Esercizi su relazioni costitutive e vettori complessi
Esercizi su relazioni costitutive e vettori complessi
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Sapienza Università di Roma – Facoltà di Ingegneria (sede di Latina)<br />
Corso di laurea in Ingegneria dell’Informazione (indirizzi EL e TLC)<br />
Corso di Campi elettromagnetici I (I parte)<br />
A.a. 2010-2011 – Dott. Paolo Burghignoli<br />
<strong>Esercizi</strong> <strong>su</strong> <strong>relazioni</strong> <strong>costitutive</strong> e <strong>vettori</strong> <strong>complessi</strong><br />
28 marzo 2011<br />
<strong>Esercizi</strong>o n. 1<br />
Scrivere l’espressione di un campo elettrico E ( t)<br />
nel dominio del tempo sapendo che: i) la<br />
dipendenza dal tempo delle <strong>su</strong>e componenti è di tipo monocromatico con frequenza<br />
f = 2GHz é ù ê ë ú û<br />
; ii) la <strong>su</strong>a ampiezza istantanea non dipende dal tempo e vale 5éV/mù<br />
êë úû ; iii) E ( t)<br />
non ha componente nella direzione del vettore w = x + y + z . Determinare il<br />
0 0 0<br />
corrispondente vettore induzione elettrica D ( t)<br />
nel dominio del tempo e specificarne lo<br />
stato di polarizzazione, sapendo che il mezzo in cui esiste il campo è lineare, stazionario,<br />
omogeneo, anisotropo, non dispersivo, con costante dielettrica relativa (diadica)<br />
e = xx + yy +2zz<br />
.<br />
r 0 0 0 0 0 0<br />
<strong>Esercizi</strong>o n. 2<br />
2 4 2<br />
Una ferrite priva di perdite avente rapporto giromagnetico g =-2.24p ⋅10 éWb/(Jm s) ù<br />
êë<br />
úû<br />
viene magnetizzata a saturazione mediante un campo magnetico statico<br />
5<br />
H = 2.842 ⋅ 10 éA/mù<br />
s ê ë ú û<br />
diretto lungo l’asse z . L’intensità del vettore di magnetizzazione<br />
2<br />
ri<strong>su</strong>ltante è M = 0.2 éWb/m<br />
ù<br />
s êë úû .<br />
1. Calcolare il diadico di permeabilità relativa della ferrite nel dominio dei fasori,<br />
valido nell’ipotesi di linearizzazione della <strong>su</strong>a relazione costitutiva (cioè per<br />
‘piccoli’ campi magnetici).<br />
2. Sapendo che in un punto della ferrite la parte variabile del campo magnetico è<br />
H t = x cos wt + 2z<br />
sin wt<br />
, calcolare nello<br />
espressa nel dominio del tempo da ( ) 0 ( ) 0 ( )<br />
stesso punto il vettore di magnetizzazione M ( t)<br />
e il vettore induzione magnetica<br />
B ( t)<br />
, specificando lo stato di polarizzazione dei tre <strong>vettori</strong> al variare della<br />
pulsazione w .
Soluzioni<br />
<strong>Esercizi</strong>o n. 1<br />
Poiché il campo elettrico ha dipendenza dal tempo di tipo monocromatico, la <strong>su</strong>a<br />
polarizzazione sarà in generale ellittica (e come caso particolare lineare o circolare).<br />
Sapendo che la <strong>su</strong>a ampiezza istantanea non dipende dal tempo deduciamo che si tratta di<br />
un campo polarizzato circolarmente.<br />
Poiché il campo non ha componente nella direzione del vettore w , il piano di<br />
polarizzazione sarà ortogonale a tale vettore. Procuriamoci allora una base ortogonale in<br />
tale piano. Un vettore ortogonale a w è ad esempio<br />
u = x ´ w = x ´ x + y + z = - y + z ; un vettore ortogonale sia a w sia a u è<br />
0 0 ( 0 0 0)<br />
0 0<br />
v = w´ u = ( x + y + z<br />
0 0 0) ´ (- y + z<br />
0 0)<br />
= 2x -y -z . La base<br />
0 0 0 ( , )<br />
ortonormale, essendo u = ( ) 2 2<br />
- 1 + 1 = 2, 2<br />
( ) ( )<br />
Affinché ( t)<br />
uv è ortogonale ma non<br />
2 2<br />
v = 2 + - 1 + - 1 = 6 .<br />
E sia polarizzato circolarmente il relativo vettore complesso E = E + j E<br />
R J<br />
deve avere parti reali e immaginaria ortogonali fra loro e di uguale modulo. Possiamo<br />
allora porre E = c u, E = c v, con c costanti reali scelte in modo che<br />
R 1 J 2<br />
1,2<br />
c u = c v = 5V/m é ù<br />
1 2 ê ë ú û<br />
; ri<strong>su</strong>lta così c = 5/ u = 5/ 2 , c = 5/ v = 5/ 6, dunque<br />
1 2<br />
5<br />
E =<br />
R (- y + z<br />
0 0)<br />
2<br />
E =<br />
5 2 x -y -z<br />
6<br />
( )<br />
J 0 0 0<br />
ovvero E = j 10 x + æ 5 j 5 ö æ 5 j<br />
5 ö<br />
éV/mù<br />
0 - - + -<br />
0 0<br />
6 ç<br />
ê ú<br />
è ë û<br />
2 6÷ ø y èç<br />
2 6ø÷<br />
z . Nel dominio del tempo,<br />
9<br />
tenendo conto che w = 2pf<br />
= 2p⋅2 ⋅10 érad/sù<br />
êë úû :<br />
E<br />
( t) = E cos( wt) -E<br />
sin<br />
R<br />
J ( wt)<br />
5 9 5<br />
( y z<br />
0 0) ( p t) ( x y z<br />
0 0 0) ( p<br />
9<br />
t)<br />
= - + cos 2 ⋅2⋅10 - 2 - - sin 2 ⋅2⋅10 éV/mù<br />
êë<br />
úû<br />
2 6<br />
Calcoliamo il vettore induzione elettrica nel dominio dei fasori:
D= e e ⋅E<br />
0 r<br />
é 10 æ 5 5 ö æ 5 5 ö ù<br />
= e0( xx + yy + 2zz 0 0 0 0 0 0)<br />
⋅ j j j<br />
x +<br />
0 - - y +<br />
0 -<br />
z0<br />
ê 6 ç 2 6÷ ç 2 6÷<br />
ë è ø è ø úû<br />
é 10 æ 5 5 ö æ 5 5 öù<br />
= e<br />
j j 2<br />
j<br />
0 x + y 0 0 - - + z<br />
0<br />
-<br />
ê 6 ç 2 6÷ ç 2 6÷<br />
ë<br />
è ø è øúû<br />
éæ 5 10 ö æ10 5 10 öù<br />
= e<br />
- + + j<br />
- -<br />
0 y z<br />
0 0 x y z<br />
é 2<br />
C/m ù<br />
0 0 0<br />
çè 2 2 ÷ ø ç<br />
÷<br />
è<br />
ê ú<br />
6 6 6 ÷ø ë û<br />
êë<br />
úû<br />
ovvero D = e ( 5/ 2)( - y + 2z ), = e (5 / 6) ( 2 - -2<br />
)<br />
R 0 0 0<br />
D x y z . I <strong>vettori</strong><br />
J 0 0 0 0<br />
R<br />
D e<br />
D non<br />
J<br />
sono paralleli (dunque escludiamo la polarizzazione lineare) e D R<br />
⋅ D J<br />
¹ 0 (dunque<br />
escludiamo la polarizzazione circolare): il vettore induzione elettrica sarà polarizzato<br />
ellitticamente. Nel dominio del tempo infine:<br />
D<br />
( t) = D cos( wt) -D<br />
sin( wt)<br />
R<br />
J<br />
é 5 5<br />
ù<br />
e ( 2 ) cos( 2p 2 10 t) ( 2 2 ) sin( 2p<br />
2 10 t)<br />
éC/m<br />
ù<br />
ê<br />
y z x y z<br />
ú<br />
2 6<br />
ë û<br />
ë<br />
û<br />
9 9 2<br />
= - + ⋅ ⋅ - - - ⋅ ⋅<br />
0 0 0 0 0 0<br />
ê ú<br />
<strong>Esercizi</strong>o n. 2<br />
Calcoliamo le pulsazioni w e<br />
0<br />
di permeabilità magnetica di una ferrite magnetizzata:<br />
w che figurano nelle espressioni degli elementi del diadico<br />
m<br />
w<br />
w<br />
0 S<br />
2 4 5 10<br />
= 2.24p ⋅10 ⋅2.842 ⋅ 10 @ 2p⋅ 10 rad/s = 2pf<br />
= 10 GHz<br />
0 0<br />
m<br />
=-gH<br />
é ù é ù<br />
êë úû êë úû<br />
g<br />
=- MS<br />
m0<br />
2 4<br />
2.24p<br />
⋅ 10<br />
9<br />
= ⋅ 0.2@ 2p⋅5.6 ⋅ 10 érad/sù 2pf<br />
5.6 éGHzù<br />
-7<br />
ê ú = =<br />
m ê ú<br />
4p<br />
⋅ 10<br />
ë û ë û<br />
( f<br />
)<br />
( fm<br />
)<br />
La <strong>su</strong>scettività magnetica è c ( xx + yy<br />
m 1 0 0 0 0) + jc2( xy -yx<br />
0 0 0 0)<br />
magnetica relativa ( 1 c )( ) jc<br />
( )<br />
c = e la permeabilità<br />
m = I + c = + x x + y y + x y - y x + z z , con<br />
r 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0<br />
c<br />
ww<br />
= , c =<br />
w w<br />
0 m m<br />
1 2 2 2 2 2<br />
w -w w -w<br />
0 0
Determiniamo ora il vettore complesso H rappresentativo di H ( t)<br />
: H ( 0)<br />
H<br />
( T )<br />
=- H /4 =-2z<br />
, dunque H = x -2jz . Poiché H e<br />
0 0<br />
R<br />
J 0<br />
= H = x ,<br />
R 0<br />
H sono perpendicolari ma<br />
J<br />
hanno modulo diverso il campo magnetico ri<strong>su</strong>lta essere polarizzato ellitticamente.<br />
Per il vettore di magnetizzazione si ha<br />
M = m c ⋅H<br />
0 m<br />
= m c + + c - ⋅ -<br />
é<br />
( ) j ( )<br />
ù<br />
ê xx yy xy yx ú ( x 2jz<br />
ë<br />
û<br />
)<br />
2<br />
( x j y )<br />
éWb/m<br />
ù<br />
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0<br />
= m c - c<br />
0 1 0 2 0 ê ú<br />
ë<br />
û<br />
Poiché c sono sempre diversi da zero (il campo oscilla a frequenza non nulla), il vettore<br />
1,2<br />
in parentesi ha parti reale e immaginaria diverse da zero e perpendicolari. I moduli di tali<br />
<strong>vettori</strong> sono pari rispettivamente a c e c ; dalle espressioni di c si trova facilmente<br />
1 2<br />
1,2<br />
che i loro moduli sono sempre diversi, pertanto concludiamo che la polarizzazione è<br />
ellittica.<br />
Per il vettore induzione magnetica si ha<br />
B = m m ⋅H<br />
0 r<br />
= m + c + + c - + ⋅ -<br />
= m + c - c -<br />
0 ëê 1 0 2 0 0ûú ëê ûú<br />
é( 1 )( ) j ( )<br />
ù<br />
ê xx yy xy yx zzú<br />
( x 2jz<br />
ë<br />
û<br />
)<br />
é 2<br />
( 1 ) x j y 2jz<br />
ù éWb/m<br />
ù<br />
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
Il vettore in parentesi quadre ha parte reale ( 1 c 1<br />
) 0<br />
+ x e parte immaginaria -c<br />
y -2z .<br />
2 0 0<br />
La parte immaginaria ha modulo sempre diverso da zero. Il modulo della parte reale è<br />
nullo alla frequenza f = f per cui c =- 1; in questo caso il vettore induzione magnetica<br />
1<br />
ri<strong>su</strong>lterà essere polarizzato linearmente. Dall’espressione di c ri<strong>su</strong>lta poi<br />
1<br />
2<br />
f = f + f f = 156 @ 12.49 éGHzù<br />
0 0 m êë<br />
úû<br />
. Per f ¹ f<br />
le parti reali e immaginaria sono<br />
perpendicolari, pertanto si ha polarizzazione generalmente ellittica; questa diventa<br />
circolare se i moduli delle parti reali e immaginaria del vettore in parentesi quadre sono<br />
uguali. Quest’ultima condizione si traduce, tenendo conto delle espressioni di c , in una<br />
1,2<br />
equazione di quarto grado in w che va risolta numericamente...