezzo unitario
di 1, 50 euro. A distanza di due anni (tempo t + 1) decide di rivenderle ad un prezzo di
mercato di 1, 80 euro. Si calcoli il tasso di rendimento del suo investimento tenendo presente
che durante i due anni la società ha distribuito ai suoi azionisti i seguenti dividendi:
nel primo anno, un dividendo pari a 0, 05 euro per azione e il secondo anno un dividendo
di 0, 1 euro per azione.
r Alfa,t+1 =
(1, 80 + 0, 05 + 0, 1) − 1, 50
1, 50
13
=
0, 45
1, 50 = 0, 3

II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari
1. ASPETTI INTRODUTTIVI
per cui, nell’arco dei due anni, l’investimento ha fruttato un (tasso di) rendimento del
30%.
Esempio 2 (Tasso di rendimento di un’obbligazione rimborsata alla scadenza)
Un investitore sottoscrive obbligazioni della società “Beta” a 1000 euro. Le obbligazioni
hanno scadenza ad un anno e un tasso annuo di interesse del 5%. Si calcoli il tasso di
rendimento che ottiene l’investitore se detiene le obbligazioni fino alla scadenza.
In questo caso individuare il tasso di rendimento che ottiene l’investitore è molto
semplice: esso è chiaramente pari al 5% annuo. 8
Ovviamente, esso sarebbe emerso (con
qualche calcolo in più) anche utilizzando la formula generale. Si noti, infatti, che l’investitore
paga l’obbligazione 1000 euro, ottiene un rimborso finale pari alla stessa cifra e
percepisce un ammontare di interessi pari a 50 euro, per cui:
r Beta,t+1 =
(1000 + 50) − 1000
1000
= 50 = 0, 05.
1000
In alcuni casi, il calcolo del tasso di rendimento per un’obbligazione non è così immediato;
si consideri il caso seguente.
Esempio 3 (Tasso di rendimento di un’obbligazione venduta prima della scadenza)
Un investitore sottoscrive obbligazioni della società “Gamma” a 100 euro. Le obbligazioni
hanno scadenza a tre anni e un tasso annuo di interesse del 5%.
Alla fine del primo
anno, per sopravvenute necessità di denaro liquido, l’investitore decide di rivendere le
obbligazioni sul mercato; il prezzo di mercato è, in quel momento, 85 euro. Si calcoli il
tasso di rendimento che ottiene l’investitore.
r Gamma,t+1 =
(85 + 5) − 100
100
= −10
100 = −0, 1
per cui, nell’anno l’investimento ha fruttato un rendimento negativo del 10%.
In questo esempio, non deve soprendere il fatto che, sebbene l’obbligazione abbia un
tasso di interesse positivo, il rendimento che ottiene l’investitore dal titolo è negativo. Il
tasso di interesse, infatti, non tiene conto di eventuali differenze tra il prezzo a cui il titolo
8 In taluni casi gli interessi sono capitalizzati più volte in un anno e il tasso di interesse è espresso in
relazione alla frazione di anno a cui si riferisce. In questi casi, ai fini di un confronto tra alternative di
investimento con tassi di interesse per periodi diversi, è utile trasformare i tassi in modo che si riferiscano
allo stesso periodo, ad esempio un anno. Utilizzando la formula dell’interesse composto, si ha che:
i A = (1 + i k ) k − 1
dove i A è il tasso annuo di interesse, mentre k è il numero di volte in cui l’interesse viene capitalizzato
nel corso dell’anno (ad esempio, se il tasso di interesse i k è semestrale, k è pari a 2). Un tasso di interesse
semestrale del 4, 16% corrisponde, ad esempio, ad un tasso annuo pari a i A = (1 + 0, 0416) 2 − 1 = 0, 0849,
ossia 8, 49%.
14

1. ASPETTI INTRODUTTIVI II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari
è stato acquistato e quello a cui il titolo viene smobilizzato (ossia dei guadagni o delle
perdite in conto capitale).
Esempio 4 (Tasso di rendimento di un’azione in valuta estera)
Si consideri un investitore italiano che al tempo t converte euro in dollari al tasso di cambio
euro/dollaro di 1, 3 (con un euro si acquistano 1, 3 dollari) per acquistare azioni della
società statunitense “MG” al prezzo unitario di 2, 6 dollari. Al tempo t + 1 l’investitore
rivende le azioni della società al prezzo di 2, 8 dollari per azione. Si calcoli il tasso di
rendimento che l’investitore ottiene al tempo t + 1 se il tasso di cambio è passato a 1, 4.
In questo caso, per calcolare correttamente il rendimento dell’investimento è opportuno
innanzitutto esprimere i prezzi delle azioni in euro (la valuta del paese dell’investitore)
anziché in dollari. Al tempo t, al tasso di cambio euro/dollaro di 1, 3, il prezzo delle azioni
di 2, 6 dollari corrisponde a 2, 6/1, 3 = 2 euro. Al tempo t+1, invece, al tasso di cambio di
1, 4, il prezzo delle azioni in euro è pari a 2, 8/1, 4 = 2. Si può adesso calcolare facilmente
il tasso di rendimento dell’investimento che è pari a:
r MG,t+1 = 2 − 2
2
Non deve sorprendere il fatto che, sebbene il prezzo (in dollari) dell’azione sia salito, il
rendimento dell’investimento è risultato nullo. Ciò è dipeso dal fatto che nel frattempo
l’euro si è apprezzato rispetto al dollaro e, poiché l’investimento era espresso in dollari,
ciò ha completamente “annullato” l’effetto positivo connesso all’aumento del prezzo
dell’azione.
= 0.
Esempio 5 (Tasso di rendimento di un titolo assicurativo)
Si consideri un soggetto che acquista al tempo t una polizza assicurativa contro il furto
dell’auto pagando un premio di 100 euro. La polizza assicurativa prevede che nel caso di
furto dell’auto il soggetto abbia diritto ad un rimborso di 1.000 euro. Si calcoli il tasso di
rendimento del titolo assicurativo al tempo t + 1 nelle ipotesi che, a quella data: i) l’auto
non sia stata rubata; ii) l’auto sia stata rubata.
Nel caso l’auto al tempo t + 1 non sia stata rubata, il tasso di rendimento della polizza
assicurativa è pari a:
r ass,t+1 = 0 − 100
100
= −1.
Il titolo assicurativo ha dato un tasso di rendimento negativo del 100%.
Viceversa, nel caso l’auto al tempo t + 1 sia stata rubata, il tasso di rendimento della
polizza assicurativa è pari a:
15

II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari
1. ASPETTI INTRODUTTIVI
r ass,t+1 =
1000 − 100
100
= 9
per cui il titolo ha fornito un tasso di rendimento pari al 900%.
Finora abbiamo discusso del tasso di rendimento di un titolo finanziario senza fare
alcuna distinzione tra tasso nominale di rendimento e tasso reale di rendimento.
Il tasso reale di rendimento si ottiene “correggendo” il tasso nominale dall’effetto
dell’inflazione (tasso di variazione percentuale del livello generale dei prezzi). Più esattamente,
il tasso reale di rendimento di un’attività finanziaria i nell’arco del periodo
t − t + 1, indicato con ˜r i,t+1 , è dato da:
˜r i,t+1 ≃ r i,t+1 − π t+1 (1.1)
dove π t+1 rappresenta il tasso di inflazione nell’arco del periodo considerato. Ad esempio,
un tasso (nominale) di rendimento del 5%, ottenuto da un investitore dal possesso di
un certo titolo finanziario nell’arco di un dato periodo, equivale (all’incirca) ad un tasso
reale del 3%, se, nell’arco di quel periodo, si è registrato un tasso di inflazione del 2%.
L’Equazione (1.1), spesso indicata come equazione di Fisher, dal nome del noto economista
americano dell’Università di Yale, Irving Fisher, assume particolare rilevanza
nell’ambito delle discipline di economia monetaria e macroeconomia. 9
Un ultimo aspetto rilevante, per quanto concerne il tasso di rendimento di un titolo
finanziario, è il seguente. Fino ad ora abbiamo ragionato in termini di tasso effettivo di
rendimento o tasso di rendimento ex-post, ossia calcolato al tempo t + 1. Peraltro,
quando un soggetto deve decidere al tempo t in quale titolo investire, conoscerà (ad esempio,
dai quotidiani finanziari) il prezzo dei titoli in quel momento (p i,t ), ma, generalmente,
non avrà la possibilità di conoscere con certezza i payoffs che potrà ottenere dai vari titoli
fino a t + 1 (v i,t+1 ). 10
Eppure, al momento dell’acquisto, formarsi delle aspettative
su tali payoffs, e quindi sul tasso di rendimento dei titoli, è essenziale per effettuare un
investimento “oculato”. Si parla, dunque, di tasso atteso di rendimento o tasso di
rendimento ex-ante, indicato formalmente con E[r i,t+1 ] = (E[v i,t+1 ] − p i,t )/p i,t (dove
il simbolo E rappresenta l’aspettativa, o speranza, matematica), in relazione al tasso di
rendimento di un titolo “stimato” al tempo t. Ad esempio, consideriamo il caso del titolo
9 L’equazione di Fisher è più spesso presentata in termini di tasso di interesse (reale e nominale),
piuttosto che in quello, più generale, di tasso di rendimento. Inoltre, in tale contesto, il tasso di inflazione
che rileva non è principalmente quello effettivo, ma quello atteso.
10 Ciò è chiaramente vero per le azioni, il cui prezzo varia nel tempo in base al mercato. Peraltro, anche
per le obbligazioni, l’investitore, generalmente, non può escludere al tempo t di trovarsi successivamente
nelle condizioni di dover rivendere sul mercato i titoli. In tale evenienza, quindi, anche il payoff delle
obbligazioni diventa incerto al momento dell’acquisto, potendo poi dipendere anch’esso dall’andamento
del mercato obbligazionario.
16

1. ASPETTI INTRODUTTIVI III. Intermediazione finanziaria
assicurativo, esaminato nell’Esempio 5. Se, al tempo t, la probabilità che si verifichi il
furto dell’auto è stimata al 10%, a fronte di un tasso effettivo di rendimento del −100%,
se il furto non si verifica, e del 900%, se il furto si realizza, il tasso atteso di rendimento
della polizza assicurativa è nullo (il calcolo del tasso atteso di rendimento di un titolo sarà
analizzato dettagliatamente nel Capitolo 2).
Una questione rilevante è quali informazioni possono utilizzare gli investitori per formarsi
delle aspettative su v i,t+1 (e quindi, conoscendo p i,t , su r i,t+1 ). A tale riguardo,
un’informazione che potrebbero utilizzare è proprio il prezzo del titolo che osservano
al momento dell’acquisto, p i,t . Ciò esprime un aspetto cruciale per quanto concerne il
funzionamento dei mercati finanziari e, più specificatamente, sul ruolo peculiare che assumono
i prezzi dei beni scambiati (titoli e attività finanziarie) in tali mercati. Nei mercati
finanziari, infatti, i prezzi svolgono una duplice funzione:
1. funzione allocativa. Questa è la tipica funzione che i prezzi svolgono nei mercati di
qualsiasi bene: far fronte, tramite adeguati “aggiustamenti”, a momentanei squilibri
tra domanda e offerta;
2. funzione di trasmissione delle informazioni. Nei mercati finanziari i prezzi odierni
dei titoli trasmettono informazioni su quelli che saranno i loro prezzi futuri (e quindi
sui rispettivi tassi di rendimento).
La seconda funzione dei prezzi nei mercati finanziari, oltre a rivestire un’enorme importanza,
si caratterizza per alcune implicazioni non banali. Una di queste fu individuata
per primo dall’economista inglese John Maynard Keynes in un noto passaggio (sul “concorso
legato alla gara di bellezza”) della sua opera più famosa: la Teoria Generale. Poiché
i prezzi correnti delle attività finanziarie agiscono (trasmettendo informazioni) sulle
aspettative degli investitori su quelli che saranno i loro prezzi futuri, essi influiranno sulle
decisioni di acquisto e di vendita di tali investitori. Ma tali decisioni determineranno,
di fatto, i prezzi futuri delle attività finanziarie. In sostanza, il processo che lega i prezzi
dei titoli e le aspettative degli investitori su tali prezzi è circolare e mal si presta, quindi,
ad esprimere una chiara relazione di causa-effetto tra di essi.
III
Intermediazione finanziaria
Il “circuito” attraverso cui le risorse finanziarie si trasferiscono dalle unità in surplus
(creditori) a quelle in deficit (debitori) può essere duplice: si parla, infatti, di circuito
diretto quando, attraverso l’emissione di titoli, i debitori prendono a prestito fondi
direttamente dai creditori; si parla, invece, di circuito indiretto quando nel processo
17

III. Intermediazione finanziaria
1. ASPETTI INTRODUTTIVI
interviene un intermediario finanziario, cioè un soggetto che si interpone tra debitori
e creditori, agevolando il trasferimento di fondi dagli uni agli altri. L’esempio tipico di
intermediari finanziari sono le banche, che prendono a prestito dalle unità in surplus per
concedere finanziamenti a quelle in deficit, ma lo sono anche le società finanziarie e quelle
assicurative, i fondi comuni d’investimento e i fondi pensione, nonché i dealer e i broker
che operano nei mercati secondari. 11
Gli intermediari finanziari possono svolgere un ruolo essenziale nell’ambito dei mercati
finanziari, dal momento che nel circuito indiretto transita la parte relativamente più
importante delle risorse finanziarie scambiate. Un punto centrale dell’economia dei mercati
finanziari è dunque quello di comprendere l’importanza del ruolo che svolgono in tali
mercati gli intermediari finanziari; esso concerne aspetti legati ai costi di transazione,
all’allocazione del rischio e alla presenza di asimmetrie informative, che caratterizzano i
mercati in questione.
Costi di transazione.
I costi di transazione sono tutti quei costi, sia di natura monetaria
che non monetaria (quali, ad esempio, la perdita di tempo), che debitori e creditori
devono sostenere per realizzare uno scambio (transazione). Ad esempio, due soggetti che
intendono realizzare uno scambio di fondi, dovranno innanzitutto accordarsi sui termini
del contratto che regola la transazione (durata del finanziamento, remunerazione del
creditore, modalità del rimborso, ecc.). Tutto questo può richiedere tempo! Inoltre, una
volta decisi i termini contrattuali, le parti potrebbero decidere di renderli legalmente più
“robusti” di fronte ad un notaio. Ciò, oltre che tempo, imporrebbe loro anche un esborso
monetario.
Gli intermediari finanziari possono ridurre i costi di transazione nei mercati dei fondi
prestabili, innanzitutto in virtù dell’esperienza maturata nei rapporti, da un lato, con chi
offre risorse finanziarie e, dall’altro, con chi le domanda. Inoltre, cosa più importante, essi
hanno la possibilità di ridurre i costi unitari di transazione, potendo sfruttare la presenza
di economie di scala. Per capire come, riflettiamo su questo fatto: un intermediario
finanziario, ad esempio una banca, propone uno stesso contratto “tipo”, cioè con le stesse
clausole contrattuali, a tutti i soggetti interessati a stipulare con essa quel tipo di contratto
(pensiamo, ad esempio, a un deposito di risparmio). Ovviamente, progettare quel
contratto sarà per la banca fonte di costi di transazione (ad esempio, per assumere un
esperto finanziario e/o un avvocato che individuino la forma contrattuale più conveniente
e legalmente praticabile per la banca), ma è ragionevole supporre che tali costi non dipen-
11 I dealer facilitano l’incontro tra venditori e compratori acquistando i titoli dai primi e vendendoli ai
secondi, mentre i broker si limitano a mettere in contatto potenziali acquirenti con potenziali venditori,
ma non effettuano operazioni di compravendita.
18

1. ASPETTI INTRODUTTIVI III. Intermediazione finanziaria
dano dal numero di contratti che poi la banca sarà effettivamente in grado di stipulare
con i suoi clienti; in altri termini, si tratta di un costo fisso. Proprio perché è un costo
fisso, tanto maggiore è poi il numero di contratti stipulati, tanto più basso sarà il costo
unitario di transazione per la banca (in quanto, ovviamente, il costo si ripartisce su un
numero maggiore di contratti).
In sostanza, proprio grazie al fatto che gli intermediari finanziari stipulano numerosi
contratti finanziari sia con chi presta loro denaro, sia con chi riceve da loro dei finanziamenti,
riescono più facilmente, rispetto ai singoli soggetti, ad “ammortizzare” i loro
costi di transazione. Tutto ciò, inoltre, può favorire un miglior funzionamento dei mercati
finanziari, dal momento che, con costi unitari di transazione più bassi, gli intermediari
sono più inclini a realizzare scambi (es. concessione di prestiti) che i singoli soggetti, da
soli, non avrebbero convenienza a fare.
Allocazione del rischio. Il rischio è un elemento centrale nei mercati di cui stiamo
discutendo. Coloro che investono risorse finanziarie si aspettano di ricevere un dato rendimento
e sperano di riuscire a ottenerlo col rischio più basso possibile. Gli intermediari
finanziari possono consentire di ridurre l’esposizione degli investitori al rischio in diverse
modi.
In primo luogo, emettendo e scambiando titoli con profili diversi di incertezza sui rendimenti,
gli intermediari finanziari consentono il trasferimento di risorse tra soggetti con
atteggiamenti differenti rispetto al rischio, attuando quel processo noto come ridistribuzione
del rischio. Inoltre, un modo ulteriore per ridurre il rischio di investimento
è rappresentato dalla sua diversificazione. Essa implica la scelta da parte dell’investitore
di una combinazione di attività finanziarie, detta portafoglio, i cui rendimenti si
muovono in modo diverso gli uni dagli altri, con il risultato che il rischio complessivo è
minore di quello delle singole attività che compongono il portafoglio. In tale prospettiva,
la presenza degli intermediari finanziari può essere di ausilio per i singoli soggetti. Essi,
infatti, potrebbero ottenere i benefici della diversificazione investendo in fondi comuni o
in fondi pensione, dato che usano i fondi raccolti da una molteplicità di individui per
investirli in un insieme particolarmente ampio di attività finanziarie.
Si noti, infine, che le funzioni, generalmente collegate, di ridistribuzione del rischio e
di diversificazione possono essere svolte più efficientemente dagli intermediari, anche in
virtù dei più bassi costi (unitari) di transazione che essi devono sopportare.
Asimmetrie informative. Con riferimento al funzionamento dei mercati, si utilizza
l’espressione asimmetria informativa quando i soggetti coinvolti in uno scambio non
sono tutti informati allo stesso modo. In altri termini, un soggetto dispone di alcune in-
19

III. Intermediazione finanziaria
1. ASPETTI INTRODUTTIVI
formazioni, rilevanti per la transazione, che non sono a conoscenza dell’altro, o degli altri,
soggetto(i). La presenza di asimmetrie informative costituisce una delle cause principali
e più diffuse di fallimento del mercato, in quanto la loro presenza può impedire la realizzazione
concreta di transazioni mutuamente vantaggiose (cioè che potrebbero produrre
un beneficio per tutti i soggetti in esse coinvolti).
Quelli finanziari sono tra i mercati in cui i problemi legati alla presenza di asimmetrie
informative sono maggiormente pressanti. A tale riguardo è importante distinguere
tra due diverse forme di asimmetria informativa, le quali possono generare due problemi
di diversa natura. Una prima forma è quella definita di asimmetria informativa precontrattuale,
in quanto relativa ad una situazione in cui un soggetto dispone di informazioni
private, che gli altri soggetti non hanno, già prima di stipulare un contratto
finanziario con gli altri soggetti. Ad esempio, consideriamo un contratto di finanziamento
tra un’unità in surplus e un’impresa (unità in deficit). Ovviamente, prima di concedere
il finanziamento, cioè prima di stipulare il contratto, l’unità in surplus avrà interesse a
conoscere il grado di “rischiosità” effettiva del progetto di investimento per cui l’impresa
richiede il finanziamento. In generale, peraltro, questa informazione è “privata” per le
imprese che richiedono il prestito. Inoltre, tali imprese potrebbero aver convenienza a
non rivelare correttamente l’effettivo grado di rischosità dei loro progetti se ciò riduce la
probabilità di ottenere il finanziamento. Tale situazione può generare un problema particolare
sul funzionamento del mercato, che è noto con il termine di selezione avversa
(adverse selection). Per capire di cosa si tratta, riprendiamo l’esempio del contratto di
finanziamento e consideriamo che se l’unità in surplus fosse perfettamente informata sulla
rischiosità di ogni progetto di investimento per cui le imprese richiedono un finanziamento,
opererebbe una politica di tassi di interesse bassi per i progetti a basso rischio e di tassi di
interesse alti per i progetti ad alto rischio. Ma se invece non è in grado di stabilire a priori
con certezza il grado di rischiosità effettiva di un dato progetto di investimento, potrebbe
non trovare altra alternativa che fissare un tasso di interesse unico sulla base di un rischio
atteso (o medio) di fallimento del progetto. Peraltro, dal momento che generalmente tasso
di rendimento e rischio sono correlati positivamente, un tasso di interesse così determinato
potrebbe risultare troppo alto per le imprese che intendono realizzare investimenti a basso
rischio (e basso tasso di rendimento). Tali imprese accantonerebbero il proprio progetto.
Invece, le uniche imprese a presentare richieste di finanziamento sarebbero quelle i
cui progetti di investimento risultano ad alto rischio (ed alto tasso di rendimento), cioè
proprio quelle meno “appetibili” dal punto di vista dell’unità in surplus.
Oltre a potersi presentare già prima della conclusione del contratto, influenzando la
selezione delle proposte di finanziamento, il problema dell’asimmetria informativa può
prodursi anche successivamente alla stipula dell’accordo tra i soggetti. In tali circostanze,
20

1. ASPETTI INTRODUTTIVI IV. Efficienza dei mercati finanziari
si parla di asimmetria informativa post-contrattuale e riguarda, più specificatamente, certe
azioni, scelte e/o comportamenti che un soggetto mette in essere in seguito all’accordo e
che possono condizionare fortemente il risultato ottenuto dai soggetti coinvolti nell’ambito
della transazione. Tale situazione può generare un problema concettualmente distinto
dalla selezione avversa e denominato azzardo morale (moral hazard). In generale, nei
mercati finanziari tale problema si ricollega al rischio che coloro che prendono a prestito
fondi attuino dei comportamenti che, per accrescere i propri rendimenti, aumentano anche
la loro probabilità di insolvenza (ad esempio, un’impresa che di fronte ad un insieme
possibile, o menu, di progetti sceglie quello con più alto rendimento atteso, ma maggior
rischio).
Le problematiche della selezione avversa e dell’azzardo morale, proprio perché pervadono
i mercati finanziari, contribuiscono a spiegare molti fenomeni che caratterizzano tali
mercati, quali, ad esempio, le crisi finanziarie, le politiche di finanziamento delle banche e
le scelte relative alla struttura finanziaria delle imprese. Inoltre, essi possono fornire una
giustificazione del ruolo e della presenza degli intermediari finanziari. Infatti, quando operano
in modo efficiente e corretto, gli intermediari possono ridurre sostanzialmente i rischi
legati alle problematiche in questione. Ad esempio, in virtù della sua specializzazione e
dell’esperienza maturata nelle operazioni di finanziamento, i costi che una banca sostiene
per acquisire informazioni sul rischio di fallimento di un’impresa e/o per monitorare le
scelte di investimento attuate, successivamente al finanziamento, dal suo management sono,
in generale, sostanzialmente più bassi di quelli che dovrebbe sostenere, per tali scopi,
un piccolo risparmiatore che prestasse i suoi fondi direttamente all’impresa.
IV
Efficienza dei mercati finanziari
Sui media spesso si dibatte sulla questione se i mercati finanziari funzionino o meno in
modo efficiente. Dal punto di vista degli economisti, il concetto di efficienza nei mercati
finanziari non è unico, prestandosi ad essere analizzato sotto diversi punti di vista. Come
sarà illustrato quì di seguito, tali concetti, sebbene distinti, non sono indipendenti gli uni
dagli altri.
Efficienza allocativa (o Pareto-efficienza). Il concetto di efficienza allocativa o
nel senso di Pareto, dal nome dell’economista italiano Vilfredo Pareto (1848-1923), è
quello più ampiamente utilizzato nella teoria economica. Esso è un concetto molto (forse
troppo) generale: una data allocazione (o distribuzione) delle risorse è detta Paretoefficiente
se non è possibile modificarla (cioè attuare un processo di ridistribuzione di
21

IV. Efficienza dei mercati finanziari
1. ASPETTI INTRODUTTIVI
quelle risorse) in modo da migliorare il benessere di qualche soggetto senza peggiorare
quello di qualche altro soggetto.
Nell’ambito dei mercati finanziari, una questione rilevante è quella se tali mercati
sono in grado di conseguire un risultato Pareto-efficiente e in che modo. Un importante
risultato della teoria economica, noto come Primo Teorema dell’Economia del Benessere,
afferma che, se i mercati sono perfettamente concorrenziali, essi sono sempre in grado di
produrre un’allocazione delle risorse Pareto-efficiente. Molti economisti hanno sostenuto
che, grazie al numero molto elevato sia di creditori che di debitori che operano nei mercati
finanziari, tali mercati presentino un grado di concorrenza sufficientemente elevato (molto
più elevato di quello che caratterizza molti altri mercati). Questo ne assicurerebbe il
miglior funzionamento possibile. Inoltre, sulla base di questo presupposto, varie forme
di intervento e di regolamentazione pubblica in tali mercati sarebbero sconsigliabili e
dovrebbero essere contenute al minimo possibile.
D’altro canto, affinché i mercati funzionino in modo concorrenziale, sono necessari
ulteriori presupposti oltre quello dell’elevato numero di compratori e venditori. Tra essi,
vi è quello che i soggetti che operano nel mercato siano tutti perfettamente informati.
Come abbiamo discusso nella Sezione III, la presenza di asimmetrie informative pervade
i mercati finanziari e costituisce una delle cause principali di “fallimento” nel loro funzionamento.
12 Per tale motivo, altri economisti ritengono che una qualche forma (per alcuni
anche “robusta”) di intervento e di regolamentazione pubblica sia del tutto necessaria
per consentire un’allocazione delle risorse più efficiente rispetto a quella che i mercati
finanziari garantirebbero se lasciati liberi di funzionare senza alcun intervento dello Stato.
Efficienza operativa.
Il concetto di efficienza operativa è un concetto che concerne
principalmente l’efficienza tecnica (connessa, ad esempio, alla riduzione dei costi) con cui
operano i vari soggetti che agiscono nei mercati finanziari tra cui, soprattutto, gli intermediari
finanziari. Il concetto di efficienza operativa, sebbene più specifico, si ricollega
comunque a quello di efficienza allocativa. Ad esempio, il grado di concorrenza tra gli
intermediari finanziari, elemento centrale nella prospettiva dell’efficienza allocativa, gioca
un ruolo importante anche per l’efficienza operativa. Infatti, solo un grado più elevato
di concorrenza tra gli intermediari finanziari può creare gli adeguati incentivi affinché, da
un lato, essi riducano i costi di prduzione dei loro servizi e, dall’altro, offrano condizioni
(ad esempio, in termini di commissioni, spese, ecc.) più vantaggiose agli altri soggetti,
loro clienti, che operano nel mercato. Inoltre, come abbiamo discusso nella Sezione III, la
12 Tecnicamente, la presenza di asimmetrie informative costituisce una delle cause principali di incompletezza
dei mercati finanziari, che ne può pregiudicare la possibilità di conseguire un’allocazione delle
risorse Pareto-efficiente.
22

1. ASPETTI INTRODUTTIVI IV. Efficienza dei mercati finanziari
presenza degli intermediari nei mercati finanziari è strettamente legata al ruolo che essi
svolgono nella riduzione dei costi di transazione, nella ridistribuzione del rischio e nella
riduzione delle asimmetrie informative. Dal momento che tali aspetti sono centrali per
il conseguimento di un’allocazione Pareto-efficiente, il grado di efficienza operativa con
cui gli intermediari assolvono tali compiti assume chiara rilevanza non soltanto fine a se
stesso, ma anche dal punto di vista allocativo.
Efficienza informativa. Il concetto di efficienza informativa è un concetto molto
più specifico dei precedenti e concerne il modo con cui i prezzi dei titoli finanziari riflettono
informazioni rilevanti. In prima approssimazione, i mercati finanziari sono detti efficienti
in senso informativo quando i prezzi correnti dei titoli riflettono perfettamente tutta
l’informazione disponibile utile per le decisoni di investimento. Il concetto di efficienza
informativa, sebbene relativamente semplice dal punto di vista concettuale, presenta diversi
aspetti non banali dal punto di vista applicativo, che meritano un approfondimento
più specifico.
Efficienza di portafoglio (portfolio efficiency). Un portafoglio efficiente è un
investimento in una combinazione di titoli che consente all’investitore di ottenere un dato
rendimento atteso con il rischio più basso o, alternativamente, che consente di massimizzare
il rendimento atteso dell’investimento per un dato livello di rischio. Tale questione
sarà indagata dettagliatamente nel Capitolo 3.
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Cap. 1.
• Mishkin F.S., Eakins S.G., Forestieri G., Istituzioni e mercati finanziari, Pearson,
2007; Cap. 2.
23

IV. Efficienza dei mercati finanziari
1. ASPETTI INTRODUTTIVI
24

Capitolo 2
Elementi di teoria delle scelte in
condizioni di incertezza
Il rischio e l’incertezza sono elementi che pervadono i mercati finanziari. Un investimento
finanziario, generalmente, comporta sempre che colui che lo realizza debba sopportare
un certo grado, più o meno ampio, di rischio. Questo in quanto una serie di eventi,
indipendenti dai comportamenti degli investitori, potranno condizionare il rendimento associato
all’investimento. Per comprendere i comportamenti dei soggetti e i fenomeni che si
osservano nei mercati finanziari è innanzitutto necessario dotarsi, dunque, di un apparato
teorico che ci consenta di analizzare le decisioni dei soggetti in condizioni di incertezza. 1
In questo capitolo ci occuperemo di gettare le basi per costruire un tale approccio teorico.
Nel capitolo successivo, applicheremo (con alcuni accorgimenti) il modello quì analizzato
alle cosiddette scelte di portafoglio, cioè allo studio del mix ottimale di titoli finanziari in
cui i risparmiatori decidono di investire la loro ricchezza.
I
Definizione del problema di scelta in condizioni di incertezza
Immaginiamo un soggetto che debba fare una certa scelta, tra diverse alternative possibili,
in relazione ad un evento incerto. L’incertezza consiste nel fatto che, al momento
della scelta, il soggetto non ha la possibilità di conoscere il risultato finale dell’evento.
Più specificatamente, ipotizziamo che il soggetto possa scegliere tra diversi atti o azioni
1 In seguito, i concetti di rischio e di incertezza saranno utilizzati quasi indifferentemente l’uno dall’altro.
È importante però sottolineare come nell’ambito della teoria economica essi abbiano spesso assunto
connotati ben distinti. In particolare, nella sua opera del 1920 Risk, Uncertainty and Profit, l’economista
americano Frank Knight per primo fece riferimento al concetto di “rischio” in relazione ad eventi non
certi, ma alle cui possibili realizzazioni è sensato assegnare delle probabilità, mentre accostò il concetto
di “incertezza” a eventi talmente imprevedibili per cui non è in alcun modo possibile associare delle
probabilità alle loro realizzazioni. È al primo concetto che sarà fatto riferimento in ciò che segue.
25

II. Valore atteso
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
ognuno dei quali può produrre per lui dei risultati incerti. Ad esempio, potrebbe trattarsi
di un risparmiatore che deve decidere come investire i suoi risparmi tra diversi titoli (o tra
diverse combinazioni di titoli), non sapendo a priori quali saranno i rendimenti che potrà
ottenere da essi. Per semplificare l’analisi, immaginiamo che, sebbene il soggetto non
possa sapere con certezza quale risultato si produrrà in concreto, esso conosca l’insieme
dei possibili risultati associati a ciascun atto che può scegliere: indichiamo con il vettore
(W 1 , W 2 , ..., W m ) gli m risultati possibili associati ad una qualsiasi azione appartenente
all’insieme di scelta del soggetto. Ipotizziamo, inoltre, che il soggetto conosca la probabilità
con cui ciascun risultato si può realizzare in concreto. Indichiamo con (π 1 , π 2 , ..., π m )
il vettore delle probabilità: data l’azione generica scelta dal soggetto, il risultato W k (connesso
a quell’azione) si produrrà con probabilità π k , con k = 1, 2, ..., m. Ad esempio,
un risparmiatore non è in grado di conoscere al momento dell’investimento il payoff che
potrà ottenere acquistando delle azioni di una certa società. Al tempo stesso, sulla base,
ad esempio, dell’andamento storico del titolo e del prezzo corrente (che può trasmettere
informazioni sul prezzo futuro), egli potrebbe dedurre le probabilità da attribuire ai
diversi risultati (payoff ) possibili.
Definiamo, adesso, un concetto rilevante per l’analisi successiva, cioè quello di lotteria:
Definizione 1 (Lotteria)
Data un’azione scelta dal soggetto, la lotteria L ad essa associata è il vettore casuale
L ≡ (W 1 , W 2 , ..., W m ; π 1 , π 2 , ..., π m )
dove W k è un risultato possibile e π k è la probabilità che, data l’azione compiuta dal
soggetto, quel risultato si verifichi (con k = 1, 2, ..., m e ∑ k π k = 1).
In sostanza, per ogni azione che il soggetto può scegliere, avremo una lotteria ad essa
associata. La lotteria riassume l’insieme dei risultati, e le probabilità che essi si realizzino,
connessi ad una certa azione che appartiene all’insieme di scelta del soggetto. Il problema
di scelta di quest’ultimo, quindi, può essere impostato nei termini di scelta della lotteria
che meglio soddisfa le sue preferenze. Individuando la lotteria preferita, infatti, è possibile
individuare la scelta migliore del soggetto (quella a cui la lotteria preferita è associata).
Ovviamente, a questo punto si tratta di definire un criterio che ci consenta di “ordinare”
le lotterie in funzione delle preferenze del soggetto.
II
Valore atteso
Da quì in poi considereremo che i risultati (W 1 , W 2 , ..., W m ) di ogni lotteria siano
sempre espressi in termini monetari; ad esempio, per un investitore, sia il totale dei
26

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA II. Valore atteso
pagamenti (payoffs) ottenuti fino al momento del rimborso o del disinvestimento.
primo semplice modo per ordinare le lotterie è quello in base al loro valore atteso,
indicato con E[W ] e così calcolato:
E[W ] = W 1 π 1 + W 2 π 2 + ... + W m π m =
m∑
W k π k .
Il concetto di valore atteso di una lotteria consente anche di definire cosa si intende
per lotteria attuarialmente equa:
Definizione 2 (Lotteria attuarialmente equa)
Una lotteria L si definisce attuarialmente equa (o, più semplicemente, equa) se il suo
valore atteso è nullo (ossia E[W ] = 0).
Si consideri che fino adesso abbiamo considerato implicitamente lotterie per cui il soggetto
non è chiamato a pagare alcun prezzo per parteciparvi. Ovviamente, nella maggior
parte dei casi, questo non si verifica. Ad esempio, nel caso del risparmiatore che deve
valutare in quali titoli investire, oltre a considerare i pagamenti incerti che le differenti
opzioni di investimento possono produrre, egli dovrà anche tener conto che l’investimento
richiederà un pagamento iniziale per la sottoscrizione dei titoli. Questo, ci porta a definire
il concetto di lotteria equa in un modo alternativo: una lotteria è equa se il pagamento richiesto
per parteciparvi è uguale al valore atteso della “vincita”. Formalmente, indicando
con A il pagamento necessario per “partecipare” ad una lotteria, quest’ultima si definisce
equa se vale E[W ] = A.
Esempio 6 (Valore atteso e titoli finanziari)
Guardiamo di utilizzare il concetto di valore atteso, descritto prcedentemente, per un
titolo finanziario, mettendolo in relazione con quello di tasso atteso di rendimento del
titolo, così come definito nel Capitolo 1 (Sezione II). 2
k=1
Un
A tale scopo, si consideri un
risparmiatore che stà valutando la possibilità di investire i suoi risparmi nel titolo azionario
della società “X”. Al momento dell’investimento, gli analisti finanziari prevedono che tra
un anno il prezzo dell’azione “X” possa valere 1, 20 euro con probabilità 1 , 1, 50 euro con
3
probabilità 1 e 1, 80 euro con probabilità 1 . Se l’investitore acquistasse oggi 100 azioni
3 3
della società “X” per rivenderle tra un anno, quale sarebbe il valore atteso della ricchezza
finale prodotta dall’investimento sulla base delle previsioni degli analisti (è previsto che nel
corso dell’anno non vengono distribuiti dividendi) Inoltre, se oggi il prezzo dell’azione è
pari a 0, 90 euro, acquistando le azioni della società “X”, di fatto, il risparmiatore “gioca”
2 Per semplificare il testo, rispetto alle definizioni del Capitolo 1, di seguito, per il tasso atteso di
rendimento, non viene riportato l’indice temporale e quello che identifica il particolare titolo.
27

II. Valore atteso
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
o no ad una lotteria equa Infine, qual’è il tasso atteso di rendimento dell’investimento
da oggi ad un anno
Consideriamo che nel caso dei titoli finanziari, il generico risultato W k in termini di
ricchezza finale, che un risparmiatore ottiene ad una certa data dal possesso dei titoli,
è pari al prodotto tra il prezzo (o più in generale il payoff) del titolo a quella data e il
numero di unità di quel titolo possedute dall’investitore. Nel nostro esempio, indicando
con x la quantità delle azioni acquistate dall’investitore e con v k il prezzo dell’azione
all’atto del disinvestimento (che può variare in base all’evento che in concreto si realizza),
avremo quindi che W k = v k x. Tenendo, inoltre, conto che, al momento dell’investimento,
le previsioni degli analisti individuano tre possibili “scenari” le cui rispettive probabilità
sono π 1 = π 2 = π 3 = 1 , applicando la formula del valore atteso, otteniamo:
3
( ( ( 1 1 1
E[W ] = 120 + 150 + 180 = 150.
3)
3)
3)
Per stabilire se l’acquisto dei titoli corrisponde o meno a una lotteria è equa, occorre
confrontare il valore atteso E[W ] con il pagamento iniziale per la sottoscrizione dei titoli.
Indicando con p il prezzo (unitario) di mercato delle azioni, il pagamento iniziale è dato
da A = px. Per cui, in relazione al nostro esempio, avremo che:
E[W ] = 150 > 90 = A.
Poiché il valore atteso della lotteria associata all’acquisto delle azioni è maggiore del
pagamento iniziale di sottoscrizione, la lotteria non è equa. Per essere equa, infatti, il
prezzo odierno dell’azione sarebbe dovuto essere 1, 50 euro, il che avrebbe comportato
E[W ] = A = 150.
Infine, per calcolare il tasso atteso di rendimento possiamo fare riferimento alla formula
del tasso di rendimento, individuata nella Sezione II del Capitolo 1 (r = (v − p)/p). In
particolare, tenendo conto delle probabilità con cui i vari payoff v k si realizzano avremo:
( ) ( ( ) ( ( ) ( 1, 20 − 0, 90 1 1, 50 − 0, 90 1 1, 80 − 0, 90 1
E[r] =
+
+
≃ 0, 66
0, 90 3)
0, 90 3)
0, 90 3)
per cui il tasso atteso di rendimento è di circa il 66% (si noti che, avendo già individuato
che il valore atteso E[W ] del titolo è maggiore del pagamento iniziale A, potevamo già
intuire come il rendimento atteso dell’investimento fosse positivo).
Definito il concetto di valore atteso di una lotteria, potremmo essere tentati di affermare
che ciò è tutto quello che ci serve per ordinare differenti lotterie secondo le preferenze
dei soggetti. Ciascun soggetto potrebbe preferire la lotteria che, rispetto a tutte le altre,
28

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA II. Valore atteso
garantisce il valore atteso più alto. Oppure, se il soggetto potesse scegliere di partecipare
a più lotterie (ad esempio, il risparmiatore potesse investire in più titoli o più combinazioni
di titoli) contemporaneamente, potremmo essere portati ad affermare che convenga
sempre partecipare a quelle lotterie per cui il valore atteso della vincita è maggiore del
prezzo da pagare per parteciparvi (lotterie attuarialmente vantaggiose) e scartare invece
quelle per cui vale il contrario (lotterie attuarialmente svantaggiose). Tale ragionamento,
in generale, non è corretto in quanto non è in grado di tener conto del differente
atteggiamento nei confronti del rischio da parte dei soggetti.
Immaginiamo le due seguenti lotterie: L ′ = (−900, 300, 900; 1 3 , 1 3 , 1 3 ) e L′′ = (50, 150; 1 2 , 1 2 ).
Entrambe le lotterie hanno lo stesso valore atteso, pari a 100, e quindi potremmo essere
tentati di affermare che siano tra loro indifferenti per i vari soggetti. Peraltro, le due
lotterie sono tra loro ben diverse. Nella prima esiste una probabilità positiva di vincere
sia una cifra relativamente alta, sia una cifra più contenuta. Al tempo stesso, però, esiste
una probabilità non trascurabile di perdere una somma considerevole (−900 con probabilità
1 ). Nella seconda lotteria, invece, vi è una probabilità pari al 50% di vincere una
3
cifra positiva più o meno alta, ma comunque relativamente modesta. In altri termini, a
parità di valore atteso, L ′ è molto più rischiosa di L ′′ ; d’altro canto L ′ può consentire al
soggetto delle vincite che con L ′′ non è assolutamente in grado di raggiungere. In virtù
di ciò, è lecito aspettarsi che ci siano soggetti che preferiscano L ′ a L ′′ , altri soggetti che
preferiscono L ′′ a L ′ , e altri ancora per cui le due lotterie sono effettivamente equivalenti.
Inoltre, sebbene la lotteria L ′ abbia un valore atteso strettamente positivo, è del
tutto probabile che vi siano soggetti non disposti a “giocare” L ′ , in quanto assolutamente
contrari alla possibilità di perdere una cifra pari a 900. Questi ultimi soggetti, inoltre,
potrebbero perfino preferire alla lotteria L ′′ un’altra lotteria molto simile a L ′ , ma con un
valore atteso leggermente più basso (ad esempio, la lotteria L ′′′ = (50, 149; 1 2 , 1 2 )).
In conclusione, la scelta dei soggetti dipenderà anche (soprattutto) dalla loro propensione
ad accettare il rischio e il solo criterio del valore atteso, come abbiamo dimostrato,
non è assolutamente in grado di cogliere tale aspetto. Un altro tipico esempio che riassume
l’inadeguatezza del concetto di valore atteso come base per descrivere le scelte dei
soggetti in condizioni di incertezza fu proposto per la prima volta dal matematico svizzero
Daniel Bernoulli ed è noto con il nome di Paradosso di San Pietroburgo.
Esempio 7 (Paradosso di San Pietroburgo)
Supponiamo di partecipare al seguente gioco (lotteria). Si lancia una moneta non truccata,
per cui la probabilità che esca testa (croce) è pari a 1/2, fino a che non esce testa. La prima
volta che esce testa si smette di lanciare la moneta e si determinano i premi nel modo
seguente: se esce testa al primo lancio si vince una somma pari a 2 (euro, ad esempio).
Se esce testa al secondo lancio si ottiene una somma pari a 2 2 = 4. Se esce testa al terzo
29

III. Utilità attesa
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
lancio si ottiene 2 3 = 8, al quarto lancio 2 4 = 16 e così via. Poiché, se necessario, la
moneta viene lanciata un numero infinito di volte, i lanci sono indipendenti tra loro e la
probabilità che esca testa è 1/2, il valore atteso di questa lotteria è pari a:
( ( ) 2 ( ) 3 1 1 1
2 + 2
2)
2 + 2 3 + ... = 1 + 1 + 1 + ... = ∞.
2 2
In sostanza, poicé il valore atteso di questo gioco è infinito, se un soggetto facesse le
sue scelte esclusivamente sulla base del valore atteso, dovrebbe essere disposto a pagare
una grande somma di denaro pur di partecipare a questa lotteria. In realtà, ovviamente,
le persone non sono disposte a pagare una grande somma di denaro per partecipare ad un
gioco, come quello appena descritto, che dà loro una probabilità molto piccola di vincere
una grande somma di denaro.
III
Utilità attesa
Per ovviare ai problemi connessi al valore atteso, descritti precedentemente, si può
fare riferimento al concetto di utilità attesa, che rappresenta l’ipotesi di comportamento
maggiormente utilizzata dagli economisti nell’analisi delle scelte in condizioni di
incertezza. La teoria dell’utilità attesa von Neumann-Morgenstern (VNM), dal nome del
matematico John von Neumann e da quello dell’economista Oskar Morgenstern che per
primi l’hanno elaborata, 3 afferma che le preferenze dei soggetti rispetto a certe azioni,
o lotterie che le rappresentano, possono essere rappresentate tramite una funzione che
assegna alla generica lotteria L un valore, indicato con U(L), dato da:
U(L) = u(W 1 )π 1 + u(W 2 )π 2 + ... + u(W m )π m =
m∑
u(W k )π k (2.1)
dove u(W k ) è la funzione che associa un dato livello di utilità alla generica somma
di denaro W k ottenuta con certezza. 4 In base all’ipotesi di utilità attesa VNM, date
due lotterie qualsiasi L ′ e L ′′ , un soggetto preferirà (strettamente) la prima lotteria alla
3 Von Neumann e Morgenstern elaborano tale teoria nel 1944 nel loro libro Theory of Games and
Economic Behavior come teoria normativa, cioè come una teoria che definisce le scelte ottimali degli
agenti in condizioni di incertezza, date certe ipotesi di comportamento. Peraltro, tale approccio viene
spesso utilizzato (compreso nell’ambito dei mercati finanziari) come teoria positiva, cioè come teoria che
descrive gli effettivi comportamenti degli agenti. In tale prospettiva, peraltro, essa non è esente da critiche
e contraddizioni.
4 È opportuno ribadire ulteriormente la differenza sostanziale che esiste tra le funzioni U e u. Mentre
la funzione di utilità attesa U è definita su un “bene” incerto quale una lotteria, ossia esprime l’utilità
che un soggetto ottiene “giocando” la lotteria L, la funzione di utilità u è definita su un “bene” certo
quale una somma di denaro, ossia esprime l’utilità che un soggetto ottiene disponendo con certezza della
somma W k , che rappresenta un risultato possibile della lotteria L.
k=1
30

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilità attesa
seconda se e solo se l’utilità attesa che egli attribuisce alla prima lotteria è maggiore di
quella che attribuisce alla seconda, ossia se e solo se vale U(L ′ ) > U(L ′′ ).
Come emerge chiaramente dall’Equazione (2.1), con il criterio dell’utilità attesa ciò
che conta per attribuire un “valore” alla lotteria L non è semplicemente il suo valore
atteso (ossia la media ponderata, in base alle rispettive probabilità, delle vincite della
lotteria), ma si deve tener conto anche di come è fatta la funzione u. Come vedremo,
è proprio tale funzione, che può differire da soggetto a soggetto, che consentirà di tener
conto dell’atteggiamento nei confronti del rischio, nell’ambito del processo con cui vengono
valutate e ordinate le varie lotterie. In particolare, U(L) è una funzione lineare ponderata
dell’utilità che i soggetti percepiscono in condizioni di certezza, in generale u(W ), dove i
pesi sono dati dalle probabilità associate ai vari risultati. In altri termini, essa esprime
l’aspettativa dei soggetti sull’utilità che otterranno dall’esito finale della lotteria; per tale
motivo, in ciò che segue, sarà anche indicata con E[u(W )] (cioè U(L) ≡ E[u(W )], per cui,
di quì in avanti, U(L) e E[u(W )] saranno utilizzati indifferentemente per indicare l’utilità
attesa della lotteria considerata). 5
III.A
Atteggiamento nei confronti del rischio
Una volta definita la funzione di utilità attesa VNM che rappresenta le preferenze dei
soggetti su lotterie, ossia su alternative incerte, è necessario approfondire la forma e le
proprietà di tale funzione soprattutto per quanto concerne la predisposizione dei soggetti
ad accettare il rischio.
Innanzitutto, poiché stiamo considerando i risultati delle lotterie come “premi monetari”,
generalmente si suppone che la funzione in questione sia sempre crescente nei risultati;
formalmente, avremo sempre che u ′ (W ) = du(W )/dW > 0. Ad esempio, trattandosi di
un investitore, esso preferirà sempre investire in un titolo che gli fornisce pagamenti più
elevati a quello che gli fornisce pagamenti inferiori. Più interessante è analizzare la curvatura
della funzione (ossia se cresca più o meno proporzionalmente rispetto ai risultati) dal
momento che ciò esprime proprio l’atteggiamento nei confronti del rischio dei vari soggetti.
Prima di fare questo, è opportuno definire due concetti che saranno utili nell’analisi
successiva: quello di equivalente certo e quello di premio per il rischio.
5 Analogamente a quanto studiato nel corso di microeconomia per la funzione di utilità del consumatore
nei problemi di scelta in condizioni di certezza, l’esistenza della funzione di utilità attesa VNM si fonda
su alcune ipotesi, o assiomi, relativi al comportamento dei soggetti. Inoltre, è possibile dimostrare che
tale funzione è unica a meno di trasformazioni affini positive. Non ci concentreremo quì su tali aspetti,
che esulano in larga parte dai nostri scopi, per i quali rimandiamo il lettore interessato ad un manuale di
microeconomia (es. Kreps (1993, Cap. 3)).
31

III. Utilità attesa
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
Definizione 3 (Equivalente certo)
Data una lotteria L, si definisce equivalente certo di L il risultato CE L che, se ottenuto
con certezza, fornisce un’utilità esattamente uguale all’utilità attesa di L, ossia
u(CE L ) = E[u(W )]. (2.2)
La definizione di equivalente certo implica un confronto tra risultati certi ed incerti.
Infatti, per un soggetto, “partecipare” ad una lotteria comporta sempre l’assunzione di un
certo grado di rischio. L’equivalente certo ci dice quale sarebbe la situazione non rischiosa
che sarebbe per lui indifferente a partecipare alla lotteria.
Definizione 4 (Premio per il rischio)
Data una lotteria L, si definisce premio per il rischio la somma P R L per cui risulta
u(E[W ] − P R L ) = E[u(W )]. (2.3)
Anche l’intuizione che stà dietro al concetto di premio per il rischio è relativamente
semplice. Se il soggetto gioca la lotteria L sà che otterrà in media una somma pari a
E[W ], ma potrebbe anche ottenere un risultato peggiore (o migliore). La questione che
si può dunque porre è la seguente: quale somma massima il soggetto è disposto a pagare
per “assicurarsi” e ottenere il valore medio (atteso) della lotteria con certezza anziché
“partecipare” alla lotteria Tale somma è proprio quella rappresentata dal premio per il
rischio.
Si noti, infine, un ultimo aspetto rilevante connesso alle definizioni di equivalente certo
e premio per il rischio. Considerando congiuntamente le Equazioni (2.2) e (2.3) notiamo
che u(CE L ) = u(E[W ] − P R L ), che implica CE L = E[W ] − P R L o, equivalentemente,
P R L = E[W ]−CE L . 6 In sostanza, il premio per il rischio associato ad una lotteria L è dato
dalla differenza tra il valore atteso della lotteria e il suo equivalente certo (nell’Appendice
A.1 in fondo al capitolo viene fornita una derivazione matematica più dettagliata del
premio per il rischio associato ad una data lotteria).
Avversione al rischio
Partiamo dall’analisi del comportamento di un soggetto che non ama il rischio; più
tecnicamente si parla in questo caso di soggetto avverso al rischio. Immaginiamo, come
esempio di riferimento, la seguente lotteria con due possibili risultati: L = (W 1 , W 2 ; π 1 , π 2 ),
con W 1 < W 2 . Indichiamo, inoltre, con µ L il valore atteso della lotteria, ossia µ L ≡
E[W ] = W 1 π 1 + W 2 π 2 . In relazione alla lotteria in questione, la funzione di utilità di un
6 Tecnicamente, ciò richiede che la funzione u sia invertibile, il che è assicurato dal fatto che u è una
funzione monotona crescente (u ′ (W ) > 0).
32

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilità attesa
u(W)
u(W 2 )
u(µ L )
u(CE L ) = E[u(W)]
e
b
d
c
u(W)
u(W 1 )
a
W 1 CE L µ L W 2
W
Figura 2.1: Avversione al rischio
soggetto avverso al rischio è rappresentata graficamente in Figura 2.1. Si noti subito la
forma della funzione u(W ), che, come specificato in precedenza, esprime l’utilità del soggetto
in corrispondenza di pagamenti certi. Tale funzione, oltre ad essere sempre crescente
(in quanto u ′ (W ) > 0), ha una curvatura concava verso il basso; di seguito capiremo le
implicazione che ne derivano.
u(W 1 ) e u(W 2 ), sull’asse delle ordinate, rappresentano l’utilità che il nostro soggetto
otterrebbe potendo disporre con certezza delle somme di denaro W 1 e W 2 , rispettivamente.
u(µ L ), che equivale a u(E[W ]), rappresenta invece l’utilità che il soggetto otterrebbe
ottenendo una somma certa pari al valore atteso della lotteria L. 7 Ma come si trova il
valore che il soggetto attribuisce alla lotteria L Ossia, in altri termini, come si trova
l’utilità attesa E[u(W )] (o U(L)) che il soggetto avverso al rischio attribuisce alla possibilità
di “giocare” la lotteria L Per rispondere a questa domanda, consideriamo, in
Figura 2.1, il segmento che unisce i punti a e c, corrispondenti ai livelli di utilità u(W 1 )
e u(W 2 ). Indichiamo, poi, con d il punto su tale segmento in corrispondenza, sull’asse
delle ascisse, del valore atteso della lotteria, µ L . L’utilità attesa attribuita dal soggetto
(avverso al rischio) alla lotteria L, indicata con E[u(W )], si trova sull’asse delle ordinate
proprio in corrispondenza del punto d. Si notino i seguenti aspetti.
1. Poiché risulta E[u(W )] < u(µ L ) (o, equivalentemente, E[u(W )] < u(E[W ])) l’utilità
attesa che un soggetto avverso al rischio ottiene giocando una lotteria il cui valore
7 Ovviamente, sull’asse delle ascisse µ L si colloca tra W 1 e W 2 , trattandosi di una loro media ponderata.
33

III. Utilità attesa
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
atteso è µ L è inferiore all’utilità che avrebbe ottenuto potendo disporre con certezza
di una somma esattamente pari al valore atteso della lotteria (tale utilità corrisponde,
sull’asse delle ordinate in Figura 2.1, al punto b). In sostanza, l’avversione al
rischio esprime la preferenza per la certezza a scapito della dispersione della ricchezza.
È importante sottolineare come tale risultato dipenda strettamente dalla forma
concava della funzione u(W ); 8 ciò dunque spiega il perché si utilizzi una funzione
u fatta in questo modo per rappresentare le preferenze di un soggetto avverso al
rischio.
2. In Figura 2.1 è anche riportato sull’asse delle ascisse, con CE L , l’equivalente certo
associato alla lotteria L.
In base alla Definizione 3, esso rappresenta la somma
certa che fornisce un livello di utilità, sull’asse delle ordinate, tale per cui risulta
u(CE L ) = E[u(W )] (utilità corrispondente al punto e sulla funzione u(W )).
noti che, in questo caso, l’equivalente certo è inferiore al valore atteso della lotteria
(CE L < µ L ). In virtù di ciò, considerando la definizione di premio per il rischio
(P R L = µ L − CE L ), si può anche affermare che, nel caso di soggetti avversi al
rischio, il premio per il rischio è positivo (P R L > 0).
3. Un ultimo aspetto da sottolineare in relazione al comportamento di soggetti avversi
al rischio è il seguente. Consideriamo il concetto di lotteria equa, già definito precedentemente.
Esso prevede che per partecipare ad una lotteria, un soggetto paghi
una somma pari al suo valore atteso. Se un soggetto è avverso al rischio, possiamo
affermare con certezza che esso non parteciperà mai ad una lotteria equa. Infatti,
nei termini della Figura 2.1, si priverebbe di una somma certa µ L per partecipare
ad una lotteria la cui utilità attesa (E[u(W )]) è inferiore all’utilità della somma di
cui si priva (u(µ L )); ciò, ovviamente, non sarebbe per lui conveniente!
In conclusione, possiamo riassumere questa sezione con la seguente definizione generale
di soggetto avverso al rischio individuando, successivamente, le quattro condizioni
equivalenti che contraddistinguono tale atteggiamento nell’ambito dell’approccio teorico
dell’utilità attesa VNM (nell’Appendice A.1 in fondo al capitolo sono discusse più
dettagliatamente alcune misure di avversione al rischio dei soggetti).
Definizione 5 (Avversione al rischio)
Un soggetto si definisce avverso al rischio ogni qual volta l’utilità che ottiene da un
8 Infatti, dati due numeri reali W 1 e W 2 e fissati 0 ≤ π 1 , π 2 ≤ 1, con π 1 + π 2 = 1, una funzione
u si definisce (strettamente) concava se risulta π 1 u(W 1 ) + π 2 u(W 2 ) < u(π 1 W 1 + π 2 W 2 ). Si noti che,
nel nostro caso, il termine di sinistra della disuguaglianza (nota anche come disuguaglianza di Jensen)
corrisponde all’utilità attesa associata alla lotteria (E[u(W )]), mentre il termine di destra corrisponde
all’utilità associata al valore atteso della lotteria (u(E[W ])).
Si
34

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilità attesa
risultato certo è maggiore dell’utilità attesa di una lotteria con lo stesso risultato (valore)
atteso.
Le condizioni che individuano un soggetto avverso al rischio sono le seguenti:
• la funzione di utilità sui risultati certi è concava (formalmente, u ′′ (W ) < 0);
• l’equivalente certo di una qualsiasi lotteria è inferiore al suo valore atteso;
• il premio per il rischio è positivo;
• il soggetto non accetta mai lotterie eque.
Esempio 8
Ad un soggetto viene offerto un titolo finanziario che si prevede possa produrre una
ricchezza finale pari a 64 euro con probabilità 1 e 100 euro con probabilità 1 . Il soggetto è
2 2
avverso al rischio e le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità u(W ) =
√
W . Si determini l’utilità attesa del titolo per il soggetto, il suo equivalente certo e il
premio per il rischio.
L’acquisto del titolo corrisponde all’acquisto di una lotteria L = (64, 100; 1, 1 ), per cui
2 2
l’utilità attesa che il soggetto ottiene è:
E[u(W )] = 1 2 u(64) + 1 2 u(100) = 1 2
√ 1√ 64 + 100 = 4 + 5 = 9.
2
Per calcolare l’equivalente certo occorre individuare quella somma certa CE L
fornisce al soggetto un’utilità pari a quella attesa dalla lotteria, ossia per cui risulta:
che
u(CE L ) = √ CE L = 9.
Tale somma è ovviamente CE L = 9 2 = 81.
Infine, il premio per il rischio P R L non è altro che la differenza tra il valore atteso del
titolo ed il suo equivalente certo, per cui:
P R L = E[W ] − CE L = 1 2 (64) + 1 (100) − 81 = 82 − 81 = 1.
2
Neutralità al rischio
Consideriamo la stessa lotteria L della sezione precedente, ma analizziamo adesso il
caso di un soggetto né avverso, né amante del rischio: tecnicamente si parla in questo
caso di soggetto neutrale al rischio. In questo caso, la sua funzione di utilità VNM è
rappresentata graficamente in Figura 2.2.
35

III. Utilità attesa
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
u(W)
u(W)
u(W 2 )
u(µ L ) = u(CE L ) = E[u(W)]
u(W 1 )
W 1 µ L = CE L W 2
W
Figura 2.2: Neutralità al rischio
Come è possibile notare, la funzione u(W ) adesso è lineare. Ciò comporta che il
soggetto sia indifferente tra ricevere una somma certa µ L oppure giocare la lotteria L, il
cui risultato atteso è µ L . Formalmente, E[u(W )] = u(µ L ) (o E[u(W )] = u(E[W ])). Inoltre,
proprio per questo motivo, l’equivalente certo associato alla lotteria coincide esattamente
con il suo valore atteso (CE L = µ L ) e il premio per il rischio è nullo (P R L = 0). Infine,
a questo punto dovrebbe essere chiaro come un soggetto neutrale al rischio sia del tutto
indifferente tra accettare o meno lotterie eque, dal momento che la somma che paga
per parteciparvi ha per lui esattamente lo stesso “valore” della lotteria a cui partecipa.
Analogamente a quanto fatto per un soggetto avverso al rischio, tutto ciò può essere
sintetizzato come segue.
Definizione 6 (Neutralità al rischio)
Un soggetto si definisce neutrale al rischio ogni qual volta l’utilità che ottiene da un
risultato certo è esattamente uguale all’utilità attesa di una lotteria con lo stesso risultato
(valore) atteso.
Le condizioni che individuano un soggetto neutrale al rischio sono le seguenti:
• la funzione di utilità sui risultati certi è lineare (formalmente, u ′′ (W ) = 0);
• l’equivalente certo di una qualsiasi lotteria è uguale al suo valore atteso;
• il premio per il rischio è nullo;
36

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilità attesa
• il soggetto è indifferente ad accettare o meno lotterie eque.
Esempio 9
Si riprenda l’Esempio 8, ma assumiamo adesso che il soggetto sia neutrale al rischio: le sue
preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità u(W ) = W . Si determini l’utilità
attesa del titolo per il soggetto, il suo equivalente certo ed il premio per il rischio.
L’utilità attesa, che coincide adesso con il valore atteso della lotteria associata al titolo
finanziario, è data da:
E[u(W )] = 1 2 u(64) + 1 2 u(100) = 1 2 (64) + 1 (100) = 32 + 50 = 82.
2
L’equivalente certo CE L che fornisce al soggetto un’utilità pari a quella attesa dalla
lotteria risulta adesso:
u(CE L ) = CE L = 82.
Tale somma coincide con il valore atteso del titolo (E[W ] = CE L ), per cui il premio
per il rischio P R L è pari a zero.
Propensione al rischio
L’ultimo caso da considerare è quello di un soggetto amante del rischio, ossia quello
che è tecnicamente definito soggetto propenso al rischio. L’andamento della funzione
di utilità VNM nel caso di propensione al rischio è presentata in Figura 2.3.
Come era logico attendersi, questo caso è l’esatto contrario di quello con avversione al
rischio. In primo luogo, la funzione u(W ) per un soggetto propenso al rischio è convessa
verso il basso. Il soggetto preferisce, quindi, giocare la lotteria L piuttosto che ricevere con
certezza µ L . Formalmente, E[u(W )] > u(µ L ) (o E[u(W )] > u(E[W ])). Ciò ovviamente ha
perfettamente senso. Soggetti amanti del rischio preferiranno “giocarsi” la possibilità di
vincere una somma elevata piuttosto che accontentarsi di una somma (certa) intermedia,
anche se questo comporta il rischio di ricevere alla fine solo una somma molto bassa
(possibilmente anche negativa, cioè una perdita).
Inoltre, con propensione al rischio, l’equivalente certo associato alla lotteria è maggiore
del suo valore atteso (CE L > µ L ), ossia il premio per il rischio è negativo (P R L <
0). Anche questo è facilmente spiegabile: mentre nel caso di avversione al rischio il
soggetto, pur di ottenere una somma certa, è disposto a pagare un premio per eliminare
il rischio associato alla lotteria, un soggetto propenso al rischio, viceversa, chiede lui di
essere pagato (premio negativo) per privarsi del rischio insito nella lotteria. Questo spiega
intuitivamente anche il motivo per cui tale soggetto accetterà sempre di partecipare a
lotterie eque.
37

III. Utilità attesa
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
u(W)
u(W)
u(W 2 )
u(CE L ) = E[u(W)]
u(µ L )
u(W 1 )
W 1 µ L CE L W 2
Figura 2.3: Propensione al rischio
W
Definizione 7 (Propensione al rischio)
Un soggetto si definisce propenso al rischio ogni qual volta l’utilità che ottiene da un
risultato certo è inferiore all’utilità attesa di una lotteria con lo stesso risultato (valore)
atteso.
Le condizioni che individuano un soggetto propenso al rischio sono le seguenti:
• la funzione di utilità sui risultati certi è convessa (formalmente, u ′′ (W ) > 0);
• l’equivalente certo di una qualsiasi lotteria è superiore al suo valore atteso;
• il premio per il rischio è negativo;
• il soggetto accetta sempre lotterie eque.
Esempio 10
Riprendiamo nuovamente l’Esempio 8, ma consideriamo adesso un soggetto propenso al
rischio con preferenze rappresentate dalla funzione di utilità u(W ) = W 2 . Si determini
l’utilità attesa del titolo per il soggetto, il suo equivalente certo ed il premio per il rischio.
Data la funzione utilità u(W ) = W 2 , l’utilità attesa che ottiene il soggetto è:
E[u(W )] = 1 2 u(64) + 1 2 u(100) = 1 2 (64)2 + 1 2 (100)2 = 2048 + 5000 = 7048.
Per calcolare l’equivalente certo corrispondente al titolo occorre individuare quella
somma certa CE L che soddisfa:
38

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA IV. Domanda di assicurazione
u(CE L ) = (CE L ) 2 = 7048.
a:
Tale somma è CE L = √ 7048 ≃ 83, 95.
Il premio per il rischio P R L , infine, è (come ci si attendeva) negativo in quanto pari
P R L = E[W ] − CE L ≃ 82 − 83, 95 ≃ −1, 95.
IV
Avversione al rischio e domanda di assicurazione
Come abbiamo illustrato precedentemente, pur di ottenere una somma certa piuttosto
che quella incerta associata alla lotteria, il soggetto avverso al rischio è disposto a
pagare una somma positiva (il premio per il rischio). In questa sezione affronteremo più
dettagliatamente tale questione, analizzando come tutto ciò si traduca nella domanda di
assicurazione (o di titoli assicurativi) che un tale soggetto chiede al mercato per far fronte
all’incertezza legata al futuro.
Immaginiamo un soggetto avverso al rischio che in un dato istante temporale t disponga
di una data ricchezza pari a W . Supponiamo che esista una probabilità positiva π che il
soggetto subisca un certo evento dannoso che produca per lui una perdita di un ammontare
monetario pari a D, così che la sua ricchezza complessiva possa diventare W −D al tempo
t+1. Il soggetto può però rivolgersi al mercato per assicurarsi contro l’evento dannoso. In
particolare, può “acquistare” unità di denaro come rimborso al tempo t+1 condizionato al
verificarsi dell’evento dannoso. Indichiamo con w le unità di denaro/rimborso acquistate
dal soggetto (che esprimono, quindi, l’entità della copertura assicurativa contro l’evento
dannoso) e assumiamo che ognuna di esse abbia un prezzo pari a 0 < p < 1. 9 Il problema
da analizzare concerne, quindi, la scelta ottimale di w da parte del nostro soggetto.
A tale scopo, consideriamo innanzitutto quali sono i risultati per il soggetto in corrispondenza
dei due eventi possibili: quello in cui il danno si verifica e quello in cui non
si verifica. Immaginando che il soggetto si assicuri per una somma generica w, nel caso
si verifichi il danno, il risultato (o ricchezza finale) che ottiene è W − D + w − pw (la
ricchezza che residua più il rimborso dell’assicurazione meno il pagamento o premio assicurativo).
Se, viceversa, il danno non si verifica, il risultato per il soggetto è W − pw (la
ricchezza iniziale meno il premio). Dati questi risultati, il soggetto sceglierà l’ammontare
ottimale di copertura assicurativa in modo da massimizzare la sua utilità attesa associata
alla particolare “lotteria” che stiamo esaminando. Formalmente:
9 Ovviamente, p non può assumere un valore maggiore di uno, altrimenti nessun soggetto avrebbe
convenienza ad assicurarsi.
39

IV. Domanda di assicurazione
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
max πu(W − D + w − pw) + (1 − π)u(W − pw). (2.4)
w
La condizione del primo ordine per il problema (2.4) è data da:
π(1 − p)u ′ (W − D + w − pw) − p(1 − π)u ′ (W − pw) = 0
che, tramite semplici passaggi algebrici, può essere riscritta come: 10
u ′ (W − D + w − pw)
u ′ (W − pw)
=
p(1 − π)
π(1 − p) . (2.5)
Poiché, chiaramente, la scelta ottima del soggetto dipende da p, il prezzo dell’assicurazione,
è importante chiedersi, a questo punto, qual’è il prezzo che rende il contratto (o
titolo) assicurativo equo per il soggetto. In effetti, dal punto di vista del soggetto, possiamo
considerare il titolo assicurativo come una lotteria con risultati w − pw (rimborso
meno pagamento iniziale), nel caso di danno, e −pw (perdita pari al pagamento) nel caso
in cui il danno non si verifichi; formalmente, tale lotteria può essere rappresentata dal
seguente vettore (w − pw, −pw; π, 1 − π). Posta la questione in questi termini, è semplice
adesso individuare il valore di p che rende equo il titolo assicurativo. Esso è dato da
p = π: dal punto di vista del soggetto, la lotteria corrispondente al titolo assicurativo è
equa se e solo se il prezzo di un’unità di denaro ottenuto come rimborso per il verificarsi
dell’evento dannoso è pari alla probabilità che l’evento dannoso si verifichi. 11
Assumiamo che il contratto assicurativo sia equo e individuiamo la scelta ottima di w
(la copertura assicurativa) da parte del soggetto. A tale scopo, notiamo che con p = π il
lato destro della condizione espressa dall’Equazione (2.5) è pari a uno. Di conseguenza,
affinché tale condizione sia soddisfatta, anche il rapporto che si trova al lato sinistro deve
essere uguale a uno. Ciò comporta 12 che W − D + w − pw = W − pw, che, a sua volta, è
soddisfatta per w = D. Qualunque soggetto avverso al rischio decide sempre di assicurarsi
completamente contro il rischio di un evento dannoso, se il contratto di assicurazione che
gli viene offerto è attuarialmente equo.
Potendo stipulare contratti assicurativi equi, chi è avverso al rischio decide sempre
per un’assicurazione che copre completamente il danno e, così facendo, stabilizza la sua
10 Si noti che, con soggetti avversi al rischio, la condizione del secondo ordine per il problema di massimizzazione,
descritto dall’espressione (2.4), è sempre soddisfatta. Infatti, la condizione del secondo ordine
è data da π(1 − p) 2 u ′′ (W − D + w − pw) + p 2 (1 − π)u ′′ (W − pw) < 0, che è sempre soddisfatta per u ′′ < 0
(soggetto avverso al rischio).
11 Dal punto di vista della compagnia di assicurazione che offre il titolo assicurativo, un prezzo p = π
implica un profitto atteso nullo: ciò equivale all’ipotesi di concorrenza perfetta nel settore assicurativo.
12 Si ricordi che la funzione u è sempre strettamente concava.
40

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA IV. Domanda di assicurazione
ricchezza. 13 Infatti, è facile calcolare come, con assicurazione completa, la ricchezza finale
(al tempo t+1) del soggetto sia costante, e pari a W −pw, indipendentemente dall’evento
che si produce in concreto. Ciò avviene, di fatto, perché acquistando il titolo assicurativo
il soggetto sfrutta un effetto di diversificazione: per lui, infatti, il “rendimento” del titolo
è positivo quando si verifica l’evento negativo (il danno) e negativo quando si ha l’evento
positivo (il danno non si realizza).
È proprio sottoponendosi a due fonti di rischio correlate
negativamente che egli riduce il suo rischio complessivo. Tale questione diventa centrale
per la scelta dei titoli nei mercati finanziari (le cosiddette scelte di portafoglio), che sarà
introdotta nella sezione seguente e analizzata più dettagliatamente nel Capitolo 3.
Esempio 11
Si consideri un soggetto avverso al rischio la cui funzione di utilità assume la forma
seguente: u(W ) = √ W . Tale soggetto dispone di una ricchezza iniziale pari a 100 euro,
ma esiste la possibilità che un evento dannoso (ad esempio, un furto) possa ridurla a
30 euro. Supponiamo che la probabilità con cui il danno si verifichi sia stimata al 30%.
Supponiamo che per ogni euro di copertura assicurativa che il soggetto può acquistare da
una compagnia di assicurazione, sia richiesto il pagamento di un premio di 0, 40 euro. Per
quanto sceglie di assicurarsi il nostro soggetto
Per rispondere alla domanda, consideriamo che, data la funzione di utilità u(W ) =
√
W , con un certo livello w di copertura assicurativa, se il danno si verifica (con probabilità
π = 0, 3), il nostro soggetto ottiene una ricchezza finale pari a 30+w −0, 4w = 30+0, 6w,
a cui corrisponde un’utilità data da √ 30 + 0, 6w. Viceversa, se il danno non si verifica
(con probabilità (1 − π) = 0, 7), il soggetto ottiene una ricchezza finale 100 − 0, 4w, a
cui corrisponde un’utilità pari a √ 100 − 0, 4w. Quindi, applicando l’Equazione (2.5), con
semplici passaggi algebrici otteniamo:
√ 100 − 0, 4w
√ 30 + 0, 6w
=
0, 4(0, 7)
0, 3(0, 6)
che implica 18 √ 100 − 0, 4w = 28 √ 30 + 0, 6w (dove entrambi i termini sono stati moltiplicati
per cento).
Elevando entrambi termini al quadrato e risolvendo rispetto a w
otteniamo w = 14, 8. Il soggetto, sebbene avverso al rischio, sceglie in questo caso una
copertura assicurativa solo parziale, cioè sceglie di assicurarsi per un ammontare inferiore
all’entità del danno (14, 8 < 70). Ciò era prevedibile in quanto con un premio di 0, 40 euro,
13 Una copertura assicurativa non totale da parte di soggetti avversi al rischio, che si può osservare
frequentemente nella realtà, può essere spiegata in vari modi. Ad esempio, è facile verificare che se il
contratto non è equo, perché risulta p > π, il soggetto, sebbene avverso al rischio, sceglie un livello
di copertura assicurativa solo parziale (w < D). Anche gli aspetti connessi alla presenza di asimmetrie
informative nei mercati possono contribuire a spiegare contratti assicurativi sottoscritti da soggetti avversi
al rischio con grado di copertura non totale.
41

V. Scelte di portafoglio 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
il titolo assicurativo non è una lotteria equa, bensì una lotteria attuarialmente svantaggiosa
per l’assicurato. Infatti, per avere una lotteria equa (che avrebbe spinto l’assicurato
a scegliere la copertura totale) il premio sarebbe dovuto essere pari a 0, 30 euro.
V
Utilità attesa e scelte di portafoglio
Consideriamo adesso in che modo l’apparato teorico dell’utilità attesa VNM, descritto
in precedenza, possa essere utilizzato per studiare il problema delle scelte di portafoglio.
In sostanza, tale problema consiste nell’analizzare come un soggetto investa in modo
ottimale (cioè nel modo che meglio risponde alle proprie preferenze) la ricchezza di cui
dispone in un portafoglio (o mix) di titoli o attività finanziarie.
Indichiamo con P il generico portafoglio di investimento. Esso può essere rappresentato
come un vettore (x 1 , x 2 , ..., x n ), dove x i rappresenta la quantità del titolo generico i
presente nel portafoglio (con n titoli a disposizione su cui poter investire). Rappresentiamo,
invece, con il solito vettore (W 1 , W 2 , ..., W m ) i possibili risultati (in termini ricchezza
finale) che l’investitore può ottenere investendo la sua ricchezza iniziale in un dato portafoglio.
Come al solito, a tali risultati è associato il vettore (π 1 , π 2 , ..., π m ), che esprime
le probabilità con cui i diversi risultati possono realizzarsi. Consideriamo, inoltre, che il
generico risultato W k dipende, adesso, da: i) la quantità x i di ciascun titolo contenuta nel
portafoglio e ii) il payoff ottenuto dall’investitore per ciascuna unità posseduta del titolo
i. Poiché quest’ultimo valore è una variabile aleatoria, nel senso che può variare a seconda
dell’evento che si realizza in concreto, esso sarà indicato con v ki . Ad esempio, se il titolo i
è un’azione, v ki rappresenta il prezzo (payoff ) dell’azione in corrispondenza dell’“evento”
(possibile andamento di borsa) k. In virtù di ciò, il generico risultato relativo alla ricchezza
finale associata ad un dato portafoglio può essere riscritto, più specificatamente,
come:
n∑
W k = v k1 x 1 + v k2 x 2 + ... + v kn x n = v ki x i . (2.6)
Il problema dell’investitore nella scelta del portafoglio ottimale può dunque essere
espresso nei termini seguenti:
i=1
max E[u(W )] = ∑ m
π k u(W k ) (2.7)
(x 1 ,x 2 ,...,x n)
k=1
s. a:
p 1 x 1 + p 2 x 2 + ... + p n x n = W . (2.8)
42

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA V. Scelte di portafoglio
Il problema rappresentato dalle Espressioni (2.7) e (2.8) può essere sintetizzato come
segue: l’investitore sceglie il portafoglio di investimento P = (x 1 , x 2 , ..., x n ) in modo
da massimizzare la sua utilità attesa E[u(W )] (dove i vari W k corrispondono a quelli
dell’Espressione (2.6)) dato il vincolo (2.8). Quest’ultimo rappresenta il vincolo di bilancio
dell’investitore: la sua ricchezza iniziale, indicata con W , uguaglia la spesa complessiva
per l’acquisto del portafoglio, data da ∑ i p ix i (dove p i rappresenta il prezzo unitario del
titolo i). Più in generale, il vincolo espresso dalla Condizione (2.8) deve valere con il segno
di disuguaglianza, ≤, nel senso che l’ammontare delle risorse spese dall’investitore non
può superare le risorse a sua disposizione (la sua ricchezza iniziale); peraltro, sulla base
di certe assunzioni, in particolare quella che il soggetto preferisca sempre un’ammontare
superiore, anziché inferiore, di ricchezza finale, la disuguaglianza può essere sostituita con
l’uguaglianza.
La soluzione del problema espresso dalle Espressioni (2.7)-(2.8) è derivata analiticamente
nell’Appendice A.2 a questo capitolo. Quì ci limiteremo a considerare la soluzione
finale. In particolare, in corrispondenza della scelta ottima dell’investitore deve essere
soddisfatta la condizione seguente:
E[(v 1 /p 1 )u ′ (W )] = E[(v 2 /p 2 )u ′ (W )] = ... = E[(v n /p n )u ′ (W )]. (2.9)
L’Espressione (2.9) può essere facilmente rappresentata in termini di tassi di rendimento
dei vari titoli. In effetti, tale trasformazione può tornare utile dal momento che la
valutazione e le scelte dei diversi titoli, da parte degli investitori, si basa generalmente sui
loro tassi (attesi) di rendimento (si veda la Sezione II del Capitolo 1). Poiché il tasso di
rendimento di un generico titolo i è r i = (v i − p i )/p i , otteniamo che v i /p i = 1 + r i , per
cui l’Espressione (2.9) può essere riscritta come:
E[(1 + r 1 )u ′ (W )] = E[(1 + r 2 )u ′ (W )] = ... = E[(1 + r n )u ′ (W )]. (2.10)
L’Espressione (2.10) può essere interpretata nel modo seguente. Un soggeto che investe
un’unità addizionale della sua ricchezza nel generico titolo i ottiene un payoff (ponderato
per il prezzo del titolo) (1+r i ) che gli produce un incremento di utilità pari a (1+r i )u ′ (W ).
Ovviamente, dal momento che tale incremento può variare a seconda dell’evento che si
realizza ex-post, al momento dell’investimento il soggetto valuterà l’incremento atteso di
utilità, rappresentato da E[(1 + r i )u ′ (W )]. L’Espressione (2.10) indica, appunto, che la
scelta del portafoglio ottimo di investimento si ha quando il soggetto sceglie le quantità
dei diversi titoli in modo tale che l’incremento atteso di utilità (o utilità marginale attesa)
derivante dall’investire un’unità addizionale di ricchezza è uguale per tutti i titoli. Perché
questo Perché se così non fosse, cioè se E[(1 + r i )u ′ (W )] fosse maggiore per alcuni titoli
43

VI. Appendice
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
e minore per altri, l’investitore non starebbe facendo la scelta ottimale, dal momento
che gli converrebbe disinvestire ricchezza dai titoli con utilità marginale attesa più bassa
per investirla nei titoli con utilità marginale attesa più elevata. Così facendo, infatti,
aumenterebbe la sua utilità attesa.
Le Condizioni (2.9) e (2.10), che sono equivalenti, costituiscono un insieme di condizioni
necessarie per la soluzione del problema di scelta del portafoglio di investimento da
parte di un soggetto; esse, peraltro, in generale non sono sufficienti. La sufficienza è assicurata
dall’ipotesi di avversione al rischio (u ′′ (W )) dell’investitore. 14 Peraltro, anche con
soggetto avverso al rischio, l’approccio seguito in questa sezione rimane troppo generale
per sviluppare considerazioni più specifiche. A tale scopo occorre necessariamente fare
riscorso a delle forme particolari della funzione di utilità VNM. Nel capitolo che segue ci
muoveremo in tale direzione. Ciò ci permetterà di scendere più in profondità nell’analisi
delle scelte ottimali di investimento dei risparmiatori nei mercati finanziari.
VI
Appendice
A.1 Derivazione matematica del premio per il rischio e misure di avversione
al rischio
Il concetto di premio per il rischio e quello, connesso, di equivalente certo di una
lotteria, introdotti in questo capitolo, si riferiscono ad una particolare funzione di utilità
u definita su risultati certi. In questa appendice, il concetto di premio per il rischio
sarà derivato esplicitamente da una particolare lotteria e dalla funzione di utilità di un
soggetto. In particolare, assumiamo adesso che i risultati della lotteria L considerata siano
una variabile aleatoria continua, il cui valore atteso è E[W ] ≡ µ L .
Indicando con P R L il premio per il rischio associato alla lotteria L, dalla definizione
di premio per il rischio, abbiamo che:
u(µ L − P R L ) = E[u(W )].
(A1)
Indichiamo adesso con Ŵ la realizzazione di una certo risultato della lotteria. Utilizzando
l’espansione di Taylor centrata sul valore atteso della lotteria, µ L , fino al secondo
ordine otteniamo che l’utilità che il soggetto ottiene dalla realizzazione di Ŵ è: 15
14 In particolare, l’ipotesi di avversione al rischio garantisce che la Condizione (2.10) definisca un’unica
soluzione del problema di massimizzazione dell’utilità attesa in termini di ricchezza e ad un insieme di
soluzioni in termini di portafoglio. Ulteriori proprietà sono richieste per l’unicità del portafoglio ottimo.
15 Si noti che in ciò che segue si assume che la funzione u sia due volte differenziabile. Inoltre, fermarsi
al secondo ordine dell’espansione di Taylor equivale ad assumere che la differenza tra Ŵ e µ L sia
“sufficientemente” piccola.
44

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA VI. Appendice
u(Ŵ ) ≃ u(µ L) + (Ŵ − µ L)u ′ (µ L ) + 1 2 (Ŵ − µ L) 2 u ′′ (µ L ).
(A2)
Sostituendo Ŵ con W , nell’espressione (A2), e calcolandone il valore atteso, otteniamo:
E[u(W )] ≃ u(µ L ) + E[W − µ L ]u ′ (µ L ) + 1 2 E[(W − µ L) 2 ]u ′′ (µ L )
che, considerando che E[W −µ L ] = E[W ]−µ L = µ L −µ L = 0 e che E[(W −µ L ) 2 ] = σL
2
(dove σL 2 rappresenta la varianza dei risultati della lotteria L), può essere riscritta come:
E[u(W )] ≃ u(µ L ) + 1 2 σ2 Lu ′′ (µ L ).
(A3)
Se, come abbiamo ipotizzato finora, le differenze tra i diversi risultati della lotteria
L e il suo valore atteso, µ L , sono sufficientemente piccoli, allora anche il premio per
il rischio P R L sarà sufficientemente piccolo. Possiamo allora applicare l’espansione di
Taylor, sempre centrandola in µ L , fino al primo ordine all’Espressione (A1) ottenendo:
u(µ L − P R L ) ≃ u(µ L ) − P R L u ′ (µ L ).
(A4)
Considerando, dall’Equazione (A1), che u(µ L −P R L ) = E[u(W )], usando le Espressioni
(A3) e (A4) e risolvendo rispetto a P R L , otteniamo un’espressione analitica per il premio
per il rischio, che dipende dalla lotteria L e dalla funzione di utilità u del soggetto:
P R L ≃ − 1 u ′′ (µ L )
2 σ2 L
u ′ (µ L ) .
(A5)
L’Espressione (A5) indica che il premio per il rischio dipende dalla variabilità dei
risultati della lotteria (espressa da σ 2 L ) e dal rapporto u′′ (µ L )/u ′ (µ L ).
In particolare,
tale rapporto (che dipende dalla funzione di utilità u) esprime una misura del grado di
avversione al rischio del soggetto, definita coefficiente assoluto (Arrow-Pratt) di
avversione al rischio. Più precisamente, tale coefficiente è dato da:
R a (W ) = − u′′ (W )
u ′ (W ) .
(A6)
In particolare, dall’Espressione (A6), si noti che se il soggetto è avverso il rischio,
per cui u ′′ (W ) < 0, il coefficiente (assoluto) di avversione al rischio, R a (W ) è positivo.
Inoltre, in questo caso, dall’Espressione (A5) è possibile verificare che, come già sapevamo,
il premio per il rischio è positivo. In sostanza, come è logico attendersi, il premio per il
rischio che un soggetto avverso al rischio è disposto a pagare per eliminare l’incertezza
associata a una data lotteria è positivo e tanto più elevato tanto maggiore è l’incertezza
della lotteria (ossia la variabilità dei suoi risultati espressa da σL 2 ) e tanto più il soggetto
45

VI. Appendice
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
è avverso al rischio (ossia tanto più elevato è il suo coefficiente di avversione al rischio
R a (W )). Infine, utilizzando sempre le Espressioni (A5) e (A6), è facile verificare che,
in linea con quanto già discusso nella Sezione III.A, nel caso di soggetto propenso al
rischio (u ′′ (W ) > 0) valgono considerazioni esattamente opposte rispetto a quelle per un
soggetto avverso al rischio, mentre nel caso di un soggetto neutrale al rischio (u ′′ (W ) = 0)
il coefficiente di avversione al rischio è pari a zero e, conseguentemente, il premio per il
rischio è nullo.
Una misura alternativa, rispetto al coefficiente assoluto di avversione al rischio, è la
seguente, definita coefficiente relativo (Arrow-Pratt) di avversione al rischio:
R r (W ) = −W u′′ (W )
u ′ (W ) .
(A7)
Il vantaggio di R r (W ) rispetto a R a (W ), nel misurare il grado di avversione al rischio
di un soggetto, sta nel fatto che la prima (a differenza della seconda) non dipende dalla
scelta dell’unità di misura utilizzata per misurare i risultati della lotteria.
A.2 Utilità attesa e scelte di portafoglio: derivazione matematica
La soluzione del problema di scelta di portafoglio, presentato nella Sezione V e definito
dalle Espressioni (2.7) e (2.8), comporta, in primo luogo, la costruzione della seguente
funzione Lagrangiana:
̷L = π 1 u(W 1 ) + π 2 u(W 2 ) + ... + π m u(W m ) + λ(W − p 1 x 1 + p 2 x 2 + ... + p n x n ).
(A8)
Tenendo conto che W k = v k1 x 1 +v k2 x 2 +...+v kn x n , calcoliamo le derivate parziali della
Funzione (A8) rispetto alla quantità da acquistare dei diversi titoli (i vari x i ) e rispetto al
termine λ, che rappresenta il moltiplicatore di Lagrange associato al vincolo di bilancio.
Otteniamo così le seguenti n + 1 condizioni (necessarie) del primo ordine (n per i vari x i
e una in relazione al termine λ):
π 1 v 11 u ′ (W 1 ) + π 2 v 21 u ′ (W 2 ) + ... + π m v m1 u ′ (W m ) = λp 1
π 1 v 12 u ′ (W 1 ) + π 2 v 22 u ′ (W 2 ) + ... + π m v m2 u ′ (W m ) = λp 2
.
π 1 v 1n u ′ (W 1 ) + π 2 v 2n u ′ (W 2 ) + ... + π m v mn u ′ (W m ) = λp n
p 1 x 1 + p 2 x 2 + ... + p n x n = W .
46

2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA VI. Appendice
Le prime n condizioni del primo ordine possono essere riscritte, in forma più compatta,
nel modo seguente: 16 E[v i u ′ (W )] = λp i con i = 1, 2, ..., n.
Adesso, dividendo ambo i lati per p i , otteniamo:
E[(v i /p i )u ′ (W )] = λ con i = 1, 2, ..., n. (A9)
Ovviamente, poiché tutti i valori di E[(v i /p i )u ′ (W )] (con i = 1, 2, ..., n) devono essere
uguali ad una stessa costante λ, dall’Espressione (A9) otteniamo:
E[(v 1 /p 1 )u ′ (W )] = E[(v 2 /p 2 )u ′ (W )] = ... = E[(v n /p n )u ′ (W )]
che è l’Espressione (2.9), utilizzata e descritta nella Sezione V di questo capitolo.
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Cap. 4.
• Barucci E., Teoria dei mercati finanziari, il Mulino, 2000; Cap. 2.
• Kreps D., Corso di microeconomia, il Mulino, 1993; Cap. 3.
• Schotter A., Microeconomia, Giappichelli, 2002; Cap. 14.
16 Si noti che le condizioni del primo ordine appena definite valgono tutte con il segno di uguaglianza
sotto l’ipotesi che l’investitore possa “acquistare” una quantità anche negativa di qualche titolo. Tale
situazione è resa possibile, nell’ambito dei mercati finanziari, dalla possibilità di effettuare vendite allo
scoperto, cioè prendere dei titoli a prestito per venderli, impegnandosi al tempo stesso a restituirli a una
certa scadenza (tale aspetto sarà discusso e analizzato più dettagliatamente nel Capitolo 3). Se viceversa
la vendita di titoli allo scoperto è esclusa, altri vincoli (di non-negatività delle quantità x i ) andrebbero
considerati e non sarebbe possibile escludere che le condizioni del primo ordine valgano, per qualche
titolo, con il segno di disuguaglianza (

VI. Appendice
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
48

Capitolo 3
Il modello media-varianza delle
scelte di portafoglio
Nel capitolo precedente abbiamo introdotto il problema della scelta ottimale di un
portafoglio di investimento da parte di un soggetto. In questo capitolo approfondiremo
più nel dettaglio tale questione. In particolare, assumeremo che i soggetti, nelle scelte
dei titoli finanziari da “inserire” nei loro portafogli di investimento, preferiscano un rendimento
atteso più elevato, ma non amino il rischio (cioè siano avversi al rischio). In
tali circostanze, e sulla base di certe ipotesi che analizzeremo, il problema di scelta del
portafoglio ottimo di investimento può essere espresso in termini di massimizzazione di
una funzione di utilità che dipende esclusivamente dalla media e dalla varianza dei rendimenti
dei vari possibili portafogli di titoli. 1 Nell’ambito di tale modello, infatti, la media e
la varianza dei rendimenti esprimono le aspettative degli investitori, rispettivamente, sul
rendimento e sul rischio dei vari portafogli e sono quindi tutte le informazioni che servono
loro per effettuare la scelta del portafoglio ottimale. 2
Oltre che per la sua rilevanza teorica, il modello media-varianza acquisisce anche
un’importanza pratica dal momento che, tramite adeguate tecniche statistiche, le medie,
le varianze e le covarianze (che acquisiscono anch’esse rilevanza nell’ambito del modello)
dei rendimenti delle attività finanziarie possono essere calcolate o stimate concretamente
sulla base degli andamenti passati dei prezzi dei titoli e/o utilizzando ulteriori informazioni
disponibili. Le scelte degli investitori che studieremo in questo capitolo, quindi, possono
1 L’origine e lo sviluppo del modello media-varianza per l’analisi delle scelte di portafoglio si deve
all’economista americano Harry Markowitz, premiato, insieme a William Sharpe e Merton Miller, con il
Nobel nel 1990 per i contributi agli studi teorici ed empirici in campo finanziario.
2 Il modello media-varianza delle scelte di portafoglio, che analizzeremo in questo capitolo, si fonda
su alcune ipotesi semplificatrici tra cui, in particolare, la durata uniperiodale degli investimenti (cioè,
nell’ambito del periodo di tempo considerato, gli investitori scelgono un certo portafoglio di investimento
e non modificano la loro scelta), l’assenza di imposte e di costi di transazione e la perfetta competitività
dei mercati finanziari.
49

I. Preferenze degli investitori 3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
essere lette in questi termini: presa conoscenza, tramite le informazioni disponibili, delle
medie (rendimenti attesi) e delle varianze (rischi) dei diversi titoli finanziari, gli investitori
ne scelgono la combinazione (portafoglio) che meglio soddisfa le loro preferenze. 3
I
Preferenze degli investitori
Definiamo con P un generico portafoglio di titoli o attività finanziarie (cioè un
insieme di diversi titoli o attività finanziarie possedute da un investitore). In particolare,
come nella Sezione V del capitolo precedente, il portafoglio P può essere pensato come un
vettore (x 1 , x 2 , ..., x n ), dove x i rappresenta la quantità del titolo generico i presente nel
portafoglio (con n titoli a disposizione su cui poter investire). Immaginiamo poi che le preferenze
degli investitori (avversi al rischio) rispetto ai vari portafogli siano rappresentate
dalla seguente funzione di utilità:
V = V (µ P , σ 2 P ) (3.1)
dove µ P ≡ E [r P ] rappresenta il (tasso di) rendimento medio o atteso del portafoglio
generico P (con r P il rendimento effettivo del portafoglio) e σP 2 ≡ E [(r P − µ P ) 2 ]
è la varianza del rendimento del portafoglio (cioè una misura di quanto il rendimento
effettivo di P può variare rispetto alla sua media o rendimento atteso). 4
Inoltre, sempre
con riferimento all’Espressione (3.1), ha senso interpretare la varianza del portafoglio, σ 2 P ,
come una misura del rischio a cui va incontro l’investitore “acquistando” il portafoglio
P : tanto più il rendimento di P può variare rispetto alla sua media, tanto più è rischioso
scegliere la composizione di titoli rappresentata da quel portafoglio.
Poiché stiamo assumendo che gli investitori siano avversi al rischio, avremo che la
funzione V è crescente in µ P (maggiore è il rendimento atteso di P maggiore è l’utilità
che l’investitore ottiene investendo in quel portafoglio) e decrescente in σP
2 (maggiore è
il rischio associato a P minore è l’utilità che l’investitore ottiene investendo in esso la
3 Peraltro, è importante sottolineare che i concetti teorici di media e varianza a cui ci riferiremo nel
resto del capitolo e le loro stime statistiche, che è possibile ricavare dai dati a disposizione, sono due
concetti distinti. Dal punto di vista dell’analisi economica che svilupperemo è sufficiente assumere che gli
investitori si comportino secondo il criterio media-varianza, indipendentemente dal fatto che ne conoscano
i valori.
4 Nell’Appendice A.1 di questo capitolo sarà mostrato come la funzione di utilità V possa essere derivata
analiticamente da una funzione di utilità VNM nel caso quest’ultima assuma la particolare forma
quadratica nella ricchezza finale. Peraltro, l’ipotesi di funzione di utilità quadratica, non è necessaria per
giustificare il criterio media-varianza. Quest’ultimo, infatti, può essere anche motivato, più in generale,
nell’ambito della teoria dell’utilità attesa nel caso i rendimenti dei titoli siano distribuiti come una variabile
casuale normale. Peraltro, anche l’ipotesi di normalità della distribuzione dei rendimenti, sebbene
sufficiente, non è necessaria (teoricamente, infatti, l’utilizzo del criterio media-varianza è compatibile con
altri tipi di distribuzione statistica in relazione ai rendimenti dei titoli).
50

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA I. Preferenze degli investitori
µ P
µ PC’ P C’
µ PC
P C
µ PB’
µ PB
P B
P A
P B’
σ PB
2
σ PB’ 2 σ PC
2
σ PC’ 2
σ P
2
Figura 3.1: Curve di indifferenza dell’investitore nel modello media-varianza
sua ricchezza), cioè, se V rappresenta le preferenze di un investitore, per esso µ P è un
“bene”, mentre σP 2 è un “male”. Formalmente, ciò può essere espresso con ∂V/∂µ P > 0 e
∂V/∂σP 2 < 0. In altri termini, a parità di rendimento atteso, investitori avversi al rischio
preferiranno sempre investimenti con minor variabilità del rendimento. 5
Nel modello media-varianza delle scelte di portafoglio, le curve di indifferenza di
un investitore rappresentano l’insieme di tutte le combinazioni (µ P , σP 2 ) che danno all’investitore
un uguale livello di utilità e che sono, quindi, per lui indifferenti. Inoltre, poiché
ogni coppia (µ P , σP 2 ) si riferisce a uno specifico portafoglio, ogni punto su una data curva
di indifferenza individua proprio un certo portafoglio di investimento. In altri termini,
una curva di indifferenza può essere considerata come l’insieme dei portafogli che danno
all’investitore lo stesso livello di utilità.
In Figura 3.1 sono rappresentate, nello spazio (µ P , σP 2 ), le curve di indifferenza di un
investitore con preferenze rappresentate dall’Espressione (3.1), che rispecchiano il criterio
media-varianza. In relazione a tali curve di indifferenza, tre aspetti meritano di essere
sottolineati:
1. le curve di indifferenza sono inclinate positivamente. Ciò dipende dal fatto che gli
5 Si noti come questo non sia vero se gli investitori fossero neutrali al rischio (per cui conterebbe
solo il rendimento atteso, mentre, a parità di rendimento atteso, la variabilità dell’investimento non
rileverebbe) o propensi al rischio (che, a parità di rendimento atteso, preferirebbero investimenti con
maggiore variabilità del rendimento, in quanto, a fronte di perdite maggiori, potrebbero consentire di
ottenere guadagni più alti).
51

I. Preferenze degli investitori 3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
argomenti della funzione V sono uno un “bene” (µ P ) e l’altro un “male” (σP 2 ): se ne
aumenta uno, per rimanere su una stessa curva di indifferenza (stesso livello di utilità
per l’investitore), deve necessariamente aumentare anche l’altro. Consideriamo,
ad esempio, i due portafogli rappresentati dai punti P B e P C che si trovano su una
stessa curva di indifferenza. P C rispetto a P B dà all’investitore un rendimento atteso
maggiore. Di conseguenza, per trovarsi sulla stessa curva di indifferenza di P B , P C
deve essere anche più rischioso di P B (ciò è possibile solo con curve di indifferenza
inclinate positivamente); se così non fosse, infatti, darebbe necessariamente all’investitore
un’utilità maggiore di P B e quindi, per definizione, dovrebbe trovarsi su una
diversa curva di indifferenza. Formalmente tutto ciò può essere riassunto dicendo
che il saggio marginale di sostituzione tra rendimento atteso e rischio dµ P /dσ 2 P (ossia
il saggio al quale l’investitore sarebbe disposto ad accettare un rischio più alto a
fronte di un maggior rendimento), che misura graficamente l’inclinazione della curva
di indifferenza in ogni suo punto, è sempre positivo; 6
2. l’utilità dell’investitore aumenta quando ci si sposta verso curve di indifferenza più
alte. Consideriamo, ad esempio, i portafogli P A e P B . Essi sono caratterizzati
dallo stesso rischio (σ 2 P A
= σ 2 P B
), ma P B dà un rendimento atteso maggiore di P A
(µ PB > µ PA ). P B è quindi certamente preferito dall’investitore rispetto a P A , cioè P B
dà all’investitore un’utilità maggiore di P A . Inoltre, per definizione, tutti i portafogli
che si trovano sulla stessa curva di indifferenza (più alta) di P B danno all’investitore
un’utilità maggiore di tutti i portafogli che si trovano sulla curva di indifferenza (più
bassa) di P A ;
3. le curve di indifferenza sono convesse verso l’origine degli assi. Intuitivamente,
tale proprietà può essere spiegata nel modo seguente. 7 Consideriamo nuovamente i
portafogli di investimento P B e P C . Immaginiamo di cambiare la composizione dei
titoli che compongono i due portafogli in modo da aumentare in egual misura (al
margine) il loro rischio (in Figura 3.1, da σP 2 B
a σ 2 P B
′, per il portafoglio P B , e da σP 2 C
a σ 2 P C
′, per il portafoglio P C , con (σ 2 P ′ B
− σP 2 B
) = (σ 2 P ′ C
− σP 2 C
)). Ci potremmo allora
chiedere: di quanto deve aumentare il rendimento atteso dei due portafogli, quando
aumenta nella stessa misura il loro rischio, per ottenere due nuovi portafogli (P B
′
e P C ′ ) che rimangono sulla stessa curva di indifferenza di P B e P C Con curve di
indifferenza convesse verso l’origine degli assi, avremo che l’aumento di rendimento
6 Ciò può essere verificato utilizzando la formula del saggio marginale di sostituzione: dµ P /dσ 2 P =
−(∂V/∂σ 2 P )/(∂V/∂µ P ). Poiché, in base alle nostre ipotesi, vale sempre ∂V/∂µ P > 0 e ∂V/∂σ 2 P < 0,
necessariamente avremo che dµ P /dσ 2 P > 0.
7 La convessità verso l’origine degli assi delle curve di indifferenza nello spazio ( µ P , σ 2 P
)
può essere
dimostrata, più rigorosamente, come implicazione della forma quadratica della funzione VNM.
52

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA II. Portafoglio che minimizza il rischio
atteso del portafoglio ottenuto da P B (da µ PB
portafoglio ottenuto da P C (da µ PC
a µ PB
′) è minore rispetto a quello del
a µ PC
′). Ciò in quanto il grado di rischio di P C è
maggiore di quello di P B : per accettare un ulteriore incremento di rischio (e rimanere
sulla stessa curva di indifferenza) l’investitore richiede quindi un maggior incremento
di rendimento atteso “partendo” da P C (che ha già un rischio relativamente alto)
piuttosto che da P B . Formalmente, il saggio marginale di sostituzione dµ P /dσ 2 P è
crescente rispetto a σP 2 , cioè rispetto al rischio.
II
Scelta del portafoglio che minimizza in assoluto il rischio
Nella sezione precedente, abbiamo definito uno strumento, quello delle curve di indifferenza
nello spazio (µ P , σP 2 ), che ci servirà per trovare il portafoglio di titoli o attività
finanziarie che un investitore sceglie in base alle sue preferenze. Il passo successivo è quello
di definire un criterio per individuare l’insieme di tutti i portafogli tra cui l’investitore
sceglie il suo preferito. Prima di fare questo, è interessante (e anche utile per l’analisi
successiva) analizzare un caso molto particolare: quello in cui l’investitore è interessato
esclusivamente alla minimizzazione del rischio di investimento (ossia, il caso di
massima avversione al rischio da parte dell’investitore). In altri termini, consideriamo un
investitore che si disinteressa completamente del rendimento atteso e vuole investire la
sua ricchezza nel portafoglio che gli consente di ridurre al minimo il rischio, ossia σ 2 P .8
A tale scopo, indichiamo con a i la porzione di ricchezza dell’investitore investita nel
titolo i presente nel portafoglio P (con ∑ n
i=1 a i = 1), con µ i il suo tasso atteso di rendimento
e con σ ij ≡ E[(r i − µ i )(r j − µ j )] la covarianza tra il tasso di rendimento del titolo
i e quello del titolo j (anch’esso presente nel portafoglio P ). Allora, il tasso atteso di
rendimento di P e il suo rischio (varianza) possono essere scritti come:
σ 2 P =
µ P =
n∑
i=1
n∑
a i µ i (3.2)
i=1
n∑
a i a j σ ij . 9 (3.3)
j=1
8 Si noti che, in questo caso, l’investitore non sarà mai disponibile a scambiare un maggior rischio di
investimento con un più elevato rendimento atteso. Formalmente, il saggio marginale di sostituzione tra
rischio e rendimento (atteso) per tale investitore è sempre pari a dµ P /dσP
2 = ∞, che implica curve di
indifferenza perfettamente verticali.
9 In generale, la varianza complessiva di un portafoglio con n titoli sarà data dalla somma di n termini
connessi alle varianze dei rendimenti dei singoli titoli più altri n(n − 1)/2 termini connessi alle covarianze
tra i rendimenti dei titoli.
53

II. Portafoglio che minimizza il rischio
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
Esempio 12
Si consideri un portafoglio di investimento composto da tre tipi di azioni: quelle della
società “1-Alfa”, quelle della società “2-Beta” e quelle della società “3-Gamma” (i =
1, 2, 3). Le quote dei tre titoli presenti nel portafoglio sono, rispettivamente, del 20%,
30% e 50%. Supponiamo, inoltre, che i rendimenti attesi delle tre azioni, µ 1 , µ 2 e µ 3 ,
siano 10%, 20% e 8% e che le varianze dei rendimenti, σ1, 2 σ2 2 e σ3, 2 siano 16, 9, 4. Infine,
consideriamo che le covarianze tra i diversi titoli sono, rispettivamente, σ 12 = 3, σ 13 = −2
e σ 23 = 0. Si calcolino il rendimento atteso del portafoglio, µ P , e la sua varianza (grado
di rischio), σP 2 .
Poiché con tre diversi titoli, in generale, abbiamo che:
nel caso del nostro esempio avremo che:
µ P = a 1 µ 1 + a 2 µ 2 + a 3 µ 3
µ P = 0, 2(0, 1) + 0, 3(0, 2) + 0, 5(0, 08) = 0, 12
per cui il rendimento atteso del portafoglio è del 12%.
Nel caso di tre titoli la formula generale della varianza di portafoglio è data da:
σ 2 P = a 1 a 1 σ 11 + a 2 a 1 σ 21 + a 3 a 1 σ 31 + a 1 a 2 σ 12 + a 2 a 2 σ 22 + a 1 a 3 σ 13 + a 2 a 3 σ 23 + a 3 a 3 σ 33
da cui, considerando che σ ii = σ 2 i
e σ ij = σ ji , otteniamo:
σ 2 P = a 2 1σ 2 1 + a 2 2σ 2 2 + a 2 3σ 2 3 + 2a 1 a 2 σ 12 + 2a 1 a 3 σ 13 + 2a 2 a 3 σ 23 .
Più specificatamente, nel caso del nostro esempio abbiamo che:
σP 2 = 0, 64 + 0, 81 + 1 + 0, 36 − 0, 4 + 0 = 2, 41
per cui la varianza complessiva del portafoglio (che misura il suo grado di rischio) è
2,41.
Si noti subito un aspetto che sarà approfondito dettagliatamente in seguito: in questo
caso il portafoglio “diversificato” (cioè composto da tre differenti azioni) ha un rischio
minore rispetto al caso in cui l’investitore avesse investito tutta la sua ricchezza in un
solo tipo di azione (infatti, il rischio di portafoglio, misurato dalla rispettiva varianza dei
rendimenti, è pari a 2,41 contro 16, 9 e 4 delle singole azioni).
Per semplificare ulteriormente l’analisi che segue, immaginiamo una situazione in cui
54

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA II. Portafoglio che minimizza il rischio
esistono due soli titoli, ad esempio, le azioni emesse da due distinte società, in cui l’investitore
può investire la sua ricchezza. La questione che si pone è dunque: per minimizzare
il rischio di investimento, conviene investire in un solo titolo o in entrambe le azioni
E ancora, come si determinano esattamente le quote della ricchezza a disposizione da
destinare ai due titoli finanziari
Consideriamo innanzitutto che, con due sole attività finanziarie, il rendimento atteso
del portafoglio è µ P = a 1 µ 1 + a 2 µ 2 . Peraltro, nel caso particolare che stiamo adesso
considerando, µ P non è rilevante per l’investitore, in quanto il suo solo interesse è il
rischio di portafoglio che, con due soli titoli, è misurato da σP 2 = a2 1σ1 2 + a 2 2σ2 2 + 2a 1 a 2 σ 12 .
È utile, a questo punto, introdurre un concetto di statistica particolarmente importante
in campo finanziario: il coefficiente di correlazione. In particolare, siamo qui interessati
alla correlazione tra i rendimenti delle diverse attività finanziarie: nel caso che stiamo
analizzando, il coefficiente di correlazione tra i tassi di rendimento dei due titoli, indicato
con ρ 12 , è dato da ρ 12 ≡ σ 12 /σ 1 σ 2 (dove σ 1 e σ 2 sono le deviazioni standard dei rendimenti
dei due titoli). Inoltre, tenendo conto che, con due sole attività finanziarie, abbiamo
a 2 = 1−a 1 , il problema di scelta dell’investitore (portafoglio che minimizza il rischio) può
essere così rappresentato:
min
a 1
σ 2 P = a 2 1σ 2 1 + (1 − a 1 ) 2 σ 2 2 + 2a 1 (1 − a 1 )ρ 12 σ 1 σ 2 . (3.4)
Ovviamente, trovando il valore ottimo di a 1 che risolve il problema definito dall’espressione
(3.4), è possibile individuare automaticamente anche il valore di a 2 (pari al
complemento a uno rispetto a a 1 ) e quindi la composizione del portafoglio che minimizza
il rischio di investimento. 10
A tale scopo, occorre calcolare la derivata prima di σP
2 rispetto a a 1 e uguagliarla a
zero (condizione del primo ordine):
dσ 2 P
da 1
= 2a 1 σ 2 1 − 2(1 − a 1 )σ 2 2 + 2(1 − 2a 1 )ρ 12 σ 1 σ 2 = 0
da cui, risolvendo per a 1 , otteniamo il suo valore ottimo:
a ∗ 1 =
σ 2 2 − ρ 12 σ 1 σ 2
σ 2 1 + σ 2 2 − 2ρ 12 σ 1 σ 2
. (3.5)
Si noti come nel caso in cui un titolo fosse privo di rischio (risk-free), la scelta del-
10 Inoltre, poiché a i è la porzione di ricchezza spesa dal soggetto per l’acquisto del titolo i, una volta
individuato a i è semplice individuare la quantità x i che il soggetto acquista del titolio i. Essa, infatti, è
pari a x i = a i W /p i , dove W e p i sono dati e corrispondono, rispettivamente, alla la ricchezza complessiva
investita dal soggetto e al prezzo di mercato del titolo i.
55

II. Portafoglio che minimizza il rischio
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
l’investitore (interessato esclusivamente al rischio di investimento) diventerebbe banale:
investire tutta la sua ricchezza nel titolo privo di rischio.
Ciò è chiaramente confermato
dall’Espressione (3.5). Ad esempio, se il titolo privo di rischio fosse il titolo 1
(σ 1 = σ 2 1 = 0), dall’Espressione (3.5) otterremmo a ∗ 1 = 1 e, conseguentemente, a ∗ 2 = 0. Al
contrario, se il titolo privo di rischio fosse il titolo 2 (σ 2 = σ 2 2 = 0) otterremmo a ∗ 1 = 0 e
a ∗ 2 = 1. Inoltre, in entrambi i casi, il rischio dell’investimento sarebbe ovviamente nullo.
Peraltro, ciò che risulterà meno banale sarà dimostrare, come faremo in seguito, che, in
certe circostanze, grazie alla diversificazione di portafoglio è possibile azzerare il rischio
di investimento anche quando i titoli sono entrambi rischiosi.
Esempio 13
Si consideri un soggetto che intende investire la sua ricchezza in titoli azionari emessi
da due distinte società (la società A e la società B) ed immaginiamo che l’investitore
sia interessato esclusivamente a minimizzare il rischio di investimento. Quale dovrebbe
essere la composizione ottimale del portafoglio dell’investitore nel caso si abbia σA 2 = 0, 16,
σB 2 = 0, 25 e ρ AB = 0, 25 (cioè i rendimenti delle due azioni sono correlati positivamente)
Quale è il grado di rischio che l’investitore sopporta in corrispondenza di tale portafoglio
Applicando la formula (3.5) è facile calcolare la quota di ricchezza che l’investitore
deve spendere, per minimizzare il rischio di investimento, nell’acquisto del titolo A. Essa
è data da:
a ∗ A =
0, 25 − 0, 25(0, 4)(0, 5)
0, 16 + 0, 25 − 2(0, 25)(0, 4)(0, 5) = 20
31 .
Per minimizzare il rischio di investimento il soggetto deve quindi spendere 20/31 della
sua ricchezza nell’acquisto delle azioni emesse dalla società A e la restante parte, pari a
11/31, nell’acquisto di quelle emesse dalla società B.
Utilizzando i valori ottimali di a A e a B nella formula della varianza di portafoglio,
otteniamo il rischio associato al portafoglio ottimo:
σ 2 P ∗ =
( ) 2 20
0, 16 +
31
( ) 2 11
0, 25 + 2
31
( 20
31
) ( ) 11
(0, 25)(0, 4)(0, 5) ≃ 0, 121
31
che, anche in questo caso, è inferiore a quello dei portafogli con un solo titolo, σ 2 A =
0, 16 e σB 2 = 0, 25.
II.A
Tre casi particolari
In relazione all’Espressione (3.5) è importante analizzare tre casi particolari che ci
consentiranno di ottenere alcuni risultati particolarmente importanti per quanto concerne
56

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA II. Portafoglio che minimizza il rischio
la possibilità di ridurre, tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio, il rischio di
investimento; i casi particolari sono quelli in cui il coefficiente di correlazione ρ 12 assume
i valori (a) ρ 12 = −1, (b) ρ 12 = 0 e (c) ρ 12 = 1.
Caso a: ρ 12 = −1
Nel caso con ρ 12 = −1, in cui i rendimenti dei due titoli sono perfettamente correlati
negativamente, l’Espressione (3.5) diventa:
a ∗ 1 =
σ2 2 + σ 1 σ 2
= σ 2(σ 1 + σ 2 )
σ1 2 + σ2 2 + 2σ 1 σ 2 (σ 1 + σ 2 ) = σ 2
(3.6)
2 σ 1 + σ 2
per cui a ∗ 2 = 1 − a ∗ 1 = σ 1
σ 1 +σ 2
.
Sostituendo i valori di a ∗ 1 e 1 − a ∗ 1 nella formula della varianza del rendimento di
portafoglio σ 2 P (con ρ 12 = −1), che compare nell’Espressione (3.4), otteniamo:
σ 2 P ∗ =
( ) (
σ2
2 σ 2
(σ 1 + σ 2 ) 2 σ2 1
σ2
1 +
(σ 1 + σ 2 ) 2 σ2 2 − 2
σ 1 + σ 2
)
σ1
σ 1 + σ 2
σ 1 σ 2 =
= σ2 2σ1
2
(σ 1 + σ 2 ) + σ2 1σ2
2
2 (σ 1 + σ 2 ) − 2 σ1σ 2 2
2 = 0. (3.7)
2 (σ 1 + σ 2 )
2
Si può quindi concludere che, in questo caso, tramite un’adeguata diversificazione
del portafoglio è addirittura possibile azzerare il rischio di investimento, sebbene i titoli
utilizzati per costruire il portafoglio costituiscano di per sé investimenti rischiosi.
Caso b: ρ 12 = 0
Nel caso con ρ 12 = 0, in cui non c’è correlazione tra i rendimenti dei due titoli,
l’Espressione (3.5) diventa semplicemente:
a ∗ 1 = σ2 2
σ 2 1 + σ 2 2
(3.8)
e quindi a ∗ 2 = 1 − a ∗ 1 = σ2 1
.
σ1 2+σ2 2
Sostituendo i valori di a ∗ 1 e 1 − a ∗ 1 nella formula della varianza del rendimento di
portafoglio σ 2 P (con ρ 12 = 0), che compare nell’Espressione (3.4), otteniamo:
( )
σP 2 ∗ σ
2 2 ( )
= 2
σ
σ 2 2 2
σ1 2 + σ2
2 1 + 1
σ 2
σ1 2 + σ2
2 2 = σ4 2σ1 2 + σ1σ 4 2
2 =
(σ1 2 + σ2) 2 2
( )
= σ2 1σ2(σ 2 1 2 + σ2)
2 σ
= σ 2 2
2
(σ1 2 + σ2) 2 2 1
. (3.9)
σ1 2 + σ2
2
)
Innanzitutto si noti che < 1, per cui dall’Espressione (3.9) emerge che σP 2 ∗ <
(
σ 2
2
σ 2 1 +σ2 2
57

II. Portafoglio che minimizza il rischio
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
σ 2 1; il rischio associato al portafoglio (ottimo) “diversificato” è sempre inferiore a quello
dell’investimento nel solo titolo 1. Inoltre, considerando
(
che l’Espressione
)
(3.9), nella sua
forma finale, può anche essere riscritta come σP 2 ∗ = σ2 2 σ 2
1
(e ricordando nuovamente
σ
)
1 2+σ2 2
che < 1), avremo anche che σP 2 ∗ < σ2.
2
(
σ 2
1
σ 2 1 +σ2 2
In conclusione, quindi, anche quando i tassi di rendimento dei titoli non sono affatto
correlati, è possibile costruire adeguatamente un portafoglio diversificato che consente
sempre di ridurre (ma non azzerare) il rischio di investimento rispetto a quello
corrispondente a entrambi i soli titoli che lo compongono.
Caso c: ρ 12 = 1
L’ultimo caso particolare da analizzare è quello con ρ 12 = 1 (perfetta correlazione
positiva tra i rendimenti dei due titoli). Per stabilire adesso se la diversificazione del
portafoglio può consentire di ridurre il rischio di investimento non è necessario fare riferimento
all’Espressione (3.5), ma è sufficiente utilizzare la formula della varianza del
rendimento di portafoglio che, con ρ 12 = 1, è data da:
σP 2 = a 2 1σ1 2 + (1 − a 1 ) 2 σ2 2 + 2a 1 (1 − a 1 )σ 1 σ 2 = (a 1 σ 1 + (1 − a 1 )σ 2 ) 2 (3.10)
che comporta σ P = (a 1 σ 1 + (1 − a 1 )σ 2 ). Ovviamente, la deviazione standard del
rendimento del portafoglio σ P può essere considerata, analogamente alla varianza σP 2 , una
misura del rischio di portafoglio, nel senso che tanto più grande è σ P , tanto più grande
sarà σ 2 P
e quindi il rischio associato al portafoglio P . Inoltre, poiché, con ρ 12 = 1, σ P
è una media ponderata delle deviazioni standard dei rendimenti dei due titoli, σ 1 e σ 2
(dove i pesi sono rappresentati dalle quote, a 1 e 1 − a 1 ), che ne esprimono il rispettivo
rischio, per una nota proprietà della media aritmetica, σ P si collocherà necessariamente
tra σ 1 e σ 2 . In particolare, se σ 1 < σ 2 avremo σ 1 < σ P < σ 2 , mentre se σ 1 > σ 2 risulterà
σ 2 < σ P < σ 1 , per cui in questo caso non sarà mai possibile sfruttare la diversificazione del
portafoglio per ridurre il rischio di investimento (converrà infatti investire sempre tutta
la propria ricchezza nel solo titolo meno rischioso).
Ovviamente, gli investitori raramente hanno il solo obiettivo di ridurre al minimo il
rischio di investimento, disinteressandosi completamente del rendimento. Più in generale,
essi ricercano quel portafoglio di investimento in grado di fornire quel giusto mix tra
rendimento e rischio che meglio soddisfa le loro preferenze. Prima di proseguire in tale direzione,
è però opportuno sintetizzare i risultati più importanti raggiunti in questa sezione
(si tenga presente che i risultati relativi ai tre casi particolari, analizzati in un contesto
semplificato con due soli titoli, possono essere estesi e valgono anche in un contesto più
generale con n titoli), dal momento che torneranno poi utili anche nell’analisi successiva:
58

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
• tramite un’adeguata diversificazione di portafoglio è generalmente (ma non
sempre) possibile ridurre il rischio di investimento rispetto a quello delle singole
attività possedute in portafoglio;
• a parità di altre condizioni, tanto più c’è correlazione positiva tra i tassi di rendimento
delle attività facenti parte del portafoglio di investimento, tanto maggiore è
il rischio ad esso associato (tale affermazione può essere chiaramente verificata utilizzando
l’espressione generale (3.3) per il rischio (varianza) di portafoglio, riscritta
utilizzando i coefficienti di correlazione tra i rendimenti: σP
2 = ∑ ∑
i j a ia j ρ ij σ i σ j ;
poiché il coefficiente di correlazione assume valori compresi tra ±1, il rischio (varianza)
di portafoglio sarà tanto maggiore tanto più i vari ρ ij tendono al loro valore
massimo (+1) e tanto minore tanto più essi tendono al loro valore minimo (-1));
• nel caso di correlazione negativa perfetta tra i tassi di rendimento delle attività
finanziarie ( ρ ij = −1), tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio è perfino
possibile ridurre a zero il rischio di investimento.
III Frontiera dei portafogli con solo titoli finanziari rischiosi (e
assenza di titoli privi di rischio)
III.A
Frontiera dei portafogli con n = 2 titoli rischiosi
Iniziamo adesso l’analisi che consentirà di definire scelta ottima dell’investitore (quando
è interessato non solo al rischio, ma anche al rendimento di portafoglio). Per individuare
l’insieme di scelta dell’investitore, cioè i possibili portafogli di investimento tra cui sceglie
quello preferito, il primo passo da compiere è quello di costruire la cosiddetta frontiera
dei portafogli (portfolio frontier) o frontiera rischio-rendimento, che, in termini
generali, può essere definita nel modo seguente:
Definizione 8 (Frontiera dei portafogli)
La frontiera dei portafogli (o frontiera rischio-rendimento) individua tutti i portafogli
(combinazioni di titoli o attività finanziarie) che consentono all’investitore di ottenere un
certo tasso atteso di rendimento al rischio più basso.
In sostanza, la frontiera dei portafogli individua i portafogli di investimento che un
consulente finanziario dovrebbe proporre al nostro investitore (avverso al rischio) in base
al rendimento atteso da lui richiesto al consulente. A tale riguardo, si noti innanzitutto
una cosa: a differenza del caso analizzato nella sezione precedente, in cui l’investitore
si disinteressava completamente del rendimento atteso e si preoccupava solo del rischio
59

III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
µ P
ρ 12 = -1
P 1
P Z
ρ 12 = 1
P 2
σ P
Figura 3.2: Frontiera dei portafogli con due titoli rischiosi
dell’investimento, con la frontiera dei portafogli è possibile individuare la combinazione di
titoli che consente di minimizzare il rischio, ma in relazione ad un dato tasso di rendimento
che l’investitore si prefigge di conseguire.
Procederemo nella costruzione della frontiera di portafoglio per tappe successive. In
primo luogo, continuiamo per il momento a considerare il caso particolare di un’economia
con due soli titoli finanziari assumendo che si tratti di titoli rischiosi (ad esempio, azioni
di due società). Inoltre, seguendo una prassi consolidata, esprimeremo adesso il rischio di
portafoglio in termini di deviazione standard (σ P ) piuttosto che in termini di varianza (σ 2 P )
dei rendimenti. Ai nostri scopi, poiché la varianza è il quadrato della deviazione standard,
ciò non produrrà alcun rilevante cambiamento. 11 In generale, la frontiera dei portafogli per
il caso particolare che stiamo considerando, ossia di sole due attività rischiose, assumerà
la forma grafica rappresentata dalla curva in grassetto che unisce i punti P 1 e P 2 in Figura
3.2.
I punti P 1 e P 2 rappresentano i due portafogli in cui l’investitore investe tutta la
sua ricchezza, rispettivamente, nelle azioni della prima società e in quelle della seconda
società. Ogni punto sulla curva che unisce i due punti rappresenta invece un portafoglio
per cui l’investitore spende la sua ricchezza per acquistare, in una certa combinazione,
sia azioni della prima che della seconda società. Inoltre, in base alla Definizione 8, ogni
11 In particolare, poiché la costruzione della frontiera dei portafogli implica la minimizzazione del rischio
(per ogni dato livello di rendimento atteso), minimizzare rispetto alla deviazione standard è equivalente
a farlo rispetto alla varianza.
60

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
punto sulla frontiera individua il portafoglio che consente di ottenere un dato (tasso di)
rendimento atteso (µ P sull’asse verticale) al rischio più basso (espresso dal corrispondente
valore di σ P sull’asse orizzontale).
Per chiarire ulteriormente come la frontiera di portafoglio è stata costruita in Figura
3.2, può essere utile considerare che ogni frontiera è disegnata per un dato valore del
coefficiente di correlazione tra i rendimenti delle due azioni e individuare la forma della
frontiera per i due casi particolari (estremi) in cui i rendimenti sono perfettamente correlati
positivamente e negativamente (ρ 12 = ±1). A seconda del caso, in tali circostanze la
deviazione standard del portafoglio è pari a:
σ P =| a 1 σ 1 ± (1 − a 1 )σ 2 | . 12
Consideriamo dapprima il caso con perfetta correlazione positiva per cui σ P = a 1 σ 1 +
(1 − a 1 )σ 2 ; in questo caso, come abbiamo già analizzato nella Sezione II.A, la deviazione
standard del generico portafoglio P , in cui sono presenti contemporaneamente sia azioni
della prima che della seconda società (0 < a 1 < 1), è una combinazione lineare convessa
delle deviazioni standard dei due portafogli “estremi” (in cui sono presenti azioni di una
sola società). Inoltre, poiché la stessa cosa vale per il tasso di rendimento atteso del
portafoglio, µ P = a 1 µ 1 + (1 − a 1 )µ 2 ), la frontiera dei portafogli è rappresentata, in Figura
3.2, dal segmento tratteggiato che unisce i portafogli P 1 e P 2 .
Consideriamo adesso il caso con perfetta correlazione negativa. In tale circostanza,
dalla sezione precedente, sappiamo che tramite un’adeguata composizione (diversificazione)
di portafoglio è addirittura possibile azzerare il rischio di investimento. Graficamente,
ciò comporta che la frontiera di portafoglio che unisce i punti P 1 e P 2 passi per un punto
(portafoglio) sull’asse delle ordinate (dove abbiamo σ P = 0). Immaginiamo che tale portafoglio
sia il punto indicato con la lettera P Z in Figura 3.2. Per cui, tenendo conto che
con ρ 12 = −1 la frontiera è lineare e che, per definizione, σ P non può essere negativa, la
frontiera dei portafogli che unisce P 1 e P 2 , nel caso di perfetta correlazione negativa, avrà
la forma rappresentata, in Figura 3.2, dalla spezzata P 1 P Z P 2 .
Ovviamente per valori intermedi di ρ 12 (−1 < ρ 12 < 1) la frontiera (che non sarà
più lineare) si troverà “nel mezzo” alle forme assunte nei due casi estremi, collocandosi
all’interno del triangolo che unisce i punti P 1 , P Z e P 2 e potendo, quindi, assumere (per
un dato valore di ρ 12 ) la forma della curva in grassetto rappresentata in Figura 3.2.
12 Tale formula si ottiene considerando che, con due titoli e ρ 12 = ±1, la varianza di portafoglio è
σ 2 P = a2 1σ 2 1 + (1 − a 1 ) 2 σ 2 2 ± 2a 1 (1 − a 1 )σ 1 σ 2 , che può essere riscritta come σ 2 P = (a 1σ 1 ± (1 − a 1 )σ 2 ) 2 .
La formula in questione si ricava, dunque, considerando che la deviazione standard (che, per definizione,
non può essere negativa) è la radice quadrata della varianza.
61

III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
µ P
P X
P 1
P S
P E
P MR
P 2
σ P
Figura 3.3: Frontiera dei portafogli con short-sales
Prima di estendere il caso qui analizzato, è importante approfondire alcuni altri aspetti
connessi a tale economia (con due sole attività finanziarie rischiose). In Figura 3.2 la frontiera
dei portafogli che unisce i punti P 1 e P 2 non “prosegue” oltre quelli. In altri termini,
se l’investitore decide di investire tutta la sua ricchezza nell’acquisto di un solo tipo di
azione, ne potrà acquistare un numero massimo pari a W /p i (con W la ricchezza iniziale
dell’investitore e p i il prezzo di mercato dell’azione i) e non più di quello. In generale,
tutto ciò appare sensato, ma nell’ambito dei mercati finanziari esiste uno “strumento” che
può permettere di aggirare il vincolo della ricchezza iniziale dell’investitore e consentirgli
di costruirsi un portafoglio con un numero di azioni superiore a quello massimo che la sua
ricchezza iniziale gli avrebbe permesso di acquistare: si tratta delle cosiddette vendite
allo scoperto (short-sales).
Tramite le vendite allo scoperto un investitore può vendere dei titoli che non possiede
(prendendoli a prestito, ad esempio, da un operatore finanziario) per poi riacquistarli e
restituirli alla scadenza pattuita (per tale motivo, analogamente ai contratti a termine, si
parla di posizione corta per l’investitore che deve restituire i titoli ottenuti in prestito).
Nel caso particolare che stiamo considerando, tramite le vendite allo scoperto, l’investitore
può utilizzare il ricavato derivante dalla vendita allo scoperto di un certo tipo di azione
per acquistare un numero maggiore, rispetto a quello che si sarebbe potuto permettere
62

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
con la sua sola ricchezza iniziale, dell’altro tipo. 13
La Figura 3.3 estende la frontiera dei
portafogli vista precedentemente al caso in cui sono ammesse vendite di azioni allo scoperto.
In particolare, poiché attraverso le vendite allo scoperto è possibile costruirsi dei
portafogli di investimento, e quindi raggiungere combinazioni rischio-rendimento (graficamente,
punti nel piano σ P − µ P ), che non si potevano ottenere senza tale strumento,
la frontiera comprenderà adesso nuovi portafogli (come quello indicato con P S ) che si
collocano “oltre” i punti P 1 e P 2 e che, quindi, non facevano parte della frontiera rappresentata
in Figura 3.2, in cui le vendite allo scoperto non erano ammesse. Si noti, peraltro,
che, anche utilizzando le vendite allo scoperto, non tutti portafogli (combinazioni rischiorendimento)
sono “raggiungibili” dall’investitore; ad esempio, date le caratteristiche, in
termini di tassi attesi di rendimento, varianze e covarianze, dei titoli disponibili (il titolo
1 e il titolo 2) per formare portafogli di investimento, la combinazione rischio-rendimento
rappresentata dal portafoglio P X non è conseguibile.
Un altro importante portafoglio rappresentato in Figura 3.3 è il punto P MR . Esso,
infatti, è il portafoglio con minor rischio (σ P più basso) tra tutti quelli situati sulla
frontiera. Si noti la differenza tra questo e qualsiasi altro portafoglio sulla frontiera:
mentre in ogni altro portafoglio diverso da P MR il rischio di investimento è minimizzato
per un dato rendimento atteso, il portafoglio P MR è quello che minimizza il rischio di
investimento indipendentemente dal rendimento. In sostanza, il portafoglio P MR corrisponde
a quello individuato nella Sezione II, che sceglierebbe un investitore interessato
esclusivamente alla minimizzazione del rischio.
Un ultimo importante aspetto da sottolineare riguarda la relazione tra i portafogli
situati nel tratto crescente e quelli situati nel tratto decrescente della frontiera. A tale
riguardo, si considerino i portafogli P 2 e P E in Figura 3.3: essi sono caratterizzati dallo
stesso rischio, ma P E fornisce un rendimento atteso maggiore di P 2 . Per tale motivo,
pur essendo situati entrambi sulla frontiera, solo P E è un portafoglio efficiente.
particolare, un portafoglio efficiente può essere definito nel modo seguente:
Definizione 9 (Portafoglio efficiente)
Un portafoglio P si definisce efficiente se massimizza il tasso atteso di rendimento µ P per
13 In generale le vendite allo scoperto sono utilizzate nei mercati finanziari dagli investitori per ottenere
dei rendimenti aggiuntivi. Ad esempio, se un soggetto si aspetta che un certo titolo possa subire in
futuro una riduzione di prezzo, avrà interesse a farselo prestare per rivenderlo immediatamente. Se le
sue previsioni si rivelano poi corrette, potrà riacquistarlo in futuro al prezzo più basso per restituirlo al
possessore originario, lucrando così sulla differenza di prezzo. Ovviamente, colui che presta titoli ad un
altro soggetto, generalmente, richiederà in cambio il pagamento di una commissione, che, peraltro, non
sarà considerata espressamente nella nostra analisi (ciò non produce importanti conseguenze sui risultati
che analizzeremo). Infine, occorre sottolineare che, anche per i rischi che tale pratica può implicare, la
possibilità di effettuare vendite allo scoperto è generalmente assoggettata a precisi vincoli istituzionali e
non tutti gli operatori finanziari possono ricorrere abitualmente a tale strumento.
63
In

III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
un dato grado di rischio σ P .
L’insieme (o frontiera) dei portafogli efficienti coincide con il tratto crescente
(a partire dal portafoglio P MR ) della frontiera dei portafogli. Come avremo modo di
vedere in seguito, quando gli investitori hanno preferenze che soddisfano il criterio mediavarianza,
sceglieranno sempre un portafoglio di investimento che appartiene all’insieme
dei portafogli efficienti.
III.B
Frontiera dei portafogli con n > 2 titoli rischiosi
La prima estensione della semplice economia con due attività finanziarie rischiose, che
abbiamo analizzato nella sezione precedente, consiste nell’introdurre un numero n > 2 di
titoli finanziari, tra cui l’investitore può scegliere. Manteniamo per il momento, invece,
l’ipotesi che si tratti di tutti titoli rischiosi (ad esempio, tutte azioni di n distinte società).
Ovviamente la prima questione da affrontare è come la frontiera dei portafogli cambi
rispetto al caso con due sole azioni. A tale proposito, una prima intuizione di come sia fatta
la frontiera di portafoglio con n > 2 azioni si può ottenere considerando che all’aumentare
del numero delle azioni aumenta la possibilità dell’investitore di diversificare il proprio
portafoglio di investimento. Ciò, come abbiamo visto, può consentire di ridurne il rischio.
In altri termini, all’aumentare del numero dei titoli disponibili, è possibile investire la
ricchezza disponibile in modo da ottenere un certo rendimento (atteso) con un rischio
più basso. Graficamente, ciò implica che, in generale, all’umentare di n la frontiera di
portafoglio si sposta sempre più verso l’asse delle ordinate (valori sempre più bassi di σ P
per dati valori di µ P ). 14
Per approfondire graficamente ulteriormente la cosa, consideriamo la Figura 3.4. In
essa è riportata nuovamente la frontiera dei portafogli costruita con due soli titoli finanziari
rischiosi, che comprende i portafogli P 1 e P 2 . Il portafoglio P C , che appartiene anch’esso
a quella frontiera, è, quindi, un portafoglio ottenuto con una data combinazione delle
azioni delle due società di partenza. Immaginiamo adesso che l’investitore possa scegliere
tra tre azioni e che, in virtù di ciò, il portafoglio P 3 sia per lui una scelta possibile. In
particolare, “acquistando” il portafoglio P 3 , egli investe tutta la sua ricchezza nell’acquisto
delle azioni di una terza società. Inoltre, adesso è anche possibile costruire nuovi portafogli
diversificati che contengono azioni della terza società. Ad esempio, il portafoglio P D è
ottenuto combinando in certe proporzioni le azioni della terza società con quelle della
seconda società (si collocherebbe, quindi, sulla frontiera dei portafogli dell’“economia”
14 Più rigorosamente, la frontiera dei portafogli non si sposta mai verso destra (non si allontana mai
dall’asse delle ordinate) all’aumentare di n. Lo spostamento verso sinistra, infatti, potrebbe non realizzarsi
con l’introduzione nell’insieme di scelta di nuovi titoli, i cui rendimenti sono perfettamente correlati
positivamente con quelli di attività finanziarie ottenute come combinazioni di titoli già presenti.
64

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
µ P
P C
P 1
P 2
P D
P 3
σ P
Figura 3.4: Frontiera dei portafogli con tre titoli rischiosi
in cui fossero presenti solo titoli di tali società). Allora, lo stesso ragionamento che, a
partire dai portafogli P 1 e P 2 , avevamo utilizzato per costruire la frontiera dei portafogli
nella Sezione III.A, può essere adesso ripetuto partendo da P C e P D , costruendo così
portafogli in cui sono contenute contemporaneamente azioni di tutte e tre le società: ciò
che otteniamo è la frontiera in grassetto di Figura 3.4, la quale, come ci attendevamo,
si colloca, per ogni dato valore di µ P , “più vicina” (o, in generale, “non più lontana”)
all’asse delle ordinate rispetto a quelle con due sole attività finanziarie. Inoltre, come per
il caso con due soli titoli, l’insieme dei portafogli efficienti coincide con il tratto crescente
della frontiera.
L’idea di come si costruisce la frontiera dei portafogli con n attività rischiose si può
esprimere anche in termini analitici. Come abbiamo avuto più volte modo di ricordare,
ogni portafoglio sulla frontiera rappresenta la combinazione di titoli o attività finanziarie
che minimizza il rischio di investimento σP
2 (o, equivalentemente, σ P ) per ogni dato
livello di rendimento (atteso) µ P . Formalmente, un portafoglio sulla frontiera può essere
individuato dalla combinazione di titoli espressa dalle quote (a 1 , a 2 , ..., a n ) che soddisfano
il problema seguente:
65

IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
min
(a 1 ,a 2 ,...,a σ2 P =
n)
n∑
i=1
n∑
a i a j σ ij (3.11)
j=1
s. a:
n∑
a i µ i = µ P (3.12)
i=1
n∑
a i = 1. (3.13)
i=1
In particolare, i Vincoli (3.12) e (3.13) esprimono, rispettivamente, che: i) il portafoglio
individuato dalla soluzione del problema minimizza il rischio di investimento dato un certo
tasso atteso di rendimento (obiettivo) µ P che l’investitore intende realizzare, e ii) la somma
delle quote di ricchezza investita nei vari titoli è pari a uno. Si noti che, quando sono
ammesse vendite allo scoperto, per alcuni titoli potrà anche risultare a i > 1. Ovviamente,
a fronte di ciò, per qualche altro titolo (venduto allo scoperto) j ≠ i dovrà risultare a j < 0.
Nel caso, invece, le vendite allo scoperto fossero vietate, un ulteriore vincolo andrebbe
inserito nel problema di minimizzazione, ossia a i ≥ 0, ∀i.
Dalla soluzione matematica del Problema (3.11), sotto i Vincoli (3.12) e (3.13), sarà
possibile individuare (dalle quote di ricchezza investite nei vari titoli) un portafoglio che
appartiene alla frontiera. Ripetendo tale procedimento per ogni possibile valore “obiettivo”
del rendimento (atteso) µ P , otterremo tutti i portafogli (uno per ogni µ P ) che
costituiscono la frontiera.
IV
Frontiera dei portafogli con titoli finanziari rischiosi e un
titolo privo di rischio
Intoduciamo adesso nell’economia, insieme ai titoli finanziari rischiosi, un’attività
priva di rischio (risk-free), ad esempio un deposito bancario o un titolo obbligazionario
“sicuro” emesso dallo Stato (ad esempio un BOT). 15 A tale riguardo, consideriamo,
innanzitutto, che introdurre la presenza di tale titolo può consentire ai soggetti, non solo
la possibilità di investire i loro risparmi (concedendo così prestito ad altri soggetti) in
un’attività senza rischio, ma anche quella di prendere denaro a prestito (ad esempio, da
una banca) al tasso di rendimento, o di interesse, privo di rischio.
15 Si noti che se, da un lato, è del tutto sensato considerare senza rischio tali investimenti qualora
si faccia riferimento al rendimento nominale, d’altro lato, la questione risulta senz’altro più discutibile
in relazione al rendimento reale (in quanto l’inflazione potrebbe risultare un fenomeno particolarmente
incerto e complesso da prevedere).
66

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio
Se indichiamo con r 0 il tasso effettivo di rendimento del titolo privo di rischio, chiaramente,
avremo che µ 0 ≡ E[r 0 ] = r 0 e σ0 2 = σ 0 = 0, dove µ 0 , σ0 2 e σ 0 rappresentano,
rispettivamente, il tasso atteso di rendimento dell’attività priva di rischio, la sua varianza
e la sua deviazione standard.
Adesso, è possibile affermare che la frontiera dei portafogli in un’economia in cui sono
presenti attività finanziarie rischiose e un titolo privo di rischio è una semiretta inclinata
positivamente che origina dall’asse delle ordinate. Per dimostrare tale affermazione,
immaginiamo che l’investitore abbia, in qualche modo (possibilmente, ma non necessariamente,
in modo efficiente), già individuato un portafoglio di investimento composto da
sole attività rischiose: indichiamo con P R tale portafoglio (con µ R e σR 2 , rispettivamente,
il suo tasso atteso di rendimento e la varianza). Ammettiamo che adesso si apra la possibilità
di investire anche nel titolo privo di rischio. A partire dal portafoglio P R , quindi,
l’investitore può adesso costruirsi un nuovo portafoglio in cui sono presenti sia attività
rischiose che l’attività priva di rischio. Più specificatamente, egli ha adesso la possibilità
di scegliere quanto della sua ricchezza mantenere investita nel portafoglio P R e quanto,
viceversa, disinvestire da P R e destinare all’acquisto del titolo privo di rischio.
Indichiamo con a 0 la quota di ricchezza disinvestita da P R per l’acquisto del titolo
risk-free e con P il nuovo generico portafoglio “costruito” dall’investitore combinando il
portafoglio rischioso P R con il titolo risk-free. Tenendo presente che la covarianza e, quindi,
il coefficiente di correlazione tra i rendimenti di un’attività priva di rischio e un qualsiasi
altro portafoglio di investimento sono pari a zero, avremo, allora, che il rendimento atteso
e il rischio del portafoglio P saranno dati, rispettivamente, da:
µ P = a 0 r 0 + (1 − a 0 )µ R (3.14)
σ 2 P = (1 − a 0 ) 2 σ 2 R. (3.15)
come:
L’Espressione (3.15) implica, chiaramente, σ P
= (1 − a 0 )σ R , che possiamo riscrivere
1 − a 0 = σ P
σ R
(3.16)
da cui si ottiene:
a 0 = σ R − σ P
σ R
(3.17)
Sostituendo per a 0 e 1 − a 0 (Espressioni (3.17) e (3.16)) nell’Equazione (3.14), tramite
semplici passaggi algebrici, otteniamo:
67

IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
µ P = r 0 +
( )
µR − r 0
σ P . (3.18)
σ R
L’Espressione (3.18) esprime il fatto che, per portafogli di investimento in cui sono
presenti attività rischiose e un’attività priva di rischio, vale sempre una relazione lineare
tra il tasso atteso di rendimento (µ P ) e la deviazione standard, ossia il rischio, del
portafoglio (σ P ).
Poiché, per costruzione, l’Equazione (3.18) vale per ogni generico portafoglio P (con
titoli rischiosi e un titolo privo di rischio), essa può essere riscritta più in generale come
µ P = a + bσ P (con a = r 0 e b = (µ R − r 0 )/σ R ) da cui emerge chiaramente come tutti i
portafogli costruiti combinando, in proporzioni differenti, un portafoglio di titoli rischiosi
(P R ) con il titolo privo di rischio si collochino su una semiretta con intercetta positiva
sull’asse delle ordinate pari a r 0 (il tasso di rendimento dell’attività priva di rischio) e
inclinazione data da (µ R − r 0 )/σ R .
A tale riguardo, si noti anche che, dal momento
che nessuno avrebbe convenienza a detenere attività rischiose se il titolo senza rischio
offrisse anche un rendimento superiore, in generale, ha senso concentrarsi esclusivamente
sui portafogli che si collocano sulle semirette per cui vale µ R −r 0 > 0, le semirette, cioè, con
inclinazione positiva (si ricordi che la deviazione standard, σ P , è positiva per definizione).
Ciò esprime chiaramente la presenza di un trade-off tra rendimento e rischio: i portafogli
con un rendimento (atteso) più alto presenteranno anche un maggiore rischio. 16
A tal punto, si tratta di stabilire quale, tra le tante semirette che originano da r 0 e che
si ottengono combinando il titolo risk-free con i diversi portafogli rischiosi, costituisca la
frontiera dei portafogli efficienti. A tale riguardo si consideri la Figura 3.5 dove è riportato
il portafoglio P 0 riferito a un investimento in cui tutta la ricchezza dell’investitore è spesa
per acquistare l’attività priva di rischio: le sue coordinate, infatti, sono µ 0 = r 0 e σ 0 = 0.
P R e P T , invece, sono due portafogli in cui l’investitore spende, in proporzioni diverse,
tutta la sua ricchezza nell’acquisto di soli titoli rischiosi (si noti che tali portafogli si
collocano sul tratto crescente della frontiera dei portafogli con soli titoli rischiosi per
cui, se non fosse presente il titolo risk-free, sarebbero entrambi portafogli efficienti). Le
due semirette che originano da P 0 e passano per P R e P T rappresentano, dunque, tutti i
portafogli che si ottengono combinando, in proporzioni differenti, il titolo privo di rischio
e, rispettivamente, i (le combinazioni di titoli presenti nei) portafogli rischiosi P R e P T . 17
16 Più specificatamente, in base all’Espressione (3.18), µ P cresce al crescere del rapporto σ P /σ R . Ciò
ha chiaramente senso: poiché, come abbiamo visto, σ P /σ R è uguale a (1 − a 0 ), che rappresenta la
quota di titoli rischiosi presenti nel portafoglio P , al crescere di tale quota aumenta il rendimento atteso
dell’investimento µ P in quanto µ R > r 0 .
17 A questo punto si potrebbe porre la seguente domanda: consideriamo, ad esempio, la semiretta
passante per P R (discorso analogo potrebbe essere fatto per quella passante per P T ); se in P 0 l’investitore
spende tutta la sua ricchezza per acquistare il titolo risk-free, in P R spende tutta la sua ricchezza per
68

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio
µ P
P D
P T
P 0
P R
r 0
σ P
Figura 3.5: Frontiera dei portafogli efficienti con titoli rischiosi e un titolo privo di rischio
Peraltro, è facile mostrare che per ogni portafoglio situato sulla semiretta passante per
P R , esiste un altro portafoglio su quella passante per P T che:
i. consente di ottenere un dato rendimento atteso con un rischio minore; oppure
ii. a parità di rischio consente di ottenere un rendimento atteso maggiore.
Ovviamente, dal punto di vista grafico, tali risultati dipendono dal fatto che la semiretta
passante per P T si colloca sempre a sinistra e al di sopra di quella passante per P R .
È semplice dimostrare, inoltre, che i portafogli sulla semiretta passante per P T dominano,
nel senso prima definito, tutti i portafogli che si collocano su una qualsiasi altra semiretta
che origina da P 0 e che passa per un portafoglio qualsiasi sulla frontiera con solo titoli
rischiosi. Ciò in quanto la semiretta passante per P T è l’unica che è tangente a quella
frontiera; per tale motivo, il portafoglio P T si definisce portafoglio di tangenza. In
sostanza, quindi, in presenza di un titolo senza rischio la frontiera dei portafogli efficienti
è la semiretta inclinata positivamente che origina dal portafoglio senza rischio P 0 ed è
tangente alla frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi (in Figura 3.5, essa coincide,
dunque, con la semiretta in grassetto passante proprio per il portafoglio di tangenza P T ),
per cui l’equazione che la caratterizza sarà:
acquistare il portafoglio rischioso e tra P 0 e P R spende tutta la sua ricchezza per acquistare portafogli
che sono un mix dei portafogli precedenti, come può l’investitore acquistare portafogli che si trovano sulla
semiretta a destra di P R Per rispondere a tale domanda si veda, tra un attimo, quanto argomentato in
relazione ai portafogli con debito.
69

IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
µ P = r 0 +
( )
µT − r 0
σ P (3.19)
σ T
dove, chiaramente, µ T e σ T sono, rispettivamente, il rendimento atteso e il rischio (deviazione
standard) del portafoglio di tangenza.
In relazione alla frontiera efficiente di Figura 3.5, si noti anche che per ciascun portafoglio
che si colloca tra P 0 e P T (compreso P 0 , ma non P T ), spendendo parte della
sua ricchezza nell’acquisto del titolo privo di rischio, l’investitore, di fatto, sta concedendo
denaro a prestito. Consideriamo, invece, il portafoglio P D . Esso si colloca oltre P T .
L’investitore, quindi, non avrebbe potuto raggiungerlo con la sola sua ricchezza. Per riuscirci,
può adesso sfruttare la presenza dell’attività priva di rischio. In particolare, può
indebitarsi (cioè prendere denaro a prestito al tasso risk-free) e utilizzare le risorse aggiuntive
così ottenute per potersi permettere un investimento altrimenti non realizzabile: per
tale motivo, un portafoglio oltre P T , come P D , è anche detto portafoglio con debito
(levered portfolio).
Infine, analogamente a quanto visto nella Sezione III.B in assenza del titolo riskfree,
la frontiera (efficiente) dei portafogli può essere ricavata analiticamente risolvendo il
seguente problema, che è del tutto simile al precedente, con l’unica (importante) differenza
che adesso “l’insieme di scelta” dell’investitore è più ampio, comprendendo anche l’attività
priva di rischio; in particolare, in ciò che segue, a 0 si riferisce alla scelta dell’investitore
sulla quota di ricchezza destinata all’acquisto dell’attività risk-free (in Appendice A.2
al capitolo, il procedimento matematico per il calcolo della frontiera dei portafogli sarà
sviluppato analiticamente per il caso particolare in cui sono presenti due attività rischiose
e una priva di rischio): 18
min
(a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a σ2 P =
n)
a 0 r 0 +
a 0 +
n∑
i=1
n∑
a i a j σ ij (3.20)
j=1
s. a:
n∑
a i µ i = µ P (3.21)
i=1
n∑
a i = 1. (3.22)
i=1
18 Oltre a quello rappresentato di seguito, un metodo matematico alternativo per individuare la frontiera
efficiente (con un titolo risk-free) si basa sull’osservazione che quest’ultima coincide con la semiretta
avente intercetta r 0 sull’asse delle ordinate e con inclinazione più elevata (compatibilmente con l’insieme
di scelta dei portafogli, rispetto al quale la semiretta è tangente). In virtù di tale osservazione, la frontiera
efficiente può essere costruita individuando i portafogli che, per ogni dato tasso atteso di rendimento µ P ,
massimizzano l’inclinazione della semiretta (µ P −r 0 )/σ P , sotto il vincolo che le quote di ricchezza investite
nei vari titoli sommino a uno (a 0 + ∑ i a i = 1).
70

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA V. Indici di performance
Esempio 14
Si assuma che µ T = 0, 1 e σ T = 0, 5 siano, rispettivamente, il rendimento atteso e il rischio
del portafoglio di tangenza, mentre il tasso di rendimento del titolo privo di rischio sia del
5%. Se un investitore intende realizzare un investimento con rendimento atteso del 20%,
qual’è il rischio più basso che deve sopportare Inoltre, come si compone il portafoglio
che gli consente di ottenere il rendimento atteso desiderato con il rischio più basso
Il portafoglio che minimizza il rischio in corrispondenza di un rendimento atteso
del 20% si trova chiaramente sulla frontiera efficiente, per cui occorre far riferimento
all’Equazione (3.19). In particolare, risolvendo rispetto a σ P otteniamo:
σ P =
( )
µP − r 0
σ T
µ T − r 0
da cui, il rischio minimo per µ P = 0, 2 (considerando i valori di µ T e σ T ) è pari a:
σ P =
( )
0, 2 − 0, 05
0, 5 = 1, 5.
0, 1 − 0, 05
Per calcolare poi la composizione del portafoglio, possiamo fare riferimento alla formula
del rendimento atteso dello stesso, ossia µ P = a 0 r 0 + (1 − a 0 )µ T , che implica a 0 = (µ P −
µ T )/(r 0 − µ T ), da cui otteniamo che:
a 0 =
0, 2 − 0, 1
0, 05 − 0, 1 = −2
e 1−a 0 = 3. In altri termini, l’investitore si indebita (al tasso risk-free) per un ammontare
di risorse pari al doppio della sua ricchezza iniziale al fine di investire una somma pari a
tre volte la sua ricchezza iniziale nel portafoglio rischioso (di tangenza). Ciò (cioè il fatto
che debba indebitarsi) era attendibile, dal momento che l’investitore ambisce a ottenere
un rendimento atteso più elevato rispetto a quello del portafoglio di tangenza.
V
Frontiera dei portafogli e indici di performance delle attività
finanziarie
La frontiera dei portafogli può essere utile di per sé anche a definire, indipendentemente
dalle preferenze dei singoli investitori, la performance di un’attività finanziaria o
di un portafoglio di investimento contenente più titoli finanziari contemporaneamente. In
particolare, in letteratura sono stati proposti vari indici per misurare le performance di
un’attività che tenesse conto sia del rendimento atteso che della sua rischiosità che si richiamano
esplicitamente al concetto di frontiera efficiente. Fra questi, assume particolare
71

V. Indici di performance 3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
FPE
µ P
P 3
P T
µ P 1
P1
µ P P2 2
r 0 s 2 = µ P 2
−r 0
σ P2
s 1 = µ P 1
−r 0
σ P1
σ P
σ P2
σ P1
Figura 3.6: Indice di Sharpe
interesse l’indice di Sharpe (Sharpe ratio), dal nome dell’economista William Sharpe
che per primo lo ha proposto, che, in relazione all’attività i-esima, è definito come:
s i = µ i − r 0
σ i
. (3.23)
L’indice di Sharpe valuta quindi un’attività, che può essere un singolo titolo oppure
un intero portafoglio, in relazione sia al suo rendimento atteso in eccesso rispetto al
rendimento dell’attività risk-free, sia alla sua rischiosità, misurata da σ i , la deviazione
standard del suo rendimento. In Figura 3.6, ad esempio, il portafoglio P 1 ha un rendimento
maggiore di P 2 , ma associato anche a un livello maggiore di rischio. Peraltro, se
valutiamo tramite l’indice di Sharpe i due portafogli P 2 risulta preferito rispetto P 1 . Ciò
è facilmente intuibile considerando anche che l’indice di Sharpe non è altro che l’inclinazione
della semiretta (già discussa nella Sezione IV) che origina dall’asse delle ordinate
in corrispondenza di r 0 , il tasso di rendimento del titolo privo di rischio, e passante per
il particolare portafoglio considerato. Poiché il portafoglio P 2 si colloca su una semiretta
più inclinata di quella su cui si colloca P 1 , in base all’indice di Sharpe, la performance di
P 2 è migliore a quella di P 1 .
Ovviamente, se calcolato per due portafogli che si collocano sulla frontiera dei portafogli
efficienti (in Figura 3.6, la semiretta F P E), ad esempio P T (il “portafoglio di
tangenza”) e P 3 , l’indice di Sharpe risulta uguale, dal momento che i portafogli efficienti
si trovano tutti sulla stessa semiretta. Inoltre, per motivi che adesso dovrebbero risultare
72

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA V. Indici di performance
P T
RAP 2
RAP 1
P 2
P 1
r 0
s 1
µ P
σ P
RAP FPE
FPE
σ BENCH
Figura 3.7: Indice RAP
chiari, l’indice è massimo proprio per i portafogli efficienti (si confronti l’indice di Sharpe
per i portafogli P 1 e P 2 con quello per i portafogli P T e P 3 ). Possiamo dunque concludere
che, dati due portafogli, se l’indice di Sharpe del primo è superiore a quello del secondo,
siamo sicuri che il secondo portafoglio non potrà appartenere alla frontiera efficiente
(peraltro, a priori, non possiamo concludere che il primo vi appartenga).
Un altro indice di performance finanziaria, derivato dall’indice di Sharpe, è l’indice
RAP (Risk-Adjusted Performance), proposto dall’economista Franco Modigliani,
che fa riferimento ad un generico portafoglio benchmark P BENCH ed è definito come:
ossia, in termini dell’indice di Sharpe:
RAP i = r 0 + σ BENCH
σ i
(µ i − r 0 ) ,
RAP i = r 0 + σ BENCH s i . (3.24)
Si noti, innanzitutto, che dal momento che l’indice RAP è una funzione lineare positiva
dell’indice di Sharpe, i due indici mantengono esattamente lo stesso “ordine” di
performance dei vari titoli (portafogli). Inoltre, l’indice RAP i è pari al rendimento atteso
dell’attività i se il rischio dell’attività i (ossia σ i ) è pari a quello del portafoglio benchmark,
mentre, a parità di rendimento atteso µ i , cresce mano a mano che il rischio relativo
dell’attività i diminuisce (ossia σ i decresce rispetto a σ BENCH ). E’ immediato che tale
indice possa essere calcolato anche per un generico portafoglio.
Graficamente, per un dato portafoglio, l’indice RAP si ottiene fissando sull’asse delle
73

V. Indici di performance 3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
ascisse il “rischio” del portafoglio benchmark, σ BENCH , e individuandone il relativo valore
sull’asse delle ordinate in corrispondenza del punto di intersezione tra σ BENCH e la
semiretta con intercetta r 0 su cui si colloca il portafoglio considerato. Ad esempio, nella
Figura 3.7 l’indice RAP dei due portafogli P 1 e P 2 (RAP 1 e RAP 2 ), quando σ BENCH
rappresenta il rischio del portafoglio benchmark, conferma che il portafoglio P 2 dovrebbe
essere preferito a P 1 . Osserviamo che il RAP massimo viene raggiunto per i portafoglio
sulla frontiera efficiente (vedi RAP F P E nella figura), così che anche questo indice può
essere utilizzato per scartare portafogli inefficienti.
Esempio 15
Si considerino i tre seguenti portafogli finanziari, caratterizzati dalle coppie tasso atteso
di rendimento-rischio: P 1 ) µ 1 = 15, 5%, σ 1 = 0, 2; P 2 ) µ 2 = 9, 2%, σ 2 = 0, 09; P 3 ) µ 3 =
12%, σ 3 = 0, 12. Si calcolino i rispettivi indici di Sharpe e RAP , ipotizzando che il tasso di
rendimento del titolo privo di rischio sia r 0 = 5% e che il rischio del portafoglio benchmark
sia σ BENCH = 0, 1, e si indichi quali portafogli non appartengono alla frontiera efficiente.
Applicando la formula dell’indice di Sharpe otteniamo:
0, 155 − 0, 05
s 1 = = 0, 525
0, 2
0, 092 − 0, 05
s 2 = ≃ 0, 467
0, 09
0, 12 − 0, 05
s 3 = ≃ 0, 583.
0, 12
Applicando la formula dell’indice RAP otteniamo:
RAP 1 = 0, 05 + 0, 1 (0, 155 − 0, 05) = 0, 1025
0, 2
RAP 2 = 0, 05 + 0, 1 (0, 092 − 0, 05) ≃ 0, 0967
0, 09
RAP 3 = 0, 05 + 0, 1 (0, 12 − 0, 05) ≃ 0, 1083.
0, 12
Sulla base dei risultati degli indici possiamo dedurre che i portafogli P 1 e P 2 non
appartengono alla frontiera dei portafogli efficienti.
74

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo
VI
Teorema di separazione e scelta del portafoglio ottimo
Prima di passare ad analizzare la scelta del portafoglio ottimo (tra i tanti che si collocano
sulla frontiera efficiente) da parte dell’investitore, è importante sottolineare un
ultimo aspetto. In effetti, in base al ragionamento con cui la frontiera efficiente è stata
individuata, tutti gli investitori con le stesse “credenze” riguardo ai rendimenti attesi e
alle varianze, o deviazioni standard, (e covarianze) dei rendimenti dei vari titoli, saranno
caratterizzati dalla stessa frontiera efficiente e avranno sempre convenienza a scegliere un
portafoglio che si colloca su quella stessa frontiera. Peraltro, per come la frontiera è stata
costruita (combinando, in proporzioni diverse, il portafoglio risk-free e quello rischioso),
ogni suo portafoglio, limitatamente alla sola componente rischiosa, sarà caratterizzato
dalla stessa combinazione di titoli. In particolare, considerando specificatamente la Figura
3.5 della Sezione IV, tale combinazione di titoli rischiosi sarà quella corrispondente
al portafoglio “di tangenza” P T . Le preferenze degli investitori, dunque, determineranno
i punti (portafogli) in cui essi si posizioneranno lungo la frontiera (che, chiaramente, saranno
diversi per investitori con preferenze diverse) 19 , ossia la particolare combinazione
tra titolo privo di rischio e portafoglio P T , ma non influiranno sulle proporzioni con cui
gli investitori deterranno titoli rischiosi. In altri termini, le preferenze degli investitori influiranno
sull’ammontare assoluto di denaro investito in ciascun titolo rischioso (e quindi
nella componente rischiosa dell’investimento nel suo complesso), ma non nelle proporzioni
con cui il denaro viene investito tra i diversi titoli rischiosi. Tutto ciò, ci porta a enunciare
un risultato fondamentale della teoria delle scelte di portafoglio, noto come teorema di
separazione o del fondo comune (separation or mutual fund theorem):
Teorema 1 (Teorema di separazione)
Per ogni investitore interessato soltanto alla media e alla varianza (deviazione standard)
dei rendimenti, il portafoglio ottimo consiste in una certa combinazione del titolo privo di
rischio e di un particolare portafoglio di attività rischiose (il fondo comune) che è lo stesso
per tutti gli investitori con le stesse credenze sulle medie, le varianze e le covarianze dei
rendimenti dei vari titoli.
L’asserto del teorema non è banale: qualunque siano le preferenze individuali (e la
ricchezza) degli investitori, questi ultimi distribuiranno la loro ricchezza tra il titolo privo
di rischio e un portafoglio rischioso che è indipendente dalle loro preferenze.
In altri
19 Ad esempio, mentre un investitore più avverso al rischio sceglierà, verosimilmente, un portafoglio
senza debito e in larga parte composto dal titolo privo di rischio (cioè, graficamente, un punto molto
vicino a P 0 ), un altro investitore, meno avverso al rischio, potrebbe scegliere il portafoglio P D , prendendo
a prestito denaro per investirne un ammontare maggiore della propria ricchezza nel portafoglio P T .
75

VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
termini, la scelta di portafoglio di ciascun investitore, concettualmente, può essere separata
in due distinte fasi:
1. individuare la composizione efficiente del portafoglio relativa ai soli titoli rischiosi,
ossia individuare il portafoglio di tangenza; questa scelta è indipendente dalle
preferenze degli investitori ed è la stessa per tutti gli investitori con le stesse credenze
sulle medie, varianze e covarianze dei rendimenti dei titoli (ossia, questa scelta
dipende dalle credenze, ma non dalle preferenze degli investitori);
2. individuare la composizione ottimale della ricchezza tra il portafoglio rischioso (di
tangenza) e il titolo privo di rischio; questa scelta dipende dalle preferenze dei singoli
investitori e, quindi, differirà da soggetto a soggetto.
Ai fini pratici, inoltre, tutto questo può avere implicazioni interessanti. Ad esempio,
un consulente finanziario che dovesse consigliare a un soggetto come investire in modo
ottimale la sua ricchezza, non dovrebbe preoccuparsi di individuare esattamente il portafoglio
che meglio soddisfa le preferenze del suo cliente; potrebbe, invece, proporgli, insieme
al titolo risk-free, un solo portafoglio, quello corrispondente al portafoglio di tangenza, e
lasciare che il cliente scelga la combinazione tra i due che più lo soddisfa! 20
Adesso, l’ultimo passo da compiere è quello di individuare il portafoglio ottimo per
l’investitore, cioè quello che si caratterizza per la combinazione rendimento atteso, µ P ,
e rischio, σP
2 (o σ P ), che meglio soddisfa le sue preferenze (ossia, che massimizza la sua
funzione di utilità V , così come definita nella Sezione I). Come è stato appena specificato,
per gli investitori che si formano le stesse idee o credenze (perché dispongono, ad esempio,
delle stesse informazioni) sulle medie e le varianze (e le covarianze) dei rendimenti dei vari
titoli, la frontiera dei portafogli efficienti, e, conseguentemente, la combinazione ottimale
di titoli con specifico riferimento alla sola componente rischiosa, è la stessa. Peraltro,
la scelta “definitiva” di ciascun investitore non sarà generalmente la stessa in quanto,
in presenza di un titolo privo di rischio, la quota di ricchezza da destinare all’acquisto
di quest’ultimo (e quindi quella residua da destinare alla componente rischiosa) potrà
20 Sotto assunzioni particolari, che saranno analizzate dettagliatamente nello studio del modello CAPM
(Cap. 4), il compito del consulente finanziario risulterebbe ancora più facile in quanto, come portafoglio
rischioso, potrebbe semplicemente fare riferimento a un generale indice di borsa (quale, ad esempio, il
FTSE MIB per l’Italia o lo S&P 500 per gli Stati Uniti). Si noti, inoltre, che un risultato del tutto
analogo a quello enfatizzato con il teorema di separazione vale anche per un’economia con solo titoli
rischiosi (in taluni casi, si parla infatti di primo e di secondo teorema di separazione, a seconda del tipo
di economia considerata). In questo caso, la scelta ottima dell’investitore potrebbe essere individuata
proponendogli, indipendentemente dalle sue preferenze, due portafogli (rischiosi) qualsiasi sulla frontiera
efficiente, lasciando che lui scelga la combinazione tra i due che meglio lo soddisfa. Peraltro, in tal caso,
i due “fondi comuni” (e tutti portafogli ottenuti combinandoli in proporzioni differenti) non saranno
ovviamente caratterizzati dalla stessa proporzione di titoli rischiosi.
76

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo
µ P
µ P*
P*
P T
r 0
σ P*
σ P
Figura 3.8: Scelta ottima del portafoglio di investimento
differire da investitore ad investitore in funzione delle diverse preferenze sulla combinazione
rischio-rendimento. Inoltre, in base al teorema di separazione, enunciato precedentemente,
sappiamo che per individuare il portafoglio che meglio soddisfa le preferenze di un certo
investitore, è sufficiente proporgli due soli portafogli (di cui uno quello privo di rischio e
l’altro scelto adeguatamente) e lasciare che decida come ripartire la sua ricchezza nella
combinazione di tali portafogli che più lo soddisfa.
Al fine di individuare il portafoglio ottimo per un certo investitore (in base alle sue
preferenze), facciamo riferimento alla Figura 3.8. In essa è rappresentata la frontiera
dei portafogli efficienti che ha origine dal portafoglio risk-free ed è tangente, in corrispondenza
del portafoglio P T , alla frontiera dei portafogli con soli titoli rischiosi. Date le
preferenze dell’investitore, espresse dalle curve di indifferenza rappresentate in Figura 3.8,
il portafoglio ottimo è P ∗ (a cui è associato un rendimento atteso µ P ∗ e un rischio σ P ∗).
Esso corrisponde al punto di tangenza tra la frontiera efficiente e la curva di indifferenza
più lontana dall’origine degli assi, che rappresenta, quindi, il livello di utilità più elevato
che, dato l’insieme dei portafogli efficienti, l’investitore può conseguire. In questo caso,
inoltre, poiché il portafoglio ottimo si colloca tra il portafoglio senza rischio e quello di
tangenza, l’investitore sceglie di investire la sua ricchezza in parte nel titolo senza rischio
e in parte in titoli rischiosi; la combinazione di questi ultimi è quella corrispondente al
portafoglio P T . Infine si noti che, in base all’usuale interpretazione geometrica di un punto
di tangenza (per cui, in quel punto, la pendenza delle due curve è la stessa), il portafoglio
77

VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
(punto) ottimo, P ∗ , può essere identificato con l’uguaglianza tra il saggio marginale di
sostituzione tra rendimento e rischio (dµ P /dσ P ) dell’investitore, che misura la pendenza
delle sue curve di indifferenza, e quella della frontiera efficiente; formalmente:
dµ P
dσ P
| P =P ∗= µ T − r 0
σ T
. (3.25)
In relazione alla condizione di equilibrio relativa alla scelta del portafoglio ottimo,
rappresentata dall’Espressione (3.25), meritano di essere sottolineati i seguenti aspetti:
1. a parità di altre condizioni, tanto maggiore è il rendimento atteso del portafoglio
rischioso (di mercato) rispetto a quello del titolo risk-free (cioè tanto più grande è
la differenza µ T − r 0 ) e tanto minore è il rischio associato al portafoglio di mercato,
σ T , tanto maggiore sarà la quota di ricchezza spesa dall’investitore nel portafoglio
rischioso (e viceversa). Ciò in quanto, in tali circostanze, il lato destro dell’Espressione
(3.25) sarà relativamente più elevato (la frontiera efficiente sarà relativamente
più inclinata) e, in equilibrio, questo dovrà valere anche per il lato sinistro. Ma
poiché il saggio marginale di sostituzione tra rendimento e rischio, dµ P /dσ P , è crescente
rispetto al rischio di portafoglio (si veda la Sezione I di questo capitolo),
questo si verificherà in corrispondenza di portafogli in cui la componente rischiosa
è (relativamente) più elevata;
2. a parità di altre condizioni, tanto più l’investitore è avverso al rischio, tanto minore
sarà la quota di ricchezza che investirà nel portafoglio rischioso (e viceversa). Ciò,
oltre che intuitivamente, può essere spiegato considerando che tanto più un soggetto
è avverso al rischio, tanto maggiore sarà (per ogni dato grado di rischio σ P ) il “suo”
saggio marginale di sostituzione dµ P /dσ P (cioè maggiore sarà la compensazione, in
termini di rendimento atteso, che richiederà per accettare un incremento marginale
del rischio di investimento). Tutto ciò implica, graficamente, curve di indifferenza
dell’investitore più inclinate e, conseguentemente, un punto di tangenza (portafoglio
ottimo) con una data frontiera efficiente più vicino all’asse delle ordinate (in cui i
portafogli sono caratterizzati da una minore quota della componente rischiosa). 21
21 Il caso estremo, di un investitore interessato esclusivamente alla minimizzazione del rischio di investimento,
comporta curve di indifferenza perfettamente verticali, con incrementi di utilità che si ottengono
spostandosi verso curve di indifferenza più vicine all’asse delle ordinate. Ovviamente, in tale situazione, il
portafoglio ottimo sarà quello che minimizza il rischio di investimento indipendentemente dal rendimento
atteso, che coinciderà con il portafoglio composto esclusivamente dal titolo risk-free.
78

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA VII. Appendice
VII
Appendice
A.1 Dall’utilità attesa all’utilità media-varianza: la funzione di utilità VNM
con forma quadratica
La funzione di utilità media-varianza V = V (µ P , σP 2 ), utilizzata in questo capitolo
per rappresentare le preferenze dei risparmiatori nelle loro scelte dei portafogli di investimento,
può essere ricavata formalmente da una particolare funzione di utilità VNM
definita sulla ricchezza (sui risultati) finale(i) dell’investitore, quella avente forma quadratica.
In particolare, qualsiasi funzione di utilità VNM con forma quadratica può essere
rappresentata, genericamente, nel modo seguente:
u(W ) = W − bW 2
(A1)
dove b > 0 è un parametro relativo alle preferenze dell’investitore.
Con riferimento all’Espressione (A1) si notino, innanzitutto, i seguenti aspetti. In
primo luogo, la derivata prima di u rispetto a W è u ′ (W ) = 1 − 2bW , per cui non è
necessariamente sempre positiva. Poiché nel Capitolo 2, in cui abbiamo introdotto la
funzione di utilità VNM per analizzare le scelte dei soggetti in condizioni di incertezza, si
è assunto che valga sempre u ′ (W ) > 0 (i soggetti preferiscono sempre livelli più elevati di
ricchezza), un’ipotesi aggiuntiva sulla funzione quadratica che, in tale contesto, si assume
generalmente soddisfatta è 2bW < 1, che assicura che u ′ (W ) > 0 sia sempre rispettata. 22
In secondo luogo, calcolando la derivata seconda della funzione quadratica, otteniamo
u ′′ (W ) = −2b < 0, per cui tale funzione esprime le preferenze di soggetti avversi al
rischio; 23 infatti, è proprio a tali tipi di soggetti che ci siamo riferiti nell’analisi delle
scelte di portafoglio basate sul criterio media-varianza. Ma come è possibile arrivare alla
funzione di utilità media-varianza partendo da quella VNM con forma quadratica
Calcolando l’aspettativa sull’utilità rappresentata nell’espressione (A1), otteniamo:
E[u(W )] = E[W ] − bE[W 2 ] = E[W ] − b(var[W ] + E[W ] 2 )
(A2)
dove var[W ], la varianza dei risultati finali, è definita come var[W ] ≡ E[(W −E[W ]) 2 ].
Dall’espressione (A2) risulta chiaro come, in questo caso, l’utilità attesa E[u(W )] di-
22 Più esattamente, poiché u è definita sui “premi” di una lotteria, la condizione aggiuntiva deve essere
soddisfatta per ogni possibile premio, cioè 2bW k < 1, con k = 1, 2, ..., m.
23 Si noti, peraltro, che se calcoliamo il coefficiente assoluto di avversione al rischio Arrow-Pratt (si veda
l’Appendice A.1) per la forma funzionale in oggetto otteniamo R a (W ) = −[u ′′ (W )/u ′ (W )] = 2b/(1 −
2bW ), che implica R a(W ′ ) > 0; il grado di avversione (assoluta) al rischio aumenta all’aumentare della
ricchezza (premio) finale. Tale proprietà della funzione quadratica è stata spesso criticata in quanto
ritenuta controintutiva.
79

VII. Appendice
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
penda esclusivamente (b è un parametro) dalla “media” (valore atteso) della ricchezza
finale, E[W ], e dalla sua varianza, var[W ]; formalmente, E[u(W )] = F (E[W ], var[W ]),
dove F è una particolare forma funzionale.
Per passare dalla funzione F (E[W ], var[W ]) alla funzione V (µ P , σP 2 ), che è espressa
non in termini di ricchezza finale W prodotta dal portafoglio di investimento, ma in
quelli del suo (tasso di) rendimento (µ P ≡ E [r P ], σ 2 P ≡ E [(r P − µ P ) 2 ]), si noti che tra
la ricchezza finale e il rendimento prodotto da un dato portafoglio esiste la relazione
seguente: W = (1 + r P )W , dove W è la ricchezza (pagamento) iniziale investita(o) dal
risparmiatore. Da ciò, calcolando l’aspettativa su W (e ricordando le definizioni di µ P e
σ 2 P ), deriva che E[W ] = (1 + µ P )W e var[W ] = σ 2 P W 2 . Sostituendo nella funzione F , da
quest’ultima si ottiene la definizione della funzione media-varianza V : 24
F ((1 + µ P )W , σ 2 P W 2 ) ≡ V (µ P , σ 2 P ).
(A3)
A.2 Derivazione matematica della frontiera dei portafogli con due titoli rischiosi
e un titolo risk-free
Consideriamo un’economia composta da tre attività finanziarie, di cui due rischiose (i
titoli 1 e 2) e una priva di rischio (il titolo 0). Il rischio del portafoglio P composto dalle
tre attività, identificato con la varianza del rendimento σ 2 , è dunque pari a:
σ 2 P = a 2 1σ 2 1 + a 2 2σ 2 2 + 2a 1 a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 .
(A4)
Il rendimento atteso del portafoglio, µ P , è invece pari a:
µ P = a 0 r 0 + a 1 µ 1 + a 2 µ 2 . (A5)
Infine occorrerà tener conto del vincolo che assicura che tutta la ricchezza dell’investitore
W venga allocata, ossia:
a 0 + a 1 + a 2 = 1.
(A6)
L’investitore dovrà quindi trovare la combinazione di (a 0 , a 1 , a 2 ) tale per cui σP
2 è
minimizzato per un dato livello di rendimento atteso µ P . Per fare questo impostiamo il
problema di minimo:
24 Si noti come la funzione F , oltre che da µ P e σP 2 dipenda, in generale, anche da W , la ricchezza
iniziale dell’investitore, che, essendo data, costituisce un parametro che non compare nella funzione V .
In particolare, per quanto concerne le curve di indifferenza dell’investitore, è possibile dimostrare che,
ceteris paribus (cioè per ogni data coppia µ P -σP 2 ), tanto maggiore è la sua ricchezza iniziale tanto meno
inclinate sono le curve di indifferenza che rappresentano le sue preferenze.
80

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA VII. Appendice
( ) ( ) 1 1 (a )
min σ 2 2
P =
(a 0 ,a 1 ,a 2 ) 2 2 1 σ1 2 + a 2 2σ2 2 + 2a 1 a 2 ρ 12 σ 1 σ 2
{
µ
s. a: P = a 0 r 0 + a 1 µ 1 + a 2 µ 2
a 0 + a 1 + a 2 = 1
dove nella minimizzazione abbiamo inserito la costante (1/2) semplicemente per facilitare
i calcoli.
Formuliamo quindi la Lagrangiana del problema sostituendo direttamente il vincolo
per le quote nel vincolo relativo al rendimento atteso di modo da eliminare una delle
variabili di scelta. In particolare sostituiamo per a 0 = 1 − a 1 − a 2 , per cui:
̷L =
( 1
2)
σ 2 P + λ [µ P − r 0 − a 1 (µ 1 − r 0 ) − a 2 (µ 2 − r 0 )] .
Le condizioni del primo ordine per la massimizzazione del portafoglio sono:
∂̷L
= a 1 σ1 2 + a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 − λ (µ 1 − r 0 ) = 0
∂a 1
∂̷L
= a 2 σ2 2 + a 1 ρ 12 σ 1 σ 2 − λ (µ 2 − r 0 ) = 0
∂a 2
∂̷L
∂λ = µ P − r 0 − a 1 (µ 1 − r 0 ) − a 2 (µ 2 − r 0 ) = 0.
(A7)
(A8)
(A9)
Dalle Condizioni (A7) e (A8) otteniamo che:
a 1 σ1 2 + a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 = λ (µ 1 − r 0 )
a 2 σ2 2 + a 1 ρ 12 σ 1 σ 2 = λ (µ 2 − r 0 )
da cui, moltiplicando entrambi i lati dell’Equazione (A10) per a 1
dell’Equazione (A11) per a 2 , otteniamo:
a 2 1σ1 2 + a 1 a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 = a 1 λ (µ 1 − r 0 )
a 2 2σ2 2 + a 1 a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 = a 2 λ (µ 2 − r 0 ) .
(A10)
(A11)
ed entrambi i lati
(A12)
(A13)
Infine, sommando lato a lato le due equazioni risulta:
a 2 1σ 2 1 + a 2 2σ 2 2 + 2a 1 a 2 ρ 12 σ 1 σ 2 = λ [a 1 (µ 1 − r 0 ) + a 2 (µ 2 − r 0 )]
81

VII. Appendice
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
ossia, tenendo conto delle Equazioni (A4) e (A5):
σ 2 P = λ (µ P − r 0 )
da cui:
ossia:
λ =
σ2 P
µ P − r 0
. (A14)
Stabilito il valore di λ possiamo adesso ricavarci il valore di a 2 dall’Equazione (A11),
che sostituito nell’Equazione (A10) porta a:
a 2 = λ (µ 2 − r 0 ) − a 1 ρ 12 σ 1 σ 2
σ 2 2
[ ]
λ
a 1 σ1 2 (µ2 − r 0 ) − a 1 ρ 12 σ 1 σ 2
+
ρ 12 σ 1 σ 2 = λ (µ 1 − r 0 )
da cui, dopo alcuni passaggi algebrici, si ottiene:
σ 2 2
a 1
(
1 − ρ
2
12
)
σ
2
1 σ 2 2 = λ [ (µ 1 − r 0 ) σ 2 2 − ρ 12 σ 1 σ 2 (µ 2 − r 0 ) ] .
(A15)
In ultimo, sostituendo per λ (Equazione (A14)) nell’Equazione (A15), e ricordando
che ρ 12 σ 1 σ 2 = σ 12 , otteniamo:
a ∗ 1 =
ed analogamente:
a ∗ 2 =
σ 2 P
(µ P − r 0 ) (1 − ρ 2 12) σ 2 1
σ 2 P
(µ P − r 0 ) (1 − ρ 2 12) σ 2 2
Infine, dal Vincolo (A6) abbiamo quindi che:
[
µ 1 − r 0 − σ ]
12
(µ
σ2
2 2 − r 0 )
(A16)
[
µ 2 − r 0 − σ ]
12
(µ
σ1
2 1 − r 0 ) . (A17)
a ∗ 0 = 1 − a ∗ 1 − a ∗ 2.
(A18)
Come era logico aspettarsi, la quota dell’attività i-esima nel portafoglio efficiente P
aumenta all’aumentare del suo rendimento, µ i , e diminuisce all’aumentare del rischio del
suo rendimento, ossia σi 2 . Tuttavia l’effetto del rendimento dell’attività j-esima, ossia µ j ,
sulla quota detenuta dell’attività i-esima passa attraverso la covarianza delle due attività,
ossia σ ij . Nel caso questa sia negativa, ossia σ ij < 0, allora un aumento di µ j porta ad un
aumento di a i . La ragione ormai dovrebbe essere chiara, ossia covarianza negativa di un
rendimento significa per chi detiene quell’attività un minor rischio di portafoglio.
82

3. MODELLO MEDIA-VARIANZA VII. Appendice
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Cap. 5.
• Barucci E., Teoria dei mercati finanziari, il Mulino, 2000; Cap. 4.
• Cuthbertson K. e Nitzsche D., Economia finanziaria quantitativa, il Mulino, 2005;
Cap. 5.
• Elton E.J. e Gruber M.J., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, John
Wiley, 1995.
83

VII. Appendice
3. MODELLO MEDIA-VARIANZA
84

Capitolo 4
Il modello CAPM
Studiando come agiscono (o dovrebbero agire razionalmente) gli investitori nel formare
i loro portafogli di investimento, nel capitolo precedente abbiamo di fatto analizzato la
domanda di titoli finanziari in base a un particolare modello (quello media-varianza) di
comportamento degli investitori. 1 Peraltro, nel modello media-varianza, gli investitori,
nel decidere i loro portafogli di investimento, considerano i prezzi e i rendimenti attesi
delle singole attività finanziarie come dati. In altri termini, il modello media-varianzia, di
per sé, non dice niente su come si formano sul mercato i prezzi (e i rendimenti attesi) dei
singoli titoli. Il modello CAPM (Capital Asset Pricing Model), che analizzeremo
in questo capitolo, si propone invece di spiegare proprio come si formano, in equilibrio, i
prezzi e i rendimenti attesi delle attività finanziarie. 2
Le ipotesi di partenza del CAPM sono che gli investitori: i) prendano le proprie decisioni
di investimento in base a quanto prescritto dal modello media-varianza delle scelte di
portafoglio; e ii) condividano tutti le stesse aspettative sulla media, la varianza e le covarianze
dei rendimenti delle attività; si parla a questo proposito di “homogeneous beliefs”.
I prezzi di equilibrio delle attività, che poi determineranno i rendimenti di equilibrio,
dovranno essere tali da eliminare possibili eccessi di domanda e di offerta nel mercato.
L’interesse è capire come si comportino i rendimenti in equilibrio e come gli investitori
1 Si noti che la domanda di titoli finanziari riflette l’offerta di fondi prestabili. Sottoscrivendo (domandando)
titoli finanziari, infatti, gli investitori offrono risorse finanziarie ai soggetti che li hanno
emessi.
2 Gli economisti William Sharpe e John Lintner hanno fornito, negli anni 60 dello scorso secolo, i
maggiori contributi a questo filone di letteratura, tanto che Sharpe, insieme a Markovitz, ha ricevuto
nel 1990 il premio Nobel per l’economia. Esistono vari sviluppi ed estensioni del modello di base del
CAPM. Ad esempio, se si considera un contesto in cui non è presente alcuna attività priva di rischio
allora abbiamo il Black CAPM , chiamato così in onore dell’economista Fischer Black, che piú ne ha
approfondito le proprietá. Esistono poi versioni più complicate del CAPM, come la versione con scelte
intertemporali, il cosiddetto ICAPM (intertemporal CAPM ) e anche un modello che include le scelte di
consumo, il cosiddetto CCAPM (consumption CAPM ).
85

I. Assunzioni del modello 4. CAPM
decidano quanto rischio sopportare nei propri portafogli; in altri termini, che relazione
sussiste in equilibrio tra i rendimenti (attesi) e il rischio delle varie attività finanziarie.
I
Le assunzioni alla base del CAPM
Nel seguito presentiamo e vagliamo in dettaglio le ipotesi alla base del modello CAPM.
Divideremo tali ipotesi in tre gruppi principali, ossia i) le ipotesi relative all’equilibrio di
tutti i mercati delle attività, ii) le ipotesi sul comportamento degli investitori e iii) le
ipotesi sulle aspettative degli investitori. L’esplicitazione delle ipotesi alla base del CAPM
dovrebbero servire a chiarire i suoi limiti applicativi alla realtà, cioè quanto questi limiti
pregiudichino la capacità del modello nello spiegare i comportamenti degli investitori e i
prezzi osservati nei mercati.
I.A
Equilibrio nei mercati dei capitali
1. Nei mercati non sono presenti frizioni di alcun tipo. Questo significa assenza di
costi di transazione e nessun limite allo scambio di attività (ad esempio divieto di
vendite allo scoperto). Sebbene tale situazione non si verifica sostanzialmente mai
nella realtà, il CAPM darà indicazioni tanto più precise tanto minori sono le frizioni
presenti nel mercato (cioè tanto più ci si avvicina al contesto ideale su cui il CAPM
si fonda).
2. Gli investitori non incontrano mai limiti nel prendere a prestito o nell’investire
nell’attività priva di rischio. Se sono presenti dei limiti, ad esempio perché non é
possibile per un investitore prendere a prestito al tasso privo di rischio piú di un
certo ammontare di risorse, allora il CAPM potrebbe non essere adeguato a spiegare
i rendimenti di equilibrio.
3. Le attività sono infinitamente divisibili. Il CAPM quindi potrebbe non essere adeguato
se gli investitori hanno un patrimonio limitato ed esistano alcune attività non
facilmente divisibili (si pensi all’investimento in beni immobili).
4. Tutti gli scambi devono avvenire ai prezzi di equilibrio di mercato. Non è quindi
compatibile con il CAPM la possibilità che avvengano scambi a prezzi non di
equilibrio, come avviene di solito nei mercati. Tuttavia se tali scambi influenzano
marginalmente la ricchezza degli investitori l’ipotesi non si rivela cruciale.
5. Gli investitori devono comportarsi da price-takers, ossia non devono esistere situazioni
di monopolio nel mercato. Anche in questo caso è possibile che in alcuni
86

4. CAPM II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali
mercati esistano operatori che abbiano un certo potere di mercato, ossia abbiano il
potere di condizionare i prezzi di equilibrio (o pensino di poterlo fare).
6. Le imposte devono essere neutrali. Questo non significa che le tasse debbano essere
zero, ma che invece tutti gli investitori siano tassati alla medesima aliquota e che
non vi sia una tassazione differenziale fra guadagni in conto capitale e dividendi
(come invece è nella realtà). In generale si richiede quindi che la tassazione sia non
distorsiva delle scelte individuali di investimento.
I.B
Scelte degli investitori
1. Tutti gli investitori adottano un orizzonte uniperiodale. Quello che rileva per loro
è quindi la ricchezza a fine periodo rispetto a quella di inizio periodo. Esistono
estensioni del CAPM che permettono di superare tale ipotesi (il cosiddetto ICAMP).
2. Tutti gli investitori si comportano in accordo al modello media-varianza. Tale ipotesi
è quella che ha dato ambito a un largo dibattito e a una notevole mole di contributi,
che mirano a dimostrare come gli investitori spesso non usino regole di decisione
ottimizzanti ma ispirate al buon senso o all’esperienza passata. Tale letteratura
prende il nome di finanza comportamentale (behavioural finance).
I.C
Aspettative omogenee
1. Tutti gli investitori condividono le stesse stime delle aspettative sul rendimento
atteso, varianza e covarianza delle diverse attività. Questa ipotesi risulta cruciale
ai fini del CAPM e anch’essa ha dato origine a molte controversie in letteratura.
II
Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali
Come già sappiamo dal modello media-varianza delle scelte di portafoglio, analizzato
nel capitolo precedente, investitori con aspettative omogenee sulle medie, le varianze e le
covarianze dei titoli finanziari condividono la stessa frontiera efficiente (F P E). Ossia, per
investitori con le stesse aspettative, i portafogli efficienti sono situati nello stesso luogo
geometrico nel piano (σ P , µ P ). Dal teorema di separazione sappiamo, inoltre, che tali
investitori detengono un portafoglio che, limitatamente alla sola componente rischiosa, è
uguale per tutti. Le differenze fra gli investitori, dovute a diverse attitudini al rischio (e
alla diversa ricchezza), si esplicano invece nelle diverse proporzioni in cui essi dividono la
propria ricchezza fra il portafoglio rischioso e l’attività priva di rischio.
87

II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali
4. CAPM
In base alle assunzioni del CAPM, tutti gli investitori che operano sul mercato dei capitali
hanno aspettative omogenee e, conseguentemente, detengono attività rischiose nelle
stesse proporzioni. Peraltro, dal momento che il mercato dei capitali è, chiaramente, un
aggregato di tutti gli investitori, logicamente ogni investitore deterrà titoli rischiosi nella
stessa proporzione del mercato. Per tale motivo, sotto le assunzioni del CAPM, il portafoglio
di tangenza, che identifica proprio la combinazione di titoli rischiosi detenuta
da ciascun investitore, viene anche definito portafoglio di mercato e, analogamente, la
frontiera efficiente, costruita combinando in proporzioni differenti il portafoglio di mercato
con il titolo privo di rischio, viene anche indicata come linea del mercato dei capitali
o capital market line (CML).
Definizione 10 (Linea del mercato dei capitali)
La linea del mercato dei capitali, o CML, esprime la relazione di equilibrio tra il rendimento
atteso e il rischio (deviazione standard) dei portafogli efficienti.
In base alla Definizione 10 e dall’analisi sviluppata nel Capitolo 3 si può facilmente
dedurre che l’equazione che caratterizza la CML è data da:
µ P = r 0 +
( )
µM − r 0
σ P (4.1)
σ M
dove µ P e σ P rappresentano il rendimento atteso e la deviazione standard di un generico
portafoglio efficiente P , mentre µ M e σ M esprimono il rendimento atteso e la deviazione
standard del portafoglio di mercato. La CML, quindi, è rappresentata da una retta con
intercetta verticale pari a r 0 e coefficiente angolare (positivo) dato da (µ M − r 0 )/σ M .
µ P
CML
P3
∗
µ PM
P M
σ PM σ P
r 0
P ∗ 1
P ∗ 2
Figura 4.1: Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali (CML)
88

4. CAPM II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali
La Figura 4.1 riporta la linea del mercato dei capitali (CML) che rappresenta, quindi,
il luogo geometrico nello spazio (σ P , µ P ) dei portafogli efficienti. Il portafoglio di mercato,
indicato con P M , è costituito invece dal portafoglio di tangenza tra la CML e la frontiera
efficiente con soli titoli rischiosi. Ovviamente, tutti i portafogli scelti in equilibrio dagli
investitori devono appartenere alla CML. In particolare, nella figura sono stati indicati
tre portafogli ottimali, P1 ∗ , P2
∗ e P3 ∗ , per tre possibili investitori con diverse preferenze.
Esempio 16
Assumete che nel mercato esistano due sole attività rischiose, il titolo A e il titolo B, i cui
tassi attesi e le deviazioni standard dei rendimenti sono riportati nella seguente tabella,
insieme alle proporzioni con cui tali titoli sono detenuti nel portafoglio di mercato:
Titolo µ σ Quote in P M
A 0,1 0,2 0,4
B 0,15 0,28 0,6
Dato un livello di correlazione fra i rendimenti delle attività A e B pari a ρ AB = 0, 3 e
un tasso di rendimento dell’attività priva di rischio r 0 = 0, 05, si calcoli l’equazione della
CML.
Per definire l’equazione della CML occorre innanzitutto calcolare µ M e σ M . In
particolare, il rendimento atteso del portafoglio di mercato è dato da:
µ M = a A µ A + a B µ B = 0, 4(0, 1) + 0, 6(0, 15) = 0, 13
mentre σ M si può ottenere nel modo seguente:
σ M =
√
a 2 A σ2 A + a2 B σ2 B + 2ρ ABa A a B σ A σ B =
= √ (0, 4) 2 (0, 2) 2 + (0, 6) 2 (0, 28) 2 + 2(0, 3)(0, 4)(0, 6)(0, 2)(0, 28) = 0, 2.
Da tali dati, considerando l’Equazione
(
(4.1), si
)
deduce che, in questo esempio, l’equazione
della CML è data da: µ P = 0, 05 + σ P = 0, 05 + 4 σ P .
0,13−0,05
0,2
Prima di passare ad analizzare più dettagliatamente la relazione che sussiste, in equilibrio,
tra rendimento atteso di un singolo titolo e il suo rischio in base alle ipotesi del
CAPM, è opportuno evidenziare ulteriormente alcune importanti proprietà del portafoglio
di mercato che ci porteranno anche a fornirne una definizione più precisa. In primo luogo,
è possibile affermare che tutte le attività finanziarie (rischiose) disponibili sul mercato
saranno presenti nel portafoglio di mercato. In altri termini, non sarà mai possibile che
un’attività finanziaria disponibile abbia una quota pari a zero nel portafoglio di mercato.
89

III. Linea del mercato delle attività
4. CAPM
Per capire questa affermazione occorre tener presente che il concetto di portafoglio di
mercato è un concetto di equilibrio. Se un’attività fosse presente sul mercato ma non
fosse detenuta dagli investitori, si determinerebbe un’eccesso di offerta per quel titolo.
Questo produrrebbe una caduta del suo prezzo e, conseguentemente, un aumento del suo
rendimento atteso (si ricordi la formula generale del rendimento di un titolo). Ma ciò
spingerebbe gli investitori a domandare l’attività per cui, in equilibrio (domanda uguale
all’offerta), il relativo titolo entrerà certamente a far parte, in una qualche proporzione
positiva, del portafoglio di mercato. Analogamente, se un’attività fosse domandata in
una quantità maggiore rispetto a quella disponibile (offerta) sul mercato, il suo prezzo
salirebbe, mentre il rendimento scenderebbe. Ciò spingerebbe gli investitori a ridurre la
domanda del titolo fino a quando domanda e offerta non si equilibrano. Nel portafoglio
di mercato, quindi, il titolo sarà presente proprio nella proporzione per cui il prezzo e il
rendimento (atteso) sono tali da garantire l’uguaglianza tra domanda e offerta. 3
Definizione 11 (Portafoglio di mercato)
Il portafoglio di mercato è il portafoglio composto da tutti i titoli (rischiosi) presenti sul
mercato, dove le quote dei diversi titoli sono quelle detenute in equilibrio dal mercato nel
suo complesso, ossia quelle per cui, per ciascun titolo, la domanda e l’offerta di mercato
sono uguali. 4
III
Linea del mercato delle attività
In base alla Definizione 10, la linea del mercato dei capitali esprime la relazione di
equilibrio tra il rendimento atteso e il rischio (deviazione standard) dei portafogli efficienti.
Peraltro, di per sé, essa non fornisce alcuna indicazione sulla relazione tra il rendimento
atteso e il rischio delle singole attività finanziarie.
Infatti, in generale, i singoli titoli
finanziari (o, più precisamente i portafogli composti esclusivamente da un solo titolo)
non si collocheranno sulla CML, in quanto, come sappiamo dal capitolo precedente,
3 Ovviamente, la condizione di equilibrio dovrà essere soddisfatta anche per il titolo risk-free. In
particolare, il tasso di rendimento di tale titolo dovrà essere tale per cui l’ammontare di risorse prese a
prestito e quelle prestate a quel tasso sono le stesse.
4 Sebbene l’idea di portafoglio di mercato sia piuttosto intuitiva e, ai fini pratici, molto rilevante
(ad esempio, nel portafoglio di mercato dovrebbe investire un fondo comune che intendesse attuare una
strategia passiva di investimento, non scommettendo cioè su un particolare titolo, ma puntando sulla più
ampia diversificazione possibile), individuarlo esattamente, in concreto, non è compito facile. Ad esempio,
quali titoli rischiosi dovrebbero essere inclusi nel portafoglio di mercato (solo azioni o anche obbligazioni)
Solo titoli nazionali o anche stranieri Altri investimenti rischiosi non prettamente finanziari, come quelli
in capitale umano, immobili, metalli preziosi e opere d’arte, andrebbero considerati nel portafoglio di
mercato E in che modo A causa di tali questioni, di non semplice soluzione, generalmente viene fatto
riferimento ad alcune proxy del portafoglio di mercato che consistono negli indici azionari della borsa nel
suo complesso (quale, ad esempio, il FTSE MIB per l’Italia o lo S&P 500 per gli Stati Uniti).
90

4. CAPM III. Linea del mercato delle attività
µ P
CML
P M
P i
r 0
σ P
Figura 4.2: Derivazione della linea del mercato delle attività
portafogli composti da un solo titolo sono generalmente inefficienti. Per approfondire la
relazione che sussiste (in equilibrio) tra il rendimento e il rischio dei singoli titoli occorre
quindi sviluppare un’analisi più dettagliata che, in primo luogo, consisterà nel derivarne
formalmente l’equazione.
III.A
Derivazione della linea del mercato delle attività
Si consideri la Figura 4.2 dove il portafoglio P i è composto dal solo titolo generico
i. Chiaramente, dal momento che con il portafoglio P i i vantaggi della diversificazione
non sono sfruttati, esso non è un portafoglio efficiente per cui non si colloca sulla CML
e neppure sulla frontiera efficiente con soli titoli rischiosi (si trova infatti all’interno della
frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi). Esistono cioè altri portafogli (anche
composti da soli titoli rischiosi) che, rispetto a P i , consentono, a parità di rischio, di ottenere
un rendimento atteso maggiore oppure, a parità di rendimento atteso, conferiscono
all’investitore un più basso rischio.
Ammettiamo adesso di combinare in quote a i e (1 − a i ) il portafoglio P i con il portafoglio
di mercato P M , ottenedo così un nuovo portafoglio P con rendimento atteso e
varianza dati da:
µ P = a i µ i + (1 − a i )µ M (4.2)
91

III. Linea del mercato delle attività
4. CAPM
σP 2 = a 2 i σi 2 + (1 − a i ) 2 σM 2 + 2a i (1 − a i )σ iM . (4.3)
Per ragioni che dovrebbero essere adesso chiare, in base al valore assunto da a i , il
nuovo portafoglio P si collocherà in un punto sulla curva tratteggiata che passa per i
punti P i e P M (si tenga presente che sia P i che P M sono portafogli composti da soli titoli
rischiosi). In particolare, nello spazio (σ P , µ P ), l’inclinazione della curva tratteggiata è
data da dµ P /dσ P , 5 che può essere anche riscritta nel modo seguente:
dµ P
dσ P
= dµ P /da i
dσ P /da i
. (4.4)
Utilizzando l’Espressione (4.2) è semplice calcolare che:
Per calcolare invece dσ P /da i occorre considerare che:
dµ P
da i
= µ i − µ M . (4.5)
dσ 2 P
dσ P
· dσ P
da i
= dσ2 P
da i
⇔ dσ P
da i
dove, utilizzando l’Espressione (4.3), abbiamo che:
= dσ2 P /da i
dσ 2 P /dσ P
(4.6)
e
dσ 2 P
da i
= 2a i σ 2 i − 2(1 − a i )σ 2 M + 2(1 − 2a i )σ iM (4.7)
per cui:
dσ 2 P
dσ P
= 2σ P (4.8)
dσ P
da i
= 2a iσ 2 i − 2(1 − a i )σ 2 M + 2(1 − 2a i)σ iM
2σ P
. (4.9)
L’ultimo passo da compiere consiste nel considerare che in corrispondenza del portafoglio
di mercato P M , la curva tratteggiata in Figura 4.2 è tangente alla linea del mercato
dei capitali, 6 per cui la sua inclinazione, in quel punto, coincide proprio con quella della
CML, ossia (µ M − r 0 )/σ M . Peraltro, in corrispondenza di P M , avremo anche che a i = 0
e P = P M , per cui, utilizzando le Espressioni (4.4), (4.5) e (4.9) (con a i = 0 e σ P = σ M )
otteniamo:
5 Si noti che, trattandosi di una curva, l’inclinazione varia in ogni suo punto.
6 Chiaramente, la curva tratteggiata non può “tagliare” la CML. Se così non fosse, infatti, non tutti
i portafogli sulla CML sarebbero efficienti, il che contrasterebbe con la sua stessa definizione.
92

4. CAPM III. Linea del mercato delle attività
dµ P
dσ P
| ai =0 = (µ i − µ M )σ M
σ iM − σ 2 M
da cui, risolvendo con alcuni passaggi algebrici rispetto a µ i :
σ 2 M
= µ M − r 0
σ M
(4.10)
( )
µM − r 0
E[r i ] ≡ µ i = r 0 +
σ iM . (4.11)
L’Equazione (17) rappresenta una linea retta con intercetta r 0 e inclinazione (µ M −
r 0 )/σM 2 . Poiché l’inclinazione è certamente positiva, essa indica che, in equilibrio, le attività
finanziarie che presentano covarianze con il rendimento del mercato nel suo complesso
σ iM più elevate saranno caratterizzate da rendimenti attesi maggiori. La relazione espressa
dall’Equazione (17) è nota come linea del mercato delle attività o security market
line (SML).
Definendo con β i ≡ σ iM /σM 2 , la SML può anche essere riscritta nel modo seguente:
µ i = r 0 + (µ M − r 0 )β i (4.12)
dove il termine β i è noto come beta dell’attività i-esima ed esprime la reattività del
rendimento di tale attività rispetto a variazioni del rendimento medio del mercato nel suo
complesso (cioè rispetto a varizioni del rendimento del portafoglio di mercato).
Definizione 12 (Linea del mercato delle attività)
La linea del mercato delle attività, o SML, esprime la relazione di equilibrio tra il rendimento
atteso e il rischio delle singole attività finanziarie, dove il rischio è espresso dal
beta delle attività.
L’Equazione (4.12), che, in Figura 4.3, è stata rappresentata graficamente nello spazio
(β i ,µ i ), è il nocciolo del CAPM. Essa esprime il fatto che per calcolare il rendimento
atteso di un titolo finanziario è necessario conoscere due sole cose (oltre all’informazione,
facilmente disponibile, sul tasso di rendimento del titolo privo di rischio): i) il rendimento
atteso del mercato nel suo complesso e ii) il beta del titolo considerato. Essa stabilisce,
inoltre, che in equilibrio sussiste una relazione lineare tra il rendimento atteso di un titolo
e il rischio (espresso dal beta del titolo) ad esso associato.
È importante evidenziare alcune interessanti proprietà dei beta delle attività finanziarie
e della SML. In primo luogo, considerando che σ 0M = 0 e σ MM = σM 2 è immediato
stabilire che β 0 = 0 e β M = 1, ossia il beta dell’attività priva di rischio è nullo, mentre
il beta di mercato è pari a uno. Può poi essere utile ricavare il premio per il rischio
(risk premium) dell’attività i-esima, definito come la differenza fra il rendimento atteso
dell’attività i e il rendimento dell’attività senza rischio, ossia µ i − r 0 . Utilizzando
l’Equazione (4.12), esso è dato da:
93

III. Linea del mercato delle attività
4. CAPM
µ i
β i
r 0
µ M − r 0
SML
Figura 4.3: Linea del mercato delle attività (SML)
µ i − r 0 = (µ M − r 0 )β i . (4.13)
In base all’Equazione (4.13) emerge come per investimenti rischiosi (cioè in attività
caratterizzate da un beta positivo), il premio per il rischio prevede un tasso di rendimento
aggiuntivo proporzionale alla reattività rispetto al mercato. Titoli con coefficienti di
reattività inferiori alla media (β i < 1) dovrebbero comportare un premio per il rischio
inferiore a quello del mercato nel suo complesso. Viceversa, titoli con coefficienti di
reattività superiori alla media (β i > 1) dovrebbero comportare un premio per il rischio
superiore a quello del mercato. Inoltre, dall’Espressione (4.13) emerge anche che potrebbe
(raramente) accadere che un’attività presenti un rendimento atteso più basso di quello
dell’attività priva di rischio, cioè un premio per il rischio negativo. Ciò potrebbe succedere
perchè il suo beta è negativo, ossia se il suo rendimento atteso è correlato negativamente
al rendimento atteso del portafoglio di mercato, ossia ρ iM ≡ σ iM /(σ i σ M ) < 0 (in Figura
4.3 si tratterebbe dei titoli che si collocano sulla SML a sinistra di r 0 ).
Infine, oltre al beta di un’attività è possibile calcolare anche quello di un’intero portafoglio:
quest’ultimo è uguale alla media ponderata dei beta delle attività incluse nel portafoglio,
dove i pesi sono dati dalle quote delle singole attività sul totale del portafoglio.
Formalmente, il beta di un generico portafoglio P è dato da:
β P =
n∑
a i β i . (4.14)
i=1
94

4. CAPM III. Linea del mercato delle attività
Di consequenza, non solo ogni singola attività finanziaria si collocherà sulla SML, ma
anche ciascun portafoglio formato con le attività presenti sul mercato. In particolare,
la relazione di equilibrio tra il rendimento atteso e il rischio di ogni generico portafoglio
P sarà definita dall’equazione µ P = r 0 + (µ M − r 0 )β P . Tutto ciò inoltre consente di
chiarire meglio una delle differenze sostanziali che sussistono tra la linea del mercato dei
capitali (CML) e la linea del mercato delle attività (SML): nella prima sono inclusi
esclusivamente i portafogli efficienti, mentre quelli inefficienti si collocano al di sotto della
linea; nella seconda, invece, si collocano tutti i portafogli, siano essi efficienti o inefficienti
(compresi quelli formati con un solo titolo).
Infine, proprio con riferimento ai portafogli efficienti, cioè i portafogli che si collocano
sulla CML, è possibile utilizzare l’Espressione (4.14) per calcolarne facilmente il relativo
beta. Infatti, per ciascun portafoglio efficiente, P EF F , composto per una quota a 0 dal
titolo risk-free e una quota a M = 1 − a 0 dal portafoglio di mercato, avremo che il relativo
beta sarà dato da (si ricordi che β 0 = 0 e β M = 1):
β EF F = a 0 β 0 + a M β M = a M . (4.15)
Dall’Espressione (4.15) emerge chiaramente come per portafogli efficienti composti in
parte dal titolo privo di rischio e in parte dal portafoglio di mercato (per cui vale a 0 > 0)
avremo che 0 < β EF F = a M < 1, per cui in equilibrio saranno caratterizzati da un premio
per il rischio positivo, ma inferiore a quello del portafoglio di mercato. Viceversa, per
portafogli efficienti con debito (per cui vale a 0 < 0) avremo che β EF F = a M > 1 e,
in equilibrio, il relativo premio per il rischio sarà maggiore di quello del portafoglio di
mercato.
Esempio 17
Si considerino i dati esposti nella seguente tabella in relazioni ai singoli titoli A e B, al
portafoglio di mercato (M) e al titolo risk-free (RF ):
Attività ρ iM σ
A 0,9 0,2
B 0,8 0,09
M 1 0,12
RF 0 0
Considerando che il rendimento del titolo privo di rischio è r 0 = 0, 05 mentre quello
atteso del mercato è µ M = 0, 12, si definisca l’equazione della SML, si calcolino i beta e
i premi per il rischio delle attività A e B e quelli di un portafoglio composto per il 40%
dall’attività A e per il 60% dall’attività B.
95

III. Linea del mercato delle attività
4. CAPM
Utilizzando l’Equazione (4.12), la SML è data da:
µ i = 0, 05 + 0, 07β i .
Inoltre, considerando che σ iM ≡ ρ iM σ i σ M , con i dati a disposizione è facile calcolare i
beta delle due attività:
β A =
0, 9(0, 2)(0, 12)
(0, 12) 2 = 1, 5; β B =
che implicano i seguenti premi per il rischio:
0, 8(0, 09)(0, 12)
(0, 12) 2 = 0, 6
µ A − r 0 = 1, 5(0, 07) = 0, 105; µ B − r 0 = 0, 6(0, 07) = 0, 042. 7
Infine, considerando l’Espressione (4.14), avremo che il beta e il premio per il rischio
del portafoglio saranno, rispettivamente:
β P = 0, 4(1, 5) + 0, 6(0, 6) = 0, 96; µ P − r 0 = 0, 96(0, 07) = 0, 0672.
III.B
Prezzi di equilibrio
Stabiliti come si comportano i rendimenti attesi in equilibrio è possibile esprimere
il tutto anche in termini dei prezzi di equilibrio delle attività. Ricordando la formula
generale per calcolare il tasso atteso di rendimento di un’attività generica i, ossia:
E[r i ] ≡ µ i = E [v i] − p i
p i
(4.16)
sostituendola nell’equazione della SML, cioè nell’Espressione (4.12), otteniamo:
da cui, risolvendo rispetto a p i :
E [v i ] − p i
p i
= r 0 + (µ M − r 0 )β i (4.17)
p i =
E [v i ]
1 + r 0 + (µ M − r 0 )β i
. (4.18)
L’Equazione (4.18) afferma che, in equilibrio, il prezzo dell’attività i, p i , deve essere
pari al valore “scontato” del suo prezzo atteso (o, più in generale, del totale dei suoi payoffs
attesi) E[v i ], dove il tasso di sconto tiene conto del rendimento dell’attività priva di rischio
r 0 (come sarebbe nel caso con investitori neutrali al rischio), ma anche del rischio che il
7 Si noti come, alternativamente, i premi per il rischio si sarebbero potuti ottenere calcolando i
rendimenti attesi di equilibrio dei due titoli utilizzando l’equazione della SML e sottraendo il tasso
risk-free.
96

4. CAPM III. Linea del mercato delle attività
detenere tale attività comporta per l’investitore, ossia β i (µ M − r 0 ); come abbiamo visto
in precedenza, infatti, quest’ultimo termine rappresenta proprio il premio per il rischio
associato all’attività i-esima.
III.C
Disequilibrio e aggiustamento
Come abbiamo visto, la linea del mercato delle attività o SML rappresenta tutte le
combinazioni di rendimento atteso e beta che le attività mostrano in equilibrio se vale
la teoria del CAPM. L’equazione che la caratterizza (Equazione (4.12)) si presta inoltre
a essere verificata empiricamente una volta fissato r 0 e calcolato (tramite dati storici)
il rendimento atteso e il beta di ogni attività. In particolare, il CAPM predice che le
combinazioni effettivamente osservate tra i rendimenti attesi e i beta di tutte le attività
dovrebbero posizionarsi intorno alla SML (la possibilità di un errore statistico nella
realizzazione del rendimento può implicare che la combinazione effettivamente osservata
di rendimento/rischio non si collochi esattamente sulla SML).
µ i
β i
µ O A
µ A
P A
SML
r 0
P B
β A
Figura 4.4: Disequilibrio nel modello CAPM
La SML fornisce anche l’intuizione di cosa dovrebbe succedere se il mercato non fosse
in equilibrio, ossia se si osservasse una combinazione (µ i , β i ) situata fuori della SML. Si
consideri a questo riguardo la Figura 4.4. Come rappresentato in figura, ammettiamo, ad
esempio, che il portafoglio P A , composto solo dal titolo A (ma considerazioni del tutto
analoghe valgono anche per un portafoglio “diversificato, cioè composto da diversi titoli),
presenti una combinazione rendimento atteso/rischio che risulta essere sopra la SML.
97

IV. Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio
4. CAPM
In tale situazione, dato β A , il rendimento atteso di equilibrio sarebbe dovuto essere µ A
(quello corrispondente sulla SML). Invece il rendimento atteso corrente che si osserva
sul mercato è µ O A (l’apice O si riferisce proprio al fatto che si tratta del rendimento atteso
effettivamente osservato) che è inferiore a µ A . In questa situazione l’attività A appare
sottovalutata (undervalued) o sottoprezzata (underpriced). Infatti, ricordando che il tasso
atteso di rendimento di un titolo generico i è dato da µ i = (E[v i ] − p i )/p i = (E[v i ]/p i ) − 1,
dato il valore atteso del prezzo dell’attività A, E[v A ], avremo che:
µ O A = E [v A]
p O A
− 1 > µ A = E [v A]
p A
− 1 ⇔ p O A < p A (4.19)
dove p A è il prezzo dell’attività A corrispondente a µ A , ossia il suo prezzo di equilibrio.
Ovviamente, in tutto questo ragionamento è implicita l’assunzione (alla base del CA-
PM) che gli investitori abbiano aspettative omogenee su E[v A ]. In questo caso, quindi,
poiché l’attività A è sottovalutata, tutti gli investitori (se credono al CAPM) tenderanno
a domandarne una quantità maggiore e ciò produrrà un aumento del prezzo corrente p O A ;
ciò proseguirà fino a che p O A = p A che implica µ O A = µ A, per cui l’attività A si collocherà
adesso sulla SML (in equilibrio). Di converso la coppia rendimento atteso/rischio relativa
all’attività B (rappresentata dal portafoglio P B nella figura), che risulta sotto la SML,
segnala che l’attività B è sopravalutata (overvalued) o sovraprezzata (overpriced). In tale
caso, in base ad un ragionamento analogo al precedente, il prezzo corrente dell’attività B
dovrebbe diminuire, e il suo rendimento atteso salire, fino a che il punto B non sarà sulla
SML.
IV
Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio
Una questione che è importante approfondire è la seguente. In base alle predizioni
del CAPM, in equilibrio, il rendimento atteso di un titolo finanziario dovrebbe dipendere
dal beta del titolo. In altri termini, il beta del titolo esprime il rischio rilevante ai
fini della determinazione del rendimento atteso di equilibrio del titolo. Ma il beta di
un’attività finanziaria non coincide in realtà con il suo rischio complessivo, che è invece
rappresentato dalla varianza del suo rendimento. In particolare, in base al modello CAPM,
indicando con ε i un termine di errore statistico con valore atteso nullo (E[ε i ] = 0) relativo
al rendimento del titolo i-esimo, in equilibrio, il rendimento effettivamente osservato di
tale titolo dovrebbe risultare pari a:
r i = r 0 + (r M − r 0 )β i + ε i (4.20)
98

4. CAPM IV. Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio
che, sotto l’ipotesi che le variabili r M (il tasso di rendimento del portafoglio di mercato)
e ε i non siano correlate (ossia, E[r M ε i ] = 0), implica che la varianza dei rendimenti del
titolo i, σ 2 i , può essere espressa come: 8
σ 2 i = β 2 i σ 2 M + σ 2 ε i
. (4.21)
L’Equazione (4.21) mostra che il rischio complessivo associato all’attività i può essere
scomposto nella somma di un rischio connesso alle fluttuazioni del mercato, chiamato
anche rischio sistematico o rischio di mercato, ossia βi 2 σM 2 , e di un rischio specifico
della sola attività i-esima, chiamato anche rischio idiosincratico o rischio non di mercato,
ossia σ 2 ε i
. La questione che quindi può sorgere spontanea è perché, in equilibrio, il
rendimento atteso del titolo non dipende dal suo rischio complessivo o, in altri termini,
perché la componente di rischio non di mercato (che non dipende dal beta del titolo) non
contribuisce a determinarne il rendimento atteso
Per fornire l’intuizione sulla risposta a tale questione, si consideri innanzitutto che,
poiché l’Espressione (4.21) vale per ogni singola attivitá finanziaria, essa deve valere anche
per ciascun portafoglio P composto da differenti titoli:
σP 2 = βP 2 σM 2 + σε 2 P
(4.22)
dove σε 2 P
rappresenta la varianza del termine di errore relativo al rendimento dell’intero
portafoglio P , con ε P = ∑ i a iε i (dove a i è la quota del titolo i presente nel portafoglio
P ).
Sotto certe condizioni e tramite un’adeguata scelta delle quote a i che compongono
il portafoglio (in altri termini, tramite un’adeguata diversificazione dell’investimento), si
può adesso dimostrare come sia possibile eliminare la componente idiosincratica del rischio
associato al portafoglio (che si ricollega alla componente idiosincratica, o non di mercato,
del rischio delle singole attività che lo compongono). In particolare, assumiamo che: i) il
numero di attività presenti in portafoglio sia N con a i = 1/N (ad esempio, se N = 100
ciascun titolo è presente in una quota pari all’ 1% dell’intero portafoglio); e ii) i termini
8 Infatti:
[
σi 2 = E
[
(r i − µ i ) 2] = E
[
(r i − r 0 − β i (µ M − r 0 )) 2] =
= E (r 0 + β i (r M − r 0 ) + ε i − r 0 − β i (µ M − r 0 )) 2] =
[
= E (β i (r M − µ M ) + ε i ) 2] ]
= E
[β i 2 (r M − µ M ) 2 + ε 2 i + 2β i (r M − µ M ) ε i =
= β 2 i σ 2 M + σ 2 ε i
+ 2β i E [(r M − µ M ]) ε i ] .
Sotto l’ipotesi che E[(r M − µ M ) ε i ] = 0, ossia che E[r M ε i ] = 0, otteniamo il risultato riportato
nell’Equazione (4.21).
99

IV. Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio
4. CAPM
di errore dei rendimenti dei diversi titoli siano tra loro non correlati (σ εi ε j
i ≠ j). In tali circostanze, avremo che:
= 0, ∀i, j con
σ 2 ε P
=
N∑
a 2 i σε 2 i
=
i=1
N∑
( ) 2 1
σε 2 N i
= 1 N
i=1
N∑
i=1
σ 2 ε i
N . (4.23)
In base all’Espressione (4.23), sotto condizioni molto generali, ossia che la media delle
varianze dei termini di errore, ∑ i σ2 ε i
/N, sia limitata al crescere di N (questo succede se
le varianze sono finite), otteniamo che quando N → ∞ allora σε 2 P
→ 0. In altri termini,
tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio di investimento, il ruolo della componente
idiosincratica di rischio delle singole attività che compongono il portafoglio può
essere completamente eliminata. 9 Ciò, inoltre, fornisce anche una spiegazione del perché,
in base al modello CAPM, solo il rischio di mercato di un’attività finanziaria determina il
suo rendimento atteso di equilibrio: infatti, in equilibrio (dove sono sfruttate tutte le opportunità
di ridurre il rischio tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio), solo la
componente di rischio dell’attività che non può essere eliminata tramite la diversificazione
(ossia la componente di rischio di mercato) giocherà un ruolo rilevante nel determinarne
il rendimento atteso (e, con esso, il prezzo e il premio per il rischio).
Dobbiamo infine osservare che diversificare il portafoglio può non essere l’unico modo
per diminuire il rischio idiosincratico. In effetti, l’investitore potrebbe decidere di
impiegare delle risorse per ottenere un’informazione più precisa sulle caratteristiche di alcune
particolari attività. Questo comporterebbe una diminuzione della varianza relativa
al rendimento atteso di queste particolari attività e quindi una riduzione della varianza
complessiva del portafoglio.
Esempio 18
Ipotizzando che la deviazione standard del rendimento del portafoglio di mercato sia
σ M = 15, 2, si calcolino il rischio di mercato e quello idiosincratico (non di mercato) delle
tre attività A, B e C, i cui dati rilevanti sono riportati nella tabella sottostante:
9 Si osservi che se esiste una covarianza non nulla fra i termini di errore dei rendimenti allora non
è possibile, in generale, concludere che il rischio idiosincratico possa essere annullato. A tal proposito,
è interessante notare che, rigorosamente, l’ipotesi assoluta di covarianze nulle non è coerente con il
modello CAPM. Infatti, nel CAPM, esiste in equilibrio una correlazione positiva fra le diverse componenti
idiosincratiche dei rendimenti delle attività. In realtà, la conclusione che abbiamo appena raggiunto vale
anche nel CAPM, ma la dimostrazione risulta più complicata in quanto implica l’applicazione di una
versione della Legge dei Grandi Numeri che permetta una minima covarianza fra i rendimenti.
100

4. CAPM V. Indici di performance basati sul CAPM
Attività β σ
A 0,66 14,6
B 1,11 28,9
C 1,02 85,4
Innanzitutto, con i dati a disposizione è semplice calcolare il rischio di mercato delle
tre attività:
β 2 Aσ 2 M = (0, 66) 2 (15, 2) 2 ≃ 100, 64
β 2 Bσ 2 M = (1, 11) 2 (15, 2) 2 ≃ 284, 66
β 2 Cσ 2 M = (1, 02) 2 (15, 2) 2 ≃ 240, 37.
Inoltre, utilizzando l’Espressione (4.21), in generale, il rischio idiosincratico di un titolo
può essere calcolato come σε 2 i
= σi 2 − βi 2 σM 2 , per cui avremo che:
σε 2 A
≃ (14, 6) 2 − 100, 64 = 103, 76
σε 2 B
≃ (28, 9) 2 − 284, 66 = 550, 55
σε 2 C
≃ (85, 4) 2 − 240, 37 = 7052, 79.
Si noti come, sebbene il rendimento del titolo C abbia una varianza complessiva molto
alta, gran parte di tale variabilità è riconducibile alla componente non di mercato del
rischio del titolo. Siccome la componente di rischio non di mercato può essere eliminata
con la diversificazione, ciò comporta che rispetto al titolo B, che presenta una variabilità
complessiva del rendimento meno elevata, il beta del titolo C sia minore. A sua volta,
ciò implicherà che, sebbene nel complesso C sia più rischioso di B, il rendimento atteso
di equilibrio del primo titolo sarà meno elevato di quello del secondo.
V
Indici di performance basati sul CAPM
Nel capitolo precedente abbiamo introdotto e analizzato alcuni indici di performance
per singole attività finanziarie o per interi portafogli di investimento collegati al concetto di
frontiera efficiente. Adesso, presenteremo ulteriori indici di performance più strettamente
connessi al modello CAPM. 10 A tale riguardo, un primo indice utilizzato in letteratura è
10 L’indice di Sharpe, già analizzato nel Cap. 3, può essere interpretato anche in termini del CAPM.
Infatti, in base a tale modello, ogni portafoglio detenuto dagli investitori in equilibrio (cioè che appartiene
alla CML) deve presentare lo stesso valore in termine dell’indice di Sharpe. Inoltre, se un portafoglio
101

V. Indici di performance basati sul CAPM 4. CAPM
l’indice di Treynor che, per una generica attività (o un generico portafoglio) i è definito
come segue:
t i = µ i − r 0
β i
(4.24)
da cui emerge che tale indice esprime il premio per il rischio dell’attività considerata,
µ i − r 0 , normalizzato per il rischio dell’attività in termini del suo beta. Ad esempio, poiché
il beta del portafoglio di mercato è uguale a uno, il suo indice di Treynor sarà µ M −r 0 .
Inoltre, tutti i portafogli efficienti, che si collocano come il portafoglio di mercato sulla
CML, saranno anch’essi caratterizzati dallo stesso indice di Treynor del portafoglio di
mercato. Di consequenza, un’attività (o un portafoglio) il cui indice di Treynor è maggiore
di µ M −r 0 sta mostrando un rendimento “anormalmente” alto rispetto all’equilibrio del
CAPM. Questo dovrebbe spingere gli investitori a comprare tale attività. Inoltre, analogamente
per gli altri indici analizzati nel capitolo precedente, è anche possibile utilizzare
l’indice di Treynor per classificare attività/portafogli alternativi, preferendo quelle/i con
l’indice più elevato.
Un altro indice simile a quello di Treynor è l’indice di Jensen che, per l’attività
i-esima, deriva dalla seguente espressione:
e, più precisamente, è dato da:
µ i − r 0 = J i + (µ M − r 0 ) β i (4.25)
J i = µ i − r 0 − (µ M − r 0 ) β i . (4.26)
Valori dell’indice di Jensen maggiori di zero significano che l’attività considerata sta
facendo meglio di quanto dovrebbe rispetto all’equilibrio (ossia, ha un rendimento atteso
anormalmente alto rispetto all’equilibrio previsto dal CAPM) e quindi vi è convenienza
a comprarla; viceversa se J i è negativo. Anche l’indice di Jensen può essere utilizzato
per classificare diverse attività o portafogli e, a questo proposito, è utile osservare che
esso fornisce lo stessa classificazione dell’indice di Treynor per le attività (portafogli) con
beta positivo, ma non per quelle con beta negativo (infatti, è immediato verificare che
t i = J i /β i + µ M − r 0 ossia J i = (t i − µ M + r 0 )β i ).
Esempio 19
Ipotizzando che il rendimento atteso di mercato sia µ M = 0, 15, mentre il tasso di rendimento
del titolo privo di rischio sia r 0 = 0, 05, si stabilisca, in base ai valori riportati
presenta un indice di Sharpe più basso di un altro portafoglio, allora il primo non potrà appartenere alla
CML e, quindi, non potrà essere un portafoglio di equilibrio (ossia un portafoglio efficiente).
102

4. CAPM V. Indici di performance basati sul CAPM
nella seguente tabella, quale delle attività A e B presenta la migliore performance in base
all’indice di Jensen.
Titolo µ σ β
A 0,12 0,4 0
B 0,18 0,3 1,5
Calcolanda l’indice di Jensen delle due attività otteniamo:
e
J A = 0, 12 − 0, 05 − (0, 15 − 0, 05)0 = 0, 07
J B = 0, 18 − 0, 05 − (0, 15 − 0, 05)1, 5 = −0, 02
da cui emerge chiaramente come, in base alla teoria del CAPM, il titolo A abbia una
performance migliore di quella del titolo B.
Si noti come non saremmo certamente arrivati a tale conclusione se si fossero considerati
soltanto i valori del rendimento atteso e della deviazione standard (senza considerare i
beta) dei due titoli. Infatti, il titolo B ha un rendimento atteso maggiore e una deviazione
standard minore del titolo A. Ma, come sappiamo, nel CAPM ciò che rileva come rischio
di un titolo è il suo beta e non la deviazione standard!
Da ciò deriva anche che per confrontare il rendimento atteso di due titoli a parità
di rischio, occorre farlo tra due titoli con lo stesso beta. Tale considerazione ci aiuta
ulteriormente a capire perchè il titolo A è un “buon titolo” (cioè un titolo con una buona
performance), mentre lo stesso non vale per il titolo B (che addirittura presenta un indice
di Jensen negativo). Infatti, il rendimento atteso del titolo A può essere confrontato con
quello del titolo privo di rischio (entrambi infatti hanno un beta pari a zero e, quindi,
sono comparabili dal punto di vista del rischio) notando come il rendimento del titolo A
sia relativamente elevato (0, 12 contro 0, 05).
Invece, il rendimento atteso del titolo B deve essere confrontato con quello di un’attività
(portafoglio) con lo stesso beta. Ad esempio, potrebbe essere confrontato con il
rendimento atteso di un portafoglio composto per una quota pari a 1, 5 dal portafoglio
di mercato e una quota pari a −0, 5 dal titolo privo di rischio; infatti, il beta di questo
portafoglio (con debito) è proprio 1, 5. Inoltre, (ricordando che µ M = 0, 15 e r 0 = 0, 05)
il suo rendimento atteso sarà −0, 5(0, 05) + 1, 5(0, 15) = 0, 2; quindi, a parità di rischio,
fornisce un rendimento maggiore di quello del titolo B (che è 0,18).
103

V. Indici di performance basati sul CAPM 4. CAPM
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Cap. 6.
• Barucci E., Teoria dei mercati finanziari, il Mulino, 2000; Cap. 5.
• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999; Cap.
9.
104