Integrali di campi vettoriali su linee, superfici e volumi - Consorzio ...

Campi scalari e vettoriali (1)
3
Se ad ogni punto P = (x, y, z) di una regione di spazio Ω ∈ R è associato uno ed uno
solo scalare φ diremo che un campo scalare è stato definito in Ω. In altri termini:
φ
3
: P ∈ R → φ(P) ∈ R (o C)
Indicheremo il campo scalare con la notazione φ (x, y, z, t), oppure φ (P, t). Qualora φ non
dipenda dal tempo, e cioè φ = φ(x, y, z) = φ(P), il campo scalare si dirà stazionario
Chiameremo superficie di livello il luogo di tutti i punti nei quali φ assume il medesimo
valore φ 0 . In formule:
φ(x,y,z)
Se il campo scalare soddisfa opportune condizioni di regolarità (derivabile almeno 2
volte e gradiente di φ non nullo in ogni punto) per ogni punto passa una ed una sola
superficie di livello
= φ
0
La conoscenza delle superfici di livello consente di descrivere completamente il campo
Se la regione Ω è bidimensionale, si parla di linee di livello
Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci
1

Campi scalari e vettoriali (2)
Se ad ogni punto P = (x, y, z) di una regione Ω dello spazio vettoriale R 3 è associato uno
ed un solo vettore A, diremo che un campo vettoriale A è stato definito in Ω.
A può essere un vettore dello spazio R n oppure dello spazio C n . In simboli:
A R A R C
3 n n
: P ∈ Ω ⊆ → (P) ∈
(o C
)
Indicheremo il campo vettoriale A conlanotazioneA(x, y, z,t), oppure A(P, ( t). Qualora A
non dipenda dal tempo, e cioè A = A(x,y,z)=A(P), il campo vettoriale si dirà stazionario.
‣ A seconda della grandezza fisica (vettoriale) rappresentata da A, il campo vettoriale potrà assumere
denominazioni i i diverse. Ad esempio, se A ha le dimensionii i di una velocità parleremo di “campo di velocità”, seAA
ha le dimensioni di una forza, parleremo di “campo di forze”, se V ha le dimensioni di una forza per unità di
carica si parlerà di “campo elettrico”, e via dicendo …
Si chiamano linee di campo le linee dello spazio R 3 parallele in ogni punto P al vettore A.
Per i punti di tali linee risulta:
A × d
=
0
(i)
dove d è il vettore di lunghezza infinitesima tangente alla linea nel punto P. Tale
uguaglianza, difatti, è soddisfatta se e solo se A e d sono paralleli.
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Campi scalari e vettoriali (3)
Se A è un campo di velocità, le linee di campo si diranno “linee di flusso” (o “linee di corrente”,
se A è stazionario). Se A è un campo di forze, si parla di “linee di forza”. Anche nel caso dei
campi E.M. si usa la dizione linee di flusso, o talvolta, impropriamente, di linee di forza.
Esprimendo il vettore infinitesimo tangente alla linea in componenti cartesiane:
d = dx ˆ i ˆ x
+ dy iy
+ dz
ˆz i
l’equazione vettoriale (i) si può riscrivere nel modo seguente:
⎧Adz
y
− Ady
z
= 0
⎪
⎨A zdx
− A xdz
= 0
⎪
⎩Ady
x
− Adx
y
= 0
da queste 3 equazioni scalari si ricava infine:
dx dy dz
= = (ii)
A A A
x y z
In modo del tutto analogo, si dimostra che le linee di campo soddisfano l’equazione:
ds u 1
ds u 2
ds u
3
dove (ds ,ds ,ds sono gli archi elementari e
= =
u1, u2, u3 (A
Au1 Au2 A
u1 ,A u2 ,A u3 ) le componenti di A rispetto a un
u3
generico sistema di riferimento curvilineo (u 1 ,u 2 ,u 3 ).
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3

Campi scalari e vettoriali (4)
Integrando l’equazione differenziale (ii) si può quindi ottenere l’espressione
analitica delle linee di forza del campo vettoriale. L’integrazione di tale
equazione può risultare nella pratica molto difficile! Per questo motivo spesso
si utilizzano criteri qualitativi per il tracciamento delle linee di flusso.
• Esercizio Determinare sul piano xy l’espressione analitica delle linee di flusso del campo
elettrostatico generato da una carica puntiforme q 0 posta nell’origine del sistema di riferimento
cartesiano
Le linee di flusso hanno il limite di fornire una rappresentazione completa solo di direzione e
verso della grandezza vettoriale rappresentata, ma non danno informazioni rigorose sulla sua
intensità. Per ovviare a ciò, si utilizza il criterio di Faraday: le linee di forza vengono disegnate più
ravvicinate nelle zone dello spazio in cui l’intensità del campo è maggiore. Perché tale criterio dia
informazioni precise, è quindi necessario che si abbia una relazione di diretta proporzionalità fra
la densità di linee di forza disegnate e il modulo del vettore. Si tratta, comunque, di un criterio
qualitativo.
- Un campo le cui linee di flusso sono ovunque // ed equidistanziate si dirà uniforme
- Un punto del campo vettoriale dal quale si dipartono tutte le linee vettoriali si dirà una
“sorgente” del campo
- Un punto nel quale si chiudono tutte le linee vettoriali si dirà un “pozzo”.
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Campi scalari e vettoriali (5)
Esempio : nel caso del campo elettrostatico, le cariche positive sono le sorgenti, le cariche
negative i pozzi.
+ -
SORGENTE
POZZO
Data una linea chiusa , si definisce tubo di flusso la superficie tubolare formata
da tutte le linee vettoriali che passano per i punti di .
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Integrali su linee, superfici e volumi
INTEGRALI DI LINEA
Sia C una curva orientata di R 3 , di estremi P1 e P2. C sia descritta in forma parametrica
dalla funzione , dipendente dal parametro scalare u:
3
: u ∈[ a , b] ⊆ R → [ C]
⊆ R
P1
= (a)
u =u 2
(u) P
P2
P2=
(b)
u =u 1
P1
C
Sia f una funzione definita sull’insieme [C] dei punti di C
Integrale curvilineo
∫ 2
Tale integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta.
Si dimostra che risulta sempre: d =
′
( u)
du
C
C
P
P
1
( u ) = x( u)ˆi
+ y( u)ˆi
+ z( u)ˆi
f
d
b
P 2
∫ f ( (
u )) d
= f ( ( u )) ( u )
1
∫
′
P
a
du
x
y
FORMULA RISOLUTIVA
DELL’INTEGRALE CURVILINEO
z
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Integrali su linee, superfici e volumi (2)
Sia A un campo vettoriale definito e continuo lungo C. La quantità:
P2
A ⋅ d = Ax dx + Ay dy + Az
dz
C
∫
P
1
∫
C
è detta integrale del campo vettoriale A lungo la linea C.
L’integrale suddetto è la somma lungo C delle componenti tangenziali di A rispetto alla
curva stessa.
C
d dx ˆ
x
dy ˆ
dz ˆ
d
= i + i
y
+ i
z
è un vettore tangente a C e di
+ d
lunghezza infinitesima d
Pertanto si può scrivere anche:
∫
c
A⋅ d = A⋅ˆ
i
d
dove î
è il versore tangente a C nel generico punto P, avente verso concorde con
l’orientazione della curva.
∫
c
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Integrali su linee, superfici e volumi (3)
Se C è una curva chiusa semplice (cioè non interseca se stessa in alcun punto)
allora l’integrale lungo tale curva:
A⋅ d = A⋅ˆi
d
∫
è detto circuitazione di A lungo C.
OSSERVAZIONE:
C
L’integrale di linea di un campo vettoriale è un caso particolare di integrale curvilineo, con:
∫
C
f
(
( u )) = Ai ⋅ˆ
Il contributo della parametrizzazione è contenuto nel versore tangente. Si dimostra che:
ˆ i
=
′ ( u
)
′
( u
)
Si ha quindi:
C
b
b
ˆ ′
A⋅ d = A⋅ i d = A⋅ ′( u) d u = A⋅
′( u) du
P
′( u)
P
2 P
2
( u
)
∫
1 ∫
1
∫ ∫
P
C
a
a
8
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Integrali su linee, superfici e volumi (4)
FORMULA RISOLUTIVA PER L’INTEGRALE DI LINEA DEL CAMPO
VETTORIALE:
b
P2
A⋅ d = A⋅
′
() u du
C
∫
P
1
∫
a
Esercizio Si calcoli la circuitazione di un vettore A(x,y,z)
lungo un cerchio di raggio R centrato nell’origine
e giacente sul piano xy (vedi figura).
φ
C
r = ρ
d
INTEGRALI DI SUPERFICIE
Sia S una superficie orientata di R 3 descritta in forma parametrica dalla funzione
ˆ
vettoriale r, dipendente dai parametri scalari u,v:
i
n
2
3
{ [ a,b
] ×
[ c,d
]
} ⊆
R →
[ S
] ⊆
r : ( u,
v
) ∈
D =
R
s
S
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Integrali su linee, superfici e volumi (5)
r è il vettore, funzione dei parametri u e v, che individua il generico punto della
superficie S:
r ( u , v)
= x( u,
v)
ˆi
+ y( u,
v)
ˆi
+ z( u,
v)
ˆi
x
Sia ora f una funzione scalare o vettoriale definita sull’insieme [S] dei punti di S.
Integrale superficiale
∫
S
f dS
y
z
Tale integrale non dipende dalla parametrizzazione r scelta.
Si dimostra che risulta sempre:
⎧
⎪
r
d S = r
u
× r
v
d u d v , dove : ⎨
⎪ r
⎪⎩
u
v
=
=
∂
r
∂ u
∂ r
∂ v
FORMULA RISOLUTIVA DELL’INTEGRALE DI SUPERFICIE
∫ f dS
= ∫ f ( r(
u,
v))
ru
× rv
du
dv
= ∫∫ f ( r(
u,
v))
ru
× r
S
D
b
d
a
c
v
du
dv
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Integrali su linee, superfici e volumi (6)
Sia ora A(x,y,z) un campo vettoriale definito e continuo lungo S. Sia inoltre î
n
il
versore normale alla superficie i S nel generico punto P. La quantità:
ˆ
∫∫ A ⋅ i n d S
è detta flusso del campo vettoriale A attraverso la superficie S.
S
Nota Per quanto riguarda il verso di îi n
, per convenzione viene considerato diretto
verso l’esterno nel caso di una superficie chiusa. Se S è una superficie aperta,
il versore î n
è diretto dalla faccia positiva a quella negativa, avendo stabilito a priori
quale sia la faccia positiva della superficie. Se S ha per contorno una linea chiusa
orientata C, si assume per î n il verso in cui avanza una vite che ruota nel verso
positivo fissato su C (regola della vite, o del cavatappi).
Se S è una superficie chiusa allora indicheremo con:
∫∫ A ⋅ˆ i n dS
il flusso attraverso tale superficie.
S
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Integrali su linee, superfici e volumi (7)
OSSERVAZIONE:
Il flusso di un campo vettoriale è un caso particolare di integrale superficiale, con:
f((,))
r u v = A⋅ˆi
Il contributo della parametrizzazione r è contenuto nel versore normale. Si dimostra che:
ˆ i
n
r
= u
× r
v
r
u
× r v
n
da cui:
r × r
A⋅ i S = A⋅ r × r u v = A⋅ r ×
r u v
ˆ
bd
bd
u
v
S
× [ ×
]
nd u v
d d
u v
d d
r
a c u
× rv
a c
∫∫ ∫∫ ∫∫
S
FORMULA RISOLUTIVA PER IL FLUSSO DI UN CAMPO
VETTORIALE:
bd
bd
∫∫ n ∫∫ [ u v ] ∫∫
S
a c
a c
ˆ ⎡ ∂r
∂r⎤
A⋅ i d S = A⋅ r × r d u d v= A⋅ ⎢
× d u dv
⎣∂u
∂v⎥
⎦
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Integrali su linee, superfici e volumi (8)
ESERCIZIO Si calcoli il flusso del vettore A(x,y,z) y attraverso
una superficie sferica centrata nell’origine di raggio R (figura).
S
θ
R
dS
ˆ i = ˆ n
i r
φ
INTEGRALI DI VOLUME
Si consideri i una superficie i chiusa S che racchiude una regione A dello spazio
R 3 . Si possono allora avere i seguenti integrali di volume:
∫∫∫ φ
V
∫∫∫ A
V
d V
Integrale di un campo scalare
d
V Integrale di un campo vettoriale
S
ΩV
∫∫∫ A 13
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Integrali su linee, superfici e volumi (9)
Se u è espresso, ad esempio, in forma cartesiana:
A= A ˆ ˆ ˆ xix+ Ayiy+
Aziz risulta:
A d V = A d V ˆi + A d V ˆi + Ad
V ˆi
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
x x y y z z
V V V V
e ci si riconduce quindi all’integrale di 3 funzioni scalari.
Gli integrali di volume, come quelli curvilinei o di superficie, possono essere
effettuati, a scelta, in uno dei sistemi di riferimento disponibili. Nel caso di un
riferimento cartesiano risulta, banalmente:
dV = dx dy dz
Si ricordi che l’elemento infinitesimo di volume (parallelepipedo elementare) in
un generico sistema di coordinate curvilinee (u 1 ,u 2 ,u 3 ) può essere espresso
nel modo seguente:
dV = ds1ds2ds3 = h1h 2h3du1du2du3
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Integrali su linee, superfici e volumi (10)
Ad esempio, se si adotta un sistema di riferimento sferico (vedi figura):
S
θ
dr
r
r d φ
2
dV h
1
h
2
h
3
dr dθ d r sinθ dr dθ d
= Φ = Φ
φ
r sen θ
r sen θ dφ
E In un sistema cilindrico
i
dV = h h h dr d Φ dz = r dr d Φ
dz
1 2 3
Per esprimere l’elemento lelementodi volume esiste un approccio del tutto equivalente, che sfrutta le
proprietà del prodotto vettoriale misto. Tale prodotto fornisce infatti il volume del
parallelepipedo obliquo avente come spigoli i 3 vettori operandi. Si consideri un sistema di
coordinate curvilinee (u1, u2, u3), e sia
r = x ( u , u , u ) ˆi + y ( u , u , u ) ˆi + z ( u , u , u ) ˆi
1 2 3 x 1 2 3 y 1 2 3 z
la relativa trasformazione da coordinate curvilinee a coordinate cartesiane.
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Integrali su linee, superfici e volumi (11)
Si dimostra che:
⎛
∂ r ∂ r ∂
r
⎞
d V = ⎜ ⋅ × ⎟dududu 1 2 3
= ( ru1⋅ ru2×
ru3)
dududu
1 2 3
⎝∂u1 ∂u2 ∂u3
⎠
inoltre, il prodotto misto coincide con il determinante Jacobiano della funzione r:
∂x ∂u ∂y ∂u ∂z
∂u
1 1 1
∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂ u = J( r)
2 2 2
∂x ∂u ∂y ∂u ∂z
∂u
3 3 3
Si verifichi per esercizio che applicando la formula scritta sopra, si riottiene,
rispettivamente per i sistemi cilindrico e sferico:
Cilindrico
i
d V = ( r ⋅ r
× r )drd d Φ dz = rdrd d Φ
dz
r
Φ
z
Sferico
2
d V ( rr
r
θ r
Φ
) dr dθ d r sinθ dr dθ d
= ⋅ × Φ = Φ
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