Le travi reticolari: esercizio svolto - Sei

modulo D L’acciaio
Unità 4 Strutture in acciaio
1
ESERCIZIO
SVOLTO
Le travi reticolari
La copertura di una tettoia aperta presenta una struttura portante principale costituita di travi
reticolari in acciaio S235 con le caratteristiche riportate in figura a. Progettare e verificare le
aste di corrente e di parete più sollecitate, sapendo che su ogni nodo del corrente superiore
grava un carico P = 30 kN.
a
Essendo la travatura vincolata a semplice appoggio alle estremità, le aste a 4 e a 5 del corrente superiore
sono maggiormente compresse, mentre le aste a 13 e a 14 sono soggette al maggiore sforzo di
trazione.
Le aste diagonali di parete sono discendenti verso la mezzeria e pertanto sono tese e il maggiore
sforzo si verifica nelle aste a 19 e a 33 ; qualora le aste diagonali fossero state ascendenti, i relativi
sforzi sarebbero stati di compressione.
I montanti verticali sono sollecitati a compressione con valore massimo dello sforzo nelle aste
a 20 e a 32 .
I correnti saranno realizzati con angolari ad ali disuguali, mentre per le aste di parete saranno
impiegati angolari con ali uguali; tutte le aste saranno ottenute con l’accoppiamento di due profili
semplici, realizzato mediante imbottitura con piatto in acciaio, spessore 8 mm.
Si procede ora alla determinazione degli sforzi nelle aste citate con il metodo di Ritter e quindi
verrà effettuato il calcolo di progetto.
Le reazioni valgono:
R A = R B = 9⋅ P
2 = 9 × 30 = 135 kN
2
Aste di corrente a 4 e a 5
Effettuata la sezione secondo le aste a 4 , a 25 , a 14 , con centro dei momenti in B, per l’equilibrio alla
rotazione si deve avere:
(R A − P) ⋅ 7,20 − P ⋅ 5,40 − P ⋅ 3,60 − P ⋅ 1,80 + F 4 ⋅ 1,80 = 0
105 × 7,20 − 30 × 5,40 − 30 × 3,60 − 30 × 1,80 + F 4 ⋅ 1,80 = 0
F 4 =− 432 =−240 kN (compressione)
1,80
Si impiega una sezione costituita di due angolari 100 × 65 × 9 accoppiati alla distanza d = 8 mm,
che presenta le seguenti caratteristiche geometriche e statiche [fig. b] ricavate dalle tabelle:
A = 14,20 × 2 = 28,40 cm 2
i x = i max = 3,15 cm i y = i min = 2,69 cm
i 1 min = 1,39 cm
I due angolari vengono collegati con imbottiture disposte a un interasse:
L 0 = 60 cm < 50 ⋅ i 1 min = 50 × 1,39 = 69,50 cm
U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 © SEI, 2010

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La lunghezza libera di inflessione è l 1 = β ⋅ l = 1 × 180 = 180 cm.
La sezione appartiene al gruppo II per cui la snellezza equivalente risulta:
λ eq = λ y2 + λ 12 =
⎛
⎜
⎝
l 1
i y
⎞
⎟
⎠
λ x = l 1
i x
= 180
3,15 ≈ 57,14
b
2
⎛
+ L 0
⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
i 1min
2
=
⎛ 180 ⎞
⎝ 2,69⎠
Essendo λ eq > λ x , il coefficiente ω viene ricavato in funzione di λ eq e dalla tabella 4 dell’Unità 1 si
ottiene ω = 1,62.
La tensione massima risulta:
01,62 × 240 × 10 3
σ = ω ⋅ F 4
≈ 136,90 N/mm 2 < σ adm
A = 28,40 × 10 2
Si effettua ora la verifica del profilato singolo per il tratto compreso fra l’interasse delle imbottiture,
per cui, essendo L 0 = 60 cm, si ha:
λ = L 0
= 60
i 1min 1,39 ≈ 43,17 ≈ 43
e dalla tabella 4 dell’Unità 1 si ottiene ω = 1,16 per cui si ha:
2
+
⎛ 60 ⎞
⎝1,39
⎠
2
≈ 79,63 ≈ 80
σ =
ω ⋅ F 4
2
A
=
1,16 × 120 × 103
28,40 × 10 2 ≈ 98,03 N/mm 2 < σ adm
Aste montanti di parete a 20 e a 32
Effettuata la sezione secondo le aste a 1 , a 20 , a 16 , si ha:
R A − P + F 20 = 0 135 − 30 + F 20 = 0
F 20 =−105 kN (compressione)
Si impiegano due angolari a lati uguali 60 × 6,
accoppiati a farfalla con imbottiture alternate realizzate
mediante piatti con spessore di 8 mm [fig. c].
Dalle tabelle si ricava:
A = 6,90 × 2 = 13,80 cm 2
i x = 3,18 cm
i y = 2,29 cm
i 1 min = 1,17 cm
c
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I calastrelli alternati vengono disposti a interasse:
L 0 = 45 cm < 50 ⋅ i 1 min = 50 × 1,17 = 58,50 cm
Il rapporto di snellezza relativo all’intera asta vale:
λ = l 1
= 180 ≈ 78,60 ≈ 79
i y 2,29
e dalla tabella 4 dell’Unità 1 si ricava ω = 1,60, per cui la tensione massima è:
σ = ω ⋅ F 20
A =
1,60 × 105 × 10 3
13,80 × 10 2
≈ 121,74 N/mm 2 < σ adm
La verifica viene ora effettuata per il tratto di asta compreso fra due imbottiture:
λ = L 0
= 45
i 1min 1,17 ≈ 38,46 ≈ 39
e dalla tabella 4 dell’Unità 1 si ricava ω = 1,12, per cui:
σ =
ω ⋅ F 20
2
A
=
01,12 × 52,5 × 10 3
13,80 × 10 2
85,22 N/mm 2 < σ adm
Aste montanti a 9 e a 18
Lo sforzo in ogni asta equivale alla reazione V A = 135 kN ed è di compressione; vengono realizzate in
modo uguale al corrente superiore, cioè come le aste a 4 e a 5 , il cui sforzo è superiore a quello delle aste
a 9 e a 18 e pertanto non occorre effettuare la verifica.
Aste diagonali di parete a 19 e a 33
Sono soggette a trazione con uno sforzo che si ottiene con l’equazione di equilibrio alla traslazione:
≈
R A − P − F 19 ⋅ sen 45° = 0 135 − 30 − F 19 ⋅ sen 45° = 0
F 19 = 105 ≈ 148,49 kN
sen 45°
(trazione)
A = F 19
σ adm
=
148,49 × 10 3
160
≈ 928 mm 2
Viene impiegata una sezione con due angolari a lati uguali 45 × 6 disposti a farfalla, con A =
= 10,20 cm 2 = 1020 mm 2 , accoppiati con imbottiture alternate ogni 64 cm circa.
Aste del corrente inferiore a 14 e a 13
Effettuata la sezione secondo le aste a 4 , a 25 , a 14 , con l’equazione di equilibrio alla rotazione rispetto
al punto A si ricava lo sforzo di trazione nelle aste che risulta:
(R A − P) ⋅ 5,40 − P ⋅ 3,60 − P ⋅ 1,80 − F 14 ⋅ 1,80 = 0
105 × 5,40 − 30 × 3,60 − 30 × 1,80 − F 14 ⋅ 1,80 = 0
405
F 14 = = 225 kN (trazione)
1,80
Viene usata la medesima sezione del corrente superiore per cui viene effettuato solo il calcolo di
verifica:
0225 × 10 3
σ = F 14
= 79,23 N/mm 2 < σ
28,40 × 10 2
adm
A =
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VERIFICA
Progettare con il M.T.A. l’asta di una travatura reticolare in acciaio S235 soggetta allo sforzo assiale
di compressione N c = 150 kN, con lunghezza l = 2,00 m.
L’asta dovrà essere realizzata con due angolari ad ali uguali accoppiati a T, collegati con imbottiture.
[in prima approssimazione A = 1500 mm 2 con ω = 1,6;
sezione costituita da due angolari 70 × 7 accoppiati alla distanza d = 10 mm (gruppo II),
collegati con imbottiture a interasse L 0 = 50 cm; λ eq ≈ 71,52;
per λ x = 94,34 ≈ 94 > λ eq si ha ω = 1,88; per l’intera asta: σ = 150 N/mm 2 ;
per il tratto L 0 del profilato singolo: per λ = 36,76 ≈ 37 si ha ω = 1,11, σ = 88,56 N/mm 2 ]
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