полнотекстовый ресурс

12. РЯДЫ
12.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Выражение вида
и, + + ... + и +... i; = - 2 ......... (12.1)
Я Р 1
где u € R , называется числовым рядом. Числа , м2, ... называются чле-
мами ряда, число ыл —общим членом ряда.
Суммы
J , - I»,, $ = U, + U2 ...... = И, + И2 + ... + Ня
называются частичными суммами, а —л-й частичной суммой ряда (12.1).
Если lim существует и равен числу .У, т.е. S = lim 5L , то ряд (12.1) назы-
П—>00 /I —>00
вается сходящимся, a .S'—его суммой. Если lim £ не существует (в частное -
Я —>00
ти, бесконечен), то ряд (12.1) называется расходящимся. Ряд
I I “л+1 + “л + 2 + - + “л + * + ~
называется л-м остатком ряда (12.1).
Если ряд (12.1) сходится, то
lim rm - lim ( S - Sm) = 0 .
Л —> 00 П ->00 "
00
Пример 1. Дан ряд У ■
п (п + 1)
я т 1
* ■ . Установить сходимость этого ряда и най-
ти его сумму.
►Запишем л-ю частичную сумму данного ряда и преобразуем ее:
Поскольку
Ц = J L + J L + ...+ 1
1-2 2-3 л(л+1)
Ч 2/ V2 У Уп Л+1/ л+1
S = lim J = lim Г1---- —'l = 1 ,
Я —>00 п Я —¥оо Л+1'
то данный ряд сходится и его сумма S —1. 4