полнотекстовый ресурс

Ряд вида
а + aq+ aq" + ... + aqn +... ( 12.2)
представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем
q. Известно, что при \q |< I ряд (12.2) сходится и его сумма S = а/( 1—q).
Если | £ 1, то ряд (12.2) расходится.
Теорема 1 (необходимый признак сходимости ряда). Если числовой ряд (12.1)
сходится, то lim и —0.
л —►ао п
Обратное утверждение неверно. Например, в гармоническом ряде
1+ 1 + ... + I + ... = у I
2 П La П
п * 1
общий член стремится к нулю, однако ряд расходится.
Теорема 2 (достаточный признак расходимости ряда). Если lim и = а # 0,
Л - > с о л
то ряд (12.1) расходится.
Сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если в нем
отбросить любое конечное число членов. Но его сумма, если она существует,
при этом изменяется.
00
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд V —- — .
м З н 4 1
л - |
►Запишем общий член данного ряда:
Тогда
и —2— .
п Зл+1
lim иш = lim ■ * т * 0 ,
Л—>00 Л —>00 Зл+1 3
т.е. ряд расходится/<
Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости числовых рядов
с положительными членами.
Теорема 3 (признаки сравнения). Если даны два ряда
их+ и2 +... + ип +..., (12.3)
Vj+v2 + ... + vn + ... (12.4)
и для всех n t n Q выполняются неравенства 0 < ип £ vn , то:
1) из сходимости ряда (12.4) следует сходимость ряда (12.3);
2) из расходимости ряда (12.3) следует расходимость ряда (12.4).