Analisi dinamica di ponti ad arco in muratura soggetti a ... - Anidis

Analisi dinamica di ponti ad arco in muratura soggetti a sisma e
ad azioni mobili
S. Benfratello, M. Di Paola e M. Fossetti
Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Università di Palermo, Italy
SOMMARIO: Il comportamento di strutture da ponte in fase dinamica per effetto delle azioni
sismiche, del vento e dei carichi viaggianti in transito è stato oggetto di numerosi studi. Tuttavia
nel caso di ponti ad arco in muratura le indagini effettuate non appaiono esaustive. Ciò è dovuto
al fatto che i legami costitutivi delle strutture in muratura sono notevolmente più complessi di
quelli per le strutture in acciaio o calcestruzzo. Nel presente lavoro si vuole indagare sull’effetto
combinato di sisma e transito di veicoli con riferimento ad un caso concreto di un ponte in muratura
realizzato nel ‘700, che costituisce una delle vie di accesso alla città di Palermo, per individuarne
il comportamento dinamico. Le azioni sismiche sono modellate come un fenomeno
Gaussiano e stazionario con densità spettrale di potenza spettro-compatibile e la risposta è valutata
con la tecnica di Monte Carlo. L’azione dei carichi mobili è modellata come un singolo veicolo
dotato di massa e dissipazione sia nell’ipotesi di transito a velocità costante sul ponte che in
quella di frenata. Il ponte è modellato con elementi tridimensionali isoparametrici a 20 nodi ed il
legame costitutivo utilizzato per gli archi è di tipo non lineare con limitata resistenza a trazione
e softening sia a trazione che a compressione, mentre quello utilizzato per la parte rimanente è a
comportamento elastico con basso modulo di elasticità longitudinale per modellare opportunamente
il contenimento esercitato dai timpani e l’effetto di confinamento esercitato dal riempimento
sull’arco. I due effetti sono dapprima studiati separatamente e successivamente le analisi
sono effettuate tenendo in considerazione entrambi i tipi di azione per mettere in luce eventuali
fenomeni indesiderati di accoppiamenti delle vibrazioni.
ABSTRACT: The dynamic behavior of bridge structures due to wind, earthquake and moving
loads has been deeply investigated in the past. However in the case of masonry arc-bridge structures
the studies seem to be not exhaustive. This is due to the fact that the constitutive models of
the masonry are more complex with respect to that of steel and concrete structures. In the paper
the combined earthquake-moving loads effect on a real masonry arc-bridge located in Palermo
is presented. The bridge has been built in the last years of 18 th century and it still constitutes one
of the fundamental way to come in the city of Palermo. The earthquake actions are modeled as a
stationary Gaussian process whose Power Spectral Density (PSD) function is a design spectrum
and the structural response is evaluated by means of Monte Carlo technique. On the other hand
the moving load actions are modeled as a single vehicle with mass and damping for both constant
velocity or brakeage case. The structure is discretised by means of FEM approach using
ADINA while the FE model of the bridge is characterized by 3D isoparametric 20 nodes elements.
The material model for the arch is a non linear one with limited resistance in tension an
softening on both tension and compression, while that for the other parts of the bridge is characterized
by a low Young modulus in order to properly simulate their effects on the arcs. The two
effects are first studied separately and then they are considered together in order to find some
undesired coupled effects on the vibrations.

1 INTRODUZIONE
Lo studio del comportamento dinamico di strutture da ponte ad arco in muratura per effetto di
sismi e carichi viaggianti costituisce un settore di ricerca ancora in via di sviluppo ma di particolare
interesse anche per l’importanza storico-culturale, oltre che funzionale, ricoperta da tale tipologia
strutturale nel nostro paese. Negli ultimi anni si sono sviluppati numerosi studi e ricerche
finalizzati alla caratterizzazione dei legami costitutivi delle strutture murarie al fine di poter
essere implementati in codici di calcolo agli elementi finiti (Borino, 1989; Fuschi, 1993; Crisfield,
1985; Crisfield, 1990; Harvey, 1988; Loo, 1991 a,b; Chao, 1991; Heyman, 1982). La
complessità di tali legami ha concentrato l’attenzione dei ricercatori in particolare sui problemi
di natura statica. D’altro canto recentemente è stata evidenziata l’importanza dei fenomeni dinamici
per una analisi realistica di tali strutture ed in particolare il ruolo del traffico veicolare
sui fenomeni di fatica sulle strutture da ponte (Stanisic, 1974; Ricciardi, 1994). Scopo del lavoro
è quello di analizzare una struttura da ponte ad arco in muratura costruita alla fine del 700 nella
città di Palermo di cui costituisce una delle vie di accesso. Nel lavoro si vogliono mettere in e-
videnza gli effetti dinamici dovuti sia a terremoti spettro-compatibili, sia quelli legati ai carichi
in movimento nell’ipotesi sia di velocità di transito costante sia in frenata. Lo studio è condotto
considerando dapprima separatamente i due fenomeni e poi combinandoli assieme per mettere
in evidenza eventuali accoppiamenti indesiderati sulle vibrazioni. Per il calcolo della risposta
strutturale è stato utilizzato il programma agli elementi finiti ADINA utilizzando elementi tridimensionali
isoparametrici e modello costitutivo tipo “concrete” opportunamente caratterizzato
(ADINA, 1997). La procedura numerica utilizzata per la integrazione delle equazioni differenziali
di equilibrio è quella di Newmark mentre la tecnica iterativa usata all’interno del generico
passo temporale è quella di Newton- Raphson. I risultati ottenuti dimostrano l’importanza del
traffico veicolare sul comportamento dinamico del ponte in esame.
I risultati ottenuti dimostrano che gli effetti del traffico veicolare non sono trascurabili e risultano
essere dello stesso ordine di grandezza di quelli dovuti al sisma, confermando la –necessità
di tenere in considerazione i carichi mobili anche per le strutture da ponte in muratura
2 ANALISI DINAMICA DEL "PONTE DI MARE"
2.1 Alcune notizie storiche
La costruzione di questo ponte (Villabianca; Palermo, 1858), comunemente indicato come
“Ponte di mare” e riportato in figura 1, avvenne nel 1584 per decisione del Senato di Palermo.
Ingrandito ed abbellito nel 1718 per merito del governo pretorio subì gravissimi danneggiamenti
qualche decennio dopo a causa prima di un terremoto nel 1751 e poi con l’inondazione del
1772. In entrambe le circostanze si procedette alla sua ricostruzione effettuando anche lavori di
miglioramento della struttura del ponte. In occasione di tali ricostruzioni il ponte fu edificato in
un nuovo sito più distante dalle azioni dirette delle onde e su strati di roccia più viva. Questa è
rimasta l’attuale locazione, anche se nel tempo il ponte ha subito notevoli rimaneggiamenti.
2.2 Descrizione della struttura e del modello numerico utilizzato
Dalla figura 1 si deduce che il ponte in esame è un ponte stradale a tre campate, costituito da
tre archi a sesto ribassato ed avente una corsia per ciascun senso di marcia le cui caratteristiche
geometriche sono riportate in figura 2.
Il modello meccanico impiegato per descrivere il comportamento costitutivo dell’arco è quello
”concrete” presente nella libreria ADINA [ADINA, 1997], ipotizzando la muratura omogeneizzata
con un peso specifico pari a 27 kN/m 3 (ρ=280.8 kg/m 3 ), modulo di elasticità E=500
kN/cm 2 , coefficiente di Poisson ν=0.3 e bassa resistenza a trazione σ t =0.05 kN/cm 2 .

Figura 1 – “Ponte di mare”
Per l’insieme timpani-riempimento si è ipotizzato un comportamento elastico con modulo di
elasticità E=8 kN/cm 2 , coefficiente di Poisson ν=0.4 e peso specifico 69 kN/m 3 (ρ=717.7
kg/m 3 ). Quest’ultima ipotesi è stata già adottata da altri autori (Loo e Yang, 1991), e mira a mo
dellare il comportamento dell’arco tenendo conto dell’effetto di contenimento esercitato dai
timpani e ancor più del significativo effetto dovuto al riempimento che, anche se estremamente
deformabile, esercita una benefica azione di confinamento sull’arco vero e proprio.
Gli elementi utilizzati sono quelli definiti “3D-solid” caratterizzati 20 nodi e tre gradi di libertà
traslazionale per nodo, con un totale di 132 elementi per gli archi, 96 elementi per l’insieme
timpano-riempimento e di 1539 nodi e la mesh risultante è riportata in figura 3.
Le dimensioni degli elementi impiegati per le varie zone del ponte sono state scelte in modo
da garantire l’accuratezza della soluzione con tempi di calcolo non troppo elevati.
Nell’analisi dinamica vengono complessivamente considerati sei modi propri di vibrare ipotizzando
un unico coefficiente di smorzamento ζ=0.025.
A 2
A 1 A 3
a)
b)
Figura 2 – Caratteristiche geometriche in centimetri del “Ponte di mare”: a) vista frontale; b) pianta

Il comportamento dinamico della struttura è stato analizzato scegliendo dei punti particolarmente
significativi, e cioè l'intradosso in corrispondenza del vertice dei tre archi, rispettivamente
indicati con A 1 , A 2 , A 3 in figura 2.
La procedura numerica utilizzata per la integrazione delle equazioni differenziali di equilibrio
è quella di Newmark con δ=0.5 e α=0.25, mentre la tecnica iterativa usata all’interno del generico
passo temporale è quella di Newton- Raphson.
Le condizioni di vincolo utilizzate sono di incastro perfetto per tutti i punti del ponte a contatto
con il suolo (spalle e pile).
Figura 3 - Schematizzazione ad elementi finiti del "Ponte di mare" (mesh)
2.3 Comportamento dinamico per effetto di terremoti spettro-compatibili
Nel presente paragrafo viene studiato il comportamento del ponte, descritto nei paragrafi precedenti,
per effetto di un terremoto spettro-compatibile agente separatamente lungo le tre direzioni.
Per il calcolo dell’accelerogramma spettro-compatibile ci si è attenuti alla normativa D.M.
16/01/1996 riguardante le “Norme tecniche per le costruzioni in zone sismiche”, lo spettro di risposta
in termini di accelerazioni ha la seguente espressione:
dove:
a = c I R g
(1)
s − 2
c = = 0.
07
(2)
100
è il coefficiente di intensità sismica con s grado di sismicità che nel caso di Palermo è pari a 1.4.
Nella equazione (1) I = 1.4 è il coefficiente di protezione sismica; g è l’accelerazione di gravità;
R è il coefficiente di risposta, funzione del periodo T, dato dalla seguente espressione:
−2
3
R = 0.
862 T
per T > 0.
8s
(3 a)
R = 1
per T ≤ 0.
8s
(3 b)
Per la generazione dell’accelerogramma si è prima ricavata la funzione Densità Spettrale di
Potenza (PSD) compatibile con lo spettro di risposta previsto dalla normativa utilizzando la
formula seguente

2
( g c I 0.
862) ( ω 2π)
4ζ
S ( ω)
= per T > 0.85 s ω<
2
⎛
.
⎞
⎜
0 5772
ωπ ln( )
⎟
⎜
2 ωτ +
⎟
⎝
2ln( ωτ)
⎠
S
( ω)
( g c I )
2
4
3
4 ζ
= per T ≤ 0.85 s ω
2
⎛
.
⎞
⎜
0 5772
ωπ ln( )
⎟
⎜
2 ωτ +
⎟
⎝
2ln( ωτ)
⎠
( 7.85 rad/s )
( ≥7.85
rad/s )
nelle quali ζ è il fattore di smorzamento pari al 5% e τ è la durata convenzionale del sisma posta
pari a 23 s. Dalle equazioni (4) si è poi ricavata l’espressione di z& g ( t)
utilizzando il metodo di
Shinozuka. Il sisma di progetto definito dalla normativa risulta essere quindi un processo gaussiano,
stazionario a media nulla, ottenuto mediante sovrapposizione di onde semplici cosinusoidali,
di frequenze multiple di una scelta come fondamentale, ciascuna amplificata del contenuto
in potenza relativo alla frequenza considerata e con fase aleatoria ϕ k (con densità di probabilità
uniformemente distribuita nell’intervallo 0-2ð). Si è così utilizzata la seguente formula per ric a-
vare l’accelerogramma spettro-compatibile:
g
N
( t) = 2 S ( ω ) Dω cos( ω t + ϕ )
∑
k=
1
k
k
k
k
(4 a)
(4 b)
z& (5)
Il sisma viene considerato agente separatamente in tutte e tre le direzioni ed in particolare nel
caso di sima sussultorio l’accelerazione ottenuta viene raddoppiata secondo quanto indicato nella
normativa vigente (D.M. 16/01/1996).
/I grafici relativi agli abbassamenti in direzione verticale del punto A 2 per i casi esaminati
so/no riportati nelle figure 4-6.
Dall’esame di queste figure si deduce come in termini di abbassamenti del punto A 2 risulti essere
più gravosa la condizione di sisma agente in direzione y e z.
0.08
0.04
Abbassamenti punto A2 [cm]
0.00
-0.04
-0.08
0 5 10 15 20 25
t [sec]
Figura 4 – Abbassamenti del punto A 2 al variare del tempo per un sisma agente in direzione x

0E+0
Abbassamenti punto A2 [cm]
-2E-3
-4E-3
-6E-3
0 5 10 15 20 25
t [sec]
Figura 5– Abbassamenti del punto A 2 al variare del tempo per un sisma agente in direzione y
0.08
0.04
Abbassamenti punto A2 [cm]
0.00
-0.04
-0.08
-0.12
0 5 10 15 20 25
t [sec]
Figura 6– Abbassamenti del punto A 2 al variare del tempo per un sisma agente in direzione z
2.4 Comportamento dinamico per effetto del traffico veicolare
In questo paragrafo viene studiato il comportamento dinamico del “Ponte di mare” soggetto a
due diverse condizioni di carico viaggiante: carico viaggiante dotato di velocità costante e carico
viaggiante dotato di una decelerazione calcolata in modo tale da simulare la frenata di un
veicolo in uno spazio pari alla luce del ponte. In entrambi i casi il carico è stato modellato con
un sistema dotato di massa e di dissipazione lineare.

Il carico sulla struttura viene posizionato in maniera decentrata rispetto alla linea di mezzeria
per simulare la presenza di un veicolo su di una corsia laterale. Da studi preliminari è stato evidenziato
che tale condizione è più gravosa di quella di carico centrato ma per brevità non vengono
riportati i grafici di confronto. E’ da sottolineare che la normativa vigente prescrive, per
l’analisi degli effetti dei carichi mobili sui ponti stradali, di posizionarli in posizione decentrata.
In tutti i due casi viene considerato un autocarro pesante a due assi dalle caratteristiche reali
(Catalogo IVECO, 1995; Catalogo Zorzi, 1995), che scarica interamente il suo peso a terra nei
punti corrispondenti alle posizioni dei suoi assi.
La massa totale dell’autocarro è di 390 kN, che si suppone, essere così distribuita sugli assi:
• asse anteriore 150 kN
• asse posteriore 240 kN
Nel caso di velocità costante, i quattro carichi concentrati che ne derivano, sono posti rispettivamente
alle coordinate: P 1 ≡(x 1 , a+ψ, z 1 ), P 2 ≡(x 2 , a+ψ, z 2 ), P 3 ≡(x 3 , ψ, z 3 ), P 4 ≡(x 4 ,ψ, z 1 ), essendo
a=4.60 m la lunghezza dell’autocarro; la posizione dei carichi varia quindi nel tempo con una
legge ψ(t)=vt [m]. In definitiva, lungo il ponte transitano in coppia quattro carichi concentrati
sfalsati nel tempo del rapporto fra la distanza tra i due assi dell’autocarro con velocità pari a 40
km/h. Il tempo necessario all’autocarro per attraversare il ponte è pertanto t f =2.277 s. La posizione
dei quattro carichi sul ponte viene individuata mediante la δ di Dirac di volta in volta opportunamente
sfalsata.
Anche in questo caso vengono complessivamente considerati sei modi propri di vibrare della
struttura, adottando lo stesso coefficiente di dissipazione indicato nel paragrafo precedente.
La massa molleggiata viene modellata introducendo nei quattro punti di contatto
dell’autocarro con il ponte, elementi trave isoparametrici (ISO-BEAM). Tali elementi vengono
considerati in uno stato di tensione generale (3-D), con un massimo di due nodi, sei gradi di libertà
per nodo e fino a due punti di Gauss per ciascuna direzione. L’onere computazionale in
termini di tempo è di gran lunga inferiore rispetto agli elementi tridimensionali. A tali elementi
vengono assegnate le caratteristiche del sistema ammortizzato: rigidezza K v =326886 N/m, coefficiente
di dissipazione c v =88480 Ns/m e smorzamento ζ v =0.5. La scelta di tali elementi è legata
alla possibilità di introdurre in ADINA per essi un tempo di “nascita” e di “morte” (“birth” and
“death” time). Questa peculiarità consente di modellare il carico in transito attivando tali elementi
in accordo con la δ di Dirac che individua la posizione dei quattro carichi sul ponte.
In figura 7 vengono confrontati gli abbassamenti dei punti A 1 , A 2 e A 3 per effetto del transito
di un veicolo dalle caratteristiche descritte viaggiante a velocità costante pari a 40 km/h.
Dall’esame di questa figura si deduce che l’effetto più oneroso si ha in corrispondenza del punto
A 2 .
0.04
Punto A1
0.03
Punto A2
Punto A3
abbassamenti (cm)
0.02
0.01
0.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00
t (s)
-0.01
Fig.7 - Confronto tra gli abbassamenti dei punti A 1 , A 2 e A 3 per un veicolo viaggiante con velocità costante
pari a 40 km/h

Nella condizione in cui il veicolo avente velocità iniziale pari a 100 km/h si arresti in corrispondenza
dell’estremità opposta del ponte seguendo una legge di moto uniformemente decelerato
si deve considerare la presenza aggiuntiva della forza di attrito. Tale forza è stata modellata
opportunamente facendo riferimento alla condizione di equilibrio di una ruota frenata. Il suo valore
limite è proporzionale alla forza agente sulle ruote secondo il coefficiente di aderenza. Tale
coefficiente è molto variabile in funzione delle condizioni dei pneumatici e della strada, della
velocità; e risulta particolarmente sensibile alla presenza di acqua sulla strada e di eventuali materiali
emulsionanti. Nell’analisi effettuata si sono ricavati i valori del coefficiente di aderenza in
funzione della velocità nei vari punti di applicazione del carico del carico, tenendo conto della
relazione di Lamm e Hering (Ferrari e Giannini, 1994). In figura 8 si riportano gli abbassamenti
dei tre punti scelti per effetto del veicolo in transito e per quello di veicolo in frenata con velocità
iniziale pari a 100 km/h e spazio di frenatura pari alla luce del ponte.
0.04
Punto A1: frenata
Punto A1
0.03
Punto A2
Punto A2: frenata
abbassamenti (cm)
0.02
0.01
Punto A3
Punto A3: frenata
0.00
0.00 2.00 4.00 6.00
t (s)
-0.01
Fig. 8 - Confronto tra gli abbassamenti dei punti A 1 , A 2 e A 3 per il caso di veicolo viaggiante a velocità
costante e di veicolo decelerato che si ferma all’estremità opposta del ponte avente velocità iniziale pari a
100 km/h
Dall’esame di questa figura si deduce come l’effetto della frenatura consiste praticamente in
uno sfalsamento temporale degli effetti dovuti al veicolo in transito a velocità costante. Ancora
dall’esame delle figure 4-8 è possibile notare come gli effetti dovuti al traffico veicolare siano
dello stesso ordine di grandezza di quelli più gravosi dovuti al sisma.
2.5 Comportamento dinamico per effetto di terremoti e traffico veicolare
Al fine di evidenziare il ruolo del traffico veicolare sul comportamento dinamico del ponte e
di verificare l’eventuale presenza di effetti di accoppiamento sulle vibrazioni, il ponte in esame
è stato analizzato nel caso in cui il sisma agisca contemporaneamente nelle tre direzioni assieme
al transito di un veicolo in frenatura con velocità iniziale pari a 100 km/h e spazio di frenatura
pari alla luce del ponte. Il grafico dell’abbassamento del punto A2 è riportato in figura 9 al variare
del tempo. Dall’esame di tale figura si deduce bene come gli effetti delle azioni agenti sul
ponte si sommino senza effetti di accoppiamento e come il traffico veicolare influenzi la risposta
dinamica specialmente nei primi secondi in corrispondenza dei quali ancora l’effetto del sisma
non è il massimo.

0.08
0.04
Abbassamenti punto A2 [cm]
0.00
-0.04
-0.08
-0.12
0 5 10 15 20 25
t [sec]
Figura 9– Abbassamenti del punto A 2 al variare del tempo per un sisma agente nelle tre direzione x, y e z
e nel caso di veicolo in frenata
3 CONCLUSIONI
Nel lavoro è stato presentato lo studio del comportamento dinamico di un ponte ad arco in
muratura della città di Palermo per effetto di azioni sismiche e traffico veicolare. In particolare è
stato messo in evidenza come gli effetti, in termini di abbassamenti, dovuti al transito di un veicolo
viaggiante a velocità costante e quelli dovuti ad un veicolo in frenata siano analoghi e risultano
essere dello stesso ordine di grandezza di quelli più gravosi dovuti al sisma. L’analisi del
comportamento dinamico del ponte per effetto combinato del sisma spettro-compatibile agente
nelle tre direzioni con intensità aderente alla normativa vigente e di un veicolo in frenata ha
messo in evidenza come tale comportamento dinamico sia fortemente influenzato dal traffico
veicolare. Ne segue che per una corretta analisi dinamica delle strutture da ponte sia necessario
tenere in opportuna considerazione gli effetti del traffico veicolare.
RINGRAZIAMENTI
Il presente lavoro è stato realizzato con il contributo del cofinanziamento MURST 40 % 1998
“Identificazione dinamica del danneggiamento nelle strutture da ponte”.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
ADINA R & D, Inc.,1997. Theory and Modeling Guide, Watertown, MA 02172 USA.
Borino G., 1989. Analisi Dinamica di Strutture Elastoplastiche con Metodi di Programmazione Matematica,
Tesi di Dottorato di Ricerca in Ingegneria delle Strutture.
Catalogo Iveco, 1995, Scheda Tecnica dei Cabinati.
Catalogo Zorzi,1995, Scheda Tecnica dei Rimorchi.
Choo B. S., Coutie M. G., Gong N. G., 1991. Finite-Element Analysis of Masonry Arch Bridges Using
Tapered Elements, Paper 9774, Structural and Building Board, Proc. Instn Civ. Engrs, Part 2.
Crisfield, M. A., 1985, Finite Element and Mechanism Methods for the Analysis of Masonry and Brickwork
Arches, Res. Rep. n°19, TRRL, Transport and Road Research Laboratory, Crowthorne, Berks.

Crisfield, M. A., 1990, Assessment of the Load Carrying Capacity of Arch Bridges, in A. M. Sowden
(eds), The Maintenance of Brick and Stone Masonry Structures, Cap. VII, E.&F.N. Spon.
Decreto Ministeriale LL.PP. 16/01/1996 “Norme tecniche per le costruzioni in zone sismiche”, Suppl.
Ord. G.U. 5/2/1996, n°29
Ferrari P. e Giannini F., 1994, Geometria e progetto di Strade, ISEDI, UTET Libreria.
Fuschi P., 1993, Metodi Numerici per l’Analisi Non Lineare di Strutture in Muratura, COMETT.
Harvey, W. J., 1988, Application of the Mechanism Analysis to Masonry Archs, The Structural Engineer,
66(5).
Heyman J., 1982, The Masonry Arch, Ellis Horwood Series Limited in Engineering Scienze
Loo, Y.C., Yang Y., 1991, Cracking and Failure Analysis of Masonry Arch Bridges, J. Struct. Engng.,
ASCE, 117(6).
Loo Y.C, Yang Y., 1991, Cracking and Failure Analysis of Masonry Bridges, J. of Struct. Eng., 117, n°6.
Palermo G., 1858, Guide, Ultima Edizione.
Ricciardi G.,1994, Random Vibration of Beam Under Moving Loads, J. of Eng. Mech., ASCE,2361-2380.
Stanisic, M. M., Euler, J. A., Montgomery, S. T., 1974, On a Theory Concerning the Dynamical Behavior
of Strustures Carrying Moving Masses, Ing.-Arch, 295-305.
Villabianca Francesco Maria Emanuele Marchese di, Nuove Accessioni.