Esercizi su relazioni costitutive e vettori complessi

Sapienza Università di Roma – Facoltà di Ingegneria (sede di Latina)
Corso di laurea in Ingegneria dell’Informazione (indirizzi EL e TLC)
Corso di Campi elettromagnetici I (I parte)
A.a. 2010-2011 – Dott. Paolo Burghignoli
Esercizi su relazioni costitutive e vettori complessi
28 marzo 2011
Esercizio n. 1
Scrivere l’espressione di un campo elettrico E ( t)
nel dominio del tempo sapendo che: i) la
dipendenza dal tempo delle sue componenti è di tipo monocromatico con frequenza
f = 2GHz é ù ê ë ú û
; ii) la sua ampiezza istantanea non dipende dal tempo e vale 5éV/mù
êë úû ; iii) E ( t)
non ha componente nella direzione del vettore w = x + y + z . Determinare il
0 0 0
corrispondente vettore induzione elettrica D ( t)
nel dominio del tempo e specificarne lo
stato di polarizzazione, sapendo che il mezzo in cui esiste il campo è lineare, stazionario,
omogeneo, anisotropo, non dispersivo, con costante dielettrica relativa (diadica)
e = xx + yy +2zz
.
r 0 0 0 0 0 0
Esercizio n. 2
2 4 2
Una ferrite priva di perdite avente rapporto giromagnetico g =-2.24p ⋅10 éWb/(Jm s) ù
êë
úû
viene magnetizzata a saturazione mediante un campo magnetico statico
5
H = 2.842 ⋅ 10 éA/mù
s ê ë ú û
diretto lungo l’asse z . L’intensità del vettore di magnetizzazione
2
risultante è M = 0.2 éWb/m
ù
s êë úû .
1. Calcolare il diadico di permeabilità relativa della ferrite nel dominio dei fasori,
valido nell’ipotesi di linearizzazione della sua relazione costitutiva (cioè per
‘piccoli’ campi magnetici).
2. Sapendo che in un punto della ferrite la parte variabile del campo magnetico è
H t = x cos wt + 2z
sin wt
, calcolare nello
espressa nel dominio del tempo da ( ) 0 ( ) 0 ( )
stesso punto il vettore di magnetizzazione M ( t)
e il vettore induzione magnetica
B ( t)
, specificando lo stato di polarizzazione dei tre vettori al variare della
pulsazione w .

Soluzioni
Esercizio n. 1
Poiché il campo elettrico ha dipendenza dal tempo di tipo monocromatico, la sua
polarizzazione sarà in generale ellittica (e come caso particolare lineare o circolare).
Sapendo che la sua ampiezza istantanea non dipende dal tempo deduciamo che si tratta di
un campo polarizzato circolarmente.
Poiché il campo non ha componente nella direzione del vettore w , il piano di
polarizzazione sarà ortogonale a tale vettore. Procuriamoci allora una base ortogonale in
tale piano. Un vettore ortogonale a w è ad esempio
u = x ´ w = x ´ x + y + z = - y + z ; un vettore ortogonale sia a w sia a u è
0 0 ( 0 0 0)
0 0
v = w´ u = ( x + y + z
0 0 0) ´ (- y + z
0 0)
= 2x -y -z . La base
0 0 0 ( , )
ortonormale, essendo u = ( ) 2 2
- 1 + 1 = 2, 2
( ) ( )
Affinché ( t)
uv è ortogonale ma non
2 2
v = 2 + - 1 + - 1 = 6 .
E sia polarizzato circolarmente il relativo vettore complesso E = E + j E
R J
deve avere parti reali e immaginaria ortogonali fra loro e di uguale modulo. Possiamo
allora porre E = c u, E = c v, con c costanti reali scelte in modo che
R 1 J 2
1,2
c u = c v = 5V/m é ù
1 2 ê ë ú û
; risulta così c = 5/ u = 5/ 2 , c = 5/ v = 5/ 6, dunque
1 2
5
E =
R (- y + z
0 0)
2
E =
5 2 x -y -z
6
( )
J 0 0 0
ovvero E = j 10 x + æ 5 j 5 ö æ 5 j
5 ö
éV/mù
0 - - + -
0 0
6 ç
ê ú
è ë û
2 6÷ ø y èç
2 6ø÷
z . Nel dominio del tempo,
9
tenendo conto che w = 2pf
= 2p⋅2 ⋅10 érad/sù
êë úû :
E
( t) = E cos( wt) -E
sin
R
J ( wt)
5 9 5
( y z
0 0) ( p t) ( x y z
0 0 0) ( p
9
t)
= - + cos 2 ⋅2⋅10 - 2 - - sin 2 ⋅2⋅10 éV/mù
êë
úû
2 6
Calcoliamo il vettore induzione elettrica nel dominio dei fasori:

D= e e ⋅E
0 r
é 10 æ 5 5 ö æ 5 5 ö ù
= e0( xx + yy + 2zz 0 0 0 0 0 0)
⋅ j j j
x +
0 - - y +
0 -
z0
ê 6 ç 2 6÷ ç 2 6÷
ë è ø è ø úû
é 10 æ 5 5 ö æ 5 5 öù
= e
j j 2
j
0 x + y 0 0 - - + z
0
-
ê 6 ç 2 6÷ ç 2 6÷
ë
è ø è øúû
éæ 5 10 ö æ10 5 10 öù
= e
- + + j
- -
0 y z
0 0 x y z
é 2
C/m ù
0 0 0
çè 2 2 ÷ ø ç
÷
è
ê ú
6 6 6 ÷ø ë û
êë
úû
ovvero D = e ( 5/ 2)( - y + 2z ), = e (5 / 6) ( 2 - -2
)
R 0 0 0
D x y z . I vettori
J 0 0 0 0
R
D e
D non
J
sono paralleli (dunque escludiamo la polarizzazione lineare) e D R
⋅ D J
¹ 0 (dunque
escludiamo la polarizzazione circolare): il vettore induzione elettrica sarà polarizzato
ellitticamente. Nel dominio del tempo infine:
D
( t) = D cos( wt) -D
sin( wt)
R
J
é 5 5
ù
e ( 2 ) cos( 2p 2 10 t) ( 2 2 ) sin( 2p
2 10 t)
éC/m
ù
ê
y z x y z
ú
2 6
ë û
ë
û
9 9 2
= - + ⋅ ⋅ - - - ⋅ ⋅
0 0 0 0 0 0
ê ú
Esercizio n. 2
Calcoliamo le pulsazioni w e
0
di permeabilità magnetica di una ferrite magnetizzata:
w che figurano nelle espressioni degli elementi del diadico
m
w
w
0 S
2 4 5 10
= 2.24p ⋅10 ⋅2.842 ⋅ 10 @ 2p⋅ 10 rad/s = 2pf
= 10 GHz
0 0
m
=-gH
é ù é ù
êë úû êë úû
g
=- MS
m0
2 4
2.24p
⋅ 10
9
= ⋅ 0.2@ 2p⋅5.6 ⋅ 10 érad/sù 2pf
5.6 éGHzù
-7
ê ú = =
m ê ú
4p
⋅ 10
ë û ë û
( f
)
( fm
)
La suscettività magnetica è c ( xx + yy
m 1 0 0 0 0) + jc2( xy -yx
0 0 0 0)
magnetica relativa ( 1 c )( ) jc
( )
c = e la permeabilità
m = I + c = + x x + y y + x y - y x + z z , con
r 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0
c
ww
= , c =
w w
0 m m
1 2 2 2 2 2
w -w w -w
0 0

Determiniamo ora il vettore complesso H rappresentativo di H ( t)
: H ( 0)
H
( T )
=- H /4 =-2z
, dunque H = x -2jz . Poiché H e
0 0
R
J 0
= H = x ,
R 0
H sono perpendicolari ma
J
hanno modulo diverso il campo magnetico risulta essere polarizzato ellitticamente.
Per il vettore di magnetizzazione si ha
M = m c ⋅H
0 m
= m c + + c - ⋅ -
é
( ) j ( )
ù
ê xx yy xy yx ú ( x 2jz
ë
û
)
2
( x j y )
éWb/m
ù
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0
= m c - c
0 1 0 2 0 ê ú
ë
û
Poiché c sono sempre diversi da zero (il campo oscilla a frequenza non nulla), il vettore
1,2
in parentesi ha parti reale e immaginaria diverse da zero e perpendicolari. I moduli di tali
vettori sono pari rispettivamente a c e c ; dalle espressioni di c si trova facilmente
1 2
1,2
che i loro moduli sono sempre diversi, pertanto concludiamo che la polarizzazione è
ellittica.
Per il vettore induzione magnetica si ha
B = m m ⋅H
0 r
= m + c + + c - + ⋅ -
= m + c - c -
0 ëê 1 0 2 0 0ûú ëê ûú
é( 1 )( ) j ( )
ù
ê xx yy xy yx zzú
( x 2jz
ë
û
)
é 2
( 1 ) x j y 2jz
ù éWb/m
ù
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
Il vettore in parentesi quadre ha parte reale ( 1 c 1
) 0
+ x e parte immaginaria -c
y -2z .
2 0 0
La parte immaginaria ha modulo sempre diverso da zero. Il modulo della parte reale è
nullo alla frequenza f = f per cui c =- 1; in questo caso il vettore induzione magnetica
1
risulterà essere polarizzato linearmente. Dall’espressione di c risulta poi
1
2
f = f + f f = 156 @ 12.49 éGHzù
0 0 m êë
úû
. Per f ¹ f
le parti reali e immaginaria sono
perpendicolari, pertanto si ha polarizzazione generalmente ellittica; questa diventa
circolare se i moduli delle parti reali e immaginaria del vettore in parentesi quadre sono
uguali. Quest’ultima condizione si traduce, tenendo conto delle espressioni di c , in una
1,2
equazione di quarto grado in w che va risolta numericamente...