Esercizi su relazioni costitutive e vettori complessi

Soluzioni
Esercizio n. 1
Poiché il campo elettrico ha dipendenza dal tempo di tipo monocromatico, la sua
polarizzazione sarà in generale ellittica (e come caso particolare lineare o circolare).
Sapendo che la sua ampiezza istantanea non dipende dal tempo deduciamo che si tratta di
un campo polarizzato circolarmente.
Poiché il campo non ha componente nella direzione del vettore w , il piano di
polarizzazione sarà ortogonale a tale vettore. Procuriamoci allora una base ortogonale in
tale piano. Un vettore ortogonale a w è ad esempio
u = x ´ w = x ´ x + y + z = - y + z ; un vettore ortogonale sia a w sia a u è
0 0 ( 0 0 0)
0 0
v = w´ u = ( x + y + z
0 0 0) ´ (- y + z
0 0)
= 2x -y -z . La base
0 0 0 ( , )
ortonormale, essendo u = ( ) 2 2
- 1 + 1 = 2, 2
( ) ( )
Affinché ( t)
uv è ortogonale ma non
2 2
v = 2 + - 1 + - 1 = 6 .
E sia polarizzato circolarmente il relativo vettore complesso E = E + j E
R J
deve avere parti reali e immaginaria ortogonali fra loro e di uguale modulo. Possiamo
allora porre E = c u, E = c v, con c costanti reali scelte in modo che
R 1 J 2
1,2
c u = c v = 5V/m é ù
1 2 ê ë ú û
; risulta così c = 5/ u = 5/ 2 , c = 5/ v = 5/ 6, dunque
1 2
5
E =
R (- y + z
0 0)
2
E =
5 2 x -y -z
6
( )
J 0 0 0
ovvero E = j 10 x + æ 5 j 5 ö æ 5 j
5 ö
éV/mù
0 - - + -
0 0
6 ç
ê ú
è ë û
2 6÷ ø y èç
2 6ø÷
z . Nel dominio del tempo,
9
tenendo conto che w = 2pf
= 2p⋅2 ⋅10 érad/sù
êë úû :
E
( t) = E cos( wt) -E
sin
R
J ( wt)
5 9 5
( y z
0 0) ( p t) ( x y z
0 0 0) ( p
9
t)
= - + cos 2 ⋅2⋅10 - 2 - - sin 2 ⋅2⋅10 éV/mù
êë
úû
2 6
Calcoliamo il vettore induzione elettrica nel dominio dei fasori: