4.5 Angular Momentum of the System - ภาควิชาฟิสิกส์ - มหาวิทยาลัย ...
4.5 Angular Momentum of the System - ภาควิชาฟิสิกส์ - มหาวิทยาลัย ...
4.5 Angular Momentum of the System - ภาควิชาฟิสิกส์ - มหาวิทยาลัย ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
้<br />
่<br />
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-38<br />
จากที่สูง h และ b) วงแหวนรัศมี R มวล M กลิ้งลงพื ้นเอียงที่มีแรงเสียดทาน จากความสูง h<br />
เช่นกัน จงเปรียบเทียบอัตราเร็วของวัตถุทั ้งสอง เมื่อเคลื่อนที่มาถึงพื ้น<br />
บอกใบ้ ใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน<br />
เฉลย a) กล่องไถล vcm<br />
2gh b) วงแหวนกลิ้ง vcm<br />
gh<br />
<strong>4.5</strong> <strong>Angular</strong> <strong>Momentum</strong> <strong>of</strong> <strong>the</strong> <strong>System</strong><br />
การเคลื่อนที่แบบหมุน ถือว่าเป็นลักษณะการเคลื่อนที่อีกแบบหนึ ่งที่มีความสําคัญ และ "angular<br />
momentum" เป็นปริมาณทางฟิสิกส์อีกอันหนึ ่งที่ให้ในการศึกษาสมบัติของอนุภาคที่เกี่ยวข้องกับการ<br />
หมุน ดังจะได้ทบทวน angular momentum ของอนุภาคที่กําลังเคลื่อนที่ในลําดับต่อไปนี<br />
ทบทวน <strong>Angular</strong> <strong>Momentum</strong> ของ 1 อนุภาค<br />
พิจารณาอนุภาคมวล m ซึ ่งกําลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v และในขณะนั ้น สมมุติให้มีตําแหน่งอยู<br />
ณ พิกัด r ซึ ่งวัดโดยผู้สังเกต ณ จุดกําเนิด จะได้ว่า<br />
<br />
angular momentum ของอนุภาค คือ L rp<br />
___________________ สมการ (4.34)<br />
เมื่อ p คือ linear momentum ของอนุภาคนั ้นๆ และเพื่อที่จะให้เข้าใจ angular momentum L ดัง<br />
นิยามในสมการ (4.34) ได้มากขึ ้น เราลองสมมุติกรณีตัวอย่างของการเคลื่อนที่ ซึ ่งอนุภาคมวล m<br />
เคลื่อนที่เป็นวงกลม รอบจุดกําเนิด ด้วยอัตราเร็วคงที่ ดังแสดงในภาพ<br />
ทั ้งนี ้สมมุติว่านักศึกษามีความเชี่ยวชาญเกี่ยวกับกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วย cross product<br />
มาพอสมควร จะเห็นว่า ในกรณีตัวอย่างเช่นนี ้ ทิศทางของ angular momentum แสดงให้เห็นถึงแกน<br />
ของการหมุนนั่นเอง ส่วนขนาดของ angular momentum นั ้นขึ ้นอยู ่กับรัศมี, มวลของอนุภาค, และ<br />
ความเร็วในการเคลื่อนที่ ดังแสดงในสมการ (4.34)<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-39<br />
อย่างไรก็ตามบทสรุปข้างต้น จะเป็นจริงได้ ก็ต่อเมื่อจุดศูนย์กลางของการหมุนนั ้น อยู ่ ณ จุดกําเนิด<br />
พอดี อันที่จริงแล้ว เนื่องจากคํานิยามของ angular momentum ในสมการ (4.34) ที่ขึ ้นอยู ่ตําแหน่ง r <br />
ของอนุภาค ซึ ่งก็ขึ ้นอยู ่กับว่าเราจะกําหนดจุดใด ให้เป็นจุดกําเนิด ทําให้ในท้ายที่สุดแล้ว L มีค่า<br />
แตกต่างกันออกไป เมื่อวัดโดยผู้สังเกตที่ใช้จุดกําเนิดแตกต่างกัน<br />
เพราะฉะนั ้น ในการคํานวณ angular momentum L <br />
จะต้องบ่งบอกให้ชัดเจนว่า เราใช้จุดใด เป็นจุดกําเนิด เสมอ<br />
_________________________ สมการ (4.35)<br />
ตัวอย่างโจทย์<br />
อนุภาคมวล m เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยรัศมี a ในระนาบ ณ ความ<br />
สูง b ดังแสดงในภาพ ถ้าในขณะนั ้นมันอยู ่ ณ มุม และมี<br />
อัตราเร็วเท่ากับ v จงคํานวณหา angular momentum L โดยให้<br />
บอกทั ้งขนาดและทิศทางของ vector ดังกล่าว<br />
วิธีทํา จากคํานิยามของ เราสามารถเขียนตําแหน่งของอนุภาค ในขณะนั ้นได้ว่า<br />
<br />
r acosˆiasin<br />
ˆj bkˆ<br />
จะเห็นว่าพิกัดตามแกน z มีค่าเท่ากับ b เสมอ เพราะอนุภาคเคลื่อนที่อยู ่แต่ในระนาบ และเพื่อความ<br />
สะดวกในการวิเคราะห์ความเร็ว v ของอนุภาคในขณะนั ้น เราจะวาดภาพของระบบ เมื่อมองจาก<br />
ด้านบน (top view) ดังภาพ<br />
จะได้ว่า v<br />
ก็คือ<br />
x<br />
vsin<br />
และ v vcos<br />
y<br />
หรือเขียนในรูปของ vector ได้<br />
<br />
vvsinˆi vcos<br />
ˆj 0kˆ<br />
เพราะฉะนั ้นแล้ว linear momentum ของอนุภาคมีค่าเท่ากับ<br />
<br />
pmvsin<br />
ˆi<br />
mvcos<br />
ˆj<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
้<br />
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-40<br />
เมื่อทราบข้อมูลทั ้ง 2 ชิ้น ทําให้เราสามารถคํานวณ angular momentum ได้ว่า<br />
<br />
Lrp<br />
acosˆi asinˆj bk ˆ mvsinˆi mvcos<br />
ˆj<br />
2 2<br />
amvcos ˆ ˆ amvsin ˆ ˆ bmvsinˆ<br />
ˆ bmvcosˆ<br />
ˆ<br />
<br />
<br />
L ij ji ki kj<br />
ในสมการข้างต้น เราใช้สมบัติการกระจายของ cross product จากนั ้นตัดเทอมที่เป็นศูนย์ ซึ ่งก็คือ<br />
ˆi<br />
ˆi และ ˆ j<br />
ˆ j ทิ้งไป นอกจากนี ้ถ้าเราอาศัยสมบัติที่ว่า 1) ˆ i ˆ j ˆ j<br />
ˆ i , 2) ˆ i ˆ j k ˆ , 3)<br />
k ˆ ˆ i ˆ j, และ 4) ˆj kˆ<br />
ˆi จะทําให้ angular momentum ลดรูปเหลือเพียง<br />
<br />
Lbmvcosˆi bmvsin<br />
ˆj amvkˆ<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />
และมีขนาดเท่ากับ L L L b m v a m v mv<br />
b a<br />
L <br />
x y z<br />
หรืออาจจะเขียนแสดงเป็นภาพของ L เมื่ออนุภาคอยู ่ ณ ตําแหน่ง ต่างๆกันได้ดังนี<br />
ตอบ<br />
หมายเหตุ: จากภาพจะเห็นว่า ในกรณีนี ้ ทิศทางของ vector L มิได้แสดงถึงแกนของการหมุน แต่<br />
อย่างใด ซึ ่งก็เพราะว่า จุดกําเนิด มิได้เป็นจุดศูนย์กลางของการหมุน ในตัวอย่างโจทย์ข้อนี ้นั่นเอง<br />
แบบฝึ กหัด 4.12 อนุภาคมวล m เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ u ดังภาพ จงแสดงให้เห็นว่า<br />
ขึ ้นอยู ่กับการวางจุดกําเนิด ว่าอยู ่ถัดมาเป็นระยะ b เท่าใด ขนาดของ total angular momentum มีค่า<br />
เท่ากับ L mb u<br />
<br />
<br />
L<br />
r p<br />
sin<br />
z<br />
y<br />
b<br />
r <br />
sin<br />
<br />
r <br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
p<br />
<br />
m<br />
u<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-41<br />
แบบฝึ กหัด 4.13 วัดโดยกรอบอ้างอิงอันหนึ ่งพบว่า อนุภาคมวล m กําลังเคลื่อนที่โดยมีพิกัดเท่ากับ<br />
<br />
r acostˆibsin<br />
tˆj<br />
เมื่อ ab , , คือค่าคงที่ a) จงอธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ของอนุภาค<br />
b) จงคํานวณ angular momentum L ณ เวลาใดๆ<br />
<br />
เฉลย: a) รูปวงรี b) L<br />
abm<br />
kˆ<br />
<strong>Angular</strong> <strong>Momentum</strong> ของ ระบบหลายอนุภาค<br />
จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า ค่าของ angular momentum ของ 1 อนุภาคที่คํานวณได้นั ้น ขึ ้นอยู ่กับกรอบ<br />
อ้างอิงที่เราใช้ว่าจะกําหนดให้จุดกําเนิดอยู ่ ณ ตําแหน่งใด ในระบบที่ประกอบด้วยอนุภาคจํานวน<br />
มาก ก็เช่นเดียวกัน และในลําดับต่อไปนี ้ เรามาศึกษา total angular momentum ของระบบ ซึ ่งแทน<br />
ด้วยสัญลักษณ์ L <br />
tot ซึ ่งวัดโดยผู้สังเกต 2 คน ที่มีกรอบอ้างอิงแตกต่างกัน คือ 1) ใช้จุดใดก็ได้เป็น<br />
จุดกําเนิด และ 2) กําหนดให้จุดกําเนิด อยู ่ ณ จุดศูนย์กลางมวล<br />
ในทํานองเดียวกันกับการวิเคราะห์ kinetic energy ของระบบที่ผ่านมา จากภาพ (4.7) แสดง system<br />
<strong>of</strong> particles ซึ ่งถ้าพิจารณาอนุภาค i ซึ ่งอยู ่ภายในระบบ เราสามารถแสดงตําแหน่งของมันโดยอาศัย<br />
กรอบอ้างอิงทั่วไป แทนด้วยสัญลักษณ์ r <br />
i หรือโดยอาศัยกรอบอ้างอิงซึ ่งมีจุดกําเนิดอยู ่ ณ center <strong>of</strong><br />
mass แทนด้วยสัญลักษณ์ r i <br />
เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างตําแหน่งของอนุภาค วัดโดยกรอบอ้างอิงทั ้งสองนี ้ได้ว่า<br />
r <br />
i r cm r <br />
i <br />
_________________________ สมการ (4.36)<br />
พิจารณา angular momentum ของอนุภาคดังกล่าว วัดโดยกรอบอ้างใดๆ จะได้ว่า<br />
d <br />
Li ripi rimi ri<br />
dt<br />
_________________________ สมการ (4.37)<br />
d<br />
เมื่อ i<br />
มันนั่นเอง ถ้าเรานิยาม<br />
dt r หมายถึงความเร็วของอนุภาค ซึ<br />
d<br />
่งจะมีผลทําให้ mi r i หมายถึง linear momentum ของ<br />
dt<br />
L tot <br />
total angular momentum ของระบบ ซึ ่งวัดโดยกรอบอ้างอิงใดๆ<br />
N<br />
L <br />
i1<br />
_________________________ สมการ (4.38)<br />
i<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-42<br />
จากสมการ (4.37) จะได้ว่า<br />
N<br />
d <br />
tot <br />
imi i<br />
i1<br />
dt <br />
<br />
N<br />
d <br />
<br />
rcm<br />
rim i rcm<br />
ri<br />
i1<br />
<br />
dt <br />
<br />
N N N<br />
d d d<br />
tot cm mi cm cm mi i<br />
<br />
imi<br />
cm<br />
dt dt dt<br />
i1 i1 i1<br />
1st term 2nd term = 0 3rd term = 0<br />
<br />
L r r<br />
<br />
d <br />
L<br />
<br />
r r<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
r r<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
r r<br />
<br />
<br />
i mi i<br />
<br />
<br />
r<br />
r<br />
i1<br />
dt <br />
<br />
<br />
N<br />
4th term<br />
_________________________ สมการ (4.39)<br />
ในสมการข้างต้น เราแทน r i r<br />
cm r<br />
i จากนั ้นใช้สมบัติการกระจายของ cross product ที่ว่า<br />
<br />
ABCDACADBCBD<br />
เมื่อ ABCD , , , คือ vector ใดๆ ผลลัพธ์<br />
ที่ได้ก็คือ total angular momentum L <br />
tot ในสมการ (4.39) แบ่งออกเป็น 4 เทอมด้วยกัน<br />
ในจํานวนนี ้เราจะพิสูจน์ว่า มีอยู ่ 2 เทอมด้วยกันที่เป็นศูนย์ กล่าวคือ เทอมที่สอง<br />
N<br />
<br />
<br />
r<br />
<br />
i1<br />
cm<br />
<br />
d<br />
mi<br />
dt<br />
<br />
ri<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
r<br />
<br />
และ เทอมที่สาม N i<br />
i rcm<br />
i1<br />
d <br />
m dt<br />
<br />
<br />
<br />
อันดับแรกนั ้นพิจารณาเทอมที่สาม<br />
N<br />
N<br />
d d <br />
rimi rcm<br />
mi i cm<br />
dt <br />
r<br />
r<br />
dt<br />
i1 i1 <br />
<br />
d d d <br />
m1r1 rcm m2r2 rcm mNrN<br />
rcm<br />
dt dt dt<br />
N<br />
N<br />
d d d <br />
rimi rcm m1 1m2 2 mN N cm mi i<br />
cm<br />
dt <br />
r r r r<br />
dt <br />
r r<br />
dt<br />
i1 i1<br />
<br />
ในการจัดรูปข้างต้น เราทําการกระจาย summation ให้อยู ่ในรูปผลบวกเพื่อสะดวกต่อการสังเกต<br />
จะเห็นว่าทุกเทอมที่ปรากฏนั ้น ล้วนมีการ cross product อยู ่กับ<br />
แยก<br />
d<br />
cm<br />
dt r<br />
d<br />
cm<br />
dt r<br />
ออกมาข้างนอก summation ดังกล่าว ซึ ่งจากสมการ (4.31)<br />
ดังนั ้นเราสามารถทําการ<br />
<br />
<br />
<br />
N<br />
mii<br />
r <br />
i1<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
วกกลับมาที่การวิเคราะห์เรื่อง total angular momentum L tot จากที่ได้กล่าวมาแล้วในสมการ<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-43<br />
(4.39) ว่า L tot ประกอบด้วย 4 เทอมด้วยกัน จากการวิเคราะห์ข้างต้น จะพบว่าเทอมที่สาม<br />
3rd Term<br />
N<br />
N<br />
d d <br />
ri<br />
mi rcm<br />
mi i cm<br />
dt <br />
<br />
r r<br />
dt<br />
i1 <br />
i1<br />
<br />
0<br />
0<br />
นอกจากนี ้ เทอมที่สอง<br />
2nd Term<br />
N N N<br />
d d d <br />
<br />
r m r <br />
r <br />
<br />
m r <br />
r mr0<br />
<br />
<br />
cm i i cm i i cm i i<br />
dt dt dt<br />
i1 i1 <br />
i1<br />
0<br />
เพราะฉะนั ้น total angular momentum<br />
L <br />
tot<br />
ในสมการ (4.39) ลดรูปเหลือเพียง<br />
N<br />
L d d <br />
m<br />
<br />
<br />
<br />
m<br />
<br />
r r <br />
<br />
r r <br />
<br />
<br />
tot cm i cm i i i<br />
dt<br />
dt<br />
i1 i1<br />
N<br />
______________ สมการ (4.40)<br />
เพี่อที่จะตีความผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ในสมการข้างต้นได้ง่ายขึ ้น เราลองจัดรูป 2 เทอมที่<br />
หลงเหลืออยู ่ให้เป็น<br />
และ<br />
<br />
N<br />
N<br />
d d <br />
<br />
rcm mi<br />
rcm cm mi<br />
cm cm tot<br />
dt <br />
r r r p<br />
dt<br />
i1 i1<br />
<br />
<br />
pi<br />
<br />
เพราะฉะนั ้นแล้ว<br />
นิยาม<br />
N<br />
(cm) d <br />
Ltot<br />
<br />
<br />
ri<br />
mi ri<br />
i1<br />
dt <br />
<br />
(cm)<br />
Ltot rcm ptot Ltot<br />
___________ สมการ (4.41)<br />
___________ สมการ (4.42)<br />
________________ สมการ (4.43)<br />
จากสมการข้างต้นจะพบว่า total angular momentum ของระบบหลายอนุภาคนั ้น ประกอบด้วย 2<br />
ส่วนด้วยกันคือ<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-44<br />
<br />
1) rcm ptot<br />
เป็น angular momentum ที่เสมือนว่าเรายุบรวมระบบให้เป็น 1 อนุภาคซึ ่งมีมวล M<br />
และกําลังเคลื่อนที่ด้วย total linear momentum p <br />
tot ในมุมมองเช่นนี ้ angular momentum ก็จะมี<br />
รูปแบบดังได้อธิบายในสมการ (4.34) นั่นเอง<br />
2)<br />
N<br />
(cm)<br />
d <br />
Ltot<br />
<br />
<br />
rim i ri<br />
dt <br />
<br />
i1<br />
เป็น total angular momentum ที่นับเอาจุดศูนย์กลางมวลเป็นจุด<br />
กําเนิด ดังที่ได้แสดงโดย super-script (cm) เทอมดังกล่าวนี ้จะมีค่าเป็นศูนย์ ในกรณีที่อนุภาค<br />
ภายในระบบ ไม่มีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์กับ center <strong>of</strong> mass ดังจะได้แสดงในตัวอย่างโจทย์ต่อไปนี ้<br />
ตัวอย่างโจทย์<br />
ภาพแสดงการเคลื่อนที่แบบต่างๆของวัตถุหลายรูปทรง จงวิเคราะห์ให้เห็นว่า เมื่อทําการคํานวณ<br />
total angular momentum L <br />
tot ซึ ่งวัดโดยกรอบอ้างอิงดังแสดงในภาพแล้วนั ้น ทั ้ง 2 เทอมที่ปรากฏ<br />
ในสมการ (4.43) เทอมใดเป็นศูนย์ เพราะเหตุใด<br />
วิธีทํา<br />
(1) ในขณะที่กล่องเคลื่อนที่ พิจารณากล่อง ณ เวลาต่างกันคือ t t1<br />
และ t t2<br />
จะพบว่าอนุภาค<br />
ทั ้งหมด ยกตัวอย่างเช่นอนุภาค i เคลื่อนที่ไปพร้อมกันกับจุดศูนย์กลางมวล ดังจะสังเกตเห็นได้<br />
จาก vector r i <br />
d<br />
ไม่มีการเปลี่ยนแปลงตามเวลา เพราะฉะนั ้นแล้ว r 0 และส่งผลให้<br />
dt<br />
i<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-45<br />
N<br />
(cm)<br />
d <br />
Ltot<br />
<br />
<br />
rim i ri<br />
0<br />
dt <br />
<br />
i1<br />
นอกจากนี ้ เทอม rcm ptot 0<br />
<br />
<br />
ดังแสดงให้เห็นในภาพ ตอบ<br />
(2) อย่าลืมว่าวงล้อกําลัง "ไถล" มิได้มีการกลิ้ง เพราะฉะนั ้นการเคลื่อนที่มีลักษณะไม่แตกต่างจาก<br />
ข้อ (1) เพียงแต่ผิวสัมผัสกับพื ้นมิได้แบนราบเหมือนกล่อง แต่มีลักษณะเป็นจุดในกรณีของวงกลม<br />
d<br />
r <br />
i<br />
dt<br />
จากภาพเมื่อพิจารณาอนุภาคภายในวงล้อ ยกตัวอย่างเช่นอนุภาค i จะพบว่า 0 และทําให้<br />
N<br />
(cm) d <br />
Ltot<br />
<br />
<br />
rim i ri<br />
0<br />
i1<br />
dt <br />
<br />
เช่นเดียวกัน นอกจากนี ้ เทอม rcm ptot 0<br />
<br />
<br />
ตอบ<br />
(3) ในกรณีที่มีการกลิ้ง จากภาพจะพบว่าเมื่อพิจารณาอนุภาค i ใดๆ ที่ประกอบกันขึ ้นเป็นระบบ<br />
ตําแหน่งของมันเมื่อวัดโดยผู้สังเกต ณ center <strong>of</strong> mass หรือแทนด้วย vector r i นั ้น จะมีการ<br />
d<br />
เปลี่ยนแปลงกับเวลา ทําให้ r 0 และระบบจะมี angular momentum รอบจุดศูนย์กลางมวล<br />
หรือ อีกนัยหนึ ่ง<br />
i<br />
dt<br />
N<br />
(cm) d <br />
Ltot<br />
<br />
<br />
rim i ri<br />
0<br />
i1<br />
dt <br />
<br />
<br />
r p<br />
มวลก็ยังคงเคลื่อนที่ในแนวราบ ส่งผลให้ cm tot 0<br />
นอกจากนี ้ เนื่องจากในขณะที่กลิ้ง จุดศูนย์กลาง<br />
อยู ่เช่นเดิม<br />
ตอบ<br />
(4) ระบบมีลักษณะคล้ายกับข้อ (1) เพียงแต่มีการนิยามกรอบอ้างอิงขึ ้นใหม่ เพื่อให้จุดศูนย์กลาง<br />
มวลของวัตถุอยู ่ในแนวระดับ y 0 (ซึ ่งก็ไม่ผิดกติกาแต่อย่างใด เพราะเราสามารถสร้างกรอบอิงได้<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-46<br />
โดยอิสระ)<br />
r <br />
cm<br />
ในกรณีนี ้นั<br />
ในข้อนี ้<br />
N<br />
(cm)<br />
d <br />
Ltot<br />
<br />
<br />
rim i ri<br />
0<br />
dt <br />
<br />
i1<br />
ด้วยเหตุผลเดียวกันกับข้อ (1) และเนื่องจาก<br />
้น ขนานไปกับ total linear momentum p จึงทําให้ rcm ptot 0<br />
tot<br />
<br />
<br />
ตอบ<br />
(5)<br />
N<br />
(cm) d <br />
Ltot<br />
<br />
<br />
rim i ri<br />
0<br />
i1<br />
dt <br />
<br />
เหตุผลเดียวกันกับข้อ (4)<br />
ตอบ<br />
ด้วยเหตุผลเดียวกันกับข้อ (2) และ rcm ptot 0<br />
<br />
<br />
ด้วย<br />
(6)<br />
N<br />
(cm)<br />
d <br />
Ltot<br />
<br />
<br />
rim i ri<br />
0<br />
dt <br />
<br />
i1<br />
เดียวกันกับข้อ (4)<br />
ตอบ<br />
ด้วยเหตุผลเดียวกันกับข้อ (3) และ rcm ptot 0<br />
<br />
<br />
ด้วยเหตุผล<br />
ตัวอย่างโจทย์<br />
dumbbell (ซึ ่งมีแกนกลางที่เบามาก จนไม่ต้องนํามาพิจารณาร่วมด้วย) มีการหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม<br />
จงคํานวณ total angular momentum ของระบบโดย 2 วิธีด้วยกัน คือ 1) คํานวณ angular<br />
<br />
momentum ของมวลแต่ละก้อน แล้วนํามารวมกัน หรือ Ltot L1 L2<br />
และ 2) โดยอาศัยสมการ<br />
(4.43)<br />
วิธีทํา (1) ขั ้นแรกคือเราต้องคํานวณ L 1 และ L 2 ด้วยวิธีที่คล้ายคลึงกับตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา<br />
โดยที่เราเขียน<br />
<br />
r ˆ ˆ ˆ<br />
1 acosiasinjbk<br />
และ 2<br />
<br />
r acosˆiasin<br />
ˆj bkˆ<br />
จากนั ้นวาดภาพของระบบในมุมมองจากด้านบน (top-view) เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์ และ<br />
ถ้าสมมุติว่า อัตราเร็วของแต่ละอนุภาคมีค่าเท่ากับ v จะได้ว่า<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-47<br />
<br />
v ˆ ˆ ˆ<br />
1 vsin<br />
ivcos<br />
j0k<br />
และ 2<br />
<br />
v vsinˆivcos ˆj 0kˆ<br />
และส่งผลให้ linear momentum ของแต่ละอนุภาคคือ<br />
ทําให้<br />
และ<br />
<br />
p ˆ ˆ<br />
1 mvsin<br />
imv cos<br />
j<br />
<br />
L1 r1p1<br />
และ 2<br />
<br />
p mvsin<br />
ˆimvcos<br />
ˆj<br />
acosˆi asinˆj bk ˆ mvsinˆi mvcos<br />
ˆj<br />
<br />
<br />
<br />
L ˆ ˆ ˆ<br />
1 bmvcos<br />
ibmvsin<br />
jamvk<br />
<br />
L2 r2p2<br />
acosˆi asinˆj bk ˆ mvsinˆi mv cos<br />
ˆj<br />
<br />
<br />
<br />
L ˆ ˆ ˆ<br />
2 bmvcos<br />
ibmvsin<br />
jamvk<br />
ทําให้ในท้ายที่สุด total angular momentum ของระบบมีค่าเท่ากับ<br />
L tot L 1 L <br />
2 2amvˆ<br />
k<br />
ทั ้งนี ้เราสามารถคํานวณอัตราเร็ว v ให้อยู ่ในรูปของอัตราเร็วเชิงมุม ที่โจทย์กําหนดให้ ได้จาก<br />
v = (ระยะทางทั ้งหมด, 2 a ) (เวลาเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ,<br />
T<br />
2<br />
) a<br />
<br />
เพราะฉะนั ้นแล้ว<br />
2<br />
L L L 2a mˆ k<br />
tot 1 2<br />
ซึ ่งเป็น vector ที่ชี ้ขึ ้นในแนวแกน z ตอบ<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
่<br />
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-48<br />
(2) ทําการคํานวณโดยอาศัยสมการ (4.43) เริ่มด้วยการสังเกตว่า ในขณะที่ระบบมีการเคลื่อนที่อยู<br />
นั ้น จุดศูนย์กลางมวล r <br />
cm อยู ่นิ่งกับที่ ทําให้ total linear momentum p <br />
tot 0 ส่งผลให้<br />
<br />
rcm ptot 0<br />
ในคราวนี ้เราพิจารณามวล m 1 และ m 2 โดยใช้ center <strong>of</strong> mass ของระบบเป็นจุดกําเนิด ดังแสดงใน<br />
ภาพ<br />
จะพบว่า เนื่องจาก r 1 ตั ้งฉากกับ v1<br />
1<br />
d<br />
r ดังนั ้น r 1 <br />
mv<br />
1 <br />
dt<br />
r <br />
mv <br />
m r <br />
v <br />
<br />
sin 90 ma<br />
v<br />
ภาพ และมีขนาดเท่ากับ 1 1 1 1 <br />
มีทิศชี ้ขึ ้นในแนวแกน z ดังแสดงใน<br />
ซึ ่งเมื่อแทน v a<br />
จะได้ว่า<br />
และในทํานองเดียวกัน<br />
2<br />
r1mv1<br />
a mkˆ<br />
2<br />
r2<br />
mv2<br />
a mkˆ<br />
ส่งผลให้<br />
N<br />
(cm) d 2<br />
L ˆ<br />
tot <br />
<br />
rimi ri 1m 1 2 m 2<br />
2a m<br />
dt <br />
r v r v k<br />
i1<br />
<br />
(cm)<br />
r p<br />
และ L <br />
tot เข้าด้วยกัน จะได้ว่า<br />
(4.43) ในการรวมเทอม cm tot<br />
และถ้าใช้สมการ<br />
(cm) 2<br />
Ltot rcm ptot Ltot<br />
2a mˆ k<br />
ซึ ่งก็ตรงกันกับวิธีที่ (1) ตอบ<br />
แบบฝึ กหัด 4.14 คํานวณ total angular momentum ของวงแหวนที่หมุนรอบจุดศูนย์กลาง<br />
2<br />
เฉลย L MR มีทิศขนานกับแกนของวงแหวน<br />
tot<br />
ที่ผ่านมาเราได้ทําการทบทวนการคํานวณ total angular momentum ของ 1 อนุภาค ด้วยลักษณะที่<br />
<br />
เป็นจุดอนุภาค เมื่อมันมีการเคลื่อนที่ total angular momentum ของมันมีค่าเท่ากับ rp<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-49<br />
ในทางตรงกันข้าม สําหรับวัตถุที่มีรูปทรงนั ้น เราจําเป็นจะต้องนําลักษณะเชิงรูปร่างของมันเข้า<br />
มาร่วมพิจารณาในการคํานวณ total angular momentum L <br />
tot กล่าวคือ นอกจากจะมีเทอม<br />
<br />
(cm)<br />
rcm<br />
ptot<br />
ปรากฏอยู ่แล้ว ก็ยังมีเทอมที่แสดงถึง total angular momentum L tot ที่วัตถุหมุนรอบ<br />
จุดศูนย์กลางมวลของมันอีกด้วย ดังแสดงในสมการ (4.43)<br />
ยกตัวอย่างเช่น เมื่อโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ ในขณะเดียวกันก็หมุนรอบตัวเองนั ้น total angular<br />
<br />
momentum ของมันประกอบด้วย 2 เทอมด้วยกัน คือ 1) rcm<br />
ptot<br />
แสดงถึงการโคจรของโลกรอบ<br />
ดวงอาทิตย์ ซึ ่งในที่นี ้ r (cm)<br />
cm ก็คือระยะห่างระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์ และ 2) L <br />
tot แสดงถึง<br />
angular momentum มีเกิดจากการหมุนรอบตัวเอง หรือ รอบจุดศูนย์กลางมวลของโลกนั่นเอง<br />
Torque และ <strong>Angular</strong> <strong>Momentum</strong><br />
แรงบิด<br />
<strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles<br />
<br />
(ext)<br />
d<br />
net L <br />
dt<br />
tot<br />
จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา เราได้เห็นว่า total angular momentum ของระบบ สัมพันธ์โดยตรงกับ<br />
อัตราเร็วเชิงมุม ของการหมุน ยิ่งหมุนเร็วมาก L tot ก็ยิ่งมีค่าสูง<br />
system <strong>of</strong> particles ถ้าปราศจากอิทธิพลภายนอก จะมี total angular momentum คงที่ อาทิเช่น<br />
หัวน็อตและประแจที่ยึดติดอยู ่กับแผ่นวัสดุ มี L <br />
tot 0 และก็จะเป็นศูนย์อยู ่เช่นนี ้ตลอดไป<br />
ก็ต่อเมื่อมีแรงบิด หรือ torque มากระทํา จึงจะทําให้ L tot มีการเปลี่ยนแปลงไป กล่าวคือ เดิม<br />
เป็นศูนย์ กลายเป็นมีค่าเพิ่มขึ ้น ส่วนจะหมุนเร็วหรือช้านั ้น ก็ขึ ้นอยู ่กับขนาดของ torque ที่เข้ามา<br />
กระทํากับระบบ และเนื ้อหาในส่วนนี ้ เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่า ในระบบที่ประกอบด้วยหลาย<br />
อนุภาคนั ้น total angular momentum จะเปลี่ยนแปลงกับเวลา ถ้ามี torque จากภายนอกมากระทํา<br />
หรือ อีกนัยหนึ ่ง<br />
d<br />
L <br />
tot<br />
dt<br />
<br />
<br />
(ext)<br />
net<br />
<br />
(ext)<br />
เมื่อ net<br />
<br />
total external torque ที่กระทํากับระบบ<br />
N<br />
(ext)<br />
ri<br />
F <br />
i<br />
i1<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-50<br />
______________________ สมการ (4.44)<br />
คําว่า torque หรือ แรงบิด มีความคล้ายคลึงเป็นอย่างมากกับ force หรือ แรง เพียงแต่ torque จะ<br />
สัมพันธ์กับการเคลื่อนที่แบบหมุน ในขณะที่ force สัมพันธ์อยู ่กับการเคลื่อนที่ในแนวตรง<br />
ในทางคณิตศาสตร์นั ้น เรานิยาม<br />
<br />
τ r F <br />
Torque <br />
จุดหมุน<br />
จุดหมุน<br />
r <br />
r <br />
r จุดที่แรงกระทํา F <br />
จุดที่แรงกระทํา F<br />
<br />
r <br />
F<br />
F <br />
ที่เป็นเช่นนี ้ก็เพราะว่า เมื่อพยายามที่จะทําให้เกิดการหมุนนั ้น แรง F เพียงอย่างเดียวไม่ใช่ปัจจัย<br />
ตัดสิน ตําแหน่ง r ของการออกแรงก็มีความสําคัญเช่นเดียวกัน อาทิเช่น การโยกนํ ้าดาบาล หรือ<br />
การหนีบด้วยคีม จุดที่แรงกระทําจะต้องอยู ่ห่างออกมาจากจุดหมุน จึงจะทําให้เกิดการบิดได้ง่าย<br />
ยิ่งขึ ้น<br />
วกกลับมาที่การเปลี่ยนแปลงของ total angular momentum L tot เมื่อเวลาผ่านไป เริ่มด้วยการ<br />
พิจารณาอนุภาค i ที่เป็นส่วนหนึ ่งของระบบ จากสมการ (4.37)<br />
2 2<br />
d d d d d d d <br />
Li imi i imi i imi 2 i imi 2 i<br />
dt dt <br />
r r<br />
dt <br />
r r r r r r<br />
<br />
dt dt dt dt<br />
0<br />
และเมื่ออาศัยกฎข้อ 2 ของ Newton ในทํานองเดียวกันกับสมการ (4.12) จะได้ว่า<br />
d<br />
dt<br />
<br />
L r F<br />
i i i<br />
เมื่อ F i คือแรงลัพธ์ที่กระทํากับอนุภาค i ซึ ่งประกอบด้วยทั ้งแรงจาก ภายในและภายนอก ดังนิยาม<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-51<br />
ในสมการ (4.11) เพราะฉะนั ้นแล้ว<br />
d<br />
dt<br />
<br />
<br />
L r F <br />
f <br />
r F <br />
r <br />
f<br />
<br />
<br />
<br />
(ext)<br />
(ext)<br />
i i <br />
i ij<br />
i i i ij<br />
<br />
<br />
ji<br />
ji<br />
______ สมการ (4.45)<br />
อย่างไรก็ตาม การเขียนแปลงของ angular momentum ข้างต้นเป็นเพียงสมบัติเฉพาะของอนุภาค i<br />
d<br />
ในเมื่อเราต้องการทราบ tot<br />
dt L ก็ต้องเขียน<br />
N N N<br />
d d d<br />
<br />
<br />
(ext)<br />
L tot L i L <br />
i riF <br />
i rif <br />
ij<br />
dt dt dt<br />
i1 i1 i1<br />
ji<br />
<br />
<br />
<br />
ทั ้งนี ้เมื่อกระจาย summation ออกเป็น 2 เทอมจะทําให้<br />
d<br />
dt<br />
<br />
tot<br />
N N N<br />
(ext)<br />
<br />
<br />
<br />
i i i ij<br />
i1 i1<br />
ji<br />
L r F r f <br />
__________ สมการ (4.46)<br />
เนื่องจากความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์ที่อาจจะรบกวนความต่อเนื่องของเนื ้อหาทางฟิสิกส์ เราจะ<br />
เพียงอ้างในตอนนี ้ว่า เทอม N N <br />
ri<br />
i1<br />
ji<br />
f <br />
ij<br />
0<br />
วิเคราะห์ สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากตัวอย่างโจทย์ในลําดับต่อไป<br />
ผู้อ่านที่สนใจขั ้นตอนการพิสูจน์ ตลอดจนบท<br />
เพราะฉะนั ้นแล้ว<br />
d<br />
dt<br />
tot<br />
N<br />
<br />
L r F<br />
<br />
i<br />
i1<br />
(ext)<br />
i<br />
(ext)<br />
(ext) (ext)<br />
จะเห็นว่า เทอมที่ปรากฏภายใน summation ri<br />
i ก็คือ torque i i i<br />
กับอนุภาค i เพราะฉะนั ้นเราอาจจะตีความสมการข้างต้นได้ว่า<br />
<br />
F <br />
<br />
τ r F <br />
ที่กระทํา<br />
d<br />
dt<br />
tot<br />
N<br />
<br />
(ext) (ext)<br />
i net<br />
i1<br />
<br />
L τ τ<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-52<br />
นั่นหมายถึง แรงบิดที่เกิดจากภายในระบบ ไม่สามารถทําให้มันหมุนเร็วขึ ้นหรือช้าลงได้ เฉพาะ<br />
(ext)<br />
external torque หรือ τ <br />
net จากภายนอกเท่านั ้น ที่จะมีผลต่อ total angular momentum L <br />
tot ของ<br />
ระบบ<br />
เมื่อเราได้พิสูจน์ให้เห็นจริงดังสมการ (4.44) ขั ้นตอนต่อไปคือการนํามาใช้ประโยชน์ในการ<br />
วิเคราะห์การเคลื่อนที่ของระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าระบบปราศจากอิทธิพลของ torque ภายนอก<br />
Total <strong>Angular</strong> <strong>Momentum</strong><br />
L tot ของระบบมีค่าคงที่ ถ้าปราศจาก External Torque<br />
______________________ สมการ (4.47)<br />
ในการศึกษา total linear momentum ของระบบ ไม่ว่าจะเป็นเหตุการณ์การชนกันของวัตถุ<br />
การระเบิดของยานอวกาศ หรือการเดินของ Jack บนเรือก็ดี ล้วนตั ้งอยู ่บนหลักการที่ว่า แรงลัพธ์<br />
(ext)<br />
จากภายนอก F ทั ้งก่อนและหลังเหตุการณ์ที่เกิดขึ ้น<br />
net 0<br />
p <br />
tot<br />
แต่จากตัวอย่างที่เราจะได้เห็นในลําดับต่อไป ในกรณีที่ระบบมีแรงภายนอกมากระทํา การจะไปอ้าง<br />
ว่า p <br />
(ext)<br />
tot constant นั ้นย่อมกระทํามิได้ กระนั ้นก็ตาม ถึงแม้ F <br />
net 0 ด้วยกลเม็ดอันชาญ<br />
ฉลาดของการกําหนดกรอบอ้างอิงที่ใช้วิเคราะห์ระบบ เราสามารถเลือกที่จะวางจุดกําเนิด เพื่อทํา<br />
(ext)<br />
ให้ net torque หรือ แรงบิดสุทธิจากภายนอก τ net 0 อันมีผลให้เงื่อนไขในสมการ (4.47) นั ้น<br />
เป็นจริง กล่าวคือ L <br />
tot constant<br />
ตัวอย่างโจทย์<br />
dumbbell ซึ ่งประกอบด้วยมวล m 1 สองก้อน เชื่อมกันอยู ่ด้วยแท่งไม้ที่เบามาก วางนิ่งในแนวราบ<br />
และมีจุดหมุนอยู ่ตรงกลางดังภาพ ปรากฏว่ามีดินนํ ้ามันมวล m 2 a) พุ่งเข้ามาด้วยอัตราเร็ว u b)<br />
ชน และ c) ติดไปกับมวล m 1 ดังกล่าว หลังจากการชน dumbbell จะหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม <br />
เท่าใด?<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-53<br />
m 1<br />
2a<br />
จุดหมุน<br />
ดินนํ้ามัน<br />
m 1<br />
u m<br />
2<br />
y<br />
r 2 sin<br />
z<br />
r <br />
L <br />
2 r <br />
2 p <br />
2 sin<br />
2<br />
<br />
<br />
p<br />
x<br />
<br />
m u<br />
2 2<br />
m 2<br />
วิธีทํา ในกรณีนี ้ ถึงแม้เราจะกําหนดให้ทั ้ง dumbbell และ ดินนํ ้ามัน เป็นระบบเดียวกัน ก็ยังจะมี<br />
แรงลัพธ์ภายนอกที่กระทํากับวัตถุ โดยผ่านทางหมุด ที่ทําหน้าที่เป็นจุดหมุน เพราะฉะนั ้น<br />
(ext)<br />
net 0<br />
F แต่ถ้าเราเลือกที่จะใช้ จุดหมุน เป็นจุดกําเนิด แม้จะมีแรง<br />
(ext)<br />
L 2<br />
(ext)<br />
(ext)<br />
τ r F <br />
tot<br />
0<br />
เพราะ r 0<br />
L constant ดังสมการ (4.47)<br />
ดังนั ้น<br />
τ <br />
F <br />
net<br />
(ext)<br />
net 0<br />
จากหมุดมากระทํา torque<br />
จึงทําให้ total angular momentum<br />
<br />
tot<br />
(before)<br />
ก่อนที่จะมีการชน L<br />
<br />
<br />
L1<br />
L 2<br />
เมื่อ L <br />
1 คือ angular momentum ของ dumbbell ซึ ่งเป็นศูนย์ เพราะมันหยุดนิ่ง ในขณะที่ L <br />
2<br />
angular momentum ของดินนํ ้ามัน ซึ ่งมีทิศชี ้ในแนวแกน +z และมีขนาด<br />
L 2 r 2 p 2 sin<br />
p 2 r<br />
<br />
2 sin<br />
ซึ ่งเมื่ออาศัยทฤษฏีตรีโกนมิติดังภาพ พบว่า<br />
r ดังนั ้น L 2 m 2 ua<br />
จะได้ว่า<br />
2 sin a<br />
คือ<br />
(before)<br />
ก่อนที่จะมีการชน L<br />
<br />
tot<br />
m uakˆ<br />
ภายหลังการชน dumbbell หมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม ดังนั ้นจากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา<br />
<br />
2<br />
L ˆ<br />
1<br />
2ma<br />
1 k ในขณะที่ ดินนํ ้ามันมวล m 1 เมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี a ด้วยอัตราเร็ว<br />
2<br />
เชิงมุม ก็จะมี angular momentum L m a kˆ<br />
ดังนั ้น<br />
2 2<br />
ภายหลังการชน 2 2<br />
<br />
2<br />
(after) 2 2 2<br />
L tot L 1 L <br />
ˆ ˆ ˆ<br />
2 ma 1 k m2a k m1 m2<br />
a k<br />
จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่า<br />
(ext)<br />
τ <br />
net 0<br />
เพราะฉะนั<br />
(before) (after)<br />
้น Ltot<br />
Ltot<br />
หรือ อีกนัยหนึ ่ง<br />
<br />
2<br />
m2ua<br />
2m1<br />
m2<br />
a<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-54<br />
ทําให้อัตราเร็วเชิงมุมของการหมุน มีค่าเท่ากับ<br />
<br />
<br />
m2u<br />
2m1<br />
m2a<br />
ตอบ<br />
แบบฝึ กหัด 4.15 ในทํานองเดียวกันตัวอย่างโจทย์ข้างต้น ถ้าเปลี่ยนจาก dumbbell เป็นวงแหวน<br />
รัศมี a และมีมวล M ซึ ่งมีจุดหมุนอยู ่ตรงกลาง จงหาอัตราเร็วเชิงมุม ภายหลังการชน กับก้อน<br />
ดินนํ ้ามัน<br />
m<br />
เฉลย<br />
2u<br />
<br />
M m a<br />
2<br />
โดยทั่วไปแล้ว เมื่อวัตถุที่มีรูปทรง ประกอบด้วยชิ้นส่วนกระจายกันอยู ่ การคํานวณ แรงบิดสุทธิ<br />
หรือ net torque นั ้น จะต้องคํานึงถึงว่าแต่ละชิ้นนั ้น อยู ่ ณ ตําแหน่งใด และ มีแรงกระทํามาก<br />
(ext)<br />
net<br />
น้อยเท่าไหร่ หรืออีกนัยหนึ ่ง<br />
N<br />
(ext)<br />
(ext)<br />
τnet<br />
ri<br />
F <br />
i<br />
i1<br />
ซึ ่งดูมีความซับซ้อนเป็นอย่างยิ่ง<br />
y<br />
<br />
τ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(ext)<br />
ne t r 1<br />
F 1 r 2 F<br />
2<br />
y<br />
<br />
τ<br />
(ext)<br />
n<br />
et<br />
<br />
<br />
r<br />
cm<br />
<br />
<br />
F<br />
(ext)<br />
nt<br />
e<br />
r 3<br />
x <br />
r r F<br />
2<br />
1<br />
m 1<br />
m 3<br />
<br />
m<br />
g<br />
3 3<br />
F<br />
1 m1g<br />
m 2<br />
<br />
<br />
F<br />
m<br />
g<br />
2 2<br />
เสมือนว่า<br />
x<br />
r cm<br />
<br />
F<br />
M m m<br />
<br />
(ext)<br />
net<br />
<br />
<br />
M<br />
g<br />
1 2<br />
แต่ในการคํานวณ net torque ที่เกิดจากแรงโน้มถ่วงนั ้น เราไม่จําเป็นต้องคํานึงถึงรูปร่างของวัตถุ<br />
หรือรายระเอียดการกระจายตัวของชิ้นส่วนที่ประกอบกันขึ ้นเป็นระบบ โดยสามารถมองเสมือนว่า<br />
แรงซึ ่งเกิดจากนํ ้าหนักของวัตถุทั ้งชิ้น กระทํา ณ จุดศูนย์กลางมวล จุดเดียวเท่านั ้น<br />
ตัวอย่างโจทย์<br />
พิจารณาระบบที่ประกอบด้วยหลายอนุภาค m1, m2, m3,<br />
จงแสดงให้เห็นว่า เฉพาะในกรณีของ<br />
<br />
(ext) <br />
(ext)<br />
<br />
แรงโน้มถ่วง F mg<br />
net torque มีค่าเท่ากับ r<br />
Mg<br />
net<br />
cm<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
้<br />
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-55<br />
วิธีทํา ทิศทางของแรงซึ ่งเกิดจากนํ ้าหนักนั ้น จะขนานไปกับ สนามโน้มถ่วง ซึ ่งแทนด้วย<br />
สัญลักษณ์ g เพราะฉะนั ้นแรงโน้มถ่วงที่กระทํากับแต่ละอนุภาคก็คือ<br />
<br />
F<br />
(ext)<br />
i m i<br />
<br />
g<br />
<br />
i riFi ri mig miri<br />
g<br />
(ext) (ext)<br />
ทําให้ torque <br />
ข้างต้นคือ torque หรือ แรงบิดที่กระทํากับแต่ละอนุภาค i เพื่อหา torque สุทธิ เราใช้ summation<br />
<br />
<br />
(ext)<br />
net<br />
N<br />
N<br />
<br />
<br />
<br />
(ext)<br />
i<br />
mii<br />
r g<br />
m11 r m2r2 m3r3<br />
g<br />
i1 i1<br />
ทดลองหารด้วย M และคูณด้วย M ในทางขวามือของสมการ<br />
จะได้ว่า<br />
<br />
(ext) m11 r m2r2 m3r3<br />
<br />
<br />
net <br />
M<br />
<br />
M g<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
rcm<br />
<br />
<br />
net<br />
<br />
cm<br />
(ext)<br />
เพราะฉะนั ้นแล้ว r<br />
Mg<br />
<br />
ตอบ<br />
(ext)<br />
สมบัติพิเศษของ<br />
net<br />
ที่เกิดจากแรงโน้มถ่วงดังกล่าว สามารถนํามาประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์<br />
หาตําแหน่งสมดุลของวัตถุที่มีรูปทรง ในขณะที่ห้อยอยู ่บนเพดาน ดังแสดงในตัวอย่างโจทย์ต่อไปนี<br />
ตัวอย่างโจทย์<br />
สามเหลี่ยม ซึ ่งมีด้านประชิดมุมฉากทั ้งสองเท่ากับ a ห้อยอยู ่ในสภาวะสมดุล และหยุดนิ่ง ดังภาพ<br />
จงหามุม <br />
cm<br />
P<br />
จุดหมุน (บานพับ)<br />
<br />
F <br />
r 1<br />
Mg <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
90<br />
2 a<br />
3<br />
<br />
a<br />
3<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-56<br />
<br />
(ext) (ext) (ext)<br />
วิธีทํา คําว่าสมดุล และหยุดนิ่งนั ้น แสดงว่า net 0<br />
1 2<br />
จากภาพ แรงบิดมี<br />
ที่มาจากสองแหล่ง 1) ณ ตําแหน่งที่ห้อยอยู ่กับเพดาน ณ จุด P บานพับอาจจะมีการออกแรงกับ<br />
สามเหลี่ยมได้ 2) จากนํ ้าหนักที่กระทํากับแต่ละชิ้นส่วนของตัวสามเหลี่ยม<br />
เนื่องจากเราไม่อาจทราบธรรมชาติของแรงในข้อ 1) กําหนดให้ P เป็นจุดกําเนิด ดังนั ้น<br />
(ext)<br />
โดยปริยาย<br />
1 0<br />
(ext)<br />
สําหรับ<br />
2<br />
เป็น torque ที่เกิดจากแรงโน้มถ่วง เพราะฉะนั ้น เราเขียนได้ว่า<br />
(ext)<br />
<br />
2 rcm<br />
Mg<br />
ซึ ่งต้องมีค่าเป็นศูนย์ในสภาวะสมดุล จากหลักการของ cross product<br />
<br />
rcm Mg0<br />
ก็ต่อเมื่อ r cm ขนานไปกับ g หรืออีกนัยหนึ ่ง<br />
เมื่อวัตถุห้อยในภาวะสมดุล จุดหมุน จุดศูนย์กลางมวล อยู ่ในแนวดิ่งเสมอ<br />
______________________ สมการ (4.48)<br />
เมื่อวิเคราะห์ถึงตําแหน่งจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม พบว่ามุม<br />
tan<br />
a 3 1<br />
2a<br />
3 2<br />
ดังนั ้น<br />
<br />
1 1<br />
tan 26.6<br />
2<br />
องศา<br />
<br />
และเนื่องจากข้อสรุปที่ว่า จุดหมุน จุดศูนย์กลางมวล ดังนั ้น มุม <br />
90<br />
หรืออีกนัย<br />
หนึ ่ง<br />
63.4 องศา ตอบ<br />
แบบฝึ กหัด 4.16 แผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง a ยาว b ห้อยอยู ่ในสภาวะสมดุล และหยุดนิ่ง ดังภาพ<br />
จงหามุม <br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-57<br />
<br />
a<br />
b<br />
<br />
2<br />
1<br />
เฉลย tan<br />
b<br />
a<br />
ตัวอย่างโจทย์<br />
จงแสดงให้เห็นว่า ในระบบหลายอนุภาค<br />
N N<br />
<br />
ri<br />
i1<br />
ji<br />
f <br />
ij<br />
0<br />
ก็ต่อเมื่อ แรง f <br />
ij<br />
อยู ่ในแนว<br />
เส้นตรงระหว่าง อนุภาค i และ j<br />
วิธีทํา เพื่อความชัดเจนในการสังเกต ลองกระจาย summation ออกมาโดยตรง ในกรณี N 3<br />
N N<br />
<br />
rifij<br />
r1f12 r1f13r2f21r2f23r3f31r3f<br />
32<br />
i1 ji i1 i2 i3<br />
จัดกลุ่ม เทอมข้างต้น โดยให้ f <br />
ij<br />
และ f <br />
ji<br />
มาอยู ่ใกล้กัน<br />
N N<br />
<br />
rifij<br />
r f r f r f r f r f r f<br />
i1<br />
ji<br />
<br />
<br />
rifij rjfji<br />
i<br />
j<br />
1 12 2 21 1 13 3 31 2 23 3 32<br />
แต่ จากกฎข้อ 3 ของ Newton ว่าด้วย action reaction fij fji<br />
<br />
<br />
ดังนั ้น<br />
N N<br />
<br />
rifij rifij rjfijri rjfij<br />
i1<br />
ji i j i<br />
j<br />
<br />
ให้สังเกตว่า ri<br />
rj<br />
อยู ่ในแนวเส้นตรงระหว่างมวล j และมวล i<br />
ก็คือ vector ที่ลากจากมวล j มายังมวล i และด้วยข้อกําหนดที่ว่า แรง f <br />
ij<br />
ดังนั ้น<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 4 <strong>System</strong> <strong>of</strong> Particles 4-58<br />
เพราะฉะนั ้น<br />
f <br />
ij ขนานกับ ri<br />
rj<br />
N N<br />
<br />
ri<br />
i1<br />
ji<br />
<br />
i j ij<br />
เป็นเหตุให้ 0<br />
f <br />
ij<br />
0<br />
ตอบ<br />
r r f <br />
4.6 Elastic Collision<br />
การชน หรือ collision เป็นกระบวนการทางฟิสิกส์ที่พบเห็นได้ทั่วไป ทั ้งในชีวิตประจําวันที่<br />
สังเกตเห็นได้ง่าย อาทิเช่นกีฬา snooker อุบัติเหตุบนท้องถนน หรือการตอกเสาเข็มในโครงการ<br />
ก่อสร้าง หรือที่สังเกตด้วยตาเปล่าไม่เห็น อาทิการชนกันระหว่างโมเลกุลของอากาศและผิวหนัง<br />
ของเรา ทําให้พลังงานมีการถ่ายเทในรูปของความร้อนระหว่างอากาศและผิวหนัง และใน<br />
ห้องทดลองทางวิทยาศาสตร์ อาทิเช่น การเร่งอนุภาคให้มีความเร็วสูง และพุ่งเข้าชนนิวเคลียสของ<br />
อะตอม ทําให้ตัวนิวเคลียสแตกออกเป็นเสี่ยงๆและเผยให้เห็นถึงองค์ประกอบที่อยู ่ภายใน<br />
ในเนื ้อหาของ classical mechanics ระดับอุดมศึกษานี ้ เราจะมาจําลองการชนอย่างง่ายระหว่าง 2<br />
อนุภาคด้วยกัน เพื่อที่จะศึกษาธรรมชาติของการชน ว่าอนุภาคทั ้งสอง จะพุ่งออกไปจากจุดปะทะใน<br />
ทิศทางอย่างไร และขึ ้นอยู ่กับปัจจัยต่างๆอาทิ มวลของอนุภาคและความเร็วต้นเช่นใดบ้าง<br />
Dr. Teepanis Chachiyo <strong>ภาควิชาฟิสิกส์</strong> <strong>มหาวิทยาลัย</strong>ขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011
Change language