capitolo 7
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Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 77<br />
CAPITOLO VII<br />
Il metodo delle singolarità idrodinamiche<br />
§ 1. - Il potenziale complesso.<br />
Dato che l’equazione di Laplace non risulta di facile gestione, si<br />
ricorre ad altri metodi, tra i quali il metodo delle singolarità.<br />
Come abbiamo visto, per un moto piano e stazionario valgono le<br />
condizioni di Chauchy-Riemann:<br />
u = ∂ϕ<br />
∂x = ∂ψ<br />
∂y<br />
v = ∂ϕ<br />
∂y = −∂ψ ∂x .<br />
Queste sono condizioni di analiticità, cioè le funzioni di punto<br />
ϕ(x, y) e ψ(x, y), sono funzioni analitiche e ne godono quindi tutte le<br />
proprietà.<br />
In particolare esiste un potenziale complesso w tale che la sua<br />
parte reale è costituita dal potenziale ϕ e la parte immaginaria dalla<br />
funzione di corrente ψ:<br />
w(z) = ϕ(x, y) + iψ(x, y) (1)<br />
dove z è la variabile complessa che in forma cartesiana risulta:<br />
z = x + iy<br />
com’è noto abbiamo, per le coordinate polari r e θ, anche una forma<br />
trigonometrica:<br />
z = r(cos θ + i sin θ)
78 E. Buffoni Idrodinamica<br />
e per la relazione di Euler, che si dimostra confrontando gli sviluppi<br />
in serie, abbiamo l’uguaglianza:<br />
e iθ = cos θ + i sin θ<br />
abbiamo infine la forma esponenziale:<br />
z = re iθ .<br />
Si ricorda inoltre che il numero complesso coniugato rappresenta<br />
il punto simmetrico rispetto all’asse reale: z ∗ = x − iy e che zz ∗<br />
rappresenta il modulo al quadrato r 2 = x 2 + y 2 .<br />
Allo stesso modo si può definire la velocità complessa, che contiene<br />
le due componenti:<br />
e la sua coniugata:<br />
U = u + iv<br />
U ∗ = u − iv.<br />
La derivata delle funzioni analitiche gode di proprietà che ne semplificano<br />
molto il calcolo, in particolare il potenziale complesso può<br />
essere derivato solo lungo l’asse reale:<br />
dw<br />
dz = ∂w<br />
∂x = ∂ϕ<br />
∂x + i∂ψ ∂x<br />
e per le condizioni di Cauchy-Riemann avremo:<br />
dw<br />
dz = ∂ϕ<br />
∂x − i∂ϕ ∂y .<br />
Pertanto dato che le derivate parziali al secondo membro rappresentano<br />
rispettivamente le componenti u e v, possiamo scrivere in<br />
definitiva:<br />
dw<br />
dz = u − iv = U ∗ . (2)
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 79<br />
Quindi la derivata del potenziale complesso è uguale alla velocità<br />
complessa coniugata. Questa relazione è fondamentale per determinare<br />
il potenziale complesso, infatti basterà scrivere la velocità<br />
complessa, poi la sua coniugata ed infine integrare la (2).<br />
Il potenziale complesso gode inoltre della proprietà additiva per<br />
cui il potenziale di un moto composto risulta uguale alla somma<br />
dei potenziali di moti piú semplici. In generale questi moti semplici<br />
presentano delle singolarità. cioè dei punti un cui la velocità tende<br />
all’infinito e, per in teorema di Bernoulli, anche la pressione diverge<br />
in valore assoluto. Pertanto questo modo di risolvere i problemi in<br />
idrodinamica assume appunto il nome di metodo delle singolarità.<br />
§2. - Il moto uniforme.<br />
Il piú semplice dei moti che si hanno in idrodinamica è il moto<br />
uniforme, cioè in ogni punto del piano abbiamo un vettore di velocità<br />
costante in modulo, direzione e verso, inoltre è l’unico a non avere<br />
una singolarità.<br />
Se infatti abbiamo un vettore velocità, costante ⃗ U in tutto il piano<br />
ed in generale inclinato di un angolo α rispetto all’asse delle ascisse,<br />
possiamo scriverne le componenti:<br />
u = U cos α<br />
v = U sin α.<br />
Pertanto la velocità complessa sarà data da:<br />
U = U(cos α + i sin α)<br />
e la complessa coniugata:<br />
U ∗ = U(cos α − i sin α)<br />
quindi, per la formula di Euler:<br />
U ∗ = Ue −iα ,
80 E. Buffoni Idrodinamica<br />
pertanto per la (2) avremo:<br />
dw<br />
dz = Ue−iα ,<br />
che integrata fornisce immediatamente il potenziale complesso del<br />
moto uniforme:<br />
w = Ue −iα z. (3)<br />
Nel caso particolare di flusso lungo l’asse x da destra verso sinistra,<br />
con α = 0, la precedente si riduce a:<br />
Figura 1: Il moto uniforme.<br />
w = Uz (4)<br />
ossia, con z in forma cartesiana:<br />
w = Ux + iUy<br />
pertanto abbiamo:<br />
ϕ = Ux<br />
ψ = Uy.
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 81<br />
Il reticolo idrodinamico è quindi costituito da una sorta di centuriazione,<br />
o di scacchiera, cioè dei quadrati formati dalle linee equipotenziali<br />
a x = cost. e dalle linee di corrente ad y = cost.<br />
Nel caso generale avremo:<br />
w = Ue −iα re iθ = Ure i(θ−α)<br />
cioé il reticolo sará inclinato di α rispetto all’asse reale.<br />
§3. - Sorgenti e pozzi.<br />
Per sorgenti e pozzi intendiamo delle entità fisico-matematiche,<br />
dei punti dai quali scaturisce del fluido oppure scompare della materia.<br />
In inglese per esempio si distingue il pozzo comune, detto well<br />
ed il precedente, chiamato sink.<br />
Consideriamo una sorgente nell’origine, da essa scaturisce una<br />
portata Q per unità di profondità, il fluido si diffonde in tutte le<br />
direzioni del piano in modo isotropo, quindi la velocità radiale V<br />
sarà data da:<br />
V =<br />
Q<br />
2πr . (5)<br />
La sorgente è pertanto una singolarità, perché per r → 0 V → ∞.<br />
La velocità complessa sarà:<br />
e la complessa coniugata:<br />
U = V (cos θ + i sin θ)<br />
U ∗ = V (cos θ − i sin θ).<br />
Quindi per la (2) e la (5) abbiamo:<br />
dato che z = re iθ avremo:<br />
dw =<br />
Q dz<br />
2πr e , iθ
82 E. Buffoni Idrodinamica<br />
dw = Q 2π<br />
dz<br />
z ,<br />
che integrata fornisce il potenziale complesso di una sorgente:<br />
w = Q ln z. (6)<br />
2π<br />
Per evidenziare il reticolo idrodinamico scriviamo la (6) in coordinate<br />
polari:<br />
quindi abbiamo:<br />
w = Q 2π ln r + i Q 2π θ,<br />
ϕ = Q 2π ln r<br />
ψ = Q 2π θ.<br />
Pertanto il reticolo è costituito da cerchi concentrici che rappresentano<br />
le linee equipotenziali, mentre le particelle seguono delle<br />
semirette uscenti dall’origine, che sono le linee di corrente coincidenti<br />
con le traiettorie. Questo reticolo somiglia ad una carta stereografica<br />
polare con i paralleli normali ad i meridiani come deve essere perché<br />
costituiti da due famiglie di curve ortogonali.<br />
Se la sorgente non è nell’origine, ma in un punto z o occorre una<br />
trasposizione delle coordinate per cui la (6) diviene:<br />
w = Q 2π ln (z − z o).<br />
Per i pozzi la trattazione è analoga salvo cambiare il segno, essi<br />
infatti possono essere considerati come delle sorgenti negative.<br />
Applichiamo adesso il teorema di Bernoulli per vedere l’andamento<br />
delle pressioni o dei carichi:
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 83<br />
per cui<br />
p<br />
γ + V 2<br />
2g = H<br />
p<br />
γ = H − V 2<br />
2g<br />
e sostituendo il valore di V ottenuto dalla (5) abbiamo:<br />
p<br />
γ = H −<br />
Q2<br />
8π 2 gr , 2<br />
da quest’ultima relazione notiamo ancora la presenza della singolarità,<br />
la pressione infatti tende a −∞ per r → 0.<br />
§ 4. - Il vortice potenziale.<br />
Nell’origine degli assi abbiamo adesso un filamento vorticoso con<br />
una piccola area σ che ruota in senso antiorario alla velocità angolare<br />
ω. Sappiamo, in base al teorema di Stokes, che la circolazione Γ é<br />
data dalla definizione:<br />
Γ = 2πrV<br />
per cui la velocità V lungo la circonferenza di raggio r sarà data dalla<br />
relazione:<br />
V =<br />
Γ<br />
(7)<br />
2πr<br />
che prende il nome di velocità indotta in analogia alla classiche esperienze<br />
di Biot e Savart sul campo magnetico formato da una corrente<br />
elettrica. Nel nostro caso la corrente viene sostituita dal vettore<br />
velocità angolare ed il campo magnetico dalla velocità V 1 .<br />
1 Anche in questo caso notiamo la presenza della singolarità nell’origine, con<br />
la velocità V → ∞ per r → 0.
84 E. Buffoni Idrodinamica<br />
Possiamo pertanto scriverne le componenti:<br />
u = −V sin θ<br />
La velocità complessa sarà:<br />
e la complessa coniugata:<br />
v = V cos θ.<br />
U = V (− sin θ + i cos θ)<br />
U ∗ = −V (sin θ + i cos θ).<br />
moltiplicando ambo i membri per l’immaginario i (i 2 = −1), abbiamo:<br />
ossia:<br />
Quindi essendo:<br />
pertanto possiamo scrivere:<br />
iU ∗ = −V (i sin θ − cos θ).<br />
U ∗ = V (cos θ − i sin θ).<br />
i<br />
dw<br />
dz = V i e−iθ<br />
dw =<br />
Γ<br />
dz,<br />
i2πreiθ dato che z = re iθ avremo in definitiva:<br />
dw = − iΓ dz<br />
2π z ,<br />
che integrata fornisce il potenziale complesso di un vortice nell’origine:
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 85<br />
w = − iΓ ln z. (8)<br />
2π<br />
Per evidenziare il reticolo idrodinamico scriviamo la (8) in coordinate<br />
polari:<br />
quindi avremo:<br />
w = − iΓ<br />
2π ln r + Γ 2π θ,<br />
ϕ = Γ 2π θ<br />
ψ = − Γ ln r.<br />
2π<br />
Figura 2: Il reticolo idrodinamico del vortice potenziale.<br />
Pertanto le linee equipotenziali sono delle semirette uscenti dall’origine,<br />
mentre le linee di corrente sono rappresentate da dei cerchi<br />
concentrici.
86 E. Buffoni Idrodinamica<br />
Anche in questo caso abbiamo una carta del tipo stereografica<br />
polare con le linee di flusso ed equipotenziali invertite rispetto al<br />
caso della sorgente o del pozzo.<br />
§ 5. - Il vortice composto di Rankine.<br />
Se applichiamo il teorema del Bernulli al campo di moto del paragrafo<br />
precedente osserviamo che la superficie piezometrica tende verso<br />
−∞ per r → 0, infatti:<br />
inoltre per il teorema di Stokes:<br />
p<br />
γ = H − V 2<br />
2g<br />
Γ = 2ωπa 2<br />
dove a è il raggio del filamento vorticoso con velocità V = ωr.<br />
Pertanto il carico cinetico in corrispondenza del raggio a sarà:<br />
V 2<br />
2g = ω2 a 2<br />
2g .<br />
Se il filamento vorticoso fosse infinitamente piccolo, cioè a → 0,<br />
per la (9) il carico tenderebbe verso −∞. Ma in natura questo non<br />
può accadere, ed allora si forma un nucleo di dimensioni finite che<br />
ruota come un corpo rigido, cioè come un vortice forzato. Quindi<br />
per r ≤ a abbiamo il vortice forzato con V = ωr e la piezometrica<br />
assume la forma di un paraboloide di rivoluzione:<br />
per r = a abbiamo quindi:<br />
p<br />
γ = ω2 r 2<br />
2g<br />
p<br />
γ = ω2 a 2<br />
2g<br />
Da questo punto in poi, per r > a abbiamo il vortice potenziale<br />
dove le velocità seguono la (7), mentre la piezometrica assume la
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 87<br />
Figura 3: Il vortice composto di Rankine.<br />
forma di un iperboloide di rivoluzione secondo la (9). La profondità<br />
della depressione formata dal vortice di Rankine vale pertanto<br />
ω 2 a 2 /g, per metà dovuta al nucleo e per la parte superiore al moto<br />
potenziale.<br />
Il carico totale H è un paraboloide (p/γ = ω 2 r 2 /g)per r < a,<br />
mentre risulta costante al di fuori del nucleo.<br />
Sia per il fluido ideale, che per un fluido newtoniano si dimostra<br />
la validità della relazione (7). Notiamo inoltre che nel nucleo non si<br />
ha alcuna dissipazione di energia perché i gradienti di velocità sono<br />
nulli 2 , mentre all’esterno, per la (7), abbiamo le tensioni tangenziali<br />
che tendono a frenare il nucleo e, una volta cessata la causa, ne<br />
provocano il dissolvimento.<br />
I vortici osservati nei fiumi, le trombe d’aria, i tornado, i twisters,<br />
sono tutti vortici di Rankine.<br />
Adesso, dopo aver esposto i moti semplici, tutti, tranne il moto<br />
uniforme, con una singolarità, passiamo a combinarli, tramite<br />
la semplice somma dei rispettivi potenziali, per ottenere dei moti<br />
composti.<br />
2 Infatti il nucleo si muove come un corpo rigido senza scorrimenti relativi.
88 E. Buffoni Idrodinamica<br />
Figura 4: Il vortice composto in una agitatore magnetico.<br />
§ 6. - Il flusso lungo un semicorpo.<br />
Se combiniamo l’effetto di una sorgente e di un moto uniforme<br />
otteniamo il flusso che investe un corpo che potrebbe rappresentare<br />
la prua di un natante o di una pila di un ponte.<br />
Infatti consideriamo un moto uniforme, che scorre da sinistra<br />
verso destra alla velocità U e una sorgente di intensità Q posta<br />
nell’origine. Il potenziale del moto composto sarà allora:<br />
oppure:<br />
w = Uz + Q ln z,<br />
2π<br />
w = U(x + iy) + Q 2π<br />
ln reiθ<br />
ossia<br />
ϕ + iψ = Ux + Q 2π ln r + i (<br />
Uy + Q 2π θ )<br />
per cui avremo il potenziale ϕ:<br />
e la funzione di corrente ψ:<br />
ϕ = Ux + Q 2π ln r
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 89<br />
ψ = Uy + Q θ. (9)<br />
2π<br />
Sull’asse delle ascisse vi troviamo un punto in cui la velocità U<br />
del moto uniforme viene annullata dalla −V della sorgente. L’ascissa<br />
x o di questo punto detto di stagnazione o di ristagno viene ricavata<br />
ovviamente dalla seguente relazione:<br />
pertanto abbiamo:<br />
U = − Q<br />
2πx o<br />
x o = − Q<br />
2πU .<br />
Per questo punto passa una linea di corrente che, per la (9) assume<br />
il valore:<br />
ψ o = Q 2<br />
essendo infatti y = 0 e θ = π. Ora le linee di corrente mantengono il<br />
loro valore costante pertanto, sempre per la (9), abbiamo:<br />
ossia:<br />
Q<br />
2 = Uy + Q 2π θ<br />
ed anche:<br />
y =<br />
Q(π − θ)<br />
2πU<br />
(10)<br />
x =<br />
y<br />
(11)<br />
tan θ<br />
Quindi, per ogni valore di θ, tramite le precedenti è possibile<br />
tracciare la linea di corrente ψ o che risulta impenetrabile dalle altre
90 E. Buffoni Idrodinamica<br />
linee e quindi rappresenta la prua di un corpo investito da una corrente<br />
uniforme. Per la (10), quando θ → 0, abbiamo la dimensione<br />
trasversale massima del semicorpo:<br />
h max = 2y max = Q U . (12)<br />
Pertanto per ottenere dei profili sottili occorre impostare dei bassi<br />
valori del rapporto Q/U.<br />
Se in luogo della sorgente consideriamo un pozzo abbiamo la<br />
descrizione di un semicorpo che viene lasciato dalla corrente come<br />
accade nella poppa di un natante od a valle di una pila di ponte.<br />
Figura 5: Il semicorpo.<br />
§ 7. - La coppia sorgente pozzo.<br />
Se abbiamo una sorgente nel punto (−a, 0) ed un pozzo in (a, 0),<br />
entrambi di intensità Q, è possibile una costruzione grafica per individuare,<br />
per semplice somma vettoriale, le linee di flusso che risultano<br />
essere delle circonferenze passanti per la sorgente ed il pozzo.<br />
Dal punto di vista analitico il potenziale complesso del pozzo sarà:
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 91<br />
w = − Q ln (z − a)<br />
2π<br />
mentre la sorgente avrà il potenziale:<br />
quindi:<br />
w = Q ln (z + a),<br />
2π<br />
w = Q 2π<br />
ln<br />
(z + a)<br />
(z − a) .<br />
Ponendo z 1 = z + a e z 2 = z − a, otteniamo:<br />
ossia:<br />
per cui abbiamo:<br />
e:<br />
w = Q 2π ln z 1<br />
z 2<br />
w = Q 2π ln r 1<br />
r 2<br />
+ i Q 2π (θ 1 − θ 2 ),<br />
ϕ = Q 2π ln r 1<br />
r 2<br />
ψ = Q 2π (θ 1 − θ 2 ).<br />
Pertanto per avere ψ = cost. occorre che sia costante la differenza<br />
(θ 1 −θ 2 ), ma ció avviene solo se le linee di corrente sono degli archi di<br />
circonferenza passanti per la sorgente ed il pozzo e che hanno, come<br />
corda comune, il segmento che li congiunge.<br />
Si può dimostrare che i raggi r ψ di questi archi valgono:<br />
r ψ = a csc 2πψ<br />
Q
92 E. Buffoni Idrodinamica<br />
Figura 6: La coppia sorgente-pozzo.<br />
ed i loro centri sono sull’asse delle ordinate:<br />
y = −a cot 2πψ<br />
Q .<br />
Le linee equipotenziali sono anch’esse degli archi di circonferenza con<br />
raggi r ϕ :<br />
r ϕ = a<br />
(<br />
sinh 2πϕ<br />
Q<br />
con i centri posti sull’asse delle ascisse:<br />
x = a coth 2πϕ<br />
Q<br />
) −1<br />
§ 8. - La coppia di vortici.<br />
Abbiamo adesso due vortici con versi di rotazione opposti situati<br />
sull’asse delle ascisse in a e −a ed una circuitazione rispettivamente<br />
di Γ e −Γ.
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 93<br />
La soluzione si trova in modo immediato scambiando il potenziale<br />
e la funzione ψ del caso precedente, cioè:<br />
ϕ = Γ 2π (θ 1 − θ 2 ).<br />
ψ = Γ 2π ln r 1<br />
r 2<br />
.<br />
per cui abbiamo un reticolo idrodinamico composto dalle linee e-<br />
quipotenziali formate da cerchi che passano per i due vortici con la<br />
geometria delle linee di flusso del paragrafo precedente, mentre le<br />
linee di corrente sono conformate come le equipotenziali della coppia<br />
sorgente-pozzo. Quindi le ψ = cost. sono delle circonferenze attorno<br />
ai due vortici e la velocità indotta al centro tra di essi sarà:<br />
v = Γ πa<br />
avente la direzione ortogonale alla congiungente i due centri ed il<br />
verso congruente con i sensi di rotazione 3 .<br />
Se i due vortici non sono vincolati e sono posti ad una distanza d<br />
si influenzano reciprocamente con una velocità mutuamente indotta<br />
v = Γ/2πd, pertanto se hanno sensi di rotazione contrari traslano<br />
alla velocità v, se invece hanno lo stesso senso ruotano attorno al<br />
loro centro senza traslare.<br />
3 La spinta idrodinamica di un filetto centrale di area σ vale quindi S = ϱσv 2 ,<br />
questo lo sanno bene i pesci che, con un doppio colpo di coda, generano una<br />
coppia di vortici e ricevono di conseguenza una forte spinta uguale e contraria ad<br />
S.
94 E. Buffoni Idrodinamica<br />
§ 9. - Il dipolo idrodinamico.<br />
Il dipolo o doppietta è costituito da una coppia sorgente-pozzo<br />
posti a distanza infinitesima.<br />
Il potenziale complesso della coppia, con la sorgente posta sull’asse<br />
delle ascisse a distanza finita −a ed il pozzo in a, risulta essere<br />
come nel §7:<br />
w = Q {ln(z + a) − ln(z − a)} .<br />
2π<br />
Ci proponiamo di far tendere a zero a e per questo moltiplichiamo il<br />
numeratore ed il denominatore del secondo membro per a:<br />
w = Qa<br />
2π<br />
{ }<br />
ln(z + a) − ln(z − a)<br />
.<br />
a<br />
Il potenziale complesso del dipolo sarà dato quindi dal limite:<br />
Qa<br />
w = lim<br />
a→0 2π<br />
{ }<br />
ln(z + a) − ln(z − a)<br />
.<br />
a<br />
Abbiamo quindi il prodotto di due limiti:<br />
{ }<br />
Qa ln(z + a) − ln(z − a)<br />
w = lim<br />
a→0 2π lim<br />
.<br />
a→0<br />
a<br />
Nel primo, per non avere la soluzione banale nulla, ipotizziamo<br />
che, nel passaggio al limite Q vari opportunamente in modo da avere<br />
un valore finito:<br />
Qa<br />
lim<br />
a→0 2π = m.<br />
Invece il secondo rappresenta il limite del rapporto incrementale, pertanto<br />
non è altro che la derivata del logaritmo, pari a 1/z, quindi in<br />
definitiva il potenziale cercato risulta:<br />
w = m z<br />
(13)
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 95<br />
dove m viene indicato come intensità del dipolo o doppietta.<br />
Per determinare le linee equipotenziali e di flusso moltiplichiamo<br />
ambo i membri della precedente per il complesso coniugato z ∗ , ossia:<br />
quindi:<br />
w =<br />
pertanto abbiamo:<br />
w = mz∗<br />
zz ∗<br />
m(x − iy)<br />
= mx<br />
x 2 + y 2 x 2 + y − i my<br />
2 x 2 + y 2<br />
ϕ = m<br />
x<br />
x 2 + y 2<br />
ψ = −m<br />
y<br />
x 2 + y 2<br />
Ogni linea di corrente deve avere un valore costante della ψ, quindi<br />
poniamo ψ = −m/2C, dove C è appunto una costante:<br />
da cui:<br />
ψ = − m 2C = −m y<br />
x 2 + y 2<br />
x 2 + y 2 − 2Cy = 0<br />
ed aggiungendo ad ambo i membri C 2<br />
otteniamo in definitiva:<br />
x 2 + y 2 − 2Cy + C 2 = C 2<br />
x 2 + (y − C) 2 = C 2<br />
che rappresenta un insieme di circonferenze di raggio C tutte passanti<br />
per l’origine con i centri disposti sull’asse delle ordinate.
96 E. Buffoni Idrodinamica<br />
Figura 7: Il dipolo idrodinamico.<br />
Ripetendo il ragionamento per le linee equipotenziali troviamo<br />
che anch’esse sono delle circonferenze ortogonali alle precedenti con<br />
i centri sull’asse delle ascisse.<br />
Nel caso di un particolare valore dell’intensità del dipolo m = Ua 2<br />
avremo:<br />
a2 y<br />
ψ = −U<br />
x 2 + y , (14)<br />
2<br />
che rappresenta, rispetto da un osservatore fisso, le linee di corrente<br />
indotte da un cilindro di raggio a che si muove in acqua ferma con<br />
velocità uniforme −U.<br />
§ 10. - Il moto attorno ad un cilindro.<br />
Se uniamo il moto del dipolo di intensità m = Ua 2 con un moto<br />
uniforme otteniamo la rappresentazione del flusso attorno ad un<br />
cilindro di raggio a. Infatti il potenziale complesso risulta essere:<br />
w = Uz + U a2<br />
z . (15)
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 97<br />
Moltiplicando il secondo termine del secondo membro per il complesso<br />
coniugato z ∗ e raccogliendo i termini otteniamo infine:<br />
( ) ( )<br />
w = U 1 + a2<br />
x + iU 1 − a2<br />
y,<br />
r 2 r 2<br />
quindi abbiamo la funzione potenziale e di corrente:<br />
ϕ = U<br />
ψ = U<br />
(<br />
(<br />
1 + a2<br />
r 2 )<br />
x (16)<br />
1 − a2<br />
r 2 )<br />
y. (17)<br />
Un particolare valore della costante da dare alla funzione ψ per ottenere<br />
una linea di corrente ψ = cost. è ψ = 0. La precedente i<br />
annulla per y = 0, quindi l’asse delle ascisse risulta una linea di flusso,<br />
ma lo è anche il cilindro di raggio a perché per r = a abbiamo un<br />
altro zero della funzione di corrente.<br />
Tutte le altre linee di flusso, che hanno un valore della costante<br />
diverso da zero, avvolgeranno il cilindro dato che le linee di corrente<br />
non si possono intersecare. Le linee equipotenziali saranno invece ad<br />
esse ortogonali per formare il reticolo idrodinamico.<br />
Le velocità si ottengono al solito derivando il potenziale complesso:<br />
U ∗ = U − Ua2<br />
z 2<br />
= U − Ua2<br />
r 2 e−i2θ<br />
e tenendo conto della formula di Euler arriviamo infine alla velocità<br />
complessa:<br />
U = U − U a2<br />
a2<br />
cos 2θ − iU sin 2θ<br />
r2 r2 dove la parte reale indica la componente u mentre quella immaginaria<br />
la v. Esaminiamo ora le velocità sulla superficie del cilindro, notiamo<br />
che entrambe le componenti sono nulle nei punti A (θ = π) e B(θ =<br />
0), detti per questo punti di ristagno, mentre la u raggiunge il valore
98 E. Buffoni Idrodinamica<br />
massimo, pari a 2U, alla spalla, cioè nei punti C e D dove θ = π/2 e<br />
θ = 3/2π.<br />
L’andamento delle pressioni sulla superficie si ricava tramite il<br />
teorema del Bernoulli: infatti se H è il carico totale lontano dal<br />
cilindro, nella zona indisturbata, abbiamo:<br />
p<br />
γ = H − U 2<br />
2g ,<br />
nei due punti di ristagno abbiamo invece p/γ = H perché si annulla<br />
in carico cinetico, mentre alla spalla, con la velocità massima pari a<br />
2U otteniamo:<br />
p<br />
γ = H − 4U2 2g .<br />
Rappresentando i carichi notiamo che si forma un’onda simmetrica<br />
con due creste ai punti di ristagno ed un cavo piú pronunciato<br />
sull’asse.<br />
Ora se integriamo tutte le pressioni p agenti sul cilindro possiamo<br />
ottenere la forza R che il fluido trasmette al cilindro e viceversa,<br />
cioè la resistenza al moto incontrata dal corpo quando si muove in<br />
un fluido fermo. Però per la simmetria delle velocità e quindi delle<br />
pressioni questo integrale risulta nullo:<br />
R =<br />
∫ 2π<br />
0<br />
padθ = 0.<br />
Quindi in un fluido perfetto non esistono forze, cioè resistenze<br />
al moto, il discorso risulta generale, vale per tutti i corpi e prende<br />
il nome di paradosso di D’Alembert perché formulato per la prima<br />
volta proprio dall’enciclopedista francese.<br />
Le resistenze, come vedremo, esistono nel fluido reale e sono<br />
dovute al distacco delle scie vorticose a valle dei corpi. Se infatti<br />
misuriamo il carico effettivo esistente sulla superficie del cilindro lo<br />
troviamo fino alla spalla coincidente con quello teorico, procedendo<br />
verso poppa invece notiamo dei carichi piú bassi e non esiste la simmetria,<br />
in coda abbiamo un carico minore che a monte ed è proprio<br />
questa differenza che genera una forza contraria al moto.
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 99<br />
§ 11. - La circolazione attorno ad un cilindro.<br />
Come abbiamo visto il moto potenziale non può prevedere le resistenze,<br />
però è in grado di fornire l’espressione della portanza cioè<br />
di una forza ortogonale alla direzione del flusso. Se infatti ammettiamo<br />
l’esistenza di una circuitazione Γ attorno al cilindro di raggio a,<br />
abbiamo il potenziale complesso:<br />
w = Uz + Ua2<br />
z<br />
− i Γ ln z,<br />
2π<br />
che opportunamente sviluppata in coordinate cilindriche r e θ fornisce<br />
la funzione potenziale ϕ e di corrente ψ:<br />
ϕ = Ur<br />
ψ = Ur<br />
(<br />
(<br />
1 + a2<br />
r 2 )<br />
cos θ + Γ 2π θ (18)<br />
)<br />
1 − a2<br />
sin θ − Γ ln r. (19)<br />
r 2 2π<br />
Quest’ultime coincidono con le (17) e (18) del papragrafo precedente<br />
quando la circuitazione è nulla. Infatti in questo caso abbiamo<br />
la simmetria del campo di moto, mentre la circuitazione con la sue<br />
velocità indotte:<br />
v =<br />
Γ<br />
2πr<br />
porta ad una asimmetria tra le parti superiore ed inferiore. Per il teorema<br />
di Bernoulli quindi dove esiste una minor velocità avremo una<br />
maggior pressione e viceversa. Ne nascerà quindi una forza trasversale<br />
al moto detta portanza. Kutta e Joukowsky hanno dimostrato<br />
in un celebre teorema che la portanza P risulta pari a 4 :<br />
P = −ϱΓU. (20)<br />
4 Il fenomeno è anche conosciuto come effetto Magnus, qundo si mette in rotazione<br />
un cilindro si ottiene una forza trsversale al flusso, questo portò ad una<br />
strana applicazione: la rotonave che al posto delle vele aveva dei cilindri verticali<br />
posti in rotazione
100 E. Buffoni Idrodinamica<br />
In figura notiamo che per:<br />
1) Γ = 0 abbiamo la simmetria;<br />
2) Γ = 2πaU i punti di ristagno si spostano, nasce una portanza;<br />
3) Γ = 4πaU i punti di ristagno coincidono in sommitá;<br />
4) Γ = 6πaU si ha una zona di circolazione che non partecipa al<br />
flusso.<br />
Le ali degli aerei funzionano con lo stesso principio, la forma particolare<br />
del loro profilo provoca una maggior velocità all’estradosso<br />
che non nella parte inferiore, nasce una differenza di pressione ed una<br />
forza verso l’alto, detta appunto portanza, che sostiene l’aeromobile.<br />
Il ghiaccio sulle ali non le appesantisce ma turba il delicato meccanismo<br />
visto in precedenza e può provocare un disastroso annullamento<br />
della portanza.<br />
§ 12. - Il flusso attorno ai corpi affusolati.<br />
Se abbiamo un corpo affusolato con simmetria assiale, possiamo<br />
rappresentarne il flusso utilizzando, invece di un’unica coppia sorgente<br />
pozzo, un numero infinito di esse distribuite opportunamente<br />
sull’asse in modo da ottenere, con le sorgenti, un flusso divergente a<br />
prua per poi farlo convergere a poppa mediante la distribuzione dei<br />
pozzi.<br />
Detta q = q(x ′ )[m 2 /s.] la portata per unitá di lunghezza distribuita<br />
dalle sorgenti o assorbita dai pozzi, funzione della sola ascissa<br />
x ′ , dobbiamo avere la condizione che tutta la portata uscita dalle<br />
sorgenti si riversa nei pozzi:<br />
∫ L<br />
0<br />
q(x ′ )dx ′ = 0 (21)<br />
dove x ′ indica la posizione della sorgente da cui scaturisce, o viene<br />
assorbita, la portata elementare dQ = q(x ′ )dx ′ . Quindi la funzione<br />
q(x ′ ) sarà positiva o negativa a seconda se ci troviamo nella zona delle<br />
sorgenti od in quella dei pozzi. Il potenziale complesso sará allora:<br />
dw = q(x′ )<br />
2π ln(z − x′ )dx ′
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 101<br />
Figura 8: Il moto con circuitazione attorno ad un cilindro.
102 E. Buffoni Idrodinamica<br />
e quindi possiamo scrivere il potenziale complesso del flusso composto<br />
dal moto uniforme e la distribuzione delle sorgenti:<br />
w = Uz +<br />
∫ L<br />
0<br />
q(x ′ )<br />
2π ln(z − x′ )dx ′<br />
ponendo z = z − x ′ , la parte immaginaria del potenziale complesso,<br />
cioé la ψ diviene allora:<br />
ma essendo:<br />
ψ = Uy +<br />
∫ L<br />
0<br />
θ = tan −1<br />
q(x ′ )<br />
2π θdx′<br />
y<br />
x − x ′<br />
otteniamo in definitiva:<br />
ψ = Uy +<br />
∫ L<br />
0<br />
q(x ′ )<br />
2π tan−1 y<br />
x − x ′ dx′ .<br />
Il profilo del corpo è una linea di corrente che passa per i punti di<br />
stazionarietà, quindi vale ψ = 0, pertanto abbiamo l’equazione:<br />
Uy +<br />
∫ L<br />
0<br />
q(x ′ )<br />
2π tan−1 y<br />
x − x ′ dx′ = 0. (22)<br />
Da questa potremmo ottenere, almeno in via teorica, la funzione di<br />
distribuzione q(x ′ ) una volta nota la forma del corpo attraverso la<br />
funzione y = f(x).<br />
La precedente equazione integrale però non è semplice da risolvere,<br />
quindi spesso si passa al problema indiretto od inverso, cioè una<br />
volta ipotizzata la funzione q(x ′ ), si tratta di trovare, per tentativi,<br />
il contorno del corpo y = f(x) che soddisfi l’equazione precedente.<br />
Questo metodo fu ideato da Rankine e successivamente applicato<br />
largamente da Fuhrmann che determinò le forme corrispondenti a<br />
vari distribuzioni. Si tratta di solidi cosiddetti penetranti perché<br />
presentano un basso coefficiente di resistanza, dell’ordine di 0,05,
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 103<br />
quindi molto piú basso di quello di un cilindro di ugual dimensione<br />
trasversale, che come sappiamo, è dell’ordine dell’unità.<br />
Tutto questo trova una logica spiegazione dall’ampia dimensione<br />
della scia che si distacca da un corpo tozzo, come il cilindro, mentre<br />
i solidi di Fuhrmann presentano una scia molto contenuta con delle<br />
conseguenti modeste resistenze dovute alle depressioni di poppa.<br />
§ 13. - Le scie di Helmholtz.<br />
Helmholtz introdusse le scie a valle dei corpi per eliminare il<br />
paradosso di D’Alembert.<br />
Se specialmente il corpo presenta degli spigoli vivi la forza centrifuga<br />
per le particelle che vi transitano vicino diventa molto grande<br />
a causa del piccolo raggio di curvatura, quindi Helmholtz ipotizzò<br />
il distacco della corrente e la conseguente formazione di una regione<br />
di fluido fermo, che fu chiamata appunto scia di Helmholtz. In realtà<br />
la scia non è affatto in quiete, ma si presenta molto vorticosa,<br />
la determinazione della sua forma risulta molto complicata, tuttavia<br />
basta supporne l’esistenza per giustificare le forze che si oppongono<br />
al moto.<br />
Consideriamo infatti un corpo tozzo come una pila di ponte medievale,<br />
a monte abbiamo tutta l’energia specifica totale della corrente<br />
per l’arresto dei filetti nel punto di ristagno, mentre a valle, a<br />
causa della turbolenza nella scia troviamo una perdita di carico pari<br />
a 2U 2 /2g, la differenza tra le pressioni di monte e di valle risulta<br />
quindi:<br />
∆p = 2γ U 2<br />
2g ,<br />
che da luogo alla una forza R esercitata dal fluido sulla pila di<br />
dimensione trasversale d:<br />
R = 2dγ U 2<br />
2g ,<br />
confrontando quest’ultima con la relazione che ci fornisce la resistenza<br />
di una corpo:
104 E. Buffoni Idrodinamica<br />
R = C x dγ U 2<br />
2g ,<br />
abbiamo la giustificazione che i corpi tozzi, con spigoli vivi presentano<br />
proprio un coefficiente di resistenza sperimentale pari a 2. Quindi,<br />
ripetiamo che basta supporre la presenza della scia vorticosa che, con<br />
le perdite di carico porta ad una resistenza reale.<br />
Per il cilindro di diametro d il comportamento è analogo salvo<br />
avere una perdita di carico inferiore per l’assenza di spigoli vivi.<br />
Abbiamo infatti una perdita pari solo a U 2 /2g, quindi avremo:<br />
ed infine:<br />
∆p = γ U 2<br />
2g ,<br />
R = dγ U 2<br />
2g ,<br />
per cui il C x risulta, come ordine di grandezza, pari all’unitá (C x =<br />
1, 3).<br />
Figura 9: A valle di un cilindro si forma una larga scia.<br />
Nei solidi penetranti invece la corrente viene accompagnata con gradualità<br />
verso la coda in modo da non avere distacchi, infatti sono<br />
quest’ultimi i responsabili della depressione che si genera a valle.
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 105<br />
Figura 10: La scia sottile a valle di un corpo penetrante (C x = 0, 05).<br />
La questione è analoga ai moti interni, per esempio in un venturimetro,<br />
dove nella parte convergente non si possono avere distacchi,<br />
come a prua, mentre la parte divergenze è costituita di solito da<br />
un divergente molto ampio (< 10 o ) in modo da rendere minima la<br />
perdita di carico.<br />
Tutto ciò per i fluidi a bassa viscosità, quindi in moto turbolento,<br />
per gli oli invece in moto laminare, sono le tensioni tangenziali le responsabili<br />
della resistenza. L’integrale di queste sarà tanto maggiore<br />
quanto lo è la superficie laterale del corpo, ne consegue che i corpi<br />
affusolati presentano una maggior resistenza di quelli tozzi ma con<br />
minor superficie laterale di contatto. Se infatti eseguiamo un esperienza<br />
con una sferetta ed un corpo affusolato dello stesso diametro,<br />
con una forma simile da una goccia, se li facciamo cadere in un fluido<br />
molto viscoso, notiamo che la sfera risulta piú veloce del corpo<br />
allungato e raggiunge per prima il fondo del recipiente.<br />
§ 14. - L’apparato sperimentale di Hele-Shaw.<br />
Questo apparato, che consiste in due pareti di vetro molto vicine<br />
(2mm), dove l’acqua vi scorre in moto laminare, consente di visualizzare<br />
le linee di corrente di un moto potenziale piano.<br />
Abbiamo infatti visto, nel <strong>capitolo</strong> IV, che il profilo di velocità<br />
nel moto laminare tra due lastre piane, distanti 2h è parabolico:<br />
u(z) = 1 dp<br />
2µ dx (h2 − z 2 ).
106 E. Buffoni Idrodinamica<br />
Figura 11: L’apparato sperimentale di Hele-Shaw.<br />
Nel piano mediano, al centro tra le due lastre, cioè per z = 0, la<br />
velocità risulta proporzionale al gradiente di pressione:<br />
u = h2 dp<br />
2µ dx ,<br />
poniamo ora la costante k = h 2 /2µ ed introducendo le due componenti<br />
del moto piano la u e la v possiamo scrivere:<br />
u = k ∂p<br />
∂x<br />
v = k ∂p<br />
∂y ,<br />
dove le derivate parziali debbono essere necessariamente introdotte<br />
perché la componente u risulta eseguita per y costante, mentre v viene<br />
calcolata con x costante. Esse soddisfano l’equazione di continuità<br />
per il moto piano:<br />
∂u<br />
∂x + ∂v<br />
∂y = 0
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 107<br />
e dato che k è una costante, otteneniamo in definitiva l’equazione di<br />
Laplace:<br />
∂ 2 p<br />
∂x + ∂2 p<br />
2 ∂y = 0. 2<br />
Quindi questo significa che sul piano mediano si instaura un moto<br />
potenziale piano stazionario, moto che soddisfa appunto l’equazione<br />
di Laplace e la funzione kp(x, y) può essere considerata come una<br />
funzione di corrente.<br />
Pertanto se tra le due lastre viene introdotta la sagoma di un<br />
corpo, mediante dei tubicini che immettono dei filamenti di inchiostro<br />
colorato, si possono visualizzare le linee di corrente attorno al corpo<br />
stesso.<br />
§ 15. - Il metodo delle immagini.<br />
Supponiamo di avere due sorgenti o due pozzi situati sull’asse<br />
della ascisse rispettivamente in a e −a. Se Q è la loro intensità<br />
abbiamo il potenziale complesso:<br />
w = Q {ln(z + a) + ln(z − a)}<br />
2π<br />
ponendo z 1 = z + a e z 2 = z − a, possiamo scrivere:<br />
w = Q 2π ln z 1z 2<br />
e quindi posiamo ottenere le funzioni potenziale e di corrente:<br />
ϕ = Q 2π ln r 1r 2<br />
ossia:<br />
ψ = Q 2π (θ 1 + θ 2 )
108 E. Buffoni Idrodinamica<br />
ψ = Q [<br />
]<br />
tan −1 y<br />
2π a + x + y<br />
tan−1 .<br />
a − x<br />
Tra tutte le linee poniamo l’attenzione sull’asse y, esso divide il<br />
campo in due parti totalmente indipendenti, due flussi separati.<br />
Questo da luogo al metodo delle immagini, infatti per una sorgente<br />
od un pozzo posti ai margini di un acquifero, l’influenza di<br />
questo margine, di questa frontiera viene simulata con una sorgente<br />
immagine od un pozzo immagine virtuale.<br />
Lo stesso accade per i vortici, se in vortice si trova vicino al confine<br />
del campo di moto risentirà della velocità indotta dal vortice<br />
immagine e sarà costretto a traslare parallelamente alla frontiera.<br />
§ 16. - Le forze idrodinamiche tra sorgenti e pozzi.<br />
Per come è formato il campo di moto due sorgenti si respingono<br />
mentre due pozzi si attraggono.<br />
Se abbiamo infatti due zattere su di un lago e, da entrambe, per<br />
mezzo di un tubo profondo, forato lateralmente, viene aspirata una<br />
portata Q, esse si avvicinano, invece se la portata viene immessa nel<br />
lago sono costrette ad allontanarsi. Quindi ci domandiamo quale sia<br />
l’entità di queste forze.<br />
Nel moto stazionario la forze sono dovute alle quantità di moto<br />
mv riferite allunità di tempo, cioè ϱQv.<br />
Ora nel caso di una sorgente isolata nessuna forza può agire su si<br />
essa, ma se viene investita, per esempio da un flusso uniforme U la<br />
quantità di moto varia di ϱQU e sulla sorgente agisce una forza di<br />
tal modulo in direzione e verso di U.<br />
Se invece abbiamo due sorgenti il modulo della forza risulta:<br />
f = ϱQ 1 v<br />
dove v è la velocità indotta dalla seconda sorgente posta a distanza<br />
r:<br />
v = Q 2<br />
2πr .
Cap. VII Il metodo delle singolarità idrodinamiche 109<br />
Quindi in definitiva il modulo della forza diviene:<br />
f = ϱ<br />
2π<br />
Q 1 Q 2<br />
.<br />
r<br />
ed agirà nella stessa direzione di r.<br />
Questo per il moto piano, nel caso tridimensionale invece la velocità<br />
indotta dalle seconda sorgente è data dal rapporto tra la portata<br />
e la superficie della sfera di raggio r:<br />
pertanto la forza risulta:<br />
v = Q 2<br />
4πr 2 .<br />
f = ϱ Q 1 Q 2<br />
(23)<br />
4π r 2<br />
ed ha la stessa direzione della congiungente, di repulsione per le<br />
sorgenti, di attrazione per i pozzi.<br />
La precedente (24) risulta inoltre analoga alla legge di Coulomb<br />
per l’elettrostatica ed alla legge di gravitazione universale di Newton,<br />
anche se si comprende che la natura di tali forze è molto diversa. Si<br />
ha infatti a che fare con forze elettrostatiche in un caso e con quelle<br />
gravitazionali nell’altro.<br />
Tuttavia, eseguendo i calcoli in un certo modo, si può avere una<br />
curiosità.<br />
Note curiose.<br />
a) La gravitazione universale.<br />
Se due zone dello spazio accumulano materia per un tempo t come due pozzi<br />
idrodinamici di intensità Q 1 e Q 2 , abbiamo alla fine due masse m 1 = ϱQ 1 t e<br />
m 2 = ϱQ 2 t. Se ricaviamo da queste le portate Q 1 e Q 2 e le sostituiamo nella<br />
(23) otteniamo proprio la legge di gravitazione universale di Newton:<br />
f = G m 1m 2<br />
r 2<br />
dove adesso la costante di gravitazione vale: G = 1/4πϱt 2 . Ora se introduciamo<br />
nella precedente un valore della densità dello spazio pari a circa 7 atomi di<br />
idrogeno per m 3 : (ϱ = 1.2·10 −26 [Kg/m 3 ]: densità degli spazi interstellari) ed un
110 E. Buffoni Idrodinamica<br />
tempo di accumulazione pari a quello che ci separa dal big-bang, cioè dell’ordine di<br />
10 miliardi di anni, otteniamo un valore di G = 6.67·10 −11 [Nm 2 /Kg 2 ] cioè quasi<br />
il valore, accertato sperimentalmente, della costante di gravitazione universale<br />
(6.6732 · 10 −11 ).<br />
Questo è un fatto interessantissimo perché implica che la costate G dipenda<br />
dal tempo. Nei primi istanti, dopo il big-bang, doveva avere un valore molto<br />
elevato, infatti c’era moltissima energia, ma con quasi assenza di materia e quindi<br />
un bassissimo valore di ϱ.<br />
Inoltre la precedente espressione di G potrebbe spiegare il fenomeno cosiddetto<br />
della massa mancante perché in certe zone ϱ sarebbe piú bassa e di conseguenza<br />
avremmo un valore maggiore di G. Le forze di attrazione maggiormente intense<br />
non sarebbero quindi dovute ad una fantomatica massa invisibile ma semplicemente<br />
ad un valore localmente elevato di G che evidentemente non sarebbe piú<br />
una costante. La massa invisibile costituirebbe quindi un falso problema.<br />
b) Uno strano fluido.<br />
Lo spazio fisico costituisce un continuo quindi si può assimilare ad un fluido<br />
perfetto con una densità evanescente. Infatti quest’ultima risulta ϱ = kT/c 2 dove<br />
k rappresenta la costante di Boltzmann e c la velocità della luce. Per T = 3 gradi<br />
assoluti abbiamo ϱ = 4.6 · 10 −40 [Kg/m 3 ].<br />
Ora le equazioni di Euler, in assenza di gradienti si riducono a:<br />
u j<br />
∂u i<br />
∂x j<br />
+ ∂u i<br />
∂t = 0.<br />
Se adesso ammettiamo l’isotropia con u j = U e deriviamo le precedenti prima<br />
rispetto a x j e poi rispetto al tempo, dato che valgono le condizioni sull’invertibilità<br />
dell’ordine di derivazione, dall’uguaglianza delle derivate miste otteniamo<br />
l’equazione di D’Alembert:<br />
U 2<br />
∂2 u i<br />
= ∂2 u i<br />
∂x j ∂x j ∂t 2<br />
dalla quale, com’è noto, si ricava l’equazione d’onda della meccanica quantistica.<br />
Quindi abbiamo delle onde che si propagano all velocità U, però la loro<br />
lunghezza è limitata inferioremente dalla relazione di De Broglie: λ = h/mU.<br />
Notiamo che h/m ha le dimensioni: [L 2 T −1 ], cioè di una viscosità cinematica.<br />
Siamo quindi in presenza di uno strano fluido che si comporta come nel moto<br />
turbolento seguendo le equazioni di Euler e la legge di De Broglie.<br />
Lo spazio fisico, che possiede una viscosità dinamica, riferita all’unità di<br />
volume, pari ad h, come si può constatare facilmente, sembra quindi essere non<br />
il palcoscenico degli eventi, ma il protagonista.